论同一平面内两条直线的重合关系及其教学

同一平面内两条直线的位置关系讲解同一平面内两条直线的位置关系是几何学中的一个重要概念，它描述了两条直线在平面上的相互关系。

在这篇文章中，我将详细讲解两条直线可能的位置关系，并解释它们之间的特征和性质。

1. 平行关系：如果两条直线在同一平面上且永远不相交，我们称它们为平行线。

平行线具有以下特点：- 两条平行线的斜率相等，即它们有相同的倾斜角度。

- 两条平行线之间的距离在任意两点处是相等的。

- 平行线的任意一对对应角（同位角）相等，即它们的位置相对于两条平行线是相同的。

2. 垂直关系：如果两条直线在同一平面上且互相交于直角（90度角），我们称它们为垂直线。

垂直线具有以下特点：- 两条垂直线之间的夹角为90度。

- 垂直线的斜率互为倒数，即它们的乘积等于-1。

- 垂直线的任意一对对应角（同位角）相等，即它们的位置相对于两条垂直线是相同的。

3. 相交关系：如果两条直线在同一平面上且交于一点，我们称它们为相交线。

相交线具有以下特点：- 两条相交线的夹角可以是任意角度，不一定是直角。

- 相交线的交点是两条直线上的公共点。

- 相交线的对应角（同位角）不一定相等，它们的位置相对于两条相交线是不同的。

4. 重合关系：如果两条直线在同一平面上且重合于一条直线，我们称它们为重合线。

重合线具有以下特点：- 两条重合线重合于每一个点，它们的位置完全相同。

- 重合线的斜率相等，即它们有相同的倾斜角度。

- 重合线的任意一对对应角（同位角）相等，即它们的位置相对于两条重合线是相同的。

5. 平行且重合关系：如果两条直线在同一平面上，既平行又重合于一条直线，我们称它们为平行且重合线。

平行且重合线具有以下特点：- 这两条线是同一条线，它们的位置完全相同。

- 平行且重合线的斜率相等，即它们有相同的倾斜角度。

- 平行且重合线的任意一对对应角（同位角）相等，即它们的位置相对于两条平行且重合线是相同的。

通过以上对同一平面内两条直线位置关系的讲解，我们可以清晰地了解不同位置关系的特点和性质。

两条直线的位置关系（提高）知识讲解撰稿：孙景艳审稿：吴婷婷【学习目标】1. 初步理解同一平面内的两直线的位置关系，初步认识相交线和平行线；2.了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等，并能解决一些实际问题；3. 理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；4. 理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.【要点梳理】要点一、同一平面内两条直线的位置关系同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行.要点诠释：（1）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b.（2）互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行.（3）相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做交点.两条直线相交只有一个交点.要点二、对顶角、补角、余角1.余角与补角（1）定义：如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．（2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，而与它们的位置无关．(2)一个锐角的补角比它的余角大90°．2.对顶角（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．要点诠释：(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.（3）邻补角一定互为补角，但互为补角的角不一定是邻补角.（2）性质：对顶角相等．要点三、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如下图．要点诠释：(1)记法：直线a 与b 垂直，记作：；a b ⊥ 直线AB 和CD 垂直于点O ，记作：AB⊥CD 于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：CD ⊥AB ．90AOC ∠=°A A A AA A A A AA 判定性质2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、两条直线的位置关系1. 平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？【答案与解析】解：如图，图中共有34个交点．【总结升华】10条直线中有八条直线的位置已经确定，要使10条直线的交点最多，就要使剩下的两条直线与前八条直线均相交.举一反三：【变式】不重合的两条直线的位置关系有 （ ）．A ．平行或垂直B ．平行或相交C ．不相交或相交D ．平行、垂直或相交【答案】C 类型二、对顶角、补角、余角2．如图所示，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COE ，∠2:∠1＝4:l ，求．AOF ∠【思路点拨】涉及有比值的题设条件，如a :b ＝m :n ，在解题时设，，这是a mx =b nx =常用的用方程思想解题的方法．【答案与解析】解：设∠1＝x ，则∠2＝4x ．∵ OE 平分∠BOD ，∴ ∠BOD ＝2∠1＝2x ．∵ ∠2+∠BOD ＝180°，即4x+2x ＝180°，∴ x ＝30°．∵ ∠DOE+∠COE ＝180°，∴∠COE ＝150°．又∵ OF 平分∠COE ，∴ ∠COF ＝∠COE ＝75°．12∵ ∠AOC ＝∠BOD ＝60°，∴∠AOF＝∠AOC+∠COF＝60°+75°＝135°．【总结升华】两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角．类型三、垂线3．下列语句：①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直.②一条直线的垂线有无数条.③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直.其中正确的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.【思路点拨】解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线相交成直角”及垂线的性质“过平面内任意一点，即过直线上或直线外任意一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直”来作判断.【答案】①②【解析】①正确；②正确，过任意一点都可以作；对于③只有在“同一平面内”才成立，因为空间内，当这点在直线上时，过这点并非只有一条直线与已知直线垂直，故③错误；④错误，必须是两个邻角相等，如下图：【总结升华】“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”成立的前提是“在同一平面内”，若改为在“空间”，则过一点有无数条直线与已知直线垂直（以后学到）.举一反三：【变式】在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，是因为()A．经过两点有且只有一条直线B．两点之问的所有连线中，线段最短C．在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直．D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D 提示：注意区分直线性质与垂线性质4. 如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE与∠AOC的度数.【答案与解析】解：∵OF⊥AB，OE⊥CD(已知)∴∠BOF＝∠DOE＝90°(垂直定义)∴∠BOD＝∠BOF－∠DOF＝90°－65°＝25°∴∠BOE＝∠DOE－∠BOD＝90°－25°＝65°.∴∠AOC＝∠AOB－∠BOE－∠COE＝180°－65°－90°＝25°.【总结升华】利用垂直的定义，及同一条直线上的三点组成一个平角可以帮助我们求解图中某些角的大小.【高清课堂：相交线403101 例4变式（1）】举一反三：【变式】如图，若OM平分∠AOB，且OM ⊥ON，求证：ON平分∠BOC.【答案】证明：如图，∵OM平分∠AOB∴∠1=∠2又∵OM⊥ON∴∠3=90°－∠2由图可得：∠4=180°－2∠2－∠3=180°－2∠2－（90°－∠2）=90°－∠2∴∠3=∠4∴ ON平分∠BOC5.如图所示，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路两侧的村庄．(1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置(保留作图痕迹)．(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论，不必说明)【答案与解析】解：(1)过点M作MP⊥AB，垂足为P，过点N作NQ⊥AB，垂足为Q，点P、Q就是要画的两点，如图所示．(2)当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近．【总结升华】利用垂线段最短解决实际问题是常用的一种方法．举一反三：l l【变式】点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PCl＝2 cm，则点P到直线的距离是()．A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm【答案】D。

两条直线的位置关系教学目标（1）熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．（2）理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角．（3）能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标．（4）掌握点到直线距离公式的推导和应用．（5）进一步掌握求直线方程的方法．（6）进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法．（7）通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求，培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法．教学建议一、教材分析1．知识结构2．重点、难点分析重点是两条直线的平行与垂直的判断；两条直线的夹角；点到直线的距离．难点是两条直线垂直条件的推导；一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导．本节内容与后边内容联系十分紧密，两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的应用，因此非常重要．（1）平行与垂直①平行在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件（即判定定理和性质定理）转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况．②垂直教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件．结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可叙述为：或一个为0，另一个不存在．（2）夹角①应正确区分直线到的角、直线到的角、直线和的夹角这三个概念．到的角是带方向的角，它是指按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，它与到的角是不同的，如果设前者是，后者是，则＋＝．与所夹的不大于的角成为和的夹角，夹角不带方向．当到的角为锐角时，则和的夹角也是；当到的角为钝角时，则和的夹角也是．②在求直线到的角时，应注意分析图形的几何性质，找出与，的倾斜角，关系，得出或，然后由，联想差角的正切公式，便可把图形的几何性质转化为坐标语言来表示，推导出．再由与的夹角与到的角之间的关系，而得出夹角计算公式这种把“形”转化为“数”的方法，是解析几何的基本方法，要认真揣摩．③对于以上两个求角公式，在解决实际问题时，要注意根据具体情况选用．（3）交点①求两条直线的交点问题就是求它们的方程的公共解的问题，这可以由直线的方程与方程的直线的定义来理解．②在同一平面内，两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合，相应的由直线方程组成的二元一次方程组的解有三种情况：有惟一解、无解、无数多个解．但在实际判定时，利用直线的斜率和截距更方便．若，，则：与相交；且；与重合且．（4）点到直线的距离①点到直线的距离公式是研究点与直线位置关系的重要工具．教科书借助于直角三角形的面积公式，推导出点到直线的距离公式．在推导过程中，把与两条坐标轴都不平行的线段的长度的计算，转化为与坐标轴平等或垂直的线段长度的计算，从而简化了运算过程．②利用点到直线的距离公式可推出两平行线，间的距离公式：．③点到直线距离公式的推导，有多种方法，应鼓励同学们思考，下面介绍一种较简便的方法．如右图，设，过点作直线的垂线，垂足为，则有即得，即，．当时，上述公式也成立．（5）当直线中有一条没有斜率时，讨论平行、垂直、角、距离的问题，不必套用以上结论，这时可结合图形几何性质；直接求解．二、教法建议1．本节知识与初中所学的平面几何知识和三角知识联系非常紧密，教学时应加强启发和引导．如学生对两条直线的平行同位角相等的条件已经非常熟悉，因此在研究两直线平行时，应引导学生迅速建立联系：同位角—倾斜角—斜率（直线方程）．又如，在求到的角时，根据图形中角的关系，建立与倾斜角和的联系（有且只有或两种情况），进而借助三角建立与斜率的关系，得出公式． 2．本节内容中在研究两直线的垂直条件时，由于采用向量这一更高级的工具来处理，显得既简单又深刻．所以教学中应注意向量工具的运用，可让学生尝试用向量推导两直线平行的条件和点到直线距离公式的推导．3．本节内容新概念不多，但要求推导的内容不少，教学时要坚持启发式的教学思想，重点放在思路的探求和结论或公式的运用上．本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能熟练地掌握公式，增强学生动手计算的能力．本节还要加强根据已知条件求直线方程的教学．4．不仅要使学生熟悉用斜率求两直线夹角的公式，也要掌握根据直线方程系数求夹角的方法（即教材中例6的方法），同时会根据所给条件选用．5．已知两直线的方程会求其交点即可，不必研究两直线方程系数与位置关系之间的关系．6．在学习点到直线距离公式时，可利用课余时间发动学生寻找更多的推导公式的方法，并通过寻找多种推导公式的方法，锻炼思维，培养能力．7．本节学完以后学生可以解决很多较复杂、较综合的问题，如对称问题、直线系过定点问题、光路最短与足球射门角度最大等最值问题．教学中应适当安排一些这样的内容，以训练学生思维和培养学生分析问题、解决问题的能力．教学设计方案课题：点到直线的距离教学目标：（1）理解点到直线距离公式的推导过程.（2）会求点到直线的距离.（3）在探索点到直线距离公式推导思路的过程中，培养学生发散思维、积极探索的精神.教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法教学过程（一、引入点到直线的距离是指过点作的垂线，与垂足之间的长度【问题1】已知点（-1，2）和直线：，求点到直线的距离．（由学生分析、解答）分析：先求出过点和垂直的直线：：，再求出和的交点∴如果把问题1一般化就有如下问题：【问题2】已知：和直线：（不在直线上，且，），试求点到直线的距离．二、点到直线距离分析1：要求的长度可以象问题1的解法一样，利用两点的距离公式可以求的长度．∵点坐标已知，∴只要求出点坐标就可以了．又∵点是直线和直线的交点又∵直线的方程已知∴只要求出直线的方程就可以了.即：←点坐标←直线与直线的交点←直线的方程←直线的斜率←直线的斜率（这一解法在课前由学生自学完成，课上进行评价总结）问：这种解法好不好，为什么?根据学生讨论，教师适时启发、引导，得出分析2：如果垂直坐标轴，则交点和距离都容易求出，那么不妨做出与坐标轴垂直的线段和，如图1所示，显然相对而言，和好求一些，事实上，设到直线的距离为，坐标为，坐标为，则易求：，所以：，所以：根据三角形面积公式：所以：（至此问题2已经解决）公式的完善.容易验证（由学生完成）：当，即轴时，公式成立；当，即轴时，公式成立；当点在上时，公式成立．公式结构特点师生一起总结：（1）分子是点坐标代入直线方程；（2）分母是直线未知数、系数平方和的算术根．类似于勾股定理求斜边的长三、检测与巩固练习1（1）到直线的距离是________．（2）到直线的距离是_______．（3）用公式解到直线的距离是______．（4）到直线的距离是_________．订正答案：（1）5；（2）0；（3）；（4）．练习21．求平行直线和的距离．解：在直线上任取一点，如，则两平行线的距离就是点到直线的距离．因此，＝＝【问题3】两条平行直线的距离是否有公式可以推出呢？求两条平行直线与0的距离．解：在直线上任取一点，如则两平行线的距离就是点到直线的距离，（如图2）．因此，＝＝注意：用公式时，注意一次项系数是否一致．四、小结作业1、点到直线的距离公式及其推导；师生一起总结点到直线距离公式的推导过程：2、利用公式求点到直线的距离．3、探索两平行直线的距离4、探索“已知点到直线的距离及一条直线求另一条直线距离．作业：P5413、14、16思考研究：运用多种方法推导点到直线的距离公式．。

在同一平面内两条重合的直线的位置关系重合的直线可不是随随便便就能碰上的，得有一定的条件。

比如说，斜率得相等，截距也得相同。

就像两个人要志同道合，兴趣相投，才能成就一段好的友谊。

想象一下，如果有一条直线是一位爱唱歌的小哥，而另一条直线则是一位热爱跳舞的姑娘，只有当他们的频率一致，才能在同一个舞台上翩翩起舞。

要是其中一条直线跑偏了，那可就得自求多福了，可能就只能单打独斗，难以融入这个大舞台。

所以说，重合的直线在数学上简直就是一种最完美的相遇，像是爱情中的“灵魂伴侣”，完全契合，没有任何摩擦。

这时候，两条直线的方程式完全相同，像两张身份证，谁都可以是谁。

嘿，这可就有趣了，想象一下，两个完全相同的人在一起，没准儿还会引起旁边人一阵惊叹，“这也太巧了吧？”简直就像是走在街上，看到一对双胞胎，让人忍不住多看几眼。

而重合的直线也有它的实际意义。

比如说，当我们用它们来表示某些物理现象或者经济模型时，重合的直线让我们的思考变得更加简单。

它们像是指路明灯，告诉我们方向，省去了很多繁琐的计算。

你看，数学真是个神奇的东西，能用这么简单的关系，解决那么复杂的问题，简直就像是在解密一样，让人觉得既刺激又过瘾。

生活中有重合的直线，也难免会有一些“交叉”的情况。

比如说，当两条直线在同一个平面内相交，那就意味着它们的关系变得复杂起来了。

交叉就像是人生的曲折，有些朋友可能会走得越来越远，而有些则会因为某个契机而重新走到一起。

这就像一场大雨，虽然让人感到不快，但过后却会看到美丽的彩虹。

每次的相遇和分离，都是人生的一部分，无论是重合还是交叉，都是在为我们的故事添上浓墨重彩的一笔。

在学校里，老师们常常用重合的直线来讲解知识，让我们在理解的过程中，能够更好地掌握这些概念。

其实这就像是教我们如何在生活中去建立良好的关系，怎样去珍惜身边的人。

生活就像数学，有时候会有意想不到的重合，有时候也会有不可避免的交错。

无论如何，最重要的是我们能从中学到东西，收获成长。

《平面直角坐标系》的教案（精选5篇）《平面直角坐标系》的教案（精选5篇）作为一名优秀的教育工作者，时常要开展教案准备工作，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。

那么你有了解过教案吗？下面是小编收集整理的《平面直角坐标系》的教案（精选5篇），欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

《平面直角坐标系》的教案1[教学目标]1、认识平面直角坐标系，了解点的坐标的意义，会用坐标表示点，能画出点的坐标位2、渗透对应关系，提高学生的数感。

[教学重点与难点]重点：平面直角坐标系和点的坐标。

难点：正确画坐标和找对应点。

[教学设计][设计说明]一、利用已有知识，引入1．如图，怎样说明数轴上点A和点B的位置，2．根据下图，你能正确说出各个象棋子的位置吗？二、明确概念平面直角坐标系：平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系（rectangular coordinate system）。

水平的数轴称为x轴（x—axis）或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴（y—axis）或纵轴，取向上方向为由数轴的表示引入，到两个数轴和有序数对。

从学生熟悉的物品入手，引申到平面直角坐标系。

描述平面直角坐标系特征和画法正方向；两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

点的坐标：我们用一对有序数对表示平面上的点，这对数叫坐标。

表示方法为（a，b）。

a是点对应横轴上的数值，b是点在纵轴上对应的数值。

例1 写出图中A、B、C、D点的坐标。

建立平面直角坐标系后，平面被坐标轴分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限和第四象限。

你能说出例1中各点在第几象限吗？例2 在平面直角坐标系中描出下列各点。

（）A（3，4）；B（—1，2）；C（—3，—2）；D（2，—2）问题1：各象限点的坐标有什么特征？练习：教材49页：练习1，2、三。

深入探索教材48页：探索：识别坐标和点的位置关系，以及由坐标判断两点的关系以及两点所确定的直线的位置关系。

七年级下册数学两条直线的位置关系(一)
七年级下册数学两条直线的位置关系
引言
本文将介绍七年级下册数学中，关于两条直线的位置关系的内容。

通过本篇文章，读者将了解两条直线的位置关系的定义以及常见的几
种情况。

一、两条直线的位置关系定义
两条直线的位置关系可以分为以下几种：
1.相交：两条直线交于一点，称为相交。

2.平行：两条直线不相交，且在同一平面上不相交的直线在无穷远
处相交，称为平行。

3.重合：两条直线方程相同，表示两条直线重合。

二、两条直线位置关系的解释说明
相交
当两条直线存在一点同时属于两条直线时，我们称它们为相交。

相交的情况可以分为以下几种： - 点相交：两条直线相交于一个点。

- 线段相交：两条直线相交于一条线段。

- 射线相交：两条直线相交
于一条射线。

平行
当两条直线不存在任何一个公共点时，我们称它们为平行。

平行的情况包括： - 平行线：两条直线在无穷远处相交。

- 平行线段：两条直线在无穷远处相交，并且在同一平面上不相交。

重合
当两条直线的方程相同，表示两条直线完全重合。

结论
通过本文我们了解了七年级下册数学中关于两条直线的位置关系的定义和解释。

对于数学问题，理解数学中的基本概念和定义是解决问题的关键。

希望本文能对读者在学习数学过程中的理解有所帮助。

1平行与垂直第1课时平行与垂直课时目标导航一、教学内容平行与垂直。

(教材第56～57页例1)二、教学目标1．使学生初步理解平行与垂直是在同一个平面内两条直线的两种特殊的位置关系。

2．初步认识平行线和垂线。

3．培养学生的观察能力、空间想象能力和抽象概括能力。

三、重点难点重点：理解平行与垂直的概念。

难点：理解“平行与垂直”这两种关系的界定前提是“同一平面内”。

四、教学准备教师准备：课件PPT、小棒、直尺、三角尺、手工纸、毛线。

学生准备：小棒、直尺、三角尺。

一、情境引入师：老师手上有两根大小一样的小棒，现在老师将这两根小棒扔在讲台上。

(教师将两根小棒随意丢在讲台上)师：同学们想一想这两根小棒落在讲台上会形成哪些图形呢？你能把这些图形画出来吗？(引导学生先独立思考，并在纸上画一画，然后在小组中交流)师：大家画出的图形都相同吗？今天我们就一起来研究两条线在同一平面内的位置关系。

(板书课题：平行与垂直)二、学习新课(一)学习平行线。

1．教学教材第56页例1。

(1)课件出示教材第56页例1情境图。

展示学生的不同画法。

(2)师：认真观察，不同的图形可以怎样分类，为什么这样分？(让学生根据自己的观察说一说，发表自己的意见)教师板演出学生的不同画法。

分类一：①、②属于两条直线相交。

分类二：③、④属于两条直线不相交。

(3)师：把不相交的两条直线再画长一些会怎样？(教师用课件演示把不相交的两条直线延长，让学生继续观察)引导学生认识：在同一个平面内两条直线的位置关系有相交和不相交两种情况。

(板书：相交不相交)(4)平行的意义。

师：请同学们给不相交的这种直线之间的关系起个名字？(引导学生答出：平行)(5)举例。

让学生先在小组中议一议，相互说一说，然后分小组举例说一说生活中平行的例子。

例如：电线、窗户、栅栏、门两侧、轨道两边等等。

(6)师：平行线有什么特点？(师生共同回答)归纳：两条直线；不相交。

师：具有这样的特点就一定是平行线吗？(引发学生思考)课件出示：图1图2师：图1中这两条直线是平行线吗？你是怎么看出来的？老师折一下纸(图2)，这两条直线还是平行线吗？为什么？引导学生对比、讨论后，集体汇报并订正。

由“同一平面内两条直线间的位置关系”引发的问题探究徐颖
【期刊名称】《小学教学：数学版》
【年(卷),期】2010(000)003
【摘要】一、缘起课堂在一次优质课评比时,出现了一个有意思的教学片段。

老师让学生用一根绿色小棒和两根红色小棒进行以下数学活动：先摆一根绿色小棒,再摆两根红色小棒,并且使两根红色小棒都与绿色小棒垂直，最后看一看这两根红色小棒有什么关系。

（原题是在人教版教材四年级上册第65页）
【总页数】2页(P48-49)
【作者】徐颖
【作者单位】河南郑州市中原区教研室
【正文语种】中文
【中图分类】G633.8
【相关文献】
1.论同一平面内两条直线的重合关系及其教学 [J], 谢兰珍
2.同一平面内两条直线的位置关系 [J], 吴国和
3.两条互靠直导线间的磁场力测定 [J], 金逢锡;王成贵;孙龙
4.平面椭圆与二次曲线间位置关系的判别式 [J], 陈小雕;雍俊海;郑国勤;孙家广
5.由"同一平面内两条直线间的位置关系"引发的问题探究 [J], 徐颖
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