导数基础
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1．导数的概念
(1)定义．
如果函数y＝f(x)的自变量x在x0处有增量Δx，那么函数y相应地有增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，比值ΔyΔx就叫函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，即ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.如果当Δx→0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y＝f(x)在点x0处 ，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作 或y ′0|xx，即f ′(x0)＝0limx ΔyΔx＝0limx f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.
(2)导函数．
当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f ′(x)＝y ′＝0limx f（x＋Δx）－f（x）Δx.
(3)求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法．
①求函数的增量Δy＝ ；
②求平均变化率ΔyΔx＝ ；
③取极限，得导数f ′(x0)＝0limx ΔyΔx.
2．导数的意义
(1)几何意义．
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 ．相应的切线方程为 ．
(2)物理意义．
函数S＝s(t)在点t0处的导数s′(t0), 就是当物体的运动方程为S＝s(t)时，物体运动在t0时刻的瞬时速度v，即 ．设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t＝t0时刻的 ．
3．基本初等函数的导数公式
(1)c′＝ (c为常数)，(xα)′＝ (α∈Q*)；
(2)(sinx)′＝___________，
(cosx)′＝___________；
(3)(lnx)′＝ ，
(logax)′＝_________________；
(4)(ex)′＝____________，(ax)′＝__________．
4．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__________________．
(2)[f(x)g(x)]′＝____________________； 当g(x)＝c(c为常数)时，即[cf(x)]′＝_____________．
(3)f（x）g（x）′＝_________(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为______________．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
函数f(x)＝1的导函数是( )
A．y＝0 B．y＝1
C．不存在 D．不确定
函数f(x)＝a3＋5a2x2的导数f′(x)＝( )
A．3a2＋10ax2 B．3a2＋10ax2＋10a2x
C．10a2x D．以上都不对
曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线斜率为( )
A．1 B．2 C．e D．1e
曲线y＝x3－x＋3在点(1，3)处的切线方程为________________．
物体的运动方程是s＝－13t3＋2t2－5，则物体在t＝3时的瞬时速度为．
类型一 导数的概念
设f(x)为可导函数，当x趋近于0时，f（1）－f（1－2x）2x趋近于－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1 C．1 D．－2
已知f′(0)＝2，则h趋近于0时，f（3h）－f（0）h趋近于____________．
类型二 导数的几何意义
已知曲线y＝13x3＋43．
(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程； (2)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；
(3)求曲线过点P(2，4)的切线方程．
已知函数f(x)＝x3＋x－16．
(1)求满足斜率为4的曲线的切线方程；
(2)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(3)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程．
类型三 求导运算
求下列函数的导数：
(1)y＝5x2－4x＋1；
(2)y＝(2x2－1)(3x＋1)；
(3)y＝sin(πx＋φ)(其中φ为常数)；
(4)y＝x＋3x＋2(x≠－2)．
求下列函数的导数：
(1)y＝(x＋1)(x＋2)；
(2)y＝xex－1(x≠0)；
(3)y＝cos2x；
(4)y＝lnx＋3x＋1(x＞－1)．
1．函数f(x)＝x3＋sin2x的导数f′(x)＝( )
A．x2＋cos2x B．3x2＋cos2x
C．x2＋2cos2x D．3x2＋2cos2x
2．已知f(x)＝(x－2)(x－3)，则f′(2)的值为( )
A．0 B．－1
C．－2 D．－3
3．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1，0)
4．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
5．曲线y＝x3＋x－2的一条切线平行于直线y＝4x－1，则切点P0的坐标是________________．
6．已知点P在曲线y＝4ex＋1上，则曲线在点(0，f(0))处的切线的斜率是________． 7．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________．
8．求函数f(x)＝x3－4x＋4图象上斜率为－1的切线的方程．
9．设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a，b为常数．已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2，0)处有相同的切线l，求a，b的值，并写出切线l的方程．
10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x2．
(1)求x＜0时， f(x)的表达式；
(2)令g(x)＝lnx，问是否存在x0，使得f(x)，g(x)在x＝x0处的切线互相平行？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．
11.已知函数f(x)＝x－1＋aex(a∈R，e为自然对数的底数).
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程.
