湖北武汉二中高二数学上学期期末考试 理【会员独享】

一、单选题1．已知数列{an }中的首项a 1＝2，且满足，则此数列的第三项是（ ） 11122n n a a n+=+A ．1 B ．C ．D ．123458【答案】A【分析】根据递推公式直接求解即可. 【详解】因为，且， 12a =11122n n a a n+=+令，得，1n =21132222a =´+=令可得,2n =3211131124224a a =+=+=故此数列第三项为. 1故选：A2．已知三棱锥中，点、分别为、的中点，且，，，则O ABC -M N AB OC OA a = OB b = OC c =（ ）MN =A ．B ．C ．D ．()12b c a +- ()12a b c ++ ()12a b c -+ ()12c a b -- 【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于的表达式.MN{},,a b c 【详解】，()()111222OM OA AM OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=+所以，. ()()111222MN ON OM OC OA OB c a b =-=-+=-- 故选：D.3．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，满足，若12,F F 2222:1(0)x y C a b a b+=>>P 210PF PF ⋅= 的面积为9，则（ ） 12PF F △b =A ．1 B ．2C D ．3【答案】D【分析】利用化简得到之间的关系，即可求得. 210PF PF ⋅=,,a b c b 【详解】解：；① 2221212122,24PF PF a PF PF PF PF a +=∴++⋅= 又，②2222121212,4PF PF PF PF F F c ⊥∴+== ①-②得：， ∴()222212121244,2PF PF a c b PF PF b ⋅=-=∴⋅=的面积为， 12PF F △1221219,9,02PF F S PF PF b b ∴=⋅==>A . 3b ∴=故选：D4．意大利数学家斐波那契在 1202 年著的《计算之书》中记载了斐波那契数列，此数列满{}n F 足：，且从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即，则在121F F ==*21()n n n F F F n N ++=+∈该数列的前 2022 项中，奇数的个数为（ ） A ．672 B ．674 C ．1348 D ．2022【答案】C【分析】先考虑前6项的奇偶性，从而可得各项奇偶性的周期性，故可得正确的选项. 【详解】，故，，故各项奇偶性呈现周期性（奇奇偶）， 121F F ==32F =4563,5,8F F F ===且周期为3，因为，故奇数的个数为， 20223674=⨯67421348⨯=故选：C.5．已知空间直角坐标系中的点，，，则点Р到直线AB 的距离为（ ） ()1,1,1P ()2,0,1A ()0,1,0B ABCD【答案】D【分析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求. 【详解】，，，()1,1,1P ()2,0,1A ()0,1,0B ，，∴()2,1,1AB =-- ()1,1,0AP=-在上的投影为 AP AB||AP AB AB ⋅则点到直线P AB =故选：D ．6．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法.在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子(用竹子，木头，兽骨，象牙，金属等材料制成)以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数(小木棍全部用完)，那么这两个数的和不小于9的概率为()A ．B ．C ．D ．23121334【答案】A【分析】分用(1根+4根)和(2根+3根)两种情况组成不同的两个数，求出总的组合数，并求出各个组合中两数的和，根据古典概型概率计算方法计算即可． 【详解】用五根小木棍摆成两个数，共有两种摆放方法：第一种是用1根和4根小木棍可以组成：1与4、1与8，其和分别为5、9，共2种；第二种是用2根和3根小木棍可以组成：2与3、2与7、6与3、6与7，其和分别为5、9、9、13，共4种；故用五根小木棍随机摆成图中的两个数，有2+4=6种不同组合，其中两个数的和不小于9的有4种，故所求概率为． 4263=故选：A ．7．在等差数列中，是的前项和，满足，，则有限项数列，，…，{}n a n S n a n 200S <210S >11S a 22S a ，中，最大项和最小项分别为（ ） 2020S a 2121S a A ．； B ．； C ．；D ．；2121S a 2020S a 2121S a 1111S a 1100S a 1111S a 1100S a 2020S a 【答案】C【分析】先判断出，从而得到最小，结合前者得到给定新数列中的最大项和最小10110,0a a ><10S 项.【详解】因为为等差数列，故，， {}n a ()20101110S a a =+211121S a =故，，故，公差，10110a a +<110a >100a <0d >，，10910S S S <<<< 101120210,0S S S S <<<<>而，121011210a a a a a <<<<<<< 故，，10910S S S ->->>-> 1120210,0S S S ->>->> 121011210,0a a a a a ->>>><<< 由不等式性质可得即 10122122100S S S S a a a a ----<<<<<----L 101221221001S S S S a a a a <=<<<<L 同理，故， 2011121112200S S S a a a -->>>-> 2011121112200S S S a a a <<<< 而， 20212021212121011S a S S a a a +<==+<故，，…，，中最大项和最小项分别为；. 11S a 22S a 2020S a 2121S a 1100S a 1111S a 故选：C. 【点睛】，本题考查等差数列的性质、数列的最大项、最小项等，注意把数列的前和的符号转化为中间项的n 符号，另外注意不等式性质的正确使用，本题属于难题.8．已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点A 、B 分别在双曲C ()222210,0x y a b a b -=>>F 线的左、右两支上，，，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） 0AF FB ⋅=3BF FC =A BC D【答案】B【分析】若左焦点，连接，由题意知为矩形，设，则，F ',,AF BF CF '''AFBF '||BF m =||3FC m =，，在直角△、直角△中应用勾股定理列方程可得，||2BF a m '=+||32CF m a '=+CBF 'BFF 'm a =且得到关于双曲线参数的齐次方程，即可得离心率. 【详解】如下图，若左焦点，连接，F ',,AF BF CF '''因为A 、B 关于原点对称且，所以为矩形，0AF FB ⋅=AFBF '设，则，，，||BF m =||3FC m =||2BF a m '=+||32CF m a '=+在直角△中，即， CBF '222||||||BC BF CF ''+=22216(2)(32)m a m m a ++=+所以，m a =在直角△中，即， BFF '222||||||BF BF FF ''+=2222(2)104m a m a c ++==所以e 故选：B二、多选题9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下A =B =列结论中正确的是（ ）A ．该试验样本空间共有个样本点B ． 4()14P AB =C ．与为互斥事件D ．与为相互独立事件A B A B 【答案】ABD【分析】由题可得样本空间及事件样本点，结合互斥事件，独立事件的概念及古典概型概率公,A B 式逐项分析即得.【详解】对于A ：试验的样本空间为：正，正，正，反，反，正，反，反，共{(Ω=)()()()}4个样本点，故A 正确;对于B ：由题可知正，正，正，反，正，反，反，反， {(A =)()}{(B =)()}显然事件，事件都含有“正，反这一结果，故，故B 正确； A B ()()14P AB =对于C ：事件，事件能同时发生，因此事件不互斥，故C 不正确； A B ,A B 对于D ：，，，所以，故D 正确．()2142P A ==()2142P B ==()14P AB =()()()P AB P A P B =故选：ABD.10．等差数列的前n 项和分别为，则下列说法正确的有（ ） {}{},n n a b *21,,,1N n n n n a n S T n b n +=∈+A ．数列是递增数列B ．n n a b ⎧⎫⎨⎩⎭3353S T =C ．D ．553536S T =121222(1)n n S S S n T T T n ⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅+ 【答案】AB【分析】结合数列的单调性，等差数列前项和公式对选项进行分析，从而确定正确选项.n 【详解】，所以是递增数列，A 选项正确.()2112112111n n n a n b n n n +-+===-+++n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，()()121121211211212121221221212n n n n n n n n a a n a a a Sn b b b b b T n n ------+⋅-++====+++⋅-所以，B 选项正确. 332215213S T ⨯+==+，C 选项错误. 552317314S T ⨯+==+当时，，D 选项错误. 1n =()11113122211S a T b +==≠⨯+故选：AB11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的,A B ()1λλ≠轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足(4,2)A -(2,2)B P ，设点的轨迹为圆，则下列说法正确的是（ ） ||2PA PB=P C A ．圆的方程是C ()()224216x y -+-=B ．以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为AB C 5440x y -+=C ．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则该直线的斜率为 A l C l 2D ．过直线上的一点向圆引切线、，则四边形的面积的最小值为3460x y+=P C PA PB PACB 【答案】AD【分析】对于A ，利用求动点的轨迹方程的步骤即可求解；对于B ，利用圆的直径式方程及两圆的方程直接相减即可求解两圆相交公共弦所在的直线； 对于C ，根据已知条件及直线的点斜式方程，结合点到直线的距离公式即可求解；对于D ，将求四边形的面积转化为求三角形的面积，利用勾股定理及点到直线间的距离公式即可求解.【详解】对于A ，因为，点满足，设(4,2),(2,2)A B -P ||2||PA PB =(),P x y 2=，化简得，即，故A 正确；228440x y x y +--+=()()224216x y -+-=对于B ，以为直径的圆的方程为，即，,A B ()()()()42220x x y y +-+--=222440x y x y ++--=所以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为AB C ,即，故B 错误；()22222484440x x y x x y y y ++---+--=+540x -=对于C ，易知直线的斜率存在，设直线l 的方程为，即，()24y k x -=+420kx y k -++=因为圆上恰有三个点到直线的距离为2，所以圆心到直线的距离C l 2d =，解得，故C 错误； k =对于D ，由题意可得四边形的最小值即S PACB 1242=⨯⨯=PO可，的最小值为点到直线的距离，即，所以四边形PO O 3460x y +=1d PACB的面积的最小值为D 正确. =故选：AD.12．抛物线的光学性质为：从焦点发出的光线经过抛物线上的点反射后，反射光线平行于抛物F P 线的对称轴，且法线垂直于抛物线在点处的切线．已知抛物线上任意一点P ()220y px p =>处的切线为，直线交抛物线于，，抛物线在，两()00,P x y ()00y y p x x =+l ()11,A x y ()22,B x y A B 点处的切线相交于点．下列说法正确的是（ ） Q A ．直线方程为l ()121220px y y y y y -+-=B ．记弦中点为，则平行轴或与轴重合 AB M QM x x C ．切线与轴的交点恰在以为直径的圆上 QA y FQ D ． AFQ QFB ∠=∠【答案】BCD【分析】设为，与抛物线联立，根据韦达定理用表示出，即可判断A 项；根l x my b =+12,y y ,m b 据已知可推出，是一元二次方程的两组解，又直线方程为()11,A x y ()22,B x y ()Q Q yy p x x =+l ，两式比较可得，，即可判断B 项；通过()121220px y y y y y -++=122Q M y y y y +==122Q y y x b p ==-求出、点坐标，推导以及，即可判断C 项；根据抛物线的光学性质，结合C D FC QA ⊥FD QB ⊥已知条件，可推出∽，进而推得.AFQ △QFB △AFQ QFB ∠=∠【详解】设为，，与抛物线联立得，必有，l x my b =+0b >2220y pmy pb --=0∆>122y y pm+=，，∴，，代回方程整理得：，A 项错122y y pb =-122y y m p +=122y y b p=-l ()121220px y y y y y -++=误；由已知，抛物线在点处的切线切线：，在两点处的切线A QA l ()11y y p x x =+B ，设点，则满足方程组，()22:QB y y p x x l =+(),Q Q Q x y ()()1122Q Q Q Q y y p x x y y p x x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩则可知，是一元二次方程的两组解，由经过两点，的直线()11,A x y ()22,B x y ()Q Q yy p x x =+A B l 有且仅有一条，故方程为，变形为， l ()Q Q yy p x x =+0Q Q px y y px -+=又直线方程为， l ()121220px y y y y y -++=两式对应系数得，，所以平行轴或与轴重合，B 项正确；122Q M y y y y +==122Q y y x b p ==-QM x x 如图，记切线与轴的交点，()11:x Q y y p x A =+y 110,px C y ⎛⎫⎪⎝⎭，，112FC x k y =-1QA pk y =∴，∴， 12121FC QA px k k y ⋅==--FC QA ⊥同理切线与轴的交点，亦有，故， QB y D FD QB ⊥180FCQ FDQ ∠+∠=o 所以，，，四点共圆，且为直径，C 项正确；F C Q D FQ 如图，记切线与轴的交点为，过作轴平行线，由抛物线光学性质，，QA x S A x AN FSA FAS ∠=∠由等腰、直角、，，，四点共圆（对同弦圆周角相等），可得如图五个角SFA A SCF △F C QD α相等；同理，五个角相等．β则∽，∴，D 项正确．AFQ △QFB △AFQ QFB ∠=∠故选：BCD.三、填空题13．若双曲线的一个焦点为，两条渐近线互相垂直，则______.22221(0,0)x y a b a b-=>>(5,0)F =a【分析】根据双曲线的渐近线相互垂直求得的关系式，结合求得. ,a b 5c =a 【详解】依题意，5c =由于双曲线两条渐近线互相垂直，所以，22221,,b b b a b a b a a a ⎛⎫⨯-=-=-== ⎪⎝⎭由于，所以222+=a b c 2225,a a ==14．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜35的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______． 25【答案】78625【分析】分两种情况讨论，（1）甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢；（2）乙第一局赢，第二局输，第三、四局赢，即得解.【详解】由题得恰好进行了4局结束比赛，有两种情况：（1）甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时； 13233545555625P =⨯⨯⨯=（2）乙第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时； 12322245555625P =⨯⨯⨯=所以恰好进行了4局结束比赛的概率为. 12542478625625625P P +=+=故答案为：78625【点睛】本题主要考查独立事件的概率和互斥事件的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．在直三棱柱中，，，M 是的中点，以为坐111ABC A B C -CA =4CB =90BCA ∠=︒11A B C 标原点建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与夹角的余弦C xyz -11A B CB ⊥CM 1A B 值为__________.【分析】根据题意结合，求，再利用空间向量求异面直线夹角. 1212120a b x x y y z z ⊥⇔++=1AA 【详解】设，则，，，，，1AA a =()0,4,0B ()1Aa ()10,4,B a ()0,0,0C ()2,M a 可得：，，()14,A B a =-- ()10,4,CB a = ∵，则，得， 11A B CB ⊥ 211160A B CB a ⋅=-=4a =故，，()2,4CM = ()14,4A B =--∴1cos ,CM A =故异面直线与CM 1A B 16．已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在圆上，且:C 22221(0)x y a b a b +=>>122F M 222x y b +=M在第一象限，过作圆的切线交椭圆于，两点．若的周长为，则椭圆的M 222x y b +=P Q 2PF Q △4C 方程为____．【答案】22143x y +=【分析】根据离心率化简椭圆方程，由两点间距离公式与勾股定理计算的周长后求解2PF Q △【详解】椭圆的离心率为 ,则，椭圆方程为 122,a c b ==2222143x y c c+=设， ()()1122,,,P x y Q x y 2222222111111||()24(4)44PF x c y x cx c x c =-+=-+=- 211||22PF c x =-连接OM ，OP ，由相切条件知：，， 222211||||||4PM OP OM x =-=11||2PM x =，同理得，2||||2PF PM c +=2||||2QF QM c +=由题意得PF 2Q 的周长为A 44,1c c ==∴椭圆C 的方程为 . 22143x y +=故答案为： 22143x y +=四、解答题17．已知公差大于零的等差数列的前n 项和为,且满足，． {}n a n S 34117a a ⋅=2522a a +=（1）求和；n a n S （2）若数列是等差数列，且，求非零常数c ． {}n b n n S b n c=+【答案】（1），；（2）. 43n a n =-22n S n n =-12-【分析】（1）利用等差数列的性质结合已知条件得到是方程的两实根，从而34,a a 2221170x x -+=求出； 再利用等差数列的通项公式求，，从而求和；34,a a 11a =4d =n a n S （2）根据求出，，，根据数列是等差数列得到，从而求出22n n S n n b n c n c-==++1b 2b 3b {}n b 2132b b b =+的值.c 【详解】（1）因为数列为等差数列，所以，又，{}n a 342522a a a a +=+=34117a a ⋅=所以是方程的两实根，34,a a 2221170x x -+=又公差，所以，所以，0d >34a a <349,13a a ==所以，，所以，d =434a a -=129a d +=11a =所以，. 43n a n =-()1222n n n a a S n n +==-（2）由（1）知，所以， 22n S n n =-22n n S n n b n c n c-==++所以，，， 111b c=+262b c =+3153b c =+因为数列是等差数列，所以，即， {}n b 2132b b b =+61152213c c c⨯=++++所以，解得或(舍)，所以. 220c c +=12c =-0c =12c =-18．已知两直线，1:310l x y --=2:250l x y +-=（1）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程；（2）若直线与，不能构成三角形，求实数的值.3:430l x ay a -+-=1l 2l a 【答案】（1），；（2）. 2y x =30x y +-=1,2,13-【解析】（1）求出交点坐标，分直线过原点和不过原点两类情况求直线方程；（2）三条直线不能构成三角形分类：某两条直线斜率相等或者三条直线交于一点.【详解】（1）联立直线方程解得，交点坐标， 310250x y x y --=⎧⎨+-=⎩12x y =⎧⎨=⎩(1,2)当直线过原点时，在两坐标轴上截距相等均为0，直线方程，2y x =当直线不过原点时，设其方程为，过得，0x y b ++=(1,2)120,3b b ++==-所以直线方程30x y +-=综上：满足题意的直线方程为，2y x =30x y +-=（2）直线与，不能构成三角形3:430l x ay a -+-=1l 2l 当与平行时： 1l 3l 131,3a a ==当与平行时：2l 3l 2,2a a -==-当三条直线交于一点，即过点，则3l (1,2)12430,1a a a -+-==综上所述实数的值为 a 1,2,13-【点睛】此题考查求直线交点坐标，截距问题，两条直线位置关系的应用，易错点在于截距相等时忽略掉截距为0，三条直线不能构成三角形情况讨论不全面导致漏解.19．如图，点，，在抛物线上，且抛物线的焦点是的重(2,8)A 11(,)B x y 22(,)C x y 22y px =F ABC A 心，为的中点.M BC(1)求抛物线的方程和点的坐标；F (2)求点的坐标及所在的直线方程.M BC 【答案】(1)；232y x =(8,0)F (2)；M (11,4)-4400+-=x y【分析】(1)将代入求得值，得到点的坐标；(2,8)A 22y px =p F (2) 设点的坐标为，根据即可求出线段中点的坐标；M ()00,x y 2AF FM = BC M 由得,再求出直线所在直线的方程. 2112223232y x y x ⎧=⎨=⎩4BC k =-BC 【详解】（1）由点在抛物线上，有，解得.(2,8)A 22y px =2822p =⨯16p =所以抛物线方程为，焦点的坐标为.232y x =F (8,0)（2）由于是的重心，是线段的中点，F ABC A M BC 所以，设点的坐标为，2AF FM = M ()00,x y 则，()00(6,8),8,AF FM x y =-=- ，解得，所以点的坐标为， ()0062882x y ⎧=-∴⎨-=⎩0011,4x y ==-M (11,4)-由得， 2112223232y x y x ⎧=⎨=⎩()()()21212132y y y y x x +-=-因为为为的中点，故，M (11,4)-BC 128y y +=-所以， 21214BC y y k x x -=-=-因此所在直线的方程为，BC (4)4(11)y x --=--即.4400+-=x y 20．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点，分别P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD M N 为，的中点．BC PA(1)取的中点，连接，若平面平面，求证：；PB H AH AHC ⊥PAB PB AC ⊥(2)已知，与平面与平1AB AC ==AD =ACPBC PBC 面的夹角的余弦值．ABCD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）通过证明平面来证得.AC ⊥PAB PB AC ⊥（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面的夹角的余弦值.PBC ABCD 【详解】（1）平面平面，且交线为，AHC ⊥PAB AH 过点作的垂线，垂足记为，B AH K 由于平面，所以平面，BK ⊂PAB BK ⊥HAC 由于平面，所以，AC ⊂HAC BK AC ⊥又平面，平面，所以，PA ⊥ABCD AC ⊂ABCD PA AC ⊥由于是平面内的相交直线，,BK PA PAB 所以平面， AC ⊥PAB由于平面，所以.PB ⊂PAB AC PB ⊥（2）由于，，所以，1AB AC ==AD BC ==222AB AC BC +=所以，由于平面，平面，AC AB ⊥AP ⊥ABCD ,AB AC ⊂ABCD 所以，即两两垂直.,AP AB AP AC ⊥⊥,,AB AC AP 以为坐标原点，向量，，方向分别为，，轴建立空间直角坐标系．A AB AC AP x y z 设，则，，，(0)PA h h =>()0,0,P h ()1,0,0B ()0,1,0C 故，， ()1,0,PB h =- ()1,1,0BC =-u u u r 设平面的一个法向量为，则， PBC ()222,,m x y z = 00PB m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即， 222200x z h x y -=⎧⎨-+=⎩令，则，，故，2x h =2y h =21z =(),,1m h h = 易得平面的一个法向量为，又，ABCD ()00,0,1n = ()0,1,0AC = 设直线与平面所成角为，AC PBC α则， sin α=1h =设平面与平面的夹角为，PBC ABCDβ则cos β==所以平面与平面 PBC ABCD21．已知点M （1，0），N （1，3），圆C ：，直线l 过点N ．221x y +=(1)若直线l 与圆C 相切，求l 的方程；(2)若直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：为12k k +定值．【答案】(1)或1x =4350x y -+=(2)证明见解析【分析】（1）先判断直线l 不存在斜率时符合题意；再设直线l 的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，列式求解即可．（2）设出直线l 的方程，与圆的方程联立，得到关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系及x 直线的斜率公式进行证明．【详解】（1）解：若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为，1x =此时直线l 与圆C 相切，故符合条件；1x =若直线l 的斜率存在，设斜率为k ，其方程为，()13y k x =-+即，30kx y k --+=由直线l 与圆C 相切，圆心（0，0）到l 的距离为1，，解得， 43k =所以直线l 的方程为， ()4133y x =-+即， 4350x y -+=综上所述，直线l 的方程为或；1x =4350x y -+=（2）证明：由（1）可知，l 与圆C 有两个交点时，斜率存在，此时设l 的方程为，30kx y k --+=联立， 22301kx y k x y --+=⎧⎨+=⎩得，()()2222126680k x k k x k k --+++=-则 ，()()()222226416824320k k k k k k ∆=++----=＞解得， 43k >设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，，（1） 2122261k k x x k -+=+2122681k k x x k -+=+所以， ()()12121212121331111k x k x y y k k x x x x -+-+=+=+----()()12121212323322111x x k k x x x x x x +-=++=+---++将（1）代入上式整理得， 121862293--+=+=-k k k k 故为定值． 12k k +23-22．已知点为坐标原点，，，为线段AB 上一点，点满足平分，O (1,0)A -(1,0)B M C CM ACB ∠.2BC BM =(1)求点的轨迹的方程；C E (2)设直线与曲线的一个交点为（异于点），求面积的最大值.CM E D C OCD A 【答案】(1) 221(0)43x y y +=≠(2) 2449【分析】（1）根据角平分线定理得，又，所以，结合椭圆的AC BC AM BM =2BC BM =2AC AM =定义即可求得轨迹的方程；E （2）设直线直线，，，由可得，结合椭():0CD x ny t n =+≠()11,C x y ()22,D x y 2BC BM =14x t =圆方程可得，根据直线与椭圆相交得，由面积22243n t n =+21212226312,4343nt t y y y y n n -+=-=++得，结合基本不等式求最值即可. 1212OCD S OM y y =⋅-A OCD S =△21121121n n n n +=++【详解】（1）解：因为平分，所以由角平分线定理得， CM ACB ∠AC BC AM BM=又，所以，2BC BM =2AC AM =于是，2224AC BC AM BM AB +=+==所以点的轨迹是以A ，B 为焦点，4为长轴长的椭圆，且点不在轴上，C E C y 故点C 的轨迹的方程为. E 221(0)43x y y +=≠（2）解：设，，直线，则，()11,C x y ()22,D x y ():0CD x ny t n =+≠(,0)Mt点在椭圆上，则， ()11,C x y 2211143x y +=1122x ===-因为，，所以，故. 1BM t =-2BC BM =()112212x t -=-14x t =又，所以，可得，故； 11x ny t =+13t y n =222341t t n+=22243n t n =+则，整理可得：， 22143x ny t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2224363120n y nty t +++-=所以 21212226312,4343nt t y y y y n n -+=-=++于是 1y-=所以1212OCD S OM y y =⋅-==A()()()222211212143431121n n n nn n n n ++==++++又，当且仅当时等号成立. 112n n n n+=+≥1n =±设，，又，当且仅当时12m n n =+≥21212112112OCD m S m m m==++△112m m +≥=m =等号成立，故 min 11451212222m m ⎛⎫+=⨯+= ⎪⎝⎭故当时，的面积最大，且最大值为. 1n =±OCD A 2449【点睛】方法点睛：与椭圆有关的最值或取值范围问题的求解方法（1）利用数形结合，椭圆的定义､性质求最值或取值范围；（2）利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围；（3）利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围；（4）利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围.。

2020-2021学年湖北省武汉中学高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.抛物线的焦点坐标为( )A. B. C. D.2.已知命题p：，，则为( )A.， B. ，C. ，D. ，3.已知m，n为空间中两条不同的直线，，为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是( )A. 若，，，则B. 若，，则C. 若m，n在内的射影互相平行，则D. 若，，则4.设一个线性回归方程，当变量x每增加一个单位时，则y的变化情况正确的是( )A. y平均增加约个单位B. y平均增加约3个单位C. y平均减少约个单位D. y平均减少约3个单位5.从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是( )A. B. C. D.6.“”是“方程表示双曲线”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7.胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰泰勒在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例，泰勒还引用了古希历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方，如图，若，则由勾股定理，，即，因此可求得为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为856英尺的正方形，顶点P的投影在底面中心O，H为BC中点，根据以上信息，PH的长度单位：英尺约为( )A. B. C. D.8.已知，是双曲线的左、右焦点，若在右支上存在点A使得点到直线的距离为，则离心率e的取值范围是( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是( )A. r是q的充要条件B. p是q的充分条件而不是必要条件C. r是q的必要条件而不是充分条件D. r是s的充分条件而不是必要条件．10.下列选项中正确的有( )A. 一个数据的中位数与众数均有且只有一个B. 已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的回归方程可能是C. 将某选手的9个得分不完全相同去掉1个最高分，去掉1个最低分，则平均数一定会发生变化D. 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小11.已知方程和其中且m，，，它们所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是( )A. B.C. D.12.如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上一动点包括端点，则以下结论正确的有( )A. 三棱锥的体积为定值B.过点P平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为C.直线与平面所成角的正弦值的范围为D. 当点P与重合时，三棱锥的外接球的体积为三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差__________.14.已知正四棱柱的底面边长为2，侧面积为24，则此正四棱柱的外接球表面积为__________.15.若A，B互为对立事件，其概率分别为，，且，，则的最小值为__________.16.椭圆的右焦点为，点P为椭圆上的动点，点Q为圆上的动点，则的最大值为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。

2019-2020学年湖北省武汉市第二中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．设命题:2,ln(3)0p x x ∀<-+>，则p ⌝为（ ）． A ．2x ∃≥-，ln(3)0x +≤ B ．2x ∃<-，ln(3)0x +< C ．2x ∃<-，ln(3)0x +≤ D ．2x ∀<-，ln(3)0x +≤【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题 【详解】因为命题:2,ln(3)0p x x ∀<-+> 所以p ⌝：2x ∃<-，ln(3)0x +≤ 故选：C 【点睛】本题考查的是全称命题的否定，较简单.2．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A =“所取的3个球中至少有1个白球”，则事件A 的对立事件是（ ） A ．1个白球2个红球 B ．2个白球1个红球 C ．3个都是红球 D ．至少有一个红球 【答案】C【解析】试题分析：事件A =“所取的3个球中至少有1个白球” 说明有白球，白球的个数可能是1或2或3，和事件“1个白球2个红球”，“2个白球1个红球”，“至少有一个红球”都能同时发生，既不互斥，也不对立．故选C ． 【考点】互斥事件与对立事件．【方法点睛】对于A 选项：“1个白球2个红球”和“至少有1个白球”能同时发生，故它们不互斥，更谈不上对立了；对于B 选项：“2个白球1个红球”发生时，“至少有1个白球”也会发生，故两事件不对立；对于C 选项：“都是红球”说明没有白球，白球的个数是0，和“至少有1个白球”不能同时发生，是互斥事件，且必有一个发生，故C 选项符合题意；对于D 选项：“至少有1个红球”说明有红球，红球的个数可能是1或2或3，和“至少有1个白球”能同时发生，故两事件不互斥，也不对立．对立事件是在互斥的基础之上，在一次试验中两个事件必定有一个要发生．根据这个定义，对各选项依次加以分析，不难得出选项C 才是符合题意的答案．本题考查了随机事件当中“互斥”与“对立”的区别与联系，属于基础题．3．已知：,a b 表示不同的直线，,αβ表示不同的平面，现有下列命题：①//}////a b b a αα⇒，②}//a a b b αα⊥⇒⊥，③}//a b a b αα⊥⇒⊥，④//}////a a αβαβ⇒，其中真命题有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】试题分析：①中b αP 或b α⊂，故①错；②中设经过b 的平面与α交于c ，则b c P ，因为a α⊥，所以a c ⊥，所以a b ⊥，故②正确；③中a 可能在α内也可能与α平行还可能与α相交，故③错；④中a βP 或a β⊂，故④错，故选B ． 【考点】空间直线与平面的位置关系．4．01m <<是方程22121x y m m -=-表示椭圆的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】方程22121x ym m -=-表示椭圆，可得201021m m m m>⎧⎪-<⎨⎪≠-⎩，解出m 的范围即可判断出结论 【详解】若方程22121x y m m -=-表示椭圆，则有201021m m m m>⎧⎪-<⎨⎪≠-⎩，解得01m <<且13m ≠所以01m <<是方程22121x y m m -=-表示椭圆的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查的是椭圆的标准方程和充分、必要条件的知识，较简单.5．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ） A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -= 【答案】B【解析】根据渐近线的方程可求得,a b 的关系,再根据与椭圆221123x y +=有公共焦点求得c 即可. 【详解】双曲线C 的渐近线方程为2y x =,可知b a =①,椭圆221123x y +=的焦点坐标为(－3,0)和(3,0),所以a 2＋b 2＝9②,根据①②可知a 2＝4,b 2＝5. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了双曲线与椭圆的基本量求法,属于基础题型.6．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为（ ） A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】C【解析】现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,利用列举法求出基本事件有9种，齐王的马获胜包含的基本事件有6种，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率. 【详解】设齐王上等、中等、下等马分別为,,A B C ，田忌上等、中等、下等马分别为,,a b c ，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,基本事件有：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c B a B b B c C a C b C c ，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：()()()()()(),,,,,,,,,,,A a A b A c B b B c C c ，共 6种,∴齐王的马获胜的概率为6293P ==，故选C. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.7．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，且是奇数，其中恰有两个数字是偶数，则这样的五位数的个数为（ ）． A ．7200 B ．6480 C ．4320 D ．5040【答案】B【解析】以偶数数字取不取0，分两类讨论，每类用先取后排的策略即可 【详解】第一类，偶数数字取0先从1，3，5，7，9中取3个奇数，从2，4，6，8中取1个偶数，有315440C C =中取法，然后将个位数排一个奇数，十位、百位、千位 选一个出来排0，剩下3个数字全排列，即有11333354A A A =种排法所以本类满足条件的五位数有4054=2160⨯个 第二类，偶数数字不取0，先从1，3，5，7，9中取3个奇数，从2，4，6，8中取2个偶数，有325460C C =中取法，然后将个位数排一个奇数，剩下4个数字全排列， 即有143472A A =种排法所以本类满足条件的五位数有6072=4320⨯个 综上：这样的五位数个数为2160+4320=6480【点睛】数字问题是排列中的一大类问题，特别注意带有数字零的题目，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏.8．将四颗骰子各掷一次，记事件A=“四个点数互不相同”，B=“至少出现一个5点”，则概率(|)P B A等于（）．A．23B．16C．60671D．240671【答案】A【解析】根据条件概率的含义，(|)P B A其含义为在A发生的前提下，B发生的概率，即在“四个点数互不相同”的情况下，“至少出现一个5点”的概率，分别求得“四个点数互不相同”与“至少出现一个5点”的情况数目，进而相比可得答案【详解】根据条件概率的含义，(|)P B A其含义为在A发生的前提下，B发生的概率，即在“四个点数互不相同”的情况下，“至少出现一个5点”的概率，“四个点数互不相同”的情况数目为：6543=360⨯⨯⨯在“四个点数互不相同”的前提下，“至少出现一个5点”的情况数目为：65435432240⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=所以2402 (|)3603 P B A==故选：A【点睛】当遇到“至多”“至少”型题目时，一般用间接法求会比较简单.9．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为12，且是相互独立的，则灯亮的概率是()A．164B．5564C．18D．116【解析】设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为,T E 与F 至少有一个不闭合的事件为R ，则()()1131224P T P R ==-⨯=，所以灯亮的概率为()()1P P T P R =-⋅⋅ ()()3311551442264P C P D ⋅=-⨯⨯⨯=v v ， 故选B.【方法点睛】本题主要考查独立事件、对立事件的概率公式，属于难题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性与对立性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()11,M x y ，()11,N x y --在椭圆C 上，若1123MF NF =，且1120MF N ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（ ）．A ．B C ．10D ．7【答案】A【解析】由椭圆的对称性可知，四边形12MF NF 为平行四边形，且1120MF N ∠=︒，所以1260F MF ∠=︒，设2113,2MF m NF m MF ===，由余弦定理求得12F F ，由椭圆定义得25a m =，即可求出离心率. 【详解】由椭圆的对称性可知，四边形12MF NF 为平行四边形， 且1120MF N ∠=︒，所以1260F MF ∠=︒ 在12F MF △中，因为1123MF NF =， 所以可设2113,2MF m NF m MF === 由余弦定理得21222222112cos607M F F MF MF F m F M =+-︒=即12F F =，即2c =由椭圆的定义得1252MF a MF m +==故椭圆的离心率为7755c m e a m ===故选：A 【点睛】本题考查了椭圆的定义和几何性质的应用，也考查了椭圆离心率的求法，属于中档题. 11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点M 在棱AB 上，且1AM =，点P 是正方体下底面ABCD 内（含边界）的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为16，则动点P 到B 点的最小值是（ ）． A ．72B ．22C ．6D ．2【答案】C【解析】作PQ AD ⊥，11QR A D ⊥，PR 即为P 到直线11A D 的距离，从而可得PM PQ =，即点P 的轨迹是以AD 为准线，点M 为焦点的抛物线，然后建立平面直角坐标系求解. 【详解】如图所示，作PQ AD ⊥，Q 为垂足，则PQ ⊥面11ADD A 过点Q 作11QR A D ⊥，则11A D ⊥面PQR 所以PR 即为P 到直线11A D 的距离因为22216PR PQ RQ -==，2216PR PM -= 所以PM PQ =所以点P 的轨迹是以AD 为准线，点M 为焦点的抛物线如图建立直角坐标系，则点P 的轨迹方程是(22022y x y =≤≤点7,02B ⎛⎫⎪⎝⎭,设2,2y P y ⎛⎫⎪⎝⎭所以22422754922424y y y PB y ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭所以当25y =，PB 6故选：C 【点睛】本题考查的是立体几何中的垂直关系、解析几何中抛物线的定义及最值问题，属于较难题.12．甲乙两人进行乒乓球比赛，规定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，设比赛停止时已打局数为ξ，则(5)P ξ≥=（ ）．A ．320729B ．64729C ．2681D ．1681 【答案】D【解析】5ξ≥表示的是前4局中没有分出胜负，即前2局中各胜一局，第3、4局各胜一局，算出其概率即可 【详解】因为5ξ≥表示的是前4局中没有分出胜负, 即前2局中各胜一局， 第3、4局各胜一局所以2211222116(5)3381P C C ξ⎛⎫⎛⎫≥==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D 【点睛】本题考查的是独立重复试验有关的概率，属于中档题.二、填空题13．在二项式n的展开式中，当且仅当第6项的二项式系数最大，则n =__________．【答案】10【解析】利用二项式定理的展开式的二项式系数的性质即可求出 【详解】因为n-的展开式中，当且仅当第6项的二项式系数最大所以10n = 故答案为：10 【点睛】本题考查的是二项式定理的知识，较简单.14．某校有高级教师25人，中级教师100人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取40人进行调查，已知从其他教师中共抽取了15人，则该校共有教师_____人． 【答案】200【解析】由题意可先计算抽样比，再由抽样比求总人数． 【详解】设该校其他教师有x 人，则401525100x x=++，∴x=75，故全校教师共有25+100+75=200人．故答案为：200 【点睛】进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解： （1）n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．如果椭圆22184x y +=的弦被点(2,1)平分，则这条弦所在的直线方程是__________． 【答案】3y x =-+【解析】设直线与椭圆的两交点坐标为()()1122,,,x y x y ，代入椭圆方程，利用点差法求得斜率，然后求解直线方程 【详解】设直线与椭圆的两交点坐标为()()1122,,,x y x y则2211184x y +=，2222184x y +=两式作差可得()()()()12121212084x x x x y y y y +-+-+=因为弦被点(2,1)平分 所以12124,2x x y y +=+=所以1212022x x y y --+=，即12121y y x x -=-- 所以直线的斜率为1-所以直线的方程为：()112y x -=-⨯-，即3y x =-+ 故答案为：3y x =-+ 【点睛】点差法是求解中点弦问题的常用方法.16．一个口袋中有3个红球4个白球，从中取出2个球．下面几个命题： （1）如果是不放回地抽取，那么取出1个红球，1个白球的概率是27（2）如果是不放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是35（3）如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是1249（4）如果是有放回地抽取，那么第2次取到红球的概率和第1次取到红球的概率相同. 其中正确的命题是__________． 【答案】（2）（4）【解析】算出（1）和（3）中对应事件的概率即可判断其正确与否，（2）当中是条件概率，先算出至少取出一个红球的概率和至少取出一个红球且第2次取出红球的概率即可，（4）是正确的.【详解】如果是不放回地抽取，那么取出1个红球，1个白球的概率是3443476767⨯+⨯=，故（1）错误如果是不放回地抽取，至少取出一个红球的概率是34433257676767⨯+⨯+⨯=至少取出一个红球且第2次取出红球的概率是4332376767⨯+⨯=所以如果是不放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是337557=，故（2）正确如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是344324777749⨯+⨯=，故（3）错误如果是有放回地抽取，那么第2次取到红球的概率和第1次取到红球的概率相同都为37，故（4）正确故答案为：（2）（4）【点睛】抽取问题一定要注意是放回还是不放回.三、解答题17．已知1223nx x-⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求其展开式中的常数项．【答案】215T=【解析】代入1x=求得各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，根据二者相差992可得方程，解方程求出n，然后写出展开式的通项即可求出常数项.【详解】1223n x x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式各项系数和为1221431nn -⎛⎫ ⎪⎝⎭=+⨯二项式系数和为2n因为各项系数和比它的二项式系数和大992，即42992n n -= 所以5n =12253x x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为：()515522215533rr rr rrr T C x x C x---+⎛⎫==⎪⎝⎭令5502r-=，解得1r = 所以展开式中的常数项为：1125315T C ==【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及到二项式系数和、各项系数和的求解，特定项的求解，关键在于能够熟练运用展开式的通项公式，属于常见题型.18．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,495]，（495,500]，……（510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率． 【答案】12，【解析】19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=o ，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD AD ===，1BC =，3CD =()1求证：平面PQB ⊥平面PAD ；()2若3PM MC =，求二面角M BQ C --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）6π． 【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；（2）借助题设运用空间向量的数量积公式求解． 试题解析：（1）∵Q 为AD 的中点，2PA PD AD ===，1BC =，∴PQ AD ⊥，//QL BC ，∴四边形BCDQ 是平行四边形，∴//DC QB ， ∵底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=o ，∴BQ AD ⊥．又BQ PQ Q ⋂=，∴AD ⊥平面PQB ．∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ．…………6分（2）∵PQ AD ⊥，平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂底面ABCD AD =， ∴PQ ⊥底面ABCD ，以Q 为原点，QA 为x 轴，QB 为y 轴，QP 为轴z ，建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)Q，B，(C -，P ，设(,,)M a b c ，则34PM PC u u u u r u u u r=，即33(,,((44a b c -=-=-， ∴34a =-，b =c =∴3(4M -，3(,444QM u u u u r =-，QF u u u r =，设平面MQB 的法向量(,,)r x y z =r，则3·0{4·0n QM x y n QB =-+===u u u u r u u u r ， 取1x =，得r =r，平面BQC 的法向量(0,0,1)n =r．设二面角M BQ C --的平面角为θ，则·cos 2·m n m nθ==r rr r ，∴6πθ=，∴二面角M BQ C --的大小为6π．………………12分【考点】空间线面的位置关系及向量的数量积公式等有关知识的综合运用．20．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即终止.若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求袋中白球的个数；（2）用ξ表示甲，乙最终得分差的绝对值，求随机变量ξ的概率分布列及数学期望Eξ．【答案】（1）3；（2）x的概率分布列为：121945402435353535Eξ=⨯+⨯+⨯=.【解析】试题分析：（1）这属于古典概型问题，从7个球中任取两个，共有27C种取法，而如果其中有n个白球，则任取两个白球的取法为2n C，由题意有22717nCC=，解之得3n=；（2）首先要知道随机变量ξ的所有可能取值，由（1）可知，袋中有3个白球、4个黑球，甲四次取球可能的情况是：4个黑球、3黑1白、2黑2白、1黑3白.相应的分数之和为4分、5分、6分、7分；与之对应的乙取球情况：3个白球、1黑2白、2黑1白、3黑，相应分数之和为6分、5分、4分、3分；即x可能的取值是0,2,4.，再利用公式计算可得分布列和期望.试题解析：（1）设袋中原有n个白球，由题意,知2271(1) 776nC n nC-==⨯，解之得n=3或n=-2（舍去），即袋中原有3个白球；(2)由（1）可知，袋中有3个白球、4个黑球．甲四次取球可能的情况是：4个黑球、3黑1白、2黑2白、1黑3白.相应的分数之和为4分、5分、6分、7分；与之对应的乙取球情况：3个白球、1黑2白、2黑1白、3黑，相应分数之和为6分、5分、4分、3分；即x 可能的取值是0,2,4.31434712(0)35C C P C ξ⋅===； 4224434719(2)35C C C P C ξ+⋅===；1343474(4)35C C P C ξ⋅===， 所以x 的概率分布列为：1219454024********E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【考点】古典概型；随机变量的分布列和数学期望.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程;（2）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=，（2）存在符合条件的圆，且此圆的方程为227x y +=，定值为34-【解析】（1）利用离心率和点在椭圆上列出方程，解出,,a b c 即可（2）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，先将直线的方程与椭圆的方程联立，利用直线l 与椭圆有且仅有一个公共点，推出2243m k =+，然后通过直线与圆的方程联立，设()111,P x y ，()222,P x y ，结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出12k k 为定值，然后再验证直线l 的斜率不存在时也满足即可 【详解】（1）由题意得：12c a =，222a b c =+ 又因为点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上 所以221914a b +=解得2,1a b c ===所以椭圆的标准方程为：22143x y +=（2）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为227xy +=证明如下：假设存在符合条件的圆，且设此圆的方程为：222(0)x y r r +=> 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+由方程组22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2224384120k x kmx m +++-=因为直线l 与椭圆有且仅有一个公共点 所以()()()222184434120km k m ∆=-+-=即2243m k =+ 由方程组222y kx mx y r=+⎧⎨+=⎩得()2222120k x kmx m r +++-=则()()()222222410km k m r∆=-+->设()111,P x y ，()222,P x y ，则221212222,11km m r x x x x k k --+==++ 设直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k所以()()()221212121212121212kx m kx m k x x km x x my y k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r kmk km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+ 将2243m k =+代入上式得()2212224343r k k k k r-+=+-要使得12k k 为定值，则224343r r-=-，即27r = 所以当圆的方程为227xy +=时，圆与l 的交点1P ，2P 满足12k k 为定值34-当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =± 此时圆与l 的交点1P ，2P 也满足12k k 为定值34- 综上：当圆的方程为227xy +=时，圆与l 的交点1P ，2P 满足12k k 为定值34- 【点睛】涉及圆、椭圆的弦长、交点、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.22．为了推广电子支付，某公交公司推出支付宝和微信扫码支付乘车优惠活动，活动期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，现用y 表示活动推出第x 天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：x1 2 3 4 5 6 7 y612233465106195表1根据以上数据绘制了散点图．（1）根据散点图判断，在活动期内，y a bx =+与x y c d =⋅（c ，d 均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据建立y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）优惠活动结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下车队为缓解周边居民出行压力，以90万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知每辆车每个月的运营成本约为0.978万元．已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有112的概率享受6折优惠，有16的概率享受7折优惠，有14的概率享受8折优惠，有12的概率享受9折优惠．预计该车队每辆车每个月有1.5万人次乘车，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要()*n n N ∈年才能开始盈利，求n 的值． 参考数据：其中lg i i v y =，7117i i v v ==∑．参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆvu αβ=+⋅的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-⋅=-∑∑，ˆˆv u αβ=-⋅．【答案】（1）x y c d =⋅适宜作为扫码支付的人次y 关于x 的回归方程类型，（2）$0.253.5510x y =⨯，第8天使用扫码支付的人次为355，（3）5n = 【解析】（1）根据散点图判断x y c d =⋅适宜作为扫码支付的人次y 关于x 的回归方程类型（2）由x y c d =⋅两边同时取对数得()lg lg lg lg xy c dc d x =⋅=+⋅，设lg y v =，即lg lg v c d x =+⋅，然后按照公式计算即可（3）先列出一名乘客乘车支付的费用的分布列，然后算出其平均值，然后根据条件即可建立不等式求解 【详解】（1）根据散点图判断xy c d =⋅适宜作为扫码支付的人次y 关于x 的回归方程类型（2）因为xy c d =⋅，两边同时取对数得()lg lg lg lg xy c dc d x =⋅=+⋅设lg y v =，即lg lg v c d x =+⋅ 因为4x =， 1.55v =，721140i i x =∑=所以·7117222750.474 1.5570.2514074287lgi i i ii v x vx d xx ==-⋅-⨯⨯===-⨯-=∑∑ 把样本中心点()4,1.55代入lg lg v c d x =+⋅得¶lg 0.55c = 所以0.550.25vx =+$，即·lg 0.550.25y x =+ 所以y 关于x 的回归方程为$0.550.250.2510 3.5510x x y +==⨯ 把8x =代入上式得$355y =所以活动推出第8天使用扫码支付的人次为355 （3）记一名乘客乘车支付的费用为Z ， 则Z 的取值可能为2，1.8，1.6，1.4，1.2()20.1P Z ==；()11.80.360.182P Z ==⨯=()11.60.540.360.634P Z ==+⨯=；()11.40.360.066P Z ==⨯=()11.20.360.0312P Z ==⨯=第 21 页 共 21 页 其分布列为：所以，一名乘客一次乘车的平均费用为： 20.1 1.80.18 1.60.63 1.40.06 1.20.03 1.652⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因为每辆车每个月的运营成本约为0.978万元，每辆车每个月有1.5万人次乘车， 买车费用是90万元，假设经过x 年开始盈利所以12 1.652 1.5120.978900x x ⨯⨯-⨯-≥解得5x ≥，即第五年开始盈利，5n =【点睛】本题主要考查用样本估计总体和变量的相关关系，属于基础题，对计算能力要求较高.。

绝密★启用前2016-2017学年湖北省武汉市第二中学高二上学期期末考试数学（理）试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．已知a +2ii =b +i （a ,b 是实数），其中i 是虚数单位，则a b =（ ）A. -2B. -1C. 1D. 32．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1=−2,S 3=0，则{a n }的公差为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43．已知集合A ={1,2,3,4},B ={x |y =2x ,y ∈A }则A ∩B =（ ）A. {2}B. {1,2}C. {2,4}D. {1,2,4}4．在平面直角坐标系x O y 中，不等式组{x −y −1≤0x +y −1≤0x ≥−1表示的平面区域的面积为 （ ）A. 2B. 4C. 6D. 85．命题p :甲的数学成绩不低于100分，命题q :乙的数学成绩低于100分，则p ∨(¬q )表示 （ ）A. 甲、乙两人数学成绩都低于100分B. 甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C. 甲、乙两人数学成绩都不低于100分D. 甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分6．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）A. 104人B. 108人C. 112人D. 120人7．执行如图所示的程序框图，若分别输入1，2，3，则输出的值的集合为 （ ）A. {1,2}B. {1,3}C. {2,3}D. {1,3,9}8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 72B. 143C. 7D. 149．设曲线x=2y−y2上的点到直线x−y−2=0的距离的最大值为a，最小值为b，则a−b的值为（）A. 22B. 2 C. 22+1 D. 210．函数y=sin x−1x的图象大致是（）A. B.C. D.11．已知ΔA B C的外接圆半径为2，D为该圆上的一点，且A B+A C=A D，则ΔA B C的面积的最大值为（）A. 3B. 4C. 33D. 4312．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P为双曲线C上一点，Q为双曲线C渐近线上一点，P、Q均位于第一象限，且Q P=PF2,Q F1·Q F2=0，则双曲线C的离心率为（）A. 5−1B. 3C. 3+1D. 5+113．已知tanα=2，则sinα+co sα2sinα+cosα=__________．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题14．若直线(a +1)x −y +2=0与直线x +(a −1)y −1=0平行，则实数a 的值为__________．15．已知x =0是函数f (x )=(x −2a )(x 2+a 2x +2a 3)的极小值点，则实数a 的取值范围是__________．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 1=1,a 2=2,S n +1=a n +2−a n +1(n ∈N ∗)，若不等式λS n >a n 恒成立，则实数λ的取值范围是__________．三、解答题17．已知向量a =(sin x ,cos x )，b =(cos (x +π6)+sin x ,cos x )，函数f (x )=a ·b ．（1）求f (x )的单调递增区间；（2）若α∈(0,π2)且cos (α+π12)=13，求f (α)．18．心理学家分析发现“喜欢空间想象”与“性别”有关，某数学兴趣小组为了验证此结论，从全体组员中按分层抽样的方法抽取50名同学（男生30人、女生20人），给每位同学立体几何题、代数题各一道，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况统（1）能否有97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关？（2）经统计得，选择做立体几何题的学生正答率为45，且答对的学生中男生人数是女生人数的5倍，现从选择做立体几何题且答错的学生中任意抽取两人对他们的答题情况进行研究，求恰好抽到男女生各一人的概率．附表及公式：K 2=n (a d −b c )2a b c d a c b d 19．如图,在三棱柱A B C −A 1B 1C 1中，D 为A B 的中点，C D ⊥D A 1,A C ⊥B C ,∠A BB 1=450，A C =B C =B B 1=2．（1）证明：B1D⊥B D；（2）求点A到平面A1C D的距离．20．过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C相交于A、B两点，|A B|=855，点P是椭圆C上的动点，且cos∠F1PF2的最小值为35．（1）求椭圆C的方程；（2）过点(−2,0)的直线l与椭圆相交于M、N两点，求F2B·F2N的取值范围．21．已知函数f(x)=x−ae x+b(a>0,b∈R)．（1）求f(x)的最值；（2）若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2，证明：x1+x2<−2ln a．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y中，直线l:{x=ty=5+2t（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4=0．（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2）已知点A(0,5)，直线l与曲线C相交于点M、N，求1|A M|+1|A N|的值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x−a|+|x+b|(a>0,b>0)．（1）若a=1,b=2，解不等式f(x)≤5；（2）若f(x)的最小值为3，求a2b +b2a的最小值．参考答案1．A【解析】解析：由题设可得a +2i =b i −1，则a =−1,b =2，故a b =−2，应选答案A 。

2016-2017学年湖北省武汉二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6 B．8 C．10 D．122．已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是（）A．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3 B．若a+b+c=3，则a2+b2+c2＜3C．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3 D．若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=33．设f（x）是区间[a，b]上的函数，如果对任意满足a≤x＜y≤b的x，y都有f （x）≤f（y），则称f（x）是[a，b]上的升函数，则f（x）是[a，b]上的非升函数应满足（）A．存在满足x＜y的x，y∈[a，b]使得f（x）＞f（y）B．不存在x，y∈[a，b]满足x＜y且f（x）≤f（y）C．对任意满足x＜y的x，y∈[a，b]都有f（x）＞f（y）D．存在满足x＜y的x，y∈[a，b]都有f（x）≤f（y）4．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知集合A，B，C满足A∪B={a，b，c}，则满足条件的组合（A，B）共有（）组．A．4 B．8 C．9 D．276．设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则α⊥β；②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥n，则m⊥l；③若α⊥β，α⊥γ，则α∥β其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．“a=﹣2”是“直线（a+2）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+（a+2）y﹣3=0相互垂直”的（）条件．A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分也非必要8．已知△ABC中，C=90°，AB=2AC，在斜边AB上任取一点P，则满足∠ACP≤30°的概率为（）A．B．C．D．9．如图，一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的线条爬行到点C，再由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B，则它可以爬行的不同的最短路径有（）条．A．40 B．60 C．80 D．12010．已知椭圆和点、，若椭圆的某弦的中点在线段AB上，且此弦所在直线的斜率为k，则k的取值范围为（）A．[﹣4，﹣2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣4，﹣1]D．11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足，则点M到直线AB的最短距离为（）A．B．C．D．12．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点F作直线交该双曲线于A、B两点，P为x轴上一点，且|PA|=|PB|，若|AB|=8，则|FP|=（）A．2 B．4 C．8 D．16二、填空题（每小题5分，共20分）13．将4034与10085的最大公约数化成五进制数，结果为．14．我校篮球队曾多次获得全国中学生篮球赛冠军！在一次比赛中，需把包括我校篮球队在内的7个篮球队随机地分成两个小组（一组3个队，一组4个队）进行小组预赛，则我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组的概率为．15．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，AB=3，AD=1，AA1=2，且∠BAA1=∠DAA1=60°．则异面直线AC与BD1所成角的余弦值为．16．如图，A，B为抛物线y2=4x上的两点，F为抛物线的焦点且FA⊥FB，C为直线AB上一点且横坐标为﹣1，连结FC．若|BF|=3|AF|，则tanC=．三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共计70分）17．用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算：（1）能组成多少个没有重复数字的三位数？（2）可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数？（3）求2×3×4×6即144的所有正约数的和．（注：每小题结果都写成数据形式）18．已知命题p：不等式x2﹣ax﹣8＞0对任意实数x∈[2，4]恒成立；命题q：存在实数θ满足；命题r：不等式ax2+2x﹣1＞0有解．（1）若p∧q为真命题，求a的取值范围．（2）若命题p、q、r恰有两个是真命题，求实数a的取值范围．19．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值，并说明理由．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（1）求证：PD⊥PB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．21．甲乙两人下棋比赛，规定谁比对方先多胜两局谁就获胜，比赛立即结束；若比赛进行完6局还没有分出胜负则判第一局获胜者为最终获胜且结束比赛．比赛过程中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛相互独立．求：（1）比赛两局就结束且甲获胜的概率；（2）恰好比赛四局结束的概率；（3）在整个比赛过程中，甲获胜的概率．22．已知椭圆C： +=1 （a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）斜率为2的直线与椭圆交于P、Q两点OP⊥OQ，求直线l的方程；（3）在x上是否存在一点E使得过E的任一直线与椭圆若有两个交点M、N则都有为定值？若存在，求出点E的坐标及相应的定值．2016-2017学年湖北省武汉二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】分层抽样方法．【分析】根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．【解答】解：∵高一年级有30名，在高一年级的学生中抽取了6名，故每个个体被抽到的概率是=∵高二年级有40名，∴要抽取40×=8，故选：B．2．已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是（）A．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3 B．若a+b+c=3，则a2+b2+c2＜3C．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3 D．若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=3【考点】四种命题．【分析】若原命题是“若p，则q”的形式，则其否命题是“若非p，则非q”的形式，由原命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”，我们易根据否命题的定义给出答案．【解答】解：根据四种命题的定义，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是“若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3”故选A3．设f（x）是区间[a，b]上的函数，如果对任意满足a≤x＜y≤b的x，y都有f （x）≤f（y），则称f（x）是[a，b]上的升函数，则f（x）是[a，b]上的非升函数应满足（）A．存在满足x＜y的x，y∈[a，b]使得f（x）＞f（y）B．不存在x，y∈[a，b]满足x＜y且f（x）≤f（y）C．对任意满足x＜y的x，y∈[a，b]都有f（x）＞f（y）D．存在满足x＜y的x，y∈[a，b]都有f（x）≤f（y）【考点】抽象函数及其应用．【分析】由已知中关于升函数的定义，结合全称命题否定的方法，可得答案．【解答】解：若f（x）是[a，b]上的升函数，则对任意满足a≤x＜y≤b的x，y都有f（x）≤f（y），故若f（x）是[a，b]上的非升函数，则存在a≤x＜y≤b的x，y，使得f（x）＞f（y），故选：A．4．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．【解答】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B5．已知集合A，B，C满足A∪B={a，b，c}，则满足条件的组合（A，B）共有（）组．A．4 B．8 C．9 D．27【考点】并集及其运算．【分析】根据当A=∅，A={a}，A={b}，A={c}，A={a，b}，A={a，c}，A={b，c}，A={a，b，c}等种情况分类讨论，能求出满足条件的组合（A，B）共有多少组．【解答】解：∵集合A，B，C满足A∪B={a，b，c}，∴当A=∅时，B={a，b，c}；当A={a}时，满足条件的B可能是{a，b，c}，{b，c}；当A={b}时，满足条件的B可能是{a，b，c}，{a，c}；当A={c}时，满足条件的B可能是{a，b，c}，{a，b}；当A={a，b}时，满足条件的B可能是{a，b，c}，{a，c}，{b，c}，{c}；当A={a，c}时，满足条件的B可能是{a，b，c}，{a，b}，{b，c}，{b}；当A={b，c}时，满足条件的B可能是{a，b，c}，{a，c}，{a，b}，{a}；当A={a，b，c}时，满足条件的B可能是{a，b，c}，{a，c}，{b，c}，{a，b}，{a}，{b}，{c}，∅．∴满足条件的组合（A，B）共有27组．故选：D．6．设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则α⊥β；②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥n，则m⊥l；③若α⊥β，α⊥γ，则α∥β其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对3个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则根据平面与平面垂直的判定，可得α⊥β，正确；②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥n，则根据三垂线定理可得m⊥l，正确；③若α⊥β，α⊥γ，则α∥β或α，β相交，不正确．故选C．7．“a=﹣2”是“直线（a+2）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+（a+2）y﹣3=0相互垂直”的（）条件．A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分也非必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对a分类讨论，利用直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：a=﹣2时，两条直线分别化为：﹣6y+1=0，﹣4x﹣3=0，此时两条直线相互垂直，满足条件；a=0时，两条直线分别化为：2x+1=0，﹣2x+2y﹣3=0，此时两条直线不垂直，舍去；a≠﹣2或0时，由“直线（a+2）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+（a+2）y﹣3=0相互垂直”，可得：﹣×=﹣1，解得a=．∴“a=﹣2”是“直线（a+2）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+（a+2）y﹣3=0相互垂直”的充分不必要条件．故选：B．8．已知△ABC中，C=90°，AB=2AC，在斜边AB上任取一点P，则满足∠ACP≤30°的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】△ABC中，C=90°，AB=2AC，B=30°，∠ACP=30°，则CP⊥AB，求出AP 长度，即可得出结论．【解答】解：△ABC中，C=90°，AB=2AC，B=30°，∠ACP=30°，则CP⊥AB，设AC长为1，则AB=2，AP=∴满足∠ACP≤30°的概率为=，故选C．9．如图，一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的线条爬行到点C，再由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B，则它可以爬行的不同的最短路径有（）条．A．40 B．60 C．80 D．120【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】由题意，从A到C最短路径有C53=10条，由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B，最短路径有C42=6条，即可求出它可以爬行的不同的最短路径．【解答】解：由题意，从A到C最短路径有C53=10条，由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B，最短路径有C42=6条，∴它可以爬行的不同的最短路径有10×6=60条，故选B．10．已知椭圆和点、，若椭圆的某弦的中点在线段AB上，且此弦所在直线的斜率为k，则k的取值范围为（）A．[﹣4，﹣2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣4，﹣1]D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意设出椭圆的某弦的两个端点分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），中点为M（x0，y0），把P、Q的坐标代入椭圆方程，作差得到PQ的斜率与AB中点坐标的关系得答案．【解答】解：设椭圆的某弦的两个端点分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），中点为M（x0，y0），则，，两式作差可得：，即=，由题意可知，y0≤1，∴k=（y0≤1），则k∈[﹣4，﹣2]．故选：A．11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足，则点M到直线AB的最短距离为（）A．B．C．D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M到直线AB的最短距离．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则P（2，0，2），C（0，4，0），设M（a，b，0），0≤a≤4，0≤b≤4，则=（2﹣a，﹣b，2），=（﹣a，4﹣b，0），∵，∴=﹣2a+a2﹣4b+b2=（a﹣1）2+（b﹣2）2=5，∴M为底面ABCD内以O（1，2）为圆心，以r=为半径的圆上的一个动点，∴点M到直线AB的最短距离为：4﹣1﹣=3﹣．故选：C．12．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点F作直线交该双曲线于A、B两点，P为x轴上一点，且|PA|=|PB|，若|AB|=8，则|FP|=（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】双曲线的简单性质．【分析】设弦AB的中点为（m，n），双曲线的右焦点为（c，0），右准线方程为x=，直线AB的方程为y=k（x﹣c），代入双曲线的方程，消去y，运用两根之和，运用双曲线的第二定义可得|AB|，以及P的坐标，计算即可得到．【解答】解：设弦AB的中点为（m，n），双曲线的右焦点为（c，0），右准线方程为x=，由e=2，即c=2a，b=a．直线AB的方程为y=k（x﹣c），代入双曲线的方程，可得（b2﹣a2k2）x2+2ca2k2x﹣a2c2k2﹣a2b2=0，即为（3a2﹣a2k2）x2+4a3k2x﹣4a4k2﹣3a4=0，x1+x2=．则由双曲线的第二定义可得|AB|=|AF+|BF|=2（x1﹣）+2（x2﹣）=2（x1+x2）﹣2a=8，即有2•=8+2a，即=8，①则m=，n=k（m﹣2a）=，弦AB的中垂线方程为y﹣n=﹣（x﹣m），可得P（，0），则|PF|=|﹣2a|=||，由①可得，|PF|=8．故选C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．将4034与10085的最大公约数化成五进制数，结果为31032（5）．【考点】进位制．【分析】先求出4034与10085的最大公约数．再用这个数值除以5，得到商和余数．再用商除以5，得到余数和商，再用商除以5，得到商是0，这样把余数倒序写起来就得到所求的结果．【解答】解：10085=4034×2+2017，4034=2017×2∴4034与10085的最大公约数就是2017．又∵2017÷5=403 (2)403÷5=80…3，80÷5=16…0，16÷5=3…1，3÷5=0…3，，∴将十进制数2017化为五进制数是31032（5）故答案为：31032（5）14．我校篮球队曾多次获得全国中学生篮球赛冠军！在一次比赛中，需把包括我校篮球队在内的7个篮球队随机地分成两个小组（一组3个队，一组4个队）进行小组预赛，则我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n=，再求出我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组包含的基本事件个数m=，由此能求出我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组的概率．【解答】解：包括我校篮球队在内的7个篮球队随机地分成两个小组（一组3个队，一组4个队）进行小组预赛，基本事件总数n=，我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组包含的基本事件个数为：m=，∴我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组的概率：p===．故答案为：．15．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，AB=3，AD=1，AA1=2，且∠BAA1=∠DAA1=60°．则异面直线AC与BD1所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】建立如图所示的坐标系，求出=（3，1，0），=（﹣3，2，），即可求出异面直线AC与BD1所成角的余弦值．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），C（3，1，0），B（3，0，0），D1（0，2，），∴=（3，1，0），=（﹣3，2，），∴异面直线AC与BD1所成角的余弦值为||=，故答案为：．16．如图，A，B为抛物线y2=4x上的两点，F为抛物线的焦点且FA⊥FB，C为直线AB上一点且横坐标为﹣1，连结FC．若|BF|=3|AF|，则tanC=．【考点】抛物线的简单性质．【分析】如图所示，设|AF|=a，|BF|=3a，可得|AB|=a，做FH⊥AB于H，求出|FH|，|CH|，即可得出结论．【解答】解：如图所示，设|AF|=a，|BF|=3a，可得|AB|=a，作AA′⊥l（l为抛物线的准线），则|A A′|=|AF|=a，|BB′|=|BF|=3a，|A′B′|=|AD|=a．△CA′A∽△CB′B，可得=，CA=AB=a，做FH⊥AB于H，△ABF三边长为a，3a，a，∴|FH|=a，|AH|=a，∴tanC===，故答案为．三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共计70分）17．用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算：（1）能组成多少个没有重复数字的三位数？（2）可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数？（3）求2×3×4×6即144的所有正约数的和．（注：每小题结果都写成数据形式）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】（1）根据题意，分2步进行分析：①、对于百位，百位数字只能是2、3、4、6中之一，②、百位数字确定后，在剩下的4个数字中选取2个，排在十位和个位，计算出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；（2）由题意，能被3整除的且没有重复数字的三位数只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6组成，据此分4种情况讨论，求出每一步的选法数目，由分类计数原理计算可得答案；（3）根据题意，分析可得144=24×32，进而由约数和公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，分2步进行分析：①、对于百位，百位数字只能是2、3、4、6中之一，有C41种选法，②、百位数字确定后，在剩下的4个数字中选取2个，排在十位和个位，则十位和个位数字的组成共有种方法，故可以组成没有重复数字的三位数共有个；（2）由题意，能被3整除的且没有重复数字的三位数只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6组成．分4种情况讨论：①、三位数由2、4、0组成，首位数字有2、4两种情况，在剩下的3个数字中选取2个，排在十位和个位，此时共有C21A22种选法；②、三位数由2、4、3组成，将3个数字全排列，排在百位、十位和个位，此时有A33种选法；③、三位数由2、4、6组成，将3个数字全排列，排在百位、十位和个位，此时有A33种选法；④、三位数由0、3、6组成，首位数字有3、6两种情况，在剩下的3个数字中选取2个，排在十位和个位，此时共有C21A22种选法；共有个被3整除的没有重复数字的三位数，（3）根据题意，144=24×32，则144的所有正约数的和为．18．已知命题p：不等式x2﹣ax﹣8＞0对任意实数x∈[2，4]恒成立；命题q：存在实数θ满足；命题r：不等式ax2+2x﹣1＞0有解．（1）若p∧q为真命题，求a的取值范围．（2）若命题p、q、r恰有两个是真命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）若p∧q为真命题，则命题p，q均为真命题，进而可得a的取值范围．（2）根据命题p、q、r恰有两个是真命题，可得满足条件的实数a的取值范围．【解答】解：（1）若命题p为真命题，则对任意实数x∈[2，4]恒成立∴，即a＜﹣2．…若命题q为真命题，则，∴又∵p∧q为真命题，∴命题p，q均为真命题，∴﹣3≤a＜﹣2…..即a的取值范围为[﹣3，﹣2）…（2）若不等式ax2+2x﹣1＞0有解，则当a＞0时，显然有解；当a=0时，ax2+2x﹣1＞0有解；当a＜0时，∵ax2+2x﹣1＞0有解，∴△=4+4a＞0，∴﹣1＜a＜0，∴不等式ax2+2x﹣1＞0有解等价于a＞﹣1，…∴若命题p、q、r恰有两个是真命题，则必有﹣3≤a＜﹣2或﹣1＜a＜1即a的取值范围为[﹣3，﹣2）∪（﹣1，1）．…19．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值，并说明理由．【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据各组的累积频率为1，构造方程，可得a值；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数；（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进而可得x值．【解答】解：（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，∴a=0.3；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12，由30×0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73＜85%；月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞85%；则x=2.5+0.5×=2.9吨20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（1）求证：PD⊥PB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）推导出PD⊥AB，PD⊥PA，从而PD⊥面PAB，由此能证明PD⊥PB．（2）取AD中点为O，连结CO，PO，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值．（3）假设存在M点使得BM∥面PCD，设，M（0，y'，z'），利用向量法能求出存在M点，即当时，M点即为所求．【解答】证明：（1）∵面PAD⊥面ABCD=AD，AB⊥AD，∴AB⊥面PAD，∴PD⊥AB又∵PD⊥PA，∴PD⊥面PAB，∴PD⊥PB．…解：（2）取AD中点为O，连结CO，PO，∵∴CO⊥AD∵PA=PD∴PO⊥AD以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），则=（1，1，﹣1），=（0，﹣1，﹣1），=（2，0，﹣1），=（﹣2，﹣1，0）．设=（x，y，z）为面PDC的法向量，则，取x=1，得=（1，﹣2，2），设PB与面PCD所成角为θ，则sinθ==，∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．…（3）假设存在M点使得BM∥面PCD，设，M（0，y'，z'），由（2）知A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，∴，∵BM∥面PCD，为PCD的法向量，∴即∴综上所述，存在M点，即当时，M点即为所求．…21．甲乙两人下棋比赛，规定谁比对方先多胜两局谁就获胜，比赛立即结束；若比赛进行完6局还没有分出胜负则判第一局获胜者为最终获胜且结束比赛．比赛过程中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛相互独立．求：（1）比赛两局就结束且甲获胜的概率；（2）恰好比赛四局结束的概率；（3）在整个比赛过程中，甲获胜的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）由题意可知比赛两局就结束且甲获胜必须第一、第二局比赛都是甲获胜，由此能求出比赛两局就结束且甲获胜的概率．（2）由题意知前两局比赛为平手，第三、第四局比赛为同一个人胜，由此能求出恰好比赛四局结束的概率．（3）由题意知在整个比赛过程中第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四比赛两人也为平手，第五、第六局都为甲获胜，或者在第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四局比赛两人也为平手，第五、第六局比赛为平手但第一局是甲获胜．由此能求出甲获胜的概率．【解答】解：（1）由题意可知比赛两局就结束且甲获胜必须第一、第二局比赛都是甲获胜，∴比赛两局就结束且甲获胜的概率为；…（2）由题意知前两局比赛为平手，第三、第四局比赛为同一个人胜，∴恰好比赛四局结束的概率为；…（3）由题意知在整个比赛过程中第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四比赛两人也为平手，第五、第六局都为甲获胜，或者在第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四局比赛两人也为平手，第五、第六局比赛为平手但第一局是甲获胜．∴在整个比赛过程中，甲获胜的概率为．…22．已知椭圆C： +=1 （a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）斜率为2的直线与椭圆交于P、Q两点OP⊥OQ，求直线l的方程；（3）在x上是否存在一点E使得过E的任一直线与椭圆若有两个交点M、N则都有为定值？若存在，求出点E的坐标及相应的定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由已知，，又a2=b2+c2，解出即可得出．（2）设直线l的方程为y=2x+t，则，可得，根据OP⊥OQ，可得k OP•k OQ=﹣1，解出即可得出．（3）设E（m，0）、M（x1，y1）、N（x2，y2），当直线n不为x轴时的方程为x=ty+m，与椭圆方程联立化为（t2+4）y2+2tmy+（m2﹣4）=0，利用根与系数的关系可得：为定值5．【解答】解：（1）由已知，，又a2=b2+c2，解得，∴椭圆的方程为．…（2）设直线l的方程为y=2x+t，则由，可得，即∵OP⊥OQ，∴，∴直线l的方程为y=2x±2即2x﹣y±2=0．…（3）设E（m，0）、M（x1，y1）、N（x2，y2），当直线n不为x轴时的方程为x=ty+m，联立椭圆方程得：⇒（t2+4）y2+2tmy+（m2﹣4）=0，∴…=…∴当且仅当32﹣8m2=2m2+8即时（定值）．即在x轴上存在点E使得为定值5，点E的坐标为或．经检验，当直线AB为x轴时上面求出的点E也符合题意．…。

仙桃中学、武汉二中2022-2022学年度上学期期末联考高二年级数学理科试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 若直线 = 1的倾斜角为α, 则α（ ）A 等于0B 等于C 等于D 不存在 2 下列命题中不正确的是（ ） A 若ααα⊂==⊂⊂l B b l A a l b a 则，,,,B 若∥，∥，则∥C 若，，∥，则∥D 若一直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外 3 已知圆C ：2 2－2－4－20 = 0，则过原点的直线中，被圆C 所截得的最长弦与最短弦的长度之和为（ ）A 10＋4B 10＋2C 5＋4D 5＋24 长轴在轴上, 短半轴长为1, 两准线之间的距离最近的椭圆的标准方程是 （ ）A 1y 2x 22=+ B 12y x 22=+C 1y 3x 22=+D 1y 4x 22=+ 5 已知直线: abc=0与直线′关于直线=0对称, 则′的方程为 （ ） A ba －c=0 B a －b －c=0 C abc=0 D a －bc=06 已知t ＞1, 且=t 1t -+, =1t t --, 则, 之间的大小关系是（ ）A ＞B =C ＜D , 的关系随t 而定7 以=±为渐近线, 且过点－3, 的双曲线的标准方程为（ ）A 2－92=45B 92－2=45C 2－32=21D 32－2=218 如图, 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中, 侧棱BB 1与底面所成角为30°, 且在底面上的射影BH ∥AC, ∠B 1BC=60°, 则∠ACB 的余弦值为 （ ）A33BC 23 D63 9满足条件5y )4x ()3y (x 2222=+-+-+的动点515315⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,515⎥⎦⎤ ⎝⎛315,1⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,515⎥⎦⎤ ⎝⎛315,1、n 、、t, mn=2, 9m n s t +=, 其中m 、n 是常数, 且t 的最小值是, 满足条件的点m, n 是椭圆22142x y +=某弦的中点, 则此弦所在直线方程为（ ）A －21=0B 2－－1=0C 2－3=0D 2－3=0二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中相应的横线上）11 双曲线42－264=0上一点⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12y 3x 4x y 0x 1x 32y x +++2b 1+2π2π1C 在棱A 1B 1上1 求证: DM ⊥AD 1;2 当M 为A 1B 1的中点时, 求CM 与平面DC 1所成角的正弦值;3 当A 1M ＝A 1B 1时, 求点C 到平面D 1DM 的距离 18 本小题满分12分设F 1、F 2为椭圆 14922=+y x 的两个焦点,||||21PF PF 1C 13(,)28P -58y =-是C 上不在上的动点; A 、B 在上, MA ⊥, MB ⊥轴如图1 求曲线C 的方程;2 求出直线的方程，使得2||||QB QA 为常数A BC DA 1B 1C 1D 1MD 1A 11C 1DACEG仙桃中学、武汉二中2022-2022学年度上学期期末联考高二年级数学理科试卷参考答案一、选择题CDAAA CBADD 二、填空题11 17 12 [3, 11] 13 32 14 423 15 5 三、解答题16 解: 由⎩⎨⎧=-+=--01202yx yx 得012=-+y x 21=k )1(211-=+x y 032=--y x 1C 平面A 1DCB 1 2 在平面A 1C 1内过点M 作MN ∥B 1C 1, 交D 1C 1于N,则MN ⊥平面DC 1, 连NC则∠MCN 为CM 与平面DC 1所成角 …………6分 ∵MN=B 1C 1=6, MC=2121MB C B +=9 ∴in ∠MCN==, 即所求正弦值为……8分3 连C 1M, 作C 1H ⊥D 1M 于点H, ∵DD 1⊥平面A 1C 1 ∴D 1D ⊥C 1H∴C 1H ⊥平面D 1DM, C 1H 为C 1到平面D 1DM 的距离 又CC 1∥D 1D D 1D 平面D 1DM CC 1平面D 1DM⇒ ⇒AD 1⊥DM …4分 ⇒CC 1∥单面D 1DM⇒C 到单面D 1DM的距离为C 1H …………10分A BC DA 1B 1C 1D 1MAD 1⊥平面A 1DCB 1∵C 1H ·D 1M=S △=18, 而D 1M=21211M A D A += ∴C 1H=∴C 到平面D 1DM 的距离为…………………………………………12分 18 解: 由已知 得 |1F 1F 2F 2F 1F 3143427||||21=PF PF 1F 2||||21=PF PF 1A 1100+=+x y x y 1100－－－x y x y =1120222－－－x y x y =22)83y ()21x (-++22)83y ()21x (-++, 2x x 2+, 直线: =, 则B, ,从而|QB|=2k 1+|1| ………………………………………………6分 在Rt △QMA 中, 因为 |QM|2=121,,|MA|2=222k1)2x k ()1x (+-+, 所以|QA|2=|QM|2－|MA|2=)k 1(4)1x (22++22 所以|QA|=2k12|2kx ||1x |++⋅+,………………………………………………9分|QA ||QB |2=|k |k 1)k 1(222++·k 2x 1x ++……………………………………12分当=2时, |QA ||QB |2=5,从而所求直线的方程为2－2=0 ……………………………………14分D 1A 1B 1C 1D ACEG。

湖北省武汉市第二中学2018年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 平面几何中，有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：C2. 已知函数f（x）=2x+（x＞0），则( )A．x=±1时，函数f（x）的最小值为4 B．x=±2时，函数f（x）的最小值为2C．x=1时，函数f（x）的最小值为4 D．x=2时，函数f（x）的最小值为2参考答案：C考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x＞0，∴f（x）≥2×=4，当且仅当x=1时取等号．∴函数f（x）的最小值为4．故选：C．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值参考答案：D【考点】棱柱的结构特征．【分析】利用证线面垂直，可证AC⊥BE；判断A正确；根据正方体中上下面平行，由面面平行的性质可证，线面平行，从而判断B正确；根据三棱锥的底面面积与EF的位置无关，高也与EF的位置无关，可判断C正确；例举两个特除位置的异面直线所成的角的大小，根据大小不同判断D错误．【解答】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE?平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正确；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF?平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正确；∵EF=，∴△BEF的面积为定值×EF×1=，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A﹣BEF的高，∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E与D1重合时sinα=，α=30°；当F与B1重合时tanα=，∴异面直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误；故选D．【点评】本题考查了异面直线所成的角及求法，考查了线面垂直、面面平行的性质，考查了学生的空间想象能力及作图分析能力．4. 有个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A．36种 B．48种 C．72种 D． 96种参考答案：C5. 下列命题正确的是（）A．存在x0∈R，使得x02-1＜0的否定是：任意x∈R，均有x02-1＞0B．存在x0∈R，使得e x0≤0的否定是：不存在x0∈R，使得e x0＞0C．若p或q为假命题，则命题p与q必一真一假D．若x=3，则x2-2x-3=0的否命题是：若x≠3，则x2-2x-3≠0．参考答案：D6. 若为过椭圆的中心的弦，为椭圆的左焦点，则?面积的最大值为（）A. 6B. 12C. 24D. 36参考答案：B7. 使（的展开式中含有常数项的最小的为（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：B略8. 设是一个离散型随机变量，其分布列为：则等于A．1 B．1± C．1－ D．1＋参考答案：C略9. 已知函数f（x）=x5+2x4+x3﹣x2+3x﹣5，用秦九韶算法计算，当x=5时，V3=（）A．27 B．36 C．54 D．179参考答案：D【考点】秦九韶算法．【分析】利用秦九韶算法计算多项式的值，先将多项式转化为f（x）=5x5+4x4+3x3+2x2+x=（（（（5x+4）x+3）x+2）x+1）x的形式，然后求解即可．【解答】解：f（x）=x5+2x4+x3﹣x2+3x﹣5=（（（（x+2）x+1）x﹣1）x+3）x﹣5则当x=5时，V0=1，V1=5+2=7，V2=35+1=36，V3=180﹣1=179．故选D．10. 下列不等式一定成立的是A. B.C. D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若a2－ab＋b2＝1，a，b是实数，则a＋b的最大值是_ ____．参考答案：212. 在正方体中，异面直线和所成的角的大小为__________．参考答案：13. 某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论：①等式对恒成立；②函数的值域为；③若，则一定有；④函数在上有三个零点．其中正确结论的序号有________________（请将你认为正确的结论的序号都填上）参考答案：.①②③ ks5u略14. “若A则B”为真命题，而“若B则C”的逆否命题为真命题，且“若A则B”是“若C则D”的充分条件，而“若D则E”是“若B则C”的充要条件，则┐B是┐E 的条件；A是E的条件。

武汉二中2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学(理科)试卷一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一个选项是符合题目要求的)1.“ba2.02.0＜”是“ba11＜”的_______条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要2.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件、80件、60件,为了了解它们的产品质量是否合格,用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本,其中从丙车间抽取了3件,则nA.13B.12C.10D.9 3.已知、为两个不同的平面,n m 、为两条不同的直线：①若，，∥m则；∥m ②若，，∥nm 则；∥n m ③若，，，n m n 则；m ④若，，，mnn 则.m 其中正确的命题个数是A.1B.2C.3D.44.如图是在某体操比赛中，几位评委为某一选手打出分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的中位数和众数依次为A.84,84B.84,85C.85,84D.86,845.正方体1111D C B A ABCD中,点P 在线段1AD (除端点外)上运动,则异面直线CP 与1BA 所成角的取值范围是A.30π，B.20π， C.30π， D.30π，6.执行如图所示的程序框图,若输出的S 的值为2,则判断框中m 的值为(A.7B.8C.9D.107.如图,在多而体 ABCDEF 中,已知平面ABCD 是边长为3的正方形,EF ∥AB,EF=，23且EF 与平面ABCD 的距离为2,则该多面体的体积为A.215 B.9 C.7 D.2138.已知双曲线0012222＞，＞b a by ax 的实轴长为2，经过右焦点F 05，的直线与双曲线交于A 、B 两点，若，8AB 则这样的直线有______条A.4 B.3 C.2 D.19.若，100100221010011121x a x a x a a x则99531a a a a A.1321100B.1321100C.1521100D.152110010.将6名实习老师分配到4个班级工作,要求将6名老师分成4组,其中2组各有2名老师,另外2组各有1名老师,则不同的分配方案的总数是A.1080 B.2160 C.720 D.432011.已知随机变量，，215~B m 则不等式xy ymx422对3221，、，y x 恒成立的概率是A.21 B.3225 C.3231 D.161312.已知抛物我C:x y42的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点A 、B ，以线段AB 为直径的圆E 上在在点P 、Q ，使得以PQ 为直径的圆过点D(-2,t )，则实数t 的取值范围为A.31，B.51，C.2222，D.7272，二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上)13.设随机变量，，24~N 已知，＜＜42P 则6P______.14.一个篮球筐中有7个大小相同的球，甲、乙、三人参如抢球比赛，每人至少能抢到1个球,则甲抢到的球的个数不少于其他任何人的概率是________.15.在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD 中，M 、N 分别为111B A AC 、的中点，点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长为________.16.点P 为椭圆012222＞＞b a b y ax 在第一象限的弧上的任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，分别交直线x ab y于Q 、R 两点，交y 轴、x 轴于M 、N 两点，记OMQ △与ONR△的面积为，、21S S 当2ab时，2221S S 的最小值为_______.三、解答题(本题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.函数，1222m mx xx f 集合，＜0|x f x A 集合.043|2＜x x x B(1)若“B x ”是“A x ”的必要不充分条件,求实数m 的取值范围；。

仙桃中学、武汉二中2008-2009学年度上学期期末联考高二年级数学理科试卷命题教师：武汉二中许建林 考试时间：1月14日10:00－12:00一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若直线x = 1的倾斜角为α, 则α（ ）A. 等于0B. 等于4πC. 等于2πD. 不存在 2. 下列命题中不正确的是（ ） A. 若ααα⊂==⊂⊂l B b l A a l b a 则，,,, B. 若a ∥c ，b ∥c ，则a ∥bC. 若a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ，则a ∥αD. 若一直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外 3. 已知圆C ：x 2 + y 2－2x －4y －20 = 0，则过原点的直线中，被圆C 所截得的最长弦与最短弦的长度之和为（ ）A. 10＋45B. 10＋25C. 5＋45D. 5＋254. 长轴在x 轴上, 短半轴长为1, 两准线之间的距离最近的椭圆的标准方程是 （ ）A. 1y 2x 22=+B.12y x 22=+C. 1y x 22=+D. 1y 4x 22=+5. 已知直线l : ax+by+c=0与直线l ′关于直线x+y=0对称, 则l ′的方程为 （ ） A. bx+ay －c=0 B. ay －bx －c=0 C. ay+bx+c=0 D. ay －bx+c=06. 已知t ＞1, 且x=t 1t -+, y=1t t --, 则x, y 之间的大小关系是（ ）A. x ＞yB. x=yC. x ＜yD. x, y 的关系随t 而定7. 以y=±31x 为渐近线, 且过点(－3, 6)的双曲线的标准方程为（ ）A. x 2－9y 2=45B. 9y 2－x 2=45C. y 2－3x 2=21D. 3x 2－y 2=218. 如图, 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中, 侧棱BB 1与底面所成角为30°, 且在底面上的射影BH ∥AC, ∠B 1BC=60°, 则∠ACB 的余弦值为 （ ）A.33B. 3C.23 D.63 9. 满足条件5y )4x ()3y (x 2222=+-+-+的动点P(x, y)的轨迹为曲线C, 在曲线C 上有三个不同的点到原点的距离构成等比数列, 则该等比数列的公比的取值范围是（ ）A. [515, 315] B. ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,515 C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛315,1 D. ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,515∪⎥⎦⎤⎝⎛315,1 10. m 、n 、s 、t R +∈, m+n=2,9m ns t+=, 其中m 、n 是常数, 且s+t 的最小值是94, 满足条件的点(m, n)是椭圆22142x y +=某弦的中点, 则此弦所在直线方程为 （ ）A. x －2y+1=0B. 2x －y －1=0C. 2x+y －3=0D. x+2y －3=0二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中相应的横线上） 11. 双曲线4x 2－y 2+64=0上一点P 到它的一个焦点的距离等于1, 则点P 到另一个焦点的距离等于 .12. 设x, y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12y 3x 4x y 0x , 则1x 32y x +++的取值范围是 .13. 过椭圆右焦点F 且倾斜角为45°的直线交椭圆于A 、B 两点, 若|FB|=2|FA|, 则椭圆的离心率为 .14. 已知a, b ∈(0, +∞), a 2+2b 2=1, 则a 2b 1+的最大值是 . 15. 过抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点F 的弦AB 的垂直平分线交x 轴于点P , 已知|AB|=10,则|FP|= .三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。