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对数与对数知识点在数学的广袤天地中，对数是一个非常重要的概念。
它不仅在数学理论中有着关键地位，还在实际应用中发挥着巨大作用。
接下来，就让我们一起深入了解对数的世界。
首先，我们来弄清楚什么是对数。
简单来说，对数是一种数学运算，表示要得到一个数，需要将某个固定的数（称为底数）乘多少次才能得到这个数。
例如，如果以 10 为底数，要得到 100，因为 10 的 2 次方等于 100，所以 100 以 10 为底的对数就是 2。
那为什么要引入对数呢？这是因为在很多数学和科学问题中，直接处理指数形式的数可能会很复杂，而通过对数可以将乘除运算转化为加减运算，大大简化了计算。
想象一下，如果要计算一个非常大的数的幂次方，直接计算可能会非常困难，但通过对数，就能够将问题变得相对简单。
对数有一些基本的性质和公式，这是我们理解和运用对数的关键。
其中一个重要的性质是：对数的底数不变，真数相乘，对数相加；真数相除，对数相减。
例如，以 a 为底数，m 和 n 为真数，那么logₐ(mn) ＝logₐ(m) ＋logₐ(n)，logₐ(m ／ n) ＝logₐ(m) logₐ(n)。
还有对数恒等式：a^（logₐN) ＝ N。
这个恒等式在解决很多对数相关的方程和问题时非常有用。
再来说说常用对数和自然对数。
常用对数是以 10 为底数的对数，通常简记为 lg。
在日常生活和许多科学计算中，常用对数经常出现。
例如，在表示声音的强度、地震的震级等方面，常用对数都有应用。
自然对数是以无理数 e（约等于 271828）为底数的对数，通常简记为ln。
在微积分、概率论等高等数学领域，自然对数有着广泛的应用。
对数函数也是一个重要的概念。
对数函数是指形如 y ＝logₐx（a ＞0 且a ≠ 1）的函数。
它的定义域是 x ＞ 0，值域是全体实数。
对数函数的图像有着独特的性质。
当底数 a ＞ 1 时，函数单调递增；当 0 ＜ a＜ 1 时，函数单调递减。
对数与对数函数什么是对数？对数是数学中的一个重要概念，在许多领域中都得到了广泛的应用。
对数的概念最早由苏格兰数学家约翰·纳皮尔斯·纳皮尔斯发现并提出。
对数可以帮助我们解决许多数学问题，特别是在指数运算中起到了重要的作用。
在数学中，对数是指一个数与某个给定的正数之间的关系。
具体来说，如果a^x = b，那么x就是以a为底数的对数。
用符号表示就是log_a(b) = x。
在这里，a被称为底数，b被称为真数，x被称为对数。
对数的性质对数具有一些重要的性质，这些性质使得对数在数学中得到了广泛的应用。
1.对数的底数不能为0或1：对数的底数不能为0或1，这是因为0没有正数的幂，而1的任何幂都等于1。
因此，对数函数的底数通常选择大于1的正数。
2.对数的特殊性质：log_a(1) = 0，对数的底数为多少，对应的对数值就是多少。
3.对数的运算律：对数具有一系列的运算律，如log_a(mn) = log_a(m) +log_a(n)，log_a(m/n) = log_a(m) - log_a(n)，log_a(m^k) = klog_a(m)等。
对数函数及其图像对数函数是指以对数为自变量的函数。
对数函数的基本形式是y = log_a(x)，其中a为底数，x为真数，y为对数值。
对数函数的图像呈现出一些特点。
当底数a大于1时，对数函数的图像逐渐向右上方倾斜；当底数a在0和1之间时，图像逐渐向右下方倾斜。
对数函数的图像会经过点(1, 0)，并且与x轴和y轴相交。
对数函数的应用对数函数在许多领域中都有广泛的应用，下面我们来介绍一些常见的应用。
1. 倍数增长问题在经济学中，对数函数可以用来描述某个指标的倍数增长。
例如，GDP的增长通常是以指数形式增长的，我们可以用对数函数来表示这种增长。
通过对数函数，我们可以方便地比较不同时间段的经济增长率。
2. 计算器的对数函数对数函数在计算器上得到了广泛的应用。
计算器上的对数函数通常以10为底，可以方便地计算一个数的对数值。
对数对数函数知识点对数函数是指以对数为变量的函数。
在数学中，对数函数常用于解决指数方程和指数不等式的问题。
了解对数函数的性质和应用十分重要。
以下将介绍对数函数的定义、性质以及常用的应用方面的知识。
一、对数函数的定义：对数函数的定义如下：对于任意正实数a>0且a≠1，以a为底的对数函数（logarithmic function）是指一个函数f(x)，它满足以下条件：f(a)=1,f(a^x)=x,这里，a被称为对数函数的底数，x被称为实数a的对数。
常用的对数函数有自然对数函数(ln x,以e为底)和常用对数函数(log x,以10为底)。
二、对数函数的性质：对数函数具有以下性质：1.对数函数的定义域为正实数集合R+，值域为实数集合R。
即对数函数的自变量必须为正数，而因变量可以是任意实数。
2.对数函数的图像：（1）以10为底的对数函数的图像是一条连续递增的曲线，通过点（1，0）。
（2）以e为底的自然对数函数的图像是一条连续递增的曲线，通过点（1，0）。
3.对数函数的反函数：对数函数的反函数为指数函数，即指数函数f(x) = a^x是对数函数f(x) = loga(x)的反函数。
4.对数函数的性质：（1）loga(mn) = loga(m) + loga(n)：对数函数的乘法性质。
（2）loga(m/n) = loga(m) - loga(n)：对数函数的除法性质。
（3）loga(m^k) = k∙loga(m)：对数函数的幂性质。
三、常用的对数函数应用：对数函数在数学和其他科学领域中有广泛的应用。
以下是对数函数的一些常见应用：1.解指数方程和指数不等式：对数函数可以通过将指数方程或指数不等式转化为对数方程或对数不等式来解决复杂的指数问题。
2.模型和估计：对数函数可以用于建立各种类型的数学模型，例如经济学、生物学和物理学等领域中的增长模型和衰减模型。
对数函数还可以用于对大量数据进行估计和预测。
3.数据缩放：对数函数可以在可视化数据时使用，帮助将大范围的数值缩小到较小的比例，以便更好地观察数据之间的关系。
第十二讲对数与对数函数一、知识要点1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . 指数式与对数式的关系：a b =N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （2）对数运算性质:（M 、N 、a 、b 都是正数，a ≠1，b ≠1）2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. （2）对数函数的图象Oxyy= log x a> Oxy<a<ay= log x a 11110( ( ))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.二、典型例题例1、比较下列各组数的大小：（1）;3log 3.0log 212与 （2）3log 2log 23与例2、选择题：若03log 3log <<n m 则m 、n 满足的条件是（ ） A 、m>n>1 B 、n>m>1 C 、0<m<n<1 D 、0<n<m<1例3 、函数)352(log 221++-=x x y 在什么区间上是增函数？在什么区间上是减函数？例4 求下列函数的值域：（1）)23(log 22x x y -+=；（2）3log 32log23+-=x x y 。
例5已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 例6.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x例7.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则 A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.b ＜a ＜c D.c ＜a ＜b例8已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为A.31 B.61 C.121 D.241例9求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.已知y =log 21［a 2x +2（ab ）x －b 2x +1］（a 、b ∈R +），如何求使y 为负值的x 的取值范围?例10 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.例11已知函数]45)2()2lg[(2++++=x k x k y 的定义域为R ，求实数k 的取值范围。
例12判断函数)10(11log ≠>+-=a a xxy a且的奇偶性。
例13求x 取何值时，)25(log 3-x x 的值为正值。
例14根据a 的取值情况x 的取值范围，使得22log )3(log x x a a >+。
例15当x 为何值时，9log 3log 33xx y ⋅=有最小值，最小值为什么？ 例16解方程)62(l o g )96(l o g 222-=+-x x x 例17解方程：1、)12(log )1(log )3(log )3(log 25.0425.04++-=++-x x x x2、x x x 10lg2=3、01lg 21lg 222=--x x 4、1log 325log 225=-x x 5、227log 9log 33=⋅xx 例18求下列各式中的实数x ： （1）若41log 36=x ，则x=______________；（2）若1)23(log -=+x ，则x=___________。
例19计算（1）8log 4 （2）22)23(9)23(4log 3log 2+-+（3）14log 501log 2log 235log 55215--+ （4）3log 6log 4log 261836+ （5）215515)3(log 15log 45log + （6）5lg 2lg 25lg 2lg 22⋅⋅++（7）2.1lg 3.0lg 1000lg 8lg 27(lg 19lg 3lg 2⋅-++-例20已知175log ,65log ,37log 8133求==a 的值。
2、已知135log ,5log 8115求m =的值。
例21证明：（1）c c c c abc b a b a log log log log log +⋅=；（2）b cca ab a log 1log log +=三、高考点击试题1方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.2已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数y =g （x ）的图象，若2 f－1（x +m－3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.3在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是 A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x四、练习题1、比较下列各对数大小（1）22log _______12log 33⋅⋅；（2）2.0log ______3.0log 21212、利用对数函数的性质，判断下各对数哪个大于1，等于1，还是小于1？ （1）1______52log 21；（2）1_______5log 8 （3）1______14.3log π；（4）1______30cos log 02π3、利用对数函数的性质，比较下列各对数的大小。
（1）3log ______4log 73；（2）21log _____21lg2；（3）31log _____31log 212；（4）71log ____71log 2110。
4、（1）函数)12(21log2+-=x x y 的单调增区间是______________，值域是______________。
（2）若5l o g )(l o g )(241241+-=x x x f 的定义域为}086{2≤+-x x x ，那么它的最大值是__________。
5、（1）如图分别是四个函数①x y a log =②x y b log =③x y c log =④x y d log =的图像，那么a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）A 、d>c>b>aB 、a>b>c>dC 、b>a>d>cD 、b>c>a>d （2）“ x=y ”是“y x 22log log =”成立的（ ） A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充分必要条件 D 、非充分非必要条件 6、求下列函数的定义域 （1）)35lg(lg x x y -+=（2）)3(log )1(x y x -=-7、求下列函数的定义域和值域 （1）22321logx x y --= （2）xy lg 11-=8、 若15log -=x，则x=____________，若2log 28=x ，则x=_______________。
若213log ,log 2==x x y ,则x=_____________，y=_____________。
9、解不等式：（1）0)231(log 22>-+x x （2）x x 42log )1(log >-10、（1）设不等式09log 9)(log 221221≤++x x 的解集是M ，当M x ∈时，函数8log 2log 22xx y ⋅= 的最大值与最小值。
（2）求函数)42(5log )(log 241241≤≤+-=x x x y 的值域。
11、计算（1）4log3log 8log 2914-- （2）51log 3log 2151527log 8-+ （3）21log 3313335)51(2log 23log 8log 31)2log 1(4log 21-++-⋅⋅（4）8lg 20lg 2lg 5lg )3(25.0log)81(221lg 232---+++-π（5）9log 8log 7log 6log 5log 4log 876543⋅⋅⋅⋅⋅ 6）8.1lg 1000lg 27lg 8lg -+12、求 1、设3152551518log 2log ,3log求n ，m ==的值。
2、已知8log 112log 627求，a =的值。
13、1、已知△ABC 中，∠C=900，三条边长分别为a 、b 、c 。
求证：a a a a b c c b b c c b )()()()(log log 2log log -+-+⋅=+ 2、已知：正数m 、n 满足m 2+n 2=7mn ，求证：)00)(log (log 213log ≠>+=+a a n m n m a a a且 14、 求下列各式中的实数x ： （1）若15log -=x，则x=____________，若2log 28=x ，则x=_______________。
（2）若213log ,log 2==x x y ,则x=_____________，y=_____________。
