圆柱齿轮传动的强度计算

标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算一、轮齿的受力分析图6-6所示为齿轮啮合传动时主动齿轮的受力情况，不考虑摩擦力时，轮齿所受总作用力f n将沿着啮合线方向，f n称为法向力。

f n在分度圆上可分解为切于分度圆的切向力f t和沿半径方向并指向轮心的径向力f r 。

圆周力f t=n径向力 f r= f t tg n (6-1)法向力 f n=n式中:d1为主动轮分度圆直径,mm；为分度圆压力角，标准齿轮=20°。

设计时可根据主动轮传递的功率p1（kw）及转速n1(r/min)，由下式求主动轮力矩t1=9.55×106×（n mm）（6-2）根据作用力与反作用力原理，f t1=-f t2，f t1是主动轮上的工作阻力，故其方向与主动轮的转向相反，f t2是从动轮上的驱动力，其方向与从动轮的转向相同。

同理，f r1=-f r2，其方向指向各自的轮心。

二、载荷与载荷系数由上述求得的法向力f n 为理想状况下的名义载荷。

由于各种因素的影响，齿轮工作时实际所承受的载荷通常大于名义载荷，因此，在强度计算中，用载荷系数k 考虑各种影响载荷的因素，以计算载荷f nc 代替名义载荷f n 。

其计算公式为(6-3)式中：k 为载荷系数，见表6-3。

表6-3 载荷系数k二、齿根弯曲疲劳强度计算齿根处的弯曲强度最弱。

计算时设全部载荷由一对齿承担，且载荷作用于齿顶，将轮齿看作悬臂梁，其危险截面可用30o 切线法确定，即作与轮齿对称中心线成30o 夹角并与齿根过渡曲线相切的两条直线，连接两切点的截面即为齿根的危险截面，如图6-7所示。

运用材料力学的方法，可得轮齿弯曲强度校核的公式为= ≤或σf =≤（6-4）或由上式得计算模数m的设计公式m≥ (6-5)式中:=b/d1称齿宽系数（b为大齿轮宽度），由表6-4查取；称为齿形系数，由图6-8查取；[]为弯曲许用应力，由式6-8计算。

表6-4齿宽系数=b/d1三、齿面接触疲劳强度计算齿面接触疲劳强度计算是为了防止齿间发生疲劳点蚀的一种计算方法，它的实质是使齿面节线处所产生的最大接触应力小于齿轮的许用接触应力，齿面接触应力的计算公式是以弹性力学中的赫兹公式为依据的，对于渐开线标准直齿圆柱齿轮传动，其齿面接触疲劳强度的校核公式为≤或≤ (6-6)将上式变换得齿面接触疲劳强度的设计公式d1≥ (6-7)式中：“±”分别用于外啮合、内啮合齿轮；z e为齿轮材料弹性系数，见表6-5；z h为节点区域系数，标准直齿轮正确安装时z h =2.5；[σh]为两齿轮中较小的许用接触应力，由式6-9计算；u为齿数比，即大齿轮齿数与小齿轮齿数之比。

研究，可用
式中为斜齿轮传动的端面重合度
图<标准圆柱齿轮传动的端面重合度>
斜齿轮的纵向重合度可按以下公式计算:
斜齿轮计算中的载荷系数，其中使用系数
与齿向载荷分布系数的查取与直齿轮相同；动载系数可由图<动载系数值>中查取；齿间载荷分配系数与可根据斜齿轮的精度等级、齿面硬化情况和载荷大小由表<齿间载荷分配系数>中查取。

(三)齿根弯曲疲劳强度计算
如下图所示，斜齿轮齿面上的接触线为一斜线。

受载时，齿轮的失效形式为局部折断。

斜齿轮的弯曲强度，若按轮齿局部
斜齿轮的计算载荷要比直齿轮的多计入一个参数劳强度公式为：
、
ZH称为区域系数。

上右图为法面压力角αn=20°的标准齿轮的ZH值。

于是得
同前理，由上式可得
应该注意，对于斜齿圆柱齿轮传动，因齿面上的接触线是倾斜的（如右图），所以在同一齿面上就会有齿顶面(其上接触线段为e1P)与齿根面(其上接触线段为e2P)同时参与啮合的情况(直齿轮传动，齿面上的接触线与轴线平行，就没有这种现象)。

如前所述，齿轮齿顶面比齿恨面具有较高的接触疲劳强度。

设小齿轮的齿面接触疲劳强度比大齿轮的高(即小齿轮的材料
较好，齿面硬度较高)，那么，当大齿轮的齿根面产生点蚀，e2 P一段接触线已不能在承受原来所分担的载荷，而要部分地由齿顶面上的e1P一段接触线来承担时，因同一齿面上，齿顶面的接触疲劳强度较高，所以即使承担的载荷有所增大，只要还
为，当>1.23应取=1.23。

标准直齿圆柱齿轮传动的强度可以根据以下步骤进行计算：
1.确定齿轮上所受的力。

这包括圆周力（Ft）、径向力（Fr）和法向力
（Fn）。

2.根据圆周力和齿轮的节圆直径（d1），计算出转矩（T1）。

转矩可以用公
式T1 = 2 × Ft × tanα来表示，其中α是啮合角，通常取值为20°。

3.根据转矩和齿宽，计算出弯曲应力。

弯曲应力可以用公式σ= Ft/Wb来表
示，其中Wb是齿宽。

4.根据齿根处的弯曲应力，计算出弯曲疲劳强度系数。

这个系数通常由实验
确定，也可以通过查阅相关设计手册获得。

5.根据弯曲疲劳强度系数和弯曲应力，计算出弯曲疲劳极限。

弯曲疲劳极限
可以用公式σHlim = k × Wb × Ft来表示，其中k是弯曲疲劳强度系数。

6.根据弯曲疲劳极限，计算出安全系数。

安全系数可以用公式H=σHlim/σH
来表示，其中σH是工作应力。

7.根据安全系数和弯曲应力，计算出许用弯曲应力。

许用弯曲应力可以用公
式σH=σHlim/S来表示，其中S是安全系数。

以上是标准直齿圆柱齿轮传动强度的计算步骤，希望能对您有所帮助。

直齿圆柱齿轮传动的轮齿弯曲强度计算准则 为了保证在预定寿命内齿轮不发生轮齿断裂失效，应进行轮齿弯曲强度计算。

直齿圆柱齿轮传动的轮齿弯曲强度计算准则为：齿根弯曲应力σF 小于或等于许用弯曲应力[σF ]，即σF ≤[σF ]轮齿弯曲强度计算公式轮齿弯曲强度的验算公式计算弯曲强度时，仍假定全部载荷仅由一对轮齿承担。

显然，当载荷作用于齿顶时，齿根所受的弯曲力矩最大。

图 11-8 齿根危险截面计算时将轮齿看作悬臂梁(如图11-8所示)。

其危险截面可用切线法确定，即作与轮齿对称中心线成夹角并与齿根圆角相切的斜线，而认为两切点连线是危险截面位置(轮齿折断的实际情况与此基本相符)。

危险截面处齿厚为。

法向力Fn 与轮齿对称中心线的垂线的夹角为，Fn 可分解为 使齿根产生弯曲应力，则产生压缩应力。

因后者较小故通常略去不计。

齿根危险截面的弯曲力矩为式中：K 为载荷系数；为弯曲力臂。

危险截面的弯曲截面系数W 为故危险截面的弯曲应力为 3030F s F α1F 2F F h F σ令式中称为齿形系数．．．．。

因和均与模数成正比，故值只与齿形中的尺寸比例有关而与模数无关，对标准齿轮仅决定于齿数。

由此可得轮齿弯曲强度的验算公式Mpa (a)通常两齿轮的齿形系数和并不相同，两齿轮材料的许用弯曲应力[]和[]也不相同，因此应分别验算两个齿轮的弯曲强度。

轮齿弯曲强度设计公式引入齿宽系数，可得轮齿弯曲强度设计公式为mm (b)上式中的负号用于内啮合传动。

内齿轮的齿形系数可参阅有关书籍。

式（a ）和(b)中为小齿轮齿数；的单位为N ·mm ；b 和m 的单位为mm ；和[]的单位为MPa 。

式(b)中的应代入和中的较大者。

算得的模数应圆整为标准模数。

传递动力的齿轮，其模数不宜小于1.5mm 。

26()cos ()cos F F F F h m Y s m αα=F Y F h F s F Y 1112122[]F F F F KTY KTY bd m bm z σσ==≤1F Y 2F Y 1F σ2F σa ba ψ=m ≥1z 1T F σF σ[]F F Y σ11[]F F Y σ22[]F F Y σ在满足弯曲强度的条件下可适当地选取较多的齿数，因齿数增多可使传动平稳；在中心距a 一定时，齿数增多则模数减小，顶圆尺寸也随之减小，有利于节省材料和加工工时。

直齿圆柱齿轮传动的强度计算齿面接触强度计算闭式齿轮传动的主要失效形式之一是齿面点蚀，故需进行齿面接触疲劳强度计算。

齿面的 疲劳点蚀与齿面接触应力有关，齿面的最大接触应力可用赫兹公式计算如下：222121211111E E bF n H μμρρπσ-+-±⋅=式中 Fn 为法向力；b 为两轮齿的接触宽度；E1,E2为两齿轮材料的弹性模量；12,μμ为两齿轮材料的泊松比；12,ρρ为两齿面接触点处的曲率半径；“+”号用于外啮合，“一”号用于内啮合。

前已述及，齿根部分靠近节线处最易发生点蚀，故常取节点处的接触应力为计算依据。

由图11．4，a 可知，节点处的齿廓曲率半径为111sin 2N C d αρ==111sin 2N C d αρ==取传动比i=z 2/z 1≥l ，式中z 2为大齿轮齿数，z 1为小齿轮齿数，则12(1)ad i =±方向相同。

径向力F ，6勺方向由作用点指向轮心。

2.计算载荷上述的法向力Fn 为名义载荷。

理论上Fn 应沿齿宽均匀分布，但由于轴和轴承的变形，传动装置的制造，安装误差等原因，载荷沿齿宽的分布并不是均匀的，因此会出现载荷集中现象。

如图9．29所示，齿轮位置对轴承不对称时，由于轴的弯曲变形齿轮将互相倾斜，这时，轮齿左端载荷增大。

轴和轴承的刚度越小，齿宽B 越宽，载荷集中越严重。

此外，由于各种原动机和工作机特性不同，齿轮制造误差以及轮齿变形等原因，还会引起附加动载荷。

精度越低，圆周速度越高，附加动载荷就越大。

因此，计算齿轮强度时，通常用计算载荷KFn 代替名义载荷Fn ，以考虑载荷集中和附加动载荷的影响。

其中K 为载荷系数，其值可由表9．6查取。

图9．29 载荷集中现象表9.6 载荷系数K9．11．2 载荷计算1．受力分析在图9．30中，当不计齿面间的摩擦力时，作用于主动轮齿上的总压力将垂直于齿面，即为图中法向力芦n 。

芦n 可分解为圆周力F ，和径向力芦r 。

1. 齿面接触疲劳强度的计算齿面接触疲劳强度的计算中，由于赫兹应力是齿面间应力的主要指标，故把赫兹应力作为齿面接触应力的计算基础，并用来评价接触强度。

齿面接触疲劳强度核算时，根据设计要求可以选择不同的计算公式。

用于总体设计和非重要齿轮计算时，可采用简化计算方法；重要齿轮校核时可采用精确计算方法。

分析计算表明，大、小齿轮的接触应力总是相等的。

齿面最大接触应力一般出现在小轮单对齿啮合区内界点、节点和大轮单对齿啮合区内界点三个特征点之一。

实际使用和实验也证明了这一规律的正确。

因此，在齿面接触疲劳强度的计算中，常采用节点的接触应力分析齿轮的接触强度。

强度条件为：大、小齿轮在节点处的计算接触应力均不大于其相应的许用接触应力，即：⑴圆柱齿轮的接触疲劳强度计算1）两圆柱体接触时的接触应力在载荷作用下，两曲面零件表面理论上为线接触或点接触，考虑到弹性变形，实际为很小的面接触。

两圆柱体接触时的接触面尺寸和接触应力可按赫兹公式计算。

两圆柱体接触，接触面为矩形（2axb），最大接触应力σHmax位于接触面宽中线处。

计算公式为：接触面半宽:最大接触应力:•F——接触面所受到的载荷•ρ——综合曲率半径，（正号用于外接触，负号用于内接触）•E1、E2——两接触体材料的弹性模量•μ1、μ2——两接触体材料的泊松比2）齿轮啮合时的接触应力两渐开线圆柱齿轮在任意一处啮合点时接触应力状况，都可以转化为以啮合点处的曲率半径ρ1、ρ2为半径的两圆柱体的接触应力。

在整个啮合过程中的最大接触应力即为各啮合点接触应力的最大值。

节点附近处的ρ虽然不是最小值，但节点处一般只有一对轮齿啮合，点蚀也往往先在节点附近的齿根表面出现，因此，接触疲劳强度计算通常以节点为最大接触应力计算点。

参数直齿圆柱齿轮斜齿圆柱齿轮节点处的载荷为综合曲率半径为接触线的长度为，3）圆柱齿轮的接触疲劳强度将节点处的上述参数带入两圆柱体接触应力公式，并考虑各载荷系数的影响，得到：接触疲劳强度的校核公式为：接触疲劳强度的设计公式为：•KA——使用系数•KV——动载荷系数•KHβ——接触强度计算的齿向载荷分布系数•KHα——接触强度计算的齿间载荷分配系数•Ft——端面内分度圆上的名义切向力，N；•T1——端面内分度圆上的名义转矩，N.mm；•d1——小齿轮分度圆直径，mm；•b ——工作齿宽，mm，指一对齿轮中的较小齿宽；•u ——齿数比；•ψd——齿宽系数，指齿宽b和小齿轮分度圆直径的比值（ψd=b/d1）。

标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算工程（一）轮齿的受力分析进行齿轮的强度计算时，首先要知道齿轮上所受的力，这就需要对齿轮传动作受力分析，齿轮传动一般均加以润滑，啮合轮齿间的摩擦力通常很小，计算轮齿受力时，可不予考虑。

沿啮合线作用在齿面上的法向载荷Fn垂直于齿面，为了计算方便，将法向载荷Fn在节点P处分解为两个相互垂直的分力，即圆周力Ft与径向力Fr, 。

由此得Ft=2T1/d1 ；Fr=Fttanα ；Fn=Ft/cosα (a)式中：T1—小齿轮传递的转矩，N·mm；d1—小齿轮的节圆直径，对标准齿轮即为分度圆直径，mm；α—啮合角，对标准齿轮，α=20°。

（二）齿根弯曲疲劳强度计算轮齿在受载时，齿根所受的弯矩最大，因此齿根处的弯曲疲劳强度最弱。

当轮齿在齿顶处啮合时，处于双对齿啮合区，此时弯矩的力臂虽然最大，但力并不是最大，因此弯矩并不是最大。

根据分析，齿根所受的最大弯矩发生在轮齿啮合点位于单对齿啮合区最高点。

因此，齿根弯曲强度也应按载荷作用于单对齿啮合区最高点来计算。

由于这种算法比拟复杂，通常只用于高精度的齿轮传动（如6级精度以上的齿轮传动）。

对于制造精度较低的齿轮传动（如7，8，9级精度），由于制造误差大，实际上多由在齿顶处啮合的轮齿分担较多的载荷，为便于计算，通常按全部载荷作用于齿顶来计算齿根的弯曲强度。

当然，采用这样的算法，齿轮的弯曲强度比拟充裕。

右边动画所示为齿轮轮齿啮合时的受载情况。

动画演示为齿顶受载时，轮齿根部的应力图。

在齿根危险截面AB处的压应力σc仅为弯曲应力σF的百分之几，故可忽略，仅按水平分力pcacosγ所产生的弯矩进行弯曲强度计算。

假设轮齿为一悬臂梁，那么单位齿宽（b＝1）时齿根危险截面的弯曲应力为取，并将(a)式代入。

对直齿圆柱齿轮，齿面上的接触线长L即为齿宽b(mm)，得令YFa是一个无量纲系数，只与齿轮的齿廓形状有关，而与齿的大小（模数m）无关。

直齿圆柱齿轮强度计算一、轮齿的失效齿轮传动就装置形式来讲，有开式、半开式及闭式之分；就利用情形来讲有低速、高速及轻载、重载之别；就齿轮材料的性能及热处置工艺的不同，轮齿有较脆（如经整体淬火、齿面硬度较高的钢齿轮或铸铁齿轮）或较韧（如经调质、常化的优质钢材及合金钢齿轮），齿面有较硬（轮齿工作面的硬度大于350HBS或38HRC，并称为硬齿面齿轮）或较软（轮齿工作面的硬度小于或等于350HBS或38HRC，并称为软齿面齿轮）的不一样。

由于上述条件的不同，齿轮传动也就显现了不同的失效形式。

一样地说，齿轮传动的失效主若是轮齿的失效，而轮齿的失效形式又是多种多样的，那个地址只就较为常见的轮齿折断和工作面磨损、点蚀,胶合及塑性变形等略作介绍，其余的轮齿失效形式请参看有关标准。

至于齿轮的其它部份（如齿圈、轮辐、轮毂等），除对齿轮的质量大小需加严格限制外，通常只需按体会设计，所定的尺寸对强度及刚度均较富裕，实践中也极少失效。

轮齿折断轮齿折断有多种形式，在正常情况下，主要是齿根弯曲疲劳折断，因为在轮齿受载时，齿根处产生的弯曲应力最大，再加上齿根过渡部分的截面突变及加工刀痕等引起的应力集中作用，当轮齿重复受载后，齿根处就会产生疲劳裂纹，并逐步扩展，致使轮齿疲劳折断（见）。

此外，在轮齿受到突然过载时，也可能出现过载折断或剪断；在轮齿受到严重磨损后齿厚过分减薄时，也会在正常载荷作用下发生折断。

在斜齿圆柱齿轮（简称斜齿轮）传动中，轮齿工作面上的接触线为一斜线（参看），轮齿受载后，如有载荷集中时，就会发生局部折断。

若制造或安装不良或轴的弯曲变形过大，轮齿局部受载过大时，即使是直齿圆柱齿轮（简称直齿轮），也会发生局部折断。

为了提高齿轮的抗折断能力，可采取下列措施：1）用增加齿根过渡圆角半径及消除加工刀痕的方法来减小齿根应力集中；2）增大轴及支承的刚性，使轮齿接触线上受载较为均匀；3）采用合适的热处理方法使齿芯材料具有足够的韧性；4）采用喷丸、滚压等工艺措施对齿根表层进行强化处理。

表1 使用系数K A数值备注使用系数K A 1表1动载系数K V1.27级精度均匀平稳齿间载荷分布K α 1.27级表面硬斜齿 8级表面软斜齿轻微冲击1.93968齿向载荷分布K β 1.347表4中等冲击齿宽系数Φd 齿宽b/小齿d11表5严重冲击3.220一般为20表2 动载系数Kv(锥形齿按低14直齿轮为01.900.318*Φd*Z 1*tan β0.881.64公式很打脑壳若已知P(kw)10若已知T(N.mm)99468.75参数小齿轮大齿轮备注齿数z 2477Z2=Z1*u斜齿轮当量齿数Z V 26.2784.29Zv=Zcos 3β齿形系数Y Fa 2.567 2.202应力矫正系数Y sa 1.59 1.77Y Fa *Y sa4.07 3.90相配合的齿轮数j11工作寿命L（h）班次*班时*天数*年限表3 齿间载荷分布K α转速n（r/min）960300应力循环次数N 4.15E+09 1.30E+09N=60njL 寿命系数K N 0.90.95表6齿面硬度（HBS）300250疲劳极限σFE 400380表8中ML与MQ表4 齿向载荷分布K β（8级精许用应力[σF ]240240.67[σ]=K N *σFE /S，Yfa*Ysa/[σF ]0.01700.0162选大的带入计算斜齿轮最小模数m1.79参数小齿轮大齿轮备注应力循环次数N 4.15E+09 1.30E+09N=60njL 寿命系数K N 0.950.95表7齿面硬度（HBS）300250疲劳极限σHlim 620550表9许用应力[σH ]589522.5[σ]=KN*σHlim/S,S取1圆柱齿轮强度计算与校核按齿根弯曲疲劳强度计算最小模数参数与条件载荷状态载荷分布系数K=K A *K V *K α*K β=齿间载荷分布Kα（β≤30°）传动比u压力角α斜齿轮螺旋角β(推荐8~20°)动载系数Kv斜齿轮纵向重合度εβ斜齿轮螺旋角影响系数Y β斜齿轮端面重合系数εα小齿轮传递功率与转矩2选1输入72000按齿面接触疲劳强度计算最小分度圆[]32112F SaFa d Y Y Z KT m σφ•≥取[σH ]小值取[σH ]小值189.8表102.448级精度直接查表；高于8级，斜齿轮最小分度圆d162.31表5 齿宽系数Φd（b/d1）小齿轮装置状况直齿和斜齿开式齿轮m≥ 2.06放大1.1~1.15倍人字齿轮m≥1.79d1≥62.31表8 弯曲疲劳强度极限σFE齿宽b=Φdxd1小齿轮一般+5~10表6 弯曲疲劳寿命系数K FN表9 接触疲劳强度极限σHlim表7 接触疲劳寿命系数K HN522.5弹性影响系数Z E (MPa1/2)斜齿轮区域系数Z H （α=20°时）根据工作环境确定最小模数与最小分度圆、齿宽闭式齿轮[]3211232.21⎪⎪⎭⎫⎝⎛•+•≥H E d Z u u KT d σφ。