牛顿插值法
一:实验目的：
1.matlab中多项式的表示及多项式运算
2.用matlab实现牛顿插值法
二:实验代码
(一)function [p]=Newton_Ployfit(X,Y)
if size(X) ~= size(Y)
error;
end
format long g
r=size(X);n=r(2);
M=ones(n,n);
M(:,1)=Y';
for i=2:n
for j=i:n
M(j,i)=(M(j,i-1)-M(j-1,i-1))/(X(j)-X(j-i+1));
end
end
M
p0=[zeros(1,n-1) M(1,1)];p=p0;
for i=1:n-1
p1=M(i+1,i+1).*poly(X(1:i));
p0=[zeros(1,n-i-1) p1];
p=p+p0;
end
(二)x0=linspace(0,2*pi,10);
y0=sin(x0);
p=Newton_Ployfit(x0,y0);
x=0:0.2:2*pi;
y1=sin(x);
y2=polyval(p,x);
plot(x,y1,'co',x,y2,'r');
三：流程图
N
Y
N
Y
Y N
N
Y 输入n
i=0
i=i+1 分别输入n+1个输入各节点
计算方法——插值法
11223510 李晓东
在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是一些离散数值。有时即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，使用不便，且不易于计算与分析。解决这类问题我们往往使用插值法：用一个“简单函数”)(x逼近被计算函数)(xf，然后用)(x的函数值近似替代)(xf的函数值。插值法要求给出)(xf的一个函数表，然后选定一种简单的函数形式，比如多项式、分段线性函数及三角多项式等，通过已知的函数表来确定)(x作为)(xf的近似，概括地说，就是用简单函数为离散数组建立连续模型。
一、 理论与算法
（一）拉格朗日插值法
在求满足插值条件n次插值多项式)(xPn之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点),,1,0(nixi中任一点)0(nkxk，作一n次多项式)(xlk，使它在该点上取值为1，而在其余点),,1,1,1,0(nkkixi上取值为零，即
kikixlik01)( （1.1）
上式表明n个点nkkxxxxx,,,,,,1110都是n次多项式)(xlk的零点，故可设
)())(())(()(1110nkkkkxxxxxxxxxxAxl
其中，kA为待定系数。由条件1)(kkxl立即可得
)())(()(1110nkkkkkkkxxxxxxxxA （1.2）
故 )())(()()())(()()(110110nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxl （1.3）
由上式可以写出1n个n次插值多项式)(,),(),(10xlxlxln。我们称它们为在1n个节点nxxx,,,10上的n次基本插值多项式或n次插值基函数。
利用插值基函数立即可以写出满足插值条件的n次插值多项式
数值计算中的插值方法与误差分析
数值计算是一门应用数学学科，广泛应用于科学与工程领域。在实际问题中，我们常常需要通过已知的离散数据点来估计未知的数值。插值方法就是为了解决这个问题而设计的。
插值方法是一种基于已知数据点，推断出未知数据点的数值计算方法。常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值等。下面我们将重点介绍这两种方法。
1. 拉格朗日插值法
拉格朗日插值法是插值方法中最常见的一种。它是基于拉格朗日多项式的思想。假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。拉格朗日插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。具体步骤如下：
（1）根据已知数据点构造Lagrange插值多项式：
L(x) = Σ(yi * Li(x)), i = 0, 1, ..., n
其中，Li(x) = Π((x-xj)/(xi-xj)), j ≠ i
（2）计算未知点x对应的函数值y：
y = L(x)
拉格朗日插值法的优点是简单易懂，计算方便。然而，它也存在着一些问题，比如插值多项式的次数较高时，多项式在插值区间外的振荡现象明显，容易引起插值误差。 2. 牛顿插值法
牛顿插值法是另一种常见的插值方法。它是基于差商的思想。假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。牛顿插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。具体步骤如下：
（1）计算差商：
f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ..., xi+k-1]) / (xi+k - xi)
（2）根据已知数据点构造Newton插值多项式：
N(x) = f[x0] + Σ(f[x0, x1, ..., xi] * Π(x - xj)), i = 0, 1, ..., n-1
数值计算方法复习知识点
数值计算方法是研究计算数值解的方法和数值计算的理论。它是计算数学的一个分支，主要用于解决无法用解析方法求解的数学模型问题。本文将综述数值计算方法的一些重要知识点，包括插值与逼近、数值微分与数值积分、线性方程组的直接解法与迭代解法以及常微分方程的数值解法。
一、插值与逼近
1.插值：插值是利用已知数据点构造一个函数，使得该函数在给定的数据点上与已知函数完全相等。常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
2. 逼近：逼近是从已知数据点构造一个函数，使得该函数在给定的数据点附近与已知函数近似相等。逼近常用的方法有最小二乘逼近和Chebyshev逼近。
二、数值微分与数值积分
1.数值微分：数值微分是通过计算差分商来近似计算函数的导数。常见的数值微分方法有前向差分、后向差分和中心差分。
2.数值积分：数值积分是通过近似计算定积分的值。常见的数值积分方法有中矩形法、梯形法和辛普森法。
三、线性方程组的直接解法与迭代解法
1.直接解法：直接解法是通过一系列数学运算直接计算线性方程组的解。常见的直接解法有高斯消元法和LU分解法。
2. 迭代解法：迭代解法是通过迭代计算逼近线性方程组的解的方法。常见的迭代解法有Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法。 四、常微分方程的数值解法
1.常微分方程：常微分方程是描述动力系统的数学模型，常用来描述物理系统、生物系统等。常微分方程的数值解法主要包括初始值问题的一阶常微分方程和常微分方程组的数值解法。
2.常微分方程的数值解法：常微分方程的数值解法有欧拉方法、改进的欧拉方法、龙格-库塔方法等。这些方法都是将微分方程转化为递推方程，通过迭代计算逼近微分方程的解。
总结：
数值计算方法是求解数学模型的重要工具，在科学计算、工程设计和经济管理等领域有广泛的应用。本文回顾了数值计算方法的一些重要知识点，包括插值与逼近、数值微分与数值积分、线性方程组的直接解法与迭代解法以及常微分方程的数值解法。对于进一步深入学习和应用数值计算方法具有参考价值。
