2015-2016学年高中数学 第一章 平面直角坐标轴中的伸缩变换学案 北师大版选修4-4

《平面直角坐标系中的伸缩变换》导学案学习目标：1.理解平面直角坐标系中的伸缩变换；2．了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况；3.会用坐标变换和伸缩变换解决实际问题.学习重点：在伸缩变换作用下，图形的变化情况.学习难点：用坐标变换和伸缩变换解决实际问题.学习过程：一、课前准备阅读教材14P P -的内容，体会平面直角坐标系中伸缩变换的情况.并回顾以下问题： 1.在直角坐标系中，已知点(,)M a b ，则①M 关于原点O 的对称点为(,)a b --； ②M 关于x 轴的对称点为(,)a b -； ③M 关于y 轴的对称点为,)a b (-； ④M 关于直线y x =的对称点为(,)b a ； ⑤M 关于直线y x =-的对称点为(,)b a --；⑥M 关于直线y x t =+的对称点为(,)b t a t -+.2．平移变换①平面上任一点P 的坐标(,)x y ，按向量(,)a h k = 平移后的坐标为(,)P x y '''，则有x k x y k y'+=⎧⎨'+=⎩ ②曲线(,)0F x y =的图像，按(,)a h k = 平移后的曲线方程为(,)0F x h y k --=.3.填空题：(1)已知点(4,3)P -按向量(1,5)a = 平移到Q 点，则Q 的坐标为(3,8)-．(2)函数2()23f x x =-向右平移3个单位，向下平移1个单位，得到的函数解析式是 ()f x =22(3)4x --.(3) 抛物线22y x =按向量(3,2)n =- 平移，得到的曲线的方程是2(2)2(3)y x -=+.二、新课导学(一)新知：伸缩变换①一般地，由(0)kx x k y y'=⎧>⎨'=⎩所确定的伸缩变换，是指曲线上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的k 倍；②由(0)x x k ky y '=⎧>⎨'=⎩所确定的伸缩变换，是指曲线上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的k 倍；上面的变换中，当1k >时表示伸长；当01k <<时，表示压缩；③定义点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任一点，在变换(0,0)x x y y λλμμ'=⎧>>⎨'=⎩作用下，点(,)P x y 对应到(,)P x y '''称为平面坐标系中坐标的伸缩变换．(二)典型例题【例1】求曲线224x y +=按照32x x y y '=⎧⎨'=⎩作伸缩变换后的曲线方程. 【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧==''23y y x x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==23''y y x x ，代入方程224x y +=化简可得2213616x y ''+=． 【例2】．试述如何由1sin(2)33y x π=+的图象得到sin y x =的图象. 【解析】方法一：1sin(2)33y x π=+ ）（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y x y sin 313π=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的. 方法二：(1)先将1sin(2)33y x π=+的图象向右平移6π个单位，得1sin 23y x =的图象； (2)再将1sin 23y x =上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，得1sin 3y x =的图象；(3)再将1sin 3y x =图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)，即可得到sin y x =的图象.【例3】已知函数22())cos()(0)33f x x x ππωωω=+-+>图象的两相邻对称轴间的距离为2π. (1)求()8πf 的值；(2)将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的表达式.【解析】(1)22())cos()33f x x x ππωω=+-+＝2122)cos()323x x ππωω⎤+-+⎥⎣⎦＝2sin()2x πω+2cos x ω=， 因为函数图象的两相邻对称轴间的距离为2π. 即半个周期为2π，所以2T ππω==，所以2ω=. 故()2cos 2f x x =，因此()2cos 84f ππ==(2)将()2cos 2f x x =的图象向右平移个6π个单位后，得到2cos 2()6y x π=-的图象， 再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到()2cos 2()2cos()4623x x g x ππ=-=-的图象. 动动手：将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位， 再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A .cos 2y x =B .22cos y x =C .)42sin(1π++=x y D .22sin y x = 【解析】 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为21cos22cos y x x =+=，故选B .三、总结提升：1．本学案总结了三种变换类型：对称变换、平移变换和伸缩变换，这三种变换都是在以前的教材或学习内容中遇到过的，通过这次的学习总结，希望起到加深理解、熟练运用的作用.2.在解决与变换有关的问题时，特别是对称或平移的问题时，应尽可能的画出图形，以帮助我们正确的使用变换公式.四、反馈练习：1．下列有关坐标系的说法错误的是( D )A ．在直角坐标系中，直线经过伸缩变换还是直线B ．在直角坐标系中，通过伸缩变换可把圆变成椭圆C ．在直角坐标系中，平移不会改变图形的形状和大小D ．在直角坐标系中，通过伸缩变换可把双曲线变成抛物线2． 已知()sin ,()sin (0),()f x x g x x g x ωω==>的图像可以看作把()f x 的图像上各点的横坐标压缩成原来的13(保持纵坐标不变)而得到的，则ω为( C ) A ．12 B ． 2 C ． 3 D ． 133．曲线2(1,2)y x a ==- 按向量平移得到的曲线方程为( A ) A ． 22(1)y x +=- B ． 22(1)y x +=+C ． 22(1)y x -=-D ． 22(1)y x -=+4．点(,)10a b x y --=关于直线的对称点坐标为( B )A ．(1,1)b a -+B ．(1,1)b a +-C ．(1,1)b a --D ．(1,1)b a ++5．已知曲线2211242x x x y y y ⎧'=⎪-=⎨⎪'=⎩通过伸缩变换后得到的曲线方程为( A ) A ．2214y x -= B ．221x y -= C ．221164x y -= D ．221416x y -= 6．已知圆2216x y +=经过伸缩变换后得到椭圆22116x y ''+=，则它经过的伸缩变换为14x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩． 7．直线223403x x x y y y '=⎧+-=⎨'=⎩经过的伸缩变换得到的方程为40x y ''+-=． 五、学后反思：。

选修4－4坐标系与参数方程4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换学习目标通过具体例子，了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

学习过程：一、预习：一般地，由 所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着y 轴的伸缩变换（当1>k 时，表示伸长；当1<k 时，表示压缩），即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k 倍（这里),(y x P 是变换前的点，),('''y x P 是变换后的点）. 练习：1．直经064=-+y x 按伸缩系数21向着x 轴的伸缩变换后，直线的方程是________________.2．直线032=-y x 按伸缩系数3向着y 轴的伸缩变换后，直线的方程是_________________.3、曲线422=+y x 按伸缩系数2向着y 轴的伸缩变换后，曲线的方程是_________________.4、点)1,2(π经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy x x 3'2'后的点的坐标是 ； 5、点),(y x 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则=x ，=y .二、课堂训练：例1．对下列曲线向着x 轴进行伸缩变换，伸缩系数41=k . （1）0632=-+y x ； （2）1622=+y x .例2、设1M 是),(111y x A 与),(221y x B 的中点，经过伸缩变换后，它们分别为222,,B A M ，求证：2M 是22B A 的中点.练习：1、函数x y 2sin =的图像可以由x y sin =的图像怎样变换得到？2、函数x y sin 3=的图像可以由x y sin =的图像怎样变换得到？3、求下列点经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x 3'2'后的点的坐标： （1） （1，2）； （2） （-2，-1）.4、点（2，-3）经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的点的坐标是 ；5、点),(y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 3'21'后的点的坐标是（-2，6），则=x ，=y ；6、曲线364922=+y x 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的曲线方程是 .三、 课后巩固：1、曲线1922=+y x 按伸缩系数________向着____轴的伸缩变换后，曲线的方程是122=+y x ；按伸缩系数_________向着____轴的伸缩变换后，曲线的方程是922=+y x .2、在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x 3'2'后的图形： （1）032=+y x ；（2）122=+y x .3、曲线C 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'422=-y x ，则曲线C 的方程是 .4、将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（ ） A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 23'32' B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 32'23' C.⎩⎨⎧==x y y x '' D.⎩⎨⎧-=+=1'1'y y x x 5、将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 .6、在伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x '2'与伸缩变换⎩⎨⎧==yy x x 2'2'的作用下，单位圆122=+y x 分别变成什么图形？7、了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需将函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（ ）A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） 8、线)6sin(π+=x y 经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy x x 2'3'后的曲线方程是 ； 9、曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'22=+-x y x 的伸缩变换是 .10、函数R x x x x y ∈++=,1cos sin 23cos 212. （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图像可由)(sin R x x y ∈=的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?。

平面直角坐标系中的伸缩变换一、教学目标1.通过实例x y sin =到x y 2sin =的变换，体会平面直角坐标系的压缩变化；2.通过实例x y sin =到x y sin 3=的变换，体会平面直角坐标系的伸长变换；3.通过实例x y sin =到x y 2sin 3=的变换，体会平面直角坐标系的伸缩变换；4.通过例2的演练，会求给出方程所对应图形经过伸缩变换后的图形；5.通过练习，会求平面直角坐标的伸缩变换；6.通过解决问题的过程，体会变换等思想。

二、教学过程1.复习回顾问题1：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x?在正弦曲线y=sinx 上任取一点P(x, y)，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来的1/2，就得到正弦曲线y=sin2x 。

上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换。

问题2：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?在正弦曲线上任取一点P(x, y),保持横坐标x 不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx 。

上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换。

问题3：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sin2x?是上述1，2的“合成”，先保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的1/2；在此基础上再将纵坐标y 变为原来的3倍，就可以由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sin2x 。

即在正弦曲线y=sinx 上任取一点P(x,y)，若设点P(x,y)经变换得到点为P ’(x ’, y ’)，坐标对应关系为:⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 321，，①我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。

2.新课探究设),(y x p 是平面直角坐标系中任意一点，在变换⎪⎩⎪⎨⎧>=>=)0(,)0(,''μμλλϕy y x x ：② 的作用下，点),(y x p 对应到点)','('y x p ，称ϕ为平面直角坐标系中的左边伸缩变换，简称伸缩变换。

2023讲坐标系平面直角坐标系中的伸缩变换contents •引言•平面直角坐标系的基本概念•伸缩变换的基本原理•伸缩变换的应用实例•平面直角坐标系中的伸缩变换•结论与展望目录01引言伸缩变换是指对平面直角坐标系中的点进行有比例的放大或缩小，可以用一个矩阵来表示这种变换。

伸缩变换的主要特点是，原点保持不变，且每个轴上的单位长度发生了变化。

伸缩变换的定义伸缩变换在图像处理、计算机视觉和机器学习等领域具有广泛应用。

通过伸缩变换，可以将图像或数据集的大小调整为适合分析或处理的要求，从而提高算法的准确率和效率。

伸缩变换的重要性伸缩变换的应用场景图像缩放01在图像处理中，通过伸缩变换可以调整图像的大小，以满足不同应用的需求。

数据预处理02在机器学习中，为了提高算法的准确性，通常需要对数据进行预处理，其中包括对数据进行缩放。

通过伸缩变换，可以将数据调整为同一尺度，减少计算误差。

计算机视觉03在计算机视觉中，伸缩变换被广泛应用于目标检测、识别和跟踪等领域。

通过对图像进行伸缩变换，可以增强目标特征，提高检测准确率。

02平面直角坐标系的基本概念在平面直角坐标系中，每个点都可以由两个数值，即横坐标和纵坐标，来表示。

例如，点A的坐标为(3,4)。

点的坐标表示点的坐标平面直角坐标系的原点是(0,0)。

原点平面直角坐标系中有两条相互垂直的坐标轴，分别是x轴和y轴。

坐标轴点到点的距离在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过欧几里得距离公式来计算。

例如，点A(3,4)到点B(1,2)的距离是[(3-1)^2 + (4-2)^2]^0.5 = 2.8284。

向量的模一个向量的模等于其终点与原点之间的距离。

例如，向量OA的模是[(3^2 + 4^2)^0.5] = 5。

距离与向量的计算平面几何的基本定理勾股定理在直角三角形中，勾股定理表述了两条直角边的平方和等于斜边的平方。

平行线之间的距离两条平行线之间的距离等于两直线上的对应点之间的距离。

编号11 编制人：王光全 审核人： 雷友会 审批人 班级 姓名 学号泸州外国语学校 ◆高2010级数学科导学案◆14.4.2平面直角坐标系中的伸缩变换2．掌握平面直角坐标的伸缩变换．1．重点：掌握平面直角坐标的伸缩变换． ．一、课前自主学习 1．教材助读（1）什么叫平面直角坐标系中的坐标伸缩变换？ 2．预习自测（1）在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy xx 43''后的图形．① 025=+y x ； ②422=+y x ．3．我的疑惑二、探究·合作·展示※ 学习探究【探究一】在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换．（1）将直线220x y --=变成直线''240x y --=．（2）曲线0222=--x y x 变成曲线'2'2'1640x y x --=．【探究二】在同一直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 35后，曲线C 变为曲线18222='+'y x ,求曲线C 的方程．三、我的收获 ※ 当堂检测：1．已知1()sin f x x =，2()sin f x x ω=（)0>ω，)(2x f 的图象可以看作把)(1x f 的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为（ ） A ．21 B .2 C.3 D.312．在平面直角坐标系中，方程23y x =所对应的图形经过伸缩变换''23x x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩后的图形的方程为※ 课后作业：1．在同一平面坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x ,3后，曲线C 变为曲线9922='+'y x ，求曲线C 的方程并画出图象.2．已知点A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，且||4BC =，点A 到直线l 的距离为3，求ABC∆的外心的轨迹方程．。

精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

选修4－4坐标系与参数方程4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换学习目标通过具体例子，了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

学习过程：一、预习：一般地，由 所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着y 轴的伸缩变换（当1>k 时，表示伸长；当1<k 时，表示压缩），即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k 倍（这里),(y x P 是变换前的点，),('''y x P 是变换后的点）. 练习：1．直经064=-+y x 按伸缩系数21向着x 轴的伸缩变换后，直线的方程是________________.2．直线032=-y x 按伸缩系数3向着y 轴的伸缩变换后，直线的方程是_________________.3、曲线422=+y x 按伸缩系数2向着y 轴的伸缩变换后，曲线的方程是_________________.4、点)1,2(π经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy x x 3'2'后的点的坐标是 ； 5、点),(y x 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则=x ，=y .二、课堂训练：例1．对下列曲线向着x 轴进行伸缩变换，伸缩系数41=k . （1）0632=-+y x ； （2）1622=+y x .例2、设1M 是),(111y x A 与),(221y x B 的中点，经过伸缩变换后，它们分别为222,,B A M ，求证：2M 是22B A 的中点.练习：1、函数x y 2sin =的图像可以由x y sin =的图像怎样变换得到？2、函数x y sin 3=的图像可以由x y sin =的图像怎样变换得到？3、求下列点经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x 3'2'后的点的坐标： （1） （1，2）； （2） （-2，-1）.4、点（2，-3）经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的点的坐标是 ；5、点),(y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 3'21'后的点的坐标是（-2，6），则=x ，=y ；6、曲线364922=+y x 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的曲线方程是 .三、 课后巩固：1、曲线1922=+y x 按伸缩系数________向着____轴的伸缩变换后，曲线的方程是122=+y x ；按伸缩系数_________向着____轴的伸缩变换后，曲线的方程是922=+y x .2、在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x 3'2'后的图形： （1）032=+y x ；（2）122=+y x .3、曲线C 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'422=-y x ，则曲线C 的方程是 .4、将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（ ） A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 23'32' B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 32'23' C.⎩⎨⎧==x y y x '' D.⎩⎨⎧-=+=1'1'y y x x 5、将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 .6、在伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x '2'与伸缩变换⎩⎨⎧==yy x x 2'2'的作用下，单位圆122=+y x 分别变成什么图形？7、了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需将函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（ ）A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） 8、线)6sin(π+=x y 经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy x x 2'3'后的曲线方程是 ； 9、曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'22=+-x y x 的伸缩变换是 .10、函数R x x x x y ∈++=,1cos sin 23cos 212. （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合； （2）该函数的图像可由)(sin R x x y ∈=的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?。

1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换一、 学习目标及学法指导1．学习目标：初步了解平面上的一种简单变换—伸缩变换2．重、难、考点：伸缩变换二、预习案预习教材1-5页并完成下列问题1. 直角坐标系：（1） 直线上点的坐标（2） 平面直角坐标系：（3） 空间直角坐标系：2. 平面上的伸缩变换引例：（1）怎样由正弦曲线， 得到曲线 ?（2）怎样由正弦曲线 ，得到曲线 ?（3）怎样由正弦曲线 ， 得到曲线 ?3. 定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换_____________________________的作用下，点P(x,y)对应 称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换. 三、课中案例1. 在同一平面直角坐标系中，求下列方程 所对应的图形经过伸缩变换 后的图形 x y sin =x y 2sin =x y sin =xy sin =x y sin 3=x y 2sin 3=).,(y x P '''ϕ:ϕx x 21='yy 31='（1）（2）练习1.设平面上伸缩变换的表达式为 求圆x 2+y 2=4在此伸缩变换下的方程.练习2. 伸缩变换的坐标表达式为 曲线C 在此伸缩变换下变为椭圆求曲线C 的方程.19422=+y x x y 22=xX 3=xX =yY 2=yY 4=11622=+Y X例2.有一圆形的的弹性物体，圆方程为x 2+y 2=a 2,设物体受均匀的平行于y 轴的外力F 的压缩，而保持x 轴上的直径不动，求圆被压缩后的曲线方程.例3.把圆x 2+y 2=4沿x 轴方向均匀压缩为椭圆 ，写出坐标变换公式.四、课后案1. 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 后，曲线C 变为曲线18222='+'y x ，则曲线C 的方程为（ ）A.50x 2+72y 2=1B.9x 2+100y 2=1C.10x 2+24y 2=1D.19825222=+y x 1422=+Y X yy 3='x x 5='2. 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C 变为曲线022='+'y x ，则曲线C 的方程为（ ）A.25x 2+9y 2=1B.9x 2+25y 2=0 C.25x+9y=0 D.192522=+y x3. 把方程 变为 的伸缩变换公式为_______________4.将圆x 2+y 2=4的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到的曲线方程为______,若将x 2+y 2=4的纵坐标不变，横坐标伸扩大到原来的2倍，得到曲线C 的方程为__________5. 在伸缩变换 下，曲线C 的方程变成了椭圆 ，求曲线C 的方程. xx 5='yy 3='y y 4='116422='+'y x xx 2='x y sin =x y '='4sin 21。

1.1 直角坐标系，平面上的伸缩变换[对应学生用书P1][读教材·填要点]1．直角坐标系 (1)直线上点的坐标在直线上取定一点O ，取定一个方向，再取一个长度单位，就构成了直线上的坐标系，简称数轴．建立数轴后直线上的点与全体实数之间就建立了一一对应关系．(2)平面直角坐标系在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x 轴，一条称为y 轴，交点O 称为原点．取定长度单位，则构成了平面上的一个直角坐标系．在平面上建立了直角坐标系后，平面上的点就与全体有顺序的实数对之间建立了一一对应关系．(3)空间直角坐标系过空间中一个定点O ，作三边互相垂直且有相同长度单位的数轴，就构成了空间直角坐标系．建立空间直角坐标系后，在空间中的点和有序数组(x ，y ，z )之间就建立了一一对应关系．2．平面上的伸缩变换设点P (x ，y )是平面上的任意一点，在变换⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax ，Y ＝by(a >0，b >0)的作用下，变为平面上的新点Q (X ，Y )，这种变换就是平面上的伸缩变换．[小问题·大思维]1．用坐标法解决几何问题时，坐标系的建立是否是唯一的？提示：对于同一个问题，可建立不同的坐标系解决，但应使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴，以便使计算更简单、方便．2．伸缩变换中的系数a ，b 有什么特点？在伸缩变换下，平面直角坐标系是否发生变化？ 提示：伸缩变换中的系数a >0，b >0.在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，只是对点的坐标进行伸缩变换．[对应学生用书P1]用坐标法求轨迹方程[例1] 已知点H (－3,0)，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP u u u r ·PM u u u u r ＝0，PM u u u u r ＝－32MQ u u uu r .当点P 在y轴上移动时，求点M 的轨迹C .[思路点拨] 设出动点M (x ，y )，将HP u u u r ·PM u u u u r ＝0，PM u u u u r ＝－32MQ u u uu r ，坐标化后建立x ，y 的关系式可求得．[精解详析] 设M (x ，y )，P (0，y ′)，Q (x ′，0)(x ′>0)，∵PM u u u u r ＝－32MQ u u uu r ，HP u u u r ·PM u u u u r ＝0，∴(x ，y －y ′)＝－32(x ′－x ，－y )，且(3，y ′)·(x ，y －y ′)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝－12，①3x ＋yy ′－y ′2＝0.② 将①代入②式得y 2＝4x (x >0)．即动点M 的轨迹C 是以O (0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点)．求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程．(1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→检验．(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性． (3)由于观察的角度不同，探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题．1.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,1)，P 是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足k OP ＋k OA ＝k PA .求点P 的轨迹C 的方程．解：设点P (x ，y )为所求轨迹上的任意一点， 则由k OP ＋k OA ＝k PA 得，y x ＋1－1＝y －1x ＋1， 整理得轨迹C 的方程为y ＝x 2(x ≠0且x ≠－1).用坐标法解决几何问题[例2] 已知△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 分别为两腰上的高．求证：BD ＝CE .[思路点拨] 本题考查坐标法在几何中的应用．解答本题可通过建立平面直角坐标系，将几何证明问题转化为代数运算问题．[精解详析] 如图，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．设B (－a,0)，C (a,0)，A (0，h )， 则直线AC 的方程为y ＝－h ax ＋h ， 即hx ＋ay －ah ＝0.直线AB 的方程为y ＝h ax ＋h ， 即hx －ay ＋ah ＝0.由点到直线的距离公式得|BD |＝|2ah |a 2＋h 2，|CE |＝|2ah |a 2＋h 2，∴|BD |＝|CE |，即BD ＝CE .(1)建立适当的直角坐标系，将平面(立体)几何问题转化为解析几何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基本思想．(2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有三条两两垂直的直线，可考虑以三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系等．2．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1B 1，BD 的中点．求E ，F 两点间的距离．解：如图，以D 为空间坐标原点，建立空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，B (1,1,0)，∴E (1，12，1)，F (12，12，0)．∴|EF |＝1－122＋12－122＋1－02＝52， 即E ，F 两点间的距离为52.平面上的伸缩变换[例3] 在同一坐标系下经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧X ＝3x ，Y ＝2y后，圆x 2＋y 2＝1变成了什么曲线？[思路点拨] 将伸缩变换中的x ，y 分别用X ，Y 表示，代入已知的曲线方程，即可得到所求曲线的方程，再由方程判断曲线的类型．[精解详析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧X ＝3x ，Y ＝2y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13X ，y ＝12Y ，代入圆的方程x 2＋y 2＝1，有⎝ ⎛⎭⎪⎫13X 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12Y 2＝1，∴X 29＋Y 24＝1. ∴经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧X ＝3x ，Y ＝2y 后，圆x 2＋y 2＝1变成了椭圆X 29＋Y 24＝1.利用坐标伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧X ＝axa >0，Y ＝byb >0，求变换后的曲线方程，其实质是从中求出⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1a X ，y ＝1b Y ，然后将其代入已知的曲线方程求得关于X ，Y 的曲线方程．3．在同一直角坐标系中，将直线2x －y ＝3变成直线2X －6Y ＝9，求满足图形变换的伸缩变换．解：设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧X ＝λxλ>0，Y ＝μyμ>0，将其代入2X －6Y ＝9，得2λx －6μy ＝9，与2x －y ＝3进行比较，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝12.故伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧X ＝3x ，Y ＝12y .[对应学生用书P3]一、选择题1．在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线Y ＝sin X 的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2X y ＝13YB.⎩⎪⎨⎪⎧X ＝2x Y ＝13yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2X y ＝3YD.⎩⎪⎨⎪⎧X ＝2x Y ＝3y解析：选B 设⎩⎪⎨⎪⎧X ＝λxλ>0，Y ＝μy μ>0，将其代入Y ＝sin X ，得μy ＝sin λx ，即y ＝1μsin λx . 比较y ＝3sin 2x 与y ＝1μsin λx ，可得1μ＝3，λ＝2，∴μ＝13，λ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧X ＝2x ，Y ＝13y .2．已知平面上两定点A ，B ，且A (－1,0)，B (1,0)，动点P 与两定点连线的斜率之积为－1，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．双曲线的一部分解析：选B 设点P 的坐标为(x ，y )， 因为k PA ·k PB ＝－1， 所以y x ＋1·yx －1＝－1， 整理得x 2＋y 2＝1(x ≠±1)．故动点P 的轨迹是圆除去点(1,0)，(－1,0)的部分． 3．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆D ．双曲线解析：选D 由伸缩变换的意义可得．4．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)．如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：选B 设P 点的坐标为(x ，y )，∵|PA |＝2|PB |， ∴(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]． 即(x －2)2＋y 2＝4.故P 点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆， 它的面积为4π. 二、填空题5．△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，△ABC 的周长为10，则点A 的轨迹方程为__________________．解析：∵△ABC 的周长为10，∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10，其中|BC |＝4， 则有|AB |＋|AC |＝6>4，∴点A 的轨迹为椭圆除去与B ，C 共线的两点，且2a ＝6,2c ＝4， ∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5，∴点A 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．答案：x 29＋y 25＝1(y ≠0)6．将对数曲线y ＝log 3x 的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为________． 解析：设P (x ，y )为对数曲线y ＝log 3x 上任意一点，变换后的对应点为P ′(X ，Y )．由题意知伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧X ＝2x ，Y ＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12X ，y ＝Y .代入y ＝log 3x 得Y ＝log 312X ，即y ＝log 3x 2.答案：y ＝log 3x27．把圆x 2＋y 2＝16沿x 轴方向均匀压缩为椭圆X 2＋Y 216＝1，则坐标变换公式是________．解析：设φ：⎩⎪⎨⎪⎧X ＝axa ＞0，Y ＝byb ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝X a ，y ＝Yb .代入x 2＋y 2＝16得X 216a 2＋Y 216b2＝1.∴16a 2＝1,16b 2＝16. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝14，b ＝1.故⎩⎪⎨⎪⎧ X ＝x 4，Y ＝y .答案：⎩⎪⎨⎪⎧X ＝x 4，Y ＝y8．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧X ＝12x ，Y ＝3y ，则在这一坐标变换下余弦曲线y＝cos x 的方程变为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧X ＝12x ，Y ＝3y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2X ，y ＝13Y .代入y ＝cos x 得Y ＝3cos 2X . 答案：Y ＝3cos 2X 三、解答题9．在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0变成曲线X 2－Y 2－4X ＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．解：x 2－36y 2－8x ＋12＝0 可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －422－9y 2＝1.①X 2－Y 2－4X ＋3＝0可化为(X －2)2－Y 2＝1.②比较①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧X －2＝x －42，Y ＝3y ，即⎩⎪⎨⎪⎧X ＝x 2，Y ＝3y .所以将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线X 2－Y 2－4X ＋3＝0的图象．10．如图，动点M 与两定点A (－1，0)，B (1,0)构成△MAB ，且直线MA ，MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C .求轨迹C 的方程．解：设M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在； 当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在． 于是x ≠1且x ≠－1. 此时，MA 的斜率为y x ＋1，MB 的斜率为yx －1. 由题意，有y x ＋1·yx －1＝4，化简可得，4x 2－y 2－4＝0. 故动点M 的轨迹C 的方程为 4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)．11．已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C 的形状．解：(1)由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零， 所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ(λ≠0，x ≠±1)，整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．即动点P 的轨迹C 的方程为x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．(2)①当λ>0时，轨迹C 为中心在原点、焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)； ②当－1<λ<0时，轨迹C 为中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心、1为半径的圆(除去点(－1,0)，(1,0))； ④当λ<－1时，轨迹C 为中心在原点、焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．。

1．1直角坐标系，平面上的伸缩变换【教学目标】1理解平面直角坐标系中的伸缩变换；2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；3.会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题，体验用数学知识解释生活问题的乐趣。

【教学重点】理解平面直角坐标系中的伸缩变换。

【教学难点】会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题。

一、课前预习如何建立直线坐标系,平面直角坐标系,空间直角坐标系? 怎样由正弦曲线y =sinx 得到曲线y=sin2x 和y =sin x 21？怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=2sinx 和y=21sinx ？平面上伸缩变换的坐标表达式：二、课上学习例1.已知A （-2，0），B （2，0），求以AB 为斜边的直角三角形的顶点C 的轨迹方程例2.在z 轴上求一点使它到点A （-4,1,7）,B （3,5,-2）的距离相等.例3.在平面直角坐标系下，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x x 32后的图形。

（1）032=+y x （2）122=+y x例4.在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换（1）直线22=-y x 变换成直线42='-'y x（2）曲线0222=--x y x 变成曲线041622='-'-'x y x 三、课后练习 1.已知x x f x x f ωsin )(,sin )(21==（)0>ω)(2x f 的图象可以看作把)(1x f 的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为（ ）A ．21B .2 C.3 D.312.在同一直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x x 35后，曲线C 变为曲线18222='+'y x 则曲线C 的方程为（ ）A ．1725022=+y x B.1100922=+y x C ．12410=+y x D.19825222=+y x3.在同一平面坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x x ,3后，曲线C 变为曲线9922='+'y x ，求曲线C 的方程并画出图象。