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2019年高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第35讲 基本不等式实战演练 理 1．(2015·福建卷)若直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以1＝1a ＋1b≥21a ·1b ＝2ab (当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，所以ab ≥2.又a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，所以a ＋b ≥4(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，故选C ．2．(2015·重庆卷)设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2. 解析：因为(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋2·a ＋12＋b ＋322＝9＋a ＋b ＋4＝18，所以a ＋1＋b ＋3≤32，当且仅当a ＋1＝b ＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立，所以a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2. 3．(2015·山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为 2.解析：因为x >0，y >0，所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋2y x ≥2，当且仅当x y ＝2y x，即x ＝2y 时取等号，故x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为 2. 4．(2017·江西模拟)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为15m ，宽为152m 时菜园面积最大． 解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30,0<x ≤18，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252， 当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号．。
[基 础 达 标]1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}， 由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}， 所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}． 答案：D2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－c a＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94.答案：B3．(2018届昆明模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2)∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.答案：A 4．不等式2x ＋1<1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,1)解析：∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1.答案：A5．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( ) A ．{a |0<a <4} B ．{a |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}解析：集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅， 等价于ax 2－ax ＋1<0无解．当a ＝0时，原不等式可化为1<0，满足条件； 当a ≠0时，由ax 2－ax ＋1<0无解，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4， 综上可知，0≤a ≤4. 答案：D6．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根大于－2且小于0，另一个根大于1且小于3，则( )A ．a <2B ．a >－12C ．－22<a <0D ．－12<a <0解析：设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则由题意有⎩⎪⎨⎪⎧f －2 >0，f 0 <0，f 1 <0，f 3 >0，即⎩⎪⎨⎪⎧22＋a >0，a <0，－2＋a <0，12＋a >0.解得－12<a <0.故选D. 答案：D7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3解析：解法一：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，所以a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x . 因为f (x )＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，所以⎝⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52.所以a ≥－52. 解法二：令f (x )＝x 2＋ax ＋1，对称轴为x ＝－a2.①⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤0，f 0 ≥0⇒a ≥0.(如图1)②⎩⎪⎨⎪⎧ 0<－a 2<12，f －a2 ≥0⇒－1<a <0.(如图2)③⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥12，f 12 ≥0⇒－52≤a ≤－1.(如图3)综上①②③，a ≥－52.故选C.答案：C8．已知对于任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1,1]，依题意，只需⎩⎪⎨⎪⎧g 1 >0，g －1 >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0⇒x <1或x >3，故选B.答案：B9．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16.∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)10．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________.解析：因为关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(－2a,4a )， 又x 2－2ax －8a 2<0(a >0)解集为(x 1，x 2)， 则x 1＝－2a ，x 2＝4a ， 由x 2－x 1＝6a ＝15，得a ＝52.答案：5211．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.12．(1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥2恒成立，求a 的取值范围；(2)对于满足|a |≤2的所有实数a ，求使不等式x 2＋ax ＋1>2x ＋a 成立的x 的取值范围． 解：(1)解法一：令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )． 当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥2，所以a ≤53，与a >4矛盾，所以a 不存在．当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24－a ＋3≥2， －22－2≤a ≤22－2， 所以－4≤a ≤22－2.当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥2，所以a ≥－5，所以－5≤a <－4. 综上所述－5≤a ≤22－2.解法二：在x ∈[－2,2]时，f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥2恒成立⇔a (x －1)≥－x 2－1恒成立，当x ＝1时，a ∈R ；当1<x ≤2时，a ≥－x 2－1x －1；当－2≤x <1时，a ≤－x 2－1x －1.接下来通过恒成立问题的等价转化，变成最值问题即可求解．(2)原不等式转化为(x －1)a ＋x 2－2x ＋1>0，设g (a )＝(x －1)a ＋x 2－2x ＋1，则g (a )在[－2,2]上恒大于0，故有⎩⎪⎨⎪⎧g －2 >0，g 2 >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >3或x <1，x >1或x <－1.所以x <－1或x >3.[能 力 提 升]1．已知a ＝(1，x )，b ＝(x 2＋x ，－x )，m 为实数，求使m (a·b )2－(m ＋1)a·b ＋1<0成立的x 的范围．解：因为a·b ＝x 2＋x －x 2＝x ，所以m (a·b )2－(m ＋1)a·b ＋1<0⇔mx 2－(m ＋1)x ＋1<0. ①当m ＝0时，不等式等价于x >1；②当m ≠0时，不等式等价于m ⎝⎛⎭⎪⎫x －1m (x －1)<0.a ．m <0时，不等式等价于x >1或x <1m； b ．0<m <1时，不等式等价于1<x <1m；c ．m ＝1时，不等式等价于x ∈∅；d ．m >1时，不等式等价于1m<x <1.综上所述，原不等式成立的x 的范围为2．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立． 当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝ 2a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a x ＋1 2＋1－a ， 由题意及(1)可知0<a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意得，1－a ＝22， ∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.。
2019年高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 课时达标32不等关系与不等式 理[解密考纲]主要考查不等式及其性质，以选择题或填空题的形式出现，位于选择题或填空题的中间位置，难度较易或中等．一、选择题1．设a ，b 为实数，则“a <1b 或b <1a”是“0<ab <1”的( D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：可通过举反例说明，当a ＝b ＝－10时，a ＜1b ，b ＜1a，但ab ＝100＞1，所以不是充分条件；反之，当a ＝－1，b ＝－12时，0＜ab ＜1，但a ＞1b ，b ＞1a ，所以不是必要条件．综上可知“a ＜1b 或b ＜1a”是“0＜ab ＜1”的既不充分也不必要条件．2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( D )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：令a ＝－1，b ＝－2，代入选项验证可知选项D 错误，故选D ．3．(2017·浙江富阳模拟)如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( C )A ．ab >acB ．bc >acC ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0解析：因为c ＜b ＜a ，且ac ＜0，所以a ＞0，c ＜0，所以ab －ac ＝a (b －c )＞0，bc －ac ＝(b －a )c ＞0，ac (a －c )＜0，所以A ，B ，D 均正确．因为b 可能等于0，也可能不等于0，所以cb 2＜ab 2不一定成立．4．(2017·广东实验中学模拟)已知0<a <b <1，则( D ) A ．1b >1a B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12 b C ．(lg a )2<(lg b )2D ．1lg a >1lg b解析：因为0＜a ＜b ＜1，所以1b －1a ＝a －b ab ＜0，可得1b ＜1a ；⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12b；(lg a )2＞(lg b )2；lg a ＜lg b ＜0，可得1lg a ＞1lg b.综上可知，只有D 正确．5．(2017·四川成都模拟)已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列不等式一定成立的是( C )A ．a 2<b 2B ．ab 2>a 2bC ．1ab 2<1a 2bD ．b a <a b解析：若a ＜b ＜0，则a 2＞b 2，故A 错；若0＜a ＜b ，则b a ＞a b，故D 错；若ab ＜0，即a ＜0，b ＞0，则a 2b ＞ab 2，故B 错．6．(2017·陕西西安检测)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( D )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π6B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6C ．(0，π)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π解析：由题设得0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6＜2α－β3＜π.二、填空题7．(2017·山西四校联考)已知a ＋b >0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是a b2＋b a2≥1a ＋1b.解析：a b2＋b a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋b a －b 2a 2b 2.因为a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， 所以a ＋ba －b2a 2b2≥0，所以a b2＋b a2≥1a ＋1b.8．(2017·江苏模拟)若－1<a ＋b <3,2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为⎝ ⎛⎪⎫－92，132. 解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.又因为－52＜52(a ＋b )＜152，－2＜－12(a －b )＜－1，所以－92＜52(a ＋b )－12(a －b )＜132，即－92＜2a ＋3b ＜132.9．(2017·贵州遵义模拟)已知下列结论： ①若a >|b |，则a 2>b 2；②若a >b ，则1a <1b；③若 a >b ，则a 3>b 3；④若a <0，－1<b <0，则ab 2>a . 其中正确的是①③④(只填序号即可)．解析：对于①，因为a ＞|b |≥0，所以a 2＞b 2，即①正确； 对于②，当a ＝2，b ＝－1时，显然不正确；对于③，显然正确；对于④，因为a ＜0，－1＜b ＜0，ab 2－a ＝a (b 2－1)＞0，所以ab 2＞a ，即④正确．三、解答题10．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小．解析：∵a ＋2－31－a ＝－a 2－a －11－a ＝a 2＋a ＋1a －1，∴当a ＞1时，a ＋2＞31－a ；当a ＜1时，a ＋2＜31－a.11．已知x ，y 为正实数，满足1≤lg xy ≤2,3≤lg xy≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围． 解析：设a ＝lg x ，b ＝lg y ，则lg xy ＝a ＋b ，lg x y＝a －b ，lg x 4y 2＝4a ＋2b ，设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴lg x 4y 2＝3lg xy ＋lg xy.∵3≤3lg xy ≤6,3≤lg xy≤4，∴6≤lg(x 4y 2)≤10，即lg(x 4y 2)的取值范围是[6,10]．12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，求c a的取值范围． 解析：∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )． 又a ＞b ＞c ，∴a ＞－(a ＋c )＞c ，且a ＞0，c ＜0， ∴1＞－a ＋c a ＞c a ，即1＞－1－c a ＞ca ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2c a ＜－1，ca ＞－2，解得－2＜c a ＜－12，即c a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12.。
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————第六章 不 等 式第1课时 一元二次不等式及其解法1. (必修5P 77练习2(2)改编)不等式3x 2－x －4≤0的解集是__________.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－1≤x≤43 解析：由3x 2－x －4≤0，得(3x －4)(x ＋1)≤0，解得－1≤x ≤43.2. (必修5P 75例1(1)改编)不等式2x 2－x －1>0的解集是________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<－12或x>1解析：∵ 2x 2－x －1>0，∴ (2x ＋1)(x －1)>0，∴ x>1或x<－12.3. (必修5P 77练习3(1)改编)不等式－x 2－2x ＋3>0的解集为__________． 答案：{x|－3<x<1}解析：原不等式可化为x 2＋2x －3<0，得－3<x<1.4. (必修5P 80习题8(2)改编)已知不等式x 2－2x ＋k 2－3>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________．答案：k>2或k<－2解析：由Δ＝4－4(k 2－3)<0，解得k>2或k<－2.5. 已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________．答案：{x|2<x<3}解析：由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解得2<x<3.1. 一元二次不等式的解法在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，令y＝0，得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．若将等号“＝”改为不等号“＞”或“＜”，便得到一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或＜0)．因此，可以通过y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与x轴的交点求得一元二次不等式的解，具体如表所示：2. 用一个流程图来描述求解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的算法过程1 一元二次不等式的解法1 解关于x 的不等式：ax 2＋(a －2)x －2≥0. 解：① 当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x≤－1.② 当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x≥2a 或x≤－1. ③ 当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1； 当2a ＜－1，即a ＞－2时，解得2a≤x ≤－1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≥2a 或x≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2a ≤x≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{x|x ＝－1}；当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－1≤x≤2a . 变式训练解关于x 的不等式：ax 2－ax ＋1＜0.解：当0≤a≤4时，解集为；当a ＞4时，a －a 2－4a 2a ＜x ＜a ＋a 2－4a2a ；当a ＜0时，x ＜a －a 2－4a 2a 或x>a ＋a 2－4a2a., 2 一元二次不等式的恒成立问题), 2) 设函数f(x)＝mx 2－mx －1.(1) 若对于一切实数x ，f(x)<0恒成立，求m 的取值范围； (2) 若对于x∈[1，3]，f(x)<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：(1) 要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0；若m≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m<0，Δ＝m 2＋4m<0，解得－4<m<0， 综上，－4<m≤0.(2) 要使f(x)<－m ＋5在x∈[1，3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x∈[1，3]上恒成立． (解法1)令g(x)＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]． 当m>0时，g(x)在[1，3]上是增函数， 所以g(x)max ＝g(3)⇒7m －6<0，所以m<67，所以0<m<67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1，3]上是减函数， 所以g(x)max ＝g(1)⇒m －6<0， 所以m<6，所以m<0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. (解法2)因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，m(x 2－x ＋1)－6<0，所以m<6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m<67即可，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. 变式训练已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋3.(1) 当x∈R 时，f (x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(2) 当x∈[－2，2]时，f (x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1) 当x∈R 时，f (x)≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a≥0对任意实数x 恒成立，则Δ＝a 2－4(3－a)≤0，解得－6≤a ≤2，∴ 实数a 的取值范围是[－6，2]．(2) 当x∈[－2，2]时，f (x)≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0对任意x∈[－2，2]恒成立，令g(x)＝x 2＋ax ＋3－a ，∴ Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a 2＜－2，g （－2）≥0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，－a2＞2，g （2）≥0，解得－7≤a≤2.∴ 实数a 的取值范围是[－7，2]．, 3 三个二次之间的关系), 3) (1) 已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为{x|m<x<m ＋6}，则实数c 的值为__________；(2) 已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax.若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a 的取值范围是_________．答案：(1) 9 (2) {a|a>－3}解析：(1) 由题意知f(x)＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵ f(x)的值域为[0，＋∞)，∴ b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴ f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22. ∵ f(x)<c ，∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ， 即－a 2－c<x<－a2＋ c.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－a2－c ＝m ①，－a2＋c ＝m ＋6 ②.②－①，得2c ＝6，∴ c ＝9.(2) ∵ x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立，即x 2＋2x ＋a>0恒成立，即当x≥1时，a>－(x 2＋2x)＝g(x)恒成立．而g(x)＝－(x 2＋2x)＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， ∴ g(x)max ＝g(1)＝－3，故a>－3. ∴ 实数a 的取值范围是(－3，＋∞)． 备选变式（教师专享）已知x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12<x<13，则不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为________．答案： {x|－2＜x ＜3}解析：∵ x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12<x<13，∴ －12，13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16.∴ 不等式qx 2＋px ＋1＞0可化为－16x 2＋16x ＋1>0，即x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3，∴ 不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x|－2＜x ＜3}．, 4 一元二次不等式的应用), 4) 一个服装厂生产风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x(元)．(1) 该厂月产量多大时，月利润不少于1 300元？(2) 当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？解：(1) 由题意知，月利润y ＝px －R ，即y ＝(160－2x)x －(500＋30x)＝－2x 2＋130x －500.由月利润不少于 1 300元，得－2x 2＋130x －500≥1 300，即x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x≤45，故该厂月产量在20～45件时，月利润不少于1 300元．(2) 由(1)得，y ＝－2x 2＋130x －500＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －6522＋3 2252，由题意知，x 为正整数，故当x ＝32或33时，y 最大为1 612，所以当月产量为32或33件时，可获得最大利润，最大利润为1 612元． 备选变式（教师专享）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R(x)(万元)满足：R(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8，0≤x ≤5，10.2，x>5，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律求下列问题． (1) 要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围内？ (2) 工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？解：依题意，G(x)＝x ＋2，设利润函数为f(x)，则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ，x>5.(1) 要使工厂有赢利，即解不等式f(x)>0，当0≤x≤5时，解不等式－0.4x 2＋3.2x －2.8>0，即x 2－8x ＋7<0，得1<x<7，∴ 1<x ≤5.当x>5时，解不等式8.2－x>0，得 x<8.2，∴ 5<x<8.2.综上所述，要使工厂赢利，x 应满足1<x<8.2，即产品产量应控制在大于100台，小于820台的范围内．(2) 当0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x －4)2＋3.6， 故当x ＝4时，f(x)有最大值3.6； 而当x>5时，f(x)<8.2－5＝3.2，所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．1. (2017·苏州期中)函数y ＝1－xx ＋2的定义域为________． 答案：(－2，1]解析：由1－xx ＋2≥0⇒－2<x≤1，得函数的定义域为(－2，1]．2. (2017·苏锡常镇一模)已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，M ＝{x|x 2－6x ＋5≤0，x ∈Z }，则∁U M ＝________．答案：{6，7}解析：M ＝{x|1≤x≤5，x ∈Z }＝{1，2，3，4，5}，而U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，则∁U M ＝{6，7}．3. 函数f(x)＝lg （5－x 2）的定义域是________． 答案：[－2，2]解析：因为lg(5－x 2)≥0，所以5－x 2≥1，x 2≤4，则－2≤x ≤2.4. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2＋2x ，x<0，则不等式f(f(x))≤3的解集为________．答案：{x|x≤3}解析：当x≥0时，f(f(x))＝f(－x 2)＝(－x 2)2－2x 2≤3，即(x 2－3)(x 2＋1)≤0，解得0≤x≤3；当－2＜x ＜0时，f(f(x))＝f(x 2＋2x)＝(x 2＋2x)2＋2(x 2＋2x)≤3，即(x 2＋2x －1)(x 2＋2x ＋3)≤0，即－2＜x ＜0；当x≤－2时，f(f(x))＝f(x 2＋2x)＝－(x 2＋2x)2≤3，解得x≤－2.综上，不等式的解集为{x|x≤3}．1. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若f(3－a 2)＜f(2a)，则实数a 的取值范围是________．答案：(－3，1)解析：如图，画出f(x)的图象，由图象易得f(x)在R 上单调递减．∵ f(3－a 2)＜f(2a)，∴ 3－a 2＞2a ，解得－3＜a ＜1.2. 定义在R 上的运算：x*y ＝x(1－y)，若不等式(x －y)*(x ＋y)＜1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析：∵ (x－y)*(x ＋y)＝(x －y)(1－x －y)＝x －x 2－y ＋y 2＜1，∴ －y ＋y 2＜x 2－x ＋1，要使该不等式对一切实数x 恒成立，则需有－y ＋y 2＜(x 2－x ＋1)min ＝34，解得－12＜y ＜32.3. 已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x 2－4x ，那么不等式f(x ＋2)<5的解集是________．答案：{x|－7<x<3}解析：令x<0，则－x>0，∵ x≥0时，f(x)＝x 2－4x ，∴ f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x 2＋4x.又f(x)为偶函数，∴ f(－x)＝f(x)，∴ x<0时，f(x)＝x 2＋4x ，故有f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.再求f(x)<5的解，由⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x 2－4x<5，得0≤x＜5；由⎩⎪⎨⎪⎧x<0，x 2＋4x<5，得－5<x<0，即f(x)<5的解集为(－5，5)．由于f(x)向左平移两个单位即得f(x ＋2)，故f(x ＋2)<5的解集为{x|－7<x<3}．4. 已知函数f(x)＝x 3＋3ax －1，g(x)＝f′(x)－ax －5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a 的值，都有g(x)<0，则实数x 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 解析：由题意，知g(x)＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a)＝(3－x)a ＋3x 2－5，－1≤a≤1.对－1≤a≤1，恒有g(x)<0，即φ(a)<0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）<0，φ（－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x<1.1. 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c>0，ax 2＋bx ＋c<0的解就是使二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值大于0或小于0时x 的范围，应充分和二次函数图象结合去理解一元二次不等式的解集．2. 解含参数的不等式(x －a)(x －b)>0，应先讨论a 与b 的大小再确定不等式的解，解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程的根的情况)，三写(写出不等式的解集)．3. 应注意讨论ax 2＋bx ＋c>0的二次项系数a 是否为0. 4. 要注意体会数形结合与分类讨论的数学思想．分类讨论要做到“不重”“不漏”“最简”的三原则．[备课札记]第2课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划(对应学生用书(文)、(理)95～96页)1. (必修5P 84练习3改编)点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是________．答案：－7＜a ＜24解析：点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，说明将这两点坐标代入3x －2y ＋a 后，符号相反，所以(9－2＋a)(－12－12＋a)＜0，解得－7＜a ＜24.2. (必修5P 86练习2(1)改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0，x ＋y≥0，x ≤3所表示的平面区域的面积是________．答案：25解析：直线x －y ＋4＝0与直线x ＋y ＝0的交点为A(－2，2)，直线x －y ＋4＝0与直线x ＝3的交点为B(3，7)，直线x ＋y ＝0与直线x ＝3的交点为C(3，－3)，则不等式组表示的平面区域是一个以点A(－2，2)，B(3，7)，C(3，－3)为顶点的三角形，所以其面积为S △ABC＝12×5×10＝25. 3. 设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y ≥0，x ＋y≤3，2x ＋y≤4，则z ＝3x ＋2y 的最大值是________．答案：7解析：由题设可知可行域的四个顶点坐标分别为(0，0)，(2，0)，(0，3)，(1，2)．因此(3x ＋2y)max ＝3×1＋2×2＝7.4. (必修5P 89练习2改编)设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧y≥x，x ＋2y≤2，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最小值为________．答案：－8解析：画出可行域与目标函数线，如图可知，目标函数在点(－2，2)处取最小值－8.5. 已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≥0，y ≤x ，x ＋y －4≤0，则z ＝2x －y 的最大值为________．答案：8解析：画出可行域，如图中阴影部分所示．由图可知z ＝2x －y 在点A(4，0)处取最大值，即z max ＝8.1. 二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1) 二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线y ＝kx ＋b 把平面分成两个区域， y>kx ＋b 表示直线y ＝kx ＋b 上方的平面区域， y<kx ＋b 表示直线y ＝kx ＋b 下方的平面区域． (2) 选点法确定二元一次不等式表示的平面区域 ① 任选一个不在直线上的点；② 检验它的坐标是否满足所给的不等式；③ 若满足，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的平面区域，否则，直线的另一侧区域为不等式所表示的平面区域．(3) 二元一次不等式组表示的平面区域不等式组中各个不等式表示平面区域的公共区域． 2. 线性规划中的基本概念 名称 定义 约束条件 变量x ，y 满足的一次不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的线性函数 可行域 约束条件所表示的平面区域称为可行域 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题, 1 二元一次不等式表示的平面区域), 1) 在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≤x＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为________．答案：1解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≤x＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B(t ，t ＋1)．在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C(0，1)．由平面区域的面积S ＝（1＋t ＋1）×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)．变式训练若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m ＝________．答案：1解析：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m ＜2，m ＞－1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ， 即A(1－m ，1＋m)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－43m ，23＋23m .所围成的区域为△ABC，则S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m)(1＋m)－12(2＋2m)·23(1＋m)＝13(1＋m)2＝43，解得m ＝－3(舍去)或m ＝1., 2 线性规划问题), 2) (1) 设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________；(2) 变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m ＝________．答案：(1) 7 (2) 1解析：(1) 作出可行域如图所示，目标函数z ＝2x ＋3y 的几何意义是直线y ＝－23x ＋z3在y 轴上的截距为z 3，因此z 的最小值也就是直线截距的最小值，平移直线y ＝－23x ，经过点B(2，1)时，z min ＝2×2＋3×1＝7.(2) 如图所示，目标函数z ＝2x －y 取最大值2，即y ＝2x －2时，画出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥0，x －2y ＋2≥0表示的区域，由于mx －y ≤0过定点(0，0)，要使z ＝2x －y 取最大值2，则目标函数必过两直线x －2y ＋2＝0与y ＝2x －2的交点A(2，2)，因此直线mx －y ＝0过点A(2，2)，故有2m －2＝0，解得m ＝1.变式训练已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＞0，y ≤2.(1) 若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2) 若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x>0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1) z＝yx 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B(1，2)，∴ k OB＝21＝2，即z min ＝2，∴ z 的取值范围是[2，＋∞)． (2) z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x 2＋y 2的值最小为OA 2(取不到)，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A(0，1)，∴ OA 2＝02＋12＝1，OB 2＝12＋22＝5. ∴ z max ＝5，z 无最小值． ∴ z 的取值范围是(1，5]．, 3 线性规划的实际应用), 3) 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨，生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，求该企业可获得的最大利润．解：设甲、乙两种产品分别需生产x ，y 吨，利润为z 万元，则z ＝5x ＋3y.由题意可得，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y≤13，2x ＋3y≤18，x ≥0，y ≥0.作出可行域如图所示．由图可知当z ＝5x ＋3y 经过可行域中的点(3，4)时，直线z ＝5x ＋3y 在y 轴上的截距最大，故该企业可获得的最大利润z max ＝5×3＋3×4＝27(万元)．1. (2017·课标Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．答案：－15解析：目标函数即y ＝－2x ＋z ，其中z 表示斜率为k ＝－2的直线系与可行域有交点时直线的截距值，数形结合可得目标函数在点B(－6，－3)处取得最小值z ＝－12－3＝－15.2. (2017·南京、盐城)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＋y≤7，x ＋2≤2y，则yx的最小值是________．答案：34解析：yx表示可行域内的点与原点连线的斜率，作出可行域，发现可行域内的点(4，3)为最优解，代入可得y x 的最小值是34.3. (2017·课标Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≤1，2x ＋y≥－1，x －y≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．答案：－5解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，易求得A(－1，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－13，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，由z ＝3x －2y 得y ＝32x －z 2在y 轴上的截距越大，z 就越小，所以当直线z ＝3x －2y 过点A 时，z 取得最小值，所以z 的最小值为3×(－1)－2×1＝－5.4. (2017·无锡期末)设不等式⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x －y≤0，x ＋y≤4表示的平面区域为M.若直线y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是________．答案：[2，5]解析：由约束条件作出可行域，如图阴影部分所示．因为函数y ＝kx －2的图象是过点A(0，－2)，且斜率为k 的直线l ，由图知，当直线l 过点B(1，3)时，k 取最大值5，当直线l 过点C(2，2)时，k 取最小值2，故实数k 的取值范围是[2，5]．1. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y≤x－1，x ≤3，x ＋y≥4，则z ＝2x －y 的最大值是________．答案：5解析：作出可行域如图阴影部分所示，发现当直线z ＝2x －y 过点C(3，1)时，目标函数z 取最大值，且最大值为5.2. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，y －x －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________．答案：8解析：由约束条件作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点分别为(0，1)，(1，0)，(1，2)，由图可得，目标函数过点(1，2)时，z 取最大值，故z ＝2x ＋3y 的最大值为8.3. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≤0，x ＋y －5≥0，y －4≤0.若不等式4x 2＋y 2－axy≤0恒成立，则实数a 的最小值为________．答案：5解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≤0，x ＋y －5≥0，y －4≤0，得2≤y x ≤4.由已知得a≥y x ＋4xy，则实数a 的最小值为5.4. 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤0，2y －x ＋1≥0，x ＋y －4≥0，且有无穷多个点(x ，y)使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________.答案：1解析：作出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示．若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意；若m≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－1m 的动直线y ＝－1m x ＋zm.若m<0，则－1m>0，数形结合知使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m>0，则－1m<0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y)在线段AB 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1m＝－1，则m ＝1.综上可知，m ＝1.1. 确定不等式Ax ＋By ＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直线Ax ＋By ＋C ＝0的哪一侧区域，常用两种方法：一是在直线的某一侧取一特殊点；二是将不等式化为y>kx ＋b(<，≥，≤)．2. 在线性约束条件下，当b>0时，求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最值的步骤： (1) 作出可行域；(2) 作出直线l 0：ax ＋by ＝0；(3) 平移直线l 0：ax ＋by ＝0，依可行域判断取得最值的最优解的点； (4) 解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最值． 3. 常见的非线性目标函数的几何意义：(1) x 2＋y 2表示点(x ，y)与原点(0，0)的距离；(2) （x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y)与点(a ，b)的距离；(3) yx 表示点(x ，y)与原点(0，0)连线的斜率值；(4) y －b x －a 表示点(x ，y)与点(a ，b)连线的斜率值．[备课札记]第3课时 基本不等式(对应学生用书(文)、(理)97～98页)1. (必修5P 99练习4改编)若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b的最小值是________． 答案：6解析：由基本不等式，得3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b＝6，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，所以3a ＋3b的最小值是6.2. (必修5P 105复习题9改编)若f(x)＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f(x)的最大值为________．答案：－4解析：∵ x＜0，∴ f(x)＝－[(－x)＋1（－x ）]－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号．3. (必修5P 105复习题10改编)若x>－3，则x ＋2x ＋3的最小值为________．答案：22－3解析：∵ x＋3>0，∴ x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3≥2（x ＋3）×2x ＋3－3＝22－3，当且仅当x ＋3＝2x ＋3，即x ＝－3＋2时取等号．4. (原创)若对任意x>0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 解析：因为x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以a≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1max .又x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x·1x＋3＝15，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，所以a≥15. 5. (原创)已知a>0，b>0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b恒成立，则m 的最大值为________．答案：9解析：原不等式恒成立等价于m≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b （2a ＋b ）min ，而⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (2a ＋b)＝5＋2b a ＋2a b ≥5＋22b a ·2ab＝9，当且仅当a ＝b 时等号成立．所以m ≤9，即m 的最大值为9.1. 算术平均数与几何平均数对于正数a ，b ，我们把a ＋b2称为a ，b a ，b 的几何平均数．2. 基本不等式ab ≤a ＋b2(1) 基本不等式成立的条件：a≥0，b ≥0；(2) 等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号；(3) 结论：两个非负数a ，b 的算术平均数不小于其几何平均数． 3. 几个重要的不等式(1) 重要不等式：a 2＋b 2≥2ab(a ，b ∈R )．当且仅当a ＝b 时取等号．(2) ab≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3) a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．[备课札记], 1 通过配凑法利用基本不等式求最值), 1) (1) 已知x<54，则f(x)＝4x －2＋14x －5的最大值为________；(2) 若函数f(x)＝x ＋1x －2(x>2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________．答案：(1) 1 (2) 3解析：(1) 因为x<54，所以5－4x>0，则f(x)＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时等号成立．故f(x)＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(2) 因为x>2，所以x －2>0，则f(x)＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号．所以当f(x)取最小值时，x ＝3，即a ＝3. 变式训练若－4＜x ＜1，求x 2－2x ＋22x －2的最大值．解：x 2－2x ＋22x －2＝12·（x －1）2＋1x －1＝12[(x －1)＋1x －1]＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－（x －1）＋1－（x －1）.∵ －4＜x ＜1，∴ －(x －1)＞0，1－（x －1）＞0.从而⎣⎢⎡⎦⎥⎤－（x －1）＋1－（x －1）≥2，－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－（x －1）＋1－（x －1）≤－1，当且仅当－(x －1)＝1－（x －1），即x ＝0时取等号．即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋22x －2max＝－1.备选变式（教师专享）正数x ，y 满足1x ＋9y＝1.(1) 求xy 的最小值； (2) 求x ＋2y 的最小值．解：(1) 由1＝1x ＋9y ≥21x ·9y 得xy≥36，当且仅当1x ＝9y，即x ＝2，y ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2) 由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋22y x ·9x y ＝19＋62，当且仅当2y x ＝9x y，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2., 2 通过常数代换法或消元法利用基本不等式求最值), 2) (1) 已知x>0，y>0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y的最小值为________；(2) 已知x>0，y>0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 答案：(1) 18 (2) 6 解析：(1) (常数代换法)∵ x>0，y>0且x ＋y ＝1，∴ 8x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y (x ＋y)＝10＋8y x ＋2x y ≥10＋28y x ·2xy＝18.当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y 时等号成立，∴ 当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y有最小值18.(2) 由已知得x ＝9－3y1＋y.(解法1：消元法)∵ x>0，y>0，∴ y<3，∴ x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝121＋y ＋(3y ＋3)－6≥2121＋y·（3y ＋3）－6＝6， 当且仅当121＋y＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y)min ＝6.(解法2)∵ x>0，y>0，∴ 9－(x ＋3y)＝xy ＝13x ·(3y)≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立．设x ＋3y ＝t>0，则t 2＋12t －108≥0， ∴ (t －6)(t ＋18)≥0. 又t>0，∴ t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y)min ＝6.变式训练(1) 已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________； (2) 若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 答案：(1) 26－3 (2) 18解析：(1) 由xy ＋2x ＋y ＝4，解得y ＝4－2x x ＋1，则x ＋y ＝x －2＋6x ＋1＝(x ＋1)＋6x ＋1－3≥26－3，当且仅当x ＝6－1时等号成立．(2) 由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴ 2y ＋8x＝1，∴ x ＋y ＝(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥10＋2×24y x ·x y ＝18，当且仅当4y x ＝xy，即x ＝2y 时取等号．又2x ＋8y －xy ＝0，∴ x ＝12，y ＝6， 即当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18., 3 基本不等式与函数的综合应用), 3) 已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a∈R )，若对于任意x∈N *，f (x)≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞ 解析：对任意x∈N *，f (x)≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，可得a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3. 设g(x)＝x ＋8x，x ∈N *.∵ g(x)在(0，22]上单调递减，在[22，＋∞)上单调递增，而x∈N *，∴ g(x)在x 取距离22较近的整数值时达到最小，而距离22较近的整数为2和3，且g(2)＝6，g(3)＝173. ∵ g(2)>g(3)，∴ g(x)min ＝173.∴ －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴ a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞. 变式训练要制作一个如图的框架(单位：m)，要求所围成的总面积为19.5 m 2，其中四边形ABCD是一个矩形，四边形EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h ＝12AB ，tan ∠FED ＝34，设AB ＝x m ，BC＝y m.(1) 求y 关于x 的函数解析式；(2) 怎样设计x ，y 的长度，才能使所用材料最少？解：(1) 如图，作DH⊥EF 于点H.依题意，DH ＝12AB ＝12x ，EH ＝DH tan ∠FED ＝43×12x ＝23x ，∴ 392＝xy ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋43x 12x ＝xy ＋56x 2，∴ y ＝392x －56x.∵ x ＞0，y ＞0， ∴ 392x －56x ＞0，解得0＜x ＜3655， ∴ 所求解析式为y ＝392x －56x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜3655.(2) 在Rt △DEH 中，∵ tan ∠FED ＝34，∴ sin ∠FED ＝35，∴ DE ＝DH sin ∠FED ＝12x ×53＝56x ，设框架的周长为l m.则l ＝(2x ＋2y)＋2×56x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×23x ＋x ＝2y ＋6x ＝39x －53x ＋6x＝39x ＋133x ≥2 39x ×13x 3＝26. 当且仅当39x ＝133x ，即x ＝3时取等号，此时y ＝392x －56x ＝4，∴ AB ＝3 m ，BC ＝4 m 时，能使整个框架所用材料最少．, 4 基本不等式的实际应用), 4) 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成的．按设计要求扇环面的周长为30 m ，其中大圆弧所在圆的半径为10 m ．设小圆弧所在圆的半径为x m ，圆心角为θ(弧度)．(1) 求θ关于x 的函数解析式；(2) 已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数解析式，并求出x 为何值时，y 取得最大值．解：(1) 由题意可得，30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，所以θ＝10＋2x10＋x(0＜x ＜10)．(2) 花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x)(10－x)＝－x 2＋5x ＋50(0＜x ＜10)．装饰总费用为9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x ，所以花坛的面积与装饰总费用的比y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x ＝－x 2－5x －5010（17＋x ）.令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110⎝⎛⎭⎪⎫t ＋324t ≤310，当且仅当t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211.所以当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． 备选变式（教师专享）去年冬季，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只．(1) 据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润＝月销售总收入－月总成本)，该口罩每只售价最多为多少元？(2) 为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x(x≥9)元，并投入265(x －9)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2（x －8）2万只．则当每只售价x 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．解：(1) 设每只售价为x 元(x>8)，则月销售量为⎝ ⎛⎭⎪⎫5－x －80.5×0.2万只，由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫5－x －80.5×0.2(x －6)≥(8－6)×5，∴ 25x 2－535x ＋2965≤0，即2x 2－53x ＋296≤0，解得8≤x≤372，即每只售价最多为18.5元．(2) 下月的月总利润y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－x －80.5×0.2（x －8）2(x －6)－265(x －9)＝2.4－0.4x x －8－15x ＋234－1505＝－0.4（x －8）－0.8x －8－15x ＋845＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤45（x －8）＋x －85＋745.∵ x ≥9，∴45（x －8）＋x －85≥2425＝45，当且仅当45（x －8）＝x －85，即x ＝10时取等号，y max ＝14.答：当x ＝10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元．1. (2017·苏北四市模拟)若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值是________．答案：8解析：由已知得x ＝3y ＋3，而0＜x ＜12，所以y ＞3.则3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥8，当且仅当y ＝4，x ＝37时等号成立．即⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1y －3min＝8.2. (2017·苏州期末)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________．答案：94解析：由x ＋y ＝1，得x ＋2＋y ＋1＝4，4x ＋2＋1y ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1(x ＋2＋y ＋1)＝14[4＋1＋4（y ＋1）x ＋2＋x ＋2y ＋1]≥14(5＋4)＝94，当且仅当4（y ＋1）x ＋2＝x ＋2y ＋1，即x ＝23，y ＝13时取等号．即⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1min ＝94. 3. (2017·泰州、南通模拟)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则y x ＋4y的最小值是________．答案：8解析：y x ＋4y ＝1－x x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y)－1＝y x ＋4x y ＋4≥8.当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝13，y ＝23时取等号． 4. (2017·苏锡常镇二模)已知a ，b 均为正数，且ab －a －2b ＝0，则a 24－2a ＋b 2－1b的最小值为________．答案：7解析：∵ a，b 均为正数，且ab －a －2b ＝0，即a ＋2b ＝ab ，∴ 2a ＋1b＝1.则a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 24＋b 2－1. a 2＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ＝2b a ＋a2b＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号． ∴ a 24＋b 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22≥8，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴ a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 24＋b 2－1≥7.5. (2016·江苏卷)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin Bsin C ，则tan Atan Btan C 的最小值是__________．答案：8解析：(解法1)∵ sin A ＝2sin Bsin C ，sin A ＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ， ∴ sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bsin C ，两边同除以cos Bcos C ，可得tan B ＋tan C ＝2tan Btan C ，tan Atan Btan C ＝－tan(B ＋C)tan Btan C ＝－tan B ＋tan C1－tan Btan C·tan Btan C ＝2（tan Btan C ）2tan Btan C －1，由三角形为锐角三角形得tan B>0，tan C>0，tan A ＝tan B ＋tan Ctan Btan C －1>0，即tan Btan C－1>0.令tan Btan C －1＝t(t>0)，则tan Atan Btan C ＝2（t ＋1）2t ＝2t ＋2t＋4≥8，当且仅当t ＝1，即tan Btan C ＝2时取等号．(解法2)同解法1可得tan B ＋tan C ＝2tan Btan C ， 又tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋(1－tan Btan C )·tan(B ＋C)＝tan A －tan A ＋tan Atan Btan C ＝tan A ·tan Btan C ，∴ tan Atan Btan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan Btan C ≥22tan Atan Btan C ⇒tan Atan Btan C ≥8，当且仅当tan A ＝2tan Btan C ＝4时取等号．, 7. 忽视最值取得的条件致误)典例 (1) 已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________；(2) 函数y ＝1－2x －3x (x ＜0)的最小值为________．易错分析：(1) 多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：∵ 1＝1x ＋2y ≥22xy，∴ xy ≥22，∴ x ＋y≥2xy ≥42，∴ (x ＋y)min ＝4 2.(2) 没有注意到x ＜0这个条件，误用基本不等式得2x ＋3x≥2 6.解析：(1) ∵ x＞0，y ＞0，∴ x ＋y ＝(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，∴ 当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y)min ＝3＋2 2.(2) ∵ x＜0，∴ y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ≥1＋2（－2x ）·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6. 答案：(1) 3＋2 2 (2) 1＋2 6特别提醒：(1) 利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2) 尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．1. 已知正数a ，b 满足1a ＋9b＝ab －5，则ab 的最小值为________．答案：36解析：由1a ＋9b ＝ab －5≥29ab，得ab －5ab －6≥0，解得ab ≥6，ab ≥36.2. 已知a ＋b ＝2，b ＞0，当12|a|＋|a|b取最小值时，实数a 的值是________．答案：－2解析：12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥－14＋214＝34，当且仅当a ＝－2，b ＝4时等号成立．3. (2017·南京三模)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b≤8c，2a ＋3b ≤2c ，则3a ＋8bc的取值范围是________．答案：[27，30]解析：因为a ，b ，c 为正实数，对a ＋2b≤8c 的左右两边同除以c ，得a c ＋2b c ≤8；对2a＋3b ≤2c 的左右两边同乘c ，得2c a ＋3c b ≤2；令x ＝a c ，y ＝bc，则条件可转化为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，x ＋2y≤8，2x ＋3y ≤2，再进行化简，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，x ＋2y≤8，y ≥32＋32x －2，即求z ＝3a ＋8bc＝3x ＋8y 的取值范围，转化为线性规划的问题，画出可行域，对y ＝32＋32x －2求导，并令导函数值为－38，可得切点横坐标为3，代入曲线，计算出切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94，利用线性规划，可知z ＝3x ＋8y 分别在(2，3)和⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94处取最值，可得3a ＋8b c 的取值范围是[27，30]． 4. (2017·无锡期末)已知a>0，b>0，c>2，且a ＋b ＝2，则ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________．答案：10＋ 5解析：由a ＞0，b ＞0，c ＞2，且a ＋b ＝2，得ac b ＋c ab －c 2＋5c －2＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋1ab －12＋5c －2＝c （2a 2＋2－ab ）2ab ＋5c －2.由2＝（a ＋b ）22，可得2a 2＋2－ab 2ab ＝2a 2＋（a ＋b ）22－ab 2ab ＝5a 2＋b24ab≥25ab 4ab ＝52，当且仅当b ＝5a 时等号成立，则原式≥52c ＋5c －2＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（c －2）＋1c －2＋1≥5·⎣⎢⎡⎦⎥⎤212（c －2）·1c －2＋1＝10＋ 5.当且仅当c ＝2＋2时等号成立．1. a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，而a ＋b 2≥ab 成立的条件是a≥0，b ≥0，使用时要注意公式成立的前提条件．2. 在运用基本不等式时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“一正”(即条件中字母为正数)“二定”(不等式的另一边必须为定值)“三相等”(等号取得的条件)．3. 正确理解定理：“和一定，相等时积最大；积一定，相等时和最小”．4. 连续使用公式两次或以上，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．5. 掌握函数y ＝ax ＋bx(a>0，b>0)的单调性，特别是当运用基本不等式不能满足“三相等”时．[备课札记]第4课时 不等式的综合应用(对应学生用书(文)、(理)99～100页)1. (必修5P 102习题7改编)函数y ＝x ＋4x(x≠0)的值域是________．答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)解析：当x>0时，y ＝x ＋4x ≥2x·4x ＝4；当x<0时，y ＝x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≤－2（－x ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＝－4. 2. (必修5P 102习题9改编)某种产品按下列三种方案两次提价．方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价p ＋q2%，第二次提价p ＋q 2%.其中p>q>0，上述三种方案中提价最多的是________．答案：方案丙解析：设原来价格为A ，方案甲：经两次提价后价格为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q 100＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 100＋pq 10 000；方案乙：经两次提价后价格为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q 100；方案丙：经两次提价后价格为A ⎝⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2002＝A[1＋p ＋q 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋q 22·110 000]．因为p ＋q 2>pq ，所以方案丙提价最多．3. 设x∈R ，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|，若不等式f(x)＋f(2x)≤k 对于任意的x∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是________．答案：k≥2解析：不等式转化为k≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|2x|，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|∈(0，1]，所以k≥2. 4. (必修5P 106复习题16改编)已知x>0，y>0且满足2x ＋8y＝1，则x ＋y 的最小值是________ .答案：18解析：∵ x>0，y>0，∴ x ＋y ＝(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y ＝2＋8＋2y x ＋8x y ≥10＋216＝18，当且仅当2y x ＝8x y 时等号成立．又2x ＋8y＝1，∴ 当x ＝6，y ＝12时，x ＋y 有最小值18.5. 若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．答案：[9，＋∞)解析：由a>0，b>0，得a＋b≥2ab，则ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，即ab－2ab－3≥0⇒(ab－3)(ab＋1)≥0⇒ab≥3，∴ ab≥9.[备课札记], 1 含参数的不等式问题), 1) 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋（5＋2k ）x ＋5k ＜0的解集中所含整数解只有－2，求k 的取值范围．解：由x 2－x －2>0得x ＜－1或x ＞2，由2x 2＋(5＋2k)x ＋5k ＜0得(2x ＋5)(x ＋k)＜0， 因为－2是原不等式组的解，所以k ＜2.由(2x ＋5)(x ＋k)＜0有－52＜x ＜－k.因为原不等式组的整数解只有－2， 所以－2＜－k≤3，即－3≤k＜2， 故k 的取值范围是[－3，2)． 变式训练解关于x 的不等式ax －1x ＋1＞0 (a∈R )．解：原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)＞0.① 当a ＝0时，由－(x ＋1)＞0，得x ＜－1；② 当a ＞0时，不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)＞0，解得x ＜－1或x ＞1a ； ③ 当a ＜0时，不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)＜0； 若1a ＜－1，即－1＜a ＜0，则1a ＜x ＜－1； 若1a ＝－1，即a ＝－1，则不等式解集为空集； 若1a ＞－1，即a ＜－1，则－1＜x ＜1a. 综上所述，a ＜－1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－1<x<1a ；a ＝－1时，原不等式无解；－1＜a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1a <x<－1；a ＝0时，解集为{x|x ＜－1}；a ＞0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<－1或x>1a ., 2 不等式在实际问题中的应用), 2) 某辆汽车以x km/h 的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为15⎝⎛⎭⎪⎫x －k ＋4 500x L ，其中k 为常数，且60≤k≤100.(1) 若汽车以120 km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L ，欲使每小时的油耗不超过9 L ，求x 的取值范围；(2) 求该汽车行驶100 km 的油耗的最小值．解：(1) 由题意，当x ＝120时，15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k ＋4 500x ＝11.5，所以k ＝100.由15⎝⎛⎭⎪⎫x －100＋4 500x ≤9，得x 2－145x ＋4 500≤0， ∴ 45≤x ≤100.∵ 60≤x ≤120，∴ 60≤x≤100.(2) 设该汽车行驶100 km 的油耗为y L ，则y ＝100x ·15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k ＋4 500x ＝20－20k x ＋90 000x2(60≤x≤120)． 令t ＝1x ，则t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1120，160， ∴ y ＝90 000t 2－20kt ＋20＝90 000⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 9 0002＋20－k 2900.对称轴为直线t ＝k 9 000.∵ 60≤k ≤100，∴ k 9 000∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1150，190.① 若k 9 000≥1120，即75≤k≤100，则当t ＝k 9 000，即x ＝9 000k 时，y min ＝20－k2900；② 若k 9 000＜1120，即60≤k＜75，则当t ＝1120，即x ＝120时，y min ＝1054－k6.答：当75≤k≤100时，该汽车行驶100 km 的油耗的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫20－k 2900L ；当60≤k＜75时，该汽车行驶100 km 的油耗的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫1054－k 6L. 备选变式（教师专享）现有一占地1 800 m 2的矩形地块，中间三个矩形设计为花圃(如图)，种植不同品种的观赏花卉，周围则均是宽为1 m 的赏花小径，设花圃占地面积为S m 2，设矩形一边的长为x(如图所示)．(1) 试将S 表示为x 的函数；(2) 问应该如何设计矩形地块的边长，使花圃占地面积S 取得最大值？解：(1) 由题知S ＝a(x －2)＋2a(x －3)＝a(3x －8)，又3a ＋3＝1 800x ，则a ＝600x－1，所以S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫600x －1(3x －8)＝1 808－3x －4 800x . (2) S ＝1 808－3x －4 800x ＝1 808－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x ≤1 808－240＝1 568(当且仅当x ＝40时取等号)，此时另一边长为45 m .答：当x ＝40 m ，另一边长为45 m 时花圃占地面积S 取得最大值1 568 m 2., 3 基本不等式的灵活运用), 3) 设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为__________．答案：16解析：由32＋x ＋32＋y＝1，得xy ＝8＋x ＋y.。
19版高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明课时达标36合情推理与演绎推理Dπ是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析对于A项，小前提与结论互换，错误；对于B项，符合演绎推理过程且结论正确；对于C项和D项，均为大前提错误，故选B．2．请仔细观察1,1,2,3,5，( )，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是( A )A．8 B．9C．10 D．11解析观察题中所给各数可知，2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3,8＝3＋5,13＝5＋8，∴括号中的数为8.故选A．3．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n ＋k|n∈Z} ，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 013∈[3]；②－2∈[2]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中正确结论的个数为( C )A．1 B．2C．3 D．4解析因为2013＝402×5＋3，所以2013∈[3]，①正确；－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正确；因为整数集中被5除的数可以且只可以分成五类，所以③正确；整数a，b属于同一“类”，因为整数a，b被5除的余数相同，从而a－b被5除的余数为0，反之也成立，故整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b ∈[0]”，故④正确．所以正确的结论有3个，故选C．4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3, (cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( D )A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．∴g(－x)＝－g(x)．5．已知a n＝log n＋1(n＋2)(n∈N*)，观察下列运算：a1·a2＝log23·log34＝lg 3lg 2·lg 4lg 3＝2；a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log78＝lg 3 lg 2·lg 4lg 3·…·lg 8lg 7＝3；….若a1·a2·a3·…·a k(k∈N*)为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1·a2·a3·…·ak ＝2 018时，“企盼数”k为( C )A．22 017＋2 B．22 017C．22 018－2 D．22 017－4解析a1·a2·a3·…·a k＝lg k＋2lg 2＝2018，lg(k＋2)＝lg 22 018，故k＝22 018－2.6．(2016·北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲，乙，丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( B )A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C错误，故选B．二、填空题7．(2018·河南开封联考)如图所示，由曲线y＝x2，直线x＝a，x＝a＋1(a>0)及x轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即a2<∫a＋1a x2d x<(a＋1)2.运用类比推理，若对∀n∈N*，1n＋1＋1n＋2＋…＋12n<A<1n＋1 n＋1＋…＋12n－1恒成立，则实数A＝__ln 2__.解析令1n＋1<A1<1n，1n＋2<A2<1n＋1，…，12n<A n <12n －1，依据类比推理可得A 1＝∫n ＋1n1xd x ＝ln(n ＋1)－ln n ，A 2＝⎠⎜⎜⎛n ＋1n ＋21xd x ＝ln(n ＋2)－ln(n ＋1)，…，A n ＝⎠⎜⎜⎛2n －12n 1xd x ＝ln(2n )－ln(2n －1)，所以A ＝A 1＋A 2＋…＋A n ＝ln(n ＋1)－ln n ＋ln(n ＋2)－ln(n ＋1)＋…＋ln(2n )－ln(2n －1)＝ln(2n )－ln n ＝ln 2.8．观察下列等式：1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 ＝49…照此规律，第n 个等式为__n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2__.解析观察这些等式，第一个等式左边是1个数，从1开始；第二个等式左边是3个数相加，从2开始；第三个等式左边是5个数相加，从3开始；……；第n个等式左边是2n－1个数相加，从n开始．等式的右边为左边2n－1个数的中间数的平方，故第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论我们可以得到一个真命题为：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则__T4，T8T4，T12T8，T16T12__成等比数列．解析利用类比推理把等差数列中的差换成商即可．三、解答题10．设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解析f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋131＋3＝331＋3＋131＋3＝33，同理可得f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33.由此猜想f(x)＋f(1－x)＝33.证明：f(x)＋f(1－x)＝13x＋3＋131－x＋3＝13x＋3＋3x3＋3·3x＝13x＋3＋3x33＋3x＝3＋3x33＋3x＝33.11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n}是等和数列，且a1＝2，公和为5.求：(1)a18的值；(2)该数列的前n项和S n.解析(1)由等和数列的定义，数列{a n}是等和数列，且a1＝2，公和为5，易知a2n－1＝2，a2n ＝3(n＝1,2，…)，故a18＝3.(2)当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋…＋a n＝(a1＋a3＋…＋a n－1)＋(a2＋a4＋…＋a n)当n为奇数时，S n＝S n－1＋a n＝52(n－1)＋2＝52n －12. 综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数.12．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何—个三次函数都有“拐点”；任何—个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现， (1)求函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心；(2)计算f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0162 017. 解析 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫123－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×12－512＝1.由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)由(1)知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2，即f (x )＋f (1－x )＝2.故f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0152 017＝2， f ⎝⎛⎭⎪⎫32 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 017＝2，…，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＋f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＝2， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0162 017＝12×2×2 016＝2 016.。
[基础送分 加速狂刷练 ]一、选择题1 ．已知会合 ＝ 2＋x －6＝0} ，B ＝{ x|x 2－2x －3≤0，x ∈N * ，A { x|x}则 A ∩B ＝( )A ．{2,3}B ．{1,3}C ． {2}D ．{3}答案 C分析A ＝{ x|x 2＋x －6＝0} ＝{ －3,2} ，B ＝{ x|x 2－2x －3≤0，x ∈N * } ＝{1,2,3} ，故 A ∩B ＝{2} ，应选 C.2．(2017 ·河南百校结盟模拟 )设 a ，b ∈R ，则“ (a －b)a 2≥0”是“a ≥b ”的 ()A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件答案B分析当 a ≥b时，(a －b)a 2≥0建立；当(a －b)a 2≥0时，由 a 2>0得 a －b ≥0，即 a ≥b ，由 a ＝0 不可以获得 a ≥b ，a<b 也建立，故 “(a－b)a 2≥0”是“a ≥b ”的必需不充足条件．应选 B.A ．2b >2a >2cB ．2a >2b >2cC ．2c >2b >2aD ．2c >2a >2b答案A4．对于 x 的不等式 x 2－2ax －8a 2<0(a>0)的解集为 (x 1，x 2)，且 x 2－x 1＝15，则 a ＝()571515A. 2B. 2C. 4D. 2答案A分析由条件知 x1，x2为方程 x2－2ax－8a2＝0 的两根，则 x1＋x2＝2a，x1x2＝－ 8a2.故(x2－ x1)2＝(x1＋ x2)2－ 4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，得 a＝52.应选 A.5．(2017 ·广东清远一中一模 )对于 x 的不等式 ax－b＜0 的解集是(1，＋∞ )，则对于 x 的不等式 (ax＋b)(x－3)＞0 的解集是 ()A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞ )B．(1,3)C．(－1,3)D．(－∞， 1)∪(3，＋∞)答案C分析对于 x 的不等式 ax－b＜0 的解集是 (1，＋∞)，即不等式ax＜b 的解集是 (1，＋∞)，∴a＝b＜0，∴不等式 (ax＋b)(x－3)＞0 可化为 (x ＋1)(x－3)＜0，解得－ 1＜x＜ 3，∴所求解集是 (－1,3)．应选C.1x 2－2，此中a＞2，x6．(2017·松滋期中已知＝＋1，q＝)p a a－22∈R，则 p， q 的大小关系是 ()A ．p≥q B．p＞q C．p＜q D．p≤q答案 A分析由 a＞2，故 p＝a＋1＝(a－2)＋1＋2≥2＋2＝4，a－2a－212－ 1 －当且仅当 a＝3 时取等号．因为 x2－2≥－2，所以 q＝2x2≤22＝4，当且仅当 x＝0 时取等号，所以p≥q.应选 A.7．(2017 ·河北武邑中学调研 )已知定义在 R 上的奇函数 f(x)知足：当 x≥0 时， f(x)＝x3，若不等式 f(－4t)>f(2m＋mt2)对随意实数 t 恒成立，则实数 m 的取值范围是 (A ．(－∞，－2)C．(－∞， 0)∪(2，＋∞ ))B．(－2，0)D．(－∞，2)∪(2，＋∞ )答案分析A∵f(x)在R 上为奇函数，且在 [0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在 R 上是增函数，联合题意得－ 4t>2m＋ mt2对随意实数 t 恒建立 ? mt2＋4t＋2m<0 对随意实数 t 恒建立 ?m＜0，2＜0? m∈(－∞，－＝－168m2)，应选 A.8．某商场若将进货单价为8 元的商品按每件10 元销售，每日可销售 100 件，现准备采纳提升售价来增添收益．已知这类商品每件销售价提升 1 元，销售量就要减少 10 件．那么要保证每日所赚的收益在 320 元以上，销售价每件应定为()A．12 元B．16 元C．12 元到16 元之间D．10元到14 元之间答案C分析设销售价定为每件x 元，收益为 y，则 y＝(x－8)[100－10(x －10)]，依题意有 (x－8)[100－10(x－10)]>320，即 x2－28x＋192<0，解得 12<x<16，所以每件销售价应定为12 元到 16 元之间．应选 C.9．(2018 ·江西八校联考 )已知定义域为 R 的函数 f(x)在(2，＋∞ ) 上单一递减，且 y＝f(x＋2)为偶函数，则对于 x 的不等式 f(2x－1)－f(x ＋1)>0 的解集为 ()4A. －∞，－3∪(2，＋∞ )4B. －∞，3∪(2，＋∞ )4C. －3，24D. 3，2答案D分析∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴ y＝f(x)的图象对于直线x＝2 对称．∵ f(x)在(2，＋∞)上单一递减，∴ f(x)在(－∞，2)上单一递加，又f(2x－1)－f(x＋1)>0，∴f(2x－1)>f(x＋1)．当 x>2 时，2x－1>x＋1，要使 f(2x－1)>f(x＋1)建立，则 x＋1<2x－1<2，解得 x<1(舍去 )；当 x<2时，2x－1<x＋1，要使 f(2x－1)>f(x＋1)建立，则有①若 2<2x－1<x＋3331，解得 x>2，∴2<x<2；②若 2x－1≤2<x＋1，即 1<x≤2，此时 2x4434－1>4－ (x＋1)，即 x>3，∴3<x≤2.综上，3<x<2，应选 D.10．(2018 ·南衡阳八中一模湖 )已知函数 f(x)＝－x2＋2x，x≥0，若对于 x 的不等式 [f(x)] 2＋af(x)－b2<0 恰有 1x2－2x，x<0，个整数解，则实数 a 的最大值是 ()A ．2 B．3 C．5 D．8答案D分析函数 f(x)＝－x2＋2x，x≥0，的图象如下图，x2－2x，x<0①当 b＝0 时，原不等式化为[f(x)] 2＋af(x)<0，当 a>0 时，解得－ a<f(x)<0，因为不等式 [f(x)] 2＋af(x)<0 恰有 1 个整数解，所以其整数解为 3.又 f(3)＝－ 9＋6＝－ 3，∴－ a<－3，－a≥f(4)＝－ 8，则 3<a≤8.易知当 a≤0 时不合题意．②当 b≠0 时，对于 [f(x)] 2＋af(x)－b2<0，＝a2＋4b2>0，解得－a－ a2＋4b2－a＋ a2＋ 4b2 2<f(x)<2，－a－ a2＋4b2－a＋ a2＋4b2又2<0<2，f(x)＝0 有两个整数解，故原不等式起码有两个整数解，不合题意．综上可得 a 的最大值为 8.应选 D.二、填空题11．设 a＞b＞ c＞0， x＝ a2＋ b＋c 2， y＝ b2＋ c＋a 2，z＝c2＋a＋b 2，则 x，y，z 的大小次序是 ________．答案z＞y＞x分析∵a>b>c>0，∴ y2－ x2＝b2＋(c＋a)2－a2－(b＋c)2＝2c(a－b)＞0，∴ y2>x2，即 y>x.z2－y2＝ c2＋(a＋b)2－b2－(c＋a)2＝2a(b－c)>0，故 z2>y2，即 z＞y，故 z>y>x.12．(2018 ·汕头模拟 )若 x>y，a>b，则在① a－x>b－y，②a＋x>ba b＋y，③ax>by，④x－b>y－a，⑤y>x这五个式子中，恒建立的不等式的序号是________.答案②④分析令 x＝－ 2，y＝－ 3，a＝3，b＝2，切合题设条件 x>y，a>b，∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴ a－x＝b－y，所以①不建立．∵ax＝－ 6，by＝－ 6，∴ ax＝by，所以③也不建立．a3b2∵y＝－3＝－ 1，x＝－2＝－ 1，a b∴y＝x，所以⑤不建立．由不等式的性质可推出②④建立．a b13．(2017·安质检西)在R上定义运算：c d＝ad－bc.若不等x －1 a －2 式≥1 对随意实数 x 恒建立，则实数 a 的最大值为a ＋1x________．答案3 2分析原不等式等价于 x(x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即 x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对随意 x 恒建立，1 5 5 x 2－ x －1＝ x －2 2－4≥－4，5 13所以－ 4≥a 2－a －2，解得－ 2≤a ≤2.14．(2017 ·江苏模拟 )已知函数 f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞ )，若对于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为 (m ，m ＋6)，则实数 c 的值为 ________．答案9分析解法一：由题意知 f(x)＝x 2＋ax ＋b＝x ＋a2＋b －a 2.24∵ f(x)的值域为 [0，＋ ∞)，a2a2∴ b － 4 ＝0，即 b ＝ 4，a ∴ f(x)＝ x ＋2 2.a又∵ f(x)<c ，∴ x ＋2 2<c ，a a即－ 2－ c<x<－2＋ c.a－2－ c ＝m ，① ∴a－2＋ c ＝m ＋6.②②－①得 2 c ＝6，∴ c ＝9.解法二：由题意知， f(x)＝ x ＋ a2＋b － a22 4 ，∵ f(x)的值域为 [0，＋ ∞)．∴ b ＝a 2.又∵ f(x)<c 可化为 x 2＋ax ＋a 2－c<0，44且 f(x)－c<0 的解集为 (m ，m ＋6)，m ＋m ＋6＝－ a ，∴ ＋ 2＝ a－c ，m m 6 4a22m ＋6 236∴ c ＝ 4 －m(m ＋6)＝4－m 2－6m ＝ 4 ＝9.三、解答题15 ． (2017 ·昆 明模拟 ) 设 f(x) ＝ ax 2 ＋ bx ，若 1≤f( － 1)≤2 ，2≤f(1)≤4，求 f(－2)的取值范围．1解f －1 ＝a －b ，得a ＝2[f －1 ＋f 1 ] ，由1f 1 ＝a ＋b ，b ＝2[f 1 －f －1 ] ，∴ f(－2)＝4a －2b ＝3f(－1)＋f(1)．又∵ 1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴ 5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故 5≤f(－2)≤10.16．已知函数 f(x)＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当 x ∈(－∞，－ 3)∪ (2，＋∞ )时， f(x)<0.当 x ∈(－3,2)时， f(x)>0.(1)求 f(x)在[0,1] 内的值域；(2)若 ax 2＋bx ＋c ≤0 的解集为 R ，务实数 c 的取值范围．解 (1)因为当 x ∈(－∞，－ 3)∪(2，＋ ∞)时， f(x)<0，当 x ∈(－3,2)时， f(x)>0，所以－ 3,2 是方程ax 2＋ (b － 8)x － a － ab ＝ 0 的两根，可得b －8－3＋2＝－ a ，所以 a ＝－ 3，b ＝5，－3×2＝－a －aba，1所以 f(x)＝－ 3x 2－3x ＋18＝－ 3 x ＋2 2＋18.75，1函数图象对于 x ＝－ 2对称，且抛物线张口向下，在区间 [0,1] 上 f(x) 为减函数，函数的最大值为 f(0)＝18，最小值为 f(1)＝12，故 f(x)在[0,1]内的值域为 [12,18]．(2)由(1)知，不等式 ax 2＋ bx ＋c ≤0 化为－ 3x 2＋5x ＋c ≤0，因为二次函数 y ＝－ 3x 2＋5x ＋c 的图象张口向下，要使－ 3x 2＋5x ＋c ≤0 的解集为 R ，只要a ＝－ 3<0，25＝b 2－4ac ≤0，即 25＋12c ≤0? c ≤－12，所以实数c的取值25范围为 －∞，－ 12 .。
第六章⎪⎪⎪不等式、推与证明第一节不等关系与不等式1．两个实比较大小的依据 (1)a －b ＞0⇔a ＞b ． (2)a －b ＝0⇔a ＝b ． (3)a －b ＜0⇔a ＜b ． 2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a >b >0⇒na > nb (n ∈N ，n ≥2)．1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空：(1)a＞b，c＜d⇒a－c________b－d；(2)a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac________bd；(3)a＞b＞0⇒3a________3b．答案：(1)＞(2)＜(3)＞2．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是__________．答案：v≤40 km/h3．若0<a<b，c>0，则b＋ca＋c与a＋cb＋c的大小关系为________．答案：b＋ca＋c>a＋cb＋c1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b<c⇒a<c．2．在乘法法则中，要特别注意“乘c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．1．设a，b，c∈R，且a>b，则( )A．ac>bc B．1a <1 bC．a2>b2D．a3>b3答案：D2．若ab>0，且a>b，则1a与1b的大小关系是________．答案：1a <1 b考点一 比较两个式的大小基础送分型考点——自主练透1．已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( )A ．m ≥nB ．m ＞nC ．m ≤nD ．m ＜n答案：B 2．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)． 解析：易知a ，b 都是正，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a ．答案：＜3．已知等比列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．解析：当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5．当q ＞0且q ≠1时，S3a 3－S 5a 5＝a 1－q 3a 1q 2－q －a 1－q 5a 1q 4－q＝q 2－q 3－－q 5q 4－q＝－q －1q4＜0，所以S3a3＜S5 a5．综上可知S3a3＜S5a5．答案：S3a3＜S5a5比较两实(式)大小的2种常用方法考点二不等式的性质重点保分型考点——师生共研1．设a，b∈R则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A (a－b)·a2＜0，则必有a－b＜0，即a＜b；而a＜b时，不能推出(a－b)·a2＜0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件．2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )A ．a d ＞b cB ．a d ＜b cC ．a c ＞b dD ．a c ＜b d解析：选B 法一：因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0， 所以1－d ＞1－c ＞0．又a ＞b ＞0，所以a－d ＞b－c，所以a d ＜b c ．故选B ．法二：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0c ＜d ＜0⇒ccd ＜dcd＜0⇒1d ＜1c＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫－1d ＞－1c ＞0a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c ． 法三：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2，则a c ＝－1，bd＝－1，排除选项C 、D ； 又∵－32＜－23，排除A ．故选B ．不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．1．(2016·河南六市第一次联考)若1a＜1b＜0，则下列结论不正确的是( )A．a2＜b2B．ab＜b2C．a＋b＜0 D．|a|＋|b|＞|a＋b|解析：选 D ∵1a＜1b＜0，∴b＜a＜0，∴b2＞a2，ab＜b2，a＋b＜0，∴选项A、B、C均正确，∵b＜a＜0，∴|a|＋|b|＝|a＋b|，故D项错误，故选D．2．(2017·赣中南五校联考)对于任意实a，b，c，d，有以下四个命题：①若ac2＞bc2，则a＞b；②若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d；③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；④若a＞b，则1a＞1b．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B ①由ac2＞bc2，得c≠0，则a＞b，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③错误，当0＞c＞d时，不等式不成立．④错误，令a＝－1，b＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2．故选B．考点三不等式性质的应用重点保分型考点——师生共研已知函f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．求f (－2)的取值范围．解：由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ．f (－2)＝4a －2b ．设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10． 即f (－2)的取值范围为．利用不等式性质可以求某些代式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．1．若6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( ) A ． B ．(15,30) C ．D ．(9,30)解析：选D ∵a2≤b ≤2a ，∴3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a ．∵6＜a ＜10，∴9＜c ＜30．故选D ．2．已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．解析：∵－1<x <4,2<y <3， ∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2． 由－1<x <4,2<y <3， 得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18． 答案：(－4,2) (1,18)一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．设a ，b ∈1．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( )A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．1．不等式x －3x －1≤0的解集为( )A ．{x |x ＜1或x ≥3}B ．{x |1≤x ≤3}C ．{x |1＜x ≤3}D ．{x |1＜x ＜3}解析：选C 由x －3x －1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x －1≠0，解得1＜x ≤3．2．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________．解析：①当m ＝0时，1>0显然成立．②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1．由①②知0≤m <1．答案：1．已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．解析：当x ≤0时，原不等式等价于2x 2＋1－x ≤2，∴－12≤x ≤0；当x >0时，原不等式等价于－2x －x ≤2，∴x >0．综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－12．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－122．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________． 解析：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x －5≠0，解得x ＞5或x ≤43．所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x >5． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x >53．解下列不等式：(1)(易错题)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4．解：(1)原不等式可为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0．解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤43． (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋＞0，x －x ＋⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于轴，如图所示，所以原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3．解一元二次不等式的4个步骤考点二 含参的一元二次不等式的解法重点保分型考点——师生共研解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． 解：原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0，所以当a ＞1时，解为1a＜x ＜1； 当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a． 综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1＜x ＜1a ． 当a ＝1时，不等式的解集为∅．当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1a ＜x ＜1．解含参的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转为一次不等式或二次项系为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．当不等式中二次项的系含有参时，不要忘记讨论其等于0的情况．1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a．解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．2．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)的解集．解：原不等式可为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a 3． 当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，＋∞． 考点三 一元二次不等式恒成立问题题点多变型考点——多角探明一元二次不等式与其对应的函与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参的取值范围．常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参的范围；(2)形如f (x )≥0(x ∈)确定参范围；(3)形如f (x )≥0(参m ∈)确定x 的范围．角度一：形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参的范围1．已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实m 对所有的实x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明由．解：要使不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意； 当m ≠0时，函f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，Δ＝4－4m －m ＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实m 使不等式恒成立．角度二：形如f (x )≥0(x ∈)确定参范围2．已知函f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈时，f (x )＞0恒成立，求b 的取值范围．解：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a 2＝1，解得a ＝2．又因为f (x )开口向下，所以当x ∈时，f (x )为增函，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2．∴b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)角度三：形如f (x )≥0(参m ∈)确定x 的范围3．对任意m ∈，函f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4．由题意知在上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g －＝x －－＋x 2－4x ＋4>0，g ＝x －＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3．故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈，函f (x )的值恒大于零．一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法 (1)ax 2＋bx ＋c ≥0对任意实x 恒成立的条件是{ a >0，Δ≤0； (2)ax 2＋bx ＋c ≤0对任意实x 恒成立的条件是{ a <0，Δ≤0把变元与参交换位置，构造以参为变量的函，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转为一次函f (x )＝ax ＋b (a ≠0)在恒成立问题，若f (x )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f m f n ， 若f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f m ，f n1．(2017·济宁模拟)不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实λ的取值范围为________．解：因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4．答案：2．设函f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：要使f (x )＜－m ＋5在上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈上恒成立． 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1． 因为函y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34在上的最小值为67，所以只需m ＜67即可． 因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫0，67．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( )A ．(1,2)B ．C ．解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函y ＝f (－x )的图象为( )解析：选B 由根与系的关系得1a ＝－2＋1，－c a ＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94． 3．(2017·昆明模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实x 恒成立，则实a 的取值范围为( )A ．B ．(－∞，－2]∪∪解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4．4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2．答案：{x |0<x <2}5．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a <0， 由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ a <x <1a 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3．2．不等式2x ＋1<1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,1) 解析：选 A ∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1．3．(2017·郑州调研)规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实)，若1⊙k 2＜3，则k 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(0,2)解析：选A 因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实)，1⊙k 2＜3，所以k 2＋1＋k 2＜3，为(|k|＋2)(|k|－1)＜0，所以|k|＜1，所以－1＜k＜1．4．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A．12元B．16元C．12元到16元之间D．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x元，利润为y，则y＝(x－8)，依题意有，(x－8)＞320，即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．5．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是的子集，则a的取值范围是( )A．B．C．D．解析：选B 原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为，此时只要a≤3即可，即1<a≤3．综上可得－4≤a≤3．6．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实a的取值范围是________．解析：∵不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a2－4×4>0，即a2>16．∴a >4或a <－4．答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)7．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________． 解析：由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，即5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45，故所求解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45． 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，45 8．(2017·石家庄质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实x 恒成立，则实a 的最大值为________．解析：原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54， 所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32． 答案：329．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6．(1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋23．∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a－a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.10．(2017·北京朝阳统一考试)已知函f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R ．(1)若a ＝2，试求函y ＝f x x(x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4．因为x >0，所以x ＋1x≥2．当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2．所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2．(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈，不等式f (x )≤a 成立”， 只要“x 2－2ax －1≤0在恒成立”． 不妨设g (x )＝x 2－2ax －1， 则只要g (x )≤0在上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g ，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34．则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·太原模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2．2．已知函f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ． (1)求a 的取值范围；(2)若函f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a＜0．解：(1)∵函f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立． 当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a2－4a ≤0，解得0＜a ≤1，综上可知，a 的取值范围是． (2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a x ＋2＋1－a ，由题意及(1)可知0＜a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可为x 2－x －34＜0．解得－12＜x ＜32，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32．第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．一元二次不等式(组)表示的平面区域2．线性规划中的基本概念1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是( )A ．(0,0)B ．(－1,1)C ．(－1,3)D ．(2，－3)答案：C2．(教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是()答案：B3．(2016·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为________．解析：根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到过点A 时，目标函取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4．答案：41．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函取得最值的点不一定只有一个，也可能有无多个，也可能没有．3．在通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．1．若用阴影表示不等示组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ≤0，3x －y ≤0所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角的大小为________．答案：15°2．(2017·兰州诊断)已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则目标函z ＝2x －y 的最大值为________．解析：画出平面区域如图所示，目标函可变为y ＝2x －z ，将直线y ＝2x 进行平移可得在点(2，－1)处截距最小，所以此时z 最大，最大值为5．答案：5考点一 二元一次不等式组表示平面区域基础送分型考点——自主练透1．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：选A 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，对应的平面区域，如图． 要使阴影部分为直角三角形，当k ＝0时，此时三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立．当k ＝－1或－2时，不能构成直角三角形区域．当k ＝1时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1，故选A ．2．(易错题)若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整的点，则整a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．3．(2017·广州五校联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为________．解析：如图，画出可行域．易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，B (0,2)，C (0,4)，∴可行域D 的面积为12×2×43＝43．答案：43确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．如“题组练透”第2题易忽视边界．(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．考点二 求目标函的最值题点多变型考点——多角探明线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代和几何的双重形式，多与函、平面向量、列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．常见的命题角度有： (1)求线性目标函的最值； (2)求非线性目标函的最值； (3)线性规划中的参问题．角度一：求线性目标函的最值1．(2016·全国丙卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A时，z 取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得A (－1，－1)，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．答案：－10角度二：求非线性目标函的最值2．(2016·江苏高考)已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．形结合，知d 的最大值是OA 的长，d的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25． 所以d 2的最小值为45，最大值为13．所以x 2＋y2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13角度三：线性规划中的参问题3．(2017·郑州质检)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为________．解析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z取到最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴2×3－1－m ＝0，m ＝5．由图知，平移l 经过B 点时，z 最小，∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5． 答案：51．求目标函的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置； (3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函，即可求出最值．2．常见的3类目标函 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函的最值常将函z ＝ax ＋by 转为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b ，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2．(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a．注意转的等价性及几何意义．1．(2017·海口调研)已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，4x －y －4≤0.则z＝3x －y 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125 B ．C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，125D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，83解析：选A 画出题中的不等式组表示的平面区域(阴影部分)及直线3x －y ＝0，平移该直线，平移到经过该平面区域内的点A (1,3)(该点是直线x －y ＋2＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最小，此时z ＝3x －y 取得最小值3×1－3＝0；平移到经过该平面区域内的点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，125(该点是直线4x －y－4＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最大，此时z ＝3x －y 取得最大值3×85－125＝125，因此z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125，选A ．2．(2017·合肥质检)已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －3y －1≤0，x ≤1.若z ＝kx －y 的最小值为－5，则实k 的值为( )A ．－3B ．3或－5C ．－3或－5D ．±3解析：选D 不等式组对应的平面区域是以点(1,2)，(1,0)和(－2，－1)为顶点的三角形及其内部，当z 取得最小值时，直线y ＝kx －z 在y 轴上的截距最大，当k ≤1时，目标函直线经过点(1,2)时，z min ＝k －2＝－5，k ＝－3适合；当k ＞1时，目标函直线经过点(－2，－1)时，z min ＝－2k ＋1＝－5，k ＝3适合，故k ＝±3，选项D 正确．3．(2016·山西质检)设实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0.则y －1x －1的最小值是________．解析：如图所示，画出不等式组所表示的可行域，而y －1x －1表示区域内一点(x ，y )与点D (1,1)连线的斜率， ∴当x ＝13，y ＝43时，y －1x －1有最小值为－12．答案：－12考点三 线性规划的实际应用重点保分型考点——师生共研(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1．5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0．5 kg ，乙材料0．3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.目标函为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点M 时，z取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得M (60,100)．则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 0001．解线性规划应用题3步骤(1)转——设元，写出约束条件和目标函，从而将实际问题转为线性规划问题；(2)求解——解这个纯学的线性规划问题；(3)作答——将学问题的答案还原为实际问题的答案． 2．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整、是否是非负等．(3)正确地写出目标函，一般地，目标函是等式的形式．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C 设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N.目标函为z ＝1 600x ＋2 400y ．画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函过点N (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32B ．23C ．43D ．34解析：选C 平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4.得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，43，|BC |＝4－43＝83．所以S △ABC ＝12×83×1＝43．2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出图形可知选C ．3．(2016·四川德阳月考)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，则目标函z ＝2x ＋3y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．22D ．23解析：选D由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0作出可行域如图中阴影部分，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －y －3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，则B (4,5)，将目标函z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋z3．由图可知，当直线y ＝－23x ＋z3过B 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，为2×4＋3×5＝23．4．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞5．(2017·昆明七校调研)已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤4，x ＋y ≥0.则z ＝x ＋3y 的最小值为________．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x ＋3y ＝0，如图，平移直线y ＝－x3，当直线经过点(4，－4)时，在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝x ＋3y 取得最小值4＋3×(－4)＝－8．答案：－8二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·福建高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2C ．－32D ．2解析：选A 作可行域如图，由图可知，当直线z ＝2x －y 过点A 时，z 值最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x ＋2y ＝0得点A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，z min ＝2×(－1)－12＝－52．2．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选 D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积的最大值S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π．3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6解析：选C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得C (2，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得D (－1,1)． 所以|AB |＝|CD |＝＋12＋－2－2＝32．故选C ．4．(2017·湖南东部六校联考)实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，y ≥x ，x ＋y ≤2(a ＜1)，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A ．211B ．14C ．12D ．112解析：选B 如图所示，平移直线2x ＋y ＝0，可知在点A (a ，a )处z 取最小值，即z min ＝3a ，在点B (1,1)处z 取最大值，即z max ＝3，所以12a ＝3，即a ＝14．5．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( ) A．50,0 B．30,20C．20,30 D．0,50解析：选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x，y亩，则总利润z＝4×0．55x＋6×0．3y－1．2x－0．9y＝x＋0．9y．此时x，y满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤50，1.2x＋0.9y≤54，x≥0，y≥0.画出可行域如图，得最优解为A(30,20)．6．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋3≥0，x＋y≥a，x≤2.表示的区域为一个三角形，则实a的取值范围为________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x ≤2表示的区域如图所示． 易求得A (2,5)． 画出直线l ：x ＋y ＝a ． 由题意及图可得a ＜7． 答案：(－∞，7)7．(2017·河南六市联考)已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .如果目标函z ＝x －y 的最小值为－1，则实m ＝________．解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l 可知，当直线l 经过A 时符合题意，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.又A (2,3)在直线x ＋y ＝m 上，∴m＝5．答案：58．(2017·西安质检)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x＋y 的取值范围为________．解析：作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1,0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为．答案：9．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示． (1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0．原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有 ＜0，即(14－a )(－18－a )＜0， 解得－18＜a ＜14．故a 的取值范围是(－18,14)．10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1． 所以z 的最大值为1， 最小值为－2．(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2．故所求a 的取值范围为(－4,2)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·通一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．解析：∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋y ＋x ＋1，而y ＋1x ＋1表示过点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率， 易知a >0，作出可行域如图所示，由题意知y ＋1x ＋1的最小值是14，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0－－3a －－＝13a ＋1＝14⇒a ＝1．答案：12．(2016·天津高考)某肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨如下表所示：现有A种原料种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮．(1)用x，y列出满足生产条件的学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知，x，y满足的学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分． (2)设利润为z 万元，则目标函为z ＝2x ＋3y ．考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z3，它的图象是斜率为－23，随z 变的一族平行直线，z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112．答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．第四节基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b ． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)． 3．算术平均与几何平均设a ＞0，b >0，则a ，b 的算术平均为a ＋b2，几何平均为ab ，基本不等式可叙述为：两个正的算术平均不小于它们的几何平均．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．1．(教材习题改编)设x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值。
