相似三角形的性质与判定

1 课 题 相似三角形的判定1 初备人 审核人

九年级数学组 复备人

教学目标 1、掌握相似三角形的判定定理1，了解相似三角形判定定理的证明。

2、通过相似三角形的判定定理的探索以及相似三角形判定定理的证明过程，进一步感受几何研究的方法，

体会几何证明的威力，发展合情推理和演绎推理的能力。

重点难点 重点：掌握相似三角形的判定定理1

难点：灵活运用判定定理1解决问题

课前准备

(教具、预

习作业等) 学案、投影机

课堂教学内容设计 复备内容

一、课前延伸，预习反馈：

1、相似多边形的定义

2、全等三角形判定的条件

二、答疑解惑，孕育新知：

观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？

三、精讲精练，巩固新知

作△ABC和△A'B'C'，使得∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，这时它们的第三个角满足∠C＝∠C'吗？分别度量这两个三角形的边长，计算 ，你有什么现？

结论：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似

四、盘点知识，体验收获

如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A', ∠B=∠B'， 求证: △ABC∽△A'B'C'

证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'，过点D作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC

∵∠ADE=∠B, ∠B=∠B'

∴∠ADE=∠B'

又∵∠A=∠A',AD=A'B'

∴△ADE≌△A'B'C'

∴△A'B'C'∽△ABC

五、达标检测，明确不足

1、如果两个等腰三角形有一对底角对应相等那么它们是否一定相似?有一对顶角对应相等呢?

2、有一个角等于300的两个等腰三角形是否相似?等于1200呢? ''''''ACCACBBCBAAB、、

2

3、如图，Rt△ABC中，CD是斜边上的高，△ACD和△CBD都和△ABC相似吗？证明你的结论．

相似三角形的性质与判定讲义)

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 相似三角形的性质与判定讲义

【知识点拨】

一、相似三角形性质

(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．

(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．

(3)相似三角形周长的比等于相似比．

(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．

(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等

二、 相似三角形的等价关系

(1)反身性：对于任一ABC有ABC∽ABC．

(2)对称性：若ABC∽'''CBA，则'''CBA∽ABC．

(3)传递性：若ABC∽CBA''，且CBA''∽CBA，则ABC∽CBA．

三、三角形相似的判定方法

1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．

2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．

3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．

4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．

6、判定直角三角形相似的方法：

(1)以上各种判定均适用．

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．

直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

沃根金榜一对一学科教师辅导讲义

学生姓名： 年级： 老师：

上课日期： 上课时间： 上课次数：

______年级 第______单元 课题______

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[ 课前准备 ]

课前检查：

作业完成情况： 优（ ） 良（ ） 中（ ） 差（ ）

复习预习情况： 优（ ） 良（ ） 中（ ） 差（ ）

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[ 学习内容 ]

一、知识梳理

（一）、相似三角形的性质：

1、相似三角形的对应角 ，对应边 。

2、相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于 。

3、相似三角形对应周长的比等于 。

4、相似三角形对应面积的比等于 。

注意：在运用相似三角形的性质解题时，一定要确定好对应边、对应角；若果不能确定，则应当进行分类讨论。

（二）、相似三角形的判定：

1、判定两个三角形相似的条件：

（1）平行截割： _____

（2）两角对应相等：

（3）两边夹：

（4）三边比：_____________________________________

2、判定两个三角形相似的一般步骤：

（1）先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角

相似三角形的判定和性质

知识讲解

1. 比例线段：对于四条线段a，b，c，d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即acbd（或a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．

 在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项．

 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比

例中项．  比例的性质 （1）基本性质 ①a：b=c：dad=bc

②a：b=b：c （2）更比性质（交换比例的内项或外项）

（交换内项）

（交换外项）

（同时交换内项和外项）

（3）反比性质（交换比的前项、后项）：

（4）合比性质：

（5）等比性质：

banfdbmecanfdbnmfedcba)0(

 黄金分割 把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段

AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0．

618AB cbba

acb2

dbca

dcbaacbd

abcd

cdabdcba

ddcbbadcba

215

如图，若ABPBPA2，则点P为线段AB的黄金分割点． 2. 平行线分线段成比例定理：

① 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3．

ABBC=DEEF;ABAC=DEDF;BCAC=EFDF.

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于

三角形的第三边．

3. 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

4. 相似三角形的概念：对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．

5. 相似三角形的性质

（1）对应角相等，对应边的比相等；