(精品)全等三角形——截长补短法

全等三角形-截长补短法全等三角形截长补短法在初中数学的几何学习中，全等三角形是一个重要的知识点，而解决全等三角形相关问题时，截长补短法是一种非常实用且巧妙的方法。

首先，咱们来聊聊什么是截长补短法。

简单来说，截长补短就是通过在图形中截取或者延长某条线段，使得图形中的线段关系发生变化，从而构造出全等三角形，帮助我们解决问题。

比如说，有一个三角形 ABC，其中∠B ＝ 2∠C，要证明 AB ＝ AC ＋ CD。

这时候，我们就可以考虑使用截长补短法。

如果使用截长的思路，就在 AB 上截取 AE ＝ AC，然后连接 DE。

这样一来，因为 AE ＝AC，再加上公共边 AD，以及已知的∠CAD ＝∠EAD，就可以证明△ACD 和△AED 全等。

然后通过一系列的角度推导，就能得出结论。

要是用补短的方法呢，就是延长 AC 至 E，使 CE ＝ CD，连接 DE。

通过角度关系证明∠E ＝∠CDE，进而得出∠B ＝∠BDE，再证明△ABD 和△AED 全等。

接下来，咱们通过几个具体的例子来更深入地理解截长补短法。

例 1：在△ABC 中，AB ＞ AC，AD 平分∠BAC，P 为 AD 上一点。

求证：AB AC ＞ PB PC。

我们来用截长的方法解决。

在 AB 上截取 AE ＝ AC，连接 PE。

因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD ＝∠CAD。

又因为 AE ＝ AC，AP 是公共边，所以△APE ≌△APC。

那么 PC ＝ PE。

在△PBE 中，根据三角形两边之差小于第三边，有 PB PE ＜ BE。

而 BE ＝ AB AE ＝ AB AC，所以 AB AC ＞ PB PC。

例 2：已知在正方形 ABCD 中，∠MAN ＝ 45°，∠MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB、DC 于点 M、N。

求证：BM ＋ DN ＝MN。

这道题我们用补短的方法。

延长 CB 至 E，使 BE ＝ DN，连接 AE。

第二讲全等三角形专题之“截长补短”一、知识精讲1.全等三角形的判定: SSS 、SAS 、ASA、AAS 、HL 共五种.2.角平分线:从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个完全形同的角;角平分线上的点到角的两边的距离相等;在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.截长补短法:截长:1.过某一点作长边的垂线2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相等.补短:1.延长短边2.通过旋转翻折等方式使两短边拼合到一起.适用范围:证明线段的和、差、倍、分时,考虑截长补短.二、典例解析引例: 已知:如图,在∆ABC 中, ∠C =2∠B,∠1 =∠2 .求证: AB =AC +CD .A1 2B DC 分析:从结论分析,“截长”或“补短”都可实现问题的转化,将不在同一条直线上的线段转化到一条直线上,即延长AC 至E 使CE =CD ,或在AB 上截取AF =AC .A方法一(截长法):1 2FB D CA方法二(补短法): 1 2B D CE【例1】如图, AD ∥BC ,点E 在线段上, ∠ADE =∠CDE , ∠DCE =∠ECB .求证:CD =AD +BC .分析：结论是CD =AD +BC ,通常采用“截长补短法”进行证明.方法一是在“和线段”CD 上截取CF =CB ,只要再证DF =DA即可;方法二是延长CE 与AD 交与F ,证CD =CF ,再证BF =AD 即可.DAECB【练1】如图,已知∆ABC 中, AB =AC , ∠A =10 , BD 平分∠ABC ,求证: BC =BD +AD ．【练2】正方形ABCD 中,点E 在CD 上,点F 在BC 上, ∠EAF = 45 .求证: EF=DE+BF.【例2】已知,如图,在四边形ABCD 中, BC >AB , AD =DC , BD 平分∠ABC .求证: ∠BAD +∠BCD =180 .分析:因为平角等于180 ,因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长补短法”来实现.ADB C【练3】已知四边形ABCD 中, AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB 于点E ，且AE =12(AB+AD)求证: ∠B +∠D = 180 .【例3】在∆ABC 中, AB =AC , ∠ABC = 40 , BD 是∠ABC 的平分线,延长BD 至点E ,使DE =AD .求∠ECA 的度数.分析:要求∠ECA的度数,则要考虑到与已知角的关系来求解.由条件DE =AD 可采用“截长法”来解决,通过构造全等三角形,得到角度相等,进而得出∠ECA 的度数.【练4】在三角形ABC 中, BD、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线. BE +CD =BC .求∠A 度数.三、课后练习1.如图, AC 平分∠DAB , ∠ADC +∠B =180 .求证:CD =CB .2.如图, ∠BDC +∠AEB = 180 , ∠ABC =12∠DBE, BD =BE.求证: AC =AE +CD .3.如图,已知AD // BC , AB =AD +BC , E 是CD 的中点,求∠AEB 的度数.4.已知梯形ABCD 中, AD // BC , AB =BC =DC ,点E 、F 分别在AD 、AB 上,且∠FCE =12∠BCD（1）求证: BF =EF -ED（2）连接AC ,若∠B = 80 , ∠DEC = 70 ,求∠ACF 的度数.5.(江汉区2017-2018 年期中)如图,在∆ABC 中, ∠ABC = 60 , AD、CE 分别是∠BAC、∠ACB 的平分线, AD、CE 相交于点P .（1）求∠CPD 的度数;（2）若AE =3,CD =7,求线段AC 的长.初二几何辅助线专题练习每日一题——截长补短法1.如图，AD∥BC，点E 在线段AB 上，∠ADE=∠CDE，∠DC E=∠ECB.求证：CD=AD+BC.2.已知：如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.3.如图所示，△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD 平分∠BAC 交BC 于D.求证：AB=AC+CD.4. 已知∆ABC 中，∠A=60，BD 、 CE分别平分 ∠ABX 和.∠AXB B D C E交于点O求证：BE + CD = BC ．5.如图，ΔABC 是正三角形，∠ADC=120°,求证：BD=AD+CD.6.如图，四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B=∠D=90°，点 E，F 分别在边 AB，AD 上，连接 CE，CF，且∠BCD=2∠ECF。

全等三角形模型之截长补短法若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑“截长补短法“”，构造全等三角形.（1）截长法：在较长线段中截取一段等于另两条较短线段中的一条，然后证明剩下部分等于另一条.即证明“短1＋短2＝长”，“截长法”是在“长”线段上截取一条和“短1”相等长度的线段，再证明剩下的部分和“短2”等长.（2）补短法：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段.即证明“短1＋短2＝长”，“补短法”是将“短1”线段延长，延长的长度等于“短2”的长度，再证明新线段与“长”线段长度相等.【典型例题】1．【模型分析】当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC．截长法：在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明CE＝BD即可．补短法：延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，证明BF＝BD即可．请结合【模型分析】证明结论．求证：AB+BD＝AC．【截长法】【补短法】2．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AB+CD．3．课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，构造全等三角形来证明结论．（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF＝BD，连接DF．请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD ＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．请你解答小芸提出的这个问题；（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC．小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．4．阅读：探究线段的和差倍分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．【小试牛刀】1．如图，△ABC中，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB＝CD+BC．（用两种方法）2．如图，△ABC中，∠B＝2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC＝16，BC＝9，则BD的长为．3．已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝AC，（1）若BC＝AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；（2）若BC＝BA+CD，求∠A的度数？（3）若∠A＝100°，求证：BC＝BD+DA．4．已知：如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，O是CD上一点，且AO平分∠BAD，BO 平分∠ABC．（1）求证：AO⊥BO；（2）若AO＝3，BO＝4，求四边形ABCD的面积．5．如图，已知△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，且AC＝2AD+BD，∠B＝4∠ACD，则∠DCB的度数是．。

“截长补短”的思想在几何证明中的运用【学习目标】（30秒）用“截长补短法”解决线段的和、差问题。

【重、难点】（30秒）用“截长补短法”解决线段的和、差问题。

【操作思考】（2 分钟）1、画一画：线段AB=CD+EF线段CD=AB-EF线段 AB线段 CD线段 EF（通过让学生在纸上画出线段的和和差的图形来说明线段的截长补短）导学设计教学重难点用“截长补短法”解决线段的和、差问题。

教具准备三角尺、翻折全等三角形的纸张模型、多媒体课件．导学流程一、导入新课 , 揭示目标 (1 分钟 )线段 AB=10cm线段 CD=6cm线段 EF=4cm语言；画三条线段思考两条线段和与差能否等于第三条线段。

师生对照课件解读学习目标用“截长补短法”解决线段的和、差问题。

【归纳小结】（ 2 分钟）截长补短法”：“截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。

典题解析（ 3+4+6 分钟）例 1、如图，在ABC 中， AD 是∠ BAC 的平分线，∠C=2 ∠B. 求证： AB=AC+CD思路点拨：延长AC 到 E,使 CE=CD, 连接 DE.二、归纳小结截长补短法：“ 截长” 就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“ 补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。

三．典题解析例 1、思路点拨：延长AC 到 E,使ACE=CD, 连接 DE. 或者在 AB 上截取 AG ，使 AG =AC ，连接 DG。

追问 ; 这个图形的基本图形是怎样的图形？请把它画出来。

CDB证明：在AB上取一点E，使AE=AC，连接DE,∵AD 平分∠ BAC∴ ∠ EAD=∠ CADAE=AC ，∠EAD= ∠ CAD AD=AD ；∴△ AED ≌△ ACD （ SAS）∴∠ AED= ∠ C=2∠ BED=CD例 2、已知，如图 1-1 ，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ ABC.展示分配：一、三小组展示，其他小组质疑，提问。

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12三角形全等之截长补短（讲义）一、知识点睛截长补短:题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是____________________________________ ___________________________________________________．二、精讲精练1. 已知：如图,在△ABC 中,∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AC =AB +BD ．2. 如图,在四边形ABCD 中，∠A =∠B =90°,点E 为AB 边上一点，且DE 平分21D CB A 21D CB A 21D B A3∠ADC ,CE 平分∠BCD ． 求证:CD =AD +BC ．3. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠B =∠D =∠BAD =90°，E ，F 分别为CD ，BC 边上的点，且∠EAF =45°,连接EF ．E DCA F EDCB A4求证:EF =BF +DE ．4. 已知：如图，在△ABC 中,∠ABC =60°，△ABC 的角平分线AD ，CE 交于点O ．求证：AC =AE +CD ．OED CBA F EDCB A55. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ．求证:CE =BD ．21OED BEDCB A。

截长补短法全等三角形全等三角形是指两个三角形的对应边长和对应角度都相等的情况下，它们是完全相等的。

而截长补短法是一种通过截取和补充边长的方法来构造全等三角形的技巧。

在几何学中，截长补短法是一种常用的构造方法，可以用来证明两个三角形全等。

它的基本思想是通过截取和补充边长，使得两个三角形的对应边长和对应角度完全相等，从而达到全等的目的。

为了更好地理解截长补短法，我们可以通过一个具体的例子来说明。

假设我们需要证明两个三角形ABC和DEF全等，其中已知∠A=∠D，AB=DE，BC=EF。

根据截长补短法，我们可以进行如下的构造：1. 在BC的延长线上截取一段长度等于EF的线段，记为BC'。

2. 在AC'上截取一段长度等于DE的线段，记为AC。

通过以上的构造，我们可以得到以下的结论：1. 由于BC'=EF，且BC=EF，所以BC=BC'，即三角形ABC和DEF的两条边相等。

2. 由于AC=DE，且∠A=∠D，所以三角形ABC和DEF的两个角相等。

3. 由于AB=DE，所以三角形ABC和DEF的第三条边相等。

根据截长补短法，我们可以得到三角形ABC和DEF全等的结论。

除了上述的例子，截长补短法还可以应用于更复杂的情况。

例如，当我们需要证明两个三角形全等时，已知两个角度相等并且其中一条边长相等，我们可以通过截长补短法来构造第二条边，从而得到全等的结果。

截长补短法在几何学中有着广泛的应用。

它不仅可以用来证明三角形的全等，还可以用来解决各种与全等三角形相关的问题。

通过灵活运用截长补短法，我们可以简化证明过程，提高证明的效率。

截长补短法是一种通过截取和补充边长的方法来构造全等三角形的技巧。

通过灵活运用截长补短法，我们可以简化证明过程，提高证明的效率。

在解决几何问题时，我们可以尝试使用截长补短法，从而更好地理解和应用全等三角形的性质。

全等三角形辅助线的做法一：截长补短月日姓名【知识要点】1.遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法.(1)截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；(2)补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段.2.角平分线问题的作法角平分线具有两条性质：(1)对称性，作法是在一侧的长边上截取短边；(2)角平分线上的点到角两边的距离相等，作法是从角平分线上的点向角两边作垂线段.【典型例题】例1. 如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.例2. 已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC.求证：BC=AB+DC.例3. 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD. DCBADAE CB12ACD例4．△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=21BD ，求证：BD 平分∠ABC.例5．已知：△ABC 为等边三角形，AE=BD.求证：EC=DE.【考点突破】1. 如图，AB ∥CD ，AE 、DE 分别平分∠BAD 和∠ADE ，求证：AD=AB+CD.EEEDC2. 已知：CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD.3. 已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC.求证：△ABC是直角三角形. 4．已知：如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DC⊥AC. AEB D CCABAB D C1 2CBA5．已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，求证：BC=AB+AD.6．已知：四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=60°，∠BCD=120°.求证：AC=BC ＋CD.课后作业月 日 姓 名 成 绩1. 如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

全等三角形-截长补短法全等三角形的截长补短法，这可是初中数学里的一个重要“法宝”。

咱先来说说啥是截长补短法。

简单来讲，就是遇到证明线段之间关系的问题时，如果直接证明有困难，那就通过截取或者延长某条线段，让它们凑成新的相等线段，从而达到证明全等三角形的目的。

给大家举个例子啊。

就说有这么一道题，在三角形 ABC 中，AB ＞AC ，AD 是角平分线。

让咱们证明 AB AC ＞ BD DC 。

这时候，咱们就可以用截长补短法。

咱们先截长。

在 AB 上截取 AE ＝ AC ，连接 DE 。

因为 AD 是角平分线，所以角 BAD ＝角 CAD 。

又因为 AD 是公共边，AE ＝ AC ，根据边角边定理，三角形 AED 就全等于三角形 ACD 啦。

这样一来，DC ＝ DE 。

那在三角形 BDE 中，因为 BE ＝ AB AE ，AE ＝ AC ，所以 BE ＝AB AC 。

又因为 BD DE ＜ BE ，而 DE ＝ DC ，所以 BD DC ＜ AB AC ，也就是 AB AC ＞ BD DC 。

再说说补短。

延长 AC 到 F ，使 AF ＝ AB ，连接 DF 。

同样因为AD 是角平分线，所以角 BAD ＝角 CAD 。

还有公共边 AD ，根据边角边定理，三角形 ABD 就全等于三角形 AFD 。

这样 BD ＝ DF 。

在三角形 CDF 中，CF ＝ AF AC ，AF ＝ AB ，所以 CF ＝ AB AC 。

又因为 DF DC ＜ CF ，DF ＝ BD ，所以 BD DC ＜ AB AC ，也就是 AB AC ＞ BD DC 。

还记得我上学那会，刚开始学这截长补短法，那真是一头雾水。

老师在讲台上讲得眉飞色舞，我在下面听得云里雾里。

后来，老师布置了一道作业题，我愣是想了半天也没做出来。

晚上回到家，我坐在台灯下，把教材翻了又翻，笔记看了又看，还是没啥头绪。

我心里那个急啊，感觉自己像个迷路的小羊羔，怎么也找不到走出这片知识迷雾的路。