计算方法拉格朗日插值

科技创新　２０１６年第３２期Ｉ科技创新与应用　工程计算中拉格朗日插值的误差评价　李占松　师冰雪　（郑州大学水利与环境学院，河南郑州４５０００１）　摘要：工程计算中，许多系数都是由物理实验得出的。这些系数取值时，需要进行插值。严格来讲，插值公式形式应该取决于物　理量之间的内在联系，由理论分析确定。尚不能用理论分析手段确定其具体形式时，拉格朗日插值多项式是常用的插值形式。与　此相关，仍不时存在着插值多项式次数愈高精度愈高的误区。由于物理实验数据本身不可避免存在误差，这些误差也是随插值次　数的升高而增大。插值多项式的次数应该是适度的。当物理实验数据足够充分时，分段线性插值应该是首选的插值形式。当插值　多项式有其他特殊要求时，如一阶或二阶导数连续等，则采用相应的更高一阶多项式形式。科学评价拉格朗日插值多项式的误　差，对提高相关工程计算精度有着重要的意义。　关键词：工程计算；实验数据；插值；误差评价　１概述　工程计算中，有许多系数是需要物理实验确定的。比如水力计　算中的粘度，沿程阻力系数，局部阻力系数，粗糙系数，堰闸出流的　流量系数、侧收缩系数和淹没系数等［１】。这些系数的物理实验值，很　多都是以离散形式呈现。在取值时，一般都要进行插值计算。插值之　前，先要构造插值公式。插值公式的形式可以多种多样。严格来讲，　其形式是由两者之间的内在联系决定的，应该是理论分析的结果。　但事实上，往往这两个变量之间的关系复杂，不能得到其理论形式。　此时，拉格朗日多项式就成为常用的插值公式形式。在应用时，有时　往往存在这样的误区，即认为插值多项式的次数越高越好。实际上　物理实验数据总会存在测量和舍入误差［２１３］。插值多项式系数越高误　差放大的也就越多。理论上来讲，当物理实验数据足够充分时，分段　线性插值所衍生的误差最小。对水力计算中拉格朗日插值的误差进　行科学评价，有助于正视该问题，提高其分析的精度。　２拉格朗日插值多项式　拉格朗日插值多项式一般形式为　：　Ｙ　（Ｘ）　ｎ　ｎ　Ｘ－－Ｘｊ）　㈩　（１）式中ｎ表示插值多项式的最高次方数；如果插值多项式的　最高次方数为ｎ，则称该插值为ｎ次插值；ｉ＂１次插值需要ｎ＋ｌ组实验　数据［（　，Ｙｏ），（－１，Ｙ１），…一，（　，，Ｙｊ　…，（　，　）］。ｘ为自变量；ｙ为（因变　量）函数值。　．　当ｎ取１时，则为线性插值；数据多时可采用分段线性插值。当　ｎ取２时，称为二次插值，亦称抛物插值。当ｎ取３时，称为三次插　值，亦称样条插值。　３拉格朗Ｆｔ插值多项式的误差评价　３．１线性插值、二次插值和三次插值公式的具体形式　当ｎ取１时，（１）式即为线性插值公式：　ｙｌ（　）＝　．Ｙ。＋　．Ｍ　（２）　当ｎ取２时，（１）式即为二次（抛物）插值公式：　【嚣】【嚣　ｉｘ－ｘ　ｏ　ｌ［…ｘ－ｘ￣　（　】【羞　ｓ，　当ｎ取３时，（１）式即为三次（样条）插值公式：　ｉ…　Ｉ　ｒ　ｘ－　ｘ２　Ｉ　ｒ…　Ｉ　＋［嚣］［嚣】［嚣　、　＋［嚣］［　］［　［嚣】［　］　］　３．２插值多项式次数对误差的影响　简单计，同时也不失一般性，考察函数ｙ（ｘ）＝０的插值。自变量ｘ　实验数据的间隔相ＩＮ，均为Ａｘ。在末点，即ｎ点，设定误差为８；其它　点误差均为零。分析与ｎ点相邻等间隔外延一点即ｎ＋ｌ点的误差放　大值。　由（２）式不难得出线性插值的误差放大值为：　Ｙｌ（墨＋　）＝÷×Ｅ＝２ｅ　（５）　由（３）式可得二次（抛物）插值的误差放大值为：　）＇　（　＋　）＝　一３　由（４）式可得三次（样条）插值的误差放大值为　ｙ　（屯＋　）：　×　推而广之，拉格朗日ｒ１次插值的误差放大值为　ｆ，ｚ＋１１　１　∑——　×Ｅ　ｎ！　（６）　（７）　３．３外延间隔大小对误差的影响　基本条件同上述设定。现分析与ｎ点相邻间隔ｍａｘ外延即ｎ＋　ｍ点的误差放大值。　由（２）式可得线性插值的误差放大值为：　）】１（ｘａ＋ｍａｘ）＝　一（州）　（９）　ｙ：（Ｘ２－－ｍ　）＝　×　一　㈦　由（４）式可得三次（样条）插值的误差放大值为：　ｙ３（　＝　×　ｘ　一　…　推而广之，拉格朗日ｎ次插值的误差放大值为：　ｙ　（　＋　）＝　×　（１２）　３．４拉格朗日插值误差影响分析　由（１２）式可得不同插值多项式次数ｎ和外延间隔大小（用ｍ来　体现）与误差放大倍数的关系。ｎ＝ｌ～１０、ｍ＝ｌ～３时误差放大倍数　ｌｎ牛的取值见表１。　ｎ！×ｍ！　表１误差放大倍数与插值多项式次数（ｎ）７２．Ｐｌ＂延间隔（ｍ）的　对应关系　ｌ　２　３　４　５　６　７　８　９　１０　１　２　３　４　５　６　７　８　９　１０　１１　２　３　６　１０　１５　２１　２８　３６　４５　５５　６６　３　４　１０　２０　３５　５６　８４　１２Ｏ　１６５　２２０　２８６　通常情况下，水力学实验控制实测量相对误差小于５％，此时认　为是比较精确的。如相对误差达到２０％～２５％，则认为精度差，误差　大。如若相对误差在４０％一５０％，则插值计算已几无价值。如若相对　误差达８０％～１００％，则结果就是荒谬的。由表中数据可以看出，自变　量外延一个数据间隔，三、四次插值结果精度已很差，八次插值已几　无价值；若外延两个数据间隔，二次插值结果已存在很大误差，三次　插值结果已几无价值，四、五次插值结果则完全是荒谬的；若外延三　个数据间隔，即使是线性插值即已存在较大的误差，二次插值结果　已几无价值，三次插值结果就已经是荒谬的。　４结束语　一

盐城师范学院课程考查论文

课程名称：《计算方法》

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论文题目：浅谈拉格朗日插值法

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浅谈拉格朗日插值法

插值法又称“内插法”，是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

下面将主要谈谈拉格朗日插值法。

一、 问题的背景

在实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。但是,通过观察或测量或试验只能得到在区间[a,b]上有限个离散点x0 ,x1 ,…,xn 上的函数值yi =f(xi ) ,(i=0,1,…,n) 。 或者f(x)的函数f(x)表达式是已知的,但却很复杂而不便于计算;希望用一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数来描述它。

二、插值问题的数学提法:

已知函数在n+1个点x0 ,x1 ,…,xn 上的函数值

yi =f(xi ), (i=0,1,…,n)

求一个简单函数y=P(x),使其满足:

P(xi )=yi ,(i=0,1,…,n) 。

即要求该简单函数的曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个点：

(x0 ,y0 ),(x1 ,y1 ),…,(xn ,yn ),

同时在其它x∈[a,b]上要估计误差:

R(x) = f(x) - P(x)

其中P(x)为f(x)的插值函数，x0 ,x1 ,…,xn 称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b] 称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。若P(x)是次数不超过n的代数多项式，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。若P(x)是分段的多项式，就是分段插值。若P(x)是三角多项式，就称三角插值。

拉格朗日插值多项式

拉格朗日插值多项式是根据一组给定的数据点，利用拉格朗日插值法求出的拟合多项式。拉格朗日插值法是一种求解插值问题的方法，它是由法国数学家拉格朗日在18次世界数学家大会上提出的。拉格朗日插值法的基本思想是：将插值多项式看作是一个多元函数，它的值在给定的数据点处等于给定的数据值，并且在其他点上满足拉格朗日插值准则。

拉格朗日插值多项式的优点是：

1. 它可以用于拟合任意类型的函数，而不仅仅是线性函数；

2. 它可以得到更高的准确度，因为它可以根据不同的数据点来调整多项式的形式；

3. 它可以得到更平滑的曲线，因为它可以根据不同的数据点来调整多项式的形式；

4. 它可以用于处理离散数据点，而不仅仅是连续数据点。

拉格朗日插值多项式的缺点是：

1. 它的计算量较大，因为它需要解决一个多项式的拟合问题；

2. 它可能会得到不稳定的拟合结果，因为它的多项式形式可能会受到数据点的影响；

3. 它不能处理缺失的数据点，因为它需要给定的数据点来调整多项式的形式。

拉格朗日 插值 区间误差限

拉格朗日插值方法是一种常用的数值插值方法，用于在给定一组已知数据点的情况下，通过构造一个多项式函数来拟合这些数据点，并在插值区间内求得未知值。然而，由于插值方法的近似性质，插值结果与真实值之间总会存在一定的误差。本文将介绍拉格朗日插值法以及其误差限的计算方法。

一、拉格朗日插值法简介

拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法，其基本思想是通过构造一个满足给定数据点的插值多项式来逼近真实的函数曲线。具体而言，对于给定的n个数据点(xi, yi)，拉格朗日插值法的插值多项式可以表示为：

P(x) = Σ[ yi * Li(x) ]，i=0 to n

其中，Li(x)是拉格朗日基函数，定义为：

Li(x) = Π[ (x - xj) / (xi - xj) ]，j=0 to n，i ≠ j

这样，通过求解插值多项式P(x)，我们可以在插值区间内求得未知值。

二、插值误差限的计算

尽管拉格朗日插值法可以通过构造插值多项式来逼近真实函数曲线，但由于插值方法本质上是一种近似方法，插值结果与真实值之间总会存在一定的误差。我们可以通过计算插值误差限来评估插值的可靠性。 在拉格朗日插值法中，插值误差限可通过以下等式进行估计：

| f(x) - P(x) | ≤ M / (n + 1)! * | x - x0 | * | x - x1 | * ... * | x - xn |

其中，f(x)是真实函数的值，P(x)是插值多项式的值，M是插值区间上函数f(x)的最大导数的上界，n是插值多项式的次数。

三、拉格朗日插值法的应用示例

为了更好地理解拉格朗日插值法及其误差限的计算方法，我们来看一个具体的示例。

假设我们要通过拉格朗日插值法来估计函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]内的某个未知值。已知在该区间内取了n+1个等间距的数据点(xi, yi)，其中i=0, 1, 2, ..., n。