立体几何割补法

第3讲割补思想在立体几何中的应用割补法是数学中最重要的思想方法之一，主要分为割形与补行，是将复杂的，不规则的不易认识的几何体或几何图形，分割或补充成简单的、规则的、易于认识的几何体或图形，从而达到解决问题的目的。

割补法重在割与补，巧妙对几何体过几何图形实割与补，变整体的为局部，化不规则为规则，化陌生为熟悉，化抽象为直观。

割补法在立体几何中体现的主要的题型就是几何体的切等问题。

【应用一】割的思想在多面体的体积及几何体的内切球中的运用割的思想主要体现两种题型：一是求复杂几何体的体积、表面积等问题，此类问题通过割把复杂的几何体割成几个简单的几何体。

二是求几何体内切球的半径、体积等问题。

此类问题主要是通过球心与几何体的各点割成锥，然后运用等积法求半径。

【例1.1】已知一个三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的内切球的体积为________．【例1.2】【2020年新课标3卷理科】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【思维提升】以三棱锥P －ABC 为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P －ABC 体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，球心为O ，建立等式：V P －ABC ＝V O －ABC ＋V O －PAB ＋V O －PAC ＋V O －PBC ⇒V P －ABC ＝13△ABC ·r ＋13S△PAB·r ＋13S △PAC ·r ＋13S △PBC ·r ＝13(S △ABC ＋S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC )·r ；第三步：解出r ＝3V P －ABC S O －ABC ＋S O －PAB ＋S O －PAC ＋S O －PBC ＝3VS 表．秒杀公式(万能公式)：r ＝3V S 表【例1.3】（2023·河北唐山·统考三模）（多选）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到底面为长方形的屋状的楔体（图示的五面体)EF ABCD -．底面长方形ABCD 中3BC =，4AB =，上棱长2EF =，且EF 平面ABCD ，高（即EF 到平面ABCD 的距离）为1，O 是底面的中心，则（）A ．EO 平面BCF【变式1.1】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）如图①，在平行四边形ABCD中，AB ===ABD △沿BD 折起，使得点A 到达点P 处（如图②），=PC P BCD -的内切球半径为______.【变式1.2】（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知一正四面体棱长为4，其内部放置有一正方体，且正方体可以在正四面体内部绕一点任意转动，则正方体在转动过程中占据的空间体积最大为__________．【变式1.3】（2022·江苏通州·高三期末）将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A ′－BD －C ，设三棱锥A ′－BDC 的外接球和内切球的半径分别为r 1，r 2，球心分别为O 1，O 2.若正方形ABCD 的边长为1，则21r r =________；O 1O 2＝__________.【应用二】补的思想在立体几何中几何体外接球中的应用解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．2．记住几个常用的结论：（1）正方体的棱长为a，球的半径为R.①对于正方体的外接球，2R；②对于正方体的内切球，2R＝a；③对于球与正方体的各棱相切，2R.（2）在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，球的半径为R，则2R=.（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.3．构造法在定几何体外接球球心中的应用（1）正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（2）同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（3）若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；（4）若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体【例2.1】（2022·广东潮州·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥AD，AB=BD，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B，则该棱锥的外接球的表面积为_________．【思维提升】墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2．)，秒杀公式：R 2＝a 2＋b 2＋c 24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：【例2.2】（2022·广东·铁一中学高三期末）已知四面体A BCD -中，5AB CD ==，10AC BD ==，13BC AD ==，则其外接球的体积为______.【思维提升】棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即2222R a b c =++(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝x2＋y2＋z28(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．【变式2.1】（2023·湖南邵阳·统考三模）三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，4,223,PA AC AB AC AB ===⊥，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为__________.【变式2.2】已知三棱锥A BCD -，三组对棱两两相等，且1AB CD ==，3AD BC ==，若三棱锥A BCD -的外接球表面积为92π．则AC =________．【变式2.3】已知三棱锥A －BCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 都在球O 的表面上，AC ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AC ＝3，BC ＝2，CD ＝5，则球O 的表面积为()A ．12πB ．7πC ．9πD ．8π【变式2.4】(2019全国Ⅰ)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()．A．62πD．6π8πB．64πC．6巩固练习1、【2019年新课标2卷理科】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．2、（2022·湖北江岸·高三期末）如图，该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若被截的正方体棱长为2，则该几何体的表面积为（）A．1233++D．63+C．633+B．12433、（2023·山西临汾·统考一模）《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除ABCDEF如图所示，底面ABCD为正方形，4EF=，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（）A．22πB．42πC．82πD．2π3A ．18B ．275、正四面体的各条棱长都为．6、在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝3，AC ＝BD ＝4，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为________．7、在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的体积为____．8、（2023·湖南郴州·统考三模）已知三棱锥-P ABC 的棱长均为4，先在三棱锥-P ABC 内放入一个内切球1O ，然后再放入一个球2O ，使得球2O 与球1O 及三棱锥-P ABC 的三个侧面都相切，则球2O 的表面积为__________.第3讲割补思想在立体几何中的应用割补法是数学中最重要的思想方法之一，主要分为割形与补行，是将复杂的，不规则的不易认识的几何体或几何图形，分割或补充成简单的、规则的、易于认识的几何体或图形，从而达到解决问题的目的。

立体几何中的割补法解题技巧※ 解题钥匙例1 (2005湖南高考，理5)如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AC 1D 1的距离为（ ） A 、21 B 、42 C 、22 D 、23 分析：求点到面的距离通常是过点做面的垂线，而由于该图的局限性显然不太好做垂线，考虑O 为A 1C 1的中点，故将要求的距离与A 1到面AC 1D 1的距离挂钩，从而与棱锥知识挂钩，所以可在该图中割出一个三棱锥A 1—AC 1D 1而进行解题。

解：连AC 1，可得到三棱锥A 1—AC 1D 1，我们把这个正方体的其它部分都割去就只剩下这个三棱锥，可以知道所求的距离正好为这个三棱锥的高的一半。

这个三棱锥底面为直角边为1与2的直角三角形。

这个三棱维又可视为三棱锥C 1—AA 1C 1，后者高为1，底为腰是1的等腰直角三角形，利用体积相等，立即可求得原三棱锥的高为22，故应选B 。

例2 （2007湖南高考，理8）棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1 的8个顶点都在球O 的表面上，E ，F 分别是棱AA 1、DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A 、22B 、1C 、1+22 D 、2 分析：在该题中我们若再在正方体上加上一个球，则该图形变得复杂而烦琐，而又考虑到面A 1ADD 1截得的球的截面为圆，且EF在截面内，故可连接球心抽出一个圆锥来。

解：如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，依题O 亦为此正方体的中心，补侧面 AD 1为平面AD 1，球0截平面A D 1可得圆锥0—AD 1（如下图），其底面圆心正为线段AD 1之中点，亦为线段EF 之中点，割去正方体和球 的其它部分，只看这个圆锥，容易看出球O 截直线EF 所得线段长就等于这个圆锥底面圆的直径AD 1之长，故选D 。

例3 （2005全国高考I ，理5）如图，在多面体ABCDEF 中,已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形。

五年级几何奥数专题之第三讲割补法（含答案）一、知识点1、割补法分割法是将几何体分割成若干部分，利用整体与部分的关系来解决所求问题。

2、分割成规则图形在组合图形中，除了多边形外，还有圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。

二、学习目标1、我能够了解割补法。

2、我能够应用割补法解决图形面积问题。

三、典型例题例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积（单位：厘米）。

练习1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积（单位：厘米）。

如图所示，在正方形ABDC内部有一个长方形EFGH，已知正方形ABDC的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米，求长方形EFGH的面积。

练习2（1）如图所示，在正方形ABCD内部有三角形CEF，已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AF都等于2厘米，求三角形CEF的面积。

（2）如图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长6厘米的等腰梯形（阴影部分）。

求这个梯形的面积。

如图所示，大正方形的边长为10厘米，连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？练习3如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米。

连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题4如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点。

已知左图中阴影部分的面积是48平方分米，请问：右图中阴影部分的面积是多少平方分米？如图，把两个同样大小的正方形分别分成5×5和3×3的方格表，左图阴影部分的面积是162，请问右图中阴影部分的面积是多少？选讲题※求下图中四边形ABCD的面积（单位：厘米）。

WS自动填充功能快速填写重复内容自动填充功能是工作表软件（WS）中一个高效的工具，它可以帮助用户快速填写重复内容。

通过利用这一功能，用户可以大大提高数据录入的效率，节省时间和精力。

本文将介绍WS自动填充功能的使用方法和一些注意事项。

一、使用方法使用WS自动填充功能十分简便。

以下是具体操作步骤：1. 创建一个新的工作表或打开一个已有的工作表。

2. 在需要填写重复内容的单元格中输入第一个数值或文本。

3. 鼠标选中填写内容的单元格，使其被选中。

4. 在选中的单元格的右下角会出现一个小黑色方块，将鼠标放置在该方块上，鼠标指针会变成一个加号（+）。

5. 按住鼠标左键，拖动该小黑色方块至需要填充的单元格区域，可以是横向、纵向或是一个矩形区域。

6. 松开鼠标左键，重复内容会被自动填充至选中的单元格区域。

二、应用场景WS自动填充功能在很多场景下都非常实用。

以下是几个常见的应用场景：1. 数字序列的填充：有时候我们需要填写一列连续的数字，如1、2、3等。

使用WS自动填充功能，只需输入前几个数字，然后拖动填充方块即可快速生成整个序列。

2. 日期序列的填充：在某些情况下，我们需要填写一系列连续的日期，如每月的第一天或每周的某一天。

借助自动填充功能，我们只需输入一个日期，然后拖动填充方块即可轻松生成整个日期序列。

3. 文本的填充：有时候需要在表格中填写一些重复的文本，如产品名称或客户姓名。

使用自动填充功能，只需输入第一个文本，然后拖动填充方块即可快速将文本填充至其他单元格。

三、注意事项在使用WS自动填充功能时，需要注意以下几点：1. 填充方块大小的调整：在拖动填充方块之前，可以根据需要调整其大小。

只需将鼠标放置在填充方块的右下角，鼠标指针会变成双向箭头，然后按住鼠标左键拖动即可调整填充方块的大小。

2. 自动填充的规律：WS自动填充功能会根据已有的数据规律进行填充。

对于数字序列和日期序列，可以根据需要选择自增、自减或是使用特定的间隔。

文科立体几何中的“割补法”教学立体几何是高中数学知识体系的重要知识模块之一，它也是历年高考必考的重点内容，且题型、难度与分值比例长期保持相对稳定，主要是集中考查空间位置关系的形化和量化，尤其是文科的教学中更关注空间中平行与垂直的关系。

但在教学实践中，我发现文科学生对垂直的证明，如线线垂直、线面垂直的证明或一些相关的计算题，如一类三棱锥的外接球的表面积、体积的计算往往不尽如人意，常常在这方面失分。

那么，如何更好掌握相关知识呢？结合教学实际，我提倡使用“割补法”，即以正方体或长方体为载体，在其中“裁剪”，找出合适的线线、线面、面面位置关系加以研究。

一、从“形”上割补1.割。

正方体是空间各种位置关系的“集合体”，通常可以通过将不规则或者特殊图形切割，构造为正方体关系，由此将题目难度降低。

例1（2010安徽）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（B）（A）372（B）360（C）292（D）280分析：由三视图可知该几何体是两个叠加的长方体，只需割成两个长方体即可，要注意其长宽高。

．例2（2010福建）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1,D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH//A1D1。

过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G。

（2）设AB=2AA1=2a。

在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p。

当点E，F分别在棱A1B1, B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值。

分析：第（2）问是借考几何概形来考察几何体的体积，也即P=，而A1ABFE-D1DCGH=VABCD-A1B1C1D1-VBEF-C1HG，即把所求几何体的体积看成长方体的体积割去三棱柱的体积，而该三棱柱是倒放的。

当且仅当时等号成立所以，p的最小值等于2.补。

高考试卷中考查的立体几何图形，大多可以还原为立体几何图形，通过辅助方法，将不熟悉的图形还原为正方体关系，可找出相应题型要求。

割补法在立体几何中的运用通过将某一图形分割或补充为比较简单的图形或特殊的图形来研究的方法称为割补法。

在高中立体几何的棱柱的侧面积公式的证明，棱锥的体积公式的推证中，已经接触过这—解题的思想方法，它是解决空间问题常用的方法。

对于某些较复杂的问题或拟柱体问题，如果割补法运用得当，可以把复杂问题转化为较简单的问题，从而可以简化运算及论证过程。

下面结合例子谈谈割补法在解题中的应用。

一、利用割补法求两异面直线所成的角例1，已知直线L上有两定点A、B，AC L，BD L，若AB=AC=BD= ，且AC、BD所成的角为120°，求AB、CD所成的角。

分析：根据条件所得的图形不够直观，难以得出交角，故把它补成—个直三棱柱，如图1：由CF||AB可得：DCF就是两异面直线AB、CD所成的角。

通过解三角形即可求得AB、CD 所成的角。

注：此题通过把原图补成—个直三棱柱，相当于把AB平移到CF，则两异面直线所成的角就明显了。

例2，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别是非a、b、c、d（a>b），求AC与BD所成的角的余弦。

分析：在长方体ABCD-A1B1C1D1的相邻处补上一个全等的长方体，如图2：连结C1B2，AB2，则B2C1//BD，可得：AClB2就是ACl与BD所成的角。

在AB2C1中AB2= C1B2=Cl A=cos AClB2=注：在原幾何体中亭吐一只类似的几何体，就能起到线段的平移作用。

二、利用割补法求体积例3，如图3 在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长3的正方形，EF//AB，EF= ，EF与平面AC的距离为2，则该多面体的体积为（）（A）（B）5 （C）6 （D）法一，分析：多面体ABCDEF是属于拟柱体类的几何体，把它补成—个三棱柱，则V多面体ABCDEF=VBCF-AGD-VE-AG= ×3×2×3- × ×3×2× =正确答案为D法二，分析：如图4，连结BE，CE，则平面BEC把这一多面体分割为四棱锥E-ABCD和三棱锥E-BCF，V多面体ABCDEF=VE-ABCD+VE-BCF由于VE-ABCD= ×9×2=6V多面体ABCDEF>6从而确定正确答案为D。

第34讲 割补法与等积法一、知识与方法1 割补法割补法包括分割法和补体法,求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体,锥体,分别求出雉体和柱体的体积, 从而得出几何体的体积,这种方法称为分割法. 用于直接解题较困难,分割后化繁为简,使问题较易获得解快,但有时候,所给的几何体并不复杂,却很难直接计算求解,这类几何体实际上是一个常规几何体的一部分. 通过添补适当的几何体,将其扩展为新的、其特征为我们比较熟悉的几何体,以便于从整体上宏观把握,处理局部问题的一种方法称为补体法,体现了拓展空间, 从更广阁的范围内处理局部问题的整体思想.分割法与补体法合在一起称为割袳法. 2 等积法(又称等积变换法)（1）利用三棱锥的“等积性”,即体积计算时可以任一个面作为三棱雉的底面. (1)求体积时,可选择“容易计算”的方式来计算; (2)利用“等积法”可求“点到面的吟离”,关键是在面中选取 3 个点,与已知点构成三棱锥.(2) 等积变换法充分体现了转化的数学思想,在运用过程中要充分注意距离之间的等价转换.二、典型例题【例1 】(1) 如图384-所示,已知多面体ABC DEFG -中, ,AB AC ,AD 两两互相垂直,平面//ABC 平面DEFG , 平面//BEF 平面,2,1ADGC AB AD DG AC EF =====, 则该多面体的体积为 ( ). A. 2 B. 4C. 6D. 8(2) 如图385-所示,在多面体ABCDEF 中, 已知ABCD 是边长为 1 的正方形, 且,ADE BCF 均为正三角形. //,2EF AB EF =, 则该多面体的体 积为( ).A. 3C.43D.32【分析】本例两小题给出的都是不规则几何体,直接求体积比较困难,可以将这个几何体分割成若干规则的几何体,从而得出几何体的体积(求规则几何体的体积再合成)，也可认运用补体法补成一个规则几何体再求解,如第(1) 问,可把题中给出的几何体分割成两个三棱柱或补成一个正方体;第(2)问,不同的分割可以引发一题多解与发散思维,这种解法体现了割补思想和等积变换思想.【解析】 (1) 【解法一】(割)如图386-所示,过点C 作CH DG ⊥于H , 联结EH ,把多面体分割成一个直三棱柱DEH ABC -和一个斜三 棱柱BEF CHG -. 于是所求几何体的体积为112122122DEHBEF V SAD SDE ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2 4.=【解法二】(补)如图387-所示. 将多面体补成棱长为 2 的正方 体. 显然所求的多面体的体积为该正方体体积的一半. 于是所求几何体的体积31242V =⨯=.(2) 【解法一】 (分割法一)如图388-所示,分别过,A B 作EF 的垂 线, 垂足分别为点,G H , 联结,DG CH .则原几何体分割为两个三棱雉和一个直三棱柱,锥高12, 柱高 1. AG ==取AD 中点M , 则2MG =111,12224434AGDSV =⨯⨯=∴=+⨯⨯⨯12=【解法二】 (分割法二)如图389-所示,取EF 中点P , 则原几何体分割为两个三棱雉和一个四棱雉,易知三棱雉P AED -和三棱雉P BCF -都是棱长为 1 的正四面体,四棱雉P ABCD -为棱长为 1 的正四棱雉.2111233V =⨯+⨯=【例 2】已知直三棱柱111ABC A B C -中, 222A B C 是用一平面截得的截面,且21AA h =,2223,BB h CC h ==, 若ABC 的面积为.S 求证:介于截面与下底面之间的几何体的体积为()12313V S h h h =++.【分析】由于几何体222A B C ABC -是一个不规则的几何体,为求得其体积不妨采用分割或补体的方法来求解和证明. 【解析】【证法一】 (分割)为了讨论方便, 不妨设123h h h , 可将几何体222ABC A B C -分割成一个小直三棱柱与两个三棱雉. 如图390-所示,过2A 作23//A B AB 交2B B 于3B , 过3B 作33//B C BC 交2C C 于3.C 联结23A C ,23B C , 则几何体222ABC A B C -被分割成直三棱柱233ABC A B C -、三棱雉2233B A B C -、二棱锥2A 232B C C -设,BC x A =到BC 的距离为d , 则12S xd =. 由于 ()23322331211,3ABC A B C B A B C V Sh V S h h --==-,()()223223231311111.3323A B C c B C C V Sd h h x d S h h -=⋅=⋅-⋅⋅=- 故()2222332233223212313ABC A B C ABC A B C B A B C A B C C V V V V S h h h ----=++=++. 【证法二】（补体)将几何体222ABC A B C -以ABC 为底面进行两次等几何体补形,使侧棱的长均为123h h h ++, 这样就将不规则的几何体补形为新的直三棱柱. 而原几何体的体积等于这个新直三棱柱体积的13， 故()222123 1133ABC A B C V V S h h h -==++新直三榬柱.【例 3】如图391-所示,三棱锥A BCD -中, AB ⊥平面BCD ,CD BD ⊥ (1) 求证: CD ⊥平面ABD ;(2) 若1,AB BD CD M ===为AD 中点,求三棱雉A MBC -的体积.【分析】利用三棱锥的“等积法”,即体积计算时,可以任一个面作为三棱锥的底面,利用“等积法”可求“点到面的距离”,关键是在面中选取三个点,与已知,点构成三棱锥.等积变换法充分体现了转化的数学思想,在运用过程中要充分注意距离之间的等价转换.【解析】(1) 证明: :AB ⊥平面,,BCD CD BD CD ⊥⊂平面,ABD BD ⊂平面ABD ,CD ∴⊥平面.ABD(2)【解法一】由AB ⊥平面BCD ,得AB BD ⊥,11,.2ABDAB BD S==∴= M 为AD 中点, ABM11.24ABDSS ∴==由()1知,CD ⊥平面ABD ,∴三棱锥C ABM -的高1h CD ==.因此三棱雉A MBC -的体积B 13A MBC C ABM A MV V S h --==⋅1.12=【解法二】由AB ⊥平面BCD 知,平面ABD ⊥平面BCD .又平面ABD ⋂平面BCD BD =, 过点M 作MN BD ⊥交BD 于点N ,如图392-所示,则MN ⊥平面BCD , 且1122MN AB ==. 又1,1,2BCDCD BD BD CD S ⊥==∴=. ∴三棱倠A MBC -的体积1133A MBC A BCD M BCD BCDV V V AB S MN ---=-=⋅-. 112BCDS=.三、易错警示【例】正方体容器1AC 中盛满水, ,,E F G 分别是1111,,A B BB B C 的中点,若 3 个小孔分别位于,,E F G 三点处,则正方体中的水最多会剩下原体积的( ).A.78B.1112C.56D.2324【错解】剩下的水的最大容积是截面EFG 以下几何体的体积,如 图393-所示,设1CC 的中点为11,M C D 的中点为N ,则截面EFG 在正方体1AC 的截面是EFMN , 设正方体1AC 的棱长为 1, 则三棱柱11B EF C MN -的体积 1111111.2228B EFC MN V =⨯⨯⨯=于是, 正方体的水最多会剩下原体积的17188-=, 故 选 A.【评析及正解】上迌解法是否正确,我们可认考查另一种情形.考虑由1,,B E C 确定的截面,如图394-所示.此时,另一个小孔在截面1BEC的上方,此时三棱锥11B BEC -的体积为1113B BEC V -=⨯ 111111.22128⎛⎫⨯⨯⨯=< ⎪⎝⎭于是, 正方体中的水最多会剩下原体 积的11111212-=, 故应选B . 1. 从选项看,还有2324, 那么,会不会是这个结果呢? 我们可以 考虑一般的情形.【正确的解法】如下:【解析】:我们注意到, 当正方体中剩下的水最多时,这时的水平面必定经过其中的两个小孔, 不妨设经过小孔,E G , 如图395-所示,另一个小孔F 在该平面的上方. 设过,E G 的平面与棱1111,,BB CC C D 的交点分别为,,H P Q , 则流出的水的最小体积是台体11B EH C QP -的体积.设正方体1AC 的棱长为 2 , 则11B E =, 设()112B H x x =, 则12C P x =-. 由11B EHC QP , 得12xC Q x-=. 于是, 台体11B EH C QP -的体积为112231(2) 31(2)14 2233121 222,3312B EHC QPx V x x x x x x x ⎡⎤-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎛⎫=+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎛⎫⋅==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ 当且仅当4x x =, 即2x =时,台体11B EH C QP -的体积最小, 为正方体体积的112. 此 时,点H 与点B 重合, 即截面为1BEC , 故选 B.四，难题攻略【例】在三棱台111ABC A B C -中, 111,2A B G AB =为1CC 的中点,截面1A BG 将棱台分成上、下两部分,求这两部分体积之比.【分析】由于合成的两部分都是不规则的几何体,故需将其分割成几个锥体（特别是三棱锥)的组合体才便于计算体积之比,需要提醒的是这里有等面积、等高,等体积的运用,使问题的解答别开生面.【解析】如图396-所示, 联结11,BC A C , 则棱台被分割成 4 个三棱锥的组合体, 注意到 3 个三棱锥11111,A BC G A BC B --,1A BCG -都等高, 因而其体积之比为底面面积之比.又在梯形11BCC B 中, 由111112B C A B BC AB ==, 且G 为1C C 的 中点, 有11.BCCBOGBC B SSS ==即111111ΛBCC A BCC A BC B V V V V ---===, 从而111112A BCC A BC B V V V V --=+=上,在三棱雉111B A B C -与三棱雉1A ABC -中, 它们的高相等, 且1114ABCA B C S S=,则1111111444A ABC B A B c A BC B V V V V ---===.从而1155A ABC A BCC V V V V --=+=下, 故t :2:5V V =下为所求.五、强化训练1.如图397-所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,12,,2AB BC AA ABC M π∠===是BC 中点.(1)求证:1//A B 平面1AMC ;(2)求直线1CC 与平面AMC 所成角的正弦值;(3)试问在棱11A B 上是否存在点N ,使得AN 与1MC 所成角为?3π若存在,确定点N 位置;若不存在,请说明理由.【解析】（1）如图①所示，联结，设与相交于点，则为中点，联结，则为的中位线，依据线面平行判定定理可得.（2）将图①补体为图②，设直线与平面所成角为，则.由题意，不1A C 1AC O O 1A C OM OM 1A BC 11111AB OM A B AMC A B AMC OM AMC //⎫⎪⊄⇒//⎬⎪⊂⎭平面平面平面1CC 1AMC α11sin C AMC h CC α-=11妨设，依据等体积法可得.（3）假设在棱上存在点，使得与成角，不妨设在棱上取点，使得，易得，如图③所示，故与成角.在中，由余弦定理可得.故在棱上存在点，且为棱的中点，使得与成角.122AB BC AA ===111111133C AMC C AMC AMC C AMC AMCC AMCV V Sh Sh ----=⇒=11122sin 33C AMC C AMC h h CC α--⇒=⇒==11A B N AN 1MC 3π1(02)A N t t =≤≤CD Q CQ t =1AN C Q //1C Q 1MC 3π1MQC 22222211112cos3MQ MC QC MC QC π=+-⇒=+1[0,2]t -=∈11A B N N 11A B AN 1MC 3π1213。

立体几何巧思妙解之割补法在立体几何解题中，对于一些不规则几何体，若能采用割补法，往往能起到化繁为简、一目了然的作用。

一 、求异面直线所成的角例1、如图1，正三棱锥S-ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）000090604530A B C D分析：平移直线法是求解异面直线所成角最基本的方法。

如图1，只要AC 的中点G ，连EG ，FG ，解△EFG 即可.应该是情理之中的事。

若把三棱锥巧妙补形特殊的正方体，定会叫人惊喜不已。

巧思妙解：如图2，把正三棱锥S-ABC 补成一个正方体11AGBH ACB S -，1//,EF AA ∴异面直线EF 与SA 所成的角为0145A AS ∠=。

故选C 。

二、体积问题例2、如图3，已知三棱锥子P —ABC，10,PA BC PB AC PC AB ======锥子P —ABC 的体积为（ ）。

4080160240A B C D分析：若按常规方法利用体积公式求解，底面积可用海伦公式求出，但顶点到底面的高无法作出，自然无法求出。

若能换个角度来思考，注意到三棱锥的有三对边两两相等，若能把它放在一个特定的长方体中，则问题不难解决。

巧思妙解：如图4所示，把三棱锥P —ABC 补成一个长方体AEBG —FPDC ，易知三棱锥P —ABC 的各边分别是长方体的面对角线。

PE=x,EB=y,EA=z 不妨令，则由已知有：2222221001366,8,10164x y x z x y z y z ⎧+=⎪+=⇒===⎨⎪+=⎩，从而知 416810468101606P ABC AEBG FPDC P AEB C ABG B PDC A FPC AEBG FPDC P AEBV V V V V V V V --------=----=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= 例3、如图5，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（ ）（A ）32 （B ）33 （C ）34 （D ）23分析：要直接求解组合几何体的体积显然较困难，变换角度思考将这个组合几何体分割成特殊的几个几何体求解，则问题可迎刃而解。

《割补法在立体几何中的应用》学案操冬生1.观看投影：正方体的分割2.问题一：○1求棱长为2的正四面体的体积。

分析：将正四面体通过补形使其成为正方体，然后将正方体的体积减去四个易求体积的小三棱锥的体积。

解：如图，将正四面体补形成一个正方体，则正方体的棱长为1，则：V 正四面体＝V 正方体－4V 三棱锥＝1－31121314=⨯⨯⨯。

C C 1D 1○2求棱长为2的正四面体的外接球表面积。

○3求棱长为2的正四面体的内切球半径。

○4 求棱长为2的正四面体的内部任一点到各个面的距离之和○5.在正方体D C B A ABCD ''''-中，求异面直线B D '、和C B '所成的角？问题二：四面体S--ABC 中，三组对棱分别相等，且依次为2 5， 13，5 ○1.求该四面体的体积。

○2.求该四面体的外接球表面积。

○3.求该四面体的内切球半径。

○4.在长方体D C B A ABCD ''''-中，求异面直线B D '、和C B '所成的角？○5.拓展：有两个有相同内切球的多面体，其表面积之比为m:n ，它们的体积比为_____________ 问题3：○1.斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为S ，AA 1到此侧面的距离是a ，求此三棱柱的体积？○2.已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。

求此三棱锥的体积。

B SAC问题4： 在高考中的应用1.（2008海南理科12）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（ ）A. 22B. 32C. 4D. 522、（2008海南理科18）如图，已知点P 在正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA=60°。