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习题4-2 （A ）1.比较下列积分大小（1）211e e x x dx dx ⎰⎰和解：利用例2.1的结果，当f(x)不等于0时，因为f(x)≣0,而()baf x dx ⎰是数值，它只有是零和不是零两种可能，设若()baf x dx ⎰=0，则由已证得例2.1结果，在[a,b]上必有f(x)≡0,与f(x)不恒等于0矛盾，所以得出结论：若在[a,b]上，f(x)≣0且f(x)不恒等于0，则()baf x dx ⎰>0.210(e e )x xdx -⎰在[0,1]上e x -2ex≣0且e x -2ex不恒等于0，所以21(e e )x xdx -⎰>0，所以1e xdx ⎰>210e xdx ⎰。
（2）1123x dx x dx ⎰⎰和 解：11123230( )x dx x dx x x dx -=-⎰⎰⎰，因为在[0,1]上x 2-x 3≣0且x 2-x 3不恒等于0，所以111232300( )x dx x dx x x dx -=-⎰⎰⎰>0，所以12x dx ⎰>13x dx ⎰。
（3）222311x dx x dx ⎰⎰和 解：2222323111( )x dx x dx x x dx -=-⎰⎰⎰，因为在[1,2]上x 2-x 3 ≤0且x 2-x 3不恒等于0，所以2222323111( )x dx x dx x x dx -=-⎰⎰⎰<0，所以221x dx ⎰<231x dx ⎰。
（4）2222sin sin x x dx dx xxππ⎰⎰和解：构造函数f(x)= sinx-x,则f ’(x)=cosx-1,在（0，2π] 上单调递减，从而有f(x)= sinx-x <f(0)=0,所以sinx <x,而在（0，2π] 上sinx ,x 都是大于0的，所以sinx/x 在（0，2π] 上小于1，所以在（0，2π] 上sin x x>22sin x x，所以222sin sin x x dx xxπ-⎰（）>0，有20sin x dx xπ⎰>222sin x dx xπ⎰（5）110arctan ln(1)1x x dx dx x++⎰⎰和解：构造函数f(x)=ln(1+x)-arctan 1x x+,在[0,1]上f ’(x)=222arctan (1)(1)(1)xx x x x ++++>0,所以f(x)在[0,1]上是增函数 f(x)>f(0)=0,有10arctan (ln(1))1x x dxx+-+⎰>0，于是1ln(1)x dx +⎰>10arctan 1x dx x+⎰。
北京科技大学2001-2002学年度第二学期高等数学（A ）试题一、填空题（每空3分，共24分）（1）曲面3z e z xy -+=在点()2,1,0处的切平面方程为__________(2) 设3222(,)(1)arctanx f x y x y y x y=++-+，则'(,1)x f x =___________ (3)二次积分212(,)x dx f x y dy -⎰交换积分次序得_____________(4) 设曲线C 为球面2224x y z ++=与平面20x y z ++=的交线，则曲线积分()222C x y z ds ++⎰=____________(5) 设L 为椭圆22134x y +=的逆时针方向，则曲线积分2243Lydx xdy x y -+⎰=___________ (6) 设∑为圆柱面2220x y x +-=界于0z =与1z =之间的部分的外侧。
则对面积的曲面积分()22222x y x y ds ∑+--+⎰⎰=___________; 对坐标的曲面积分()22222xy x y dxdy ∑+--+⎰⎰=__________(7) 设0()00xx f x x ππ--≤≤⎧=⎨<≤⎩，()f x 的傅立叶级数的和函数为()S x 。
则(3)S π=___________二、选择题（每题3分，共12分）（1）(,)f x y 在00(,)x y 点，对x 和对y 的偏导数都存在，则（ ）A.0(,)f x y 在0y y =点连续；B.(,)f x y 在()00,x y 点可微；C.(,)f x y 在()00,x y 点连续；D.(,)f x y 在()00,x y 点有任意方向的方向导数。
(2)二重积分221x y +≤⎰⎰的值等于（ ） A.76π B. 32π C. 65π D. 34π (3)无穷级数111(1)(1cos )n a n n n∞-=--∑，其中01a <<。
高等数学统考试卷（20－2004学年第二学期）参考解答一、1．{}14,7,49±-（漏“一”号扣一分） 2．dy y x xdx y x y 2222+++-3．120()yydy f x y dx -⋅⎰⎰4．275．y ＝0y e kx-二、6．D 7．D 8．C 9．B 10．C三、11．解法1．记 22(,,)(,)F x y z G x yz y xz =++v u x zG x G F +⋅=2 v u y yG zG F 2+= v u z G yG F λ+=x z ∂∂v u u u xG yG zG xG ++-=2， v u v uxG yG xG zG y z ++-=∂∂2 22(2)(2)z zy xz x yz x y ∂∂-+-∂∂[])2)(2()2)(2()(122v u v u v u yG zG yz x zG xG xz y xG yG +-++-+-=[]xy z xG yG z xy xG yG v u v u -=+-+-=22))(4()(1解：将原方程两边同时对x 、y 求导(z=z(x,y))得0)()2(=∂∂++∂∂+x zx z G x z y x G v u （1）()(2)0u v z z G z y G y x y y ∂∂+++=∂∂ （2） 联立（1）、（2）消去G u 、G v 得 22z z z z x y y x z y z x x y y x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0)2()2(22=∂∂-+∂∂-y zyz x x z xy y 12．设三条移长分别为x,y,z ，则长方体表面积为求U=2xy+2zx+2yz ，其中x+y+z=3a方法一：由z z y y x x f f f ϕϕϕ==得111yx x z z y +=+=+ 得x=y=z=a 为所求唯一解故当x=y=z=a 时 u=6a 2为所求条件最大值方法二：作)3(222),,,(z y x a yz zx xy z y x F ---+++=λλ 0)(2=-+=λz y F x 解科x=y=z=a （唯一解）0)(2=-+=λx z F y 2()0z F y x λ=+-= （一般不要求判定）判定法（亦是初等解法）222116(183)(2()666)33a u a u x y z xy yz zx -=-=++--- 2221()()()03x y y z z x ⎡⎤=-+-+-≥⎣⎦ 26a u ≤ 且等号仅当x=y=z=a 时或立，故x=y=z=a 时u 取得条件最大值26u a =13．记}2,2,1{1-=n},,{2}2,2,2{z y x z y x n ==令}2,1,2//{},,{-z y x 即⎩⎨⎧-==y z yx 22代入曲面方程9)2()2(222=-+y y y ＋ 1±=y 所求点为(2,1,-2)或 (-2,-1,2)14．原式=aa a dx ydy -⋅⎰⎰-=⋅⨯=-=a a a a dx x a 22222122ππ15．方法一：（投影法，柱面坐标法） 原式=xy DR d zdz σ⋅⎰⎰ 2223:4R D x y +≤xyDd y x R R R σ⎰⎰--+-=)2(2222⎰⎰⋅-⋅+-⋅=πθ20230222)2(R r d rr R R R d22223122(()243R R R R R r π⎡⎤⎢⎥=⋅-⋅+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦444125)811(32832R R R πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=方法二：截面法，用平行于xoy 平面的平行平面截所给立体域截面积⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-=≤≤-==R z R z R R z z Rz z S D D 2)(20)2()(22221πσπσ原式⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+=RR D xy z D xy R d zdz d zdz 2)(202122σσ⎰⎰-⋅+-=202222)(2)2(2RRR dz z R z dz z Rz z ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=42224316114141222412322R R R R R R R ππ 1252641583641121244⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=R R ππ15．方法：（球面坐标法）作锥面3πϕ=将Ω分为Ω1及Ω2两部分原式⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ+=1222zdv zdv⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅⋅⋅+⋅⋅=302023cos 202220cos sin 2cos sin 2ππππϕπρρρϕϕϕθρρρϕϕϕθRR d d d d d d32445203112sin 22sin cos 42R d ππππϕπϕϕϕ=⋅+⨯⨯⎰44)64161(8241432R R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯--⨯+⋅⨯=ππ441254811632R R ππ=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=17．2()22()2p Q x y u y y x u y y xϕϕ∂∂''=⋅+≡=⋅+∂∂ 故积分与路径无关选L 1：2225=+y x ，从点A(5,0)到B(3,4) y d y x d x=-⎰⎰⎰+--+==ABL xdx x dx x x 1]2)5([]25)5([352ϕϕ⎰---=-=35332]35[)53(25)325(dx x 48=亦可改选L 2折线A(5,0), C(3,0), B(3,4)34225()((9)6)ABACCBx x dx y y y dy ϕϕ=+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=++=92525942483)(21)(21y dv v du u ϕϕ )9,(22y v x u +==18．作辅助0:1=∑z原式＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑)()()(11上下上＋＋＋⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑+∑∑Ω+-+-+-+=外上＝)()(222222110)666(dv x z z y y x⎰⎰⎰Ω++=dv z y x )(5222⎰⎰⎰⋅⋅⋅⋅=ππρρρϕϕθ20222s i n5Rd d d 552002)2R Rπρπϕπ=⋅-18．⎰⎰⎰⎰-⋅⋅=--=20cos 0222222πθθσrdr r R d d y x R V R Dxy223/2c o s20012()|3R R r d πθθ=⋅--⎰ ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅=2033332232)s i n 1(32ππθθR d R19．1111)21(|)(||)(|1⨯=⨯++=∞→+∞→βn u im l x u x u im l n nn n当|x|<|原级数绝对收敛，当|x|>|原级数发散当x=1 β)1(1)(+=n x U n 当β＞1时原级数收敛 当1≤β时原级数发散当x=－1 (1)(1)(1)n n U n β--=+当β＞1时原级数绝对收敛 当0＜1≤β时原级数条件收敛 当0≤β原级数发散20．记0!>=n n n n b11()nn n n n b n l im l im e b n →∞→∞++==故R ＝e当e x <-=|23|||1 幂级数绝对收敛当e x >=32 幂级数发散 21．222'(1)2x x y y xe ++⨯=解：标准化(*)1122222x e x x y x x dx dy +=++ 方法一：先解0122=++y x x dx dy 求得211x ccy y +== 改设)()(1x y x u y = 代入方程（*） 2222111)(x e x xx x u +=+⋅' 22)(x xe x u ='c eu x +=22故得：222112xex c y x +++= 方法二：212)(x xx p += 22()1xp x dx dx x --=+⎰⎰221ln(1)ln 1x x =-+=+211xe p d x+=⎰- ()21p x dx e x ⎰=+ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅++⎰=⎰-dx x e x x c e y x pdx )1(12222)(11222x e c x++= 方法三：原方程为222])1[(x xe y x ='+ c e y x x +=+222)1(2212xec y x ++=22．先解065=+'-''Y Y Y 由0652=+-r r得3,221==r r故知2312x x Y C e C e =+再求 ax ae y y y =+'-''65的特解，*y当32≠≠a a ，，ax ax e a a aAe y 65*2+-== 通解为ax x x e a a ae c e c y 6523221+-++= 当a=2，x x x e e xe A y 22225222*⨯-=-⨯=⨯=通解x x x e e c e c y 232212⨯-+=当a=3 x x x e e xe A y 33335323*⨯=-⨯=⨯= 通解233123x x x y c e c e xe =++。
北京科技大学 200 7 — 200 8 学年度第 二 学期《高等数学》 试题(模拟卷)一、 填空 (每小题 3 分，共 15 分)1.曲面 x 2 +2y 2 +3z 2 = 21在(1，2，2)处的切平面方程为x +4y +6z −21=02. Ω：≤ z ≤ ， f (x ， y ， z )在Ω上连续∫∫∫f (x ， y ， z ） dv 化为球面坐标系下的三次积分为Ωπd θd ϕ∫ f (r sin ϕcos θ， r sin ϕsin θ，r cos ϕ)r 2 sin ϕdr3. u =x 2−2xy 3+5y 2z4. z = x 2f 2(x ， )， x在(1， 0， 1)的梯度是 (2， 0， 0) f 可微， 则∂z= 2xf +2x 2f 1−y 2f 25. 微分方程 xy ′ = 1( − x 2 )y 的通解是二、 选择 (每小题 3 分，共 15 分)− x 2y = Cxe 21. (− 1)n sin 1 ，(A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 不能判别敛散性2. 级数∑a n 发散， ∑ b n 发散，则 ∑(a n + b n ) ( B )n =1 n =1 n =1(A) 一定条件收敛 (B) (C) 一定发散 (D) 3. y "+4y '+3y =xe −x 的特解形式为可能收敛 一定绝对收敛( A )y ∂x2∞ ∞ ∞n =1 n + 1 则sin(B )(A) y*=(ax+b)xe−x(B) y*=ax2e−x(C) y*=(ax+b)e−x(D) y*=axe−x4. z= 2xy− 3x2 − 2y2 在(0，0) ( A )(A)取得极大值(B)取得极小值(C)无极值(D)不能判定是否取得极值。
5. L：y= x2，x: −1→ 1 ，则xy2dx+ 5xydy的值为( D )(A) 0 (B) 2 (C) −4 (D) 4三、计算(共70分)11.(6 分)计算dxdy，D：x = y2 和y = x围成的闭区域。
北京科技大学2004 — 2005学年度第二学期高等数学（A 卷） 试题 （时间120分钟）学院 考场 班级 学号 姓名一、填空 (每小题3分，共15分)1．设函数22y x z +=，则函数在点)1,1(处的梯度为 j i 22+ 2. 将三次积分)0(),sin ,cos (002022>⎰⎰⎰-a dz z r r f rdr d ar a θθθπ化为球面坐标系下的三次积分(函数),,(z y x f 在已知区域上连续)dr r r r r f d d aφφφθφθφθππsin )cos ,sin sin ,sin cos (22020⋅⎰⎰⎰3. 曲面12-=+z ye x x 在点(0,1,-1)处的切平面与xoy 平面的夹角为a r c =ψ4. 光滑曲面),(y x f z =在坐标平面xoy 的投影区域为D ，那么该曲面的面积可以用二重积分表示为d x d y Z Z Dy x ⎰⎰++2215. 设级数∑∞=+-11)(n n n a a 收敛，且和为s ，则n n a ∞→lims a -1 二、选择 (每小题3分，共15分) 1. 已知函数22),(y x y x y x f -=-+，则=∂∂+∂∂yy x f x y x f ),(),( ( C ) （A ） y x 22-； (B) y x 22+； (C) y x +； (C) y x -2. 设常数k>0, 则级数∑∞=+-12)()1(n n n n k 是 (C ) (A) 发散； (B) 绝对收敛； (C) 条件收敛； (D) 发散与收敛与k 的取值无关3. 微分方程02'=-y xy 的通解是 ( B )(A) Cx y =； (B) 2Cx y =； (C) 3Cx y =； (D) 4Cx y = 4. 二元函数33)(3y x y x z --+=的极大值点是 ( A )(A)（1，1）； (B)（1，-1）； (C)（-1，1）； (D)（-1，-1） 5. 若L 是上半椭圆⎩⎨⎧==tb y ta x sin cos ，取顺时针方向，则⎰-L xdy ydx 的值为 (C )(A) 0 ; (B) 2abπ; (C) ab π; (D) ab π-三、计算 (共70分)1．（6分）设)(x y 是04=+'+''y y y 的解，2)0(,41)0(='=y y计算dx x y AA ⎰∞→0)(lim解：特征方程21,2441002r r r -±++=⇒=< )(0)(2121+∞→→+=x e C e C x y x r x r （3分）)(0)(212211'+∞→→+=x e r C e r C x y x r x r32414)()(4)4()(lim0'00'''0=+⨯=--=--=∞+∞++∞+∞→⎰⎰x y x y dx y y dx x y AA （6分） (先求通解，定出常数，再进行积分也可以) 2．（8分）计算二次积分dy e dx x y ⎰⎰-1102解：211100110222-----===⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dx dy edxdy e dy e dx Dyy y x y3．（6分）在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族)0(sin >=a x a y 中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 的积分dy y x dx y L )2()1(3+++⎰的值最小. 解：344]cos )sin 2()sin 1[()(333a a dx x a x a x x a a f +-=+++=⎰ππ（4分）1,044)(2'==+-=a a a f 唯一驻点，所以 ： 所求曲线x y L sin :=使38)1(-=πf 为最小。
