三角形的相似性质相似三角形的判定及其应用

相似三角形的判定和性质

知识讲解

1. 比例线段：对于四条线段a，b，c，d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即acbd（或a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．

 在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项．

 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比

例中项．  比例的性质 （1）基本性质 ①a：b=c：dad=bc

②a：b=b：c （2）更比性质（交换比例的内项或外项）

（交换内项）

（交换外项）

（同时交换内项和外项）

（3）反比性质（交换比的前项、后项）：

（4）合比性质：

（5）等比性质：

banfdbmecanfdbnmfedcba)0(

 黄金分割 把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段

AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0．

618AB cbba

acb2

dbca

dcbaacbd

abcd

cdabdcba

ddcbbadcba

215

如图，若ABPBPA2，则点P为线段AB的黄金分割点． 2. 平行线分线段成比例定理：

① 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3．

ABBC=DEEF;ABAC=DEDF;BCAC=EFDF.

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于

三角形的第三边．

3. 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

4. 相似三角形的概念：对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．

5. 相似三角形的性质

（1）对应角相等，对应边的比相等；

(1)相似三角形的对应角相等.

(2)相似三角形的对应边成比例.

(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.

(4)相似三角形的周长比等于相似比.

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.

判定方法

证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。

方法一（预备定理）

平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明）

方法二

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似。(AA')

方法三

如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似 （SAS）

方法四

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似(SSS)

方法五（定义）

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似图形（二）

知识点一 相似多边形的定义

1、定义：我们把具有相同形状的图形称为相似形.

2、相似多边形的特性：相似多边的对应边成比例,对应角相等

注意：1、多边形形似需满足2个条件：1

2 、对应角相等

、对应边成比例

2、对应边相等的多边形不一定相似。如：

3、对应边相角的多边形不一定相似。如：

例题1

例题2 现有一个旧的矩形篮球场长为10m，宽为6m。若将其长和宽均加大2m，

得到新的 篮球场。新旧篮球场是相似图形吗？为什么？

知识点二 相似三角形的判定与性质

1、相似三角形的定义

三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．

2、相似三角形的判定方法

① 若DE∥BC（A型和X型）则______________．

EA

D

CB E

AD

CB ADC

B

② 两个角对应相等的两个三角形__________．

③ 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．

④ 三边对应成比例的两个三角形___________． 性质：







比的平方、对应面积比等于相似比、对应周长比等于相似、对应边成比例、对应角相等

4321

判定：







两边对应成比例、直角三角形、三边对应成比例夹角相等、两边对应成比例，且、两角对应相等

4321

（1）相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。

当相似比等于1时全等三角形。全等三角形是相似三角形

的特例。

（2）相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似。

②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。

③三边对应成比例，两三角形相似。

④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个

直角三角

形的斜边一条直角边对应成比例，那么这两个三角

形相似

（3）相似三角形的性质：①相似三角形的对就角相等。

②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）

成比例。

③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似

1.如图，锐角_x0001_的高CD和BE相交于点O，图中

页脚内容1 相似三角形的判定与性质以及应用

考点一：相似三角形的判定与性质

1．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．

（1）求证：△BDE∽△CEF；

（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．

2．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．

（1）求证：△ADE∽△ABC； 1.如图，锐角_x0001_的高CD和BE相交于点O，图中

页脚内容2 （2）若AD=3，AB=5，求的值．

3．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．

（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；

（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．

1.如图，锐角_x0001_的高CD和BE相交于点O，图中

页脚内容3

4．已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B．若AE=5，AB=9，CB=6，求ED的长．

5．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．

（1）求证：△ABD∽△CBE；

（2）若BD=3，BE=2，求AC的值． 1.如图，锐角_x0001_的高CD和BE相交于点O，图中

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6．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，过点A作AG⊥BD分别交BD、BC于点G、E．

（1）求证：BE2=EG•EA；

（2）连接CG，若BE=CE，求证：∠ECG=∠EAC．

动点问题：

1.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由． 1.如图，锐角_x0001_的高CD和BE相交于点O，图中