割补法求体积的灵活运用

⽴体⼏何中的割补法解题技巧
⽴体⼏何中的割补法解题技巧
※⾼考提⽰
⽴体⼏何中常⽤割补法解题.特别是⾼考中的⽴体⼏何题很多可⽤割补法解,有时解起来还⽐较容易.
[规律⼩结]
割补法是割分形法即割法与补加形法即补法的总称。

补法是把不熟悉的或复杂的⼏何体延伸或补加成熟悉的或简单的⼏何体，把不完整的图形补成完整的图形。

割法是把复杂的或不熟悉的⼏何体，割分为简单的或熟悉的⼏何体。

这样对此解起题来就有好处。

割补法中的割与补是⼀个问题中的相反两个⽅⾯，是对⽴统⼀的⼀对⽭盾。

解决⼀个问题，是割是补？这要看问题的性质，宜补就补，宜割就割，不可割补就不割补，就是宜割补，也要讲究如何割补，不要盲⽬⾏动，否则就会导致⿇烦，使问题复杂化，使得其反，甚⾄问题还不能解决。

⽴体⼏何中需得三棱柱补成平⾏六⾯体，将三棱维补成三棱柱，将三棱柱割分为三棱维等等这些我们很熟悉，其实，割补法不仅仅使⽤于⽴体⼏何，将上述概念中的⼏何体或图形改为代数式，那么在数学的其它⽅⾯使割补法也就很多了，⽐如运算中的添项减项，重新组合另⾏考虑，考虑问题的对⽴⾯等等均可视为割补法，因此，割补法不只是⼀种⽅法，可把它上升为⼀种思想——⼀种数学思想。

关于我们：。

探索篇誗方法展示浅谈割补法在数学解题中的应用陈兴玉（福建省福安市第八中学，福建福安）在求面积的问题中，我们常用到割补法，所谓的割就是把不规则的图形分割成几个规则图形，所谓的补就是把不规则的图形补充成一个规则图形，再通过和或差计算面积。

割补法不仅在求面积和体积问题中有着广泛应用，其实在解决应用题和立体几何问题以及求证线段与线段的和差倍分关系和代数式之间的恒等关系等问题当中都有用到割补法，下面简单谈谈割补法在数学解题中的应用。

一、利用割补法求平面直角坐标系中图形的面积在平面直角坐标系中往往要求一些不规则图形的面积，这时要充分用到图形中点的横坐标或纵坐标，割补法在这里可以发挥很大的作用。

例1：如图所示，直线y＝23x＋1与抛物线y＝13x2交于点A、B，求S△AOB°。

AO Byx AOByxAOByx CFEC图1图2图3分析与解：（一）“割”的方法，如图1取直线与y轴的交点C，将△ABO分成△ACO和△CBO，由y＝23x＋1y＝13x△△△△△△△△△△△2可得A、B两点坐标分别为（-1，13），（3，3），由y＝23x＋1与y轴的交点可求出C点坐标为（0，1）即OC=1，以OC为底，则S△AOB＝S△BCO＋S△ACO＝12×1×｜3｜＋12×1×｜－1｜＝2（二）“补”的方法，如图2分别过A、B做x轴的垂线，垂足为E、F，则将三角形补成一个梯形，同样可求出点A（3，3）B（-1，13）C（0，1）的坐标，则S△A BO=S梯形AEFB-S△A EO-S△BFO=2二、利用割补法解应用题在一些应用题中，要求解两个不同的未知量，在没有学过方程的情况下，可以利用割补的方法进行讲解。

例2：小明收到一批货款共计1000元，面值都是50元和100元的人民币，数一下一共有14张，问面值为50元和100元人民币各多少张？分析与解：这道题对于没有学过二元一次方程组的学生而言，感觉不知从何入手，其实它可以用割补法来解释，（一）“割”的方法：将100元人民币“当作”50元的人民币，则14张应该是14×50=700（元），比1000元少了300元，而将1张100元人民币“当作”50元的人民币会少了50元，因此100元的人民币为300÷50= 6（张），50元的人民币为14-6=8（张）。

专题55 割补法与等积变换求解体积问题【方法点拨】1. 利用等积变换求解三棱锥的体积问题，归根结底就是“换顶点（或换底面）”，换顶点的常用方法有二.一是直接换，即从四个顶点选择一个点作为顶点，选择的基本原则是点面距易求，如出现线面垂直等；二是利用线面平行更换顶点，由于该直线上任意一点到平面的距离均相等，换完后依然是便于求出点面距.当然，有时还会遇到利用与平面相交的直线上的点换顶点等不一而足.2. 利用求体积可以求点面距，其数学方法是“算两次”. 【典型题示例】例1 在正方体AAAA −A 1A 1A 1A 1中，动点E 在棱AA 1上，动点F 在线段A 1A 1上，O 为底面ABCD 的中心，若AA =A ，A 1A =A ，则四面体A −AAA 的体积( )A. 与x ，y 都有关B. 与x ，y 都无关C. 与x 有关，与y 无关D. 与y 有关，与x 无关【答案】B【分析】利用线面平行换顶点，化动为静.【解析】易知，11A C 平面AOE ，故四面体O AEF -即四面体F AOE -与四面体1A AOE -同底等高，即1=O AEF A AOE V V --四面体四面体同理，1BB 平面1AA O ，故四面体1A AOE -即四面体1E AA O -与四面体1B AA O -同底等高，即11=A AOE B AA O V V --四面体四面体所以11==O AEF B B AA O O AA V V V ---四面体四面体四面体，故与x ，y 都无关.例2 如图所示，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，且ADE ∆、BCF ∆均为正三角形，//EF AB ，2EF =，则该多面体的体积为（ ）A ．3B ．3C ．23D ．43【答案】A【分析】将物体切割成一个三棱柱，两个三棱锥分别计算体积. 【解析】在EF 上取点,M N 使12EM FN ==，连接,,,AM DM BN CN ， ABCD 是边长为1的正方形，且ADE 、BCF △均为正三角形，EF AB ∥，所以四边形ABFE 为等腰梯形，2EF =，1MN =，根据等腰梯形性质，,,,AM EF DM EF BN EF CN EF ⊥⊥⊥⊥，,AM DM 是平面AMD 内两条相交直线，,BN CN 是平面BNC 内两条相交直线，所以EF ⊥平面AMD ，EF ⊥平面BNC ，2MA MD NB NC ====， 几何体体积为2E AMD AMD BNC V V V --=+1111121132223=⨯⨯⨯+⨯=， 故选：A例 3 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥D D BB A 11-的体积为 cm 3.【答案】36cm【解析】如图所示，连结AC 交BD 于点O ，因为 平面D D BB ABCD 11⊥，又因为BD AC ⊥，所以，D D BB AC 11平面⊥， 所以四棱锥D D BB A 11-的高为AO ， 根据题意3cm AB AD ==，所以223=AO ， 又因为32cm BD =，12cm AA =，故矩形D D BB 11的面积为262cm ， 从而四棱锥D D BB A 11-的体积3132626cm 32V =⨯⨯=. 例4 如下图，四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，,2,1====AB BC DC PD︒=∠90,//BCD DC AB ，则点A 到平面PBC 的距离为 .【答案】.2【分析】先证明BC PC ⊥，而所求点A 到平面PBC 的距离，需利用“算两次”，求出三棱锥ABC P -的体积即可.【解析】因为⊥PD 平面ABCD ,⊂BC 平面ABCD ,所以BC PD ⊥.由 90=∠BCD ,得.DC BC ⊥又D DC PD = ,⊂PD 平面PCD ,⊂DC 平面PCD ,所以⊥BC 平面PCD , 因为⊂PC 平面PCD ,所以BC PC ⊥. 连结AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .因为DC AB //, 90=∠BCD ,所以.90 =∠ABC 从而由1,2==BC AB , 得ABC ∆的面积1=∆ABC S .由⊥PD 平面ABCD 及1=PD ,得三棱锥ABC P - 的体积⋅=⋅=∆3131PD S V ABC 因为⊥PD 平面⊂DC ABCD ,平面ABCD , 所以DC PD ⊥,又1==DC PD ,所以222=+=DC PD PC由BC PC ⊥,1=BC ,得PBC ∆的面积22=∆PBC S , 由h S V PBC ∆=313122.31=⋅=h ,得.2=h 因此．点A 到平面PBC 的距离为.2BA CD 1B 1A 1C 1D EF【巩固训练】1.如下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =3 cm ，AD =2 cm ，1AA =1 cm ，则三棱锥11B ABD -的体积为 cm 32.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2cm AB =，E 为11C D 的中点，则三棱锥1E A BC -的体积为 cm 3．1111ABCD A B C D -的体积为3.如图，已知正四棱柱36，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为 ．4．如图，三棱锥BCD A -中，E 是AC 中点，F 在AD 上，且FD AF =2，若三棱锥BEF A -的体积是2，则四棱锥ECDF B -的体积为 ．5.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝AA 1 B不C不B 1不C 1不D 1不D不F ED CB A6．若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是 ．6.如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 ．7.在直三棱柱111 ABC A B C -中，1AB =，2BC =，3AC =，11AA =.则1B 到面1 A BC 的距离为 .ABC C B A -111F E D ，，1AA AC AB ，，ADE F -1V ABC C B A -1112V =21:V VABCA 1B 1FC 1E ABC1ADE F1B1C【答案与提示】1.【答案】1【提示】直接使用等体积法. 2.【答案】23【提示】直接使用等体积法. 3.【答案】12【解析一】特殊位置法，转化为求四棱锥1A ABCD -的体积；【解析二】连接DE ，则三菱锥1A ADE -与三菱锥1A DEF -体积相等，所以1112=2A AEFD A ADE E A AD V V V ---=，因为111111=6E A AD ABCD A B C D V V --，所以112A AEFD V -=.【解析三】补体，如右图. 4．【答案】10【解析】补体，转化为三菱锥BEF A -与三棱锥BCD A -的体积比，实施等积变换.A BEFB AEF AEF A BCDB ACDACDV V S V V S----==，因为1sin 1216sin 2AEF ACDAE AF AS SAC AD A⋅⋅==⋅⋅，V =总612A BEF V -=，则四棱锥B ECDF -的体积为10. 5.【答案】38【提示】直接使用等体积法. 6. 【答案】1：24【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1：2，故体积之比为1：8． 又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1：3．所以，三棱锥ADE F -ABC A -1ABC A -1ABC C B A -111ADEF -与三棱柱的体积之比为1：24． 7.. 【解析】因为三棱锥1 C A AB -与三棱锥11 C A BB -的底面积相等()111A ABA B BSS=，高也相等（点C 到平面11ABB A 的距离）； 所以三棱锥1 C A AB -与三棱锥11 C A B B -的体积相等.又11111133C A AB A ABC ABC V V S AA --==⋅==所以1111C A B B B A BC V V --==. 设1 B 到面1 A BC 的距离为H ，则11113B A BC A BC V S H -==，解得H =. ABC C B A -111。

用割补法求几何体的体积――培养学生的空间想象能力内容提要：本文用图形割补的方法来求一些不规则的几何体体积，通过求几何体体积的过程，来培养和提高学生对空间图形的想象能力，进而得出培养和提高学生空间想象能力的途径。

关键字：割补法空间想象能力在高中立体几何的学习中，学生最大的困难在于缺乏良好的空间想象能力，由于目前我们只能在二维平面上通过空间图形的平面直观图来研究空间元素的位置关系和数量关系，这就造成学生难以摆脱在平面几何学习中培养起来的对平面图形的认知经验，具体表现在遇到立几问题时，不会识图，有些学生甚至看不出空间元素的前后位置关系，也不会合理作图。

特别是求几何体体积问题，对于不同的几何体或不规则的几何体，我们可联想熟悉的几何体去计算其体积，这就对学生的空间想象能力有很高的要求。

那么什么是空间想象能力呢？中学数学中的空间想象能力主要是指，学生对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和创新的能力。

空间想象能力的提高必定AB要经过实际的训练，途径也有很多种。

本文就借助于求几何体的体积来提高学生的空间想象能力。

由于几何体的形状多种多样，所以体积的求法也各不相同。

针对一些不规则的几何体，直接运用体积公式可能比较困难，我们常对原几何体进行割补，转化为几个我们熟悉的几何体，其解法也会呈现一定的规律性:① 几何体的“分割”几何体的分割即将已给的几何体，按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之。

② 几何体的“补形”与分割一样，有时为了计算方便，可将已给的几何体补成易求体积的几何体，如长方体，正方体等等。

一、用割补法求锥体的体积例题一：已知三棱锥ABC P -，其中4=PA ,2==PC PB ,ο60=∠=∠=∠BPC APC APB 求：三棱锥ABC P -的体积。

【思路一】作BC 的中点D ，连接PD 、过P 作AD PH ⊥，垂足H易证PH 即为三棱锥ABC P -的高， 由棱锥体积公式 PH S V ABC ABC P ⋅=∆-31即得 三棱锥ABC P -的体积。

求体积的几种常用方法体积的求解与计算是高考考查的重点和热点，其方法灵活多样，而分割、补性和等体积法转化是中学常见的几种求体积的方法，其中分割、补形也称为割补法。

1、分割法对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公式,常常需要运用分割法,按照结论的要求，将原几何体分割成若干个可求体积的几何体，然后再求和．例1：如图1，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，3EF=2，EF 与面AC 的距离为2，,则该多面体的体积为 （ ） .图19A 2、 B 、5 C 、6 D 、152解析：方法一：图2如图2，连接EB 、EC 、AC 。

则四棱锥E-ABCD 的体积2E -A B C D 1V =32=63⨯⨯。

EAB BEF AB=2EF EF ABS =2S ∆∆∴ ，F -E B C -E F B -A B E E -A B C E -A B C D11113V =V =V =V =V=22222∴⨯⨯ＣＣ E-ABCD F-EBC 315V=V +V =622∴=－ 方法二：图3如图3，设G 、H 分别为AB 、DC 的中点，则EG ∥FB ，GH ∥BC ，得棱柱EGH-FBC.由题意，得E-AGHD AGHD 111V =S 2=332=3332∴⨯⨯⨯⨯⨯EGH-FBC B-EGH E-BGH E-GBCH E-AGHD 11339V =V =3V =3V =V =3=.32222∴⨯⨯⨯E-AGHD EGH-FBC 915V=V +V =3+=.22方法三：有方法一知，E-ABCD V =6∴，故多面体的体积大于6，四个选项只有D 适合。

例2：如图4，已知直三棱柱ABC-A B C '''的体积为V ，点Ｐ、Ｑ分别是侧棱AA CC ''，上的点，且AP=C Q '，求四棱锥B-APQC 的体积。

图４分析：由于所求四棱柱的高及底面APQC 的面积都不易求得，因此考虑将四棱锥B-APQC 分割后求解。

定积分割补法是求旋转体体积的一种方法。

首先，我们需要理解旋转体的形成。

考虑一个平面曲线 y = f(x) (0 ≤ x ≤ a) 和直线 x = a 在第一象限的交点为 A(a, f(a))。

当这个平面曲线绕x轴旋转时，它形成一个旋转体。

旋转体的体积 V 可以用下面的定积分表示：
V = π∫(0, a) [f(x)]^2 dx
这就是旋转体的体积公式。

现在，我们可以用定积分割补法来求这个体积。

定积分割补法的基本思想是：将区间[0, a] 分成若干个子区间，在每个子区间上取一个点，计算该点处的函数值与该区间长度乘积的一半，然后将这些值加起来，最后乘以π并除以2，得到旋转体的体积。

具体步骤如下：
将区间 [0, a] 分成 n 个子区间，每个子区间的长度为Δx = a/n。

在每个子区间上取一个点 x_i (i = 1, 2, ..., n)，计算该点处的函数值 y_i = f(x_i)。

计算每个子区间的体积ΔV_i = π * (y_i)^2 * Δx / 2。

将所有子区间的体积加起来，得到 V = ΣΔV_i。

最后乘以π并除以2，得到最终的旋转体体积 V = π/2 * ΣΔV_i。

“割补法”求解不规则几何体体积我们通常把不是棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等的几何体，称为不规则几何体．而解决不规则几何体的方法，常用割补法，即通过分割或补形，将它变成规则的几何体．我们可以从不规则几何体的来源上，即它是由何种常见的几何体所截得的来分类．一、来自三棱柱的截体例1如图1，正四面体A BCD，，，分别-中，E F G H是棱，，，的中点，求证：平面EFHG把正四面体分AB AC BD CD割成的两部分几何体的体积相等．分析：显然正四面体被分割成的两部分都是不规则的几何体，因此我们可使用割补法来推导．那么我们应选择割，还是补呢？如果选择补，那么补成什么样子呢？显然只能是正四面体，这就说明我们应该选择割．证明：连结CE CG AG AH，，，，左右两个不规则几何体都被分割成了一个四棱锥和一个三棱锥，如图1．易证左右的两个四棱锥的体积相等，两个三棱锥的体积也相等，于是两部分体积相等．当然此题还有其他的分割方法，比如分成一个三棱柱和一个三棱锥等，也同样好证．二、来自正方体的截体例2如图2，已知多面体ABC DEFG，，两两互-中，AB AC AD相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，==，则该多面体的体积为AC EF2AB AD DC===，1（ ）Ａ．2Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8解法一（割）：如图3，过点作CH DG ⊥于，连结，这样就把多面体分割成一个直三棱柱DEH ABC -和一个斜三棱柱BEF CHG -． 于是所求几何体的体积为：DEH BEF V S AD S DE =⨯+⨯△△11212212422⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 解法二（补）：如图4，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半．于是所求几何体的体积为31242V =⨯=．三、来自圆柱的截体例3 如图5，如图5，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体的最长侧面母线长为4，最短侧面母线长为1，且圆柱底面半径长为2，则该几何体的体积等于_______．解法一（割）：如图6，该几何体的体积等于下面的圆柱的体积与上 面的圆柱体积的一半之和．下面的圆柱的高就是该几何体的最短侧面母线长1，而上面的圆柱的高为3．于是所求几何体的体积为221π212310π2V =⨯⨯+⨯⨯⨯=．解法二（补）：如图7，将一个与已知的几何体完全相同的几何体，与已知的几何体拼在一起组成一个高为5的完整圆柱，那么所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半．于是21π2510π2V =⨯⨯⨯=．。

WS自动填充功能快速填写重复内容自动填充功能是工作表软件（WS）中一个高效的工具，它可以帮助用户快速填写重复内容。

通过利用这一功能，用户可以大大提高数据录入的效率，节省时间和精力。

本文将介绍WS自动填充功能的使用方法和一些注意事项。

一、使用方法使用WS自动填充功能十分简便。

以下是具体操作步骤：1. 创建一个新的工作表或打开一个已有的工作表。

2. 在需要填写重复内容的单元格中输入第一个数值或文本。

3. 鼠标选中填写内容的单元格，使其被选中。

4. 在选中的单元格的右下角会出现一个小黑色方块，将鼠标放置在该方块上，鼠标指针会变成一个加号（+）。

5. 按住鼠标左键，拖动该小黑色方块至需要填充的单元格区域，可以是横向、纵向或是一个矩形区域。

6. 松开鼠标左键，重复内容会被自动填充至选中的单元格区域。

二、应用场景WS自动填充功能在很多场景下都非常实用。

以下是几个常见的应用场景：1. 数字序列的填充：有时候我们需要填写一列连续的数字，如1、2、3等。

使用WS自动填充功能，只需输入前几个数字，然后拖动填充方块即可快速生成整个序列。

2. 日期序列的填充：在某些情况下，我们需要填写一系列连续的日期，如每月的第一天或每周的某一天。

借助自动填充功能，我们只需输入一个日期，然后拖动填充方块即可轻松生成整个日期序列。

3. 文本的填充：有时候需要在表格中填写一些重复的文本，如产品名称或客户姓名。

使用自动填充功能，只需输入第一个文本，然后拖动填充方块即可快速将文本填充至其他单元格。

三、注意事项在使用WS自动填充功能时，需要注意以下几点：1. 填充方块大小的调整：在拖动填充方块之前，可以根据需要调整其大小。

只需将鼠标放置在填充方块的右下角，鼠标指针会变成双向箭头，然后按住鼠标左键拖动即可调整填充方块的大小。

2. 自动填充的规律：WS自动填充功能会根据已有的数据规律进行填充。

对于数字序列和日期序列，可以根据需要选择自增、自减或是使用特定的间隔。

立体几何巧思妙解之割补法在立体几何解题中，对于一些不规则几何体，若能采用割补法，往往能起到化繁为简、一目了然的作用。

一 、求异面直线所成的角例1、如图1，正三棱锥S-ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）000090604530A B C D分析：平移直线法是求解异面直线所成角最基本的方法。

如图1，只要AC 的中点G ，连EG ，FG ，解△EFG 即可.应该是情理之中的事。

若把三棱锥巧妙补形特殊的正方体，定会叫人惊喜不已。

巧思妙解：如图2，把正三棱锥S-ABC 补成一个正方体11AGBH ACB S -，1//,EF AA ∴异面直线EF 与SA 所成的角为0145A AS ∠=。

故选C 。

二、体积问题例2、如图3，已知三棱锥子P —ABC，10,PA BC PB AC PC AB ======锥子P —ABC 的体积为（ ）。

4080160240A B C D分析：若按常规方法利用体积公式求解，底面积可用海伦公式求出，但顶点到底面的高无法作出，自然无法求出。

若能换个角度来思考，注意到三棱锥的有三对边两两相等，若能把它放在一个特定的长方体中，则问题不难解决。

巧思妙解：如图4所示，把三棱锥P —ABC 补成一个长方体AEBG —FPDC ，易知三棱锥P —ABC 的各边分别是长方体的面对角线。

PE=x,EB=y,EA=z 不妨令，则由已知有：2222221001366,8,10164x y x z x y z y z ⎧+=⎪+=⇒===⎨⎪+=⎩，从而知 416810468101606P ABC AEBG FPDC P AEB C ABG B PDC A FPC AEBG FPDC P AEBV V V V V V V V --------=----=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= 例3、如图5，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（ ）（A ）32 （B ）33 （C ）34 （D ）23分析：要直接求解组合几何体的体积显然较困难，变换角度思考将这个组合几何体分割成特殊的几个几何体求解，则问题可迎刃而解。

割补法求几何体体积奉贤区致远高级中学周叶青一、教学目标（一）知识目标（1）对割补法在求几何体体积之中的作用有一定的了解和认识（2）能对几何体进行简单的拼补或切割以达到求几何体体积的目的（二）能力目标学生在由教师以课件形式提供的问题情境及解决问题的提示、帮助下，通过独立思考，小组讨论等方法，自主探索问题的答案，以提高学生的空间想象力及自主学习，协作交流的能力；通过学生自己总结解题思路及解题要点，可提高他们的分析问题、迅速构建问题框架、及时提出解题方案、并准确用语言表达等综合能力。

（三）情感目标情感是教学的润滑剂，通过学生自主学习，自主探索，加强同学之间的交流。

使他们真正体验到主动学习、合作学习的愉悦，体验到成功的快乐，促使他们乐学，会学，从而达到学会的目的。

二、教学重难点●重点：割补法 [对几何体进行拼补与切割，是提高学生空间想象力的一种很好的练习方法]●难点：灵活割补，简化解题 [对几何体进行拼补或切割的最终目的是为了“转”，而如何根据已知条件，恰当地对几何体进行拼补或切割是初学者难以准确把握的突破难点的方法：(1)动画演示切割或拼补的过程;(2)一题多解,反复进行割补的训练,了解割或补的本质;三、教学思想与教学方法1．教学思想建构主义理论强调以学生为中心，认为学生是认知的主体，是知识意义的构建者。

而合理恰当的运用现代信息技术，为学生的创造，提供一种“自主发现，自主探索”的环境，正与这种理论主张想吻合。

2．教学方法在教学过程中，由教师创设问题情境，学生通过自己的思考，同学间的讨论，或在多媒体课件的帮助下，找出解决问题的办法。

最终得出结论。

然后，由教师引导学生总结，提炼。

四、教学过程（一）复习提问（1）让学生根据课件，回顾三棱锥体积公式的推导过程；（2）提问该公式推导过程中的主要数学思想；（二）导入课题上节课，我们通过把一个三棱锥先补成三棱柱，再把三棱柱分割成三个等底等高的三棱锥的方法，把求棱锥的体积转化为求棱柱的体积，体现了数学几何问题中“割、补、转”的思想方法。

割补转化法求几何体的体积一. “割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口，从而很方便地进行计算使问题得到顺利的解决，是处理空间图形中惯用的手段。

通过对该方法的学 习与探讨，使我们能正确地分析出几何中基本元素及其相互关系，能对图形进行分解、 组合和变形，进一步提高空间想象能力和逻辑思维能力。

二. 例题分析Z例 1.三棱锥 P-ABC 中，PA=a ?AB-AC=2a, ZPAH ^PAC=ZBAC=60° ,求三棱锥的体积V P ABC ,解析，求体积可用三分之一底面积乘高；也可构造正 四面休；可转换顶点再求. p 方法1*〔如圏）设卩在底面的射彩为 斤屮、 6则O 在NBAC 平分线上 //' \ 依题 A PAB 中，AB 边上的高 也厶=l x迺abx 近"返殂3 43 3PE 在底面ABC 内的肘影为OE,6例2.如图的多面体是过正四棱柱的底面 ABCD 的点A 作载面ABC i D 而截得的，且 BB =DD.已知截面 AB C D 与 底面ABCD 成 30°的二面角，AB=1， 则这个多面体的体积为（ ）人.6 f .6A.B .23D.方法2：取AB 、AC 的中点M, N, 则三棱锥P-AMN 是棱长为a 的正四面体，方法3i 延长AP 到Q 章使AQ=2a.连结QB* QC, 则Q-ABC 是棱长为 加 切E 四面体.* * Q- A&C ——-a ，方法4：在厶ABP 中,VPA=a, AB=2a, ^PAB=6U° 出余裁定理得 m , /_ ^fAPB=90 同 3ffi APC^QO ° .评注’求休秋常用割、补"几何体丫方法氛 3或利用铃体积转化顶点£方法4尊体积法主要在三棱锥 中淆用.方法5:如图，选取 BC 的中点 D,连结 AD 、PD ，贝U BC 丄AD 且BC 丄PD /• BC丄平面 APD ••• V p -ABC = V B - APD + V C -APD = i BCS 」APDzrv :九畋F-x4Afi!VP「* AF_l 一平面 PBC ；＞ _____________而^PB 2 -(^BC)3 = V2a 2 ・CDBD iC iC例3. 2003年全国卷（12）一个四面体的所有棱长都为、2，四个顶点在同一球面上，则此6球的表面积为（）(A) 3：(B) 4 二 (C 3。

高中数学立体几何体积的求解方法立体几何体积的求解方法在求解立体几何体积时，需要注意一个原则：找到易于求解的底面和高。

其中，椎体是最易考到的题型，尤其是高的求解。

下面介绍四种求解椎体体积的方法：1.直接法：通过点作底面的垂线，求垂线段的长作为高，底面的面积是底面积。

2.转移法（等体积法）：更换椎体的底面，选择易于求解的底面积和高。

3.分割法（割补法）：将一个复杂的几何体分成若干易于计算的椎体。

4.向量法：利用空间向量的方法（理科）。

下面列举几个典型例题：1.直接法例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3.求四棱锥B-A1A1C1D的体积。

例2：已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1.若M是PC的中点，求三棱锥M-ACD的体积。

变式1：在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且FC=1.求三棱锥E-BCF的体积。

变式2：在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°。

求三棱锥P-ABC的体积。

2.转移法例3：已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。

若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM的体积。

例4：在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE。

求三棱锥P-XXX的体积。

变式3：在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD。

若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A-XXX的体积。

变式4：在矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面XXX。

二重积分割补法
二重积分割补法，也称为重积分割补法，是数学中常用的一种求解曲线下面积或曲面体积的方法。

通过将曲线或曲面分割成无数个小区域，并对每个小区域进行求和，从而得到最终的结果。

这种方法可以将复杂的曲线或曲面问题简化为求和问题，便于计算和理解。

在使用二重积分割补法时，首先需要将曲线或曲面分割成小区域。

这可以通过将整个区域分成多个小矩形或小三角形来实现。

然后，对每个小区域进行求和，即将每个小区域的面积或体积相加。

最后，将所有小区域的面积或体积相加，即可得到整个曲线下面积或曲面体积的近似值。

使用二重积分割补法时，需要注意选择合适的分割方式和求和方法，以保证结果的准确性和精度。

通常情况下，可以通过增加分割的小区域数量来提高结果的准确性。

此外，对于一些特殊的曲线或曲面，可能需要使用更复杂的分割方法或求和方法，以获得更准确的结果。

二重积分割补法在实际应用中具有广泛的用途。

例如，在物理学中，可以使用二重积分割补法来计算物体的质量、重心和惯性矩等。

在经济学中，可以使用二重积分割补法来计算市场的消费总量、生产总量和收入总量等。

在工程学中，可以使用二重积分割补法来计算结构的受力和变形等。

二重积分割补法是一种重要的数学工具，可以帮助我们求解曲线下
面积或曲面体积的问题。

通过将曲线或曲面分割成小区域，并对每个小区域进行求和，可以得到近似的结果。

在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的分割方式和求和方法，以获得准确的结果。

求体积常用的数学思想——割补法
钱溧芬
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2005(000)007
【摘要】例题如图，三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6．其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的体积．
【总页数】2页(P29-30)
【作者】钱溧芬
【作者单位】江苏省宜兴市铜峰中学，214200
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.割补法求体积的灵活运用 [J], 梁爽
2.求多面体体积的六种常用技巧 [J], 黄光鑫;
3.利用“割补法”求几何体体积 [J], 孟铁军;
4.例谈用割补法求平面几何图形的面积 [J], 唐洪玲
5.用割补法求多边形面积的探索 [J], 刘同银
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