高考数学110分必会热点题型：函数y=sin（x+）的图象及简单应用

高中数学三角函数图像与变换解析在高中数学中，三角函数是一个重要的概念，它在解析几何、微积分等数学领域中都有广泛的应用。

掌握三角函数的图像与变换解析，对于理解数学概念、解决实际问题都具有重要意义。

本文将通过具体题目的举例，分析三角函数图像的特点和变换的规律，帮助高中学生更好地理解和应用三角函数。

一、正弦函数的图像与变换解析正弦函数是三角函数中最基本的一种函数，它的图像是一条连续的波浪线。

我们以函数y=sin(x)为例，来讨论正弦函数的图像与变换解析。

1. 图像特点：正弦函数的图像是一条周期性的波浪线，它的振幅为1，周期为2π。

在一个周期内，正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间。

当自变量x增加时，正弦函数的值先增大后减小，在x=0、x=π/2、x=π、x=3π/2等点上取得极值。

2. 变换规律：正弦函数可以进行平移、伸缩和翻转等变换。

平移变换可以通过改变函数中的常数项实现，例如y=sin(x-a)表示将函数图像向右平移a个单位；伸缩变换可以通过改变函数中的系数实现，例如y=2sin(x)表示将函数图像在y轴方向上伸缩2倍；翻转变换可以通过改变函数中的符号实现，例如y=-sin(x)表示将函数图像关于x轴翻转。

举例说明：考虑函数y=sin(x-π/4)，我们来分析它的图像特点和变换规律。

首先，平移变换中的常数项π/4表示将函数图像向右平移π/4个单位，即图像在x轴上的所有点的横坐标都增加了π/4。

其次，由于函数中的系数为1，所以函数图像在y轴方向上没有发生伸缩。

最后，由于函数中的符号为正，所以函数图像没有发生翻转。

综合上述分析，我们可以得出结论：函数y=sin(x-π/4)的图像在y=sin(x)的基础上向右平移π/4个单位。

二、余弦函数的图像与变换解析余弦函数是三角函数中另一种基本的函数，它的图像是一条连续的波浪线。

我们以函数y=cos(x)为例，来讨论余弦函数的图像与变换解析。

1. 图像特点：余弦函数的图像也是一条周期性的波浪线，它的振幅为1，周期为2π。

函数sin的图像及应用sin函数是三角函数中最常见的一种函数，它表示的是一个周期性的波动曲线。

sin(x)的图像是一条振荡于y=0附近的曲线，周期为2π。

首先，让我们来看一下sin(x)函数的图像。

我们知道sin(0)=0，因此函数图像会经过原点(0,0)。

而当x取π/2、π、3π/2等值时，sin(x)函数的值会达到最大值1；而当x取5π/2、3π、7π/2等值时，sin(x)函数的值会达到最小值-1。

因此，sin(x)的图像会在这些点上有拐点。

另外，sin(x)函数是奇函数，即满足sin(-x)=-sin(x)，因此它在y轴上是关于原点对称的。

sin(x)的图像可以被用于描述各种自然现象和科学问题。

以下是一些常见的应用：1. 声音和音乐：在声音和音乐的领域中，我们可以用sin(x)函数来描述声波的振动。

不同频率的声波振动会产生不同的音调，而sin(x)函数的周期性特点可以用来演示各种音调的波动。

2. 电信号：在电工学和通信领域中，sin(x)函数用于描述交流电信号的变化。

交流电信号的周期性特点和振幅可以用sin(x)函数来表示，这样可以更好地理解电信号的变化和输送过程。

3. 光和光学：在光学研究中，我们可以用sin(x)函数来描述光波的传播和干涉现象。

例如，当光通过狭缝时，会形成干涉条纹，这些条纹的分布可以通过sin(x)函数来描述和解释。

4. 天文学：在天文学中，sin(x)函数也有广泛的应用。

例如，我们可以用sin(x)函数来解释地球的季节变化和日晷的行为。

地球围绕太阳的运动可以用sin(x)函数来模拟，这样我们可以预测太阳的升起和落下时间。

5. 振动和波动：在物理学研究中，sin(x)函数常常用来描述振动和波动的现象。

例如，弹簧振子、钟摆以及水波等都可以通过sin(x)函数来描述它们的运动规律。

总之，sin函数是一种周期性的函数，可以用来描述各种自然现象和科学问题中的振动和波动现象。

我们可以通过观察和分析sin(x)的图像来理解这些现象的变化规律，进而应用到实际的科学研究和工程问题中。

高考数学中的三角函数图像及解析式在高中数学的学习中，三角函数是一个非常重要的概念之一，而三角函数的图像及解析式往往是高考数学中的常考的知识点之一。

在本文中，我们将详细地探讨三角函数的图像及解析式，帮助读者更好地掌握这一知识点，提高高考数学的成绩。

一、正弦函数的图像及解析式正弦函数是三角函数中最为基础的一个函数，其通式为：y = sin x正弦函数的图像为一条波形曲线，波峰和波谷交替出现，形状类似于一条弯曲的绳子或者水波。

正弦函数的图像以 y 轴为对称轴，且有一个最高点和最低点，最高点为(π/2，1)，最低点为(3π/2，-1)。

而整张图像的周期为2π，也就是说函数在 x 轴上每隔2π 个单位长度就会重复一次。

二、余弦函数的图像及解析式余弦函数也是一个基础的三角函数，通式为：y = cos x余弦函数的图像也是一条波形曲线，波峰和波谷也是交替出现，但是与正弦函数的图像不同，余弦函数图像是以 x 轴为对称轴，它也有一个最高点和最低点，最高点为(0，1)，最低点为(π，-1)。

余弦函数的周期也是2π。

三、正切函数的图像及解析式正切函数是三角函数中比较特别的一个函数，通式为：y = tan x正切函数的图像类似于一条斜率一直不断变大或变小的直线，它的图像在π/2 和3π/2 处有一个垂直渐近线。

除此之外，还有一个水平渐近线 y=0。

正切函数的周期为π。

四、余切函数的图像及解析式余切函数是正切函数的倒数，通式为：y = cot x余切函数的图像是一条波形曲线，它也有一个垂直和水平的渐近线。

余切函数的周期也是π。

总之，三角函数的图像及解析式是高考数学中的重要知识点，掌握这些知识不仅能够帮助我们在数学考试中取得好成绩，还能增进我们对数学知识的理解和掌握。

讲解新课：正弦、余弦函数的图象（1）函数y=sinx 的图象：叫做正弦曲线第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.第三步：连线.用光滑曲线把正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象.（2）余弦函数y=cosx 的图象：叫做余弦曲线 根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移2π单位即得余弦函数y=cosx 的图象.（3）用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是哪几个？(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 讲解范例：例1 作下列函数的简图(1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， （2）y=-COSx探究 如何利用y=sinx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到 （1）y ＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象； （2）y=sin(x- π/3)的图象？y=cosxy=sinxπ2π3π4π5π6π-π-2π-3π-4π-5π-6π-6π-5π-4π-3π-2π-π6π5π4π3π2ππ-11y x-11o xy小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。

三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用.命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目.知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决.错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题.技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.［例2］如右图，一滑雪运动员自h=50m高处A点滑至O点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O点保持速率v0不为，并以倾角θ起跳，落至B点，令OB=L，试问，α=30°时，L的最大值为多少？当L取最大值时，θ为多大？命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题.错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活.技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.解：由已知条件列出从O点飞出后的运动方程：命题意图：本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则.属★★★★级题目.知识依托：依据图象正确写出解析式.错解分析：不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母.技巧与方法：数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式.解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象.命题意图：本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则.属★★★★级题目.知识依托：依据图象正确写出解析式.错解分析：不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母.技巧与方法：数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式.解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象.●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决的方法主要有：1.考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用.2.三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.3.三角函数与实际问题的综合应用.此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数y=－x·cos x的部分图象是( )友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编辑，期待您的好评与关注！。

第4讲 函数y=Asin()x ωϕ+的图象及三角函数模型的简单应用1.将函数y=sin(6x+)4π的图象上各点向右平移8π个单位,则得到新函数的解析式为( )A.y=sin (6)2x π-B.y=sin (6)2x π+C.y=sin 5(6)8x π+D.y=sin (6)8x π+【答案】 A【解析】 新函数解析式为y=sin [6()]84x ππ-+=sin (6)2x π-,故选A.2.为了得到函数y=2sin ()(36x x π+∈R )的图象,只需把函数y=2sin (x x ,∈R )的图象上所有的点( )A.向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)B.向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)C.向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D.向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)【答案】 C【解析】 将函数y=2sinx 的图象向左平移6π个单位得到函数y=2sin(x+)6π的图象,将函数y=2sin ()6x π+图象上各点横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变),则得到函数y=2sin 1()36x π+的图象,故选C.3.已知函数f(x)=sin ()(0)3x πωω+>的最小正周期为π,则该函数图象( )A.关于直线3x π=对称B.关于直线4x π=对称C.关于点4(0)π,对称D.关于点(0)3π,对称【答案】 D【解析】 根据函数f(x)的最小正周期为π,可得f(x)=sin(2x+)3π.当3x π=时()03f π,=,所以该函数图象关于点(0)3π,对称;当4x π=时1()42f π,=.故选D.4.若函数f(x)=sin (0)x ωω>在区间[0]3π,上单调递增,在区间[]32ππ,上单调递减,则Ω=( )A.3B.2C.32D.23【答案】 C【解析】 根据函数f(x)=sin (0)x ωω>在区间[0]3π,上单调递增,在区间[]32ππ,上单调递减,可知232k ωππ=+π(k ∈Z ),可知选项C 中32ω=符合.1.将函数y=sin (2)4x π+的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移4π个单位,所得到的图象解析式是( ) A.y=sinx B.y=cosx C.y=sin4x D.y=cos4x【答案】 A【解析】 y=sin (2)4x π+横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y=sin(x+)4π向右平移4π个单位y=sin ()44x ππ-+=sinx.2.若函数f(x)=sin ()(x ωϕ+|ϕ|<)2π的图象(部分)如图所示,则f(x)的解析式为( )A.f(x)=sin 1()26x π+B.f(x)=sin (2)3x π+C.f(x)=sin 1()23x π+D.f(x)=sin (2)6x π+【答案】 A【解析】 由4T =π,得T=4π,∴12ω=.又函数图象过点(3π-,0),可得6πϕ=.3.若函数y=Asin ()x m ωϕ++的最大值为4,最小值为0,最小正周期为2π,直线3x π=是其图象的一条对称轴,则它的解析式是( ) A.y=4sin (4)6x π+B.y=2sin (2)23x π++C.y=2sin (4)23x π++D.y=2sin (4)26x π++【答案】 D 【解析】 由题意得 40A m A m +=,⎧⎨-+=,⎩ ∴ 22A m =,⎧⎨=.⎩∵2T π=,∴24Tπω==. ∴y=2sin (4)2x ϕ++.∵3x π=是其对称轴,∴sin (4)13πϕ⨯+=±.∴432k ππϕ+=+π(k ∈Z ).∴k ϕ=π5(6k π-∈Z ).当k=1时6πϕ,=.4.已知函数f(x)=2sin ()(x ωϕ+其中0ω>,|ϕ|2)π<的最小正周期是π,且(0)3f =,则( ) A.126πωϕ=,=B.123πωϕ=,=C.26πωϕ=,=D.23πωϕ=,=【答案】 D【解析】 ∵函数()(0f x ω>,|ϕ|)2π<的最小正周期为π,∴2T πω==π.∴2ω=.∵f(0)=2sin 3ϕ=, 即sin 3(2ϕ=|ϕ|)2π<,∴3πϕ=,故选D.5.设0ω>,函数y=sin ()23x πω++的图象向右平移43π个单位后与原图象重合,则ω的最小值是( ) A.23B.43C.32D.3【答案】 C【解析】 由题意知243T ππω=≤,∴32ω≥,即ω的最小值为32.6.若函数f(x)=2sin ()x ωϕ+对任意x 都有()6f x π+=6(f π-x),则()6f π等于( ) A.2或0 B.-2或2C.0D.-2或0 【答案】 B【解析】 由66()()f x f x ππ+=-可知6x π=是函数f(x)的一条对称轴.又∵f(x)=2sin ()x ωϕ+在对称轴处取得最值, ∴选B.7.已知(0x ∈,π],关于x 的方程2sin ()3x a π+=有两个不同的实数解,则实数a 的取值范围为( ) A.[32]-, B.[32], C.(32], D.(32),【答案】 D【解析】 令12y =sin ()(03x x π+,∈,π2]y a ,=,作出1y 的图象如图所示:若关于x 的方程2sin ()3x a π+=在(0,π]上有两个不同的实数解,则1y 与2y 应有两个不同的交点,所以3<a<2.8.已知函数y=Asin ()x n ωϕ++的最大值为4,最小值是0,最小正周期是2π,直线3x π=是其图象的一条对称轴,若A>0002πωϕ,>,<<,则函数解析式为.【答案】 y=2sin (4)26x π++【解析】 由题设得,A 224n ω=,=,=,且当3x π=时,sin 4(3π+)ϕ=1±,故6πϕ=.故所求解析式为y=2sin (4)26x π++.9.给出下列六种图象变换方法:(1)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的12;(2)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍; (3)图象向右平移3π个单位;(4)图象向左平移3π个单位;(5)图象向右平移23π个单位;(6)图象向左平移23π个单位.请用上述变换中的两种变换,将函数y=sinx 的图象变换到函数y=sin ()23x π+的图象,那么这两种变换正确的标号是(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可). 【答案】 (4)(2)或(2)(6) 【解析】y=sinx(4)y=sin()3x π+(2)y=sin()23x π+,或y=sinx(2)y=sin 12x (6)y=sin 21[()]23m x π+=sin ()23x π+.10.已知函数f(x)=2sin (2)(x ϕ+|ϕ|)2π<图象的一部分如图所示,则ϕ= .【答案】 3π【解析】 由题图可知6(0)π,-,为三角函数五点作图法的第一个点,所以2()06πϕ⨯-+=,解得3πϕ=.11.已知函数f(x)=3sin 6()(x πω-ω>0)和g(x)=2cos(2x+)1ϕ+的图象的对称轴完全相同.若[0]2x π∈,,则f(x)的取值范围是 .【答案】 32[3]-,【解析】 由题知g(x)=2cos (2)1x ϕ++的周期22T π==π.若f(x)=3sin ()6x πω-的对称轴与g(x)的对称轴完全相同,则f(x)的周期T 也应该是π,故2πω=||π2ω,=±.又∵0ω>,∴2ω=.∴f(x)=3sin 6(2)x π-.若[0]2x π∈,,则2[0x ∈,π5]2[]666x πππ,-∈-,.∴sin 1(2)[1]62x π-∈-,.∴f(x)=3sin 3(2)[3]62x π-∈-,.12.已知函数y=3sin 1()24x π-,(1)用五点法作出函数的图象;(2)说明此图象是由y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到的; (3)求此函数的振幅、周期和初相;(4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 【解】 (1)列表:描点、连线,如图所示:(2)方法一:”先平移,后伸缩”.先把函数y=sinx 的图象上所有点向右平移4π个单位,得到函数y=sin ()4x π-的图象;再把函数y=sin(x-)4π的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sin 1()24x π-的图象,最后将函数y=sin 1()24x π-的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到函数y=3sin 1()24x π-的图象.方法二:”先伸缩,后平移”.先把函数y=sinx 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sin 12x 的图象;再把函数y=sin 12x 图象上所有的点向右平移2π个单位,得到函数y=sin 1[(2x -)]2π=msin ()24x π-的图象,最后将函数y=sin (2x -)4π的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到函数y=3sin 1(2x -)4π的图象.(3)周期22412T ππω===π,振幅A=3,初相是4π-.(4)令1242x k ππ-=+π(k ∈Z ),得x=2k π32+π(k ∈Z ),此为对称轴方程.令124x k π-=π(k ∈Z ),得22x k π=+π(k ∈Z ). 故对称中心为(2k π20)(k π+,∈Z ).13.(2012安徽合肥检测)已知函数f(x)=sin 23x ωsin x ω⋅sin ()22x πω++cos 2x x ω,∈R (0)ω>的图象在y 轴右侧的部分第一个最高点的横坐标为6π. (1)求ω;(2)若将函数f(x)的图象向右平移6π个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的最大值及单调递减区间. 【解】 3(1)()f x =122x ω+cos 322x ω+=sin 3(2)62x πω++.令262x ππω+=,将6x π=代入可得1ω=.(2)由(1)得f(x)=sin 3(2)62x π++.经过题设的变化得到的函数 g(x)=sin 31()262x π-+.当x=4k π43k π+,∈Z 时,函数g(x)取得最大值52.令2k π12226x k ππ+≤-≤π3(2k π+∈Z ),即[4x k ∈π443k π+,π10]3k π+,∈Z 为函数g(x)的单调递减区间.14.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间(024t t ≤≤,单位:小时)的函数,记作y=f(t),下表是某日各时的浪高数据.经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acos t b ω+的图象.(1)根据以上数据,求出函数y=Acos t b ω+的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式;(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8:00至晚上20:00之间,有多长时间可供冲浪者进行运动? 【解】 (1)由题中表中数据,知周期T=12, ∴22126T πππω===.由t=0,y=1.5,得A+b=1.5. 由t=3,y=1.0,得b=1.0. ∴A=0.5,b=1,∴振幅为12. ∴12y =cos 16t π+.(2)由题知,当y>1时才可对冲浪者开放. ∴12cos 116t π+>,∴cos 06t π>.∴2k π226t k ππ-<<π2k π+,∈Z ,即12k-3123t k k <<+,∈Z .∵024t ≤≤,故可令k 分别为0、1、2,得 03t ≤<或9<t<15或2124t <≤.∴在规定时间的上午8:00至晚上20:00之间,有6个小时时间可供冲浪者运动,即上午9:00至下午15:00.。

高考数学冲刺复习三角函数图像考点解析在高考数学中，三角函数图像是一个重要的考点，它不仅要求我们掌握基本的概念和性质，还需要我们能够灵活运用这些知识解决各种问题。

在冲刺复习阶段，对三角函数图像考点进行系统的梳理和深入的理解，能够帮助我们在考试中更加得心应手。

一、三角函数的基本类型我们先来了解一下常见的三角函数，包括正弦函数（y ＝ sin x）、余弦函数（y ＝ cos x）和正切函数（y ＝ tan x）。

正弦函数的图像是一个以2π 为周期，在－1 到1 之间波动的曲线。

它在 x ＝ 0 时，函数值为 0；在 x ＝π/2 时，函数值为 1；在 x ＝3π/2 时，函数值为－1。

余弦函数的图像同样是以2π 为周期，在－1 到 1 之间波动。

它在 x ＝ 0 时，函数值为 1；在 x ＝π 时，函数值为－1。

正切函数的图像则有所不同，它的周期是π，定义域为x ≠ （π/2)＋kπ（k 为整数），值域为R。

其图像在每个周期内都是单调递增的，且有垂直渐近线 x ＝（π/2) ＋kπ。

二、三角函数图像的性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，正切函数的周期是π。

周期性是三角函数的重要特征之一，利用周期性可以将函数在一个周期内的性质推广到整个定义域。

2、对称性正弦函数是关于直线 x ＝π/2 ＋kπ（k 为整数）对称的奇函数；余弦函数是关于直线 x ＝kπ（k 为整数）对称的偶函数。

3、单调性正弦函数在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ（k 为整数）上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ上单调递减。

余弦函数在2kπ π, 2kπ上单调递增，在2kπ, 2kπ ＋π上单调递减。

4、值域正弦函数和余弦函数的值域都是-1, 1，正切函数的值域是 R。

三、三角函数图像的变换1、平移变换对于函数 y ＝ sin(x ＋φ)，当φ ＞ 0 时，图像向左平移φ 个单位；当φ ＜ 0 时，图像向右平移|φ|个单位。

常见三角函数图像及性质三角函数在数学中具有重要的作用，主要有正弦函数、余弦函数和正切函数。

这些三角函数的图像及性质对理解三角函数在不同角度下的变化规律至关重要。

1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数可以表示为 $y = \\sin(x)$，其中x表示自变量（角度），x表示函数值。

正弦函数的图像是一条波浪形状的曲线，在 $[-\\pi, \\pi]$ 区间内，正弦函数的图像在原点(0,0)处达到最大值1和最小值−1，且图像在x轴上对称。

正弦函数的主要性质包括：•周期性：正弦函数的周期是 $2\\pi$，即 $f(x+2\\pi) = f(x)$。

•奇函数：正弦函数是奇函数，即x(−x)=−x(x)。

•范围：正弦函数的值域为[−1,1]。

•正负性：在第一和第二象限，正弦函数为正；在第三和第四象限，正弦函数为负。

2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数可以表示为 $y = \\cos(x)$，余弦函数的图像是一条类似正弦函数的波浪形状曲线，不过余弦函数的图像在x轴上下移了 $\\frac{\\pi}{2}$。

余弦函数的性质包括：•周期性：余弦函数的周期也是 $2\\pi$，即$f(x+2\\pi) = f(x)$。

•偶函数：余弦函数是偶函数，即x(−x)=x(x)。

•范围：余弦函数的值域为[−1,1]。

•正负性：在第一和第四象限，余弦函数为正；在第二和第三象限，余弦函数为负。

3. 正切函数（Tangent Function）正切函数可以表示为 $y = \\tan(x)$，正切函数的图像是一条周期性的曲线，其在某些角度处会出现无穷大的值。

正切函数的图像在 $x=k\\pi + \\frac{\\pi}{2}$ 时，即 $x =\\frac{\\pi}{2}, \\frac{3\\pi}{2}, \\frac{5\\pi}{2}$ 等，会出现垂直渐近线。

正切函数的性质包括：•周期性：正切函数的周期是 $\\pi$，即 $f(x+\\pi) = f(x)$。

数学公式知识：三角函数的图像及其性质三角函数是数学中的重要内容，有着广泛的应用。

在几何、物理、工程等领域中都有着重要作用。

在三角函数中，正弦函数、余弦函数、正切函数等图像及其性质是比较基础且重要的内容。

本文将介绍三角函数的图像及其性质，帮助读者更好地理解和掌握三角函数的知识。

一、正弦函数的图像及其性质正弦函数的函数式为：y=sin⁡(x)，其中x表示自变量的取值，范围为实数；y表示正弦函数对应的因变量。

正弦函数的图像是一条典型的正弦曲线。

其图像的周期为2π。

正弦函数的图像在坐标轴上为(0,0)处，且在x轴的取值为kπ（k为整数）时，函数值为0，即sin⁡(kπ)=0。

正弦函数的图像在x轴上的最大正值和最小负值分别为1和-1，即sin⁡(±π/2)=±1。

正弦函数在π/2+nπ（n为整数）时，取得最大值1；在-π/2+nπ（n为整数）时，取得最小值-1。

当自变量x增加2π时，正弦函数的函数值也将再次取得最大值1或最小值-1，即满足周期性。

正弦函数为奇函数，即sin⁡(-x)=-sin⁡(x)，即正弦函数的图像呈现关于y轴对称的性质。

二、余弦函数的图像及其性质余弦函数的函数式为：y=cos⁡(x)，其中x表示自变量的取值，范围为实数；y表示余弦函数对应的因变量。

余弦函数的图像是一条典型的余弦曲线。

其图像的周期为2π。

余弦函数的图像在坐标轴上为(0,1)（0度），且在x轴的取值为kπ（k 为整数）时，函数值为1，即cos⁡(kπ)=1。

余弦函数的图像在x轴上的最大正值和最小负值都为0，即cos⁡(±π/2)=0。

余弦函数在nπ（n为整数）时，取得最小值-1；在π+nπ（n为整数）时，取得最大值1。

当自变量x增加2π时，余弦函数的函数值也将再次取得最大值1或最小值-1，即满足周期性。

余弦函数为偶函数，即cos⁡(-x)=cos⁡(x)，即余弦函数的图像呈现关于y轴对称的性质。

高中数学 正弦函数y=sinx 的图像及图像变换讲义 新人教A 版必修4重难点易错点解析在恰当的坐标系中画正弦函数的图 题一题面：在同一个坐标系内画,sin y x y x ==的图 题二题面：在同一个坐标系内画sin ,lg y x y x ==的图真正理解图像变换 题三题面：把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是( )A.(1－y )sin x +2y －3=0B.(y －1)sin x +2y －3=0C.(y +1)sin x +2y +1=0D.－(y +1)sin x +2y +1=0金题精讲 题一题面：在同一个坐标系内画sin ,100xy x y ==的图 题二题面：函数)4(x f y =过点(3，1)，则函数)22(+=x f y 的图像必过的点是 . 题三题面：如何由函数x y sin =的图象变换得到)42sin(π+=x y 的图象.下面三条路，你选哪条？为什么？sin sin 2sin(2)4y x y x y x π=→=→=+sin sin()sin(2)84y x y x y x ππ=→=+→=+sin sin()sin(2)44y x y x y x ππ=→=+→=+题四题面：如何由函数x y sin =的图象变换得到2sin(2)14y x π=++的图象.思维拓展 题一题面：已知函数()()()22sin 122xf x x x x π=+-+.(1)那么方程()0f x =在区间[100,100]-上的根的个数是__________． (2)对于下列命题：①函数()f x 是周期函数；②函数()f x 既有最大值又有最小值；③函数()f x 的定义域是R ，且其图象有对称轴； ④函数()f x 在(1,0)-上是减函数.其中真命题的序号是 ．(填写出所有真命题的序号)讲义参考答案重难点易错点解析 题一答案：题二 答案：题三 答案：C金题精讲 题一答案：草图供参考图略，一共有63个交点。

高中数学专题讲义:高考中三角函数问题的热点题型高考导航 从近几年的高考试题看,全国卷交替考查三角函数、解三角形.该部分解答题是高考得分的基本组成部分,不能掉以轻心.该部分的解答题考查的热点题型有:一考查三角函数的图象变换以及单调性、最值等；二考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题,在解题过程中抓住平面向量作为解决问题的工具,要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性,注意题目中隐含的各种限制条件,选择合理的解决方法,灵活地实现问题的转化.热点一 三角函数的图象和性质(规范解答)注意对基本三角函数y ＝sin x ,y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆,有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解,通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式,然后利用整体代换的方法求解.【例1】 (满分13分)(2015·北京卷)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值. 满分解答 (1)解 因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3.2分 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－ 3.4分所以f (x )的最小正周期为2π.6分(2)解 因为0≤x ≤2π3,所以π3≤x ＋π3≤π.8分 当x ＋π3＝π,即x ＝2π3时,f (x )取得最小值.11分所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3.13分❶将f (x )化为a sin x ＋b cos x ＋c 形式得2分； ❷将f (x )化为A sin(ωx ＋φ)＋h 形式得2分； ❸求出最小正周期得2分.❹写出ωx ＋φ的取值范围得2分. ❺利用单调性分析最值得3分. ❻求出最值得2分.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 周期与最值的模板第一步:三角函数式的化简,一般化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋h 的形式；第二步:由T ＝2π|ω|求最小正周期； 第三步:确定f (x )的单调性；第四步:确定各单调区间端点处的函数值； 第五步:明确规范地表达结论.【训练1】 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0),且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值.解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4,故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω＞0,所以2π2ω＝π,因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.设t ＝2x －π3,则函数f (x )可转化为y ＝－sin t .当π≤x ≤3π2时,5π3≤t ＝2x －π3≤ 8π3,如图所示,作出函数y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3 上的图象,由图象可知,当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3时,sin t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1,故－1≤－sin t ≤32,因此－1≤f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤32. 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32,－1.热点二 解三角形高考对解三角形的考查,以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看:(1)从内容上看,主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式,一般是以三角形或其他平面图形为背景,结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看,主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理,在知识的交汇处命题.【例2】 (2017·成都诊断)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,f (x )＝2sin(x －A )cos x ＋sin(B ＋C )(x ∈R ),函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称.(1)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时,求函数f (x )的值域；(2)若a ＝7,且sin B ＋sin C ＝13314,求△ABC 的面积. 解 (1)∵f (x )＝2sin(x －A )cos x ＋sin(B ＋C ) ＝2(sin x cos A －cos x sin A )cos x ＋sin A ＝2sin x cos A cos x －2cos 2x sin A ＋sin A ＝sin 2x cos A －cos 2x sin A ＝sin(2x －A ), 又函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0,即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝0,又A ∈(0,π),则A ＝π3,则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 由于x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,则2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3,即－32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1,则函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1.(2)由正弦定理,得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝143,则sin B ＝314b ,sin C ＝314c ,sin B ＋sin C ＝314(b ＋c )＝13314,即b ＋c ＝13. 由余弦定理,得a 2＝c 2＋b 2－2bc cos A , 即49＝c 2＋b 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ,即bc ＝40. 则△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×40×32＝10 3.探究提高 三角函数和三角形的结合,一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角,再代入到三角函数中,三角函数和(差)角公式的灵活运用是解决此类问题的关键.【训练2】 四边形ABCD 的内角A 与C 互补,且AB ＝1,BC ＝3,CD ＝DA ＝2. (1)求角C 的大小和线段BD 的长度； (2)求四边形ABCD 的面积. 解 (1)设BD ＝x ,在△ABD 中,由余弦定理,得cos A ＝1＋4－x 22×2×1,在△BCD 中,由余弦定理,得cos C ＝9＋4－x 22×2×3,∵A ＋C ＝π,∴cos A ＋cos C ＝0. 联立上式,解得x ＝7,cos C ＝12. 由于C ∈(0,π). ∴C ＝π3,BD ＝7.(2)∵A ＋C ＝π,C ＝π3,∴sin A ＝sin C ＝32. 又四边形ABCD 的面积S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·AD sin A ＋12CB ·CD sin C ＝32×(1＋3)＝23, ∴四边形ABCD 的面积为2 3. 热点三 三角函数与平面向量结合三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面:(1)以三角函数式作为向量的坐标,由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形,然后利用正、余弦定理解决问题.【例3】 (2016·贵州适应性考试)已知△ABC 的三内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,向量m ＝(cos B ,cos C ),n ＝(2a ＋c ,b ),且m ⊥n . (1)求角B 的大小； (2)若b ＝3,求a ＋c 的范围.解 (1)∵m ＝(cos B ,cos C ),n ＝(2a ＋c ,b ),且m ⊥n , ∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0,∴cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0, ∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0. 即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A . ∵A ∈(0,π),∴sin A ≠0,∴cos B ＝－12. ∵0＜B ＜π,∴B ＝2π3. (2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2,当且仅当a ＝c 时取等号. ∴(a ＋c )2≤4,故a ＋c ≤2. 又a ＋c >b ＝3,∴a ＋c ∈(3,2]. 即a ＋c 的取值范围是(3,2].探究提高 向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.【训练3】 已知向量a ＝(m ,cos 2x ),b ＝(sin 2x ,n ),函数f (x )＝a·b ,且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求m ,n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象,若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y ＝g (x )的单调递增区间.解 (1)由题意知f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x . 因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2,所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2),由题意知x 20＋1＝1,所以x 0＝0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).将其代入y ＝g (x )得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1,因为0<φ<π,所以φ＝π6,因此g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x .由2k π－π≤2x ≤2k π,k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π,k ∈Z .所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π,k ∈Z .(建议用时:70分钟)1.(2017·昆明调研)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示.(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0,y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上最大值和最小值.解 (1)由题得,f (x )的最小正周期为π,y 0＝3. 当y 0＝3时,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝1,由题干图象可得2x 0＋π6＝2π＋π2, 解得x 0＝7π6.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12,所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0.于是:当2x ＋π6＝0,即x ＝－π12时,f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2,即x ＝－π3时,f (x )取得最小值－3.2.(2017·郑州模拟)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知a sin 2B ＝3b sin A . (1)求B ；(2)若cos A ＝13,求sin C 的值. 解 (1)在△ABC 中, 由a sin A ＝b sin B , 可得a sin B ＝b sin A , 又由a sin 2B ＝3b sin A ,得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B , 又B ∈(0,π),所以sin B ≠0,所以cos B ＝32,得B ＝π6.(2)由cos A ＝13,A ∈(0,π),得sin A ＝223, 则sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ), 所以sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16.3.(2017·西安调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋2sin 2ωx 2(ω＞0),已知函数f (x )的图象的相邻两对称轴间的距离为π. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c (其中b ＜c ),且f (A )＝32,△ABC 的面积为S ＝63,a ＝27,求b ,c 的值. 解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋1－cos ωx＝32sin ωx －12cos ωx ＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1.∵函数f (x )的图象的相邻两对称轴间的距离为π, ∴函数f (x )的周期为2π.∴ω＝1.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋1.(2)由f (A )＝32,得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又∵A ∈(0,π),∴A ＝π3.∵S ＝12bc sin A ＝63,∴12bc sin π3＝63,bc ＝24,由余弦定理,得a 2＝(27)2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝b 2＋c 2－24. ∴b 2＋c 2＝52,又∵b ＜c ,解得b ＝4,c ＝6.4.(2016·济南名校联考)已知函数f (x )＝sin ωx ＋23cos 2ωx2＋1－3(ω＞0)的周期为π.(1)求f (x )的解析式并求其单调递增区间；(2)将f (x )的图象先向下平移1个单位长度,再向左平移φ(φ＞0)个单位长度得到函数h (x )的图象,若h (x )为奇函数,求φ的最小值. 解 (1)f (x )＝sin ωx ＋23cos 2ωx2＋1－3＝sin ωx ＋23×1＋cos ωx2＋1－3＝sin ωx ＋3cos ωx ＋1＝2sin(ωx ＋π3)＋1.又函数f (x )的周期为π,因此2πω ＝π,∴ω＝2.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z ), 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z ),即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z ).(2)由题意可知h (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋φ）＋π3,又h (x )为奇函数,则2φ＋π3＝k π,∴φ＝k π2－π6(k ∈Z ).∵φ＞0,∴当k ＝1时,φ取最小值π3. 5.已知△ABC 中内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,向量m ＝ (2sin B ,－3),n ＝(cos 2B ,2cos 2B2－1),且m ∥n . (1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2,求S △ABC 的最大值. 解 (1)∵m ∥n ,∴2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＝－3cos 2B ,∴sin 2B ＝－3cos 2B ,即tan 2B ＝－ 3. 又∵B 为锐角,∴2B ∈(0,π), ∴2B ＝2π3,∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3,b ＝2,由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B , 得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ,代入上式,得ac ≤4, 当且仅当a ＝c ＝2时等号成立. 故S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3, 当且仅当a ＝c ＝2时等号成立, 即S △ABC 的最大值为 3.6.(2017·东北四市模拟)已知函数f (x )＝a ·b ,其中a ＝(2cos x ,－3sin 2x ),b ＝ (cos x ,1),x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,f (A )＝－1,a ＝7,且向量m ＝(3,sin B )与n ＝(2,sin C )共线,求边长b 和c 的值.解 (1)f (x )＝2 cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3, 令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z ),解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z ),∴函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).(2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1,∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1,又π3＜2A ＋π3＜7π3,∴2A ＋π3＝π,即A ＝π3.∵a ＝7,∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3,sin B )与n ＝(2,sin C )共线, ∴2sin B ＝3sin C ,由正弦定理得2b ＝3c ,② 由①②得b ＝3,c ＝2.。

高等数学试卷y=sin x的定义域本题要求解定义域为y=sin x的函数，我们需要从以下两个方面进行分析：1. 关于正弦函数的定义；2. 关于定域的含义和求解方法。

1. 关于正弦函数的定义正弦函数是最基本的三角函数之一，通常用sin x表示。

在解析几何和物理学中经常用到。

其定义如下：对于任意一个实数x，我们可以根据单位圆上的点P(x,y)的位置来定义它的正弦值(sin x)。

其中x是点P在单位圆上与x轴正方向的夹角，y则是点P在y轴上的投影。

于是我们可以得到这条等式：sin x = y对于一些简单的角度，我们可以得到正弦函数取值的简单表格：角度| 0° | 30° | 45° | 60° | 90°--- | --- | --- | --- | --- | ---sin x | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1由于正弦函数是周期函数，其周期为2π。

即：sin（x+2π）=sin x。

2. 关于定义域的含义和求解方法定义域指的是函数所能接受的输入值的集合。

对于y=sin x, 它可以取的最大值和最小值分别为1和-1。

因此，我们需要找到所有满足sin x ∈ [-1,1]的x值。

首先，由于正弦函数无论在何处都有定义（其结果是一个实数），因此它的定义域是实数集R。

其次，由于y=sin x是一个周期函数，其值域始终为[-1,1]。

因此，要求解定义域，我们可以从一个周期内求解。

根据上述表格，我们可以发现sin x在[0, π/2]内单调递增，因此在这个区间内定义域为[0, π/2]。

由于周期性，其余区间的定义域可以表示为[2kπ+0,2kπ+π/2]（k∈Z）。

综上所述，y=sin x的定义域为：{x|x=2kπ+nπ/2, k∈Z且n=0,1}其中，n代表[0, π/2]区间内的n个角度（即0°，30°，45°和60°）。

【本讲教育信息】一. 教学内容：1.3.1 正弦函数的图象和性质二. 教学目的1、掌握用几何法绘制正弦函数y sin x,x R =∈的图象的方法；掌握用五点法画正弦函数的简图的方法及意义；2、掌握正弦函数y sin x,x R =∈的性质及应用；3、掌握正弦型函数y Asin(x ),x R =ω+ϕ∈的图象（特别是用五点法画函数y Asin(x ),x R =ω+ϕ∈的图象）、性质及应用。

三. 教学重点、难点重点：1、用五点法画函数y Asin(x ),x R =ω+ϕ∈的简图；2、函数y Asin(x ),x R =ω+ϕ∈的性质及应用；3、函数y sin x,x R =∈与y Asin(x ),x R =ω+ϕ∈的图象的关系。

难点：1、正弦函数y sin x,x R =∈的周期性和单调性的理解；2、函数y sin x,x R =∈与y Asin(x ),x R =ω+ϕ∈的图象的关系。

四. 知识分析1、正弦函数图象的几何作法采用弧度制， x 、y 均为实数，步骤如下：（1）在 x 轴上任取一点 O 1 ，以 O l 为圆心作单位圆； （2）从这个圆与 x 轴交点 A 起把圆分成 12 等份；（3）过圆上各点作x 轴的垂线，可得对应于0、6π、3π、、2π的正弦线； （4）相应的再把 x 轴上从原点 O 开始，把这0～2π这段分成 12 等份；（5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与 x 轴上对应的点重合； （6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。

2、五点法作图描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，y sin x,x [0,2]=∈π的图象上有五点起决定作用，它们是3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22πππ-π。

描出这五点后，其图象的形状基本上就确定了。

因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做五点法。