广东省深圳市高级中学2018-2019学年高二数学上学期期末考试试卷文【经典版】.doc

广东省深圳市高级中学2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题理本试卷由两部分组成。

第一部分：高二数学第一学期期中前的基础知识和能力考查，共57 分； 选择题包含第1 题、第3 题、第 6题、第7 题、第 8题，共25 分。

填空题包含第 13题、第 14题，共10分。

解答题包含第17 题、第18 题，共22分。

第二部分：高二数学第一学期期中后的基础知识和能力考查，共93 分。

选择题包含第 2题、第4题、第 5题、第9 题、第10 题、第11 题，第12 题，共35 分。

填空题包含第 15题,第 16题，共10 分。

解答题包含第 19题、第20 题、第21 题、第22 题，共48 分。

全卷共计150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z ＝+2i ，则|z|＝（ ）A ．B ．2C ．D ．12．已知命题p ：∀x≥0，x≥sinx，则⌝p 为（ ） A ．∀x ＜0，x ＜sinx B ．∀x≥0，x ＜sinx C ．∃x 0＜0，x 0＜sinx 0D ．∃x 0≥0，x 0＜sinx 03．设a ＝50.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 50.4，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c＜a4．若函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则（ ） A ．函数()f x 有1个极大值，2个极小值 B ．函数()f x 有2个极大值，2个极小值 C ．函数()f x 有3个极大值，1个极小值D ．函数()f x 有4个极大值，1个极小值5．近几年来，在欧美等国家流行一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：①9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1，2，3，…，9这9个数字填满整个格子，且每个格子只能填一个数；②每一行与每一列以及每个小九宫格里分别都有1，2，3，…9的所有数字．根据图中已填入的数字，可以判断A 处填入的数字是（ ） A ．1 B ．2 C ．8 D ．96．已知实数x ，y 满足约束条件20100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．1B ．52-C ．2-D ．1- 7．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图，为了得到()2cos 2g x x =的图象，可以将f （x ）的图象（ ） A ．向右平移个单位 B ．向左平移个单位 C ．向右平移个单位 D ．向左平移个单位8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若711a =，则13S ＝（ ）A ．66B ．99C ．110D ．1439．已知函数()sin f x x x =，则()7f π，(1)f -，()3f π-的大小关系为（ ）A ．()(1)()37f f f ππ->-> B ．(1)()()37f f f ππ->->C ．()(1)()73f f f ππ>->-D ．()()(1)73f f f ππ>->-10．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝4，AB ＝2，CC 1＝2，E ，F 分别为AC ，CC 1的中点，则直线EF 与平面AA 1B 1B 所成的角是（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11．设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且在第二象限与C 的交点为P ，O 为原点，若|OP|＝|OF|，则C 的离心率为（ ）A ．54B ．5C ．53D ．5 12．设函数f （x ）在R 上存在导数()f x '，对任意x∈R，有()()0f x f x --=，且x ∈[0，+∞）时()f x '＞2x ，若(2)()44f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，1] B ．[1，+∞） C ．（﹣∞，2] D ．[2，+∞）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

深圳高级中学2018--2019学年第一学期期末考试高二数学（理科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z ＝+2i ，则|z|＝（ ）A ．B ．2C ．D ．12．已知命题p ：∀x≥0，x≥sinx ，则⌝p 为（ ） A ．∀x ＜0，x ＜sinx B ．∀x≥0，x ＜sinx C ．∃x 0＜0，x 0＜sinx 0D ．∃x 0≥0，x 0＜sinx 03．设a ＝50.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 50.4，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c＜a4．若函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则（ ） A ．函数()f x 有1个极大值，2个极小值B ．函数()f x 有2个极大值，2个极小值C ．函数()f x 有3个极大值，1个极小值D ．函数()f x 有4个极大值，1个极小值5．近几年来，在欧美等国家流行一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：①9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1，2，3，…，9这9个数字填满整个格子，且每个格子只能填一个数；②每一行与每一列以及每个小九宫格里分别都有1，2，3，…9的所有数字．根据图中已填入的数字，可以判断A 处填入的数字是（ ） A ．1 B ．2 C ．8 D ．96．已知实数x ，y 满足约束条件20100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．1B ．52-C ．2-D ．1-7．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图，为了得到()2cos 2g x x =的图象，可以将f （x ）的图象（ ） A ．向右平移个单位 B ．向左平移个单位 C ．向右平移个单位 D ．向左平移个单位8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若711a =，则13S ＝（ ）A ．66B ．99C ．110D ．1439．已知函数()sin f x x x =，则()7f π，(1)f -，()3f π-的大小关系为（ ）A ．()(1)()37f f f ππ->-> B ．(1)()()37f f f ππ->->C ．()(1)()73f f f ππ>->-D ．()()(1)73f f f ππ>->-10．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝4，AB ＝2，CC 1＝2，E ，F 分别为AC ，CC 1的中点，则直线EF 与平面AA 1B 1B 所成的角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11．设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且在第二象限与C 的交点为P ，O 为原点，若|OP|＝|OF|，则C 的离心率为（ ） A ．54B ．5C ．53D ．512．设函数f （x ）在R 上存在导数()f x '，对任意x ∈R ，有()()0f x f x --=，且x ∈[0，+∞）时()f x '＞2x ，若(2)()44f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，1] B ．[1，+∞） C ．（﹣∞，2] D ．[2，+∞）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省深圳市高级中学2019年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知数列的前项和为，且，，可归纳猜想出的表达式为（）A．B．C．D．参考答案：A略2. 命题“二次方程有两个不等的实数根”的推理形式是（）A .三段论推理B .完全归纳推理C . 传递推理D .合情推理参考答案：A略3. 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB= ( )A． B． C． D．参考答案：B4. 在△ABC中，若，，B=120°，则a等于（）A．B．2 C．D．参考答案：D【考点】余弦定理．【分析】由余弦定理可得 b2=a2+c2﹣2ac?cosB，即 6=a2+2﹣2a?（﹣），由此求得b 的值．【解答】解：在△ABC中，若，，B=120°，则由余弦定理可得 b2=a2+c2﹣2ac?cosB，即 6=a2+2﹣2a?（﹣），解得 a=，或a=﹣2（舍去），故选：D．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于中档题．5. 若数列满足，，则称数列为“梦想数列”。

已知正项数列为“梦想数列”，且，则的最小值是（）A．2 B．4 C．6D．8参考答案：B6. 直线和圆O：的位置关系是( )A．相离B．相切C．相交不过圆心D．相交过圆心参考答案：A7. 等差数列的前项和为，若则的值为A． B．50 C．55 D．110参考答案：C8. 过两点的直线的倾斜角为45°，则y=（）A．B．C．－1 D．1参考答案：C由题意知直线AB的斜率为，所以，解得．选C．9. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得对的回归直线方程是0.7+0.35，则表中的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.5ks5u参考答案：A10. 在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A．7 B．15 C．20D．25参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 口袋内有一些大小相同的红球，白球和黑球，从中任摸一球摸出红球的概率是0.3，摸出黑球的概率是0.5，那么摸出白球的概率是．参考答案：0.2【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】从中任摸一球摸出红球、从中任摸一球摸出黑球、从中任摸一球摸出白球，这三个事件是彼此互斥事件，再根据它们的概率之和等于1，求得摸出白球的概率．【解答】解：从中任摸一球摸出红球、从中任摸一球摸出黑球、从中任摸一球摸出白球，这三个事件是彼此互斥事件，它们的概率之和等于1，故从中任摸一球摸出白球的概率为 1﹣0.3﹣0.5=0.2，故答案为：0.2．12. 不等式≧0的解集为___________.参考答案：由题意得，所以解集为，填。

2018-2019学年广东省深圳市宝安区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分•在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.）1. （5分）下列说法正确的是（）A • “ —X , y ■ R，若x ■ y =0，贝H x = 1 且y = _1 ”是真命题B .在同一坐标系中，函数y = f（「x）与y = f（1-x）的图象关于y轴对称C.命题“ x • R, 使得x22x • 3 ：：：0 ”的否定是“ -x • R，都有x2 2x 3 ■ 0 ”“ 1D . a R，“—d a”是“ a 1”的充分不必要条件2. （5分）已知双曲线x2x2C1:- -y2=1与双曲线C2：y2—1，给出下列说法，其中错误的是（）A .它们的焦距相等B .它们的焦点在同一个圆上C .它们的渐近线方程相同D .它们的离心率相等23. （5分）在等比数列｛%｝中，“ a4, %是方程x • 3x7=0的两根”是“ a*二1 ”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4. （5 分）在ABC 中，已知/C , BC =a , AC =b，且a ,b 是方程x —13x • 40 = 0 的3两根，则AB的长度为（）C. 65. （5分）在R上定义运算a探b =（a 1）b，若存在x • [1 , 2]使不等式（m-x）探（m x） :: 4 ,成立，则实数m的取值范围为（）A. （-3,2） B . （-1,2） C . （ -2,2） D . （1,2）2 2 4 16.（5分）已知直线ax by c 0（b、c - 0）经过圆x y -2y-5 = 0的圆心，贝U 的b c最小值是（）A . 9B . 8C . 4D . 227. （5分）A , B , C是ABC的内角，其中B ，则sin A • sinC的取值范围（）3A .(召)C .谆，1）(亍2)& （ 5分）函数 x f (x) =e cosx 的图象在点 （0 , f （0））处的切线的倾斜角为 C . 4 2 2 9. (5 分)已知两圆 G ：(x —4) y =1692 2,C 2: （x 4） y =9 ,动圆在圆C 1内部且和圆C 1 2 x 2y_2 x 2 x “ A =1 B . +— 648 48 642 22 2C . x y =1D . x —1 48 64 64 48 10. （ 5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题: 相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为（ ） “远望巍巍塔七层，红光点点倍 加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7层塔共挂了 381盏灯，且 相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯（ ） 二、填空题（本大题共 4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.） 11. （ 5分）《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题: “今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗•问：五人各得几何？”其意思为“有 5个人分60个橘子，他 们分得的橘子数成公差为 3的等差数列，问5人各得多少橘子. ”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是12. （5分）如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点 C与D •现测得.BCD =75 , . BDC =45 , CD =50 2米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 二 _____米. 13. （5分）已知数列 佝｝的通项公式为 a n二行云，n为奇数 n - 7, n 为偶数,则数列｛a n ｝前15项和为S s2的值为 ___ .14. ________________________ (5分)过抛物线y =4x 焦点的直线交抛物线于 A 、B 两点，若|AB|=10，则AB 的中 点P 到y 轴的距离等于 .三、解答题(本大题共6小题，满分80分•解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.)x 一 y 1・・015. (12分)已知实数x , y 满足 x ・y-5, 0，记点(x, y)所对应的平面区域为 D .x 5y _5・・0(1) 在平面直角坐标系 xOy 中画出区域D (用阴影部分标出)，并求区域D 的面积S ; (2) 试判断点(4,3)是否在区域D 内，并说明理由.56 _ 5 4 3 - 2 -1 -I II丨I1 II,-2 -11 2 3 4 5 6 X■1 1_ _ 216. （12 分）已知函数 f （x ） =x ax —b （a,b ：=R ）. (1 )若b =-1，且函数f (x)有零点，求实数a 的取值范围; (2)当b =1_a 时，解关于x 的不等式f(x), 0 ;4(3)若正数a , b 满足a •-, 3，且对于任意的 [1，•: ：) , f(x)・・・0恒成立，求实数 a ,b b 的值.a 217. (14 分) ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，已知.：ABC 的面积为 3sin A(1 )求 sin Bsin C ;(2 )若 6cos BcosC =1 , a =3，求.：ABC 的周长. . 2118. (14分)已知各项都是正数的数列佝｝的前n 项和为S n , & =务，—％ , n N* .2(1 )求数列｛a n ｝的通项公式；21(2)设数列｛b n｝满足：b =1, bn-b n4=2a n(n…2)，数列｛—｝的前n项和T n .求证：T n <2 .b n(3 )若T n, (n 4)对任意n，N*恒成立，求■的取值范围.3 2 219. (14 分)已知函数 f (x) =ax 3x -6ax -11 , g(x) =3x 6x 12 ,和直线 m : y = kx 9 , 又 f (_1) =0 . (1) 求 a 的值；(2) 是否存在k 的值，使直线 m 既是曲线y = f(x)的切线，又是曲线 y =g(x)的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.(I) 求椭圆C 的方程;(H) 若P , Q 是椭圆C 上的两个动点，且使.PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.2018-2019学年广东省深圳市宝安区高二（上）期末数学 试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10小题，每小题 5分，满分50分•在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1. （ 5分）下列说法正确的是 （）A . “ -x , y 三R ，若x • y = 0，贝U x 严1且y = -1 ”是真命题B .在同一坐标系中，函数 y = f （「x ）与y = f （1-x ）的图象关于y 轴对称C .命题“ x ・R ，使得x 2 • 2x 3：:0 ”的否定是“R ，都有x 2 2x 3 ■ 0 ”1D . a • R ，“ 一 ：：：1 ”是“ a 1 ”的充分不必要条件a【解答】解：对于A , “ -x , y R ，若x • y = 0 ,则x =1且y = _1 ”是假命题， 它的逆否命题“ -x , y R ，若x =1或y = -1，则x • y = 0 ”是假命题，.A 错误； 对于B ，同一坐标系中，点（x, y ）在函数y = f （1 • x ）的图象上， 则（_x,y ）在y = f （1 —x ）的图象上，.函数y =f （1，x ）与y =f （1-x ）的图象关于y 轴对称，B 正确； 对于C ，命题“ x • R ，使得x 2 2x0 ”的否定是“ V x ^R ，都有 x 2 +2x+3・・O ”， C 错误；20. (14分)已知椭圆x yC:二 2=1(a .b 0)的离心率为a b-il ，且过点 2A(2,1).1对于D，当一叮时，a ：：：0或a 1，充分性不成立；a1a 1时，1，必要性成立，是必要不充分条件；D错误.a故选：B .x2x22. （5分）已知双曲线G：y2=1与双曲线C2： y2二―1，给出下列说法，其中错误2 2的是（）A .它们的焦距相等B .它们的焦点在同一个圆上C .它们的渐近线方程相同D .它们的离心率相等【解答】解：根据题意，双曲线2G：x y2 =1，其中a 二2 , b=1，贝y c=.2—1 = .3 , 2则其焦距2c =2 .3 ,焦点坐标为(_.3 , 0),渐进线为y 2x ,离心率e =c=空3 6；2 a V2 22 2双曲线C 2：与- y 2 一1 ,其标准方程为y 2-乡=1，其中a =1 , b F ：2 ,则c =,『2一1二3_ ,则其焦距2c =2. 3，焦点坐标为（0,二、.3），渐进线为y= — x ，离心率e=£= 3 ；2 a 据此依次分析选项： 对于A 、两个双曲线的焦距都为 2 3，A 正确;对于B 、双曲线G 焦点坐标为（_. 3，0），双曲线C 2焦点坐标为（0, _「3），都在圆x 2 y^3 上，B 正确；对于C 、两个双曲线的渐进线为y 2x ，C 正确； —2对于D 、双曲线G 离心率为 上，双曲线C 2的离心率为.3，不正确；2 故选：D .23. （ 5分）在等比数列｛a n ｝中，“ a 4,盹是方程x • 3x7=0的两根”是“ a ^： 1 ”的（ ）A .充分不必要条件 C •充要条件【解答】解：a 4 , a 2是方程x 2・3x 7=0的两根,-a 4和a 2均为负值,故“ a 4, %是方程x 2 3x ^0的两根”是“ a^ _1 ”的 充分不必要条件， 故选：A .— 24. （5 分）在 ABC 中，已知•乙C 二一,BC =a , AC =b ，且 a , b 是方程 x -13x ，40 = 0 的 3两根，则AB 的长度为（ ）A . 2B . 4C . 6D . 7【解答】解：：a , b 是方程x 2-13x *40=0的两根， a=5 , b=8，或 a =8 , b=5,1 由余弦定理 AB23 =c 2 =a 2 b 22 1 4 1 4c b由此可得当b=2c ，即b 且c =—时，5的最小值为9. 3 3b c b c故选：A .B •必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件一3 , a ^_a 12 =1,由等比数列的性质可知a 8为负值，且a 8 =玄4出12 =1 ,_2abcosC =25 64_2 8 5 49 ,2贝V AB =7 ,故选：D .5. (5分)在R上定义运算a探b =(a 1)b，若存在x • [1 , 2]使不等式(m_x)探(m - x) ::: 4 ,成立，则实数m的取值范围为()A . (-3,2)B . (-1,2) C. (-2,2) D. (1,2)【解答】解：由题意知，不等式(m 一x)探(m x) ::: 4化为(m _ x • 1)(m • x) ：：： 4 ,即m2 m 「4 ::: x2「x ;设f(x) =x2 _x , x [1 , 2],则f(x)的最大值是f (2) = 4-2=2 ;令m2亠m -4 ：： 2 ,即m2 m -6 ：：0 ,解得-3 ::: m ：：： 2 ,.实数m的取值范围是(-3,2).故选：A... 2 2 . . 4 16. (5分)已知直线ax by，c-1 =0(b、c 0)经过圆x y「2y—5 = 0的圆心，贝U 的b c最小值是()A . 9B . 8 C. 4 D. 2【解答】解：圆x2 y2-2y-5=0化成标准方程，得x2 (y -1)^6 ,圆x y -2y -5=0 的圆心为C(0,1)，半径r = •. 6 ..直线ax by c -1 =0 经过圆心 C , . a 0 b 1 • c -1 =0 , 即卩b c =1 ,因此，4- =(b c)(-」)=兰b5 ,b c b c b cVb、c>0，二兰+b邯=4，当且仅当兰=卫=2时等号成立.b c v b c b c27. ( 5分)A , B , C是ABC的内角，其中B ，则sin A • sinC的取值范围()3第8页(共18页)【解答】解：由题意得，f (x)二e x cosx —e x sin x , 则f (0) =e °(cosO -sin0) =1，所以在点(0， f(0))处的切线的斜率k=1， 又k =tanr ，则切线的倾斜角二4故选：C .9. (5分)已知两圆 G : (x -4)2 • y 2 =169 , C 2: (x 4)2 y^9 ,动圆在圆 G 内部且和圆 G 相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为()2 2 2 2A . x 丄=1B . A 2L.164 4848 642 22 2C . x —1D . 垒上二148 6464 48【解答】解：设动圆圆心 M(x,y)，半径为r ,2 2. .22T 圆M 与圆C 1 : (x -4) y =169内切，与圆 C 2: (x 4) y =9外切,IMG |=13 -r , IMC 2 |=r 3 , .| MC , | | MC 2 |=16 8 ,由椭圆的定义，M 的轨迹为以G , C 2为焦点的椭圆, 可得a =8 , c =4 ;则 2 2 2b ac 48;A -(¥，1)B -(f ，1]D •(f ，2)s A =i計=ng * JT2 7： ・ A (0,£，A --(- ，c )，33 3 33.sin( A)( 32，1］，故选：B .A-xf (x) =e cosx 的图象在点(0 ,f(0))处的切线的倾斜角为【 解 答 & ( 5分)函数 解464 48-动圆圆心M的轨迹方程:3第11页（共18页）。

第1页（共17页）2018-2019学年广东省深圳高中联考联盟高二（上）期末数学试卷（理科）一项符合题目要求）1. （ 5分）设命题P: - n 三N , n 2 3 4 5 6, 2n ，则—P 为（ ）27.（ 5分）已知抛物线y =4x ，以（1,1）为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为（）A . x-2y 1=0B . 2x-y-1=0C . 2x y-3=0D . x 2y-3=06 （ 5分）已知四棱锥 S -ABCD 中底ABCD 是正方形，且 SD 二AD , SD _面ABCD ，则面SAD 和面SBC 所成的锐角二面角的余弦值为（ ）、选择题（本题共12小题，毎小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，中有A . n •, C .n 2 n2 D . -I n 匚 N , n =26第2页（共17页）22. （ 5分）双曲线 乂 -x 2 =1的渐近线方程为（3） A . 8B . 36C . 45D . 724. （ 5分）“ m =2 ”是“椭圆 —y 2 =1离心率为”的（）m 2B .必要不充分条件 D .既不充分又不必要条件5. （ 5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还. ”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前 一天的一半，走了 6天后到达目的地，”则该人第四天走的路程为 （ ）A . 3 里B . 6 里C . 12 里D . 24 里2 26.（ 5分）以双曲线 —-y1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）9 162|2 2^2 |2|2 |2|2A . （x-5） y =16B . （x-5） y =9C . （x 5） y =9D . （x 5） y =163.（ 5分）设等差数列 B . yJx 3C .{a n }的前n 项和为S n ，若是方程-8x • 5=0的A .充分不必要条件 C .充要条件6 第3页（共17页）C .9. （5分）如图，在正方体ABCD —AB i CP 中，P 是侧面BBQC 内一动点，若P到直线BC与直线C i D i 的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是（）A .直线B .圆C .双曲线D .抛物线210. （5分）如图过抛物线y =2px （p 0）的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点 A , B ,C ,若|BC | = 2|BF |，且|AF | = 3，则抛物线的方程为（取值范围是（ ） 1 1 1 1A . [-1 , --]B .[匚,-4]C . [-1 , 0]D . [-？ , 0]121321432 112. （ 5分）已知数列：1,6,1,7,2,1,8,-,2,- ■■依它的前10项的规律，这个数列的第20191 12 1 23 1 2 34 项a 2019满足（）619. （12分）已知抛物线y 二X ，过点P （1,0）的直线I 交抛物线于 A 、B 两点. （1）求证：OA _OB ; 11.（ 5分）点P 是棱长为 1的正方体ABCD—ABGD 的底面ABGD 上一点，则PATC !的1Pi ClB . y =9xA . y x2、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. （5分）等比数列｛%｝中，已知a^3，则玄3玄5二y, x14. ______________________________________________________________________ （5分）若x , y 满足约束条件 x y, 1，则目标函数z =2x • y 的最大值是 ____________________ .y..._ 115. （5 分）在平行六面体 ABCD —ARGR 中，AB=1 , AD =2 , AA=3，乙BAD =90* ,.BAA =/DAA =60，贝U AC 1 的长为 _________ .16. （5分）在地平面上有一旗杆 OP （O 在地面），为了测得它的高度 h ，在地平面上取一长 度为20m 的基线AB ，在A 处测得P 点的仰角为30，在B 处测得P 点的仰角为45，又 测得£AOB =30，则旗杆的高h 等于 m .三、解答题：（共70分。

2018-2019学年广东省深圳高中联考联盟高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，毎小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，中有一项符合题目要求）1．（5分）设命题:P n N ∀∈，22n n …，则P ⌝为( )A ．n N ∃∈，22n n …B ．n N ∀∈，22n n >C ．n N ∃∈，22n n >D ．n N ∃∈，22n n =2．（5分）双曲线2213y x -=的渐近线方程为( )A ．y =B ．y x =C ．2y x =±D ．y = 3．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a ，6a 是方程2850x x -+=的两根，那么9(S = ) A ．8B ．36C ．45D ．724．（5分）“2m =”是“椭圆221x y m+=”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，”则该人第四天走的路程为( ) A ．3里B ．6里C ．12里D ．24里6．（5分）以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )A ．22(5)16x y -+=B ．22(5)9x y -+=C ．22(5)9x y ++=D ．22(5)16x y ++=7．（5分）已知抛物线24y x =，以(1,1)为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为()A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．230x y +-=D ．230x y +-=8．（5分）已知四棱锥S ABCD -中底ABCD 是正方形，且SD AD =，SD ⊥面ABCD ，则面SAD 和面SBC 所成的锐角二面角的余弦值为( )A ．13B ．12C D 9．（5分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线10．（5分）如图过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若||2||BC BF =，且||3AF =，则抛物线的方程为( )A ．232y x =B ．29y x =C ．292y x =D ．23y x =11．（5分）点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111A B C D 上一点，则1PA PC 的取值范围是( ) A ．[1-，1]4-B ．1[2-，1]4-C ．[1-，0]D ．1[2-，0]12．（5分）已知数列：1213214321,,,,,,,,,1121231234⋯依它的前10项的规律，这个数列的第2019项2019a 满足( )A ．2019110a 剟B ．201910a >C ．20191010a <<D ．20191110a <… 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．（5分）等比数列{}n a 中，已知43a =，则35a a = ．14．（5分）若x ，y 满足约束条件11y xx y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩………，则目标函数2z x y =+的最大值是 ．15．（5分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，13AA =，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，则1AC 的长为 ．16．（5分）在地平面上有一旗杆(OP O 在地面），为了测得它的高度h ，在地平面上取一长度为20m 的基线AB ，在A 处测得P 点的仰角为30︒，在B 处测得P 点的仰角为45︒，又测得30AOB ∠=︒，则旗杆的高h 等于 m ．三、解答题：（共70分。

广东省深圳高中联考联盟2018-2019学年第一学期期末考试高二理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设命题P：∀n∈N，n2≤2n，则￢P为()A. ∃n∈N，n2≤2nB. ∀n∈N，n2>2nC. ∃n∈N，n2>2nD. ∃n∈N，n2=2n【答案】C【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：∀n∈N，n2≤2n，则￢P为：∃n∈N，n2>2n．故选：C．利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2.双曲线y23−x2=1的渐近线方程为()A. y=±√3xB. y=±√33x C. y=±2x D. y=±2√33x【答案】A【解析】解：双曲线y23−x2=1，其渐近线方程y23−x2=0，整理得y=±√3x.故选：A．把双曲线y23−x2=1其渐近线方程是方程y23−x2=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．3.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4，a6是方程x2−8x+5=0的两根，那么S9=()A. 8B. 36C. 45D. 72【答案】B【解析】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a4，a6是方程x2−8x+5=0的两根，∴a4+a6=8，∴S9=92(a1+a9)=92(a4+a6)=92×8=36．故选：B．由a 4，a 6是方程x 2−8x +5=0的两根，得a 4+a 6=8，从而S 9=92(a 1+a 9)=92(a 4+a 6)，由此能求出结果． 本题考查等差数列的前9项和的求法，考查韦达定理、等差数列性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．4. “m =2”是“椭圆x 2m+y 2=1离心率为√22”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】解：椭圆x 2m+y 2=1离心率为√22，可得：m >1时，√1−1m=√22，或0<m <1时，√1−m =√22，解得m =2或12． ∴“m =2”是“椭圆x 2m+y 2=1离心率为√22”的充分不必要条件．故选：A ． 椭圆x 2m+y 2=1离心率为√22，可得：m >1时，√1−1m=√22，或0<m <1时，√1−m =√22，解得m 即可判断出结论．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，”则该人第四天走的路程为( )A. 3里B. 6里C. 12里D. 24里【答案】D【解析】解：设第一天走a 1里，则{a n }是以a 1为首项，以12为公比的等比数列， 由题意得：S 6=a 1(1−126)1−12=378，解得a 1=192(里)，∴a 4=a 1×(12)3=192×18=24(里)． 故选：D ．设第一天走a 1里，则{a n }是以a 1为首项，以12为公比的等比数列，由题意得：S 6=a 1(1−126)1−12=378，求出a 1=192(里)，由此能求出该人第四天走的路程．本题考查等比数列的第4项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．6. 以双曲线x 29−y 216=1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )A. (x −5)2+y 2=16B. (x −5)2+y 2=9C. (x +5)2+y 2=9D. (x +5)2+y 2=16 【答案】A【解析】解：右焦点即圆心为(5,0)，一渐近线方程为y =43x ，即4x −3y =0， r =√9+16=4，圆方程为(x −5)2+y 2=16，故选：A ． 求出双曲线x 29−y 216=1的右焦点得到圆心，在求出圆心到其渐近线的距离得到圆的半径，从而得到圆的方程．本题考查双曲线的焦点坐标和其渐近线方程以及圆的基础知识，在解题过程要注意相关知识的灵活运用．7. 已知抛物线y 2=4x ，以(1,1)为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为( )A. x −2y +1=0B. 2x −y −1=0C. 2x +y −3=0D. x +2y −3=0【答案】B【解析】解：由题意可得，弦所在直线斜率存在，设弦所在直线方程为y −1=k(x −1)，代入抛物线的方程可得ky 2−4y −4−4k =0，由y 1+y 2=4k =2可得，k =2， 故弦所在直线方程为2x −y −1=0， 故选：B ．设弦所在直线方程为y −1=k(x −1)，代入抛物线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系，求出k =2，从而得到弦所在直线方程．本题考查用点斜式求直线方程的方法，一元二次方程根与系数的关系，求出k =2是解题的关键．8. 已知四棱锥S −ABCD 中底ABCD 是正方形，且SD =AD ，SD ⊥面ABCD ，则面SAD和面SBC 所成的锐角二面角的余弦值为( )A. 13B. 12C. √22 D. √63【答案】C【解析】解：∵四棱锥S −ABCD 中底ABCD 是正方形，且SD =AD ，SD ⊥面ABCD ，∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DS 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设SD =AD =1，则S(0,0，1)，B(1,1，0)，C(0,1，0)， SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，SC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)， 设平面SBC 的法向量n ⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅SC⃗⃗⃗⃗⃗ =y −z =0n⃗ ⋅SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y −z =0，取y =1，得n⃗ =(0,1，1)， 面SAD 的法向量m⃗⃗⃗ =(0,1，0)，设面SAD和面SBC所成的锐角二面角的平面角为θ，则cosθ=|m⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |=1√2=√22．∴面SAD和面SBC所成的锐角二面角的余弦值为√22．故选：C．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面SAD和面SBC 所成的锐角二面角的余弦值．本题考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是()A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】解：由题意知，直线C1D1⊥平面BB1C1C，则C1D1⊥PC1，即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离，所以点P的轨迹是抛物线．故选：D．由线C1D1垂直平面BB1C1C，分析出|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，则动点P满足抛物线定义，问题解决．本题考查抛物线定义及线面垂直的性质．10.如图过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为()A. y2=32x B. y2=9x C. y2=92x D. y2=3x【答案】D【解析】解：如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF|=a ，则由已知得：|BC|=2a ，由定义得：|BD|=a ，故∠BCD =30∘，在直角三角形ACE 中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a ，∴2|AE|=|AC|∴3+3a =6， 从而得a =1， ∵BD//FG ， ∴1p =23求得p =32，因此抛物线方程为y 2=3x ． 故选：D ．分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF|=a ，根据抛物线定义可知|BD|=a ，进而推断出∠BCD 的值，在直角三角形中求得a ，进而根据BD//FG ，利用比例线段的性质可求得p ，则抛物线方程可得． 本题主要考查了抛物线的标准方程.考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握．11. 点P 是棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( )A. [−1,−14]B. [−12,−14]C. [−1,0]D. [−12,0]【答案】D【解析】解：如图所示：以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以DD 1所在的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系．则点A(1,0，0)，C 1 (0,1，1)，设点P 的坐标为(x,y ，z)，则由题意可得0≤x ≤1，0≤y ≤1，z =1．∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x,−y,−1)，PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,1−y,0)，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x(1−x)−y(1−y)+0=x 2−x +y 2−y =(x −12)2+(y −12)2−12， 由二次函数的性质可得，当x =y =12时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值为−12； 故当x =0或1，且y =0或1时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为0， 则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−12,0]， 故选：D ．建立空间直角坐标系，则点A(1,0，0)，C 1(0,1，1)，设点P 的坐标为(x,y ，z)，则由题意可得0≤x ≤1，0≤y ≤1，z =1，计算PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−x ，再利用二次函数的性质求得它的值域．本题主要考查向量在几何中的应用，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．12. 已知数列：11,21,12,31,22,13,41,32,23,14…依它的前10项的规律，这个数列的第2019项a 2019满足( )A. 1≤a 2019≤10B. a 2019>10C. 0<a 2019<110D. 110≤a 2019<1【答案】B【解析】解：将此数列分组为(11)(21,12)(31,22,13)(41,32,23,14)…第n 组有n 个数， 设数列的第2019项a 2019在第n 组中，由等差数列前n 项和公式可得：n(n−1)2<2019≤n(n+1)2(n ∈N ∗)，解得：n =64， 则前63组共63×642=2016，即a 2019在第64组的第3项，即a 2019=623>10，故选：B ．结合阅读观察能力及归纳推理能力将此数列分组为(11)(21,12)(31,22,13)(41,32,23,14)…第n 组有n 个数， 设数列的第2019项a 2019在第n 组中，由等差数列前n 项和公式可得：n(n−1)2<2019≤n(n+1)2(n ∈N ∗)，可得a 2019在第64组的第3项，即得解．本题考查了阅读观察能力及归纳推理能力，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 等比数列{a n }中，已知a 4=3，则a 3a 5=______． 【答案】9【解析】解：由于等比数列{a n }中，已知a 4=3，则：a 3⋅a 5=a 42=9，故答案为：9直接利用等比数列的性质求出结果．本题考查的知识要点：等比数列的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．14. 若x ，y 满足约束条件{y ≤xx +y ≤1y ≥−1，则目标函数z =2x +y 的最大值是______．【答案】3【解析】解：满足约束条件{y ≤xx +y ≤1y ≥−1的平面区域如下图所示：由图易得，当x =2，y =−1时，目标函数z =2x +y 的最大值为3 故答案为：3．先满足约束条件{y ≤xx +y ≤1y ≥−1的可行域，然后将各个角点的坐标代入目标函数的解析式，分析比较后，即可得到目标函数z =2x +y 的最大值． 本题考查的知识点是简单的线性规划，画出满足约束条件的可行域是关键，属于基础题．15. 在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1，AD =2，AA 1=3，∠BAD =90∘，∠BAA 1=∠DAA 1=60∘，则AC 1的长为______． 【答案】√23【解析】解：由题意，如图，作A 1O ⊥底面于O ，作OE 垂直AB 于E ，OF 垂直AD 于F ，连接A 1F ，A 1E ，由于，∠BAA 1=∠DAA 1=60∘，故有△A 1FA≌△A 1EA ，即A 1F =A 1E 从而有△A 1FO≌△A 1EO ，即有OF =OE ，由作图知，O 在角DAB 的角平分线上，又底面是矩形，故角DAO =角BAO =45∘，又AB =1，AD =2，AA 1=3，∠BAA 1=∠DAA 1=60∘， ∴A 1F =A 1E =3√32，AE =AF =32，于是有AO =3√22，在直角三角形A 1OA 中，解得A 1O =3√22在图中作C 1H 垂直底面于H ，作HR 垂直DC 延长线与R ，由几何体的性质知，HR =CR =32，A 1O =C 1H =3√22连接AH ，得如图的直角三角形ASH ，直角三角形AHC 1，由已知及上求解得AS =52，SH =72∴AC 12=AH 2+C 1H 2=AS 2+SH 2+C 1H 2=254+494+184=924=23 ∴AC 1=√23故答案为√23观察图形及题设条件，可构造出与AC 1有关的三角形然后利用三角形求此线段的长度，由题设条件可以证出AA 1在底面上的射影是角BAD 的角平分线，由几何体的几何特征知，CC 1在底面上的射影在BC ，DC 的所组成的角的角平分线上，且此垂足到C 的距离与点A 1在底面的垂足O 到A 的距离相，故可依据题设条件求出点O 到AB ，AD 的距离，即求得图中HR ，CR 的长度，补出如图的图形，在直角三角形中即可求出AC 1的长 本题主要考查了体对角线的求解，同时考查了空间想象能力，计算推理的能力，本题解题的关键是有着较强的空间感知能力以及根据题设条件构造图形的能力，本题是一个创造型题，作出恰当的辅助线对求解本题很重要，本题是立体几何中综合性较强的题，解题中用到了间接法的技巧，通过求点A 1到底面的距离求出点C 1到底面的距离16. 在地平面上有一旗杆OP(O 在地面)，为了测得它的高度h ，在地平面上取一长度为20m 的基线AB ，在A 处测得P 点的仰角为30∘，在B 处测得P 点的仰角为45∘，又测得∠AOB =30∘，则旗杆的高h 等于______m. 【答案】20【解析】解：由题意可得PO ⊥OA ，PO ⊥OB ， 且OB =OP =ℎ，OA =OPtan30∘=√3ℎ，在△AOB 中，由余弦定理可得AB 2=OA 2+OB 2−2OA ⋅OBcos∠AOB ， 即400=3ℎ2+ℎ2−2⋅√3ℎ⋅ℎ⋅cos30∘， 解得ℎ=20，∴旗杆OP 的高度为20m ． 故答案为：20．由题意，利用直角三角形的边角关系表示出OB 、OA 与OP 的关系，再利用余弦定理求得OP 即h 的值． 本题考查了直角三角形的边角关系和余弦定理的应用问题，是基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合P ={x|x 2−2ax −3a 2<0}(a >0)；集合Q ={x|x−42x+1<0}．(1)当a =1时，若“x ∈P ∩Q ”是真命题，求实数x 的取值范围； (2)若“x ∈P “是“x ∈Q ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】解：集合P ={x|x 2−2ax −3a 2<0}(a >0)，可得P ={x|−a <x <3a,a >0}， 集合Q ={x|x−42x+1<0}={x|(x −4)(2x +1)<0}=(−12,4)． (1)当a =1时，P =(−1,3)，P ∩Q =(−12,3)．∵“x ∈P ∩Q ”是真命题，∴实数x 的取值范围是(−12,3)．(2)若“x ∈P “是“x ∈Q ”的必要不充分条件，则{−12≥−a 4≤3a a >0，解得：a ≥34．∴实数a 的取值范围：a ≥34．【解析】集合P ={x|x 2−2ax −3a 2<0}(a >0)，可得P ={x|−a <x <3a,a >0}，集合Q ={x|(x −4)(2x +1)<0}=(−12,4)．(1)当a =1时，P =(−1,3)，即可得出P ∩Q ，进而得出实数x 的取值范围．(2)若“x ∈P “是“x ∈Q ”的必要不充分条件，则{−12≥−a4≤3a a >0，解得实数a 的取值范围．本题考查了不等式的解法、集合运算性质、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2a n −1；等差数列{b n }满足b 3=3，b 5+b 7+b 9=21．(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式； (2)令∁n =1bn+1⋅log 2a n+1，设数列{∁n }的前项和为T n ，求证：12≤T n <1．【答案】解：(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2a n −1， 可得n =1时，a 1=S 1=2a 1−1，即a 1=1； n ≥2时，a n =S n −S n−1=2a n −1−2a n−1+1，可得a n =2a n−1， 即a n =2n−1，n ∈N ∗；等差数列{b n }的公差设为d ，b 3=3，b 5+b 7+b 9=21， 即有b 1+2d =3，3b 1+18d =21， 解得b 1=d =1， 即有b n =n ，n ∈N ∗； (2)证明：∁n =1bn+1⋅log 2a n+1=1(n+1)log 22n =1n(n+1)=1n −1n+1，数列{∁n }的前项和为T n =1−12+12−13+⋯+1n −1n+1=1−1n+1， 由1−1n+1随着n 增大而增大，可得T n ≥T 1=1−12=12， 可得12≤T n <1．【解析】(1)运用数列的递推式：n =1时，a 1=S 1，n ≥2时，a n =S n −S n−1，可得{a n }的通项公式；由等差数列的通项公式解方程可得首项、公差，即可得到所求{b n }的通项公式； (2)求得∁n =1bn+1⋅log 2a n+1=1(n+1)log 22n=1n(n+1)=1n−1n+1，运用数列的求和方法：裂项相消求和，以及数列的单调性，和不等式的性质，即可得到证明．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式和等差数列的通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19. 已知抛物线y 2=x ，过点P(1,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)若直线l 的倾斜角为45∘，求|AB|．【答案】解：(1)证明：当直线l 斜率不存在时，此时l ：x =1， 解得A(1,1)，B(1,−1)，满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1−1=0，∴OA ⊥OB ； 当直线l 斜率存在时，设l ：y =k(x −1)，联立抛物线方程y 2=x ，可得k 2x 2−(2k 2+1)x +k 2=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=2+1k 2，x 1x 2=1，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2−k 2(x 1+x 2)+k 2 =(1+k 2)−2k 2−1+k 2=0， 即有OA ⊥OB ． 综上，OA ⊥OB 成立；(2)若直线l 的倾斜角为45∘，可得直线l 的方程为y =x −1， 代入抛物线程y 2=x ，可得x 2−3x +1=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则|AB|=√1+1⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2⋅√9−4=√10．【解析】(1)讨论直线l的斜率不存在和直线的斜率且不为0，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，即可得证；(2)直线l的方程为y=x−1，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，以及直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，同时考查向量数量积的坐标表示，和向量垂直的条件，属于中档题．20.某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米.池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元，设池底长方形的长为x米．(Ⅰ)求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；(Ⅱ)怎样设计水池底面长和宽能使总造价最低？最低造价是多少？【答案】解：(Ⅰ)设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，则有S1=64004=1600(平方米).…2分池底长方形宽为1600x 米，则S2=8x+8×1600x=8(x+1600x).…6分(Ⅱ)设总造价为y，则y=120×1600+100×8(x+1600x)≥192000+64000=256000.…9分当且仅当x=1600x，即x=40时取等号.…10分所以x=40时，总造价最低为256000元．答：当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为256000元.…12分．【解析】(Ⅰ)分析题意，本小题是一个建立函数模型的问题，可设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，由题中所给的关系，将此两者用池底长方形长x表示出来．(Ⅱ)此小题是一个花费最小的问题，依题意，建立起总造价的函数解析式，由解析式的结构发现，此函数的最小值可用基本不等式求最值，从而由等号成立的条件求出池底边长度，得出最佳设计方案本题考查函数模型的选择与应用，解题的关键是建立起符合条件的函数模型，故分析清楚问题的逻辑联系是解决问题的重点，此类问题的求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题．21.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，∠B1A1A=∠C1A1A=60∘，AA1=AC=4，AB=2，P，Q分别为棱AA1，AC的中点．(1)在平面ABC内过点A作AM//平面PQB1交BC于点M，并写出作图步骤，但不要求证明；(2)若侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1，求直线A1C1与平面PQB1所成角的正弦值．【答案】解：(1)取BB 1中点E ，连接AE ，则AE//PB 1， 连接CE ，取CE 中点N ，连接QN ，则QN//AE ， ∴QN//PB 1，即Q ，N ，P ，B 1四点共面，连接B 1N 交BC 于H ，连接QH ，则Q ，H ，B 1，P 四点共面， 过A 作AM//QH 交BC 于M ，即为所求． (2)作QO ⊥平面ABB 1A 1，与A 1A 延长线交于O ，则AO =1，QO =√3，OB 1=√25+4−2×5×2×12=√19，∴QB 1=√22， ∴cos∠QPB 1=12+4−222×2√3×2=∵B 1P =2，PQ =2√3， −√36， ∴sin∠QPB 1=√336， ∴S △PQB 1=12×2√3×2×√336=√11，作PN//C 1A 1，则直线A 1C 1与平面PQB 1所成角=直线PN 与平面PQB 1所成角， ∵S △PQN =12×4×√3=2√3，∴V B 1−PQN =13×2√3×√3=2，设N 到平面PQB 1的距离为h ，则13×√11ℎ=2，∴ℎ=3√11， ∴直线A 1C 1与平面PQB 1所成角的正弦值=3√114=3√1144． 【解析】(1)取BB 1中点E ，连接AE 、CE ，取CE 中点N ，得到Q ，N ，P ，B 1四点共面，延长B 1N 交BC 于H ，再直接作出AM 即可；(2)作PN//C 1A 1，则直线A 1C 1与平面PQB 1所成角=直线PN 与平面PQB 1所成角，求出N 到平面PQB 1的距离，即可求直线A 1C 1与平面PQB 1所成角的正弦值．本题考查线面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22. 已知椭圆C 1：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点A(1,√22)，其焦距为2．(Ⅰ)求椭圆C 1的方程；(Ⅱ)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则椭圆在其上一点A(x 0,y 0)处的切线方程为x 0xa 2+y 0y b 2=1，试运用该性质解决以下问题：(i)如图(1)，点B 为C 1在第一象限中的任意一点，过B 作C 1的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C ，D两点，求△OCD面积的最小值；(ii)如图(2)，过椭圆C2：x28+y22=1上任意一点P作C1的两条切线PM和PN，切点分别为M，N.当点P在椭圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．【答案】解：(I)依题意得：椭圆的焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)，由椭圆定义知：2a=|AF1|+|AF2|，∴a=√2,c=1∴b=1，所以椭圆C1的方程为x22+y2=1.…(4分)(II)(ⅰ)设B(x2,y2)，则椭圆C1在点B处的切线方程为x22x+y2y=1令x=0，y D=1y2，令y=0,x C=2x2，所以S△OCD=1x2y2…(5分)又点B在椭圆的第一象限上，所以x2>0,y2>0,x222+y22=1，∴1=x222+y22≥2√x222y22=√2x2y2…(7分)∴S△OCD=1x2y2≥√2=√22，当且仅当x222=y22⇔x2=√2y2=1所以当B(1,√22)时，三角形OCD的面积的最小值为√2…(9分)(ii)设P(m,n)，则椭圆C1在点M(x3,y3)处的切线为：x32x+y3y=1又PM过点P(m,n)，所以x32m+y3n=1，同理点N(x4,y4)也满足x42m+y4n=1，所以M，N都在直线x2m+yn=1上，即：直线MN的方程为m2x+ny=1…(12分)所以原点O到直线MN的距离d=√4+n2=√22，…(13分)所以直线MN始终与圆x2+y2=12相切.…(14分)【解析】(Ⅰ)依题意得：椭圆的焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)，由椭圆定义知：2a=|AF1|+|AF2|，即可求出a，b，从而可求椭圆C1的方程；(Ⅱ)(i)确定S△OCD=1x2y2，再结合基本不等式，即可求△OCD面积的最小值；(ii)先求出直线MN的方程，再求出原点O到直线MN的距离，即可得出结论．本题考查椭圆的方程，考查三角形面积的计算，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

2018-2019学年广东省深圳高中联考联盟高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分满分60分.在每小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．抛物线y2＝﹣8x的焦点坐标是（）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（4，0）D．（﹣4，0）2．“x2＞1”是“x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在等差数列{a n}中，a1＝2，a3+a5＝10，则a7＝（）A．5B．8C．10D．144．命题p：∀x∈R，x2+1＞0，命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1.5，则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∨q D．p∧（￢q）5．函数y＝x cos x﹣sin x在下面哪个区间上是增函数（）A．（，）B．（π，2π）C．（，）D．（2π，3π）6．若不等式的解集为R，则k的取值范围为（）A．（0，3）B．[0，3]C．（﹣3，0）D．（﹣3，0]7．已知经过椭圆＝1的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长为（）A．10B．20C．30D．408．等比数列{a n}每项都是正数，设其前n项和为S n，若满足q＞1，a3+a5＝20，a2a6＝64，则S5＝（）A．31B．36C．42D．489．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值10．函数y＝（x2﹣1）e|x|的图象大致是（）A．B．C．D．11．函数f（x）＝a x﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣ny﹣1＝0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（）A．4B．5C．6D．12．已知定义在R上的函数g（x）满足g（x）+g'（x）＜0，则下列不等式成立的是（）A．e•g（2018）＞g（2019）B．e•g（2018）＜g（2019）C．g（2018）＞e•g（2019）D．g（2018）＜e•g（2019）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设f（x）＝xlnx，若f'（x0）＝2，则x0＝．14．已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为．15．设变量x，y满足的约束条件，则z＝32x﹣y的最大值．16．已知椭圆，＝1的左右两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）命题p：方程x2﹣x+a2﹣3a＝0有一正根和一负根；命题q：函数y＝x2+（2a﹣3）x+1的图象与x轴有公共点；若命题p∨q为真命题，而命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知抛物线C的中心在原点，对称轴是坐标轴，且准线方程为x＝﹣1．（1）求该抛物线C的方程；（2）若M是抛物线C上的一点，已知M到抛物线C的焦点的距离为5，求M点的坐标．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足b n＝S n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）已知公差不为0的等数列{a n}中，a1＝2，且a2+1．a4+1．a8+1成等比数列．（1）求数列{a n}的公差；（2）设数列{b n}满足b n＝，求适合方程b1b2+b2b3+…+b n b n+1＝的正整数n的值．21．（12分）如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（），点（2，1）在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2+y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；②求证：以线段PQ为直径的圆恒过原点．22．（12分）已知函数f（x）＝a（x2﹣4）﹣lnx+ln2，其中a是实常数．（1）当a＝1时，求函数图象在点（2，f（2））处的切线方程；（2）若f（x）在x＝4处取得极值，求a的值；（3）若f（x）≥0在[2，+∞）恒成立，求a的取值范围．2018-2019学年广东省深圳高中联考联盟高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分满分60分.在每小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．抛物线y2＝﹣8x的焦点坐标是（）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（4，0）D．（﹣4，0）【分析】数形结合，注意抛物线方程中P的几何意义．【解答】解：抛物线y2＝﹣8x开口向右，焦点在x轴的负半轴上，P＝4，∴＝2，故焦点坐标（﹣2，0），答案选B．【点评】考查抛物线标准方程特征．2．“x2＞1”是“x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由得：二次不等式的解法有：“x2＞1”⇔“x＜﹣1或x＞1“，由命题间的充分必要条件有：“x＜﹣1或x＞1“是“x＞1”的必要不充分条件，得解【解答】解：解不等式“x2＞1”，得：“x＜﹣1或x＞1“，又“x＜﹣1或x＞1“是“x＞1”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了二次不等式的解法及充分必要条件，属简单题3．在等差数列{a n}中，a1＝2，a3+a5＝10，则a7＝（）A．5B．8C．10D．14【分析】由题意可得a4＝5，进而可得公差d＝1，可得a7＝a1+6d，代值计算即可．【解答】解：∵在等差数列{a n}中a1＝2，a3+a5＝10，∴2a4＝a3+a5＝10，解得a4＝5，∴公差d＝＝1，∴a7＝a1+6d＝2+6＝8故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．4．命题p：∀x∈R，x2+1＞0，命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1.5，则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∨q D．p∧（￢q）【分析】由于命题p：∀x∈R，x2+1＞0，为真命题，而命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1.5为假命题再根据复合命题的真假判定，一一验证选项即可得正确结果．【解答】解：命题p：由于对已知∀x∈R，x2≥0，则x2+1≥1＞0，则命题p：∀x∈R，x2+1＞0，为真命题，￢p为假命题；命题q：由于对∀θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1，则命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1.5为假命题，￢q为真命题．则p∧q、￢p∧q、￢p∨q为假命题，p∧（￢q）为真命题．故选：D．【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．复合命题的真值表：5．函数y＝x cos x﹣sin x在下面哪个区间上是增函数（）A．（，）B．（π，2π）C．（，）D．（2π，3π）【分析】分析知函数的单调性用三角函数的相关性质不易判断，易用求其导数的方法来判断其在那个区间上是增函数．【解答】解：y'＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x欲使导数为正，只需x与sin x符号总相反，分析四个选项知，B选项符合条件，故选：B．【点评】考查判断函数单调性的方法．一般可以用定义法，导数法，其中导数法判断函数的单调性比较简便．6．若不等式的解集为R，则k的取值范围为（）A．（0，3）B．[0，3]C．（﹣3，0）D．（﹣3，0]【分析】可分k＝0与k≠0讨论解决，当k≠0时，利用可得k的范围，二者取其并即刻．【解答】解：∵不等式的解集为R，∴当k＝0时，﹣＜0，满足题意；当k≠0时，有解得﹣3＜k＜0，综上所述，﹣3＜k≤0．故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，分k＝0与k≠0讨论是关键，突出考查恒成立问题，属于中档题．7．已知经过椭圆＝1的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长为（）A．10B．20C．30D．40【分析】△AF1B为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出△AF1B的周长．【解答】解：∵F1，F2为椭圆+＝1的两个焦点，∴|AF1|+|AF2|＝10，|BF1|+|BF2|＝10，∴△AF1B的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝10+10＝20．故选：B．【点评】本题主要考查了椭圆的定义的应用，做题时要善于发现规律，进行转化．8．等比数列{a n}每项都是正数，设其前n项和为S n，若满足q＞1，a3+a5＝20，a2a6＝64，则S5＝（）A．31B．36C．42D．48【分析】利用等比中项的性质求得a3a5＝a2a6，进而根据a3+a5＝20，构造出一元二次方程求得a3和a5，则a1和q 可求得，最后利用等比数列的求和公式求得答案．【解答】解：a3a5＝a2a6＝64，∵a3+a5＝20，∴a3和a5为方程x2﹣20x+64＝0的两根，∵a n＞0，q＞1，∴a3＜a5，∴a5＝16，a3＝4，∴q＝＝＝2，∴a1＝＝＝1，∴S5＝＝31．故选：A．【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式，等比数列的等比中项的性质的应用．解题过程中巧妙的构造出一元二次方程，较快的求得a3和a5，进而求得a1和q．9．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值【分析】本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．A中不满足“正数”，C中“＝”取不到．【解答】解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“＝”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x＝2时取最大值．故选：B．【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记．10．函数y＝（x2﹣1）e|x|的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的函数奇偶性，值域即可判断．【解答】解：因为f（﹣x）＝（x2﹣1）e|x|＝f（x），所以f（x）为偶函数，所以图象关于y轴对称，故排除B，当x→+∞时，y→+∞，故排除A当﹣1＜x＜1时，y＜0，故排除D故选：C．【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数奇偶性，值域，属于基础题．11．函数f（x）＝a x﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣ny﹣1＝0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（）A．4B．5C．6D．【分析】由指数函数可得A坐标，可得m+n＝1，整体代入可得＝（）（m+n）＝3++，由基本不等式可得．【解答】解：当x﹣1＝0即x＝1时，a x﹣1﹣2恒等于﹣1，故函数f（x）＝a x﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，﹣1），由点A在直线mx﹣ny﹣1＝0上可得m+n＝1，由m＞0，n＞0可得＝（）（m+n）＝3++≥3+2＝3+2当且仅当＝即m＝﹣1且n＝2﹣时取等号，故选：D．【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及指数函数的性质，属基础题．12．已知定义在R上的函数g（x）满足g（x）+g'（x）＜0，则下列不等式成立的是（）A．e•g（2018）＞g（2019）B．e•g（2018）＜g（2019）C．g（2018）＞e•g（2019）D．g（2018）＜e•g（2019）【分析】令h（x）＝e x g（x），根据函数的单调性判断出h（2018）＞h（2019）即可．【解答】解：令h（x）＝e x g（x），则h′（x）＝e x（g（x）+g′（x））＜0，故h（x）在R递减，故h（2018）＞h（2019），即g（2018）＞eg（2019），故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道常规题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设f（x）＝xlnx，若f'（x0）＝2，则x0＝e．【分析】由题意求导f′（x）＝lnx+1，从而得lnx0+1＝2；从而解得．【解答】解：∵f′（x）＝lnx+1；故f′（x0）＝2可化为lnx0+1＝2；故x0＝e；故答案为：e【点评】本题考查了导数的求法及应用，属于基础题．14．已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为．【分析】根据双曲线方程可得它的渐近线方程为bx±ay＝0，焦点坐标为（±c，0）．利用点到直线的距离，结合已知条件列式，可得b＝c，再用平方关系可算出a＝c，最后利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，焦点坐标为（±c，0），其中c＝∴一个焦点到一条渐近线的距离为d＝＝c，即b＝c，因此，a＝＝c，由此可得双曲线的离心率为e＝＝故答案为：【点评】本题给出双曲线一个焦点到渐近线的距离与焦距的关系，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．15．设变量x，y满足的约束条件，则z＝32x﹣y的最大值9．【分析】设m＝2x﹣y，作出不等式组对应的平面区域，根据指数函数的单调性只要求出m的最大值即可得到结论．【解答】解：设m＝2x﹣y，得y＝2x﹣m，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y＝2x﹣m，由平移可知当直线y＝2x﹣m，经过点C时，直线y＝2x﹣m的截距最小，此时m取得最大值，由，解得，即C（1，0）．将C的坐标代入m＝2x﹣y，得m＝2，此时z＝32x﹣y的最大值z＝32＝9，即目标函数z＝32x﹣y的最大值是9．故答案为：9．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．16．已知椭圆，＝1的左右两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为．【分析】依题意，在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，|F1P|+|PF2|＝2a＝8，|F1F2|＝4，利用余弦定理可求得|F1P|•|PF2|的值，从而可求得△PF1F2的面积．【解答】解：∵椭圆＝1，∴a＝6，b＝3，c＝5．又∵P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，F1、F2为左右焦点，∴|F1P|+|PF2|＝2a＝12，|F1F2|＝10，|F1F2|2＝（|PF1|+|PF2|）2﹣2|F1P||PF2|﹣2|F1P|•|PF2|cos60°＝144﹣3|F1P|•|PF2|＝100，∴|F1P|•|PF2|＝．∴＝|F1P|•|PF2|sin60°＝．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）命题p：方程x2﹣x+a2﹣3a＝0有一正根和一负根；命题q：函数y＝x2+（2a﹣3）x+1的图象与x轴有公共点；若命题p∨q为真命题，而命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【分析】方程x2﹣x+a2﹣3a＝0有一正根和一负根，由韦达定理得：a2﹣3a＜0，即0＜a＜3，函数y＝x2+（2a﹣3）x+1的图象与x轴有公共点，则△＝（2a﹣3）2﹣4≥0，即a或a，列不等式组求解即可【解答】解：当命题p为真时，由韦达定理得：a2﹣3a＜0，即0＜a＜3，当命题求q为真时，则△＝（2a﹣3）2﹣4≥0，即a或a，又命题p∨q为真命题，而命题p∧q为假命题，则命题p、q一真一假，即或，即实数a的取值范围为：a≤0或或a≥3，故答案为：（∪（，）∪[3，+∞）【点评】本题考查了二次方程根的问题及二次函数有零点问题，复合命题及其真假，属简单题18．（12分）已知抛物线C的中心在原点，对称轴是坐标轴，且准线方程为x＝﹣1．（1）求该抛物线C的方程；（2）若M是抛物线C上的一点，已知M到抛物线C的焦点的距离为5，求M点的坐标．【分析】（1）设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），由准线方程可得p，进而得到抛物线的方程；（2）运用抛物线的定义，可得M的横坐标，进而得到M的坐标．【解答】解：（1）抛物线C的中心在原点，对称轴是坐标轴，且准线方程为x＝﹣1，设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），可得﹣＝﹣1，即p＝2，可得抛物线的方程为y2＝4x；（2）若M是抛物线C上的一点，已知M到抛物线C的焦点的距离为5，由抛物线的定义可得x M+1＝5，即x M＝4，可得M的坐标为（4，±4）．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查方程思想和转化思想，以及运算能力，属于基础题．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足b n＝S n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）求出数列的首项，利用数列的第n项与前n项和的关系求解数列的通项公式．（2）化简通项公式，然后求解数列的和即可．【解答】解：（1）∵，∴当n＝1时，；当n≥2时，，又∵，∴．…（6分）（2）由已知，，∴T n＝b1+b2+b3+…+b n＝（22+23+24+…+2n+1）﹣2n＝．…（12分）【点评】本题考查数列求和，通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力．20．（12分）已知公差不为0的等数列{a n}中，a1＝2，且a2+1．a4+1．a8+1成等比数列．（1）求数列{a n}的公差；（2）设数列{b n}满足b n＝，求适合方程b1b2+b2b3+…+b n b n+1＝的正整数n的值．【分析】（1）设公差为d，运用等比数列的中项性质，以及等差数列的通项公式，解方程可得公差d，即可得到所求通项公式；（2）求得b n＝＝，b n b n+1＝＝3（﹣），运用裂项相消求和，化简整理，解方程即可得到所求值．【解答】解：（1）公差d不为0的等数列{a n}中，a1＝2，且a2+1．a4+1．a8+1成等比数列，即有（a4+1）2＝（a2+1）（a8+1），即（3+3d）2＝（3+d）（3+7d），解得d＝3，则a n＝a1+（n﹣1）d＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1；（2）b n＝＝，b n b n+1＝＝3（﹣），b1b2+b2b3+…+b n b n+1＝3（﹣+﹣+…+﹣）＝3×（﹣）＝，解得n＝20．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12分）如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（），点（2，1）在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2+y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；②求证：以线段PQ为直径的圆恒过原点．【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出椭圆的几何量，即可得到椭圆方程；（2）①椭圆C的右焦点F（，0）．设切线方程为y＝k（x﹣），利用点到直线的距离公式，求出K得到直线方程，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，得到PQ，然后求解三角形的面积．②（i）若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x＝或x＝﹣．利用•＝0，推出OP⊥OQ；（ii）若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx+m，通过＝，将直线PQ方程代入椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理，结合m2＝2k2+2，•＝0，推出结果．【解答】解：（1）由题意，得c＝，即a2﹣b2＝3，又+＝1，解得a2＝6，b2＝3．所以椭圆的方程为+＝1；（2）①椭圆C的右焦点F（，0）．设切线方程为y＝k（x﹣），即kx﹣y﹣k＝0，由＝，解得k ＝±，所以切线方程为y ＝±（x ﹣）．由方程组可得5x 2﹣8x +6＝0，即有x 1+x 2＝，x 1x 2＝，所以|PQ |＝•＝•＝，因为O 到直线PQ 的距离为，所以△OPQ 的面积为•＝；②（i ）若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ 的方程为x ＝或x ＝﹣．当x ＝时，P （，），Q （，﹣）．因为•＝0，所以OP ⊥OQ ．当x ＝﹣时，同理可得OP ⊥OQ ，即有（ii ）若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx +m ，即kx ﹣y +m ＝0．因为直线与圆相切，所以＝，即m 2＝2k 2+2；将直线PQ 方程代入椭圆方程，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣6＝0．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则有x 1+x 2＝﹣，x 1x 2＝，因为•＝x 1x 2+y 1y 2＝x 1x 2+（kx 1+m ）（kx 2+m ）＝（1+k 2）x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2＝（1+k 2）•+km （﹣）+m 2，将m 2＝2k 2+2代入上式可得•＝0，所以以线段PQ 为直径的圆恒过原点．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力 22．（12分）已知函数f （x ）＝a （x 2﹣4）﹣lnx +ln 2，其中a 是实常数． （1）当a ＝1时，求函数图象在点（2，f （2））处的切线方程； （2）若f （x ）在x ＝4处取得极值，求a 的值；（3）若f （x ）≥0在[2，+∞）恒成立，求a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（2），f′（2）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，根据函数极值的意义，得到关于a的方程，解出即可；（3）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数f（x）的单调区间，求出函数的最小值，根据f（x）min≥0，从而确定a的范围即可．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝x2﹣4﹣lnx+ln2，f′（x）＝2x﹣，故f（2）＝0，f′（2）＝，故切线方程是：y＝（x﹣2），即y＝x﹣7；（2）f′（x）＝2ax﹣，由题意f′（4）＝8a﹣＝0，解得：a＝；（3）f′（x）＝，①a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在[2，+∞）递减，而f（2）＝0，故f（x）≤0在[2，+∞）恒成立，不合题意；②a＞0时，令f′（x）＝0，解得：x＝，令＞2，解得：0＜a＜，故0＜a＜时，＞2，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：2＜x＜，故f（x）在[2，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）min＝f（）＝﹣4a+ln2+lna，问题转化为只需﹣4a+ln2+lna≥0，（0＜a＜），即只需1﹣8a+3ln2+lna≥0（0＜a＜），令h（a）＝1﹣8a+3ln2+lna≥0（0＜a＜），h′（a）＝﹣8+＞0，h（a）在（0，）递增，而h（）＝0，故h（a）＜0在（0，）恒成立，故0＜a＜不合题意，a≥时，≤2，故f（x）在[2，+∞）递增，故只需f（2）≥0即可，而f（2）＝0，满足题意，综上，a≥．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。

广东省深圳高中联考联盟2018-2019学年第一学期期末考试高二理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设命题P：，，则￢为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：，，则￢为：，．故选：C．利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2.双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：双曲线，其渐近线方程，整理得故选：A．把双曲线其渐近线方程是方程，整理后就得到双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．3.设等差数列的前n项和为，若，是方程的两根，那么A. 8B. 36C. 45D. 72【答案】B【解析】解：等差数列的前n项和为，，是方程的两根，，．故选：B．由，是方程的两根，得，从而，由此能求出结果．本题考查等差数列的前9项和的求法，考查韦达定理、等差数列性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．4.“”是“椭圆离心率为”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】解：椭圆离心率为，可得：时，，或时，，解得或．“”是“椭圆离心率为”的充分不必要条件．故选：A．椭圆离心率为，可得：时，，或时，，解得m即可判断出结论．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，”则该人第四天走的路程为A. 3里B. 6里C. 12里D. 24里【答案】D【解析】解：设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得：，解得里，里．故选：D．设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得：，求出里，由此能求出该人第四天走的路程．本题考查等比数列的第4项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．6.以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是A. B. C.D.【答案】A【解析】解：右焦点即圆心为，一渐近线方程为，即，，圆方程为，故选：A．求出双曲线的右焦点得到圆心，在求出圆心到其渐近线的距离得到圆的半径，从而得到圆的方程．本题考查双曲线的焦点坐标和其渐近线方程以及圆的基础知识，在解题过程要注意相关知识的灵活运用．7.已知抛物线，以为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意可得，弦所在直线斜率存在，设弦所在直线方程为，代入抛物线的方程可得，由可得，，故弦所在直线方程为，故选：B．设弦所在直线方程为，代入抛物线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系，求出，从而得到弦所在直线方程．本题考查用点斜式求直线方程的方法，一元二次方程根与系数的关系，求出是解题的关键．8.已知四棱锥中底ABCD是正方形，且，面ABCD，则面SAD和面SBC所成的锐角二面角的余弦值为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：四棱锥中底ABCD是正方形，且，面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，设，则0，，1，，1，，1，，1，，设平面SBC的法向量y，，则，取，得1，，面SAD的法向量1，，设面SAD和面SBC所成的锐角二面角的平面角为，则．面SAD和面SBC所成的锐角二面角的余弦值为．故选：C．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面SAD和面SBC所成的锐角二面角的余弦值．本题考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9.如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】解：由题意知，直线平面，则，即就是点P到直线的距离，那么点P到直线BC的距离等于它到点的距离，所以点P的轨迹是抛物线．故选：D．由线垂直平面，分析出就是点P到直线的距离，则动点P满足抛物线定义，问题解决．本题考查抛物线定义及线面垂直的性质．10.如图过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若，且，则抛物线的方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设，则由已知得：，由定义得：，故，在直角三角形ACE中，，，，从而得，，求得，因此抛物线方程为．故选：D．分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设，根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得a，进而根据，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．本题主要考查了抛物线的标准方程考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握．11.点P是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：如图所示：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则点0，，1，，设点P的坐标为y，，则由题意可得，，．，，，由二次函数的性质可得，当时，取得最小值为；故当或1，且或1时，取得最大值为0，则的取值范围是，故选：D．建立空间直角坐标系，则点0，，1，，设点P的坐标为y，，则由题意可得，，，计算，再利用二次函数的性质求得它的值域．本题主要考查向量在几何中的应用，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．12.已知数列：依它的前10项的规律，这个数列的第2019项满足A. B. C. D.【答案】B【解析】解：将此数列分组为第n组有n个数，设数列的第2019项在第n组中，由等差数列前n项和公式可得：，解得：，则前63组共，即在第64组的第3项，即，故选：B．结合阅读观察能力及归纳推理能力将此数列分组为第n组有n个数，设数列的第2019项在第n组中，由等差数列前n项和公式可得：，可得在第64组的第3项，即得解．本题考查了阅读观察能力及归纳推理能力，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.等比数列中，已知，则______．【答案】9【解析】解：由于等比数列中，已知，则：，故答案为：9直接利用等比数列的性质求出结果．本题考查的知识要点：等比数列的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．14.若x，y满足约束条件，则目标函数的最大值是______．【答案】3【解析】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图易得，当，时，目标函数的最大值为3故答案为：3．先满足约束条件的可行域，然后将各个角点的坐标代入目标函数的解析式，分析比较后，即可得到目标函数的最大值．本题考查的知识点是简单的线性规划，画出满足约束条件的可行域是关键，属于基础题．15.在平行六面体中，，，，，，则的长为______．【答案】【解析】解：由题意，如图，作底面于O，作OE垂直AB于E，OF垂直AD于F，连接，，由于，，故有≌ ，即从而有 ≌ ，即有，由作图知，O在角DAB的角平分线上，又底面是矩形，故角角，又，，，，，，于是有，在直角三角形中，解得在图中作垂直底面于H，作HR垂直DC延长线与R，由几何体的性质知，，连接AH，得如图的直角三角形ASH，直角三角形，由已知及上求解得，故答案为观察图形及题设条件，可构造出与有关的三角形然后利用三角形求此线段的长度，由题设条件可以证出在底面上的射影是角BAD的角平分线，由几何体的几何特征知，在底面上的射影在BC，DC的所组成的角的角平分线上，且此垂足到C的距离与点在底面的垂足O到A的距离相，故可依据题设条件求出点O到AB，AD的距离，即求得图中HR，CR的长度，补出如图的图形，在直角三角形中即可求出的长本题主要考查了体对角线的求解，同时考查了空间想象能力，计算推理的能力，本题解题的关键是有着较强的空间感知能力以及根据题设条件构造图形的能力，本题是一个创造型题，作出恰当的辅助线对求解本题很重要，本题是立体几何中综合性较强的题，解题中用到了间接法的技巧，通过求点到底面的距离求出点到底面的距离16.在地平面上有一旗杆在地面，为了测得它的高度h，在地平面上取一长度为20m的基线AB，在A处测得P点的仰角为，在B处测得P点的仰角为，又测得，则旗杆的高h等于______【答案】20【解析】解：由题意可得，，且，，在中，由余弦定理可得，即，解得，旗杆OP的高度为20m．故答案为：20．由题意，利用直角三角形的边角关系表示出OB、OA与OP的关系，再利用余弦定理求得OP即h的值．本题考查了直角三角形的边角关系和余弦定理的应用问题，是基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合；集合．当时，若“”是真命题，求实数x的取值范围；若““是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】解：集合，可得，集合．当时，，．“”是真命题，实数x的取值范围是．若““是“”的必要不充分条件，则，解得：．实数a的取值范围：．【解析】集合，可得，集合．当时，，即可得出，进而得出实数x的取值范围．若““是“”的必要不充分条件，则，解得实数a的取值范围．本题考查了不等式的解法、集合运算性质、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.已知数列的前n项和为，且满足；等差数列满足，．求数列和数列的通项公式；令，设数列的前项和为，求证：．【答案】解：数列的前n项和为，且满足，可得时，，即；时，，可得，即，；等差数列的公差设为d，，，即有，，解得，即有，；证明：，数列的前项和为，由随着n增大而增大，可得，可得．【解析】运用数列的递推式：时，，时，，可得的通项公式；由等差数列的通项公式解方程可得首项、公差，即可得到所求的通项公式；求得，运用数列的求和方法：裂项相消求和，以及数列的单调性，和不等式的性质，即可得到证明．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式和等差数列的通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19.已知抛物线，过点的直线l交抛物线于A、B两点．求证：；若直线l的倾斜角为，求．【答案】解：证明：当直线l斜率不存在时，此时l：，解得，，满足，；当直线l斜率存在时，设l：，联立抛物线方程，可得，设，，则，，则，即有．综上，成立；若直线l的倾斜角为，可得直线l的方程为，代入抛物线程，可得，设，，则，，则．【解析】讨论直线l的斜率不存在和直线的斜率且不为0，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，即可得证；直线l的方程为，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，以及直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，同时考查向量数量积的坐标表示，和向量垂直的条件，属于中档题．20.某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元，设池底长方形的长为x米．Ⅰ求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；Ⅱ怎样设计水池底面长和宽能使总造价最低？最低造价是多少？【答案】解：Ⅰ设水池的底面积为，池壁面积为，则有平方米分池底长方形宽为米，则分Ⅱ设总造价为y，则分当且仅当，即时取等号分所以时，总造价最低为256000元．答：当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为256000元分．【解析】Ⅰ分析题意，本小题是一个建立函数模型的问题，可设水池的底面积为，池壁面积为，由题中所给的关系，将此两者用池底长方形长x表示出来．Ⅱ此小题是一个花费最小的问题，依题意，建立起总造价的函数解析式，由解析式的结构发现，此函数的最小值可用基本不等式求最值，从而由等号成立的条件求出池底边长度，得出最佳设计方案本题考查函数模型的选择与应用，解题的关键是建立起符合条件的函数模型，故分析清楚问题的逻辑联系是解决问题的重点，此类问题的求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题．21.如图，三棱柱中，，，，P，Q分别为棱，AC的中点．在平面ABC内过点A作平面交BC于点M，并写出作图步骤，但不要求证明；若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】解：取中点E，连接AE，则，连接CE，取CE中点N，连接QN，则，，即Q，N，P，四点共面，连接交BC于H，连接QH，则Q，H，，P四点共面，过A作交BC于M，即为所求．作平面，与延长线交于O，则，，，，，，，，，作，则直线与平面所成角直线PN与平面所成角，，，设N到平面的距离为h，则，，直线与平面所成角的正弦值．【解析】取中点E，连接AE、CE，取CE中点N，得到Q，N，P，四点共面，延长交BC于H，再直接作出AM即可；作，则直线与平面所成角直线PN与平面所成角，求出N 到平面的距离，即可求直线与平面所成角的正弦值．本题考查线面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.已知椭圆：过点，其焦距为2．Ⅰ求椭圆的方程；Ⅱ已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：如图，点B为在第一象限中的任意一点，过B作的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求面积的最小值；如图，过椭圆：上任意一点P作的两条切线PM和PN，切点分别为M，当点P在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．【答案】解：依题意得：椭圆的焦点为，，由椭圆定义知：，，所以椭圆的方程为分设，则椭圆在点B处的切线方程为令，，令，所以分又点B在椭圆的第一象限上，所以，分，当且仅当所以当时，三角形OCD的面积的最小值为分设，则椭圆在点处的切线为：又PM过点，所以，同理点也满足，所以M，N都在直线上，即：直线MN的方程为分所以原点O到直线MN的距离，分所以直线MN始终与圆相切分【解析】Ⅰ依题意得：椭圆的焦点为，，由椭圆定义知：，即可求出a，b，从而可求椭圆的方程；Ⅱ确定，再结合基本不等式，即可求面积的最小值；先求出直线MN的方程，再求出原点O到直线MN的距离，即可得出结论．本题考查椭圆的方程，考查三角形面积的计算，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。