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三角函数与平面向量简介：三角函数与平面向量三角函数的图象与性质1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质;会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象;掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质.2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现.因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等).3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易.这几年的高考中加强了对三角函数定义、图象和性质的考查.在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等的训练.1. 函数y=2sin2-1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数.2.函数f(x)=-cosx在[0，+∞)内的零点个数为________.3.函数f(x)=2cos2x+sin2x的最小值是________.4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)=sinx，则f的值为________.【例1】设函数f(θ)=sinθ+cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.(1) 若点P的坐标是，求f(θ)的值;(2) 若点P(x，y)为平面区域上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值.【例2】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示.(1) 求f(0)的值;(2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间上的取值范围.【例3】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<& phi;<π，ω>0)为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.(1) 求f的值;(2) 将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间.【例4】已知函数f(x)=2sin2-cos2x-1，x∈R.(1) 求f(x)的最小正周期;(2) 若h(x)=f(x+t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值;(3) 当x∈时，不等式|f(x)-m|<3恒成立，求实数m的取值范围.1. (2019·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ=-，则y=________.2.(2019·全国)函数f(x)=sin-2sin2x的最小正周期是________.3.(2009·全国)函数y=sincos的最大值为________.4.(2019·广东)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)，y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是________.(2019·四川)已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).(1) 求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;(2) 若f(x0)=，x0∈，求cos2x0的值.5.(2009·福建)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，其中ω>0，|φ|<.(1) 若coscosφ-sinπsinφ=0，求φ的值;(2) 在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式;并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数.(2009·重庆)(本小题满分13分)设函数f(x)=sin-2cos2+1.(1) 求f(x)的最小正周期;(2) 若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称，求当x∈时，y=g(x)的最大值.解：(1) f(x)=sinxcos-cosxsin-cosx=sinx-cosx(3分)=sin，(5分)故f(x)的最小正周期为T ==8.(7分)(2) (解法1)在y=g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x=1的对称点为(2-x，g(x)).由题设条件，点(2-x，g(x))在y=f(x)的图象上，从而g(x)=f(2-x)=sin=sin=cos.(10分)当0≤x≤时，≤x+≤，因此y=g(x)在区间上的最大值为g(x)max=cos=.(13分)(解法2)因区间关于x=1的对称区间为，且y=g(x)与y=f(x)的图象关于x=1对称，故y=g(x)在上的最大值为y=f(x)在上的最大值，由(1)知f(x)=sin，当≤x≤2时，-≤x-≤，因此y=g(x)在上的最大值为g(x)max=sin=.(13分)第7讲三角函数的图象与性质1. 若【答案】-8 解析：令tanx=t∈(1，+∞)，y=，y′(t)=得t=时y取最大值-8.2. 已知函数f(x)=2cos2x+sin2x.(1) 求f的值;(2) 求f(x)的最大值和最小值.解：(1) f=2cos+sin2=-1+=-.(2) f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)=3cos2x-1，x∈R.因为cosx∈[-1,1]，所以当cosx=±1时，f(x)取最大值2;当cosx=0时，f(x)取最小值-1.基础训练1. π 奇解析：y=-cos=-sin2x.2. 1 解析：在[0，+∞)内作出函数y=，y=cosx的图象，可得到答案.3. -+1 解析：f(x)=2cos2x+sin2x=sin+1.4. - 解析：f=f=f=sin=-.例题选讲例1 解：(1) 根据三角函数定义得sinθ=，cosθ=，∴ f(θ)=2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ=，从而求出 f(θ)=2).(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤，f(θ)=sinθ+cosθ=2sin，∴θ=0，f(θ)min=1;θ=，f(θ)max=2.(注：注意条件，使用三角函数的定义; 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y=Asin(ωx+φ)的形式) 例2 解：(1)由题图可知：A=，=π-=，ω=2，2×+φ=2kπ+，φ=2kπ+，k∈Z，f(0)=sin=.(2) φ=，f(x)=sin.因为0≤x≤，所以≤2x+≤π，所以0≤sin≤1.即f(x)的取值范围为[0，].(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y=Asin(ωx+φ)的图像与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)变式训练已知A为△ABC的内角，求y=cos2A+cos2的取值范围.解： y=cos2A+cos2=+=1++=1+=1+cos.∵ A为三角形内角，∴ 0∴ y=cos2A+cos2的取值范围是.例3 解：(1)f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ) =2=2sin.因为f(x)为偶函数，所以对x∈R，f(-x)=f(x)恒成立，因此sin=sin.即-sinωxcos+cosωxsin=sinωxcos+cosωxsin，整理得sinωxcos=0.因为ω>0，且x∈R，所以cos=0.又因为0<φ<π，故φ-=.所以f(x)=2sin=2cosωx.由题意得=2×，所以ω=2.故f(x)=2cos2x.因此f=2cos=.(2) 将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，所以g(x)=f=2cos=2cos.当2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z)，即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).例4 解：(1)函数可化为f(x)=-cos-cos2x=2sin，故f(x)的最小正周期为π.(2) h(x)=2sin.令2×+2t-=kπ，k∈Z.又t∈(0，π)，故t=或.(3) 当x∈时，2x-∈， ∴f(x)∈[1,2].|f(x)-m|<3，即f(x)-3变式训练设函数f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，将f(x)的最小值记为g(t).(1) 求g(t)的表达式;(2) 讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.解：(1) f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4=sin2x-2tsinx+4t3+t2-3t+3=(sinx-t)2+4t3-3t+3.由于(sinx-t)2≥0，|t|≤1，故当sinx=t时，f(x)达到其最小值g(t)，即g(t)=4t3-3t+3.(2) g′(t)=12t2-3=3(2t+1)(2t-1)，-1列表如下：tg′(t)g(t)极大值极小值由此可见，g(t)在区间和上单调增，在区间上单调减，极小值为g=2，极大值为g=4.高考回顾1. —8 解析：sinθ==-，解得y=-8或8(舍).2. π 解析：f(x)=sin-2sin2x=sin-.3. 解析： y=cosx=sin+.4. ，k∈Z 解析：f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)=2sin.∵ 周期为π，∴ ω=2，∴f(x)=2sin.2kπ-≤2x+≤2kπ+，即kπ-≤x≤kπ+，k∈Z.5. 解： (1) 由f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1，得f(x)=(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=sin2x+cos2x=2sin.所以函数的最小正周期为T==π.因为x∈，所以2x+∈.所以2x+∈，即x∈时，函数f(x)为增函数，而在x∈时，函数f(x)为减函数，所以f=2sin=2为最大值，f=2sin=-1为最小值.(2) 由(1)知，f(x0)=2sin.又由已知f(x0)=，则sin=.因为x0∈，则2x0+∈.因此cos<0，所以cos=-，于是cos2x0=cos，=coscos+sinsin=-×+×=.6. 解：(1) 由coscosφ-sinπsinφ=0得coscosφ-sinsinφ=0即cos=0，又|φ|<，∴ φ=.(2) 由(1)得f(x)=sin，依题意，=，又T=，故ω=3，∴ f(x)=sin，函数的图像向左平移m个单位后对应的函数为g(x)=sin，g(x)是偶函数，当且仅当3m+=kπ+(k∈Z)，即m=+(k∈Z)，从而最小正实数m=.。
第二部分三角函数与平面向量一、知识框图：二、基础知识要点剖析：1、与角α终边相同的角的集合{}Z k k ∈+=,2|απββ; 十六条终边所对应的角能记住吗？集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=Z k k ,3|ππγγ表示怎样的终边的角？区分锐角、小于090的角、090~0的角、钝角、对顶角、区域角、区间角、象限角等。
2、弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈3、三角函数的定义（r y x ,,三个量的比值）：r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα。
㈠任意角的三角函数值在各个象限的符号知道吗？特别是特殊角的三角函数值记准了吗？㈡正弦线、余弦线、正切线会画吗？利用它们求三角不等式很简便哦！有印象吗？ ㈢常见三角不等式：（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<，(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos 2x x <+≤(3) 2cos sin 1,≤+≤∈x x R x 则若.4、同角三角函数的基本关系式 ：①22sin cos 1θθ+=，②tan θ=θθcos sin ，注意公式变形：2)cos (sin cos sin 21)1(θθθθ±=±.)42sin(22cos2sinsin 1πθθθθ±=±=± 2sin2cos 1θθ=-， 2cos2cos 1θθ=+（2）如t =±ααcos sin ,d =ααcos sin ,αtan 之间互相转换懂吗？知一求二：(3)若t =+ααcos sin ，则21c o s s i n 2-=t αα；12sin 2-=t α；22cos sin t -±=-αα（4）若t =ααcos sin ，则t 21cos sin +±=+αα；t 21cos sin -±=-αα.5、诱导公式分两大类：为偶数与奇数）k k(2απ±。
三角函数与平面向量的关系在数学中，三角函数和平面向量是两个重要的概念和工具。
三角函数是研究角度和边长之间的关系的函数，而平面向量则是研究平面上各种物理量的大小和方向的工具。
本文将探讨三角函数与平面向量之间的联系和应用。
一、向量的定义和表示在平面几何中，向量是一个既有大小又有方向的量。
其表示可以使用箭头或者字母加上帽子来表示，例如向量AB可以表示为→AB或者ẑ。
向量的大小又称为向量的模，表示为|→AB|或者|ẑ|，可以通过勾股定理计算得到。
向量的方向可以使用角度来描述，例如与x轴的夹角θ。
二、平面向量的加法和减法平面向量的加法可以理解为几何上的向量相加。
假设有向量→AB和→AC，可以通过将它们放置在同一个起点，然后连接起来得到一个新的向量→AD，即向量→AD是→AB与→AC相加的结果。
平面向量的减法则是利用减法公式进行计算。
三、向量的数量积和点积平面向量的数量积（或点积）是两个向量的乘积，其结果是一个标量。
向量的数量积可以用下式计算：→AB⋅→AC=|→AB||→AC|cosθ，其中θ为向量→AB与→AC之间的夹角。
向量的数量积具有交换律和分配律等性质，可以用于计算两个向量的夹角、判断两个向量是否垂直、以及求解平面上的投影等问题。
四、三角函数的定义和性质三角函数是描述角度和边长之间关系的函数。
在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值。
它们可以用著名的SOH-CAH-TOA记忆法来帮助理解和应用。
此外，割函数、余割函数和正割函数等也是常见的三角函数。
五、三角函数与平面向量的关系三角函数与平面向量有着密切的关系，可以通过向量的数量积来推导和解释三角函数的性质。
例如，在直角三角形中，可以利用对边与斜边的比值得到正弦函数的定义，并通过向量→AB⋅→AC=|→AB||→AC|cosθ来得到正弦函数与向量的关系。
类似地，可以利用邻边与斜边的比值和向量的点积来推导余弦函数的定义，并得到余弦函数与向量的关系。
第二讲 三角函数的图象与性质1．(2019·豫南九校联考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π24B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π12 D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π12 解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4经伸长变换得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，再作平移变换得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.答案：B2．(2019·某某亳州一中月考)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )解析：由题意得函数的周期为T ＝2π，故可排除B ，D.对于C ，图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，代入解析式，不成立，故选A. 答案：A3．(2019·某某某某十校期末测试)要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度．答案：B4．(2019·东北三省三校一模)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离是π2，则该函数的一个单调增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3解析：由题意得2πω＝2×π2，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π.当k ＝0时，有x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6.故选A.答案：A5．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( ) A ．2B.32 C ．1D.12解析：由题意及函数y ＝sin ωx 的图象与性质可知， 12T ＝3π4－π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2. 故选A. 答案：A6．(2019·某某某某一模)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( ) A ．1 B.π2C ．2D.π解析：∵函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，∴π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k －1，k ∈Z ，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最小值为函数的半个周期，即T 2＝πω＝π2.答案：B7．(2019·某某平遥中学调研)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，已知点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝π12B.x ＝π4C ．x ＝π3D.x ＝2π3解析：由题意知图象过A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0， 即f (0)＝2sin φ＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6·ω＋φ＝0，又ω>0，|φ|<π，并结合图象知φ＝2π3，π6·ω＋φ＝π＋2k π(k ∈Z)，得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3， 移动后g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z)，所以满足条件的一条对称轴方程是x ＝π12，故选A.答案：A8．(2019·某某某某适应性统考)已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B.ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D.ω＝12，φ＝π12解析：由题意知T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，所以ω＝2.因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，所以0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ. 又0<φ<π2，所以φ＝π3.答案：A9．(2019·某某某某3月模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)，f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，若f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，则ω的可能取值为( )A.23 B.2 C.143D.263解析：∵函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)，f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω－π6＝－12，∴π2ω－π6＝2k π＋π6或π2ω－π6＝2k π＋5π6，k ∈Z ，∴ω＝4k ＋23或ω＝4k ＋2，k ∈Z.∵函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，∴ωx －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，ωπ2－π6，∴2π<ωπ2－π6≤3π，∴133<ω≤193，∴ω＝143或ω＝6.故选C.答案：C10．(2019·贺州一模)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(φ∈R)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )，且f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，则函数f (x )取得最大值时x 的可能值为( )A.π6B.π5C.π3D.π2解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )， 即y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，即函数f (x )在x ＝π6时取得最值，①当函数f (x )在x ＝π6时取得最大值时，又因为函数f (x )的周期为π，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (π)，满足题意， ②当函数f (x )在x ＝π6时取得最小值时，又因为函数f (x )的周期为π，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (π)，不满足题意， 综合①②得：函数f (x )取得最大值时x 的可能值为π6.故选A. 答案：A11．(2019·某某一模)若函数f (x )＝sinωx2·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx 2＋π2(ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内有且仅有一个最大值，则ω的取值X 围是( ) A ．(0,5)B.[1,5)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，92 解析：f (x )＝sinωx2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx 2＋π2＝12sin ωx ，当ωx ＝2k π＋π2，即x ＝2k π＋π2ω(k ∈Z)时函数取最大值，又函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内有且仅有一个最大值，即有两种情况，一是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内只有一个极值点，二是函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内单调递增，所以有⎩⎪⎨⎪⎧π2≤ωπ2<5π2，－3π2<－ωπ3或⎩⎪⎨⎪⎧π2≥ωπ2，－π2≤－ωπ3，解得ω∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，92或ω∈(－∞，1]，又∵ω>0，所以ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92，故选C. 答案：C12．(2019·某某一模)函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos 2x ，若f (x )最大值为G (θ)，最小值为g (θ)，则( )A ．∃θ0∈R ，使G (θ0)＋g (θ0)＝πB ．∃θ0∈R ，使G (θ0)－g (θ0)＝πC ．∃θ0∈R ，使|G (θ0)·g (θ0)|＝πD ．∃θ0∈R ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ0)g (θ0)＝π解析：f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos 2x ＝cos θ·sin 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋12·cos 2x ＋12＝54＋sin θsin(2x ＋φ)＋12，所以G (θ)＝54＋sin θ＋12，g (θ)＝－54＋sin θ＋12， ①对于选项A ，G (θ0)＋g (θ0)＝54＋sin θ＋12－54＋sin θ＋12＝1，显然不满足题意，即A 错误，②对于选项B ，G (θ0)－g (θ0)＝54＋sin θ＋12＋54＋sin θ－12＝254＋sin θ∈[1,3]，显然不满足题意，即B 错误， ③对于选项C ，G (θ0)·g (θ0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋sin θ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋sin θ－12＝1＋sin θ∈[0,2]，显然不满足题意，即C 错误，④对于选项D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ)g (θ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪154＋sin θ－12＋1∈[2，＋∞)，即∃θ0∈R ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ0)g (θ0)＝π，故D 正确， 故选D. 答案：D13．(2019·某某模拟)函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1(x ∈R)的最大值为________．解析：∵f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f (x )max ＝2. 答案：214．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则函数f (x )的最小正周期为________． 解析：∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴x ＝π2和x ＝2π3均不是f (x )的极值点，其极值应该在x ＝π2＋2π32＝7π12处取得，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴x ＝π6也不是函数f (x )的极值点，又f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性， ∴x ＝π6－⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π2＝π12为f (x )的另一个相邻的极值点，故函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π.答案：π15．(2019·某某某某武邑中学模拟)将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上为增函数，则ω的最大值为________．解析：将f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到y ＝g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4ω＋π4＝2sin ωx 的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上为增函数，则满足T 4≥π4，即T ≥π，即2πω≥π，所以0<ω≤2，即ω的最大值为2.答案：216．已知函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≠0，ω>0，|φ|≤π2，直线y ＝a 与f (x )的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题： ①该函数在[2,4]上的值域是[a ，2a ]；②在[2,4]上，当且仅当x ＝3时函数取得最大值； ③f (x )的图象可能过原点． 其中真命题的个数为________．解析：对于①，∵直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，∴结合图象可以看出，当a >0时，f (x )在[2,4]上的值域为[a ，2a ]，当a <0时，f (x )在[2,4]上的值域为[2a ，a ]，①错误；对于②，根据三角函数图象的对称性，显然x ＝2和x ＝4的中点是x ＝3，即当a >0时，f (x )在x ＝3处有最大值f (3)＝2a ，当a <0时，f (x )在x ＝3处有最小值f (3)＝2a ，②错误； 对于③，f (0)＝2a sin φ，令f (0)＝0，得φ＝0，此时f (x )＝2a sin πωx ，由2a sin πωx ＝a 得sin πωx ＝22，则πωx ＝2k π＋π4(k ∈Z)或πωx ＝2k π＋3π4(k ∈Z)，∴x ＝2k ＋14ω(k ∈Z)或x ＝2k ＋34ω(k ∈Z)，∵直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，∴令⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋14ω＝2，2k ＋34ω＝4，解得k ＝18∉Z ，即不存在这样的k 符合题意，③错误． 综上，没有真命题． 答案：0。
第2讲 向量共线定理的应用向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁．例1 (1)若点M是△ABC所在平面内一点，且满足|3AM－A B－AC|＝0，则△ABM与△ABC的面积之比等于( )A.B.C.D.答案 C解析 ∵|3AM－AB－AC|＝0，∴3AM－AB－AC＝0，∴AB＋AC＝3AM.设BC的中点为G，则AB＋AC＝2AG，∴3AM＝2AG，即AM＝AG，∴点M在线段AG上，且＝.∴＝＝，易得＝＝，∴＝·＝×＝，即△ABM与△ABC的面积之比等于.(2)在△ABC中，AN＝AC，P是BN上的一点，若AP＝m AB＋AC，则实数m的值为_____ ___．答案 解析 方法一 ∵B，P，N三点共线，∴BP∥PN，∴存在实数λ，使得BP＝λPN(λ>0)，∴AP－AB＝λ(AN－AP)，∵λ>0，∴AP＝AB＋AN.∵AN＝AC，AP＝m AB＋AC，∴AP＝m AB＋AN，∴解得方法二 ∵AN＝AC，AP＝m AB＋AC，∴AP＝m AB＋AN.∵B，P，N三点共线，∴m＋＝1，∴m＝.例2 (1)(2020·河北省石家庄一中质检)在△ABC中，D为线段AC的中点，点E在边BC 上，且BE＝EC，AE与BD交于点O，则AO等于( )A.AB＋ACB.AB＋ACC.AB＋ACD.AB＋AC答案 A解析 如图，设AO＝λAE(λ>0)，又AE＝AB＋BC＝AB＋AC，∴AO＝λAB＋λAC＝λAB＋λAD.又B，O，D三点共线，∴λ＋λ＝1，∴λ＝，∴AO＝AB＋AC.(2)在△ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设AM＝x AB，AN＝y AC(xy≠0)，则4x＋y的最小值是________．答案 解析 由D为BC的中点知，AD＝AB＋AC，又AM＝x AB，AN＝y AC(xy≠0)，E为AD的中点，故AE＝AD＝AM＋AN，∵M，E，N三点共线，∴＋＝1，∴4x＋y＝(4x＋y)＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．∴4x＋y的最小值为.(1)若OA＝λOB＋μOC(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.(2)使用条件“两条线段的交点”时，可转化成两次向量共线，进而确定交点位置．1.如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F，设AB＝a，AC＝b，AF＝x a＋y b，则(x，y)等于( )A. B.C. D.答案 C解析 由题意得，AF＝x a＋y b＝x AB＋2y AE，∵B，F，E三点共线，∴x＋2y＝1，①同理，AF＝2x AD＋y AC，∵D，F，C三点共线，∴2x＋y＝1，②由①②得x＝y＝，∴(x，y)＝.2．(2020·河北省石家庄二中调研)已知在△ABC中，AB＝AC＝3，D为边BC上一点，AB·AD＝6，AC·AD＝，则AB·AC的值为________．答案 解析 ∵D为边BC上一点，可设BD＝λBC，∴A D＝AB＋BD＝(1－λ)AB＋λAC.∴①＋②得，9＋AB·AC＝，∴AB·AC＝.3．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P 在边BC上，且满足AP＝m AB＋n AD(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________．答案 解析 设AB＝a，AD＝b，则BC＝BA＋AD＋DC＝－a＋b＋b＝－a＋b.设BP＝λBC，则AP＝AB＋BP＝a＋λb.因为AP＝m a＋n b，所以1－λ＝m，λ＝n，消去λ得m＋n＝1，＋＝＝1＋＋＋≥＋2＝，当且仅当m＝4－2，n＝－4时等号成立．。
第2讲 平面向量、解三角形【课前热身】第2讲 平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC u u u r =e 1，DC u u u r =e 2，则OC u u u r= .【答案】12(e 1+e 2)【解析】因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BCu u u r =e 1，DCu u u r =e 2，所以OCu u u r =12(BC u u u r +DC u u u r)=12(e 1+e 2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a =(6，-3)，b =(2，x+1)，若a ⊥b ，则实数x= . 【答案】3【解析】因为a ⊥b ，所以a ·b =0，所以12-3x-3=0，解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC 中，设角A ，B 所对的边分别为a ，b.若2a sin B=3b ，则角A= .【答案】π3【解析】在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ，因为B 为△ABC的内角，所以sin B ≠0，所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1，0)，b =(2，1)，则当k= 时，向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行，因为向量k a -b 与a +3b 平行，所以1k =-13，即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=7，b=43，c=13，则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7，所以C<B<A ，又因为cosC=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=32，所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，α∈(0，π).(1)若m ⊥n ，求角α的大小； (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，且m ⊥n ，所以3cos α-sin α=0，即tan α=3.又因为α∈(0，π)，所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3，sin α-1)，所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0，π)，所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故当α+π6=π，即α=5π6时，|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin2-2A B+sin A sin B=22+.(1)求角C 的大小；(2)若b=4，△ABC 的面积为6，求c 的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=22+，所以cos C=22.又0<C<π，所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6，所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10，所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2a cos B，b=2，求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得222-2a b cab+=-12，即cosC=-12.因为0<C<π，所以C=2π3.(2)方法一：因为c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B )，所以sin(A+B )=2sin A cos B ，即sin A cos B-cos A sin B=0， 所以sin(A-B )=0.又-π3<A-B<π3，所以A-B=0，即A=B ，所以a=b=2. 所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.方法二：由c=2a cos B 及余弦定理，得c=2a×222-2a c b ac +，化简得a=b ，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.变式2 (2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC 中，tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C 的大小； (2)若A=15°，2，求△ABC 的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1， 即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC 中，1-tan A tan B ≠0，所以tan(A+B )=tan tan 1-tan tan A BA B +=1，即tan(180°-C )=1，tan C=-1. 因为0°<C<180°，所以C=135°.(2)在△ABC 中，A=15°，C=135°，则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CAB =sin ABC ，得sin15BC o =°sin30CA=2=2，故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-2 2，CA=2sin 30°=1.所以△ABC的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3(2016·无锡期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量a=(sin B-sin C，sin C-sin A)，b=(sin B+sin C，sin A)，且a⊥b.(1)求角B的大小；(2)若b=c·cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积.【解答】(1)因为a⊥b，所以a·b=0，即sin2B-sin2C+sin A(sin C-sin A)=0，即sin A sin C=sin2A+sin2C-sin2B，由正弦定理得ac=a2+c2-b2，所以cos B=222-2a c bac+=12.因为B∈(0，π)，所以B=π3.(2)因为c·cos A=b，所以bc=222-2b c abc+，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2R sin3，解得a=1，c=2.所以S△ABC =12ac sin B=3.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且m∥n.(1)求cos C的值；(2)若c=3，△ABC的面积S=15，求a，b的值.【解答】(1)因为m∥n，所以c cos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C=14.(2)因为C∈(0，π)，cos C=14，所以sin C=21-cos C=11-16=15.因为S=12ab sin C=15，所以ab=2.①因为c=3，由余弦定理得3=a2+b2-12ab，所以a2+b2=4，②由①②，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=2(a=-2舍去)，所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|=. 【答案】13【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b|=22(-3)2+=13.2.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，则实数m=.【答案】2【解析】方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a∥(2a+b)，所以1×8-(2+m)×2=0，故m=2.方法二：因为a∥(2a+b)，所以存在实数λ，使得λa=2a+b，即(λ-2)a=b，所以(λ-2，2λ-4)=(m，4)，所以λ-2=m且2λ-4=4，解得λ=4，m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cos B=35，则c=.【答案】7【解析】因为cos B=35，所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，从而sin B=45，所以sin C=sin(A+B)=sinA cos B+cos A sin B=2×35+2×45=72，又由正弦定理得sinaA=sincC，即52 =72c，解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=.(第4题)【答案】-10【解析】如图，作AD ⊥BC交BC 于点D ，设BC=3，则AD=BD=1，AB=2，AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A ，解得cos A=-10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC 中，BD u u u r =12BC u u u r ，AE u u u r=13AC u u u r ，AD 与BE 交于点P ，则PB u u u r ·PD u u ur 的值为 .(第5题)【答案】274【解析】如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (-3，0)，C (3，0)，则D (0，0)，A (0，33)，E (1，23)，P 330⎛ ⎝⎭，，所以PB u u u r ·PD u u ur =|PD u u u r |2=233⎝⎭=274.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3～4页.【检测与评估】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x ，y ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(2，y )，且a +2b =(5，-3)，则x+y= .2.(2016·盐城三模)已知向量a ，b 满足a =(4，-3)，|b |=1，|a -b |=21，则向量a ，b 的夹角为 .3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，则AC= .5.(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=3，CD=2，AM u u u u r =2MD u u u u r .若AC u u u r ·BM u u u u r =-3，则AB u u u r ·AD u u u r = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b a +ab =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB=2，AC=3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO u u u r =x AB u u u r+y AC u u u r (x ，y ∈R )，则x+y 的值为 .二、 解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A=35，tan(A-B )=-12.(1)求tan B 的值； (2)若b=5，求c 的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan ∠ADC=-2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若向量m =(a ，cos A )，向量n =(cos C ，c )，且m ·n =3b cos B.(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A +1tan C 的值.【检测与评估答案】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4，1+2y )=(5，-3)，所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩，，解得1-2x y =⎧⎨=⎩，，所以x+y=-1.2. π3【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由|a -b|=，得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ，即cos θ=12，所以向量a ，b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45，cos C=513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A=35，sin C=1213，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin aA ，解得b=2113.4. 1【解析】设AC=x，由余弦定理得cos 120°=29-13 23xx+⋅⋅=-12，即x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，所以AC=1.5.32【解析】方法一：设ABu u u r=4a，ADu u u r=3b，其中|a|=|b|=1，则DCu u u r=2a，AMu u u u r=2b.由ACu u u r·BMu u u u r=(ADu u u r+DCu u u r)·(BAu u u r+AMu u u u r)=-3，得(3b+2a)·(2b-4a)=-3，化简得a·b=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12a·b=32.方法二：建立平面直角坐标系，使得A(0，0)，B(4，0)，设D(3cos α，3sin α)，则C(3cos α+2，3sin α)，M(2cos α，2sin α).由ACu u u r·BMu u u u r=-3，得(3cos α+2，3sin α)·(2cos α-4，2sin α)=-3，化简得cos α=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】如图，设α=ABu u u r，β=ACu u u r，则β-α=BCu u u r，∠ABC=60°，设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β，所以|α|=233sin(120°-θ).因为0°<θ<120°，所以0°<120°-θ<120°，所以0<sin(120°-θ)≤1，所以0<|α|≤23.(第6题)7. 4 【解析】b a +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2⇒3(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ，所以tan tan C A +tan tan CB =sin cosC C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2222-aba b c +·2c ab =22223-2c c c=2222c c =4.8. 58 【解析】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边上的中线，且AD ∩CE=O.在△AEO 中，由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中，由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin COCAO ∠，两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1，AC=3，所以EO OC =13，所以CO u u u r =3OE u u u r ，即AO u u u r -AC u u u r =3(AE u u u r -AO u u ur )，即4AO u u u r =3AE u u u r+AC u u u r ，所以4AO u u u r =32AB u u ur +AC u u u r ，从而AO u u u r =38AB u u u r +14AC u u u r .因为AO u u u r =x AB u u u r+y ACu u u r ，所以x=38，y=14，所以x+y=58.(第8题)二、 解答题9. (1) 方法一：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12，得tan B=2.方法二：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tanA=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12，所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2，得sin B=255，cos B=55， 所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理sin bB =sin cC ，得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC=255，cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=，在△ADC 中，由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=.(2) 因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=，sin ∠BCD=sin ∠ADC=.在△BDC 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD ， 即BC 2-2BC-35=0，解得BC=7，所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ，所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B ， 所以sin(A+C )=3sin B cos B ， 所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B=13.(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13，B 是△ABC 的内角，所以sinB=，又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅=sin sin sin B A C=2sin sin B B =1sin B=.。
三角函数与平面向量三角函数和平面向量是数学中最常用的基础概念，两者之间具有紧密的联系。
三角函数是一类特殊的数学函数，它是以弧度为单位、以正弦函数、余弦函数和正切函数为基础的函数，它们可以表示圆上任意一点的位置。
而平面向量是一种特殊的几何形式，它以一个箭头来表示，由一个起点和一个终点组成，可以表示二维平面上的任意方向。
三角函数和平面向量之间的关系可以从三个方面来理解：第一，三角函数可以用来表示平面向量的大小；第二，三角函数可以用来表示平面向量的方向；第三，三角函数可以用来表示平面向量的旋转。
（1）三角函数可以用来表示平面向量的大小。
如果将一个平面向量等分成两部分，一部分为x轴方向的分量，另一部分为y轴方向的分量，那么这两个分量的比例就可以用三角函数来表示。
具体来说，如果将平面向量的起点固定在原点，那么平面向量的长度可以用极坐标系中的模m=|a|=√(x2+y2)来表示，而平面向量的方向可以用极角θ=arctan(y/x)来表示，其中x和y分别为平面向量的x 轴和y轴分量。
（2）三角函数可以用来表示平面向量的方向。
平面向量的方向可以用极角θ=arctan(y/x)来表示，其中x和y分别为平面向量的x轴和y轴分量。
这里的极角θ可以被看作是平面向量的方向，即平面向量与x轴之间的夹角。
通过求解极角θ，就可以得到平面向量的方向。
（3）三角函数可以用来表示平面向量的旋转。
在三维空间中，平面向量可以沿着一个指定的轴旋转，而这个旋转的角度可以用三角函数来表示。
比如，在二维空间中，平面向量沿着x轴旋转θ角度后，可以使用余弦函数cosθ来表示新的x轴分量，使用正弦函数sinθ来表示新的y轴分量，从而可以得到新的平面向量。
总之，三角函数和平面向量之间具有千丝万缕的联系，它们在数学中都具有重要的意义，在几何学中也发挥着重要的作用。
只有充分理解了它们之间的联系，才能在数学和几何学中取得更好的成绩。
尖子生辅导材料2──三角函数与平面向量 姓名________导语:三角函数近年来一直是高考必考的内容之一,三角函数的图象与性质是考查的重点,如图象的变换、单调性、周期性、奇偶性、最值等,并且常与三角变换公式相互联系,有时还与平面向量、解三角形、不等式内容相互交汇,题型为“一小一大”.解答题可能出现的题型有三种:其一,以三角函数的图象和性质为主体,结合平面向量综合考查;其二,以三角恒等变换为主题,综合考查三角函数的运算与性质;其三,与解三角形结合,主要考查正、余弦定理的简单应用及三角形中三角函数问题(与两角和与差的三角函数有关),试题难度大多是中低档题.平面向量是解决数学问题的有力工具,广泛用于三角函数、立体几何、解析几何的教学中,平面向量作为一种工具,与数列、不等式、三角函数、圆锥曲线等知识相结合,体现众多知识点的交汇,有很强的综合性.问题展示解密高考:1. 函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是( )()1A - 2()2B -2()2C ()0D2. 为了得到函数sin(2)6y x π=-的图象,可以将函数cos 2y x =的图象( )()A 向右平移6π个单位长度 ()B 向左平移6π个单位长度()C 向右平移3π个单位长度 ()D 向左平移3π个单位长度3. 设()()sin f x x ωϕ=+,其中0ω>,则()f x 是偶函数的充要条件是( )(A )()01f = (B )()00f = (C )()01f '= (D )()00f '=4. 函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OB OA OB -⋅=( ) ()4A - ()2B ()2C - ()4D7. 已知等边三角形ABC 的边长为1，则AB BC ⋅= .8. 在平行四边形ABCD 中,1AD =,60BAD ︒∠=,E 为CD 的中点,若1AC BE ⋅=, 则AB 的长为_____.13.已知向量sin ,cos ,cos ,sin 3366x x a A A b ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,函数()f x a b =⋅(0,A x R >∈),且(2)2f π=. ()Ⅰ求函数()y f x =的表达式;()Ⅱ设,[0,]2παβ∈,16(3),5f απ+=5203213f πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,求cos()αβ+的值.14已知锐角三角形ABC 中，31sin(),sin().55A B A B +=-=()Ⅰ求证:tan 2tan A B =;()Ⅱ设3AB =,求AB 边上的高.15.已知函数()sin()(,0,0)2f x A x x R πωϕωϕ=+∈><<的部分图象如图所示.()Ⅰ求函数()f x 的解析式; ()Ⅱ求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间.巩固训练:1. 已知函数()cos()f x A x ωϕ=+的图象如图所示,2()23f π=-,则(0)f =( )2()3A - 2()3B 1()2C - 1()2D2. 在平面直角坐标系中,函数1()2(0,1)x f x a a a +=+>≠且的图象恒过定点P ,若角θ的终边过点P ,则2cos sin 2θθ+=( )1()2A -1()2B7()10C 7()10D -3. 如图,设P 、Q 为ABC △内的两点,且2155AP AB AC =+,2134A AB AC =+Q ,则ABP △ 的面积与AB △Q 的面积之比为( ) 1()5A 4()5B 1()4C 1()3D8. 在ABC△中,角A B C、、所对边分别为a b c、、,且tan21tanA cB b+=.()Ⅰ求角A; ()Ⅱ若(0,1)m=-,2cos,2cos2Cn B⎛⎫= ⎪⎝⎭,试求m n+的最小值.问题展示解密高考答案: 1─6 BCD DBD17.2-18.29.①③ 10.(,0)-∞,13(,)22; 11. 6 12.42.提示: ∵sin(2)cos(2)662y x xπππ=-=--即cos2()3y xπ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦④由①知()3sin2cos22sin26f x b x b x b xπ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，0b>，由222262k x kπππππ-++剟2知236k x kππππ-+剟2，所以③不正确；⑤由①知30a b=>，要经过点(,)a b的直线与函数()f x的图象不相交，则此直线与横轴平行，又()f x的振幅为23b b>，所以直线必与()f x图象有交点.⑤不正确.命题意图:本题考查辅助角公式的应用，考查基本不等式，考查三角函数求值，考查三角函数的单调性以及三角函数的图象.10.本小题主要是向量加法的平行四边形法则的运用作PEOF(如图)观察得知OP OE OF=+(其中,OE xOA OF yOB==)∴x的取值范围是(,0)-∞,当12x=-时,y的取值范围是13(,)2212.方法一:特殊化考虑(可以作为猜答案的方法)已知条件和所求结论对于角A B、和边a b、具有轮换性.当A B=或a b=时满足题意,此时有:1cos3C=,21cos1tan21cos2C CC-==+,2tan22C=,1tan tan2tan2A BC===,tan tan4tan tanC CA B+=.方法二:226cos6cosb aC ab C a ba b+=⇒=+，2222222236,22a b c cab a b a bab+-⋅=++=2tan tan sin cos sin sin cos sin sin()1sintan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sinC C C B A B A C A B CA B C A B C A B C A B+++=⋅=⋅=⋅由正弦定理,得上式=22222214113cos()662c c ccC ab a b=⋅===+⋅.考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转化思想、一题多解.13.解:()Ⅰ依题意得()sin cos cos sin3636x xf x A Aππ=+sin36xAπ⎛⎫=+⎪⎝⎭(2分)∴5sin 13β=, (10分)又∵[0,]2πβ∈,∴12cos 13β= ∴4123533cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ+=-=⨯-⨯= (12分14.解:()Ⅰ证明:31sin(),sin(),55A B A B +=-=评:本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力.要证明ta n A =2ta n B ，结合题设条件将A +B 、A -B 的正弦展开，再两式相除；求AB 边上的高，可运用方程思想，结合ta n A 、ta n B 的值将其转化为已知中AB 的长．解决第2问的关键是如何通过方程思想将角A 、角B 、边AB 、边AB 的高之间的关系衔接起来. 15.解:()Ⅰ由题设图象知,周期11522(),21212T Tππππω=-=∴==.【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质.第一问结合图形求得周期1152(),1212T πππ=-=从而求得22Tπω==.再利用特殊点在图象上求出A ϕ、,从而求出()f x 的解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及sin()y A x ωϕ=+的单调性求得.巩固训练答案: 1─3 BAB 4.234+5.①②③6.2 1.【解析】由图象可得最小正周期为23π,于是2(0)()3f f π=,注意到23π与2π关于712π对称∴22()()323f f ππ=-=.4.解:依题设知31,cos 3,cos 88A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、,∴33cos cos 88OA OB ππ⋅=+=3cos sin 88ππ+=13cos 24π+=234+6.[解析]设AOC α∠=OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩，即01cos 21cos(120)2x y x yαα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩ ∴02[cos cos(120)]cos 3sin 2sin()26x y πααααα+=+-=+=+≤8.解:()Ⅰtan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B +=⇒+=即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B C B A B+=,注: 本题主要考查解三角形和向量的运算等相关知识,要求学生涉及三角形中三角恒等变换时,要从化角或化边的角度入手,合理运用正弦定理或余弦定理进行化简变形；在第二小题中,要强调多元问题的消元意识,进而转化为函数的最值问题,注意定义域的确定对结论的影响，并指明取最值时变量的取值.。
第二讲 三角函数与平面向量第一节 三角函数的化简、求值及证明三角函数的化简、求值及证明涉及恒等变换，而三角函数的恒等变换是历年高考命题的热点. 它既可以出现小题（选择或者填空），也可以与三角函数的性质，解三角形，向量等知识结合，参杂、渗透在解答题中，它们的难度值一般控制在0.5-0.8之间. 提高三角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简及证明的方法和技能.考试要求 ⑴理解同角三角函数的基本关系式；（2）会推导两角和与差、二倍角的余弦、正弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换；（3）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；(4)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.题型一 已知三角函数的值求角问题例1 （１）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22a b -=，sin C B =，则A =（ ）．Ａ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒（２）若),0(,πβα∈，31tan ,507cos -=-=βα，求α+2β= .点拨 本题（１）应先利用正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理求角A . 题（２）首先应求α+2β的函数值，为了使角的范围好控制，这里选用正切值好一点，然后根据条件依次找出所需的条件，要注意角的范围. 解三角形的问题关键是灵活运用正弦定理和余弦定理，正确进行边化角、角化边，探寻解答. 题（２）最困难的地方在于确定α+2β的范围，一般地，根据已知条件，把角的范围限制得越精确，结果也越准确.解（１）由sin C B =及正弦定理，得c =，代入22a b -=，得2226a b b -=⋅=，即227a b =，又2212c b =，（为什么从角化边入手？）由余弦定理222222cos 2b c a A bc +-====，（选用余弦定理合理否？） 所以30A =︒．故选Ａ．（２）∵),0(,πβα∈，507cos -=α，∴),0,33(71tan -∈-=α),0,33(31tan -∈-=β∴),65(,ππβα∈，（为什么要把角的范围定得这样精确？） α+2β)3,25(ππ∈,又tan2β=43tan 1tan 22-=-ββ, ∴12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα,∴α+2β=411π.易错点 题（１）记错公式、忘记讨论角的范围或者代数运算不熟练是造成这类解三角形问题的出错的主要原因.这里选用余弦定理求角是正确的，如果选用正弦定理求角就不合理，一是出现2个角，二是要讨论舍弃1个角，更容易出错；题（２）中，角的范围容易忽略或放大，导致错误. 变式与引申1：已知α，β为锐角，tanα=17，sinβ=1010,求2α+β的值. 题型二 三角函数化简、求值问题例2 （2011江西卷文科第17题）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边是a ,b ,c ,已知3cos cos cos a A c B b C =+ （1）求cos A 的值（2）若a =1, cos cos B C +=,求边c 的值.点拨(1)合理且灵活运用正弦定理和余弦定理,选择是从角化边入手还是边化角入手；（2）关键是如何利用已知条件cos cos B C +=sin C ,再利用正弦定理求出c . 解：（1）由 C b B c A a cos cos cos 3+=正弦定理得： )sin(cos sin cos sin cos sin 3C B C B B C A A +=+=及：A A A sin cos sin 3=所以31cos =A 。
（2）由332cos cos =+C B332cos )cos(=+--C C A π展开易得：36sin 3sin 2cos =⇒=+C C C正弦定理：23sin sin =⇒=c C c A a 易错点 本题涉及到正弦定理、诱导公式及三角形内角和为180°这两个知识点的考查, 不知道利用A B C π++=将已知条件cos cos 3B C +=中的角化成同角,从而利用恒等变形得出sin C .再由正弦定理求出c 变式与引申2：（2011江西卷文理科科第17题）在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2sin1cos sin CC C -=+. （1）求C sin 的值；（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值.题型三 三角函数的取值范围问题例3 已知函数()()21cot sin sin sin 44f x x x m x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）当0m =时，求()f x 在区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围； （2）当tan 2α=时，()35f α=，求m 的值. 点 拨 （1）首先把()f x 变换成()()sin f x A x B ωϕ=++的形式，要特别注意在限定区间上求()f x 的取值范围；（2）如何把正切值转换为已知的三角函数值，从而求出m 的值.解 (1) 当，()2sin sin cos f x x x x =+()11sin 2cos 222x x =-+1242x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.由x ∈3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦520,44x ππ⎡⎤⇒-∈⎢⎥⎣⎦，得sin 24x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，从而()f x 在区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是⎡⎢⎣⎦. （2）()2sin sin cos cos 22m f x x x x x =+-=1cos 21sin 2cos 2222x m x x -+- =()11sin 21cos 222x m x -++⎡⎤⎣⎦ . 由tan 2α=，得 2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos 1tan 5ααααααα===++ ，222222cos sin 1tan 3cos 2sin cos 1tan 5ααααααα--===-++ .所以，由()143312555m ⎡⎤⎛⎫-+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ，求得 -2m =. 在高考中，本题第（2）小题还出现一些新的解法，同学们不妨一试：解法思路：由22sin cos 1,sin 2cos αααα⎧+=⎨=⎩ ⇒21cos 5α=，从而有四条思路：（1）()2sin sin cos cos 22m f ααααα=+-23cos α=，化成关于2cos α的等式，求出m =-2;（2）()2sin sin cos cos 22m f ααααα=+-()223sin cos 5αα=+，同（1），求出m =-2.（3）()2231sin cos sin cos 225m m f ααααα⎛⎫=+-+= ⎪⎝⎭，同（1），求出m =-2.（4）由sin 2cos αα=，()f α=()()22232cos 2cos 2cos 125m ααα+--=，求出m =-2.易错点 记错二倍角公式；不会在区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，联系三角函数图像求函数的取值范围；或运用公式不合理，产生错误.例如用tan 2α=，去求sin ,cos αα，容易出现符号处理带来的麻烦等等.变式与引申3：已知向量),(b c a m +=，),(a b c a n --=，且m n ⊥，其中A 、B 、C 是∆ABC 的内角，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边．（1）求角C 的大小；（2）求B A sin sin +的取值范围．题型四 三角函数化简、求值的综合应用例4 已知角,,A B C 是三角形的ABC ∆三内角，向量(1m =- ,(cos ,sin )n A A =,1m n ⋅= ，且221sin 2cos sin 3B B B+-=-.（1）求角A ； （2）求tan C ；（3）若AC ，求ABC ∆的面积S ．点拨 本题难在第（2）题，若整理成关于角B 的二次式或齐次式，运算则相对简单；第（3）题也要注意选择运算简单的思路.解（1）∵1m n ⋅= , ∴()(cos ,sin 1A A -⋅= , cos 1A A -=.122(sin cos )1A A ⋅=,162sin()A π-=.∵0A π<<,∴5666A πππ-<-<,∴66A ππ-=, ∴3A π=. （2）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=，∴cos 0B ≠, ∴2tan tan 20B B --=.∴tan 2B =或tan 1B =-.而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去. ∴tan 2B =.∴tan tan tan tan[()]tan()1tan tan A B C A B A B A B π+=-+=-+=-==-.（3）由（1）知， 得sin A =tan 2B =，故sin B B ==, 由正弦定理sin sin AC BC B A =，∴sin 15A BC AC =⋅=.∴1sin sin[()]sin()2C A B A B π=-+=+==.故三角形的面积190216sin S AC BC C +=⋅=.易错点 求解本题，易错点有二：一是本题有点运算量,很容易由于选择的解法运算繁琐而算错；二是不会根据条件回避讨论.由角的范围或其它隐含条件去讨论甄别函数值至关重要，也很容易出错．其它解法思路：化简2212sin cos 3cos sin B BB B+=--时，也有很多的思路，如： ⑴由2(sin cos )sin cos 3(cos sin )(sin cos )cos sin B B B BB B B B B B++==--+-,得tan 2B =；⑵由222222cos sin 2sin cos 1tan 2tan 3,cos sin 1tan B B B B B B B B B++++==---得tan 2B =等.变式与引申4：在例4题（3）中，若内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且a =求边c 的长.本节主要考查 ⑴三角函数的公式及其在化简、求值和证明中的运用；⑵ 恒等变换的能力和运算能力；⑶三角形中的边、角、面积等关系（正余弦定理）；（4）等价转化的数学思想方法等等.点评 高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出.因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质.以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识.本节涉及的知识与技能主要有:（1）三角函数式的化简问题，在最后所得到的结果中，要求所含函数和角的名称或种类最少,三角函数名称尽可能统一，各项的次数尽可能地低，出现的项数最少，一般应使分母和根号不含三角函数式，对能求出具体数值的，要求出值．（2）三角函数的求值问题，是训练三角恒等变换的基本题型，求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形.在化简和求值中，重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围尤其要注意讨论.（3）证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时，需要仔细观察题目的特征，灵活、恰当地选择公式.证明时常用的方法有：①从一边开始，证明它等于另一边；②证明左右两边同等于同一个式子；③证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立；④分析法等.（4）近年的考纲明确提出要加强对正余弦定理的考查，且常结合三角形内的三角恒等变换进行考查．解三角形这类题目的解答程序是：一是看方向（是从角化边入手还是边化角入手）；二是用定理（合 理且灵活运用正弦定理和余弦定理）；三是定答案（根据取值范围讨论并确定答案）.还要特别注意三角形中三个角A 、B 、C ，三条边a 、b 、c ，中线m a ，角平分线AD ，外接圆半径R ，内切圆半径r ，三角形面积S 之间的关系和三角形的形状.（5）三角函数的综合问题常常与向量，二次函数等有关，但着力点还是三角知识，尤其是利用二倍角公式、“切化弦”、同角三角函数的基本关系、两角和与差等进行恒等变形，是高考考查的重中之重. 解答这类综合问题的原则是三点：降次——化次数较高的三角式为次数较低的三角式； 减元——化多种三角函数为单一的三角函数； 变角——化多角的三角函数为单角的三角函数. 还要特别注意：①1的变化：22221sin cos tan cot cos 22sin 2cos cos 2x x x x x x x x =+=⋅=+=-sincos 0tan24ππ===②角的变化：()()()(),2,2,βαβαααβαβαβαβα=+-=++--=-+③化切为弦、升幂公式、降幂公式的合理运用；④在理解的基础上熟记和灵活运用各种公式，包括正用公式、反用公式和变用公式.习题2－11. 已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，则函数y =10432log 21++x x 的最小值为( ).A.8B.52C.12- 2.在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b a C a b +=，则tan tan tan tan C CA B+=________．3.已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<<⎪⎝⎭，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值． 4. 在ABC ∆中，角C B A ,,满足.02cos 2coscos 42=++B C A B (1)求角B 的大小；(2)求C A sin sin +的取值范围.5.已知向量m 4x ，1），n ＝(cos 4x ，2cos 4x ). （1）若m •n =1,求2cos()3x π-的值; （2）记f (x )= m •n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，且满足（2a -c ）cos B =b cos C ，求函数f (A )的取值范围.第二节 三角函数的图像、性质及其变换近几年高考对“三角函数”一章三角的考查要求略有降低，而对三角函数的图像、性质的考查有逐步加强的趋势. “考试大纲”将三角函数的图象和性质，由“了解”改为“理解”，提高了一个层次.因此，考生在复习中要作出相应的调整.它们的难度值一般控制在0.5-0.8之间，且在解答题中大多需要利用三角函数的变换和性质求解.考试要求 ⑴理解正弦函数、余弦函数的定义、性质,理解正切函数的单调性；⑵了解函数的物理意义，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，了解参数 对函数图像变化的影响. 题型一 由“参”定“形”，由“形”定“参” 【例1】点拨：（1）在函数y ＝A sin （ωx ＋ϕ）的有关问题中，只要确定了这三个参数A ，ω，φ，则该函数的图像、性质等就出来了；同理，（2）中，已知图像求解析式问题，关键也是确定三个参数A ，ω，φ，最困难的就是求φ.于是，本题的答案为②、③．例2.已知函数sin()(0,0,||)y A x A ωϕωϕπ=+>><的图象如图所示, 则它的解析式为_______.点拨：已知图像求解析式问题，关键也是确定三个参数A ，ω，φ， 尤其是求φ. 解析:由图知以下求ϕ的值有多种方法可供选择：易错点 例（１）中，选项“”的含义容易被误解；例（2）中，已知图像求解析式中的φ时，常常由于方法不当或范围不清晰而不能求出准确值.点评：三角函数的图像由若干个参数确定(即由“参”定“形”)，同时，已知三角函数的图像也能够确定这若干个参数（即由“形”定“参”).本例所用的方法带有普遍性，用来求解有关函数y ＝A sin （ωx ＋ϕ）的图象问题十分奏效.变式与引申1：若将函数()cos 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数cos 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为（ ）A ．16B . 14C . 13D .12题型二 利用图像的性质解题【例3】设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积，已知函数y ＝sin nx 在[0，nπ]上的面积为n 2（n ∈N * ），（1）y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为 ；（2）y ＝sin （3x －π）＋1在[3π，34π]上的面积为 . 点拨：本题解题的关键是审题，可以画个草图帮助理解题意，如图222--.第（1）问简单，第（2）问的函数图像有了变化：向右移动3π个单位，再向上移动1个单位；其所求的面积就是图中直线3x π=,43x π=，x 轴以及y ＝sin （3x －π）＋1的图像 所围成图形的面积. 可以把直线y =1上方的两 个“波峰”拿一个填入“波谷”，得到一个矩形 和一个“波峰”，其面积容易求出. 【解析】（1）T=32π, n =3,一个周期的面积为43.（2）S=1×(34π-3π)+23=32+π. 易错点: 第（2）问审题容易出问题，结合图像能够帮助理解题意.点评：本题主要考查了正弦函数的图象的平移变换、对称变换及其应用，解题时要注意观察题目函数图像的特点随机应变，如本题可利用图像的对称性解题.变式与引申2：已知函数x y cos 2=，x ∈[0, π2]的图象和直线y =2围成一个封闭的平面图形，求该图形的面积.题型三 三角函数性质的应用 【例4】已知函数()b x a x x x f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛+=cos 6sin 6sin ππ（,R a b ∈，且均为常数）， （1）求函数()x f 的最小正周期； （2）若()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,3π上单调递增，且恰好能够取到()x f 的最小值2，试求b a ,的值． 点拨 研究三角函数的性质（如周期、最值、单调性、奇偶性等）时，首先应该对所给的函数关系式进行化简，最好化为一个角（形如ϕ+wx ）、一种三角函数的形式． 【解析】（1） ()b x a x x x f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛+=cos 6sin 6sin ππ b x a x ++=cos 6cossin 2πb x a x ++=cos sin 3()b x a +++=θsin 32（其中tanθ=）， 所以，函数()x f 的最小正周期为π2．（2） 由（1）可知：()x f 的最小值为b a ++-32，所以，232=++-b a ．……… ①另外，由()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,3π上单调递增，可知()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,3π上的最小值为⎪⎭⎫⎝⎛-3πf ， 所以，2,273f a b π⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭得，……… ② 联立①②232=++-b a 解得：1,4a b =-=.易错点: 在题（2）中，不能利用隐含条件”()x f 的最小值2”正确列出方程组，还有计算1,4a b =-=时也容易出错.变式与引申3：已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω<<>+=x x f 的图象与直线b y =)01(<<-b 的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4.（1）求)(x f 的解析式，并写出)(x f 的单调递减区间； （2）设)()2()(x f x f x g +=，求函数)(x g 的值域. 题型四 三角函数的图象和性质的综合应用【例4】已知函数c x b x a y ++=cos sin 的图象上有一个最低点)1,611(π，将图象上的各点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的π3倍，然后再向左平移1个单位得到)(x f y =的图象，且方程3)(=x f 的所有正根构成一个以3为公差的等差数列，求)(x f y =的解析式及其最小正周期、单调递减区间.点拨 本题比较难，首先难在审题上，要理清各层题目意思；其次，原题中的函数不但有a ,b ,c 三个 参数，而且图像也不在标准位置上；第三难在通过图像变换后，会得到什么样的函数图像，还有方程的根正好构成等差数列又怎么理解.解题思路分析如下：第一步，要化成同名函数；其次是利用转化的思想，把“三元”化为“一元”，这可以通过图象上有一个最低点)1,611(π来转化得到；然后处理图像变换，得出y =f (x )的含参解析式；最后利用等差数列求出参数c .此题是三角函数图象的综合应用题，要正确解答必须对三角函数图象变换的基本特性有较深刻的认识，考查综合应用知识的能力，和数形结合、转化的数学思想.解决三角函数的图象变换问题，要注意以下两方面：首先要化为同名函数；其次是周期变换发生在相位变换之前时，应明确平移的量是什么.还要充分运用数形结合、转化等数学思想解题.【解析】将函数化为abc x b a y =+++=ϕϕtan ,)sin(22其中，由条件得117227623(1)sin(2)311k k y c x k c c c πππϕπϕπππ⎧⎧+=-=-⎪⎪⇒⇒=-+-+⎨⎪==-⎩ c x c y +--=⇒)3sin()1(π，下一步是关键是求出参数c ，显然)(x f y =的周期263T ππ==，其半周期的长度恰好为3.而3)(=x f 可看成)(x f y =的图象与直线3=y 的交点的横坐标，且由半 周期的长度为3可知，相邻交点间的距离也为3，从而由 三角函数图象的特征知道，3=c ，否则无法满足半周期为3. )(x f y =的图象与与直线3=y 的交点只可能是在)(x f y =的各 对称中心),3(c k ，对称轴向上平移了3个单位，即3=c ，如图223--.从而33sin2)(+==xx f y π,单调递减区间为39[6,6]()22k k k Z ++∈. 易错点 本题易出错的地方是平移、伸缩时，解析式的变化，再就是用等差数列的条件时讨论不全． 变式与引申4：函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f (x )= 1－sin x +1＋sin x 的性质，并在此基础上，作出其在[,]ππ-的草图． 本节主要考查 ⑴三角函数的图象，包括：①y =sin x 、y =cos x 、y =tan x 的图象；②“五点法”画出y =A sin （ωx +φ）的简图；③利用平移和伸缩变换画出y =A sin （ωx +φ）的图象；⑵三角函数性质，包括奇偶性，单调性，周期性，最值；⑶三角函数的图象和性质的综合应用；（4）等价转化，数形结合等数学思想方法.点评 高考对三角函数的图象和性质一向是考查的重点，在复习过程中要注意与三角函数的化简、求值等基础知识，以及三角函数的恒等变形等结合起来，还要注意与代数、几何、向量的综合联系.复习的重点是正、余弦函数的图象变换及其应用，掌握它们的性质,其中单调性又是本节的一个难点.1.对三角函数图象要从对称轴和有界性这两个角度去把握，对称性包括对称轴和对称中心两个关键要素，要熟记y =sin x 、y =cos x 、y =tan x 的对称轴和对称中心．2．对三角函数性质的研究要首先建立在定义域的基础之上．而求三角函数的定义域往往要解三角不等式，解三角不等式的方法一般表现为图象法或三角函数线法．对三角函数性质的考查总是与三角变换相结合．一般解题规律是先对三角函数关系式进行三角变换，使之转化为一个角的三角函数的形式，再利用换元法转化为对基本三角函数性质的研究．3. 求三角函数的最值问题属于常见题型，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换和换元化为一次函数或二次函数在闭区间[1,1]t ∈-上的最值问题,或引入辅助角ϕ,或采用“不等式”法,或“数形结合”等基本类型处理.4.对函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)＋k (A ＞0, ω＞0, ϕ≠0, k ≠0),其图象的基本变换是个难点，各种变换的实质要熟练掌握，不能单从形式上简单判断．5．“五点法”是三角函数作简图的有力武器,要熟练掌握.最基本的三角函数图象的形状和位置特征，要准确掌握，它是利用数形结合思想解决三角函数问题的关键．6.主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式. 7．常用方法：(1)求三角函数的值域、最值：利用正弦、余弦函数的有界性，通过变换转化为代数最值问题；π−−−−−−−−−−→3所有点的横坐标缩小到原来的倍(1)sin()33y c x c ππ=--+1−−−−−−−−→所有点向左平移个单位长度(1)sin[(1)](1)sin 333xy c x c y c c ，p p p =-+-+?-+图223--(2)求周期：将函数式化为一个三角函数的一次方的形式，再利用公式，利用图象判断.习题2－21.如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为2. 函数xxy sin 2cos 3+=的值域是3.函数f (x )=a +b sin2x +c cos2x 的图象经过点A （0，1），B （4π，1）,且当x ∈［0, 4π］时，f (x )取得最大值22－1．（1）求f (x )的解析式；（2）是否存在向量m ，使得将f (x )的图象按向量m 平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个m ;若不存在，说明理由.4.已知函数()sin(),(0,0,,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈的图像的一部分如图2-2-5所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）当2[6,]3x --∈时，求函数()(2)y f x f x =++的最大值与最小值及相应的x 的值.5．设函数f(x)=a ·b ，其中向量a =(2cos x ，1)，b =(cos x ，3sin2x )，x ∈R. （1）若f(x)=1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ； （2）试作出函数f (x )在一个周期内的简图；(3) 设函数f(x)的最大值为M ，若有10个互不相等的正数,)(M x f x i i =满足且)10,,2,1(10 =<i x i π，求1021x x x +++ 的值.第三节 平面向量与代数的综合应用平面向量与代数的综合应用为每年高考必考内容，以选择题（填空题）形式出现，或作为题设条件与三角函数（解三角形）、数列、函数不等式形成综合解答题的形式出现，分值在4～12分左右；向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，这使它成为中学数学知识的一个交汇点，也成为多项内容的媒介，在高考中主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用，难度系数在0.4～0.8之间.考试要求 ⑴理解平面向量的概念，理解两个向量相等及向量共线的含义；⑵掌握向量的加法、减法及数乘运算；⑶了解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，理解用坐标表示向量的加法和减法运算及数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件；⑷理解平面向量的数量积的含义及其物理意义，掌握数量积的坐标表达式并会进行数量积的运算，能用数量积表示两向量的夹角，图224--图225--会用数量积判断两向量的垂直关系. 题型一 平面向量的有关概念及应用 例1定义平面向量之间的一种运算“ ”如下，对任意的=(m,n)a ，(p,q)b =，令a b =mq np -，下面说法错误的是（ ）（A ）若a 与b 共线，则a 0b = （B ）a b =b a（C ）对任意的R λ∈，有()a λ (b a λ= )b （D ）(a 2222)()||||b a b a b +⋅= 点拨：仿照平面向量的线性运算规则及数量积的性质进行“ ”运算.解：若a 与b 共线，则有a b =mq np=0-，故A 正确；因为b a=pn qm -， 而a b =mq np -，所以有a b ≠b a，故选项B 错误，选B.易错点：把定义的运算“a b =mq np -”混同与“a b⇔mq np=0-”，认同选项B 正确.变式与引申1：已知两个非零向量,m n ，定义运算“#”：#||||sin m n m n θ=⋅ ，其中θ为,m n的夹角．有两两不共线的三个向量,,a b c，下列结论：①若##a b a c = ，则b c = ；②##a b b a = ；③若#0a b = ；则a b ；④()###a b c a c b c +=+ ；⑤#()#a b a b =-．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个题型二 平面向量与三角函数的综合应用例2：已知向量(sin ,1)a x =- ，3(cos ,)2b x = ． (1)当a b 时，求2cos 3sin 2x x -的值；(2)求()()f x a b b =+⋅的最小正周期和单调递增区间．点拨：(1)由向量平行列方程解出tan x 的值，所求式子转化成正切单角名称的三角代数式，代入可求解；(2)进行向量坐标形式的数量积运算得到()f x 的解析式，转化为sin()y A x b ωϕ=++函数结构.解：(1)由a b 得3sin cos 02x x +=，即tan x 2=3-，所以2cos 3sin 2x x -222cos 6sin cos sin cos x x x x x-=+216tan 1tan x x -=+4513=. (2) 因为(sin ,1)a x =- ，3(cos ,)2b x = ；所以a b + =1(sin cos ,)2x x +；()()f x a b b =+⋅3(sin cos )cos 4x x x =++15(sin2cos2)24x x =++5)244x π=++；所以最小正周期为π;由222242k x k πππππ-++<<得388k x k ππππ-+<<，故单调递增区间为3(,)88k k ππππ-+(k Z ∈).易错点：计算tan x 的值出错；()f x 转化为sin()y A x b ωϕ=++形式出错；下结论时遗漏k Z ∈.变式与引申2：【2010•辽宁理数】平面上O,A,B 三点不共线，设OA a =uu r r ，OB b =u u u r r，则△OAB 的面积等于D . 题型三 平面向量与数列的综合应用例3在平面直角坐标系中已知(,)n n A n a 、(,)n n B n b 、(1,0)n C n -()n N +∈,满足向量1n n A A + 与向量n n B C共线，且点(,) ()n n B n b n N +∈都在斜率为6的同一条直线上.若116,12a b ==.考资(1) 求数列{}n a 的通项公式n a ； (2) 求数列{1na }的前n 项和n T ..点拨：利用点(,) ()n n B n b n N +∈都在斜率为6的同一条直线上和1n n A A + 与n n B C共线分别得出数列递推公式16n n b b +-=和1n n n a a b +-=，求出n b 后再求n a 的通项公式. DB 点拨解：(1)因为点(,) ()n n B n b n N +∈都在斜率为6的同一条直线上，所以1=6(1)n n b b n n +-+-，即16n n b b +-=于是数列{}n b 是等差数列，故126(1)66n b n n =+-=+；因为11(1,)n n n n A A a a ++=- ，(1,)n n n B C b =-- ；又因为n n 1n n A A B C + 与共线，所以11()(1)()0,n n n b a a +⨯----= 即1n n n a a b +-=，当n≥2时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-…11231n a b b b b -=+++++…11(1)3(1)(2)a b n n n =+-+--3(1)n n =+ ，当n=1时，上式也成立, 所以n a 3(1)n n =+.高 (2)1111()31n a n n =-+, 111111(1)32231n T n n =-+-++-+ 1113133n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 易错点：错误理解点(,) ()n n B n b n N +∈都在斜率为6的同一条直线上的含义,无法求得n b 的通项公式；由1n n A A + 与n n B C 共线错列方程11()(1)()0,n n n b a a +⨯-+--=得到结果1n n n a a b +-=-.变式与引申3：数列{}n a 中1=1a ，513a =，21n n n a a a +++=2，数列{}n b 中，26b =，33b =，212n n n b ++=b b 在直角坐标平面内，已知点列111222333()()()()n n n P a b P a b P a b P a b ⋯⋯，，，，，，，，，则向量12PP +34P P + (20112012)P 的坐标为( ). A.100512(3015,8[()1])- B.100612(3018,8[()1])- C.201012(3015,8[()1])- D.201212(3018,8[()1])- 题型四 平面向量与函数的综合应用例4已知平面向量a = 1)，b = (21, 23).高考资源网 (1) 若存在实数k 和t ，使得x = a ＋2(3)t -b , y = ka tb + ，且x y ⊥ ，试求函数的关系式()k f t =；高(2) 根据(1)的结论，确定()k f t =的单调区间. 点拨：第(1)问先分别求得x 与y 的坐标，再用x y ⊥ 的充要条件或是直接利用x y ⊥ 的充要条件，进行向量的代数运算,其过程将用到向量的数量积公式及求模公式，得到函数的关系式()k f t =；第(2)问中求函数的单调区间运用的是求导的方法.资源解：（1）方法一：由题意知x = 223232--t ), y = 1()2t k +，又x y ⊥ 高故x y ⋅ （12t ）＋223232--t ×k +)＝0，整理得：3340t t k --=，即 31344k t t =-. 高考资源网 方法二：因为a = (3，－1)，b = (21, 23),所以a ＝2，b ＝1且a b ⊥ ，又x y ⊥ 故x y ⋅ ＝0. 即222(3)0k a t t b = -＋－，化简得3340t t k --=, 所以31344k t t =-. (2) 由(1)知：()k f t =31344t t =-，求导()k f t ''==23344t -，令k '＜0得－1＜t ＜1；令k '＞0得 t ＜－1或t ＞1. 故()k f t =的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）. 易错点：字母运算出错不能正确得到,x y 的坐标形式；没能通过简单的心算判断出0a b ⋅= ，使得x y ⋅ 的展开式中无法消去含有a b ⋅ 的项.变式与引申4：1.已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21，23)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量c ＝a ＋(sin 3α-)b , d ＝k -a ＋sin α⋅b ,且c ⊥d ，试求实数k 的取值范围；2.已知两个向量)log ,log 1(22x x a +=，),(log 2t x b = )0(≠x .（1）若1t =且b a ⊥，求实数x 的值； （2）对t R ∈写出函数b a x f ⋅=)(具备的性质.本节主要考查（1）知识点有平面向量的有关概念、加减法的几何意义、向量共线定理、平面向量的基本定理、坐标表示、垂直关系、向量的数量积；（2）演绎推理能力、运算能力、创新意识；（3）函数与方程的思想、数形结合思想和待定系数法.点评（1）掌握平面向量的基础知识，正确地进行向量的各种运算来处理向量与代数的综合应用问题（如例1），要善于利用向量“数”与“形”两方面的特征；（2）向量共线的充要条件中应注意只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，向量共线的坐标表示不能与向量垂直的坐标表示相混淆；（3）理解向量的数量积的定义、运算律、性质并能灵活应用，向量的数量积的结果是实数而不是向量，注意数量积与实数乘法运算律的差异；（4）向量的坐标运算使得向量运算完全代数化，向量与函数、数列、解三角形、不等式等相结合形成了代数的综合问题（如例2、例3、例4），在知识的交汇点处命题来考查了向量的工具性及学生分析问题、解决问题的能力.习题2—3 1.（2011年湖南理数）在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE == ，则________AD BE ⋅= .2. 关于平面向量有下列四个命题：①若⋅=⋅a b a c ，则=b c ； ②已知(,3),(2,6)k ==-a b ．若a b ∥，则1k =-；③非零向量a 和b ，满足||=|a |=|b |a -b ，则a 与a +b 的夹角为30 ；④()()0||||||||+⋅-=a b a b a b a b ．其中正确的命题为___________．（写出所有正确命题的序号）3.已知向量21(,1),(,)1a mxb x mx =-=- (m 是常数), (1)若1()f x a b =⋅ 是奇函数，求m 的值; 高考资源网(2)若向量,a b 的夹角,a b <> 为[0,)2π中的值，求实数x 的取值范围. 4.在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
