盐城师范学院课程考查论文
课程名称：《计算方法》
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论文题目：浅谈拉格朗日插值法
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浅谈拉格朗日插值法
插值法又称“内插法”，是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
下面将主要谈谈拉格朗日插值法。
一、 问题的背景
在实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。但是,通过观察或测量或试验只能得到在区间[a,b]上有限个离散点x0 ,x1 ,…,xn 上的函数值yi =f(xi ) ,(i=0,1,…,n) 。 或者f(x)的函数f(x)表达式是已知的,但却很复杂而不便于计算;希望用一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数来描述它。
二、插值问题的数学提法:
已知函数在n+1个点x0 ,x1 ,…,xn 上的函数值
yi =f(xi ), (i=0,1,…,n)
求一个简单函数y=P(x),使其满足:
P(xi )=yi ,(i=0,1,…,n) 。
即要求该简单函数的曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个点：
(x0 ,y0 ),(x1 ,y1 ),…,(xn ,yn ),
同时在其它x∈[a,b]上要估计误差:
R(x) = f(x) - P(x)
其中P(x)为f(x)的插值函数，x0 ,x1 ,…,xn 称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b] 称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。若P(x)是次数不超过n的代数多项式，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。若P(x)是分段的多项式，就是分段插值。若P(x)是三角多项式，就称三角插值。
拉格朗日插值多项式
拉格朗日插值多项式是根据一组给定的数据点，利用拉格朗日插值法求出的拟合多项式。拉格朗日插值法是一种求解插值问题的方法，它是由法国数学家拉格朗日在18次世界数学家大会上提出的。拉格朗日插值法的基本思想是：将插值多项式看作是一个多元函数，它的值在给定的数据点处等于给定的数据值，并且在其他点上满足拉格朗日插值准则。
拉格朗日插值多项式的优点是：
1. 它可以用于拟合任意类型的函数，而不仅仅是线性函数；
2. 它可以得到更高的准确度，因为它可以根据不同的数据点来调整多项式的形式；
3. 它可以得到更平滑的曲线，因为它可以根据不同的数据点来调整多项式的形式；
4. 它可以用于处理离散数据点，而不仅仅是连续数据点。
拉格朗日插值多项式的缺点是：
1. 它的计算量较大，因为它需要解决一个多项式的拟合问题；
2. 它可能会得到不稳定的拟合结果，因为它的多项式形式可能会受到数据点的影响；
3. 它不能处理缺失的数据点，因为它需要给定的数据点来调整多项式的形式。
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. 数值分析
报告
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常用的插值方法
序言
在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。
早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。
插值问题的提法是：假定区间[a，b〕上的实值函数f（x）在该区间上 n＋1个互不相同点x0，x1……xn 处的值是f（x0），……f（xn），要求估算f（x）在[a，b〕中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C0，C1，……Cn的函数类Φ(C0，C1，……Cn)中求出满足条件P（xi）＝f（xi）（i＝0，1，……
n）的函数P(x)，并以P(x)作为f(x)的估值。此处f（x）称为被插值函数，x0，x1，……xn称为插值结(节)点，Φ(C0，C1，……Cn)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，Φ（C0，……Cn）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝ f（x）－P（x）称为插值余项。
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. 求解这类问题，它有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit插值，分段插值和样条插值。
一．拉格朗日插值
1.问题提出：
已知函数yfx在n+1个点01,,,nxxx上的函数值01,,,nyyy，求任意一点x的函数值fx。
说明：函数yfx可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值fx。
五种插值法的对⽐研究毕业论⽂
题⽬：五种插值法的对⽐研究xxx⼤学本科⽣毕业论⽂开题报告表
论⽂（设计）类型：A—理论研究；B—应⽤研究；C—软件设计等；
五种插值法的对⽐研究 (3)
⼀插值法的历史背景 (5)
⼆五种插值法的基本思想 (5)
（⼀）拉格朗⽇插值 (5)
（⼆）⽜顿插值 (6)（三）埃尔⽶特插值 (7)
（四）分段线性插值 (7)
（五）样条插值 (8)
三五种插值法的对⽐研究 (9)
四插值法在matlab中的应⽤ (15)
五参考⽂献 (17)
五种插值法的对⽐研究
摘要：插值法是数值分析中最基本的⽅法之⼀。在实际问题中碰到的函数是各种各样的，有的甚⾄给不出表达式，只提供了⼀些离散数据，例如，在查对数表时，要查的数据在表中找不到，就先找出它相邻的数，再从旁边找出它的修正值，按⼀定关系把相邻的数加以修正，从⽽找出要找的数，这种修正关系实际上就是⼀种插值。在实际应⽤中选⽤不同类型的插值函数，逼近的效果也不同。本⽂详细介绍了拉格朗⽇插值、⽜顿插值、分段插值、埃尔⽶特插值、样条插值法，并从五种插值法的基本思想和具体实例⼊⼿，探讨了五种插值法的优缺点和适⽤范围。.通过对五种插值法的对⽐研究及实际应⽤的总结，从⽽使我们在以后的应⽤中能够更好、更快的解决问题。
关键词：插值法对⽐实际应⽤Abstract: interpolation numerical analysis of one of the most basic method. Function is a wide variety of practical problemsencountered, and some even not give expression provides only a number of discrete data, e.g., in the the checker numbertable, to check the data is not found in the table , first find out the number next to it, from the side to find the correction value, acertain relationship between the adjacent number to be amended, and to find to find the number, this correction relationship isactually an interpolation . Selection of different types of interpolation functions in practical applications, the approximation ofthe effect is different. This paper describes the Lagrange interpolation, Newton interpolation, piecewise interpolation, Hermiteinterpolation, spline interpolation, and start from the basic idea of the five interpolation and specific examples to explore theadvantages of the five interpolation shortcomings and the scope of application. The comparative study and practicalapplication of the summary by the the five interpolation method of application so that we can better and faster to solve theproblem.
