选修4－1 几何证明选讲
第1讲 相似三角形的判定及有关性质
对应学生203
考点梳理
1．平行线等分线段定理及其推论
(1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
(2)推论：①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．
2．平行线分线段成比例定理及推论
(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．
3．相似三角形的判定
(1)定义：如果在两个三角形中，对应角相等、对应边成比例，则这两个三角形叫做相似三角形．
(2)判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似．
(3)判定定理2：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．
(4)判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．
4．相似三角形的性质
(1)性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比．
(2)性质定理2：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
5．直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，
则有CD2＝AD·BD，
AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.
考点自测
1.如图，已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝32，则B′C′＝________.
解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案．
答案 32
2.如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE交于F，写出图中所有与△ACE相似的三角形________．
解析 由Rt△ACE与Rt△FCD和Rt△ABD各共一个锐角，因而它们均相似，又易知∠BFE＝∠A，故Rt△ACE∽Rt△FBE.
相似三角形的判定与性质
一、知识回顾
1、相似三角形的判定：
（ 1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（ 2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（ 3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似
（ 4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
2、相似三角形的性质
（ 1）对应边的比相等，对应角相等。
（ 2）相似三角形的周长比等于相似比。
（ 3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。
（ 4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。
二、典型例题
例 1：如图，已知直线 AB： y=4/3 x+b 交 x 轴于点 A（ -3 ， 0），交 y 轴于点 B，过点 B 作
BC⊥AB 交 x 轴于点 C．
（ 1）试证明：△ ABC∽△ AOB；（ 2）求△ ABC 的周长．
例 2：如图，一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A（ -1 ，0）和点（ 1，4）交 y 轴于点 B．
（ 1）求一次函数解析式和 B 点坐标．
（ 2）过 B 点的另一直线 1 与直线 AB垂直，且交 X 轴正半轴于点 P，求点 P 的坐标．
（3）点 M（ 0，a）为 y 轴正半轴上的动点，点 N（ b，O）为 X 轴正半轴上的动点， 当直线 MN⊥
直线 AB时，求 a： b 的值．
1
例 3：（ 2000·陕西）如图，在矩形 ABCD中， EF是 BD的垂直平分线，已知 BD=20， EF=15，求矩
形 ABCD的周长．
例 4：（ 2010·攀枝花）如图所示，在△ ABC 中， BC＞ AC，点 D 在 BC上，且 DC=AC，∠ ACB的平分
线 CF交 AD于点 F．点 E 是 AB 的中点，连接 EF．
相似三角形的判定与性质
相似三角形是几何学中的重要概念，它们在很多问题的解决中起着关键作用。本文将介绍相似三角形的判定方法以及相似三角形的一些性质。
一、相似三角形的判定方法
1. AA相似定理
AA相似定理是相似三角形的判定方法之一。当两个三角形的对应角度相等时，这两个三角形是相似的。具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足∠A = ∠D，且∠B = ∠E，那么这两个三角形是相似的。
2. SSS相似定理
SSS相似定理是相似三角形的判定方法之二。当两个三角形的对应边长成比例时，这两个三角形是相似的。具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形是相似的。
3. SAS相似定理
SAS相似定理是相似三角形的判定方法之三。当两个三角形的一个对应边成比例，且两个对应边夹角相等时，这两个三角形是相似的。具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足AB/DE = AC/DF和∠A = ∠D，那么这两个三角形是相似的。 二、相似三角形的性质
1. 对应角相等性质
相似三角形的对应角是相等的。如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 对应边成比例性质
相似三角形的对应边成比例。如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么AB/DE = BC/EF = AC/DF。
3. 高度与边成比例性质
相似三角形的对应边上的高度成比例。如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么AD/DF = BE/EF = CF/DE。
4. 面积与边长平方的比例性质
相似三角形的面积与对应边长的平方成比例。如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，则
S(ABC)/S(DEF) = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2，
其中S(ABC)表示三角形ABC的面积，S(DEF)表示三角形DEF的面积。
第 1 页 / 共 13 页 A'B'C'CBAA'B'C'CBA
相似三角形的性质和判定
一、相似的有关概念
1．相似形
具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换．
2．相似图形的特性
两个相似图形的对应边成比例，对应角相等．
3．相似比
两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．
二、相似三角形的概念
1．相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．
如图，ABC△与ABC△相似，记作ABCABC△∽△，符号∽读作“相似于”。
2．相似比
相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”。
三、相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等
如图，ABC△与ABC△相似，则有AABBCC，，．
2．相似三角形的对应边成比例
如图，ABC△与ABC△相似，则有ABBCACkABBCAC（k为相似比） 。
3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比。
如图1，ABC△与ABC△相似，AM是ABC△中BC边上的中线，AM是ABC△中BC边上的中线，则有ABBCACAMkABBCACAM（k为相似比）．
M'MA'B'C'CBA图（1） H'HABCC'B'A'图（2） D'DA'B'C'CBA图（3） 第 2 页 / 共 13 页 A'B'C'CBAH'HABCC'B'A'如图2，ABC△与ABC△相似，AH是ABC△中BC边上的高线，AH是ABC△中BC边上的高线，则有ABBCACAHkABBCACAH（k为相似比）．
