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Hermite矩阵的正定性的讨论Hermite矩阵是一个复矩阵，它是自对偶的，也就是说对于它的转置共轭矩阵，它等于自己，而且它的主对角线上的元素都是实数。
Hermite矩阵正定的条件是其所有特征值都是正实数，反之则是非正定矩阵。
证明Hermite矩阵正定的一种方法是使用线性变换。
考虑一个正定的实对称矩阵A，我们可以在线性变换下构造一个Hermite矩阵。
假设A的特征值为λ1, λ2, …, λn，对应的特征向量为v1, v2, …, vn。
根据Gram-Schmidt正交化，我们可以将这些特征向量标准化，使得它们构成一个单位正交基。
然后，我们将这些特征向量展开为一个矩阵V，那么V的逆矩阵V^-1等于它的转置共轭矩阵。
于是我们可以构造一个线性变换L，使得L(x)=V^-1(Ax)，其中x是任意向量。
注意到L的Jacobi矩阵J=L^-1*L'=A，因为A是实对称矩阵，它等于自己的转置，也就是J'=L'^-1*L''=L^-1L'=A。
现在我们来证明L所构成的Hermite矩阵是正定的。
假设L(x)=y，其中x和y都是非零向量。
因为V是单位正交基，所以L是正交化变换，它保持内积和向量的长度不变。
于是我们有y*H*y=x*H*A*x>0，其中*H表示共轭转置，x*H表示x的共轭转置。
由于A是正定矩阵，所以它的特征值都是正实数，那么我们可以将x表示为特征向量的线性组合，从而y也表示为v1, v2, …, vn的线性组合。
设y=a1v1+a2v2+…+anvn，那么y*H*y=a1^2λ1+a2^2λ2+…+an^2λn>0。
这表明任何非零向量都有正的内积，因此Hermite矩阵是正定的。
我们还可以从特征值的角度来证明Hermite矩阵正定。
如果Hermite矩阵有一个特征值为0，那么它就不是正定的。
否则，假设它的特征值为λ，对应的特征向量为v。
Hermite矩阵与反Hermite矩阵摘要Hermite矩阵是矩阵类中的一种特殊形式，它在矩阵理论中处于重要的地位，尤其是在酉空间、酉变换及复系数二次型的应用中起着主导的作用，它一方面是对实对称矩阵的推广，另一方面它在复矩阵的地位相当于实数在复数C的地位，复矩阵中的Hermite矩阵与实对称矩阵在其性质和证明方法上都十分的相似，本文主要从Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义、性质、基本定理和Hermite矩阵的正定性四个方面讨论Hermite矩阵和反Hermite矩阵.关键词：Hermite矩阵；反Hermite矩阵；正定性；酉矩阵.AbstractThe Hermite matrix forms a special class of matrices in matrix theory.It occupies an important position in the matrix theory and plays a leading role,especially in the unitary space,unitary transformation and the application of the quadratic form of coefficient of polytropy.On the one hand,it is the promotion of the real symmetric matrix ,on the other hand,the staues it occupies in the complex matrix comes up to the position that real number in the plural form C. In the nature and methods of proof ,Hermite matrices and real symmetric matrix are very similar. This article is concerned about the definition,nature,fundamental theorem of the Hemite matrix and anti-Hermite matrix and the positive definiteness of Hermite matrix.Key words：Hermite matrix;Anti-Hermite matrix;Positive definite;Unitary matrix目录一、引言 (01)二、Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义 (01)三、Hermite矩阵的性质定理（一）Hermite矩阵的性质 (02)（二）Hermite矩阵的定理 (02)（三）Hermite矩阵的正定性 (05)四、反Hermite矩阵的性质定理（一）反Hermite矩阵的性质 (14)（二）反Hermite矩阵的定理 (15)五、结论 (20)参考文献 (21)致谢 (22)Hermite 矩阵与反Hermite 矩阵一、引言众所周知，矩阵理论在历史上至少可追溯到Sylvester 与Cayley ，特别是Cayley 1858年的工作.近代数学的一些学科，如代数结构理论与泛函分析可以在矩阵理论中寻到它们的根源，另一方面，随着计算机的广泛应用，矩阵理论在不断地发展，矩阵已成为处理数值问题的有力工具.作为数学的一个重要分支，矩阵理论具有极为丰富的内容，在数学以及其他科学技术领域都有十分重要的应用，如数值分析、最优化理论、运筹学与控制论、概率论与数理统计、力学、电学、信息科学、管理科学与工程技术等都与矩阵理论有着密切的关系.对称矩阵是一类非常重要的矩阵，近年来，在矩阵理论中，Hermite 矩阵的应用越来越广泛，对其研究也取得很大的进展.在复矩阵中，Hermite 矩阵实际上是实对称矩阵的推广，它在复矩阵中的地位相当于实数在复数中的地位，本文主要从Hermite 矩阵和反Hermite 矩阵的定义、性质，基本定理以及Hermite 矩阵正定性几个方面讨论Hermite 矩阵和反Hermite 矩阵并给出了相关的证明，来加深对矩阵理论的理解，从而能更好地使用这些工具.二、Hermite 矩阵和反Hermite 矩阵的定义定义 1 设A 是一个n 阶复矩阵，即n n A C ´Î，H A 为A 的共轭转置，H A =A ， 则将称A 为Hermite 矩阵.若H A A =-，则称之为反Hermite 矩阵.定义 2 设A 是一个n 阶Hermite 矩阵，若对于任一非零的n 维复向量X ，均有0H X AX >，则称A 为Hermite 正定矩阵.定义 3 设A 是一个n 阶复矩阵，H A 为A 的共轭转置，若H H AA A A =，则称A 为正规矩阵.定义 4 设A 是一个n 阶复矩阵，H A 为A 的共轭转置，H H A A AA E ==，则将称A 为酉矩阵，它的行列式的绝对值等于1.三、Hermite 矩阵的性质定理（一）Hermite 矩阵的性质由Hermite 矩阵的定义可知，Hermite 矩阵具有如下简单的性质[][]12：（1）对所有n n A C ´Î，则H A A +，H AA 和H A A 都是Hermite 矩阵；（2）如果A 是Hermite 矩阵，则对正整数k ，k A 也是Hermite 矩阵；（3）如果A 是可逆Hermite 矩阵，则1A -也是Hermite 矩阵；（4）如果A ，B 是Hermite 矩阵，则对实数k ，p ，kA pB +也是Hermite 矩阵；（5）如果A ，B 是Hermite 矩阵，则AB 是Hermite 矩阵的充分必要条件是AB BA =；（6）A 是Hermite 矩阵的充分必要条件是对于任意n 阶方阵S ，H S AS 是Hermite 矩阵.（二）Hermite 矩阵的定理定理3-1 若A 是n 阶复矩阵，则A 是Hermite 矩阵的充分必要条件是对于任意n X C Î，H X AX 是实数；证明 必要性 因为H X AX 是数，所以()H X AX =()H H X AX =H H X A X =H X AX因此H X AX 是实数.充分性 因为对于任意X ，Y n C Î，H X AX ,H Y AY ，()()H X Y A X Y ++都是实数，而()()()()H H H H H H H X Y A X Y X Y A X Y X AX X AY Y AX Y AY ++=++=+++ 于是对任意X ，Y n C Î，H H X AY Y AX +是实数，令(,,,,,,)T j X =00100L L 123，(,,,,,,)T kY =00100L L 123则H H X AY Y AX +=jk kj a a +是实数，这表明jk a 与kj a 的虚部值相等，但符号相反，即()()jk kj Im a Im a =-再令(,,,,,,)T j X i =0000L L 123，(,,,,,,)T kY =00100L L 123其中i =H H X AY Y AX +=jk kj ia ia -+是实数，则jk a 与kj a 的实部相等，即()()jk kj Re a Re a =因此kj jk a a =，,,,,,j k n =L 123即A 是Hermite 矩阵.定理3-2[]4（Hermite 矩阵的谱定理） 设n n A C ´Î是给定的，则A 是Hermite 矩阵当且仅当存在一个酉矩阵n n U C ´Î和一个实对角矩阵n n C ´L ?，使得H U AU =L 12(,,,)n diag l l l =L ，其中12,,,n l l l L 均为实数，此外，A 是实Hermite 矩阵（即实对称的），当且仅当存在一个实正交矩阵n n P C ´Î和一个实对角矩阵n n C ´L ?，使得12(,,,)H n P AP diag l l l =L =L ，其中12,,,n l l l L 均为实数.虽然Hermite 矩阵的实线性组合总是Hermite 矩阵，但它们的复线性组合就不一定是Hermite 矩阵，例如，如果A 是Hermite 矩阵，那么，只有当0A =时iA 才是Hermite 矩阵.另外，如果A 和B 是Hermite 矩阵，那()H H H AB B A BA ==，因此，AB 是Hermite 矩阵，当且仅当A 与B 可交换.定理3-3 设A 为n 阶Hermite 矩阵，则（ⅰ）A 是正规矩阵且所有特征值全是实数；（ⅱ）A 的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的.证明 （ⅰ）A 为n 阶Hermite 矩阵，由定理3-2可知A 必酉相似于实对角矩阵L ，即存在n 阶酉矩阵U ，使得H U AU =L其中L =12(,,,)n diag l l l L ，(,,,)i i n l =L 12是A 的是特征值，且2H H A A A AA ==即A 是正规矩阵.设H A A =，l 为A 的特征值，非零向量a 为l 的特征向量，即A a l a =，H H A a a l a a =又()()H H H H A A A a a a a a a l a a ===所以H H l a a l a a =即 l l =所以l 为实数.（ⅱ）设l ，m 是A 的两个不同特征值，相应的特征向量分别为x ，y ，则Ax x l =，Ay y m =从而H H y Ax y x l =，H H x Ay x y m =因为A 是Hermite 矩阵，l ，m 均为实数，则H H y Ax y x m =于是()0H y x l m -=由于l m ¹，故x 与y 正交.定理3-4[]5（Hermite 矩阵的惯性定理） 设H 是n 阶Hermite 矩阵，则H （复）合同与0p q I A I 骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷桫=-， 而且p ,q 由H 唯一确定.其中A 称为H 的规范型，n I 表示n 阶单位矩阵，p ,q ，p q -分别称为H 的正惯性指数、负惯性指数和符号差.注：由惯性定理导出的Hermite 矩阵的正惯性指数、负惯性指数及符号差等，不仅是代数学中的重要内容，而且在几何学、物理学中都有许多重要的应用，构成几何对象及物理对象的“指标”或“守恒量” .下面讨论一下Hermite 矩阵的正定性.（三）Hermite 矩阵的正定性在讨论Hermite 矩阵的正定性之前，我们先来引入矩阵的UR 分解定理及其引理.矩阵UR 分解定理 设n n n A C ´Î，则A 可以唯一地分解为A UR =或11A RU =其中U ，1U n n U ´Î，R 是正线上三角阵，1R 是正线下三角阵。
Hermite矩阵第5章Hermite矩阵与正定矩阵5.1Hermite矩阵与Hermite⼆次型5.4Hermite矩阵的特征值5.3矩阵不等式5.2Hermite正定（⾮负定）矩阵Hermite矩阵的性质：(1)如果A是Hermite矩阵，则对正整数k，Ak也是Hermite矩阵；(2)如果A是可逆Hermite矩阵，则A-1也是Hermite矩阵；(3)如果A,B是Hermite矩阵，则对任意实数k,l,kA+lB也是Hermite矩阵；5.1Hermite矩阵与Hermite⼆次型(4)若A,B是Hermite矩阵，则AB也是Hermite矩阵的充分必要条件是AB=BA；(5)A是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意⽅阵S，SHAS是Hermite矩阵。
定理5.1.2设A为n阶Hermite矩阵，则定理5.1.1设，则A是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意，是实数。
AxxCA×∈nCx∈(1)A的所有特征值全是实数；(2)A的属于不同特征值的特征向量互相正交。
定理5.1.3设，则A是Hermite矩阵的充分必要条件是存在⾣矩阵U使得nnCA×∈),,,(21nHdiagAUUλλλL=Λ=均为实数。
其中nλλλ,,,21L定理5.1.4设，则A是实对称矩阵的充分必要条件是存在正交矩阵Q使得nnRA×∈),,,(diagAQQλλλL=Λ=均为实数。
其中nλλλ,,,21L定理5.1.5设A是n阶Hermite矩阵，则A与矩阵???????????=??rnsrsOIID0000相合，其中r=rank(A)，s是A的正特征值的个数。
设A是n阶Hermite矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P,使得则称D为A的相合标准形；s称为A的正惯性指数；r-s称为A的负惯性指数。
000000DOIIAPPrnsrsH=?????????定理5.1.6Hermite矩阵的相合标准形是唯⼀的。
关于Hermite矩阵的一些性质作者：李东方刘会彩来源：《卷宗》2016年第01期摘要：本文给定两个Hermite矩阵A、B 以及它们的特征值，给出了乘积矩阵AB 的迹的一些不等式，进而得到矩阵之和A+B 的一些特征值不等式。
以及通过研究正定Hermite矩阵Schur 补的迹和特征值的性质，得到了正定Hermite矩阵和的Schur 补与正定Hermite矩阵Schur 补的和的迹和特征值之间的不等式.关键词：Hermite矩阵，特征值，矩阵的迹，Schur补众所周知对于矩阵特征值估计的研究无论是在理论上还是在应用上都有极其重要的意义，且已有大量的研究文献。
1 预备知识定义1 设矩阵，若（是指的共轭转置），则称A 为Hermite矩阵。
定义2 称为矩阵A 的迹。
定义3 如果非负矩阵A 的所有行和以及列和均为1，就称A 是双随机矩阵。
定义4 设表示n ×n 阶矩阵. 是非奇异主子阵，我们称是A 关于的Schur 补，记为 .引理1 矩阵为Hermite矩阵，则A 的所有特征值都是实数。
引理2 矩阵为Hermite矩阵，其特征值为它们按任意规定的次序排列，则存在一个酉矩阵，使得引理3 矩阵为双随机矩阵，当且仅当对某个存在置换矩阵和正纯量，使得，且 .引理4 设为一置换，为按递增顺序排列的两个数列，则有： .引理5 设是正定矩阵，若，那么 .引理6 若存在非奇异阵使得，那么证明因为所以引理7 若A ≥0 ，B ≥0 ，那么A + B ≥0引理8 若是半正定Hermite矩阵，是非奇异主子阵，那么半正定.证明设，取，有因A 半正定，由引理6 ，知半正定.2 主要结果定理1 设A， B 均为n ×n Hermite矩阵，它们的特征值分别依次从大到小排列为：，则有证明 A 为正定Herm ite矩阵时，由于A， B 均为n ×n He rmite矩阵，则分别存在酉矩阵W， V 使得：则：记，易知U仍为酉矩阵，故有：由知是双随机矩阵，记Ω为双随机矩阵的集合，考虑如下极大值问题：由于Ω为一有界闭凸集，上面问题的目标函数是关于的线性函数，故它在Ω的某一端点上取得极大值. 而由引理3知双随机矩阵集合的端点为置换矩阵，故存在置换矩阵使其中为一置换矩阵对应的置换，于是由引理4，可得：（2）如果A 是非正定的，则存在充分大的实数m >0，使得A +m I为正定阵（ I为n ×n阶单位阵），则A+m I的特征值为，由（2）有：即：又因为：所以：故结论成立。
hermite矩阵几何之基本定理hermite矩阵几何之基本定理：1、对角线元素是实数2、Hermite矩阵是实对称矩阵的推广推论：（1）n阶厄米特矩阵A为正定（半正定）矩阵的充要条件是A的所有特征值大于（大于等于）0。
（2）若A是n阶厄米特矩阵，其特征值对角阵为V，则存在一个酉矩阵U，使AU=UV。
（3）若A是n阶厄米特矩阵，其弗罗伯尼范数的平方等于其所有特征值的平方和。
（4）主对角线元素皆为实数的埃尔米特矩阵的特征值均为实数, 斜埃尔米特矩阵的特征值为零或纯虚数。
hermitian矩阵：厄米特矩阵（Hermitian Matrix，又译作“埃尔米特矩阵”或“厄米矩阵”），指的是自共轭矩阵。
矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。
n阶复方阵A的对称单元互为共轭，即A的共轭转置矩阵等于它本身，则A是厄米特矩阵(Hermitian Matrix)。
更多资料：矩阵 A=[aij]∈MnA=[aij]∈Mn 称为 Hermite 的，如果 A=A∗A=A∗；它是斜Hermite 的，如果 A=−A∗A=−A∗.对于 A,B∈MnA,B∈Mn，可得出很多简单明了的结论：(1) A+A∗A+A∗, AA∗AA∗以及 A∗AA∗A 都是Hermite 的(2) 如果 AA 是Hermite 的，那么对所有 k=1,2,3,⋯k=1,2,3,⋯, AkAk 都是Hermite 的. 如果 AA 还是非奇异的，那么 A−1A−1是Hermite 的(3) A−A∗A−A∗是斜Hermite 的(4) 如果 AA 是Hermite 的，那么 iAiA 是斜Hermite 的；如果 AA 是斜Hermite 的，那么 iAiA 是Hermite 的(5) 如果 A=C+iDA=C+iD, 其中 C,D∈Mn(R)C,D∈Mn(R)（AA 的实部与虚部），那么 AA 是Hermite 的，当且仅当 CC 是对称的，且 DD 是斜对称的(6) 实对称矩阵是复的Hermite 矩阵。
hermite矩阵标准Hermite矩阵标准。
Hermite矩阵是一种特殊的矩阵，它在数学和工程领域中具有重要的应用价值。
在本文中，我们将介绍Hermite矩阵的标准形式以及其在实际应用中的一些特性和优势。
Hermite矩阵是一种具有特定形式的方阵，它的主对角线以下的元素都为零。
换句话说，Hermite矩阵是一种上三角矩阵，但与普通的上三角矩阵不同的是，Hermite矩阵的对角线元素可以是复数，而不仅仅是实数。
这使得Hermite矩阵在描述某些特定系统的动态行为时具有独特的优势。
Hermite矩阵的标准形式可以表示为H = UΛU^H，其中U是一个酉矩阵（unitary matrix），Λ是一个对角矩阵，U^H表示U的共轭转置。
在这个表示中，Λ的对角线上的元素就是Hermite矩阵的特征值，而U的列向量则是Hermite矩阵的特征向量。
这种表示形式使得我们可以方便地对Hermite矩阵进行特征分解，从而得到其特征值和特征向量。
Hermite矩阵在信号处理、通信系统、量子力学等领域中有着广泛的应用。
在信号处理中，Hermite矩阵可以用来描述信号的频谱特性，从而帮助我们分析和处理信号。
在通信系统中，Hermite矩阵可以用来描述信道的传输特性，从而帮助我们设计更加高效可靠的通信系统。
在量子力学中，Hermite矩阵则可以用来描述量子系统的能量和动量等物理量的本征值和本征态。
除了在理论分析中的应用外，Hermite矩阵还可以在实际工程中发挥重要作用。
例如，在控制系统设计中，我们常常需要对系统的状态进行估计和预测，而Hermite矩阵的特征分解可以帮助我们分析系统的稳定性和动态响应。
在图像处理和模式识别中，Hermite矩阵可以用来提取图像的特征，从而帮助我们实现图像的分类和识别。
总之，Hermite矩阵作为一种特殊的矩阵，在数学和工程领域中具有重要的理论和应用价值。
通过对Hermite矩阵的标准形式和特性进行深入的研究和应用，我们可以更好地理解和利用Hermite矩阵在实际问题中的优势，从而推动相关领域的科学和技术进步。
Hermite矩阵的正定性的讨论引言Hermite矩阵是由法国数学家Charles Hermite所提出的一种矩阵，它在数学上具有很重要的意义，在实际应用中也有广泛的应用。
在本文中我们将讨论Hermite矩阵的正定性问题。
基本概念首先我们来总结一下本文中用到的一些基本概念。
矩阵矩阵是一个由数值排列成的矩形阵列，如下所示：$$ \\left[\\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1n} \\\\ a_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2n} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ a_{m1} & a_{m2} & \\cdots & a_{mn}\\end{matrix}\\right] $$对称矩阵对称矩阵是一个矩阵，它满足a ij=a ji对所有i,j成立。
如下所示：$$ A = \\left[\\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\\\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \\end{matrix}\\right] $$正定矩阵设A为n阶对称矩阵，如果对于任意非零向量$x\\in\\mathbb{R}^n$，都有x T Ax>0，则称A为正定矩阵。
Hermite矩阵Hermite矩阵是一个$n\\times n$的矩阵，它的第i行第j列元素为H ij=ℎi+j−1，其中ℎk是Hermite多项式的k阶系数。
Hermite多项式Hermite多项式是一个为整数$n\\geq 0$所确定的函数序列。
