安徽省淮北市第一中学高二数学上学期第四次月考(12月)试题 理(含解析)

2022-2023学年安徽省淮北市高二上册12月月考数学质量检测试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列{}n a 中01a =，则111a a +=（）A.1B.2C.3D.42.已知直线l 的方向向量()2,3,1a =-，平面α的一个法向量为()4,0,8e =r ，则直线l 与平面α的位置关系是（）A.平行B.垂直C.在平面内D.平行或在平面内3.若直线1:310l ax y ++=与()2:2110l x a y +++=互相平行，则a 的值是（）A.3- B.2C.3-或2D.3或2-4.已知过点()2,1P 有且仅有一条直线与圆：2222210x y ax ay a a +++++-=相切，则a =（）A.1-B.2- C.1或2D.1-或-25.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，则C 的渐近线方程为（）A.14y x =±B.13y x =±C.12y x =±D.y x=±6.下列说法正确的是（）A.经过定点()00,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示B.方程()20R x my m +-=∈不能表示平行y 轴的直线C.经过点()1,1P ，倾斜角为θ的直线方程为()1tan 1y x θ-=-D.经过两点()111,P x y ，()()22212,P x y x x ≠的直线方程为()211121y y y y x x x x --=--7.在三棱锥S ABC -中，SA ､SB ､SC 两两垂直且2SA SB SC ===，点M 为S ABC -的外接球上任意一点，则MA MB ⋅的最大值为（）A.B.C.D.4228.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1500,0a S >=.设()*12n n n n b a a a n N++=∈，则当数列{}nb 的过n 顶和n T 取得最大值时，n 的值为（）A.23B.25C.23或24D.23或25二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，设直线l ，m ，n 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则（）A.B.C.D.23k k >21k k <23k k <21k k >10.在如图所示的棱长为的正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在侧面11BCC B 所在的平面上运动，则下列命题中正确的（）A.若点P 总满足PA BD ⊥，则动点P 的轨迹是一条直线B.若点P 到点A 的距离为，则动点P 的轨迹是一个周长为2π的圆C.若点P 到直线AB 的距离与到点C 的距离之和为1，则动点P 的轨迹是椭圆D.若点P 到平面11BAA B 与到直线CD 的距离相等，则动点P 的轨迹抛物线.11.已知数列{}n a 满足110a =，52a =，且()*2120n n n a a a n N ++-+=∈，则下列结论正确的是（）A.122n a n =-B.n a 的最小值为0C.21231160n a a a a n n +++⋅⋅⋅+=-+D.当且仅当5n =时，123n a a a a +++⋅⋅⋅+取最大值3012.已知F 为椭圆C ：221168x y +=的左焦点，直线l ：=y kx ()0k ≠与椭圆C 交于A ，B 两点，AE x⊥轴，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则（）A.B.8AF BF +=14AF BF+的最小值为2C.直线BE 的斜率为12k D.PAB ∠为钝角三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =-+，则其通项公式n a =__________.14.《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题：一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为a ，当[]1,2022a ∈时，符合条件的最大的a 为____________.15.两条异面直线,a b 所成角为60 ，在直线上,a b 分别取点,A E '和点,A F ，使AA a '⊥且AA b '⊥.已知2,3,5A E AF EF ='==.则线段AA '=__________.16.设1F ，2F 分别为椭圆1C ：()2211221110x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()2222222210x y a b a b -=>>的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，1290F MF ∠=︒，若椭圆的离心率13,43e ⎡∈⎢⎣⎦，则双曲线2C 的离心率2e 的取值范围为________________________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知95S a =-.（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围.18.已知直线l 经过两条直线2x ﹣y ﹣3=0和4x ﹣3y ﹣5=0的交点，且与直线x +y ﹣2=0垂直.（1）求直线l 的方程；（2）若圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l 被该圆所截得的弦长为，求圆C 的标准方程.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，,AB CD AD AB ⊥∥，1,2AB AD PD CD PD ===⊥平面ABCD ，点M 是棱PC 上的一点.（1）若3PC PM =，求证：PA ∥平面MBD ；（2）若M 是PC 的中点，求二面角M BD C --的余弦值.20.已知抛物线22(0)y px p =>.过动点(,0)M a 且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A ､B.（1）若||2AB p ≤，求a 的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交AB 于点Q ，交x 轴于点N ，试求Rt MNQ △的面积.21.如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，平面PAC ⊥平面,ABC PAC 为正三角形，E ，F 分别是,PC PB 上的动点.（1）求证：BC AE ⊥；（2）若E ，F 分别是,PC PB 的中点且异面直线AF 与BC 所成角的正切值为32，记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l ，点Q 为直线l 上动点，求直线PQ 与平面AEF 所成角的取值范围.22.已知斜率为k 的直线与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，.（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=.证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差.数学试题答案1.B2.D3.A2.D 3.A4.A5.C6.D7.D8.D9.BCD10.ABD11.AB12.AC13.2,141,2,n n n n N*=⎧⎨-≥∈⎩14..16.7⎡⎢⎣【详解】由椭圆及双曲线定义得1212MF MF a +=，1221122MF MF a MF a a -=⇒=+，212MF a a =-，因为1290F MF ∠=︒，所以()()22212124a a a a c ++-=，222122a a c +=，2212112e e +=，因为13,43e ⎡∈⎢⎣⎦，2198,169e ⎡⎤∈⎢⎣⎦，211916,89e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以222111272,98e e ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则272e ⎡∈⎢⎣⎦，因为22a b >，221b a <，由22c e a ==<，所以21e <<，因此27e ⎡∈⎢⎣.17.（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意有111989(4)224a d a d a d ⨯⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩，解答182a d =⎧⎨=-⎩，所以8(1)(2)210n a n n =+-⨯-=-+，所以等差数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+；（2）由条件95S a =-，得559a a =-，即50a =，因为10a >，所以0d <，并且有5140a a d =+=，所以有14a d =-，由n n S a ≥得11(1)(1)2n n na d a n d -+≥+-，整理得2(9)(210)n n d n d -≥-，因为0d <，所以有29210n n n -≤-，即211100n n -+≤，解得110n ≤≤，所以n 的取值范围是：110()n n *≤≤∈N 18.（1）230243501x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩.直线20x y +-=的斜率为1-，所以直线的斜率为，所以直线的方程为()112,1y x y x -=⨯-=-.（2）设圆的标准方程为()222x a y r -+=，则()()2222213,2122a r a r a r ⎧-=⎪⎪⇒==⎨⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，所以圆的标准方程为()2234x y -+=.19.（1）证明：连接AC 交BD 于N ，连接MN ，因为AB ∥CD 所以ANB ∽CND △，所以12AN AB NC DC ==，因为12PM MC =，所以12AN PM NC MC ==，所以PA ∥MN ，因为PA ⊄平面,MBD MN ⊂平面MBD ，所以PA ∥平面MBD（2）过M 作ME DC ⊥于E ，因为PD⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDC ，所以平面PDC ⊥平面ABCD ，因为平面PDC 平面ABCD CD =，所以ME ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以ME BD⊥过E 作EF BD ⊥于F ，连接MF ，因为ME EF E ⋂=，所以BD ⊥平面MEF ，因为MF ⊂平面MEF ，所以,MF BD ⊥所以MFE ∠是二面角M BD C --的平面角，不妨设2AB =，则122AB AD PD CD ====，因为,AB CD AD AB ⊥∥，所以22,22,4BD BC DC ===，所以222BD BC DC +=，所以BD BC ⊥，所以111,222ME PD EF BC ====，所以3MF =，所以6cos 3EF MFE MF ∠==20.（1）直线的方程为y x a =-，将y x a =-代入22(0)y px p =>，得()2220x a p x a -++=.设()()1122,,,A x y B x y ，则()()2212212440,2,.a p a x x a p x x a ⎧+->⎪+=+⎨⎪=⎩所以()()222112482AB a p a p p a =++-+⎡⎤⎣⎦.因为02AB p <≤，所以20p a +>()822p p a p +≤，解得24p p a -<≤-.故a 的取值范围是24pp ⎛⎤-- ⎥⎝⎦，.（2）设()33,Q x y ，由中点坐标公式，得1232x x x a p +==+，()()1232x a x a y p -+-==，故(),Q a p p +.所以()()222202QM a p a p p =+-+-=.因为线段AB 的垂直平分线交AB 于点Q ，交x 轴于点N ，且直线的倾斜角为45︒，所以MNQ △是等腰直角三角形，所以2212MNQ S QM p ==△.21.（1）证明：因为C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，所以BC AC ⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC 平面,ABC AC BC =⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面,PAC AE ⊂平面PAC .所以BC AE⊥（2）由E ，F 分别是,PC PB 的中点，连结,AE EF ，所以BC EF ∥，由（1）知BC AE ⊥，所以EF AE ⊥，所以在Rt AFE 中，AFE ∠就是异面直线AF 与BC 所成的角.因为异面直线AF 与BC 所成角的正切值为32，所以3tan 2∠=AFE，即2AE EF =又EF ⊂平面,⊄AEF BC 平面AEF ，所以//BC 平面AEF ，又BC ⊂平面ABC ，平面⋂EFA 平面=ABC l ，所以BC l ∥，所以在平面ABC 中，过点A 作BC 的平行线即为直线l.以C 为坐标原点，,CA CB 所在直线分别为x 轴，y 轴，过C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AC =.因为PAC △为正三角形所以AE =2EF =由已知E ，F 分别是,PC PB 的中点，所以24BC EF ==则(2,0,0),(0,4,0),A B P ，所以1313,0,,,2,2222⎛⎫⎛ ⎪ ⎝⎭⎝⎭E F ，所以3,0,,(0,2,0)22⎛⎫=-= ⎪⎝⎭E AF E ，因为BC l ∥，所以可设(2,,0)Q t ，平面AEF 的一个法向量为(,,)m x y z =，则302220x AE m EF m y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩，取z =，得m =，又(1,,= PQ t，则1|cos ,|0,2||||⋅⎛⎤〈〉== ⎥⋅⎝⎦PQ m PQ m PQ m .设直线PQ 与平面AEF 所成角为θ，则1sin 0,2⎛⎤=⎥⎝⎦θ.所以直线PQ 与平面AEF 所成角的取值范围为0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦.22.（1）设()()1122,,,A x y B x y ，则222211221,14343x y x y +=+=.两式相减，并由1212y y k x x -=-得1212043x x y y k +++⋅=，由题设知12121,22x x y y m ++==，于是34k m=-.①由题设得302m <<，故12k <-.（2）由题意得()1,0F ，设()33,P x y ，则()()()()3311221,1,1,0,0x y x y x y -+-+-=.由（1）及题设得()31231,x x x =-+=()31220y y y m =-+=-<.又点P 在C 上，所以34m =，从而31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，32FP = .于是122x FA ===-.同理222x FB =- ，所以()121432FA FB x x +=-+= .故2FP FA FB =+ ，即FA ，FP ，FB成等差数列.设该数列的公差为d ，则12122d FB FA x x =-=-=②将34m =代入①得1k =-.所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得32128d =.所以该数列的公差为32128或32128-.。

淮北一中2021-2022学年第一学期高二班级第四次月考 理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集R U =，集合}03|{2≥-=x x x A ，}3|{≤∈=x Z x B ，则=B A C U )(（ ） A ．φ B ．}1,0{ C ． }2,1{ D ．}3,2,1{2.已知点)3,2(在双曲线)0(1422>=-a ay x 的一条渐近线上，则=a （ ） A ． 3 B ． 3 C ． 2 D ．32 3.下列命题错误的是（ ）A ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”B ．对于命题R x p ∈∃0:，使得01020<++x x ，则R x p ∈∀⌝0:，则01020≥++x xC ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件 D ． 若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题4.《算法统综》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则塔从上至下的第三层有（ ）盏灯.A ．14B ． 12 C.10 D ．8 5.已知点P 是抛物线241y x =上的一个动点，则点P 到点)1,0(A 的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为（ ）A ． 2B ．2 C. 12- D ．12+6.已知),0(,,+∞∈c b a ，则下列三个数b a 4+，c b 9+，ac 16+（ ）A ．都大于6B ．至少有一个不大于6 C.都小于6 D ．至少有一个不小于6 7.动圆M 与圆1)1(:221=++y x C 外切，与圆25)1(:222=+-y x C 内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（ ）A ． 19822=+y xB ．18922=+y x C. 1922=+y x D ．1922=+y x 8.程序框图如图所示，当2524=A 时，输出的k 的值为（ ）A ． 26B ．25 C. 24 D ．239.淮北一中艺术节对射影类的D C B A ,,,四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品猜测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”；乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“D A ,两项作品未获得一等奖”； 丁说：“是C 作品获得一等奖”.若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ） A ． A 作品 B ． B 作品 C. C 作品 D ．D 作品10.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≤--0,00023y x y x y x ，若目标函数by ax z +=（0,0>>b a ）的最大值为2，则b a 11+的最小值为（ ） A ． 2 B ．38 C. 4 D ．625 11.将正正数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 ……………则在表中数字2021消灭在（ ）A ．第44行第80列B ．第45行第80列 C.第44行第81列 D ．第45行第81列12.抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满足3π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则||||AB MN 的最大值是（ ） A ．2 B ．23 C. 32D ．1 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线y x =24的焦点坐标 ．14.点),(00y x 到直线0=++C By Ax 的距离公式为2200||BA C By Ax d +++=，通过类比的方法，可求得：在空间中，点)3,1,0(到平面0332=+++z y x 的距离为 ．15.与双曲线1222=-y x 有相同渐近线，且过)0,2(的双曲线方程是 ． 16.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率是21，B A ,是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于B A ,的一点，直线PB PA ,斜倾角分别为βα,，则=-+)cos()cos(βαβα ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知0>m ，082:2≤--x x P ，m x m q +≤≤-22:. （1）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；（2）若5=m ，“q p ∨”为真命题，“q p ∧”为假命题，求实数x 的取值范围.18. 已知在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且有c A b B a C =+)cos cos (cos 2. （1）求C ；（2）若3=c ，求ABC ∆面积的最大值.19. 数列}{n a 满足11=a ，)1()1(1+++=+n n a n na n n ，+∈N n .（1）证明：数列}{na n是等差数列； （2）设n nn a b •=3，求数列}{n b 的前n 项和n S .20. 已知n S 是数列}{n a 的前n 项和，并且11=a ，对任意正整数n ，241+=+n n a S ，设nn n a a b 21-=+（ ,3,2,1=n ）.（1）证明：数列}{n b 是等比数列，并求}{n b 的通项公式； （2）设3nn b C =，求证：数列}1{+n C 不行能为等比数列. 21. 已知抛物线x y C 4:2=，点)0,(m M 在x 轴的正半轴上，过M 点的直线l 与抛物线C 相交于B A ,两点，O 为坐标原点.（1）若1=m ，且直线l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程； （2）是否存在定点M ，使得不论直线m ky x l +=:绕点M 如何转动，22||1||1BM AM +恒为定值？ 22. 已知圆8)1(:221=++y x F ，圆心为1F ，定点)0,1(2F ，P 为圆1F 上一点，线段2PF 上一点N 满足222NF PF =，直线1PF 上一点Q ，满足02=•PF QN .（1）求点Q 的轨迹C 的方程；（2）O 为坐标原点，圆O 是以21F F 为直径的圆，直线m kx y l +=:与圆O 相切，并与轨迹C 交于不同的两点B A ,，当λ=•OB OA 且满足]54,53[∈λ时，求OAB ∆面积S 的取值范围.淮北一中2021--2022学年度第一学期高二班级第四次月考 理科数学试题参考答案1-5：CBDBC 6-10：DBCBA 11-12：DD13：)161,0( 14：1415：12422=-y x16：717．解 记命题p 的解集为A =[-2，4]，命题q 的解集为B =[2-m ，2+m ]∵￢q 是￢p 的充分不必要条件∴p 是q 的充分不必要条件，∴A ⊊B ， ∴，解得：m ≥4．（2）∵“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， ∴命题p 与q 一真一假， ①若p 真q 假，则，无解，7分②若p 假q 真，则，解得：x ∈[-3，-2）∪（4，7]．综上得 x ∈[-3，-2）∪（4，7] 18.∵在△ABC 中，0＜C ＜π，∴sin C ≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C （sin A cos B +sin B cos A ）=sin C ， 整理得：2cos C sin （A +B ）=sin C ， 即2cos C sin （π-（A +B ））=sin C 2cos C sinC=sin C ∴cos C =，C ∈（0，π）． ∴C =．（2）由余弦定理可得：9=c 2=a 2+b 2-2ab cos C ≥2ab -ab =ab ， 可得ab ≤9， S=absinC ≤当且仅当a =b=3时取等号∴△ABC 面积的最大值= 19解证明（Ⅰ）∵na n +1=（n +1）a n +n （n +1）， ∴， ∴，∴数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴b n =3n •=n •3n ，，∴n n n n n S 33)1(333231122⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=- ① •3n +n •3n +1② ①-②得3n -n •3n +1= =∴20解(I)∵S n +1=4a n +2，∴S n =4a n -1+2(n ≥2)，两式相减：a n +1=4a n -4a n -1(n ≥2)，∴a n +1=4(a n -a n -1)(n ≥2)， ∴b n =a n +1-2a n ，∴b n +1=a n +2-2a n +1=4(a n +1-a n )-2a n +1，b n +1=2(a n +1-2a n )=2b n (n ∈N*)， ∴，∴{b n }是以2为公比的等比数列，∵b 1=a 2-2a 1，而a 1+a 2=4a 1+2，∴a 2=3a 1+2=5，b 1=5-2=3， ∴b n =3•2n -1(n ∈N*)(II)，假设}{1+n C 为等比数列，则有, n ≥2,则有=0 与≥1冲突，所以假设不成立，则原结论成立，即数列}{1+n C 不行能为等比数列21解（1）当1m =时，(1,0)M ，此时，点M 为抛物线C 的焦点，直线l 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，联立241y x y x ⎧=⎨=-⎩， 消去y 得，2610x x -+=，∴126x x +=，121224y y x x +=+-=，∴圆心坐标为(3,2) 又12||28AB x x =++=，∴圆的半径为4，∴圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=．（2）由题意可设直线l 的方程为x ky m =+，则直线l 的方程与抛物线C ：24y x =联立， 消去x 得：2440y ky m --=，则124y y m =-，124y y k +=，2222222222112212111111||||()()(1)(1)AM BM x m y x m y k y k y +=+=+-+-+++2222212121222222222221212()21682(1)(1)(1)162(1)y y y y y y k m k m k y y k y y k m m k ++-++====++++对任意k R ∈恒为定值，于是2m =，此时22111||||4AM BM +=． ∴存在定点(2,0)M ，满足题意． 22．解（Ⅰ）∵222PF NF = ∴N 为线段2PF 中点 ∵20QN PF ⋅=∴QN 为线段2PF 的中垂线 ∴2OP QF =∵1112F P FQ QP FQ QF =+=+=∴由椭圆的定义可知Q 的轨迹是以12,F F为焦点，长轴长为设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，则a = 1c =，∴21b =。

淮北一中2020-2021学年度高二第一学期期末考试数学答案（理科）一、选择题：1.C解：A、（x）′＝1，故错误；B、（3x）′＝3x ln3，故错误；C、符合对数函数的求导公式，故正确；D、（x2cosx）′＝2xcosx﹣x2sinx，故错误．2.D解：对于A，命题的否定形式只否定结论，故正确；对于B，原命题“若，则”为真，逆否命题与原命题同真假，故正确；对于C，中，，反之亦然，故正确；对于D，向量，满足，则与的夹角为锐角或零角，故错．3.C4.B解：设等差数列的公差为d，，，，∴∴．5.C解：因为，，所以为使以上居民在该月的用水价格为元立方米，a至少定为3立方米．6.D解：由，为偶函数，所以图象关于y对称，排除又当时，，则在单调递减，且只有一个零点，故只有一个极值点，排除A，7.A解：由题意可知，，且，，，，则，，8.A解：由抛物线，得焦点坐标为，设直线AB的方程为，点，，线段AB的中点为M，联立，消去x得，，，由，得，．9.D解：不符合，符合，若极差等于0或1，在的条件下，显然符合指标；若极差等于2且，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：，2，，3，，4，符合指标．符合，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标，10.C11.A解：设的内切圆半径为r，则，，，，，可得，解得：．12.A解:计算导数得到，结合构造新函数得到要使得存在两个不同的极值点，则要求有两个不同的根，且，则，解得，而，构造新函数，计算导数得到，结合前面提到的a的范围可知在单调递增，故，则是，故选A。

二、填空题:13．1 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭14.解：设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为，该双曲线经过点，．所求的双曲线方程为：，整理得：．故答案为：．15．解∵，∴，当且仅当，即时等号成立．∴， 又， ∴，16．.解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，三、解答题:17.解：（1）cos (3)cos c B a b C =-，∴由正弦定理可知，sin cos 3sin cos sin cos C B A C B C =-，即sin cos cos sin 3sin cos C B C B A C +=，sin()3sin cos C B A C ∴+=，A B C π++=，sin 3sin cos A A C ∴=，sin 0A ≠，1cos 3C ∴=，0C π<<，222sin 1C cos C ∴=-=（2）26c =1cos 3C =， ∴由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，可得：222243a b ab =+-，24()243a b ab ∴-+=，2b a -=，∴解得：15ab =，18.解：由题意，得出下表； 月份x 3 4 5 6 7 均价y，，，所以，所以从3月份至7月份y 关于x 的线性回归方程为将代入回归方程得，所以预测12月份该市新建住宅的销售均价为万元平方米19.（1）取BC 中点O ，连结AO ．∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC ．∵在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，∴AO ⊥平面BCC 1B 1．取B 1C 1中点O 1，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系：O xyz -，如图所示，则B(1，0，0)，D(-1，1，0)，A 1(0，23，A(0，0，3，B 1(1，2，0)，∴()11,2,3AB =-，()2,1,0BD =-，(13BA =-．∴10AB BD ⋅=，110AB BA ⋅=，∴1AB BD ⊥，11AB BA ⊥，∴AB 1⊥平面A 1BD ．法二：利用线面垂直判定定理亦可法三：求出平面BD A 1的法向量和直线1AB 的方向向量共线亦可（2）设平面A 1AD 的法向量为(),,x y z =n ．1,1,3()AD =--，1,2,0(0)AA =．∵AD ⊥n ，1AA ⊥n ，∴100AD AA ⋅=⋅⎧⎪⎪⎩=⎨n n ，∴3020x y z y ⎧-+-==⎪⎨⎪⎩，03y x z ==-⎧⎪⎨⎪⎩，令1z =得(3,,1)0-=n 为平面A 1AD 的一个法向量．由（1）知AB 1⊥平面A 1BD ，1AB 为平面A 1BD 的法向量，∴111336cos 4222AB AB AB ⋅--===-⨯⋅n n,n ． ∴锐二面角A －A 1D －B 的大小的余弦值为64． 20.解：0524=--y x（2），．设，当时，，，则，在上单调递增当时，，的零点为，，所以在，上单调递增在上单调递减当时，，的零点为，在上单调递增，在上单调递减21.解：由，设，，，可得，椭圆方程为， 代入M ，可得，可得，则，，， 可得椭圆方程为； 由O ，R 分别为，的中点，可得的面积为的面积的一半，即为的面积，、面积之和设为S ，则，当直线PQ 的斜率不存在时，其方程为， 此时；当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为：，设，，显然直线PQ 不与x 轴重合，即；联立，解得， ，故，，故，点O 到直线PQ 的距离，，令，故，故S 的最大值为．注：设直线方程1-=my x 计算更为简便 22.解：，，依题意，即， ，，．，在上递减，在递增，，，当时，在递减，在递增，．当2-≥x 时，在递增，．．令，由题意2-≥x 时，恒成立，，，，2-≥x ，在上只可能有一个极值点，当，即时在递增，不合题意．当，即时，符合． 当，即时，在上递减，在递增，符合，综上所述k 的取值范围是。

淮北市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设函数，则“”是“函数在上存在零点”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2． 若实数x ，y 满足，则（x ﹣3）2+y 2的最小值是（ ）A ．B ．8C ．20D ．23． 利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a ，则不等式ln （3a ﹣1）＜0成立的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．4． 已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误 的是（ ）A ．若m ∥β，则m ∥lB ．若m ∥l ，则m ∥βC ．若m ⊥β，则m ⊥lD ．若m ⊥l ，则m ⊥β5． 已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ）A ．12x π=-B ．12x π=C ．6x π=-D ．6x π=6． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A=（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 7． 在平面直角坐标系中，向量＝(1，2)，＝(2，m)，若O ，A ，B 三点能构成三角形，则（ ）A ．B ．C ．D ．8． 四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）A ．96B ．48C ．24D ．09． 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =a n +，则S 2015的值是（ ）A ．B ．C ．2015D ．10．已知圆M 过定点)1,0(且圆心M 在抛物线y x 22=上运动，若x 轴截圆M 所得的弦为||PQ ，则弦长||PQ 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．与点位置有关的值【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质，对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高，难度较大.11．若不等式1≤a ﹣b ≤2，2≤a+b ≤4，则4a ﹣2b 的取值范围是（ ）A ．[5，10]B ．（5，10）C ．[3，12]D ．（3，12）12．下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ） A ．y=x+1B ．y=﹣x 2C ．D ．y=﹣x|x|二、填空题13．下列四个命题申是真命题的是 （填所有真命题的序号） ①“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件；②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； ③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；④动圆P 过定点A （﹣2，0），且在定圆B ：（x ﹣2）2+y 2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P 的轨迹为一个椭圆．14．命题“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣1＞0”的否定形式是 ．15．将一张坐标纸折叠一次，使点()0,2与点()4,0重合，且点()7,3与点(),m n 重合，则m n +的 值是 ．16．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若﹣1＜a 3＜1，0＜a 6＜3，则S 9的取值范围是 ．17．无论m 为何值时，直线（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0恒过定点 ．18．已知直线l 过点P （﹣2，﹣2），且与以A （﹣1，1），B （3，0）为端点的线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是 ．三、解答题19．（本小题满分12分）已知函数()23cos cos 2f x x x x =++. （1）当63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，求函数()y f x =的值域；（2）已知0ω>，函数()212x g x f ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间236ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，求ω的最大值．20．设集合{}{}2|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=．（1）若15a =，判断集合A 与B 的关系； （2）若A B B =，求实数组成的集合C ．21．啊啊已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为（t 为参数），圆C 的极坐标方程为p 2+2psin （θ+）+1=r 2（r ＞0）．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 值．22．已知集合A={x|a ﹣1＜x ＜2a+1}，B={x|0＜x ＜1} （1）若a=，求A ∩B ．（2）若A ∩B=∅，求实数a 的取值范围．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为方程为r （],0[πθ∈），直线l 的参数方程为2t cos 2sin x y t aa ì=+ïí=+ïî（t 为参数）．（I ）点D 在曲线C 上，且曲线C 在点D 处的切线与直线+2=0x y +垂直，求点D 的直角坐标和曲线C的参数方程；（II ）设直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围．24．在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）。

安徽省淮北市第一中学2018-2019学年高二上学期第四次月考数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U =R ，集合A ={x |log 2x ≤1}，B {x |x 2+x -2≥0}，则A ∪∁U B =（ ）A. B. C. D. (0,1](‒2,2](0,1][‒2,2]2.命题：“∀x ∈（-1，1），都有x 2＜1”的否定是（（ ）A. ，都有B. ，都有∀x ∈(‒1,1)x 2≥1∀x ∉(‒1,1)x 2≥1C. ，使得 D. ，使得∃x ∈(‒1,1)x 2≥1∃x ∉(‒1,1)x 2≥13.给定空间中的点 P ，直线 l ，平面α 与平面 β，若 P ∈l ，P ∈α，α⊥β，则“l ⊂α”是“l ⊥β”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件4.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）A.B.C.D.11325.设a =log 73，，c =30.7，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）b =log 17A. B. C. D. a <b <cc <b <a b <c <a b <a <c6.已知等差数列{a n }的公差和首项都不为0，且a 1、a 2、a 4成等比数列，则=（ ）a 1+a 14a 3A. 2B. 3C. 5D. 77.如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是（ ）A. ，12.512.5B. ，1313.5C. ，13.512.5D. 13，138.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B. 15C.D. 182123329.已知a ，b 为正实数，向量=（a ，a -4）向量=（b ，1-b ）若，则a +b 的最小值为（ ）⃗m ⃗n ⃗m∥⃗n A. 1 B. 2C. 3D.9210.F 1、F 2分别是双曲线-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点F 1的直线l 与双曲线的左右两支分别x 2a 2y 2b 2交于A 、B 两点，若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 235711.已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且满足f （3-x ）=f （x ），f （-1）=3，数列{a n }满足a 1=1且a n =n （a n +1-a n ）（n ∈N *），则f （a 36）+f （a 37）=（ ）A. B. C. 2 D. 3‒3‒212.如图，多面体OABCD ，，AD =BC =AC =BD =2，且AB =CD =2OA ，OB ，OC 两两垂直．给出下列四个命题：①三棱锥O -ABC 的体积为定值；②经过A ，B ，C ，D 四点的球的直径为；5③直线OB ∥平面ACD ；④直线AD ，OB 所成的角为60°；其中真命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.与双曲线有相同的渐近线，并且过点（2，3）的双曲线的标准方程是______．x 22‒y 2=114.函数f （x ）=sin cos +cos 2，当x ∈（0，）时，f （x ）的值域为______．x 2x 2x2π215.已知实数x ，y 满足条件，若存在实数a 使得函数z =ax +y （a ＜0）取到最大值z （a ）的解{x ‒y ≥‒1x +y ≤4x ‒2y ≤0有无数个，则a =______，z （a ）=______．16.设、为单位向量，非零向量=x +y ，x 、y ∈R ．若、的夹角为，则的最大值等于______．⃗e 1⃗e 2⃗b ⃗e 1⃗e 2⃗e 1⃗e 2π|x|⃗b 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设命题p ：方程x 2+（2m -4）x +m =0有两个不等的实数根：命题q ：∀x ∈[2，3]，不等式x 2-4x +13≥m 2恒成立．（1）若命题p 为真命题，则实数m 的取值范围；（2）若命题p ∨q 为真命题，命题p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围．18.在△ABC 中，已知sin B =，+=74cosA sinA cosC sinC 477（1）求证：sin A sin C =sin 2B（2）若内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：0＜B ≤；π3（3）若=，求||．⃗BA⋅⃗BC 32⃗BC+⃗BA 19.已知椭圆C ：（a ＞b ＞0），以椭圆短轴的一个顶点B 与两个焦点F 1，F 2为顶点的三角形周x 2a2+y 2b 2=1长是4+2，且∠BF 1F 2=．3π6（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点Q （1，）引曲线C 的弦AB 恰好被点Q 平分，求弦AB 所在的直线方程．1220.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n +n =2a n （n ∈N *）．（1）证明：数列{a n +1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =na n +n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求满足不等式的n 的最小值．T n ‒2n＞201821.已知函数f （x ）=x +．1x （1）若关于x 的不等式f （3x ）≤m •3x +2在[-2，2]上恒成立．求实数m 的取值范围；（2）若函数g （x ）=f （|2x -1|）-3t -2有四个不同的零点，求实数t 的取值范围．+2t |2x‒1|22.已知椭圆E ：+=1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k ＞0）的直线交E 于A ，M 两点，x 2t y 23点N 在E 上，MA ⊥NA ．（Ⅰ）当t =4，|AM |=|AN |时，求△AMN 的面积；（Ⅱ）当2|AM |=|AN |时，求k 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵全集U=R，集合A={x|log2x≤1}={x|0＜x≤2}，B={x|x2+x-2≥0}={x|x≥1或x≤-2}，∴C U B={x|-2＜x＜1}，∴A∪C U B={x|-2＜x≤2}=（-2，2]．故选：B．全集U=R，集合A={x|0＜x≤2}，B={x|x≥1或x≤-2}，C U B={x|-2＜x＜1}，由此能求出A∪C U B．本题考查集合的子集个数的求法，考查子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.【答案】C【解析】解：命题是全称命题，则否定是特称命题即：∃x∈（-1，1），使得x2≥1，故选：C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，利用全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】B【解析】解：P∈l，P∈α，α⊥β，则“l⊥β”⇒l⊂α．反之不成立．∴“l⊂α”是“l⊥β”的必要非充分条件．故选：B．P∈l，P∈α，α⊥β，则“l⊥β”，利用面面垂直的性质定理可得：l⊂α，反之不成立．本题考查了面面垂直的性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p==．故选：D．先求出基本事件总数n=5×5=25，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．5.【答案】D【解析】解：0=log71＜a=log73＜log77=1，＜=0，c=30.7＞30=1，∴b＜a＜c．故选：D．利用指数函数和对数函数的单调性求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．6.【答案】C【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d≠0，a1≠0，∵a1、a2、a4成等比数列，∴=a1•（a1+3d），化为：d=a1．则===5．故选：C．设等差数列{a n}的公差为d≠0，a1≠0，由a1、a2、a4成等比数列，可得=a1•（a1+3d），化为：d与a1的关系，再利用通项公式代入即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为0.2，第二组的频率为0.5，则第三组的频率为0.3，则平均数为7.5×0.2+12.5×0.5+17.5×0.3=13，由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间（10，15]的的位置，即中位数为10+（15-10）×=13．故选：D．根据频率分布直方图的数据，结合平均数数和中位数的对应进行判断即可．本题主要考查频率分布直方图的应用，要求熟练掌握中位数和平均数的定义以及计算方式．8.【答案】C【解析】解：由题意可知几何体的直观图为：多面体：A′B′C′-ABCD几何体补成四棱柱，底面是直角梯形，底边长为3，高为3，上底边长为1，几何体的体积为：V棱柱-V棱锥=3×-=18-=．故选：C．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：∵；∴a（1-b）-b（a-4）=0；∴a+4b=2ab；∴，且a，b为正实数；∴，当且仅当时取“=”；∴a+b的最小值为．故选：D．根据即可得出a（1-b）-b（a-4）=0，整理即可得出，并且a，b都是正数，从而，根据基本不等式即可得出，从而得出a+b的最小值．考查平行向量的坐标关系，根据基本不等式求最值的方法．10.【答案】D【解析】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A-F2A=F1A-AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2-BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由∠ABF2=60°，则∠F1BF2=120°，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2-2•2a•4a•cos120°，得c2=7a2，则e2=7，解得e=．故选：D．由双曲线的定义，可得F1A-F2A=F1A-AB=F1B=2a，BF2-BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）是奇函数，且满足f（3-x）=f（x），f（-1）=3，∴f（x）=f（3-x）=-f（x-3），即f（x+3）=-f（x），则f（x+6）=-f（x+3）=f（x），即函数f（x）是周期为6的周期函数，由数列{a n}满足a1=1且a n=n（a n+1-a n）（n∈N*），则a n=na n+1-na n，即（1+n）a n=na n+1，则=，则=，=．…=，等式两边同时相乘得•…=××．…，即=n，即a n=na1=n，即数列{a n}的通项公式为a n=n，则f（a36）+f（a37）=f（36）+f（37）=f（0）+f（1），∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，∵f（-1）=3，∴-f（1）=3，即f（1）=-3，则f（a36）+f（a37）=f（36）+f（37）=f（0）+f（1）=0-3=-3，故选：A．根据条件判断函数的周期是6，利用数列的递推关系求出数列的通项公式，结合数列的通项公式以及函数的周期性进行转化求解即可．本题主要考查函数与数列的综合，求出函数的周期以及数列的通项公式，结合函数的周期性进行转化是解决本题的关键．12.【答案】C【解析】解：由题意，构造长方体，如右图，设OA=x ，OB=y ，OC=z ，则x 2+y 2=2，x 2+z 2=4，y 2+z 2=4，解得，x=1，y=1，z=，对于①，三棱锥O-ABC 的体积为OC×OA×OB=，故①对；对于②，球面经过点A 、B 、C 、D 两点的球的直径即为长方体的对角线长，即为=，故②对；对于③，由于OB ∥AE ，AE 和平面ACD 相交，则OB 和平面ACD 相交，故③错；对于④，由于OB ∥AE ，则∠DAE 即为直线AD 与OB 所成的角，由tan ∠DAE==，则∠DAE=60°，故④对．故选：C ．由题意，只要构造长方体，设OA=x ，OB=y ，OC=z ，则x 2+y 2=2，x 2+z 2=4，y 2+z 2=4，解得x ，y ，z ，运用棱锥的体积公式，即可判断①；运用异面直线所成角的定义，即可判断②；球面经过点A 、B 、C 、D 两点的球的直径即为长方体的对角线长，即可判断③；由于OB ∥AE ，AE 和平面ACD 相交，即可判断④．本题考查线面的位置关系的判断，空间异面直线所成的角，以及三棱锥的体积的计算和多面体的外接球的关系，考查运算能力，属于中档题和易错题．13.【答案】-=1y 27x 214【解析】解：设双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为=λ，（λ≠0），把点（2，3）代入，得：=-7，∴λ=-7，∴所求双曲线方程为-=1．故答案为：-=1．设双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为=λ，（λ≠0），把点（2，3）代入，求出λ=-7，由此能求出双曲线方程．本题考查双曲线方程的求法，考查双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】（1，]2+12【解析】解：函数f （x ）=sin cos+cos 2=sinx+cosx+=sin （x+），当x ∈（0，）时，（x+）∈（，），∴sin （x+）∈（，1]那么f （x ）的值域为（1，]．故答案：（1，]．利用二倍角和辅助角化简，结合三角函数的性质即可求解x ∈（0，）时，f （x ）的值域．本题考查了二倍角和辅助角化简能力和值域的求法．属于基础题．15.【答案】-1 1【解析】解：z=ax+y 可化为y=-ax+z ，由题意作平面区域如下，结合图象可知，y=-ax+z与直线y=x+1重合，故-a=1，z=1，故答案为：-1，1．z=ax+y可化为y=-ax+z，由题意作平面区域，从而利用数形结合求解．本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想方法的应用，属于中档题．16.【答案】2【解析】解：===．只考虑x＞0，则===≤2，当且仅当时取等号．∴的最大值等于2．故答案为：2．利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）若命题p 为真命题，则判别式△=（2m -4）2-4m =4（m -1）（m -4）＞0，解得m ＞4或m ＜1．（2）若命题q 为真命题，则（x -2）2≥m 2-9在[2，3]恒成立．∵当x =2时，（x -2）2取得最小值0，则0≥m 2-9，即m 2≤3，解得-3＜m ＜3．“若命题p ∨q 为真命题，命题p ∧q 为假命题，所以命题p ，q 中一真一假，当p 真且q 假时，，得m ＜-3或m ＞3，{m <1或m >4m <‒3或m >3当p 假且q 真时，，解得1≤m ≤3．{1≤m ≤4‒3≤m ≤3综上所述：m ＜-3或1≤m ≤3或m ＞4．【解析】（1）根据一元二次方程根与判别式△的关系求出m 的范围即可．（2）求出命题p ，q 为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．18.【答案】解：（1）证明：∵sin B =，+=，74cosA sinA cosC sinC 477∴+====，cosA sinA cosC sinC cosAsinC +sinAcosC sinAsinC sin(A +C)sinAsinC sinBsinAsinC 477即sin A sin C ====（）2．sinB4777447771674即sin A sin C =sin 2B 成立．（2）∵sin A sin C =sin 2B ，∴ac =b 2，则b 2=a 2+c 2-2ac cos B ≥2ac -2ac cos B ，即ac ≥2ac -2ac cos B ，则2cos B ≥1，即cos B ≥，当且仅当a =c 时等号成立，12则0＜B ≤；π3（3），∵sin B =，ac =b 2，74∴a ，b ，c 成等比数列，则B 不是最大角，则B 是锐角，即cos B ===，1‒sin 2B 1‒71634则==ca cos B =ac ，⃗BA⋅⃗BC 3234得ac =2，又ac =b 2，∴b 2=2，由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =（a +c ）2-2ac -2ac cos B ，即2=（a +c ）2-4-2×2×=（a +c ）2-7，34即（a +c ）2=9，则a +c =3，则||2=a 2+c 2+2•=a 2+c 2+2ac cos B =（a +c ）2-2ac +2ac cos B =9-4+2×2×=8，⃗BC +⃗BA ⃗BC ⃗BA 34即||==2．⃗BC+⃗BA 82【解析】（1）根据两角和差的正弦公式进行化简证明即可（2）利用正弦定理，余弦定理结合基本不等式的性质进行求解（3）根据向量数量积的公式．结合向量模长与向量数量积的关系建立方程关系进行求解即可本题主要考查向量与正弦定理与余弦定理的综合应用，根据三角函数的性质进行转化是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力．19.【答案】解：（1）∵以椭圆短轴的一个顶点B 与两个焦点F 1，F 2为顶点的三角形周长是4+2，且3∠BF 1F 2=．π6∴2a +2c =4+2，，332a =c∴a =2，c =3∴b =a 2‒c 2=1∴椭圆方程为．x 24+y 2=1（2）当直线l 的斜率不存在时，过点Q （1，）引曲线C 的弦AB 不被点Q 平分；12当直线l 的斜率为k 时，l ：y -=k （x -1）与椭圆方程联立，消元可得（1+4k 2）x 2-4k （2k -1）x +（1-2k ）2-124=0∵过点Q （1，）引曲线C 的弦AB 恰好被点Q 平分，12∴，4k(2k ‒1)1+4k 2=2∴解得k =-．12∵14+14＜1∴点Q 在椭圆内∴直线l ：y -=-（x -1），即l ：y =-x +1．121212【解析】（1）利用以椭圆短轴的一个顶点B 与两个焦点F 1，F 2为顶点的三角形周长是4+2，且∠BF 1F 2=，建立方程，可求椭圆的几何量，从而可得椭圆C 的标准方程；（2）当斜率l 不存在时，过点Q （1，）引曲线C 的弦AB 不被点Q 平分；当直线l 的斜率为k 时，设方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及过点Q （1，）引曲线C 的弦AB 恰好被点Q 平分，建立方程，即可求得结论．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦中点问题，正确运用韦达定理是关键．20.【答案】（1）证明：当n =1时，a 1+1=2a 1，∴a 1=1．∵S n +n =2a n ，n ∈N *，∴当n ≥2时，S n -1+n -1=2a n -1，两式相减得：a n +1=2a n -2a n -1，即a n =2a n -1+1，∴a n +1=2（a n -1+1），∴数列{a n +1}为以2为首项，2为公比的等比数列，∴，a n +1=2n则，n ∈N *；a n =2n ‒1（2）解：∵，b n =na n +n =n(2n ‒1)+n =n ⋅2n ∴，T n =1⋅21+2⋅22+3⋅23+…+n ⋅2n∴，2T n =1⋅22+2⋅23+…+(n ‒1)⋅2n +n ⋅2n +1两式相减得：，‒T n =21+22+23+…+2n ‒n ⋅2n +1∴，T n =(n ‒1)⋅2n +1+2由，得，T n ‒2n＞2018n ‒1n⋅2n ＞1009设，c n =n ‒1n⋅2n∵＞0，c n +1‒c n =n 2+1n 2+n⋅2n∴数列{c n }为递增数列，∵，，c 10=910⋅210＜1009c 11=1011⋅211＞1009∴满足不等式的n 的最小值为11．T n ‒2n＞2018【解析】（1）当n=1时，求得a 1=1．当n≥2时，S n-1+n-1=2a n-1，与原递推式联立得：a n +1=2a n -2a n-1，即a n =2a n-1+1，可得a n +1=2（a n-1+1），得到数列{a n +1}为以2为首项，2为公比的等比数列，由此可得数列{a n }的通项公式；（2），然后利用错位相减法求数列{b n }的前n 项和为T n ，代入，可得，设，可知数列{c n }为递增数列，结合c 10＜1009，c 11＞1009得答案．本题考查数列递推式，考查了利用错位相减法求数列的前n 项和，考查数列的函数特性，是中档题．21.【答案】解：（1）函数f （x ）=x +，则不等式f （3x ）≤m •3x +2，1x 可化为3x +≤m •3x +2在[-2，2]上恒成立；13x m ≥-2•（）+1在[-2，2]上恒成立，(13x )213x 令s =，由x ∈[-2，2]，得s ∈[，9]；13x19则m ≥t 2-2t +1=（s -1）2在s ∈[，9]上恒成立，19又当s =9时，=64，(s ‒1)2max 所以m ≥64，即实数m 的取值范围是[64，+∞）；（2）令函数g （x ）=f （|2x -1|）-3t -2=0，+2t|2x‒1|得|2x -1|++-3t -2=0，1|2x ‒1|2t|2x ‒1||2x -1|2-（3t +2）|2x -1|+（2t +1）=0（|2x -1|＞0），令r =|2x -1|，则r ＞0，且r 2-（3t +2）r +（2t +1）=0；问题转化为关于r 的方程r 2-（3t +2）r +（2t +1）=0有两个不等的实数根r 1和r 2，且满足0＜r 1＜1，0＜r 2＜1；记h （r ）=r 2-（3t +2）r +（2t +1），则，{△=(3t +2)2‒4(2t +1)＞0ℎ(0)=2t +1＞0ℎ(1)=‒t ＞00＜3t +22＜1解得，即-＜t ＜-；{t ＜‒49或t ＞0‒12＜t ＜0‒23＜t ＜01249所以实数t 的取值范围是（-，-）．1249【解析】（1）由题意不等式f （3x ）≤m•3x +2可化为m≥-2•（）+1在[-2，2]上恒成立，利用换元法求出右边函数的最大值，即可得出m 的取值范围；（2）令函数g （x ）=0，得出方程|2x -1|2-（3t+2）|2x -1|+（2t+1）=0，其中|2x -1|＞0；令r=|2x -1|，问题转化为关于r 的方程r 2-（3t+2）r+（2t+1）=0有两个不等的正实数根r 1和r 2，且满足0＜r 1＜1，0＜r 2＜1，利用二次函数的性质求出t 的取值范围．本题考查了函数恒成立问题，也考查了函数的零点应用问题，是难题．22.【答案】解：（Ⅰ）方法一、t =4时，椭圆E的方程为+=1，A （-2，0），x 24y 23直线AM 的方程为y =k （x +2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k 2）x 2+16k 2x +16k 2-12=0，解得x =-2或x =-，则|AM |=•|2-|=•，8k 2‒63+4k 21+k 28k 2‒63+4k 21+k 2123+4k 2由AN ⊥AM ，可得|AN |=•=•，1+(‒1k )2123+4⋅(‒1k )21+k 2123|k|+4|k|由|AM |=|AN |，k ＞0，可得•=•，1+k 2123+4k 21+k 2123k +4整理可得（k -1）（4k 2+k +4）=0，由4k 2+k +4=0无实根，可得k =1，即有△AMN的面积为|AM |2=（•）2=；12121+1123+414449方法二、由|AM |=|AN |，可得M ，N 关于x 轴对称，由MA ⊥NA ．可得直线AM 的斜率为1，直线AM 的方程为y =x +2，代入椭圆方程+=1，可得7x 2+16x +4=0，x 24y 23解得x =-2或-，M （-，），N （-，-），272712727127则△AMN的面积为××（-+2）=；122472714449（Ⅱ）直线AM 的方程为y =k （x +），代入椭圆方程，t 可得（3+tk 2）x 2+2t k 2x +t 2k 2-3t =0，t 解得x =-或x =-，t t tk 2‒3t3+tk 2即有|AM |=•|-|=•，1+k 2t tk 2‒3t 3+tk2t 1+k 26t3+tk 2|AN |═•=•，1+1k 26t3+tk 1+k 26t3k +t由2|AM |=|AN |，可得2•=•，1+k 26t3+tk 21+k 26t3k +t整理得t =，6k 2‒3k k 3‒2由椭圆的焦点在x 轴上，则t ＞3，即有＞3，即有＜0，6k 2‒3kk 3‒2(k 2+1)(k ‒2)k 3‒2可得＜k ＜2，即k 的取值范围是（，2）．3232【解析】（Ⅰ）方法一、求出t=4时，椭圆方程和顶点A ，设出直线AM 的方程，代入椭圆方程，求交点M ，运用弦长公式求得|AM|，由垂直的条件可得|AN|，再由|AM|=|AN|，解得k=1，运用三角形的面积公式可得△AMN 的面积；方法二、运用椭圆的对称性，可得直线AM 的斜率为1，求得AM 的方程代入椭圆方程，解方程可得M ，N 的坐标，运用三角形的面积公式计算即可得到；（Ⅱ）直线AM 的方程为y=k （x+），代入椭圆方程，求得交点M ，可得|AM|，|AN|，再由2|AM|=|AN|，求得t ，再由椭圆的性质可得t ＞3，解不等式即可得到所求范围．本题考查椭圆的方程的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，以及弦长公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

淮北市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在内的人数分别为（）[]90,100A ．20，2B ．24，4C ．25，2D ．25，42． 函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（ ）sin()y A x ωϕ=+A ． B ． C ． D ．2sin(2)3y x π=+22sin(23y x π=+2sin()23x y π=-2sin(2)3y x π=-3． 已知f （x ）是R 上的偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，设，b=f （log 43），c=f （0.4﹣1.2）则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a ＜c ＜bB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a4． 执行如图所示的程序，若输入的，则输出的所有的值的和为（ ）3x =x A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．5．为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度6．复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（）A ．（0，）B ．（，1）C ．（1，2）D ．（2，3）　8． “”是“A=30°”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也必要条件9． 已知函数f （x ）=x 2﹣，则函数y=f （x ）的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．10．定义在R 上的奇函数f （x ），满足，且在（0，+∞）上单调递减，则xf （x ）＞0的解集为（）A ．B ．C ．D ．11．在如图5×5的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z 的值为（ ）120.51xyzA ．1B ．2C ．3D ．412．已知双曲线，分别在其左、右焦点，点为双曲线的右支上2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F P 的一点，圆为三角形的内切圆，所在直线与轴的交点坐标为，与双曲线的一条渐M 12PF F PM (1,0)，则双曲线的离心率是（ ）CA B ．2CD 二、填空题13．已知函数，则的值是_______，的最小正周期是______.22tan ()1tan x f x x =-()3f π()f x【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力．14．已知向量满足，，，则与的夹角为 .,42=a 2||=b 4)3()(=-⋅+b a b a a b 【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题.15．满足关系式{2，3}⊆A ⊆{1，2，3，4}的集合A 的个数是 ．16．已知a=（cosx ﹣sinx ）dx ，则二项式（x 2﹣）6展开式中的常数项是 ．17．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°，C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C 点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m ，则山高MN= m ．18．设，记不超过的最大整数为，令.现有下列四个命题: x R ∈x []x {}[]x x x =-①对任意的，都有恒成立；x 1[]x x x -<≤②若，则方程的实数解为；(1,3)x ∈{}22sincos []1x x +=6π-③若（），则数列的前项之和为；3n n a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦n N *∈{}n a 3n 23122n n -④当时，函数的零点个数为，函数的0100x ≤≤{}22()sin []sin1f x x x =+-m {}()[]13xg x x x =⋅--零点个数为，则.n 100m n +=其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。

淮北一中2020届高三第四次月考数学参考答案（理）一、选择题二、填空题三、解答题19.21.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

想要不出现太强的考试焦虑，那么最好的办法是，形成自己的掌控感。

1、首先，认真研究考试办法。

这一点对知识水平比较高的考生非常重要。

随着重复学习的次数增加，我们对知识的兴奋度会逐渐下降。

最后时刻，再去重复学习，对于很多学生已经意义不大，远不如多花些力气，来思考考试。

很多老师也会讲解考试的办法。

但是，老师给你的办法，不能很好地提高你对考试的掌控感，你要找到自己的一套明确的考试办法，才能最有效地提高你的掌控感。

有了这种掌控感，你不会再觉得，在如此关键性的考试面前，你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。

2、其次，试着从考官的角度思考问题。

考官，是掌控考试的;考生，是被考试考验的。

如果你只把自己当成一个考生，你难免会惶惶不安，因为你觉得自己完全是个被摆布者。

如果从考官的角度去看考试，你就成了一名主动的参与者。

具体的做法就是，面对那些知识点，你想像你是一名考官，并考虑，你该用什么形式来考这个知识点。

高考前两个半月，我用这个办法梳理了一下所有课程，最后起到了匪夷所思的效果，令我在短短两个半月，从全班第19名升到了全班第一名。

当然，这有一个前提——考试范围内的知识点，我基本已完全掌握。

3、再次，适当思考一下考试后的事。

如觉得未来不可预测，我们必会焦虑。

那么，对未来做好预测，这种焦虑就会锐减。

这时要明白一点：考试是很重要，但只是人生的一个重要瞬间，所谓胜败也只是这一瞬间的胜败，它的确会带给我们很多，但它远不能决定我们一生的成败。

11。

2020届安徽省淮北市第一中学高三上学期第四次月考数学（理）试题一、单选题1．己知复数z 满足：21zi i =+，其中i 是虚数单位，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+C ．1i -D ．1i +【答案】B【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念求解． 【详解】 由zi 2＝1+i ，得z 211ii i+==--， ∴1z i =-+． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．已知集合A ＝{x ∈R |22122x x-＜＜8}，B ＝{y |y =，则A ∩B ＝（ ）A ．()()1,11,3-B ．()1,3-C ．[)0,3D ．03)1[)(1⋃，， 【答案】D【解析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】由221282x x-<<，得2123222x x --<<，即2123x x -<-<. 由212x x -<-，得1x ≠； 由223x x -<，得13x -<<.A ＝{x |﹣1＜x 2﹣2x ＜3}＝{x |﹣1＜x ＜3且x ≠1}，B ＝{y |y ≥0}，∴A ∩B ＝[0，1）∪（1，3）． 故选：D ． 【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，p ：m n ⊥，若p 是q 的必要条件，则q 可能是（ ） A ．q ：m α⊥，//n β，αβ⊥ B ．q ：m α⊂，n β⊥，//αβ C ．q ：m α⊥，n β⊥，//αβ D ．q ：m α⊂，//n β，αβ⊥【答案】B【解析】根据线面平行与垂直的判定与性质判断即可. 【详解】由题知q 能推出p ：m n ⊥.对A, 当//m n 时仍然可以有m α⊥,//n β,αβ⊥.故A 错误. 对B, n β⊥,//αβ则n α⊥,又m α⊂,则m n ⊥.故B 正确. 对C, m α⊥,//αβ则m β⊥,又n β⊥,故//m n .故C 错误.对D,当αβ⊥且相交于m 时,若//n m 也满足m α⊂,//n β.故D 错误. 故选：B 【点睛】本题主要考查了空间中线面平行与垂直的判定与性质,属于基础题型. 4．设函数f （x ）在（﹣∞，+∞）内的导函数为f '（x ），若()1x f lnx x+=，则()()0'0f f =（ ） A ．2 B ．﹣2C ．1D ．1e +【答案】B【解析】可令lnx ＝t ，从而得出x ＝e t ，代入原函数即可求出()11t f t e=+，求导函数，即可求出f （0），f ′（0）的值，从而得出()()0'0f f 的值．【详解】令lnx ＝t ，则x ＝e t，代入()1x f lnx x +=得，()111t t te f t e e+==+， ∴()1'tf t e =-，∴()()0112'01f f +==--． 故选：B ． 【点睛】本题考查了换元法求函数解析式的方法，对数式和指数式的互化，基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题． 5．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据()(),1,2,,i i x y i n =，其回归直线方程是1y ax =+，且1126nnii i i xy n ====∑∑，则实数a 的值是（ ）A ．13B ．14C ．12D ．1【答案】A【解析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a 的方程，解方程即可. 【详解】 ∵1126nnii i i xy n ====∑∑，∴6x =，3y =，∴这组数据的样本中心点是()6,3，把样本中心点代入回归直线方程1y ax =+得：361a =+， 解得13a =， 故选：A . 【点睛】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一，属于基础题6．己知{a n }是等差数列，其前n 项和S n ＝n 2﹣2n +b ﹣1，{b n }是等比数列，其前n 项和T n 32na =-，则数列{ b n +a n }的前5项和为（ ） A ．37 B ．-27C ．77D ．46【答案】C【解析】由等差数列的求和公式、等比数列的求和公式，结合数列的递推式，可得b ＝1，a ＝2，求得数列{a n }，{b n }的通项公式，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和． 【详解】{a n }是等差数列，其前n 项和221n S n n b =-+-，由等差数列的求和公式可得b ﹣1＝0，即b ＝1， 即S n ＝n 2﹣2n ，a 1＝S 1＝﹣1，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2﹣2n ﹣（n ﹣1）2+2（n ﹣1）＝2n ﹣3， 则a n ＝2n ﹣3，n ∈N ；{b n }是等比数列，其前n 项和32nn a T =-， 则b 12a =-3，b n ＝T n ﹣T n ﹣12a =-3n a a -+3n ﹣1＝﹣2•3n ﹣1，则2a-3＝﹣2，即a ＝2， 则b n +a n ＝n +2n ，数列{ b n +a n }的前5项和为（1+2+...+5）+（2+4+ (32)12=⨯5×6()521212-+=-77． 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的分组求和，以及化简运算能力，属于中档题．7．已知实数x ，y 满足约束条件010240y y x y x ≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则目标函数z ＝y +x 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可得到结果． 【详解】由题意，实数x ，y 满足约束条件010240y y x y x ≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩的可行域如图：目标函数z ＝y +x 经过可行域的C 时，取得最大值，此时10240x y x y --=⎧⎨--=⎩解得C （3，2），所以目标函数z ＝y +x 的最大值为：5， 故选：B ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 8．已知tan 3α=，)3tan tan 12tan 3tan 0αβαβ+++=，则αβ+的值可以为（ ） A ．23πB ．3π C ．4π D ．6π 【答案】D【解析】在已知等式两边同时加上tan α，化简可得)()3tan tan 13tan tan 0αβαβ-++=，构造出两角和的正切公式可求出()tan αβ+，进而可得结果.【详解】)3tan tan 12tan 3tan 0αβαβ+++=， )()3tan tan 13tan tan tan αβαβα+++=，因为tan 23α=)()3tan tan 13tan tan 0αβαβ-++=，所以tan tan 31tan tan αβαβ+=-()3tan αβ+= 故选：D .【点睛】本题主要考查了两角和正切公式的逆用，通过题意构造出公式是解题的关键，属于中档题.9．已知()cos 2()4f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，把函数()f x 的图象向左平移8π个单位，再把图象所有点的横坐标缩小到原来的12，得到函数()cos()0,,22g x A x A ππωϕϕ⎛⎫⎡⎤=+>∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．1，4B ．1，0C ．4，2π-D ．4，0【答案】D【解析】()f x 的图象向左平移8π个单位,可得cos 2y x =，图象所有点的横坐标缩小到原来的12，可得函数的解析式为cos 4y x =，进而求出值. 【详解】把函数()f x 的图象向左平移8π个单位，可得函数的解析式为cos 2cos 284y x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再把图象所有点的横坐标缩小到原来的12，可得函数的解析式为cos 4y x =，∴4,0ωϕ==， 故选:D. 【点睛】本题考查三角函数图像的变换，左加右减是关键，周期变换要准确，考查了运算和推理能力，属于中档题.10．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点P 在抛物线上，且PF x ⊥轴，过点P 且与抛物线相切的直线与x 轴相交于点Q ，若PQ =（ ） A ．28y x = B ．26y x = C ．24y x = D ．22y x =【答案】D【解析】依题意可设出切线的方程为2p y k x p ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，与抛物线联立根据0∆=可得k 的值，进而得出点Q的坐标，结合PQ =p 的值，进而可得结果.【详解】由抛物线的对称性，不妨设点P 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，设切线的方程为2p y k x p ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，联立方程222p y k x p y px ⎧⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x 后整理为：()22220ky py k p -+-=， 有()()2222442410p k k p p k ∆=--=-=，得1k =，则切线方程为2p y x =+， 点Q 的坐标为,02p ⎛⎫-⎪⎝⎭，则P Q ===1p =，则抛物线的标准方程为22y x =. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了学生的计算能力，求出切线的斜率是解题的关键，属于中档题.11．已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1，已知点P 是直线()2y k x =+上一动点，过点P 作圆C 的两条切线分别与圆C 相切于M ，N 两点，若四边形PMCN 的k 的值为（ ） A ．±1 B． C．D ．2±【答案】B【解析】利用待定系数法设出圆的标准方程()()2220x a y r r -+=>，根据题意列出方程组解出未知数可得圆的方程，由切线的性质可得PMCN S =四边形，转化为圆心到直线的距离问题即可. 【详解】设圆C 的方程为()()2220x a y r r -+=>，代入点()0,0和()1,1的坐标有()222211a ra r⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，解得11a r =⎧⎨=⎩，则圆C 的标准方程为()2211x y -+=，由切线的性质有PMCN S PM MC ==四边形由四边形PMCNPC=解得k = 故选：B . 【点睛】本题主要考查利用待定系数法求圆的方程，圆的切线问题，考查了转化与化归思想，属于中档题.12．在三棱锥A -BCD 中，平面ABC 丄平面ADC , AD 丄AC ,AD =AC , 3ABC π∠=，若此三棱锥的外接球表面积为28π，则三棱锥A -BCD 体积的最大值为（ ） A ．7 B ．12C ．6D．3【答案】C【解析】设三棱锥A ﹣BCD 外接球的半径为R ，三棱锥的外接球球心为O ，△ABC 的外心为O 1，△ABC 的外接圆半径为r ，取DC 的中点为O 2，过O 2作O 2E ⊥AC ，则OO 1⊥平面ABC ，OO 2⊥平面ADC ，连结OA ，O 1A ，则O 1A ＝r ，设AD ＝AC ＝b ，则OO 1＝O 2E 12=b ，由S ＝4πR 2＝28π，解得R =b =，若三棱锥A ﹣BCD 的体积最大，则只需△ABC 的面积最大，由此能求出三棱锥A ﹣BCD 的体积的最大值． 【详解】根据题意，设三棱锥A ﹣BCD 外接球的半径为R ， 三棱锥的外接球球心为O ，△ABC 的外心为O 1，△ABC 的外接圆半径为r ， 取DC 的中点为O 2，过O 2作O 2E ⊥AC ， 则OO 1⊥平面ABC ，OO 2⊥平面ADC ， 如图，连结OA ，O 1A ，则O 1A ＝r ， 设AD ＝AC ＝b ，则OO 1＝O 2E 12=b ， 由S ＝4πR 2＝28π，解得R =在△ABC 中，由正弦正理得2r ACsin ABC=∠，∴2r3bsinπ=，解得b 3r =，在Rt △OAO 1中，7＝r 2+（12b ）2，解得r ＝2，b ＝23，∴AC ＝23， 若三棱锥A ﹣BCD 的体积最大，则只需△ABC 的面积最大， 在△ABC 中，AC 2＝AB 2+BC 2﹣2•AB •BC •cos ∠ABC ， ∴12＝AB 2+BC 2﹣AB •BC ≥2AB •BC ﹣AB •BC ， 解得AB •BC ≤12， ∴1131222ABCSAB BC sin ABC =⋅⋅⋅∠≤⨯⨯=33， ∴三棱锥A ﹣BCD 的体积的最大值：11332333D ABC ABCV SAD -=⋅⋅=⨯⨯=6． 故选：C ．【点睛】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题 13．已知夹角为3π的单位向量a ，b ，则23a b -=______. 7【解析】先求出a b ⋅a b ⋅，然后求23a b -的平方，再开方即可. 【详解】 由1cos 32a b a b π⋅=⋅=， 则()222232341294697a b a b a a b b -=-=-⋅+=-+7. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积在求模长中的应用，理解“先平方，再开方”思想是解题的关键，属于基础题.14．甲、乙、丙、丁、戊5个人站成一排照相，其中甲不站中间，甲、乙不相邻的排法总数是______. 【答案】60【解析】分析可得甲可以站在第1、2、4、5号位置，分2种情况讨论：①若甲站在第1或5位置；②若甲站在第2或4位置，分别求出每一种情况下的站法数目，由分类加法原理计算可得答案. 【详解】当甲排第1或5位置时，排法有1333236C A ⨯=（种）； 当甲排第2或4位置时，排法有1323224C A ⨯=（种），则甲不站中间，甲、乙不相邻的排法总数是362460+=， 故答案为：60. 【点睛】本题考查排列、组合的实际应用，注意优先分析受到限制的元素，甲的位置对乙有影响，属于中档题.15．已知正项等比数列{}n a 中，3123a a a =，42563a =，用{}x 表示实数x 的小数部分，如{}1.50.5=，{}2.40.4=，记{}n n b a =，则数列{}n b 的前15项的和15S 为______. 【答案】5【解析】通过3123a a a =和42563a =可计算出数列{}n a 的通项公式43nn a =，即()31433nn +=，由二项式定理结合题意可得13nb =，进而可得结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由3123a a a =得22113a q a q =，则13q a =，由42563a =和425633q =，解得4q =，143a =，则1143n n n a a q -==. 由()()11111213141113333333333nnn n n n n n nn n n C C C C -----+==++++=++++，13n b ∴=，则1511553S =⨯=，故答案为：5. 【点睛】本题主要考查了等比数列中基本量的计算，二项式定理的应用，对新定义的理解是解题的关键，属于中档题.16．己知函数f （x ）对x ∈R 均有f （x ）+2f （﹣x ）＝mx ﹣6，若f （x ）≥lnx 恒成立，则实数m 的取值范围是_________. 【答案】(,e]-∞-【解析】根据条件利用解方程组法求出f （x ）的解析式，然后由f （x ）≥lnx 恒成立，可得m 2lnx x +≤-恒成立，构造函数()2lnxg x x+=，求出g （x ）的最小值，可进一步求出m 的范围． 【详解】∵函数f （x ）对x ∈R 均有f （x ）+2f （﹣x ）＝mx ﹣6①， ∴将﹣x 换为x ，得f （﹣x ）+2f （x ）＝﹣mx ﹣6②， ∴由①②，解得f （x ）＝﹣mx ﹣2． ∵f （x ）≥lnx 恒成立，∴m 2lnxx+≤-恒成立， ∴只需m 2()min lnxx +≤-． 令()2lnx g x x +=-，则g '（x ）21lnx x +=，令g '（x ）＝0，则x 1e =，∴g （x ）在（0，1e ）上单调递减，在（1e，+∞）上单调递增，∴1()min g x g e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴m ≤﹣e ， ∴m 的取值范围为（﹣∞，﹣e ]． 故答案为：（﹣∞，﹣e ]． 【点睛】本题考查了利用解方程组法求函数的解析式和不等式恒成立问题，考查了函数思想和方程思想，属中档题．三、解答题17．已知ABC ∆的内角的对边分别为,,a b c ，若b =2270a ac c -+-=.（1）求B ;（2）若ABC ∆的周长为5,求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3π（2 【解析】（1）由已知可得a 2+c 2﹣b 2＝ac ，由余弦定理可得cosB 12=，结合范围B ∈（0，π），可求B 的值．（2）由已知可求a +c ＝5，两边平方后可求ac 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）∵a 2﹣ac +c 2﹣7＝0，b =∴a 2+c 2﹣b 2＝ac ，∴由余弦定理可得cosB 2221222a cb ac ac ac +-===，∵B ∈（0，π）， ∴B 3π=．（2）∵△ABC 的周长为5，b =∴a +b +c ＝5，即a +c ＝5， ∴（a +c ）2＝a 2+c 2+2ac ＝25， 又∵a 2+c 2＝7+ac ， ∴ac ＝6，∴S △ABC 12=acsinB 12=⨯622⨯=，所以ABC . 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．18．如图，在四棱锥S -ABCD 中，四边形ABCD 菱形，0120ADC ∠=,平面SAD ⊥平面 ABCD ，==丄，SA SD SA SD .E ，F 分别是线段 SC ，AB 上的一点,12SE AF EC FB ==.（1）求证：EF 平面SAD ;（2）求平面DEF 与平面SBC 所成锐二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （21590【解析】（1）先证明平行四边形AGEF ，得到AG ∥EF ，再证明EF ∥平面SAD ； （2）以OA ，OB ，OS 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图，求出平面DEF 的法向量和平面SBC 的一个法向量，利用向量的夹角公式求出二面角的余弦值，从而求出平面DEF 与平面SBC 所成锐二面角的正弦值． 【详解】（1）过点E 作EG ∥DC ，如图，连接AG ，因为12SE EC =，所以13EG SE DC SC ==， 故EG ∥CD ，EG 13CD =，由12AF FB =，AF 13AB =， 因为菱形ABCD ，所以EG ∥AF ，EG ＝AF ， 故平行四边形AGEF ，所以AG ∥EF ，又EF ⊄平面SAD ，AG ⊂平面SAD ，所以//EF 平面SAD . （2）取AD 中点O ，等腰三角形SAD ，故SO ⊥AD ，连接OB ， 菱形ABCD ，∠ADC ＝120°，所以OB ⊥OA ， 又平面SAD ⊥平面ABCD 所以SO ⊥平面ABCD ，以OA ，OB ，OS 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图， 因为SA ＝SD ＝2，所以AD ＝AB ＝CD ＝6，SO ＝3， ∠ADC ＝120°，所以AF ＝2，OB 33=，AO ＝OD ＝3， 所以A （3，0，0），D （﹣3，0，0），S （0，0，3）， F （230），B （0，3，0），C （﹣6，30），又13SE SC==（﹣2，3，﹣1），得E（﹣2，3，2），所以()0333SB=-，，，()600BC=-，，，()530DF=，，，()132DE=，，，设平面DEF的一个法向量为()m x y z=，，，由m DFm DE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得530320x yx y z⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，故5312m⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，，设平面SBC的一个法向量为()n a b c=，，，由n SBn BC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得3330b ca⎧-=⎪⎨=⎪⎩，故()013n=，，，所以253231025321()43cos m n-+⋅==+-+＜，＞，平面DEF与平面SBC所成锐二面角的正弦值为1590．【点睛】考查线线平行，线面平行的判定，利用向量法求二面角余弦值，考查运算能力和空间想象能力，中档题．19．一批用于手电筒的电池，每节电池的寿命服从正态分布()36,4N（寿命单位：小时）.考虑到生产成本，电池使用寿命在()30,38内是合格产品.（1）求一节电池是合格产品的概率（结果四舍五入，保留一位小数）；（2）根据（1）中的数据结果，若质检部门检查4节电池，记抽查电池合格的数量为X，求随机变量X的分布列、数学期望及方差.附：若随机变量X服从正态分布()2,Nμσ，则()0.6826P Xμσμσ-<<+=，()220.9544P Xμσμσ-<<+=，()330.9974P Xμσμσ-<<+=.【答案】（1）0.8（2）分布列见解析，数学期望3.2，方差为0.64.【解析】（1）由()()()1130383042343822P x P x P x <<=<<+<<可得结果； （2）变量X 的值可能为0，1，2，3，4，变量X 服从二项分布()4,0.8B ，计算出对应的概率，根据二项分布的性质可计算出期望与方差. 【详解】（1）一节电池是合格产品的概率为()()()1130383042343822P x P x P x <<=<<+<<110.99740.68260.840.822=⨯+⨯=≈. （2）变量X 的值可能为0，1，2，3，4，变量X 服从二项分布()4,0.8B ，所以()()4010.80.0016P X ==-=，()()3140.810.810.0256P X C =⨯⨯-==， ()()222420.810.80.1536P X C ==⨯⨯-=，()()33430.810.80.4096P X C ==⨯⨯-=， ()44440.80.4096P X C ==⨯=.则随机变量X 的分布列为：则随机变量X 的数学期望为()40.8 3.2E X =⨯=，方差为()40.80.20.64D X =⨯⨯=.【点睛】本题考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，训练了二项分布中离散型随机变量的分布列与期望的求法，属中档题．20．己知数列{n a }的前n 项和为n S ,12,2(2)n n a S S n n ==-≥. （1）试判定{1n a -}是否是等比数列，并说明理由； （2）求数列{n na }的前n 项和n T ；【答案】（1）数列{}1n a -不是等比数列,理由见解析（2）2122(1)2n n n n T n -++=--【解析】（1）运用数列的递推式，以及等比数列的定义，即可得证；（2）由等比数列的通项公式可得a n ＝1﹣2n ﹣2，n ≥2，求得n ＝1时，na n ＝2；当n ≥2时，na n ＝n ﹣n •2n ﹣2，由数列的分组求和、错位相减法求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和． 【详解】（1）因为()122n n S S n n -=-≥， 所以当3n ≥时，()1221n n S S n --=--， 所以121n n a a -=-，，即()1121n n a a --=-. 所以()11231n n a n a --=≥-.当2n =时，12122a a a +=-，得20a =，所以21111211a a --==-≠-， 因此数列{}1n a -不是等比数列.（2）由（1），得{}1n a -从第二项起，是以2为公比的等比数列. 所以()222*1122,212,n n n n n a a n n N ----=-⋅=-=-+≥∈.因此，222,12,1,21,22,2n n n n n n a na n n n n --⎧==⎧==⎨⎨-+≥-⋅+≥⎩⎩. ()01222232223n n T n n -=-⨯-⨯--⋅++++①()1212422322223n n T n n -=-⨯-⨯--⋅+⨯+++.②①-②得()()23211222222222n n n n n T n ---+-=-------+⋅-()()()()()2111212222422121222n n n n n n n n n ----+-+-⨯=--+⋅-=----. 所以()212212n n n n T n -++=--.【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式，以及求和公式的运用，考查数列的分组求和、错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．21．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>经过点⎭，右焦点到直线2a x c =的（1）求椭圆E 的标准方程；（2）定义PQ k 为P ，Q 两点所在直线的斜率，若四边形ABCD 为椭圆的内接四边形，且AC ，BD 相交于原点O ，且14AC BD k k =，求证：0AB BC k k +=. 【答案】（1）2214x y +=（2）见解析【解析】（1）根据题意易得222112a b +=和2a c c -=E 的标准方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，易得12124y y x x =，直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立与韦达定理相结合可得12k =±，根据对称性知AB ，BC 的斜率一个是12，另一个就是12-，故而可得结果. 【详解】（1）解：设椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的半焦距为c ，因为椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>经过点2⎫⎪⎪⎭，所以222221a b⎛ ⎝⎭+=，即222112a b +=， 因为椭圆E 的右焦点到2a x c =2a c c -=再由222a b c =+解得2a =，1b =，c =，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=.（2）证明：设()11,A x y ，()22,B x y ， 因为14AC BD k k =，所以14OA OB k k =，所以12124y y x x =. 设直线AB 的方程为y kx m =+，联立2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=， ∴()()()222844141km k m ∆=-+⨯-()2216410k m =-+>，()12221228144114km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩， ∵12124y y x x =，又()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，∴()()22121241440k x x km x x m -+++=，∴()()22222418414401414m km k km mkk---++=++.整理得241k =，∴12k =±.∵A ，B ，C ，D 可以轮换， ∴AB ，BC 的斜率一个是12，另一个就是12-， ∴0AB BC k k += 【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，考查了学生的计算能力与逻辑思维能力，属于难题. 22．已知函数()()2142alnx f x x a R =-∈． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）设a ＝4，且06x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求证：11224cos x tanx e e -＜＜．【答案】（1）当0a ≤时，f x （）在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x在⎛ ⎝⎭上单调递增，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减（2）证明见解析【解析】（1）求导，判断单调性即可；（2）x ₁＜x ₂∈（0，1），则f （x 1）＜f （x 2），即2211221122lnx x lnx x --＜，得到22121()122x x x e x -＜，即得()221sin 2sin ex cos x x cosx-<，再利用三角函数12-cos 2x ∈（1124--，），所以11224cos x e e --＜，代入即可证明．【详解】 （1）易知()2ln 142a x f x x =-的定义域为()0,∞+， ()2444a a x f x x x x-='=-， 当0a ≤时，0f x <（）恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递减. 当0a >时，由()00f x x '⎧>⎨>⎩，解得02x <<；由()00f x x '⎧<⎨>⎩，解得x >所以f x （）在0,2⎛ ⎝⎭上单调递增，在,2⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递减， 综上所述，当0a ≤时，f x （）在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x在0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）当4a =时，()212f x lnx x =-， 由（1）可知()21ln 2f x x x =-在01（，）上单调递增. 设()12,0,1x x ∈，且12x x <，则()()12f x f x <，即22112211ln ln 22x x x x -<-， 所以()2211221ln 2x x x x <-，所以()22121122x x x e x -<. 因为0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0sin 1x cosx <<<.所以()221sin 2sin ex cos x x cosx-<，即1cos22e x tanx -<， 因为0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1111cos2,1,cos2,2224x x ⎛⎫⎛⎫∈-∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以11224cos x e e --<.综上可得，11224e e cos x tanx --<<. 【点睛】题考查了导数的综合应用，利用函数进行不等式比较大小，属于难题．。

2021-2022学年安徽省淮北市第一中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 方程组的解集是（）A B C D参考答案：C略2. 设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．2参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，代入抛物线方程，运用相切的条件：判别式为0，解方程，可得a，b的关系，再由双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，代入抛物线方程y=x2+1，得x2x+1=0，由相切的条件可得，判别式﹣4=0，即有b=2a，则c===a，则有e==．故选C．3. 已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是A．1 B. C. D.参考答案：C略4. 函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）A． B．C． D．参考答案：A5. 已知m、n表示直线，表示平面，下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则参考答案：D略6. 如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，则克服弹力所做的功为（）A . 0.28J B. 0.12J C. 0.26JD. 0.18J参考答案：D略7. 在“”，“”，“”形式的命题中“”为真，“”为假，“”为真，那么p，q的真假情况分别为（）A．真，假 B．假，真 C．真，真 D．假，假参考答案：B8. 中，,,则（）A． B． C．D．参考答案：C9. 已知圆（x+2）2+（y﹣2）2=a截直线x+y+2=0所得弦的长度为6，则实数a的值为（）A．8 B．11 C．14 D．17参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．【解答】解：圆（x+2）2+（y﹣2）2=a，圆心（﹣2，2），半径．故弦心距d==．再由弦长公式可得a=2+9，∴a=11；故选：B．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．10. 对于非零向量，定义运算“”：，其中为的夹角，有两两不共线的三个向量，下列结论正确的是( ）A．若，则 B．C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 双曲线的渐近线方程是。

2020届安徽省淮北市第一中学高三上学期第四次月考数学（理）试题一、单选题1．己知复数z 满足：21zi i =+，其中i 是虚数单位，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+C ．1i -D ．1i +【答案】B【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念求解． 【详解】 由zi 2＝1+i ，得z 211ii i+==--， ∴1z i =-+． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．已知集合A ＝{x ∈R |22122x x-＜＜8}，B ＝{y |y =，则A ∩B ＝（ ）A ．()()1,11,3-UB ．()1,3-C ．[)0,3D ．03)1[)(1⋃，， 【答案】D【解析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】由221282x x-<<，得2123222x x --<<，即2123x x -<-<. 由212x x -<-，得1x ≠； 由223x x -<，得13x -<<.A ＝{x |﹣1＜x 2﹣2x ＜3}＝{x |﹣1＜x ＜3且x ≠1}，B ＝{y |y ≥0}，∴A ∩B ＝[0，1）∪（1，3）． 故选：D ． 【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，p ：m n ⊥，若p 是q 的必要条件，则q 可能是（ ） A ．q ：m α⊥，//n β，αβ⊥ B ．q ：m α⊂，n β⊥，//αβ C ．q ：m α⊥，n β⊥，//αβ D ．q ：m α⊂，//n β，αβ⊥【答案】B【解析】根据线面平行与垂直的判定与性质判断即可. 【详解】由题知q 能推出p ：m n ⊥.对A, 当//m n 时仍然可以有m α⊥,//n β,αβ⊥.故A 错误. 对B, n β⊥,//αβ则n α⊥,又m α⊂,则m n ⊥.故B 正确. 对C, m α⊥,//αβ则m β⊥,又n β⊥,故//m n .故C 错误.对D,当αβ⊥且相交于m 时,若//n m 也满足m α⊂,//n β.故D 错误. 故选：B 【点睛】本题主要考查了空间中线面平行与垂直的判定与性质,属于基础题型. 4．设函数f （x ）在（﹣∞，+∞）内的导函数为f '（x ），若()1x f lnx x+=，则()()0'0f f =（ ） A ．2 B ．﹣2C ．1D ．1e +【答案】B【解析】可令lnx ＝t ，从而得出x ＝e t ，代入原函数即可求出()11t f t e=+，求导函数，即可求出f （0），f ′（0）的值，从而得出()()0'0f f 的值．【详解】令lnx ＝t ，则x ＝e t，代入()1x f lnx x +=得，()111t t te f t e e+==+， ∴()1'tf t e =-，∴()()0112'01f f +==--． 故选：B ． 【点睛】本题考查了换元法求函数解析式的方法，对数式和指数式的互化，基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．5．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据()(),1,2,,i i x y i n =L ，其回归直线方程是$1y ax =+，且1126nnii i i xy n ====∑∑，则实数a 的值是（ ）A ．13 B ．14C ．12D ．1【答案】A【解析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a 的方程，解方程即可. 【详解】 ∵1126nnii i i xy n ====∑∑，∴6x =，3y =，∴这组数据的样本中心点是()6,3，把样本中心点代入回归直线方程$1y ax =+得：361a =+， 解得13a =， 故选：A . 【点睛】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一，属于基础题6．己知{a n }是等差数列，其前n 项和S n ＝n 2﹣2n +b ﹣1，{b n }是等比数列，其前n 项和T n 32na =-，则数列{ b n +a n }的前5项和为（ ） A ．37 B ．-27C ．77D ．46【答案】C【解析】由等差数列的求和公式、等比数列的求和公式，结合数列的递推式，可得b ＝1，a ＝2，求得数列{a n }，{b n }的通项公式，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和． 【详解】{a n }是等差数列，其前n 项和221n S n n b =-+-，由等差数列的求和公式可得b ﹣1＝0，即b ＝1， 即S n ＝n 2﹣2n ，a 1＝S 1＝﹣1，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2﹣2n ﹣（n ﹣1）2+2（n ﹣1）＝2n ﹣3， 则a n ＝2n ﹣3，n ∈N ；{b n }是等比数列，其前n 项和32nn a T =-， 则b 12a =-3，b n ＝T n ﹣T n ﹣12a =-3n a a -+3n ﹣1＝﹣2•3n ﹣1，则2a-3＝﹣2，即a ＝2， 则b n +a n ＝n +2n ，数列{ b n +a n }的前5项和为（1+2+...+5）+（2+4+ (32)12=⨯5×6()521212-+=-77． 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的分组求和，以及化简运算能力，属于中档题．7．已知实数x ，y 满足约束条件010240y y x y x ≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则目标函数z ＝y +x 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可得到结果． 【详解】由题意，实数x ，y 满足约束条件010240y y x y x ≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩的可行域如图：目标函数z ＝y +x 经过可行域的C 时，取得最大值，此时10240x y x y --=⎧⎨--=⎩解得C （3，2），所以目标函数z ＝y +x 的最大值为：5， 故选：B ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 8．已知tan 3α=，)3tan tan 12tan 3tan 0αβαβ+++=，则αβ+的值可以为（ ） A ．23πB ．3π C ．4π D ．6π 【答案】D【解析】在已知等式两边同时加上tan α，化简可得)()3tan tan 13tan tan 0αβαβ-++=，构造出两角和的正切公式可求出()tan αβ+，进而可得结果.【详解】)3tan tan 12tan 3tan 0αβαβ+++=， )()3tan tan 13tan tan tan αβαβα+++=，因为tan 23α=)()3tan tan 13tan tan 0αβαβ-++=，所以tan tan 31tan tan αβαβ+=-()3tan αβ+= 故选：D .【点睛】本题主要考查了两角和正切公式的逆用，通过题意构造出公式是解题的关键，属于中档题.9．已知()cos 2()4f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，把函数()f x 的图象向左平移8π个单位，再把图象所有点的横坐标缩小到原来的12，得到函数()cos()0,,22g x A x A ππωϕϕ⎛⎫⎡⎤=+>∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．1，4B ．1，0C ．4，2π-D ．4，0【答案】D【解析】()f x 的图象向左平移8π个单位,可得cos 2y x =，图象所有点的横坐标缩小到原来的12，可得函数的解析式为cos 4y x =，进而求出值. 【详解】把函数()f x 的图象向左平移8π个单位，可得函数的解析式为cos 2cos 284y x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再把图象所有点的横坐标缩小到原来的12，可得函数的解析式为cos 4y x =，∴4,0ωϕ==， 故选:D. 【点睛】本题考查三角函数图像的变换，左加右减是关键，周期变换要准确，考查了运算和推理能力，属于中档题.10．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点P 在抛物线上，且PF x ⊥轴，过点P 且与抛物线相切的直线与x 轴相交于点Q ，若PQ =（ ） A ．28y x = B ．26y x = C ．24y x = D ．22y x =【答案】D【解析】依题意可设出切线的方程为2p y k x p ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，与抛物线联立根据0∆=可得k 的值，进而得出点Q的坐标，结合PQ =p 的值，进而可得结果.【详解】由抛物线的对称性，不妨设点P 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，设切线的方程为2p y k x p ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，联立方程222p y k x p y px ⎧⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x 后整理为：()22220ky py k p -+-=， 有()()2222442410p k k p p k ∆=--=-=，得1k =，则切线方程为2p y x =+， 点Q 的坐标为,02p ⎛⎫-⎪⎝⎭，则P Q ===1p =，则抛物线的标准方程为22y x =. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了学生的计算能力，求出切线的斜率是解题的关键，属于中档题.11．已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1，已知点P 是直线()2y k x =+上一动点，过点P 作圆C 的两条切线分别与圆C 相切于M ，N 两点，若四边形PMCN 的k 的值为（ ） A ．±1 B． C．D ．2±【答案】B【解析】利用待定系数法设出圆的标准方程()()2220x a y r r -+=>，根据题意列出方程组解出未知数可得圆的方程，由切线的性质可得PMCN S =四边形，转化为圆心到直线的距离问题即可. 【详解】设圆C 的方程为()()2220x a y r r -+=>，代入点()0,0和()1,1的坐标有()222211a ra r⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，解得11a r =⎧⎨=⎩，则圆C 的标准方程为()2211x y -+=，由切线的性质有PMCN S PM MC ==四边形由四边形PMCNPC=解得k = 故选：B . 【点睛】本题主要考查利用待定系数法求圆的方程，圆的切线问题，考查了转化与化归思想，属于中档题.12．在三棱锥A -BCD 中，平面ABC 丄平面ADC , AD 丄AC ,AD =AC , 3ABC π∠=，若此三棱锥的外接球表面积为28π，则三棱锥A -BCD 体积的最大值为（ ） A ．7 B ．12C ．6D．3【答案】C【解析】设三棱锥A ﹣BCD 外接球的半径为R ，三棱锥的外接球球心为O ，△ABC 的外心为O 1，△ABC 的外接圆半径为r ，取DC 的中点为O 2，过O 2作O 2E ⊥AC ，则OO 1⊥平面ABC ，OO 2⊥平面ADC ，连结OA ，O 1A ，则O 1A ＝r ，设AD ＝AC ＝b ，则OO 1＝O 2E 12=b ，由S ＝4πR 2＝28π，解得R =b =，若三棱锥A ﹣BCD 的体积最大，则只需△ABC 的面积最大，由此能求出三棱锥A ﹣BCD 的体积的最大值． 【详解】根据题意，设三棱锥A ﹣BCD 外接球的半径为R ， 三棱锥的外接球球心为O ，△ABC 的外心为O 1，△ABC 的外接圆半径为r ， 取DC 的中点为O 2，过O 2作O 2E ⊥AC ， 则OO 1⊥平面ABC ，OO 2⊥平面ADC ， 如图，连结OA ，O 1A ，则O 1A ＝r ， 设AD ＝AC ＝b ，则OO 1＝O 2E 12=b ， 由S ＝4πR 2＝28π，解得R =在△ABC 中，由正弦正理得2r ACsin ABC=∠，∴2r3bsinπ=，解得b 3r =，在Rt △OAO 1中，7＝r 2+（12b ）2，解得r ＝2，b ＝23，∴AC ＝23， 若三棱锥A ﹣BCD 的体积最大，则只需△ABC 的面积最大， 在△ABC 中，AC 2＝AB 2+BC 2﹣2•AB •BC •cos ∠ABC ， ∴12＝AB 2+BC 2﹣AB •BC ≥2AB •BC ﹣AB •BC ， 解得AB •BC ≤12， ∴1131222ABC S AB BC sin ABC =⋅⋅⋅∠≤⨯⨯=V 33， ∴三棱锥A ﹣BCD 的体积的最大值：11332333D ABC ABC V S AD -=⋅⋅=⨯⨯=V 6．故选：C ．【点睛】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题13．已知夹角为3π的单位向量a r ，b r ，则23a b -=r r ______.7【解析】先求出a b ⋅r r a b ⋅rr ，然后求23a b -r r 的平方，再开方即可.【详解】由1cos 32a b a b π⋅=⋅=r r r r ，则()222232341294697a b a b a a b b -=-=-⋅+=-+r r r r r r r r7. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积在求模长中的应用，理解“先平方，再开方”思想是解题的关键，属于基础题.14．甲、乙、丙、丁、戊5个人站成一排照相，其中甲不站中间，甲、乙不相邻的排法总数是______. 【答案】60【解析】分析可得甲可以站在第1、2、4、5号位置，分2种情况讨论：①若甲站在第1或5位置；②若甲站在第2或4位置，分别求出每一种情况下的站法数目，由分类加法原理计算可得答案. 【详解】当甲排第1或5位置时，排法有1333236C A ⨯=（种）； 当甲排第2或4位置时，排法有1323224C A ⨯=（种），则甲不站中间，甲、乙不相邻的排法总数是362460+=， 故答案为：60. 【点睛】本题考查排列、组合的实际应用，注意优先分析受到限制的元素，甲的位置对乙有影响，属于中档题.15．已知正项等比数列{}n a 中，3123a a a =，42563a =，用{}x 表示实数x 的小数部分，如{}1.50.5=，{}2.40.4=，记{}n n b a =，则数列{}n b 的前15项的和15S 为______. 【答案】5【解析】通过3123a a a =和42563a =可计算出数列{}n a 的通项公式43n n a =，即()31433nn +=，由二项式定理结合题意可得13nb =，进而可得结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由3123a a a =得22113a q a q =，则13q a =，由42563a =和425633q =，解得4q =，143a =，则1143n n n a a q -==. 由()()11111213141113333333333nnn n n n n n n n n nC C C C -----+==++++=++++L L ， 13n b ∴=，则1511553S =⨯=，故答案为：5. 【点睛】本题主要考查了等比数列中基本量的计算，二项式定理的应用，对新定义的理解是解题的关键，属于中档题.16．己知函数f （x ）对x ∈R 均有f （x ）+2f （﹣x ）＝mx ﹣6，若f （x ）≥lnx 恒成立，则实数m 的取值范围是_________. 【答案】(,e]-∞-【解析】根据条件利用解方程组法求出f （x ）的解析式，然后由f （x ）≥lnx 恒成立，可得m 2lnx x +≤-恒成立，构造函数()2lnxg x x+=，求出g （x ）的最小值，可进一步求出m 的范围． 【详解】∵函数f （x ）对x ∈R 均有f （x ）+2f （﹣x ）＝mx ﹣6①， ∴将﹣x 换为x ，得f （﹣x ）+2f （x ）＝﹣mx ﹣6②， ∴由①②，解得f （x ）＝﹣mx ﹣2． ∵f （x ）≥lnx 恒成立，∴m 2lnxx+≤-恒成立， ∴只需m 2()min lnxx +≤-． 令()2lnx g x x +=-，则g '（x ）21lnx x +=，令g '（x ）＝0，则x 1e =，∴g （x ）在（0，1e ）上单调递减，在（1e，+∞）上单调递增，∴1()min g x g e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴m ≤﹣e ， ∴m 的取值范围为（﹣∞，﹣e ]． 故答案为：（﹣∞，﹣e ]． 【点睛】本题考查了利用解方程组法求函数的解析式和不等式恒成立问题，考查了函数思想和方程思想，属中档题．三、解答题17．已知ABC ∆的内角的对边分别为,,a b c ，若b =2270a ac c -+-=.（1）求B ;（2）若ABC ∆的周长为5,求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3π（2 【解析】（1）由已知可得a 2+c 2﹣b 2＝ac ，由余弦定理可得cosB 12=，结合范围B ∈（0，π），可求B 的值．（2）由已知可求a +c ＝5，两边平方后可求ac 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）∵a 2﹣ac +c 2﹣7＝0，b =∴a 2+c 2﹣b 2＝ac ，∴由余弦定理可得cosB 2221222a cb ac ac ac +-===，∵B ∈（0，π）， ∴B 3π=．（2）∵△ABC 的周长为5，b =∴a +b +c ＝5，即a +c ＝5， ∴（a +c ）2＝a 2+c 2+2ac ＝25， 又∵a 2+c 2＝7+ac ， ∴ac ＝6，∴S △ABC 12=acsinB 12=⨯622⨯=，所以ABC V . 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．18．如图，在四棱锥S -ABCD 中，四边形ABCD 菱形，0120ADC ∠=,平面SAD ⊥平面 ABCD ，==丄，SA SD SA SD .E ，F 分别是线段 SC ，AB 上的一点,12SE AF EC FB ==.（1）求证：EF P 平面SAD ;（2）求平面DEF 与平面SBC 所成锐二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （21590【解析】（1）先证明平行四边形AGEF ，得到AG ∥EF ，再证明EF ∥平面SAD ； （2）以OA ，OB ，OS 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图，求出平面DEF 的法向量和平面SBC 的一个法向量，利用向量的夹角公式求出二面角的余弦值，从而求出平面DEF 与平面SBC 所成锐二面角的正弦值． 【详解】（1）过点E 作EG ∥DC ，如图，连接AG ，因为12SE EC =，所以13EG SE DC SC ==， 故EG ∥CD ，EG 13CD =，由12AF FB =，AF 13AB =， 因为菱形ABCD ，所以EG ∥AF ，EG ＝AF ， 故平行四边形AGEF ，所以AG ∥EF ，又EF ⊄平面SAD ，AG ⊂平面SAD ，所以//EF 平面SAD . （2）取AD 中点O ，等腰三角形SAD ，故SO ⊥AD ，连接OB ， 菱形ABCD ，∠ADC ＝120°，所以OB ⊥OA ， 又平面SAD ⊥平面ABCD 所以SO ⊥平面ABCD ，以OA ，OB ，OS 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图， 因为SA ＝SD ＝2，所以AD ＝AB ＝CD ＝6，SO ＝3， ∠ADC ＝120°，所以AF ＝2，OB 33=，AO ＝OD ＝3， 所以A （3，0，0），D （﹣3，0，0），S （0，0，3）， F （230），B （0，3，0），C （﹣6，30），又13SE SC==u u r u u u r（﹣2，3，﹣1），得E（﹣2，3，2），所以()0333SB=-u u r，，，()600BC=-u u u r，，，()530DF=u u u r，，，()132DE=u u u r，，，设平面DEF的一个法向量为()m x y z=r，，，由m DFm DE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u rru u u rr，得530320x yx y z⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，故5312m⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭r，，设平面SBC的一个法向量为()n a b c=r，，，由n SBn BC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u rru u u rr，得3330b ca⎧-=⎪⎨=⎪⎩，故()013n=r，，，所以253231025321()43cos m n-+⋅==+-+r r＜，＞，平面DEF与平面SBC所成锐二面角的正弦值为1590．【点睛】考查线线平行，线面平行的判定，利用向量法求二面角余弦值，考查运算能力和空间想象能力，中档题．19．一批用于手电筒的电池，每节电池的寿命服从正态分布()36,4N（寿命单位：小时）.考虑到生产成本，电池使用寿命在()30,38内是合格产品.（1）求一节电池是合格产品的概率（结果四舍五入，保留一位小数）；（2）根据（1）中的数据结果，若质检部门检查4节电池，记抽查电池合格的数量为X，求随机变量X的分布列、数学期望及方差.附：若随机变量X服从正态分布()2,Nμσ，则()0.6826P Xμσμσ-<<+=，()220.9544P Xμσμσ-<<+=，()330.9974P Xμσμσ-<<+=.【答案】（1）0.8（2）分布列见解析，数学期望3.2，方差为0.64.【解析】（1）由()()()1130383042343822P x P x P x <<=<<+<<可得结果； （2）变量X 的值可能为0，1，2，3，4，变量X 服从二项分布()4,0.8B ，计算出对应的概率，根据二项分布的性质可计算出期望与方差. 【详解】（1）一节电池是合格产品的概率为()()()1130383042343822P x P x P x <<=<<+<<110.99740.68260.840.822=⨯+⨯=≈. （2）变量X 的值可能为0，1，2，3，4，变量X 服从二项分布()4,0.8B ，所以()()4010.80.0016P X ==-=，()()3140.810.810.0256P X C =⨯⨯-==， ()()222420.810.80.1536P X C ==⨯⨯-=，()()33430.810.80.4096P X C ==⨯⨯-=， ()44440.80.4096P X C ==⨯=.则随机变量X 的分布列为：则随机变量X 的数学期望为()40.8 3.2E X =⨯=，方差为()40.80.20.64D X =⨯⨯=.【点睛】本题考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，训练了二项分布中离散型随机变量的分布列与期望的求法，属中档题．20．己知数列{n a }的前n 项和为n S ,12,2(2)n n a S S n n ==-≥. （1）试判定{1n a -}是否是等比数列，并说明理由； （2）求数列{n na }的前n 项和n T ；【答案】（1）数列{}1n a -不是等比数列,理由见解析（2）2122(1)2n n n n T n -++=--【解析】（1）运用数列的递推式，以及等比数列的定义，即可得证；（2）由等比数列的通项公式可得a n ＝1﹣2n ﹣2，n ≥2，求得n ＝1时，na n ＝2；当n ≥2时，na n ＝n ﹣n •2n ﹣2，由数列的分组求和、错位相减法求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和． 【详解】（1）因为()122n n S S n n -=-≥， 所以当3n ≥时，()1221n n S S n --=--， 所以121n n a a -=-，，即()1121n n a a --=-. 所以()11231n n a n a --=≥-.当2n =时，12122a a a +=-，得20a =， 所以21111211a a --==-≠-， 因此数列{}1n a -不是等比数列.（2）由（1），得{}1n a -从第二项起，是以2为公比的等比数列. 所以()222*1122,212,n n n n n a a n n N ----=-⋅=-=-+≥∈.因此，222,12,1,21,22,2n n n n n n a na n n n n --⎧==⎧==⎨⎨-+≥-⋅+≥⎩⎩. ()01222232223n n T n n -=-⨯-⨯--⋅++++L L ① ()1212422322223n n T n n -=-⨯-⨯--⋅+⨯+++L L .②①-②得()()23211222222222n n n n n T n ---+-=-------+⋅-L()()()()()2111212222422121222n n n n n n n n n ----+-+-⨯=--+⋅-=----. 所以()212212n n n n T n -++=--.【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式，以及求和公式的运用，考查数列的分组求和、错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．21．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>经过点⎭，右焦点到直线2a x c =的（1）求椭圆E 的标准方程；（2）定义PQ k 为P ，Q 两点所在直线的斜率，若四边形ABCD 为椭圆的内接四边形，且AC ，BD 相交于原点O ，且14AC BD k k =，求证：0AB BC k k +=. 【答案】（1）2214x y +=（2）见解析【解析】（1）根据题意易得222112a b +=和2a c c -=E 的标准方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，易得12124y y x x =，直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立与韦达定理相结合可得12k =±，根据对称性知AB ，BC 的斜率一个是12，另一个就是12-，故而可得结果. 【详解】（1）解：设椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的半焦距为c ，因为椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>经过点2⎫⎪⎪⎭，所以222221a b⎛ ⎝⎭+=，即222112a b +=， 因为椭圆E 的右焦点到2a x c =2a c c -=再由222a b c =+解得2a =，1b =，c =，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=.（2）证明：设()11,A x y ，()22,B x y ， 因为14AC BD k k =，所以14OA OB k k =，所以12124y y x x =. 设直线AB 的方程为y kx m =+，联立2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=， ∴()()()222844141km k m ∆=-+⨯-()2216410k m =-+>，()12221228144114km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩， ∵12124y y x x =，又()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，∴()()22121241440k x x km x x m -+++=，∴()()22222418414401414m km k km mkk---++=++.整理得241k =，∴12k =±.∵A ，B ，C ，D 可以轮换， ∴AB ，BC 的斜率一个是12，另一个就是12-， ∴0AB BC k k += 【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，考查了学生的计算能力与逻辑思维能力，属于难题. 22．已知函数()()2142alnx f x x a R =-∈． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）设a ＝4，且06x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求证：11224cos x tanx e e -＜＜．【答案】（1）当0a ≤时，f x （）在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x在⎛ ⎝⎭上单调递增，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减（2）证明见解析【解析】（1）求导，判断单调性即可；（2）x ₁＜x ₂∈（0，1），则f （x 1）＜f （x 2），即2211221122lnx x lnx x --＜，得到22121()122x x x e x -＜，即得()221sin 2sin ex cos x x cosx-<，再利用三角函数12-cos 2x ∈（1124--，），所以11224cos x e e --＜，代入即可证明．【详解】 （1）易知()2ln 142a x f x x =-的定义域为()0,∞+， ()2444a a x f x x x x-='=-， 当0a ≤时，0f x <（）恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递减. 当0a >时，由()00f x x '⎧>⎨>⎩，解得0x <<；由()00f x x '⎧<⎨>⎩，解得x >所以f x （）在0,2⎛ ⎝⎭上单调递增，在,2⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递减， 综上所述，当0a ≤时，f x （）在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x在0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）当4a =时，()212f x lnx x =-， 由（1）可知()21ln 2f x x x =-在01（，）上单调递增. 设()12,0,1x x ∈，且12x x <，则()()12f x f x <，即22112211ln ln 22x x x x -<-， 所以()2211221ln 2x x x x <-，所以()22121122x x x e x -<. 因为0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0sin 1x cosx <<<.所以()221sin 2sin ex cos x x cosx-<，即1cos22e x tanx -<， 因为0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1111cos2,1,cos2,2224x x ⎛⎫⎛⎫∈-∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以11224cos x e e --<.综上可得，11224e e cos x tanx --<<. 【点睛】题考查了导数的综合应用，利用函数进行不等式比较大小，属于难题．。