安徽省淮北市第一中学2020届高三下学期第五次考试数学(理)试题与答案

2020年安徽省淮北一中高考数学最后一卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|lgx>0}，B={x|2<2x<8}，则()A. A=BB. A⊆BC. A⊇BD. A∩B=⌀2.已知复数z=1+2i2+i(其中i为虚数单位)，则z−在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下列有关命题的说法正确的是()A. 命题“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1<0”B. “x=1”是“x2−5x−6=0”的必要而不充分的条件C. 命题“若x2=1则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”D. 命题“若x=y则sinx=siny”的逆否命题为真命题4.已知x，y满足约束条件{y≤1x+y+4≥0x−y≤0，则z=x+2y的最小值是()A. −8B. −6C. −3D. 35.设a=(12)12，b=log20142015，c=log42，则()A. a>b>cB. b>c>aC. b>a>cD. a>c>b6.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A. 512B. 24C. 452D. 257.函数y=1+x+sinxx2的部分图象大致为()A.B.C.D.8. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A. 甲地：总体均值为3，中位数为4B. 乙地：总体均值为1，总体方差大于0C. 丙地：中位数为2，众数为3D. 丁地：总体均值为2，总体方差为39. 已知函数f(x)=x 2−2x +a(e x−1+e −x+1)有唯一零点，则a 等于( )A. −12B. 13C. 12D. 110. △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos 2A−B 2+cosC =32，且△ABC 的面积为14c 2，则C =( )A. π6B. π3C. π6，5π6D. π3，2π311. 在平面直角坐标系xOy 中，点A(0,3)，直线l:y =2x −4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上。

安徽省淮北市2019-2020学年中考数学五模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若关于x 的分式方程2122x a x -=-的解为非负数，则a 的取值范围是（ ） A ．a≥1 B ．a ＞1C ．a≥1且a≠4D ．a ＞1且a≠4 2．下列图形中，可以看作中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．已知x a =2，x b =3，则x 3a ﹣2b 等于（ ）A ．89B ．﹣1C ．17D ．724．m-n 的一个有理化因式是（ ）A ．m n +B ．m n -C ．m n +D ．m n -5．估算18的值是在（ ）A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间 6．已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ）A ．图象必经过点（﹣1，2）B ．y 随x 的增大而增大C ．图象在第二、四象限内D ．若，则 7．抛物线y ＝3（x ﹣2）2+5的顶点坐标是（ ）A ．（﹣2，5）B ．（﹣2，﹣5）C ．（2，5）D ．（2，﹣5）8．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中表示互为相反数的点是A ．点A 和点CB ．点B 和点DC ．点A 和点D D ．点B 和点C9．如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC=8cm ，BD=6cm ，则菱形的高为（ ）A ．485 cmB ．245cmC ．125cmD ．105cm 10．如图，在5×5的方格纸中将图①中的图形N 平移到如图②所示的位置，那么下列平移正确的是( )A ．先向下移动1格，再向左移动1格B ．先向下移动1格，再向左移动2格C ．先向下移动2格，再向左移动1格D ．先向下移动2格，再向左移动2格 11．如图，两个反比例函数y 1＝1k x（其中k 1＞0）和y 2＝3x 在第一象限内的图象依次是C 1和C 2，点P 在C 1上．矩形PCOD 交C 2于A 、B 两点，OA 的延长线交C 1于点E ，EF ⊥x 轴于F 点，且图中四边形BOAP 的面积为6，则EF ：AC 为（ ）A ．3：1B ．2：3C ．2：1D ．29：1412．若一次函数(1)y m x m =++的图像过第一、三、四象限,则函数2y mx mx =-（ ）A ．有最大值4mB ．有最大值4m - C ．有最小值4m D ．有最小值4m - 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=__．14．当2≤x≤5时，二次函数y ＝﹣（x ﹣1）2+2的最大值为_____．15．太极揉推器是一种常见的健身器材．基本结构包括支架和转盘，数学兴趣小组的同学对某太极揉推器的部分数据进行了测量：如图，立柱AB 的长为125cm ，支架CD 、CE 的长分别为60cm 、40cm ，支点C 到立柱顶点B 的距离为25cm ．支架CD ，CE 与立柱AB 的夹角∠BCD=∠BCE=45°，转盘的直径FG=MN=60cm ，D ，E 分别是FG ，MN 的中点，且CD ⊥FG ，CE ⊥MN ，则两个转盘的最低点F ，N 距离地面的高度差为_____cm ．（结果保留根号）16．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了_____米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）17．关于x的一元二次方程2210ax x-+=有实数根，则a的取值范围是__________.18．如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得10AD cm=，点D在量角器上的读数为60o，则该直尺的宽度为____________cm．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）阅读材料，解答问题．材料：“小聪设计的一个电子游戏是：一电子跳蚤从这P1(﹣3，9)开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线y＝x2上向右跳动，得到点P2、P3、P4、P5…(如图1所示)．过P1、P2、P3分别作P1H1、P2H2、P3H3垂直于x轴，垂足为H1、H2、H3，则S△P1P2P3＝S梯形P1H1H3P3﹣S梯形P1H1H2P2﹣S梯形P2H2H3P3＝12(9+1)×2﹣12(9+4)×1﹣12(4+1)×1，即△P1P2P3的面积为1．”问题：(1)求四边形P1P2P3P4和P2P3P4P5的面积(要求：写出其中一个四边形面积的求解过程，另一个直接写出答案)；(2)猜想四边形P n﹣1P n P n+1P n+2的面积，并说明理由(利用图2)；(3)若将抛物线y＝x2改为抛物线y＝x2+bx+c，其它条件不变，猜想四边形P n﹣1P n P n+1P n+2的面积(直接写出答案)．20．（6分）近年来，共享单车服务的推出（如图1），极大的方便了城市公民绿色出行，图2是某品牌某型号单车的车架新投放时的示意图（车轮半径约为30cm），其中BC∥直线l，∠BCE=71°，CE=54cm．（1）求单车车座E到地面的高度；（结果精确到1cm）（2）根据经验，当车座E到CB的距离调整至等于人体胯高（腿长）的0.85时，坐骑比较舒适．小明的胯高为70cm，现将车座E调整至座椅舒适高度位置E′，求EE′的长．（结果精确到0.1cm）（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）21．（6分）如图，在▱ABCD中，∠BAC=90°，对角线AC，BD相交于点P，以AB为直径的⊙O分别交BC，BD于点E，Q，连接EP并延长交AD于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：2EF=4BP•QP．22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．求证：EF是⊙O的切线；已知AB＝4，AE＝1．求BF的长．23．（8分）先化简，再求值：，其中x=1．24．（10分）如图，已知一次函数y 1=kx+b （k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A 、B 两点，与坐标轴交于M 、N 两点．且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是﹣1．求一次函数的解析式；求△AOB 的面积；观察图象，直接写出y 1＞y 1时x 的取值范围．25．（10分）先化简，再求值：22211·1441x x x x x x -++--+-，其中x 是从-1、0、1、2中选取一个合适的数． 26．（12分）如图1，已知抛物线y=ax 2+bx （a≠0）经过A （6，0）、B （8，8）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标；（3）如图2，若点N 在抛物线上，且∠NBO=∠ABO ，则在（2）的条件下，在坐标平面内有点P ，求出所有满足△POD ∽△NOB 的点P 坐标（点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应）．27．（12分）如图是东方货站传送货物的平面示意图，为了提高安全性，工人师傅打算减小传送带与地面的夹角，由原来的45°改为36°，已知原传送带BC 长为4米，求新传送带AC 的长及新、原传送带触地点之间AB的长．（结果精确到0.1米）参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.1，tan36°≈0.73，2取1.414参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为1求出a的范围即可．解：去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2，解得：x=223a-，由题意得：223a-≥1且223a-≠2，解得：a≥1且a≠4，故选C．点睛：此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为1．2．B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．A【解析】∵x a=2,x b=3，∴x3a−2b=(x a)3÷(x b)2=8÷9= 89，故选A.4．B【解析】【分析】找出原式的一个有理化因式即可．【详解】m-n的一个有理化因式是m-n，故选B．【点睛】此题考查了分母有理化，熟练掌握有理化因式的取法是解本题的关键．5．C【解析】【分析】求出16＜18＜25，推出4＜18＜5，即可得出答案．【详解】∵16＜18＜25，∴4＜18＜5，∴18的值是在4和5之间．故选：C．【点睛】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的性质，解此题的关键是得出16＜18＜25，题目比较好，难度不大．6．B【解析】试题分析：根据反比例函数y=的性质，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k ＜0时，在每一个象限内，函数值y 随自变量x 增大而增大，即可作出判断．试题解析：A 、（-1，2）满足函数的解析式，则图象必经过点（-1，2）；B 、在每个象限内y 随x 的增大而增大，在自变量取值范围内不成立，则命题错误；C 、命题正确；D 、命题正确．故选B ．考点：反比例函数的性质7．C【解析】【分析】根据二次函数的性质y ＝a(x ﹣h)2+k 的顶点坐标是(h ，k)进行求解即可.【详解】∵抛物线解析式为y=3(x-2)2+5，∴二次函数图象的顶点坐标是(2，5)，故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增减性等．8．C【解析】【分析】根据相反数的定义进行解答即可.【详解】解：由A 表示-2，B 表示-1，C 表示0.75，D 表示2.根据相反数和为0的特点，可确定点A 和点D 表示互为相反数的点.故答案为C.【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数和为0是解答本题的关键.9．B【解析】试题解析：∵菱形ABCD 的对角线86AC cm BD cm ==，，114322AC BD OA AC cm OB BD cm ∴⊥====，，，根据勾股定理，5AB cm ===，设菱形的高为h ， 则菱形的面积12AB h AC BD =⋅=⋅， 即15862h =⨯⨯， 解得24.5h = 即菱形的高为245cm ． 故选B ．10．C【解析】【分析】根据题意,结合图形,由平移的概念求解.【详解】由方格可知，在5×5方格纸中将图①中的图形N 平移后的位置如图②所示，那么下面平移中正确的是：先向下移动2格，再向左移动1格，故选C ．【点睛】本题考查平移的基本概念及平移规律,是比较简单的几何图形变换.关键是要观察比较平移前后物体的位置.11．A【解析】试题分析：首先根据反比例函数y 2=3x 的解析式可得到ODB OAC S S =V V =12×3=32，再由阴影部分面积为6可得到PDOC S 矩形=9，从而得到图象C 1的函数关系式为y=6x ，再算出△EOF 的面积，可以得到△AOC 与△EOF 的面积比，然后证明△EOF ∽△AOC ，根据对应边之比等于面积比的平方可得到EF ﹕． 故选A ．考点：反比例函数系数k 的几何意义12．B【解析】【分析】【详解】解：∵一次函数y=（m+1）x+m 的图象过第一、三、四象限，∴m+1＞0，m ＜0，即-1＜m ＜0， ∴函数221()24m y mx mx m x =-=--有最大值，∴最大值为4m -， 故选B ． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．40°【解析】【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠6+∠7的度数，进而得出答案．【详解】如图所示：∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°，∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，∴∠6+∠7=140°，∴∠5=180°-（∠6+∠7）=40°．故答案为40°．【点睛】主要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解题关键． 14．1．【解析】【分析】先根据二次函数的图象和性质判断出2≤x≤5时的增减性，然后再找最大值即可.【详解】对称轴为1x =∵a ＝﹣1＜0，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝2时，二次函数y ＝﹣（x ﹣1）2+2的最大值为1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查二次函数在一定范围内的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.15．102【解析】【分析】作FP⊥地面于P，CJ⊥PF于J，FQ∥PA交CD于Q，QH⊥CJ于H．NT⊥地面于T．解直角三角形求出FP、NT即可解决问题．【详解】解：作FP⊥地面于P，CJ⊥PF于J，FQ∥PA交CD于Q，QH⊥CJ于H．NT⊥地面于T．由题意△QDF，△QCH都是等腰直角三角形，四边形FQHJ是矩形，∴DF＝DQ＝30cm，CQ＝CD−DQ＝60−30＝30cm，∴FJ＝QH＝152cm，∵AC＝AB−BC＝125−25＝100cm，∴PF＝（152＋100）cm，同法可求：NT＝（100＋52），∴两个转盘的最低点F，N距离地面的高度差为＝（152＋100）-（100＋52）=102故答案为2【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．16．1．【解析】试题解析：在RtΔABC中，sin34°=AC AB∴AC=AB×sin34°=500×0.56=1米. 故答案为1.17．a≤1且a≠0【解析】∵关于x 的一元二次方程2210ax x -+=有实数根，∴()20240a a ≠⎧⎪⎨=--≥⎪⎩n ，解得：a 1≤， ∴a 的取值范围为：a 1≤且0a ≠ .点睛：解本题时，需注意两点：（1）这是一道关于“x”的一元二次方程，因此0a ≠ ；（2）这道一元二次方程有实数根，因此()2240a =--≥n ；这个条件缺一不可，尤其是第一个条件解题时很容易忽略.18．533【解析】【分析】连接OC,OD,OC 与AD 交于点E ，根据圆周角定理有130,2BAD BOD ∠=∠=︒根据垂径定理有：15,2AE AD == 解直角OAE △即可. 【详解】连接OC,OD,OC 与AD 交于点E ，130,2BAD BOD ∠=∠=︒ 10 3.cos303AE OA ==︒ 5tan 303,3OE AE =⋅︒= 直尺的宽度：105533 3.333CE OC OE =-== 533【点睛】考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19． (1)2，2；(2)2，理由见解析；(3)2．【解析】【分析】（1）作P 5H 5垂直于x 轴，垂足为H 5，把四边形P 1P 2P 3P 2和四边形P 2P 3P 2P 5的转化为S P1P2P3P2＝S △OP1H1﹣S △OP3H3﹣S 梯形P2H2H3P3﹣S 梯形P1H1H2P2和S P2P3P2P5＝S 梯形P5H5H2P2﹣S △P5H5O ﹣S △OH3P3﹣S 梯形P2H2H3P3来求解；（2）（3）由图可知，P n ﹣1、P n 、P n+1、P n+2的横坐标为n ﹣5，n ﹣2，n ﹣3，n ﹣2，代入二次函数解析式，可得P n ﹣1、P n 、P n+1、P n+2的纵坐标为（n ﹣5）2，（n ﹣2）2，（n ﹣3）2，（n ﹣2）2，将四边形面积转化为S 四边形Pn ﹣1PnPn+1Pn+2＝S 梯形Pn ﹣5Hn ﹣5Hn ﹣2Pn ﹣2﹣S 梯形Pn ﹣5Hn ﹣5Hn ﹣2Pn ﹣2﹣S 梯形Pn ﹣2Hn ﹣2Hn ﹣3Pn ﹣3﹣S 梯形Pn ﹣3Hn ﹣3Hn ﹣2Pn ﹣2来解答．【详解】(1)作P 5H 5垂直于x 轴，垂足为H 5，由图可知S P1P2P3P2＝S △OP1H1﹣S △OP3H3﹣S 梯形P2H2H3P3﹣S 梯形P1H1H2P2＝931114492222⨯⨯++---＝2， S P2P3P2P5＝S 梯形P5H5H2P2﹣S △P5H5O ﹣S △OH3P3﹣S 梯形P2H2H3P3＝3(14)1111142222+⨯⨯+---＝2； (2)作P n ﹣1H n ﹣1、P n H n 、P n+1H n+1、P n+2H n+2垂直于x 轴，垂足为H n ﹣1、H n 、H n+1、H n+2，由图可知P n ﹣1、P n 、P n+1、P n+2的横坐标为n ﹣5，n ﹣2，n ﹣3，n ﹣2，代入二次函数解析式，可得P n ﹣1、P n 、P n+1、P n+2的纵坐标为(n ﹣5)2，(n ﹣2)2，(n ﹣3)2，(n ﹣2)2， 四边形P n ﹣1P n P n+1P n+2的面积为S 四边形Pn ﹣1PnPn+1Pn+2＝S 梯形Pn ﹣5Hn ﹣5Hn ﹣2Pn ﹣2﹣S 梯形Pn ﹣5Hn ﹣5Hn ﹣2Pn ﹣2﹣S 梯形Pn ﹣2Hn ﹣2Hn ﹣3Pn ﹣3﹣S 梯形Pn ﹣3Hn ﹣3Hn ﹣2Pn ﹣2 ＝222222223(5)(2)(5)(4)(4)(3)(3)(2)2222n n n n n n n n ⎡⎤-+--+--+--+-⎣⎦---＝2； (3)S 四边形Pn ﹣1PnPn+1Pn+2＝S 梯形Pn ﹣5Hn ﹣5Hn ﹣2Pn ﹣2﹣S 梯形Pn ﹣5Hn ﹣5Hn ﹣2Pn ﹣2﹣S 梯形Pn ﹣2Hn ﹣2Hn ﹣3Pn ﹣3﹣S 梯形Pn ﹣3Hn ﹣3Hn ﹣2Pn ﹣2 =22223(5)(5)(2)(2)(5)(5)(4)(4)-22n b n c n b n c n b n c n b n c ⎡⎤-+-++-+-+-+-++-+-+⎣⎦-2222(4)(4)(3)(3)(3)(3)(2)(2)22n b n c n b n c n b n c n b n c -+-++-+-+-+-++-+-+-＝2． 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，考查了根据函数坐标特点求图形面积的知识，解答时要注意，前一小题为后面的题提供思路，由于计算量极大，要仔细计算，以免出错，20．（1）81cm ；（2）8.6cm ；【解析】【分析】（1）作EM ⊥BC 于点M ，由EM=ECsin ∠BCE 可得答案；（2）作E′H ⊥BC 于点H ，先根据E′C='E H sin ECB∠求得E′C 的长度，再根据EE′=CE′﹣CE 可得答案． 【详解】（1）如图1，过点E 作EM ⊥BC 于点M ．由题意知∠BCE=71°、EC=54，∴EM=ECsin∠BCE=54sin71°≈51.3，则单车车座E到地面的高度为51.3+30≈81cm；（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥BC于点H．由题意知E′H=70×0.85=59.5，则E′C='E Hsin ECB∠=59.571sin︒≈62.6，∴EE′=CE′﹣CE=62.6﹣54=8.6（cm）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．21．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）连接OE，AE，由AB是⊙O的直径，得到∠AEB=∠AEC=90°，根据四边形ABCD是平行四边形，得到PA=PC推出∠OEP=∠OAC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由AB是⊙O的直径，得到∠AQB=90°根据相似三角形的性质得到2PA=PB•PQ，根据全等三角形的性质得到PF=PE，求得PA=PE=12EF，等量代换即可得到结论．试题解析：（1）连接OE，AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠AEC=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴PA=PC，∴PA=PC=PE，∴∠PAE=∠PEA，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠OEP=∠OAC=90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠AQB=90°，∴△APQ∽△BPA，∴PA PQBP PA=，∴2PA=PB•P Q，在△AFP与△CEP中，∵∠PAF=∠PCE，∠APF=∠CPE，PA=PC，∴△AFP≌△CEP，∴PF=PE，∴PA=PE=12 EF，∴2EF=4BP•QP．考点：切线的判定；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．22．（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）作辅助线，根据等腰三角形三线合一得BD＝CD，根据三角形的中位线可得OD∥AC，所以得OD⊥EF，从而得结论；（2）证明△ODF∽△AEF，列比例式可得结论．【详解】（1）证明：连接OD，AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵OA＝OB，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵OD∥AE，∴△ODF∽△AEF，∴，∵AB＝4，AE＝1，∴，∴BF＝2．【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、相似三角形的性质和判定，圆的切线的判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．23．【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先化简，然后再代入求值．【详解】解：原式=•﹣=﹣=﹣=，当x=1时，原式==．【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的运算法则.24．（1）y1=﹣x+1，（1）6；（3）x＜﹣1或0＜x＜4【解析】试题分析：（1）先根据反比例函数解析式求得两个交点坐标，再根据待定系数法求得一次函数解析式；（1）将两条坐标轴作为△AOB的分割线，求得△AOB的面积；（3）根据两个函数图象交点的坐标，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可．试题解析：（1）设点A坐标为（﹣1，m），点B坐标为（n，﹣1）∵一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y1=﹣的图象交于A、B两点∴将A（﹣1，m）B（n，﹣1）代入反比例函数y1=﹣可得，m=4，n=4∴将A（﹣1，4）、B（4，﹣1）代入一次函数y1=kx+b，可得，解得∴一次函数的解析式为y1=﹣x+1；,（1）在一次函数y1=﹣x+1中，当x=0时，y=1，即N（0，1）；当y=0时，x=1，即M（1，0）∴=×1×1+×1×1+×1×1=1+1+1=6；（3）根据图象可得，当y1＞y1时，x的取值范围为：x＜﹣1或0＜x＜4考点：1、一次函数，1、反比例函数，3、三角形的面积25．12-. 【解析】【分析】先把分子分母因式分解，约分后进行通分化为同分母，再进行同分母的加法运算，然后再约分得到原式=12x -，由于x 不能取±1，2，所以把x=0代入计算即可． 【详解】22211·1441x x x x x x -++--+-, =()()2211•11(2)1x x x x x x -+++--- =12(1)(2)(1)(2)x x x x x -+---- =()()112x x x --- =12x -， 当x=0时，原式=11022=--. 26．（1）抛物线的解析式是y=12x 2﹣3x ；（2）D 点的坐标为（4，﹣4）；（3）点P 的坐标是（345,416--）或（453,164）． 【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可；（2）首先求出直线OB 的解析式为y=x ，进而将二次函数以一次函数联立求出交点即可；（3）首先求出直线A′B 的解析式，进而由△P 1OD ∽△NOB ，得出△P 1OD ∽△N 1OB 1，进而求出点P 1的坐标，再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标．试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（6，0）、B（8，8）∴将A与B两点坐标代入得：64883660a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得：123ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式是y=12x2﹣3x．（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（8，8），得：8=8k1，解得：k1=1∴直线OB的解析式为y=x，∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m，∴x﹣m=12x2﹣3x，∵抛物线与直线只有一个公共点，∴△=16﹣2m=0，解得：m=8，此时x1=x2=4，y=x2﹣3x=﹣4，∴D点的坐标为（4，﹣4）（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（6，0），∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，6），根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，设直线A′B的解析式为y=k2x+6，过点（8，8），∴8k2+6=8，解得：k2=14，∴直线A′B的解析式是y=164y x=+，∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，∴BA′和BN重合，即点N在直线A′B上，∴设点N（n，164x+），又点N在抛物线y=12x2﹣3x上，∴164x+=12n2﹣3n，解得：n1=﹣32，n2=8（不合题意，舍去）∴N点的坐标为（﹣32，458）．如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，则N1（﹣32，-458），B1（8，﹣8），∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N1OB1，∴△P1OD∽△N1OB1，∴1111 2OP ODON OB==，∴点P1的坐标为（345,416--）．将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（453,164），综上所述，点P的坐标是（345,416--）或（453,164）．【点睛】运用了翻折变换的性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质等知识，利用翻折变换的性质得出对应点关系是解题关键．27．新传送带AC的长为1.8m，新、原传送带触地点之间AB的长约为1.2m．【解析】【分析】根据题意得出：∠A=36°，∠CBD=15°，BC=1，即可得出BD的长，再表示出AD的长，进而求出AB的长．【详解】解：如图，作CD⊥AB于点D，由题意可得：∠A=36°，∠CBD=15°，BC=1．在Rt△BCD中，sin∠CBD=CDBC，∴CD=BCsin∠2．∵∠CBD=15°，∴2在Rt△ACD中，sinA=CDAC，tanA=CDAD，∴AC=CDsinA≈20.59≈1.8，AD=CDtanA=2236tan︒，∴AB=AD﹣BD=236tan︒﹣22 1.4140.73⨯﹣2×1.111≈3.87﹣2.83=1.21≈1.2．答：新传送带AC的长为1.8m，新、原传送带触地点之间AB的长约为1.2m．【点睛】本题考查了坡度坡角问题，正确构建直角三角形再求出BD的长是解题的关键．。

安徽省淮北市2019-2020学年中考第五次大联考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC ＝∠ACB ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．一个两位数，它的十位数字是3，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1﹣6）朝上一面的数字，任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3的倍数的概率等于（ ）A ．16B ．13C ．12D ．233．某校九年级共有1、2、3、4四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到1班和2班的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，65,AFD CD EB ∠=︒∕∕，则B Ð的度数为（ ）A ．115°B ．110°C ．105°D ．65°5．为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续6天的最高气温，结果如下（单位C ︒：﹣6，﹣1，x ，2，﹣1，1．若这组数据的中位数是﹣1，则下列结论错误的是（ ） A ．方差是8 B ．极差是9 C ．众数是﹣1 D ．平均数是﹣16．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=1．若点E 是边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF ⊥AE 交AE 于点F ，则BF 的长为（ ）A ．3102B ．310C ．105D ．3557．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P 是△ABC 边上一动点，沿B→A→C 的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．8．民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D、E，F分别是CD，AD上的点，且CE＝AF.如果∠AED＝62°，那么∠DBF的度数为()A．62°B．38°C．28°D．26°10．如图，A,B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束. 设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么下面图象中可能表示y与x的函数关系的是A．①B．④C．②或④D．①或③11．已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（）A ．a b 0+>B ．ab<0C ．a>bD ．b a 0->12．如图，△ABC 的面积为8cm 2 ， AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为（ ）A ．2cm 2B ．3cm 2C ．4cm 2D ．5cm 2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，已知正方形ABCD 中，∠MAN=45°，连接BD 与AM ，AN 分别交于E ，F 点，则下列结论正确的有_____．①MN=BM+DN②△CMN 的周长等于正方形ABCD 的边长的两倍；③EF 1=BE 1+DF 1；④点A 到MN 的距离等于正方形的边长⑤△AEN 、△AFM 都为等腰直角三角形．⑥S △AMN =1S △AEF⑦S 正方形ABCD ：S △AMN =1AB ：MN⑧设AB=a ，MN=b ，则b a≥12﹣1．14．已知抛物线y=ax 2+bx+c=0(a≠0) 与 x 轴交于 A ，B 两点，若点 A 的坐标为 ()2,0-，线段 AB 的长为8，则抛物线的对称轴为直线 ________________．15．因式分解：a 3b ﹣ab 3=_____．16．计算：（a 2）2=_____．17．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m ，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是__m ．18．桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，这个几何体最多可以由___________个这样的正方体组成.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如果a2+2a-1=0，求代数式24()2aaa a-⋅-的值.20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C．求抛物线y=ax2+2x+c的解析式:；点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DE⊥x轴于点E，DF∥AC交抛物线对称轴于点F，求DE+DF的最大值；①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为t，请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围．21．（6分）我省有关部门要求各中小学要把“阳光体育”写入课表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据，如图1是根据这组数据绘制的条形统计图，请结合统计图回答下列问题：该校对多少名学生进行了抽样调查？本次抽样调查中，最喜欢足球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？若该校九年级共有400名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢篮球活动的人数约为多少？22．（8分）如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF．判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．23．（8分）如今，旅游度假成为了中国人庆祝传统春节的一项的“新年俗”，山西省旅发委发布的《2018年“春节”假日旅游市场总结分析报告》中称：山西春节旅游供需两旺，实现了“旅游接待”与“经济效益”的双丰收，请根据图表信息解决问题：（1）如图1所示，山西近五年春节假日接待海内外游客的数量逐年增加，2018年首次突破了“千万”大关，达到万人次，比2017年春节假日增加万人次．（2）2018年2月15日﹣20日期间，山西省35个重点景区每日接待游客数量如下：日期2月15日（除夕）2月16日（初一）2月17日（初二）2月18日（初三）2月19日（初四）2月20日（初五）日接待游客数量（万人次）7.56 82.83 119.51 84.38 103.2 151.55这组数据的中位数是万人次．（3）根据图2中的信息预估：2019年春节假日山西旅游总收入比2018年同期增长的百分率约为，理由是．（4）春节期间，小明在“青龙古镇第一届新春庙会”上购买了A，B，C，D四枚书签（除图案外完全相同）．正面分别印有“剪纸艺术”、“国粹京剧”、“陶瓷艺术”、“皮影戏”的图案（如图3），他将书签背面朝上放在桌面上，从中随机挑选两枚送给好朋友，求送给好朋友的两枚书签中恰好有“剪纸艺术”的概率．24．（10分）如图1，点P是平面直角坐标系中第二象限内的一点，过点P作PA⊥y轴于点A，点P 绕点A顺时针旋转60°得到点P'，我们称点P'是点P的“旋转对应点”．（1）若点P（﹣4，2），则点P的“旋转对应点”P'的坐标为；若点P的“旋转对应点”P'的坐标为（﹣5，16）则点P的坐标为；若点P（a，b），则点P的“旋转对应点”P'的坐标为；（2）如图2，点Q是线段AP'上的一点（不与A、P'重合），点Q的“旋转对应点”是点Q'，连接PP'、QQ'，求证：PP'∥QQ'；（3）点P与它的“旋转对应点”P'的连线所在的直线经过点（3，6），求直线PP'与x轴的交点坐标．25．（10分）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=1．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．26．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，以BD为直径的⊙O和AB相切于点P．（1）求证：BP平分∠ABC；（2）若PC=1，AP=3，求BC的长．27．（12分）某船的载重为260吨，容积为1000m1．现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为8m1，乙种货物每吨体积为2m1，若要充分利用这艘船的载重与容积，求甲、乙两种货物应各装的吨数（设装运货物时无任何空隙）．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD•AB，由此即可解决问题.【详解】∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴AC AD AB AC，∴AC2=AD•AB=2×8=16，∵AC>0，∴AC=4，故选B.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题. 2．B【解析】【分析】直接得出两位数是3的倍数的个数，再利用概率公式求出答案．【详解】∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，十位数为3，则两位数是3的倍数的个数为2.∴得到的两位数是3的倍数的概率为：26=13.故答案选：B.【点睛】本题考查了概率的知识点，解题的关键是根据题意找出两位数是3的倍数的个数再运用概率公式解答即可. 3．B【解析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好抽到1班和2班的结果数，然后根据概率公式求解．解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到1班和2班的结果数为2，所以恰好抽到1班和2班的概率=．故选B．4．A【解析】【分析】根据对顶角相等求出∠CFB＝65°，然后根据CD∥EB，判断出∠B＝115°．【详解】∵∠AFD＝65°，∴∠CFB ＝65°，∵CD ∥EB ，∴∠B ＝180°−65°＝115°，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，知道“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．5．A【解析】根据题意可知x=-1，平均数=（-6-1-1-1+2+1）÷6=-1， ∵数据-1出现两次最多，∴众数为-1，极差=1-（-6）=2，方差=16 [（-6+1）2+（-1+1）2+（-1+1）2+（2+1）2+（-1+1）2+（1+1）2]=2． 故选A ．6．B【解析】【分析】根据S △ABE =12S 矩形ABCD =1=12•AE•BF ，先求出AE ，再求出BF 即可． 【详解】如图，连接BE ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD=2，BC=AD=1，∠D=90°，在Rt △ADE 中，22AD DE +2231+10， ∵S △ABE =12S 矩形ABCD =1=12•AE•BF ， ∴BF=3105． 故选：B ．【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用面积法解决有关线段问题，属于中考常考题型．7．B【解析】解：过A点作AH⊥BC于H，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=BC=2，当0≤x≤2时，如图1，∵∠B=45°，∴PD=BD=x，∴y=•x•x=；当2＜x≤4时，如图2，∵∠C=45°，∴PD=CD=4﹣x，∴y=•（4﹣x）•x=，故选B．8．C【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选C．9．C【解析】分析：主要考查：等腰三角形的三线合一，直角三角形的性质．注意：根据斜边和直角边对应相等可以证明△BDF≌△ADE．详解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD．又∵∠BAC=90°，∴BD=AD=CD．又∵CE=AF，∴DF=DE，∴Rt△BDF≌Rt△ADE（SAS），∴∠DBF=∠DAE=90°﹣62°=28°．故选C．点睛：熟练运用等腰直角三角形三线合一性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答本题的关键．10．D【解析】【分析】分两种情形讨论当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题．【详解】解：当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①．故选D．11．C【解析】【分析】根据各点在数轴上位置即可得出结论．【详解】由图可知，b<a<0，A. ∵b<a<0，∴a+b<0，故本选项错误；B. ∵b<a<0，∴ab>0，故本选项错误；C. ∵b<a<0，∴a>b，故本选项正确；D. ∵b<a<0，∴b−a<0，故本选项错误.故选C.12．C【解析】【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE 等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可求得△PBC的面积．【详解】延长AP交BC于E．∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∴∠ABP＝∠EBP，∠APB＝∠BPE＝90°．在△APB和△EPB中，∵，∴△APB≌△EPB（ASA），∴S△APB＝S△EPB，AP＝PE，∴△APC 和△CPE 等底同高，∴S △APC ＝S △PCE ，∴S △PBC ＝S △PBE +S △PCE S △ABC ＝4cm 1．故选C ．【点睛】本题考查了三角形面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出S △PBC ＝S △PBE +S △PCE S △ABC ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．①②③④⑤⑥⑦．【解析】【分析】将△ABM 绕点A 逆时针旋转，使AB 与AD 重合，得到△ADH ．证明△MAN ≌△HAN ，得到MN=NH ，根据三角形周长公式计算判断①；判断出BM=DN 时，MN 最小，即可判断出⑧；根据全等三角形的性质判断②④；将△ADF 绕点A 顺时针性质90°得到△ABH ，连接HE ．证明△EAH ≌△EAF ，得到∠HBE=90°，根据勾股定理计算判断③；根据等腰直角三角形的判定定理判断⑤；根据等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，判断⑥，根据点A 到MN 的距离等于正方形ABCD 的边长、三角形的面积公式计算，判断⑦．【详解】将△ABM 绕点A 逆时针旋转，使AB 与AD 重合，得到△ADH ．则∠DAH=∠BAM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD=90°，∵∠MAN=45°，∴∠BAN+∠DAN=45°，∴∠NAH=45°，在△MAN 和△HAN 中，AM AH MAN HAN AN AN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△MAN ≌△HAN ，∴MN=NH=BM+DN ，①正确；∵（当且仅当BM=DN 时，取等号）∴BM=DN 时，MN 最小，∴BM=12b ， ∵DH=BM=12b ， ∴DH=DN ，∵AD ⊥HN ，∴∠DAH=12∠HAN=11.5°， 在DA 上取一点G ，使DG=DH=12b ，∴∠DGH=45°，DH=2b ， ∵∠DGH=45°，∠DAH=11.5°，∴∠AHG=∠HAD ，∴AG=HG=2b ，∴AB=AD=AG+DG=2b+12b=12b=a ，∴2b a ==，∴2b a≥， 当点M 和点B 重合时，点N 和点C 重合，此时，MN 最大=AB ， 即：1b a=，∴2≤b a ≤1，⑧错误； ∵MN=NH=BM+DN∴△CMN 的周长=CM+CN+MN=CM+BM+CN+DN=CB+CD ，∴△CMN 的周长等于正方形ABCD 的边长的两倍，②结论正确；∵△MAN ≌△HAN ，∴点A 到MN 的距离等于正方形ABCD 的边长AD ，④结论正确；如图1，将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE．∵∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，∠DAF=∠BAE，∴∠EAH=∠EAF=45°，∵EA=EA，AH=AD，∴△EAH≌△EAF，∴EF=HE，∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，∴∠HBE=90°，在Rt△BHE中，HE1=BH1+BE1，∵BH=DF，EF=HE，∵EF1=BE1+DF1，③结论正确；∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°，∵∠MAN=45°，∴∠EAN=∠EDN，∴A、E、N、D四点共圆，∴∠ADN+∠AEN=180°，∴∠AEN=90°∴△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形；⑤结论正确；∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，∴2AF，2AE，如图3，过点M作MP⊥AN于P，在Rt△APM中，∠MAN=45°，∴MP=AMsin45°，∵S△AMN=12AN•MP=12AM•AN•sin45°，S△AEF=12AE•AF•sin45°，∴S△AMN：S△AEF=1，∴S△AMN=1S△AEF，⑥正确；∵点A到MN的距离等于正方形ABCD的边长，∴S正方形ABCD：S△AMN=212ABMN AB⨯=1AB：MN，⑦结论正确．即：正确的有①②③④⑤⑥⑦，故答案为①②③④⑤⑥⑦．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解本题的关键是构造全等三角形．14．2x=或x=-1【解析】【分析】由点A的坐标及AB的长度可得出点B的坐标，由抛物线的对称性可求出抛物线的对称轴．【详解】∵点A的坐标为（-2，0），线段AB的长为8，∴点B的坐标为（1，0）或（-10，0）．∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，∴抛物线的对称轴为直线x=262-+=2或x=2102--=-1．故答案为x=2或x=-1．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，由抛物线与x轴的交点坐标找出抛物线的对称轴是解题的关键．15．ab（a+b）（a﹣b）【解析】【分析】先提取公因式ab，然后再利用平方差公式分解即可．【详解】a3b﹣ab3=ab（a2﹣b2）=ab（a+b）（a﹣b），故答案为ab （a+b ）（a ﹣b ）.【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．分解因式的步骤一般为：一提（公因式），二套（公式），三彻底.16．a 1．【解析】【分析】根据幂的乘方法则进行计算即可.【详解】()22224.a a a ⨯==故答案为4.a【点睛】考查幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键.17．1【解析】【分析】设抛物线的解析式为：y=ax 2+b ，由图得知点（0，2.4），（1，0）在抛物线上，列方程组得到抛物线的解析式为：y=﹣x 2+2.4，根据题意求出y=1.8时x 的值，进而求出答案；【详解】设抛物线的解析式为：y=ax 2+b ，由图得知：点（0，2.4），（1，0）在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2+2.4，∵菜农的身高为1.8m ，即y=1.8，则1.8=﹣x 2+2.4，解得：x=（负值舍去）故他在不弯腰的情况下，横向活动范围是：1米，故答案为1．18．1【解析】【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．【详解】易得第一层最多有9个正方体，第二层最多有4个正方体，所以此几何体共有1个正方体．故答案为1．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．1【解析】221a a +=2224422a a a a a a a a -⎛⎫-⋅= ⎪--⎝⎭n =()()()()2222222a a a a a a a a a +-=+=+-=1. 故答案为1.20．（1）y=﹣x 2+2x+3；（2）DE+DF 有最大值为132；（3）①存在，P 的坐标为（73，209）或（103，139-）；②23-＜t ＜83． 【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），根据系数的关系，即可解答（2）先求出当x=0时，C 的坐标，设直线AC 的解析式为y=px+q ，把A,C 的坐标代入即可求出AC 的解析式，过D 作DG 垂直抛物线对称轴于点G ，设D （x ，﹣x 2+2x+3），得出DE+DF=﹣x 2x-1）=﹣x 2+（），即可解答（3）①过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P 1，求出直线PC 的解析式，再结合抛物线的解析式可求出P 1，过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P 2，再利用A 的坐标求出P 2，即可解答②观察函数图象与△ACQ 为锐角三角形时的情况，即可解答【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），即y=ax 2﹣2ax ﹣3a ，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）当x=0时，y=﹣x 2+2x+3=3，则C （0，3），设直线AC 的解析式为y=px+q ，把A （﹣1，0），C （0，3）代入得03p q q -+=⎧⎨=⎩，解得33p q =⎧⎨=⎩，∴直线AC 的解析式为y=3x+3，如答图1，过D 作DG 垂直抛物线对称轴于点G ，设D （x ，﹣x 2+2x+3），∵DF ∥AC ，∴∠DFG=∠ACO，易知抛物线对称轴为x=1，∴DG=x-1，DF=10（x-1），∴DE+DF=﹣x2+2x+3+10（x-1）=﹣x2+（2+10）x+3-10，∴当x=101+，DE+DF有最大值为132；答图1 答图2（3）①存在；如答图2，过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=13-x+m，把C（0，3）代入得m=3，∴直线P1C的解析式为y=13-x+3，解方程组223133y x xy x⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P1点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2，直线AP2的解析式可设为y=13-x+n，把A（﹣1，0）代入得n=13-，∴直线PC的解析式为y=1133x--，解方程组2231133y x xy x⎧=-++⎪⎨=--⎪⎩，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P2点坐标为（103，139-），综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，139-）；②23-＜t＜83．【点睛】此题考查二次函数综合题，解题关键在于把已知点代入解析式求值和作辅助线.21．（1）该校对50名学生进行了抽样调查；（2）最喜欢足球活动的人占被调查人数的20%；（3）全校学生中最喜欢篮球活动的人数约为720人．【解析】【分析】（1）根据条形统计图，求个部分数量的和即可；（2）根据部分除以总体求得百分比；（3）根据扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，求出百分比即可求解.【详解】（1）4+8+10+18+10=50（名）答：该校对50名学生进行了抽样调查．（2）最喜欢足球活动的有10人， 10=20%50， ∴最喜欢足球活动的人占被调查人数的20%．（3）全校学生人数：400÷（1﹣30%﹣24%﹣26%）=400÷20%=2000（人）则全校学生中最喜欢篮球活动的人数约为2000×1850=720（人）． 【点睛】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚的表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反应部分占全体的百分比的大小.22．解：（1）AF 与圆O 的相切．理由为：如图，连接OC ，∵PC 为圆O 切线，∴CP ⊥OC ．∴∠OCP=90°．∵OF ∥BC ，∴∠AOF=∠B ，∠COF=∠OCB ．∵OC=OB ，∴∠OCB=∠B ．∴∠AOF=∠COF ．∵在△AOF 和△COF 中，OA=OC ，∠AOF=∠COF ，OF=OF ，∴△AOF ≌△COF （SAS ）．∴∠OAF=∠OCF=90°．∴AF 为圆O 的切线，即AF 与⊙O 的位置关系是相切．（2）∵△AOF ≌△COF ，∴∠AOF=∠COF ．∵OA=OC ，∴E 为AC 中点，即AE=CE=12AC ，OE ⊥AC ． ∵OA ⊥AF ，∴在Rt △AOF 中，OA=4，AF=3，根据勾股定理得：OF=1．∵S △AOF =12•OA•AF=12•OF•AE ，∴AE=245． ∴AC=2AE=． 【解析】试题分析：（1）连接OC ，先证出∠3=∠2，由SAS 证明△OAF ≌△OCF ，得对应角相等∠OAF=∠OCF ，再根据切线的性质得出∠OCF=90°，证出∠OAF=90°，即可得出结论；（2）先由勾股定理求出OF ，再由三角形的面积求出AE ，根据垂径定理得出AC=2AE ．试题解析：（1）连接OC ，如图所示：∵AB 是⊙O 直径，∴∠BCA=90°，∵OF ∥BC ，∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，∴OF ⊥AC ，∵OC=OA ，∴∠B=∠1，∴∠3=∠2，在△OAF 和△OCF 中，{32OA OCOF OF=∠=∠=，∴△OAF ≌△OCF （SAS ），∴∠OAF=∠OCF ，∵PC 是⊙O 的切线，∴∠OCF=90°，∴∠OAF=90°，∴FA ⊥OA ，∴AF 是⊙O 的切线；（2）∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，∴OF=222234OF OA+=+=1∵FA⊥OA，OF⊥AC，∴AC=2AE，△OAF的面积=12AF•OA=12OF•AE，∴3×4=1×AE，解得：AE=125，∴AC=2AE=245．考点：1.切线的判定与性质；2.勾股定理；3.相似三角形的判定与性质．23．（1）1365.45、414.4（2）93.79（3）30%；近3年平均涨幅在30%左右，估计2019年比2018年同比增长约30%（4）1 2【解析】【分析】（1）由图1可得答案；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）由近3年平均涨幅在30%左右即可做出估计；（4）根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数，再利用概率公式求解可得．【详解】（1）2018年首次突破了“千万”大关，达到1365.45万人次，比2017年春节假日增加1365.45﹣951.05=414.4万人次．故答案为：1365.45、414.4；（2）这组数据的中位数是84.38+103.22=93.79万人次，故答案为：93.79；（3）2019年春节假日山西旅游总收入比2018年同期增长的百分率约为30%，理由是：近3年平均涨幅在30%左右，估计2019年比2018年同比增长约30%，故答案为：30%；近3年平均涨幅在30%左右，估计2019年比2018年同比增长约30%．（4）画树状图如下：则共有12种等可能的结果数，其中送给好朋友的两枚书签中恰好有“剪纸艺术”的结果数为6，所以送给好朋友的两枚书签中恰好有“剪纸艺术”的概率为12．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，求出概率，也考查了条形统计图与样本估计总体．24．（1）（﹣2，2+23），（﹣10，16﹣53），（2a ，b ﹣3a ）；（2）见解析；（3）直线PP'与x 轴的交点坐标（﹣3，0）【解析】【分析】（1）①当P （-4，2）时，OA=2，PA=4，由旋转知，∠P'AH=30°，进而P'H=12P'A=2，AH=3P'H=23，即可得出结论；②当P'（-5，16）时，确定出P'A=10，AH=53，由旋转知，PA=PA'=10，OA=OH-AH=16-53，即可得出结论；③当P （a ，b ）时，同①的方法得，即可得出结论；（2）先判断出∠BQQ'=60°，进而得出∠PAP'=∠PP'A=60°，即可得出∠P'QQ'=∠PAP'=60°，即可得出结论；（3）先确定出y PP '=3x+3，即可得出结论．【详解】解:（1）如图1，①当P （﹣4，2）时，∵PA ⊥y 轴，∴∠PAH=90°，OA=2，PA=4，由旋转知，P'A=4，∠PAP'=60°，∴∠P'AH=30°，在Rt △P'AH 中，P'H=12P'A=2， ∴33∴3，∴P'（﹣2，3，②当P'（﹣5，16）时，在Rt △P'AH 中，∠P'AH=30°，P'H=5，∴P'A=10，AH=53， 由旋转知，PA=PA'=10，OA=OH ﹣AH=16﹣53，∴P （﹣10，16﹣53），③当P （a ，b ）时，同①的方法得，P'（a 2，b ﹣32a ）， 故答案为：（﹣2，2+23），（﹣10，16﹣53），（2a ，b ﹣32a ）； （2）如图2，过点Q 作QB ⊥y 轴于B ，∴∠BQQ'=60°，由题意知，△PAP'是等边三角形，∴∠PAP'=∠PP'A=60°，∵QB ⊥y 轴，PA ⊥y 轴，∴QB ∥PA ，∴∠P'QQ'=∠PAP'=60°，∴∠P'QQ'=60°=∠PP'A ，∴PP'∥QQ'；（3）设y PP '=kx+b'，由题意知，k=3，∵直线经过点（3，6），∴b'=3，∴y PP '=3x+3，令y=0，∴x=3∴直线PP'与x轴的交点坐标（﹣3，0）．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法，解本题的关键是理解新定义．25．（1）y=﹣2x+1；y=﹣；（2）140；（3）x≥10，或﹣4≤x＜0；【解析】【分析】（1）根据OA、OB的长写出A、B两点的坐标，再用待定系数法求解一次函数的解析式，然后求得点C 的坐标，进而求出反比例函数的解析式.（2）联立方程组求解出交点坐标即可.（3）观察函数图象，当函数y=kx+b的图像处于下方或与其有重合点时，x的取值范围即为的解集.【详解】（1）由已知，OA=6，OB=1，OD=4，∵CD⊥x轴，∴OB∥CD，∴△ABO∽△ACD，∴，∴，∴CD=20，∴点C坐标为（﹣4，20），∴n=xy=﹣80.∴反比例函数解析式为：y=﹣,把点A（6，0），B（0，1）代入y=kx+b得：,解得：.∴一次函数解析式为：y=﹣2x+1,（2）当﹣=﹣2x+1时，解得,x1=10，x2=﹣4,当x=10时，y=﹣8,∴点E坐标为（10，﹣8）,∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=.（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象,∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜0.【点睛】本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及用函数的观点通过函数图像解不等式. 26．（1）证明见解析；（2）2BC=【解析】试题分析：（1）连接OP，首先证明OP∥BC，推出∠OPB=∠PBC，由OP=OB，推出∠OPB=∠OBP，由此推出∠PBC=∠OBP；（2）作PH⊥AB于H．首先证明PC=PH=1，在Rt△APH中，求出AH，由△APH∽△ABC，求出AB、BH，由Rt△PBC≌Rt△PBH，推出BC=BH即可解决问题.试题解析：（1）连接OP，∵AC是⊙O的切线，∴OP⊥AC，∴∠APO=∠ACB=90°，∴OP∥BC，∴∠OPB=∠PBC，∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∴∠PBC=∠OBP，∴BP平分∠ABC；（2）作PH⊥AB于H．则∠AHP=∠BHP=∠ACB=90°，又∵∠PBC=∠OBP，PB=PB，∴△PBC≌△PBH ，∴PC=PH=1，BC=BH，在Rt△APH中，2222-=，AP PH在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2∴(AP+PC)2+BC2=(AH+HB)2，即42+BC2=(22，解得2BC=．27．这艘船装甲货物80吨，装乙货物180吨．【解析】【分析】根据题意先列二元一次方程，再解方程即可. 【详解】解：设这艘船装甲货物x吨，装乙货物y吨，根据题意，得260 821000 x yx y+=⎧⎨+=⎩．解得80180 xy=⎧⎨=⎩．答：这艘船装甲货物80吨，装乙货物180吨．【点睛】此题重点考查学生对二元一次方程的应用能力，熟练掌握二元一次方程的解法是解题的关键.。

2020届安徽省五校高三联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2{4,},1,A a B a ==，a R ∈，则A B U 不可能．．．是（ ） A ．{}1,1,4- B ．{}1,0,4 C ．{}1,2,4 D ．{}2,1,4-【答案】A【解析】由题选择A B U 不可能．．．的选项，依次检验找出矛盾即可. 【详解】 依次检验：如果是A 选项，则只能考虑1a =-，集合B 不满足元素互异性； 当0a =，B 选项正确； 当2a =，C 选项正确； 当2a =-，D 选项正确； 故选：A 【点睛】此题考查集合并集运算和元素互异性，对分析问题能力要求较高. 2．复数z 的实部为1，且1z i -=，则复数z 的虚部为（ ） A ．i B ．i -C ．1D ．1-【答案】C【解析】根据复数实部为1，设出复数，求出模长，便可解得. 【详解】设复数1,1(1)1z bi z i b i =+-=+-=1=，解得1,1b z i ==+ 故选：C 【点睛】本题考查复数的基本运算和概念，容易出现概念混淆不清，把虚部弄错.3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ） （参考数据：2 1.414,3 1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【答案】B【解析】由题分析出“弓”所在弧长，结合弧长公式得出这段弧所对圆心角，双手之间距离即是这段弧所对弦长. 【详解】由题：“弓”所在弧长54488l ππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==，两手之间距离2 1.25 1.768d =≈.故选：B 【点睛】此题考查扇形的圆心角和半径与弧长关系的基本计算，关键在于读懂题目，提取有效信息. 4．数列{}n a 的前n 项和()1n S n n =-，若510k a a -=，则k =（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．25【答案】A【解析】通过数列{}n a 的前n 项和()1n S n n =-计算出n a ，再根据k a 求出k . 【详解】由题：()1n S n n =-，()11(2),2,n S n n n n N -+=--≥∈, 所以22n a n =-，2,n n N +≥∈ 当=1n 时，110212a S ===⨯-， 所以22n a n =-，n ∈+N510k a a -=，即22810k --=，解得：10k =. 故选：A 【点睛】此题考查数列前n 项和与通项n a 的关系，依据n S 求n a 还应注意考虑n 的取值范围.5．已知向量(),1a λ=-v，若()1,3b =-r ，33a a =v v v v ，则λ的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【解析】两个向量模长相等，平方处理，即可转化成通过求a b ⋅r r的值解得未知数. 【详解】由题：33a a =v v v v ，所以2233a a -=+v v ，化简得：0a b ⋅=r r，即30λ--= 所以3λ=-. 故选：A 【点睛】此题考查向量的基本运算，对运算能力要求较高，在具体问题中适当处理坐标利于简化运算，如果此题先代入坐标运算，计算量很大，先处理模长大大降低计算量.6．曲线21:C y x =，22:4C y x x =-以及直线:2l x =所围成封闭图形的面积为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．8【答案】D【解析】根据微积分基本定理，求出积分即是封闭图形面积 【详解】 由题：2222220((4))428x x x dx xdx x --===⎰⎰，所以，封闭图形面积为8. 故选：D 【点睛】此题考查用微积分基本定理进行简单计算，用来解决曲线围成封闭图形的面积.7．已知正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“1012112+>S S S ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题1012112+>S S S ，变形得1211a a >即可选出选项 【详解】由题：1012112+>S S S ，12111110S S S S ->-，即1211a a >，由于题目给定{}n a 各项为正，所以等价于公比为1q >. 故选：C 【点睛】此题考查与等比数列有关的两个条件充分性与必要性，关键在于题目给定各项均为正的前提下如何利用1012112+>S S S .8．函数2211()sin f x x x x π=+-在区间[]2,2ππ-上的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据奇偶性排除A ，D ，根据()0,f π=(0,)x π∈，(,2)x ππ∈函数值的正负可选出选项. 【详解】由题可得2211()sin f x x x x π=+-是偶函数，排除A,D 两个选项， ()0,f π=当(0,)x π∈时，2211sin 0,x x x π>>，()0f x >， 当(,2)x ππ∈时，2211sin 0,x x x π<<，()0f x <， 所以当(2,2)x ππ∈-时，()f x 仅有一个零点. 故选：C 【点睛】此题考查函数的奇偶性和零点问题，解题时要善于观察出函数的一个零点，再分别讨论(0,)x π∈，(,2)x ππ∈函数值的正负便可得出选项.9．已知平面,,αβγ有一个公共点，直线,,a b c 满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线,,a b c 不可能．．．满足以下哪种关系（ ） A ．两两平行 B ．两两异面C ．两两垂直D ．两两相交【答案】A【解析】三个平面一有个公共点说明三个平面两两相交，且三条交线交于一点，可以考虑在长方体某一顶点处的三个平面内分别检验，发现可以满足两两异面，两两垂直，两两相交的情况，不能满足两两平行. 【详解】取长方体某一顶点处的三个平面内分别检验，三条交线就可以满足两两垂直，两两相交，也易作出两两异面，如图：平面1ADD ，平面11C DD ，平面111C A D ，取11C D 中点E ，111,,AD AC DE 两两异面，11111,,DD AD D C 两两相交，两两垂直，对于两两平行，考虑反证法：假设符合题意的三个平面内直线,,a b c 两两平行，则任意两条直线形成的平面共三个，这三个平面要么相交于同一条直线，要么三条交线两两平行，均与题目矛盾. 【点睛】此题考查线面位置关系，对空间图形的直观认识能力要求较高，解决这类问题可以作图处理，更可以考虑利用好身边的墙壁，桌面，笔模拟线面位置关系，更能直观地判定.10．安徽怀远石榴（Punicagranatum ）自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（ ）（参考数据：1001.015 4.432,lg11 1.041≈≈）A ．0.04y x =B ． 1.0151xy =-C ．tan 119x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()11log 310y x =- 【答案】D【解析】根据奖励规则，函数必须满足：(6,100]x ∈，增函数，3,0.2y y x ≤≤ 【详解】对于函数：0.04y x =，当100x =时，43y =>不合题意； 对于函数： 1.0151xy =-，当100x =时， 3.4323y =>不合题意；对于函数：tan 119x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，不满足递增，不合题意；对于函数：()11log 310y x =-，满足：(6,100]x ∈，增函数， 且()111111log 310010log 290log 13313y ≤⨯-=<=，结合图象：符合题意． 故选：D 【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于弄清题目给定规则，依次用四个函数逐一检验.11．设函数()()21ln xf x e e x =-+（其中e 为自然对数的底数），则函数()f x 的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】利用导函数，得出函数单调性，分析函数极值与0的大小关系即可求解. 【详解】由题()()222,0x x e ef x e f x e x x'''=-=+>，所以()f x ¢在(0,)x ∈+∞单调递增， ()10f e '=-<，()220f e e '=->，所以()f x ¢的零点0(1,2)x ∈，且002xe e x =，且当0(0,)x x ∈时，()0f x ¢<，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x ¢>，即()f x 在0(0,)x x ∈单调递减，在0(,)x x ∈+∞单调递增，()f x 的极小值()()000002221ln 2(1ln )xx e e f x e e x e x e=-+=-+= 0000112((1ln 2))2(2ln 2)e e x e x x x -+-=+--，00015(1,2),2x x x ∈+<， ()0512ln 2ln 2ln 2022f x e <--=-=<， 当0x +→时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞； 所以共两个零点. 故选：C 【点睛】此题考查函数单调性与极值和函数零点问题，其中重点考查隐零点问题的处理，和极限思想的应用.12．锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin5A C b Aa+=，22BA BC AB AC c ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r．则ABC ∆面积的取值范围是（ ）A ．14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()3,23C ．()1,2D ．433,⎛⎫ ⎪ ⎪⎭【答案】D【解析】根据三角关系求出角B ，根据向量数量积求出边c ，作出三角形，数形结合求解. 【详解】由题sin sin5A C b Aa+=，三角形ABC ∆中，A B C π++=，A C B π+=-， 结合正弦定理，sin sin sin 5sin B B A A π-=，sin sin 5BB π-=，B 为锐角， 所以5B B π-=，=6B π， 22BA BC AB AC c ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，即cos cos 22ac B bc A c +=，由射影定理：22c =， 作图：在1Rt ABC ∆中，122cos 66BC π==u u u r 在2Rt ABC ∆中，22246cos6BC π==u u u r 当点C 在线段12C C 之间（不含端点）时，三角形ABC ∆为锐角三角形，1143223,22ABCS BC =⨯⨯∈⎭V u u u r ， 所以面积取值范围433,3⎭故选：D【点睛】此题考查锐角三角形三内角和关系，正余弦定理，边角互化综合应用，重在数形结合思想.二、填空题13．已知不等式组330300x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域为D ，,P Q 是区域D 内任意两点，若()3,3R ，则,PR QR u u u r u u u r的最大值是____________．【答案】90o【解析】平面直角坐标系中作出可行域，观察图象,PR QR u u u r u u u r 即,RP RQ u u u r u u u r的最大值，由图便知.【详解】作出可行域如图所示：解出(0,3),(3,0)A B ，结合图象观察可得,RP RQ u u u r u u u r 的最大值即0,90RA RB =u u u r u u u r .故答案为：90o 【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，向量夹角，数形结合思想，属于简单题目，如果不结合图象分析，计算量会很大.14．cos102cos20cos10-⋅=o o o ____________． 【答案】3 【解析】三角恒等变换，处理角度cos10cos(2010)=-o o o 即可. 【详解】由题：cos102cos20cos10cos(2010)2cos20cos10-⋅=--⋅o o o o o o ocos20cos10sin 20sin10cos20cos10(cos20cos10sin 20sin10)=⋅+⋅-=-⋅-⋅o o o o o o o o o o 3cos30=-=-o 故答案为：3- 【点睛】此题考查三角恒等变换，关键在于合理处理两个角度，便于运算，此题陷阱在于两个角度有很多特殊关系，不易找准方向.15．若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则k =________.【答案】1或1e【解析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得斜率和截距相等，从而求得切线方程的答案。

安徽省淮北市第一中学 2020 届高三最后一卷数学（文）第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的.1.若复数知足，此中是虚数单位，则复数的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】由已知，，，应选B．2.已知会合，，会合，则会合（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】由已知，，所以，应选 A．3.从长度分别为，，，，的5条线段中，随意拿出 3 条， 3 条线段能组成三角形的概率是（）A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5【答案】 B【分析】任取三条可有10 种取法，此中只有3,5,7 ； 3,7,9 ； 5,7,9三种可组成三角形，所以概率为．应选 B．4.设都是非零向量，以下四个条件，使成立的充要条件是（）A. B. C.且 D.且方向同样【答案】 D【分析】表示方向的单位向量，所以的条件是与同向即可，应选D．5.函数的图像大概是（）A. B.C. D.【答案】 B6.已知，，则=（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】，则，，所以，，，应选 B．点睛：应用两角和与差的三角函数公式时，要注意“单角”和“复角”互相转变，注意角的一般变化规律，如，等等角的变换．7.已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，为切点，若直线经过抛物线的焦点，的面积为，则以直线为准线的抛物线标准方程是（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】由抛物线的对称性知，，则，解得，直线方程为，所以所求抛物线标准方程为，应选D．8.《九章算术》是我国古代数学名著，聚集先人智慧，此中的“更相减损术”更是有着深刻的应用。

以下图程序框图的算法思想即根源于此，若输入的，输出的，则输入的可能为（）A. 288B. 294C. 378D. 399【答案】 D【分析】由题意21 是 2020 和的最大条约数，即应为21的倍数，288不是21的整数倍，其余三个都是21 的整数倍，但2020 是偶数，只有399 切合条件，应选D．点睛：解决这种算法的问题，重点是理解算法的数学功能，“更相减损术”实质上就是求两个整数的最大条约数，所以从最大条约数观点出发，题中解易得．9.有以下四种变换方式：①向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为本来的；②向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为本来的；③每个点的横坐标缩短为本来的，向右平移个单位长度；④每个点的横坐标缩短为本来的，向左平移个单位长度；此中能将的图象变换成函数的图象的是（）A. ①和③B.①和④C.②和④D.②和③【答案】 B②图象上全部点向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为本来的可得③图象上每个点的横坐标缩短为本来的，向右平移个单位长度可得④图象上每个点的横坐标缩短为本来的，向左平移个单位长度可得分别求出分析式，判断正确选项即可．考点：函数的图象变换．10.已知二次函数有两个零点，且，则直线的斜率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】由题意内部（不含界限），已知直线的斜率为，，，0，在座标系作出点表示的平面地区，如图，表示点与点连线的斜率，，所以斜率的范围是．故选 A．11.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B.C. D.【答案】 B【分析】的从题设所供给的三视图中的图形信息与数据信息可知该几何体是底面分别是腰长为等腰直角三角形，高为 4 的柱体，如图，其全面积，应选答案B。

2020年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中只有一项符合题意） 1．（5分）已知集合{1A =，2，3}，{|(1)(2)0B x x x =+-<，}x Z ∈，则(A B = )A ．{1}B ．{0，1}C ．{0，1，2，3}D ．{1-，0，1，2，3}2．（5分）已知复数1322i ω=+，i 为虚数单位，则2ω的实部为( ) A ．1B ．12C ．32-D ．12-3．（5分）已知锐角α满足3sin()23πα+=，则tan 2(α= )A ．2-B ．22-C ．22D ．24．（5分）国庆70周年庆典磅礴而又欢快的场景，仍历历在目．已知庆典中某省的游行花车需要用到某类花卉，而该类花卉有甲、乙两个品种，花车的设计团队对这两个品种进行了检测．现从两个品种中各抽测了10株的高度，得到如下茎叶图．下列描述正确的是( )A ．甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，且甲品种比乙品种长的整齐B ．甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，但乙品种比甲品种长的整齐C ．乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，且乙品种比甲品种长的整齐D ．乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐5．（5分）已知圆222:(0)C x y r r +=>直线:2l x =，则“13r <”是“C 上恰有两个不同的点到l 的离为1”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．（5分）若函数()(1)(0,1)x x f x k a a a a -=-->≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则()log ()a g x x k =+的图象是( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为(4,0)F ，点(0,3)Q -，P 为双曲线左支上的动点，且PQF ∆周长的最小值为16，则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．43C ．32D ．528．（5分）已知51log 2a =，52log 2b =，7log 3c =，则( )A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>9．（5分）关于函数22()|cos sin |1f x x x =-+，下列说法正确的是( ) A ．函数()f x 以π为周期且在()2k x k Z π=∈处取得最大值B ．函数()f x 以2π为周期且在区间(,)42ππ单调递增 C ．函数()f x 是偶函数且在区间(,)42ππ单调递减D ．将()f x 的图象向右平移1个单位得到()|cos(21)|1g x x =-+10．（5分）函数()[()]g x y f x =在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到()()lny g x lnf x =，然后两边同时求导得()()()()()y f x g x lnf x g x y f x ''='+，于是()()[()][()()()]()g x f x y f x g x lnf x g x f x ''='+，用此法探求11(1)(0)x y x x +=+>的递减区间为()A ．(0,)eB ．(0,1)e -C ．(1,)e -+∞D ．(,)e +∞11．（5分）淮北市第一次模拟考试理科共考语文、数学、英语、物理、化学、生物六科，安排在某两日的四个半天考完，每个半天考一科或两科．若语文、数学、物理三科中任何两科不能排在同一个半天，则此次考试不同安排方案的种数有( )（同一半天如果有两科考试不计顺序） A ．648B ．1728C ．864D ．32412．（5分）已知等差数列{}n a 满足225910a a +，则12345a a a a a ++++的最大值为( ) A ．55 B ．20 C ．25 D ．100二、填空题（本题共4小题每小题5分，共20分）13．（5分）在边长为2的正ABC ∆中，D 为BC 中点，则AB AD = ．14．（5分）从抛物线24y x =图象上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线焦点为F ，则PFM ∆的面积为 ．15．（5分）设函数2019,0()2020,0x e x f x x -⎧+=⎨>⎩，则满足2(3)(2)f x f x --的x 取值范围是 ．16．（5分）已知直线m 与球O 有且只有一个公共点，从直线m 出发的两个半平面α、β截球O 所得两个截面圆的半径分别为1和2，二面角m αβ--的平面角为120︒，则球O 的表面积等于 ．三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知ABC ∆的面积为S ，且AB AC S =． （1）求22sin cos 5sin 222A AA --的值； （2）若角A ，B ，C 成等差数列，||4CB CA -=，求ABC ∆的面积S ．．18．（12分）在直角梯形ABCD （如图1)，90ABC ∠=︒，//BC AD ，8AD =，4AB BC ==，M 为线段AD 中点．将ABC ∆沿AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到几何体B ACD-（如图2)．（1）求证：CD ⊥平面ABC ；（2）求AB 与平面BCM 所成角θ的正弦值．19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，等比数列{}n b 的公比(1)q q >，且34528b b b ++=，42b +是3b 和5b 的等差中项．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令211n n n c b a =+-，{}n c 的前n 项和记为n T ，若2n T m 对一切*n N ∈成立，求实数m 的最大值．20．（12分）有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下．现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用a 、b 、c 表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标a b c λ=++的值评定石榴的等级，若4λ则为一级；若23λ则为二级；若01λ则为三级．f 近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园，得到如下结果：（1）若有石榴种植园120个，估计等级为一级的石榴种植园的数量；（2）在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，ξ表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>过点(1,1)M ．（1）求Γ的方程；（2）如图，若菱形ABCD 内接于椭圆Γ，求菱形ABCD 面积的最小值．22．（12分）已知函数()sin (1)f x x aln x =-+，a R ∈，()f x '是()f x 的导函数． （1）若2a =，求()f x 在0x =处的切线方程； （2）若()f x 在[,]42ππ上单调递增，求a 的取值范围；（3）求证：当20(1)2a π<<+时()f x '在区间(1,)2π-内存在唯一极大值点．2020年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中只有一项符合题意） 1．（5分）已知集合{1A =，2，3}，{|(1)(2)0B x x x =+-<，}x Z ∈，则(A B = )A ．{1}B ．{0，1}C ．{0，1，2，3}D ．{1-，0，1，2，3}【分析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【解答】解：{1A =，2，3}，{|12B x x =-<<，}{0x Z ∈=，1}，{1}AB ∴=．故选：A ．【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）已知复数12ω=，i 为虚数单位，则2ω的实部为( )A ．1B ．12C ．D ．12-【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由12ω=+，得221131()2442ω==-=-， 2ω∴的实部为12-．故选：D ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）已知锐角α满足sin()2πα+=，则tan 2(α= )A ．B ．-C ．D【分析】由已知利用诱导公式可求cos α，利用同角三角函数基本关系式进而可求sin α，tan α的值，进而根据二倍角的正切函数公式即可求解tan2α的值．【解答】解：锐角α满足sin()2πα+=，cos α∴=sin α=，sin tan cos ααα=22tan tan 2221tan ααα∴==--． 故选：B ．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4．（5分）国庆70周年庆典磅礴而又欢快的场景，仍历历在目．已知庆典中某省的游行花车需要用到某类花卉，而该类花卉有甲、乙两个品种，花车的设计团队对这两个品种进行了检测．现从两个品种中各抽测了10株的高度，得到如下茎叶图．下列描述正确的是( )A ．甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，且甲品种比乙品种长的整齐B ．甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，但乙品种比甲品种长的整齐C ．乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，且乙品种比甲品种长的整齐D ．乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐 【分析】根据茎叶图所反映出数据的分布情况进行判断即可． 【解答】解：通过茎叶图数据可知： 甲品种的平均高度为：192021232529373332312710x +++++++++==甲，乙品种的平均高度为：101410262730444646473010x +++++++++==乙，所以乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但是乙品种的10株高度在分散，没有甲品种10株的高度集中，都集中在25左右， 故乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐． 故选：D ．【点评】本题考查了茎叶图比较平均数和方差的大小，属于基础题．5．（5分）已知圆222:(0)C x y r r +=>直线:2l x =，则“13r <”是“C 上恰有两个不同的点到l 的离为1”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据圆的性质和点到直线的距离和充分必要条件的定义即可判断．【解答】解：圆222:(0)C x y r r +=>，直线:2l x =，C 上恰有两个不同的点到l 的离为1，则13r <<．∴ “13r <”是“C 上恰有两个不同的点到l 的离为1”必要不充分条件．故选：C ．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）若函数()(1)(0,1)x x f x k a a a a -=-->≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则()log ()a g x x k =+的图象是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据函数是一个奇函数，函数在原点出有定义，得到函数的图象一定过原点，求出k 的值，根据函数是一个减函数，看出底数的范围，得到结果．【解答】解：函数()(1)(0,1)x x f x k a a a a -=-->≠在R 上是奇函数， (0)0f ∴= 2k ∴=，又()x x f x a a -=-为减函数，所以10a >>， 所以()log (2)a g x x =+ 定义域为2x >-，且递减， 故选：A ．【点评】本题考查函数奇偶性和单调性，即对数函数的性质，本题解题的关键是看出题目中所出现的两个函数性质的应用．7．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为(4,0)F ，点(0,3)Q -，P 为双曲线左支上的动点，且PQF ∆周长的最小值为16，则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．43C ．32D ．52【分析】求出双曲线的左焦点坐标，利用已知条件推出2a =，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线的右焦点为(4,0)F ，4c =，点(0,3)Q -，P 为双曲线左支上的动点，且PQF ∆周长的最小值为16， 因为P 在双曲线上，所以||2||PF a PF =+'， 则||||||||2||29PQ PF PQ PF a QF a +=+++=， 因为(0,3)Q ，(4,0)F ，所以||5QF =，则24a =，即2a =， 所以双曲线的离心率为：2e =． 故选：A ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是中档题．8．（5分）已知12a =，52logb =，7log 3c =，则( )A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：551log log 32log log 22a b ==>=，5512log log 22b log ==<=，71log 32c log =>，571log 3log 32a c ===>=，a cb ∴>>．故选：A ．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（5分）关于函数22()|cos sin |1f x x x =-+，下列说法正确的是( )A ．函数()f x 以π为周期且在()2k x k Z π=∈处取得最大值B ．函数()f x 以2π为周期且在区间(,)42ππ单调递增 C ．函数()f x 是偶函数且在区间(,)42ππ单调递减D ．将()f x 的图象向右平移1个单位得到()|cos(21)|1g x x =-+ 【分析】可将原函数变成()|cos2|1f x x =+，从而得出()f x 的周期为2π，并且可看出()f x 在(,)42ππ上单调递增，从而判断出选项B 正确，并且可判断选项D 错误． 【解答】解：22()|cos sin |1|cos2|1f x x x x =-+=+， ()f x ∴的周期为2π，且在(,)42ππ上单调递增，B ∴正确， 将()f x 的图象向右平移1个单位得到()|cos(22)|1g x x =-+，D ∴错误． 故选：B ．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式，函数|cos()|y A x ωϕ=+周期的求法，熟悉()|cos2|f x x =的图象，考查了计算能力，属于基础题．10．（5分）函数()[()]g x y f x =在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到()()lny g x lnf x =，然后两边同时求导得()()()()()y f x g x lnf x g x y f x ''='+，于是()()[()][()()()]()g x f x y f x g x lnf x g x f x ''='+，用此法探求11(1)(0)x y x x +=+>的递减区间为()A ．(0,)eB ．(0,1)e -C ．(1,)e -+∞D ．(,)e +∞【分析】先根据已知定义求解出函数的导数，然后结合导数与单调性的关系即可求解． 【解答】解：因为11(1)(0)x y x x +=+>，所以11(1)(1)1x ln x lny ln x x ++=+=+， 两边同时求导可得，21(1)(1)y ln x y x '-+=+，则1121(1)(1)(1)x ln x y x x +-+'=++， 令0y '<可得(1)1ln x +>， 解可得，1x e >-，故函数的单调递减区间为(1,)e -+∞． 故选：C ．【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，解题的关键是根据已知定义求解出函数的导数．11．（5分）淮北市第一次模拟考试理科共考语文、数学、英语、物理、化学、生物六科，安排在某两日的四个半天考完，每个半天考一科或两科．若语文、数学、物理三科中任何两科不能排在同一个半天，则此次考试不同安排方案的种数有( )（同一半天如果有两科考试不计顺序） A ．648B ．1728C ．864D ．324【分析】此问题可分两步解决，第一步把六科按要求分为四组，再排到四个半天中去，由计数原理即可得出总的不同方案．【解答】解：先对六科进行分组，共有222264342227C C C C A -=种，再把这四组分到四个半天共有4424A =种分法，由分步乘法计数原理得，此次考试不同安排方案的种数2724648⨯=， 故选：A ．【点评】本题考查排列组合及计数原理应用问题，属于计数中的基本题，中档题，解答此类问题的关键是确定合乎实际情况的解决方案以及熟练掌握计数原理与排列组合的符号的使用．12．（5分）已知等差数列{}n a 满足225910a a +，则12345a a a a a ++++的最大值为( )A ．B ．20C ．25D ．100【分析】设数列{}n a 的公差为d ，由225910a a +化为关于d 的一元二次不等式，利用判别式△0求出3a 的取值范围，即可得出12345a a a a a ++++的最大值．【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由225910a a +， 得2233(2)(6)10a d a d +++， 即223320850d a d a ++-； 由△2233(8)420(5)0a a =-⨯⨯-，化简得2325a ， 解得355a -，所以123453525a a a a a a ++++=， 即12345a a a a a ++++的最大值为25． 故选：C ．【点评】本题考查了等差数列的通项与求和公式应用问题，也考查了推理与计算能力，是中档题．二、填空题（本题共4小题每小题5分，共20分）13．（5分）在边长为2的正ABC ∆中，D 为BC 中点，则AB AD = 3 ． 【分析】易得3AD =，30BAD ∠=︒．即可求解cos30AB AD AB AD =︒．【解答】解：如图，边长为2的正ABC ∆中，D 为BC 中点，3AD ∴=，30BAD ∠=︒．∴3cos302332AB AD AB AD =︒=⨯⨯=． 故答案为：3．【点评】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．14．（5分）从抛物线24y x =图象上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线焦点为F ，则PFM ∆的面积为 10 ． 【分析】设0(P x ，0)y ，通过0||2pPM x =+，求出P 的坐标，然后求解三角形的面积． 【解答】解：抛物线24y x =中2p =，设0(P x ，0)y ，则0||2p PM x =+，即051x =+，得04x =，所以04y =±，所以01||||102PFM S PM y ∆==． 故答案为：10．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．15．（5分）设函数2019,0()2020,0x e x f x x -⎧+=⎨>⎩，则满足2(3)(2)f x f x --的x 取值范围是(,[1,)-∞+∞ ．【分析】先判断函数()f x 的单调性，再求出()f x 的值域，然后根据2(3)(2)f x f x --解出不等式即可．【解答】解：当0x 时，1()2019()2019x x f x e e -=+=+，此时()f x 单调递减，∴01()(0)()20192020f x f e=+=，∴当2(3)(2)f x f x --时，22203032x x x x -⎧⎪-⎨⎪--⎩或22030x x -⎧⎨->⎩或22030x x -⎧⎨-⎩，∴13x或x >3x -，x ∴的取值范围为(,[1,)-∞+∞．故答案为：(,[1,)-∞+∞．【点评】本题考查了分段函数的应用和不等式的解法，考查了分类讨论思想，属中档题． 16．（5分）已知直线m 与球O 有且只有一个公共点，从直线m 出发的两个半平面α、β截球O 所得两个截面圆的半径分别为1和2，二面角m αβ--的平面角为120︒，则球O 的表面积等于1123π ． 【分析】过P 与O 作直线l 的垂面，画出截面图形，设出球的半径，通过解三角形，利用转化思想求出球的半径的平方，然后求出球的表面积． 【解答】解：过P 与O 作直线l 的垂面，画出截面图形，如图 设球的半径为r ，作OE QP ⊥，OF PM ⊥，则1EP =，2PF =， 设OPE α∠=，23OPF πα∠=-， 所以cos 122cos()3r r απα=-，即sin αα=，22sin cos 1αα+=解得 21cos 28α=所以2283r =； 所以球的表面积为：2281124433r πππ=⨯=． 故答案为1123π【点评】本题是中档题，考查二面角的有关知识，考查转化思想的应用，空间想象能力，计算能力．三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知ABC ∆的面积为S ，且AB AC S =． （1）求22sin cos 5222A AA -的值； （2）若角A ，B ，C 成等差数列，||4CB CA -=，求ABC ∆的面积S ．．【分析】（1）可得1cos sin 2bc A bc A =，sin 2cos 0A A =>．可得5cos A =25sin A ．即可计算22sin cos 5222A AA -的值（2）可得060B =．sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ 由正弦定理可得sin sin b c B C =⇒sin sin c B b C =．即可得1sin 2bc A =， 【解答】解：（1）cos 1sin 2AB AC bc A SS bc A ⎧==⎪⎨=⎪⎩．∴1cos sin 2bc A bc A =． sin 2cos 0A A ∴=>．可得A 为锐角，结合22sin cos 1A A +=，可得5cos A =25sin A =． 则225sin cos 52cos 52sin cos 522A A A A A A -=--== （2）角A ，B ，C 成等差数列，2B A C ∴=+，3A B C B π∴++==，可得060B =． 251532515sin sin()sin cos cos sin 2C A B A B A B +=+=+==由正弦定理可得sin sin b cB C =⇒sin 203sin 2515c B b C ==+． ABC ∆的面积1120325sin 4323482252515S bc A ==⨯⨯⨯=-+． 【点评】本题考查了三角函数、正弦定理、三角形面积计算，属于中档题．18．（12分）在直角梯形ABCD （如图1)，90ABC ∠=︒，//BC AD ，8AD =，4AB BC ==，M 为线段AD 中点．将ABC ∆沿AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到几何体B ACD-（如图2)．（1）求证：CD ⊥平面ABC ；（2）求AB 与平面BCM 所成角θ的正弦值．【分析】（1）利用勾股定理证明CD AC ⊥，再结合面面垂直，证明线面垂直；（2）取AC 的中点O 连接OB ，根据题意，以O 为原点，以OM ，OC ，OM 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0A ，2-0)，(0B ，0，2)，(0C ，20)，(22M ，0，0)，求出平面BCM 的法向量，再利用夹角公式求出即可．【解答】解：（1）由90ABC ∠=︒，//BC AD ，8AD =，4AB BC ==， 所以42AC =42CD =，8AD =， 所以222AD CD AC =+，CD AC ⊥，又平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC ⋂平面ACD AC =， 所以CD ⊥平面ABC ；（2）取AC 的中点O 连接OB ，根据题意，以O 为原点， 以OM ，OC ，OM 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0A ，22-0)，(0B ，0，2)，(0C ，220)，(22M 0，0)，所以(0CB =，22-，22)，(22CM =，22-，0)，(0BA =，22-，22)-， 设平面BCM 的法向量为(,,)m x y z =， 2222022220m CB y z m CM x y ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩，得(1,1,1)m =， 所以|2222|26sin |cos ,|3433m BA θ--=<>===．【点评】考查线面垂直，面面垂直，考查向量法求法向量，夹角公式求线面角的余弦值，中档题．19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，等比数列{}n b 的公比(1)q q >，且34528b b b ++=，42b +是3b 和5b 的等差中项．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令211n n n c b a =+-，{}n c 的前n 项和记为n T ，若2n T m 对一切*n N ∈成立，求实数m 的最大值．【分析】（1）运用数列的递推式：1n =时，112a S ==，2n 时，1n n n a S S -=-，可得n a ；再由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，进而得到所求n b ；（2）求得11122111111222()141(21)(21)22121n n n n n n c b a n n n n n ---=+=+=+=+----+-+，再由数列的分组求和、裂项相消求和，化简整理可得所求和n T ，判断单调性可得最小值，结合恒成立思想可得所求最大值．【解答】解：（1）数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+， 可得1n =时，112a S ==，2n 时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=，对1n =也成立，则2n a n =，*n N ∈；等比数列{}n b 的公比(1)q q >，由34528b b b ++=，可得23411128b q b q b q ++=， 由42b +是3b 和5b 的等差中项，可得43542(2)28b b b b +=+=-，即3418b b q ==， 解得11b =，2q =， 则12n n b -=，*n N ∈； （2）11122111111222()141(21)(21)22121n n n n n n c b a n n n n n ---=+=+=+=+----+-+， 1111111121111(122)(1)(1)22335212112221242n n n n T n n n n --=++⋯++-+-+⋯++-=+-=---+-++， 由11{2}242n n --+为自然数集上的增函数，可得1n =时，112242n n --+取得最小值43， 若2n T m 对一切*n N ∈成立，可得83m ， 则实数m 的最大值为83．【点评】本题考查数列的递推式的运用，等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的分组求和、裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．20．（12分）有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下．现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用a 、b 、c 表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标a b c λ=++的值评定石榴的等级，若4λ则为一级；若23λ则为二级；若01λ则为三级．f 近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园，得到如下结果：（1）若有石榴种植园120个，估计等级为一级的石榴种植园的数量；（2）在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，ξ表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【分析】（1）根据题中的表格统计出12块种植地的综合指标，找出等级为一级的石榴种植园的频率，即可得解；（2）由（1）中统计的表格，得出样本中二级和三级石榴种植园的数量，再分别求出ξ的每个取值所对应的概率即可得解．【解答】解：（1）计算12块种植地的综合指标，如下表所示：由表可知，等级为一级的有5个，其频率为512， 用样本的频率估计总体的频率，可估计等级为一级的石榴种植园的数量为51205012⨯=． （2）所取样本中二级和三级石榴种植园共有527+=块，三级石榴种植园有2块，则ξ的所有可能取值为0，1，2，02252710(0)21C C P C ξ===；11252710(1)21C C P C ξ===；2025271(2)21C C P C ξ===．所以随机变量ξ的分布列如表所示： 数学期望101014()0122121217E ξ=⨯+⨯+⨯=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生对数据分析的能力，属于基础题．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>过点(1,1)M 离心率为22．（1）求Γ的方程；（2）如图，若菱形ABCD 内接于椭圆Γ，求菱形ABCD 面积的最小值．【分析】（1）由题意列关于a ，b ，c 的方程组，求解即可得到椭圆的方程；（2）设直线1:AC y k x =，直线2:BD y k x =．联立方程组推导出21213|||||121OA OC k k ===++．212113||||121OB OD k k ==++，写出菱形ABCD 的面积2||||S OA OB =，由此利用均值定理能求菱形ABCD 的面积最小值． 【解答】解：（1）由题意，222221112a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2233,2a b ==．∴椭圆Γ的方程为222133x y +=；（2）菱形ABCD 内接于椭圆Γ，由对称性可设直线1:AC y k x =，直线2:BD y k x =．联立22123x y y k x⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得方程221(21)30k x +-=，∴2221321A C x x k ==+，21213||||121OA OC k k ∴=++同理，2223||||21OB OD k ==+又AC BD ⊥，23||||21OB OD ∴==+，其中10k ≠．从而菱形ABCD 的面积S 为： 2122113132||||2112211S OA OB k k k ==++++，整理得4S =，其中10k ≠．当且仅当111k k =时取“=”， ∴当11k =或11k =-时，菱形ABCD 的面积最小，该最小值为4．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查菱形面积最小值的求法，训练了直线与椭圆位置关系的综合应用及利用基本不等式求最值，是中档题．22．（12分）已知函数()sin (1)f x x aln x =-+，a R ∈，()f x '是()f x 的导函数． （1）若2a =，求()f x 在0x =处的切线方程； （2）若()f x 在[,]42ππ上单调递增，求a 的取值范围；（3）求证：当20(1)2a π<<+时()f x '在区间(1,)2π-内存在唯一极大值点．【分析】（1）对函数进行求导，利用导数的几何意义进行求解即可；（2）求函数进行求导，让导函数大于或等于零，进行常变量分离，构造新函数，然后利用导数求出新构造函数单调性，最后求出a 的取值范围；（3）对()f x '再求导，求出该函数的单调性，进而证明函数有唯一极大值点即可． 【解答】解：（1）当2a =，2()cos 1f x x x '=-+，(0)1f '=-，又(0)0f =， 所以()f x 在0x =处的切线方程为0x y +=； （2）由()cos 01af x x x '=-+， 所以(1)cos a x x +，令()(1)cos h x x x =+，[,]42x ππ∈，则()cos (1)sin h x x x x '=-+，第21页（共21页）因为2cos 2x，2(1)sin (1)24x x π++，所以()0h x '<， ()h x 在[,]42ππ递减，所以()()02h x h π=，0a ； （3）因为()cos 1a f x x x '=-+， 令()cos 1a g x x x =-+，x ∈，2()sin (1)a g x x x '=-++， 显然()g x '单调递减，又20(1)2a π<<+， 得2()102(1)2a g ππ'=-+<+，取01x =-，则000()sin 4sin 0g x x x '=-=->，故存在(1,)2m π∈-，使得()0g m '=， (1x ∈-，)()m g x 单调递增，(,)2x m π∈单调递减， m 为()g x 的唯一极大值点，故命题成立． 【点评】本题考查了利用导数求函数的切线，考查了利用导数研究函数的极值问题，考查了数学运算能力，中档题．。

2020年安徽省淮北市高考一模数学理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1.设复数Z 满足(1+i)Z=i ，则|Z|=( )B.12D.2解析：由(1+i)Z=i ，得()()()11112211i i i Z i i i i -=+++-＝＝，∴Z =. 答案：A2.已知A={x|x 2﹣2x ﹣3≤0}，B={y|y=x 2+1}，则A ∩B=( ) A.[﹣1，3] B.[﹣3，2] C.[2，3] D.[1，3]解析：A={x|x 2﹣2x ﹣3≤0}={x|﹣1≤x ≤3}，B={y|y=x 2+1}={y|y ≥1}，则A ∩B={x|1≤x ≤3}=[1，3]， 答案：D3.函数()1ln f x xx=+的图象大致为( )A.B.C.D.解析：当x ＜0时，函数()()1ln f x x x =+-，由函数y=1x、y=ln(﹣x)递减知函数f(x)=()1ln xx+-递减，排除CD ； 当x ＞0时，函数f(x)=()1ln x x +，此时，f(1)=1ln11+=1，而选项A 的最小值为2，故可排除A ，只有B 正确.答案：B4.《九章算术》是我国古代第一部数字专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如图所示程序框图，若输入的a 、b 分别为96、42，则输出的i 为( )A.4B.5C.6D.7解析：由程序框图可知：当a=96，b=42时，满足a ＞b ，则a=96﹣42=54，i=1 由a ＞b ，则a=54﹣42=12，i=2 由a ＜b ，则b=42﹣12=30，i=3 由a ＜b ，则b=30﹣12=18，i=4由a ＜b ，则b=18﹣12=6，i=5 由a ＞b ，则a=12﹣6=6，i=6 由a=b=6，输出i=6. 答案：C5.如果实数x ，y 满足关系1020x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩，又273x y x λ+-≥-恒成立，则λ的取值范围为( )A.(﹣∞，﹣1]∪[95，+∞) B.(﹣∞，3] C.[95，+∞) D.(3，+∞) 解析：设271233x y y z x x +--==+--， z 的几何意义是区域内的点到D(3，1)的斜率加2， 作出实数x ，y 满足关系1020x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩对应的平面区域如图：由图形，可得C(1322，)，由图象可知，直线CD 的斜率最小值为=132********⨯+-=-， ∴z 的最小值为95，∴λ的取值范围是(﹣∞，﹣1]∪[95，+∞).答案：A6.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.73 B.83π- C.83 D.73π- 解析：由三视图得该几何体是从四棱锥P ﹣ABCD 中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2， 圆锥的底面半径是1、高是2， ∴所求的体积21118222123233V ππ-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=. 答案：B7.已知等比数列{a n }中，a 5=3，a 4a 7=45，则7957a a a a --的值为( )A.3B.5C.9D.25解析：根据题意，等比数列{a n }中，a 5=3，a 4a 7=45， 则有476515a a a a ==， 则655a q a ==， 则2227957575725a a a q a q q a a a a -⋅-⋅===--； 答案：D8.已知F 是双曲线22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点，若点F 关于双曲线的一条渐近线对称的点恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为( )解析：设F(c ，0)，渐近线方程为b y x a=， 对称点为F'(m ，n)，即有n am c b =-+，且()1122b m c n a-⋅=⋅， 解得222b a ab m n c c -==-，，将F'(222b a ab c c --，)，即(2222c a ab c c--，)， 代入双曲线的方程可得()222222222241c a a b c a c b --=， 化简可得22c a﹣4=1，即有e 2=5，解得答案：C9.函数f(x)在定义域R 内可导，若f(1+x)=f(3﹣x)，且当x ∈(﹣∞，2)时，(x ﹣2)f′(x)＜0，设a=f(0)，b=f(1 2)，c=f(3)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＞b ＞c B.c ＞a ＞b C.c ＞b ＞a D.b ＞c ＞a解析：∵f(1+x)=f(3﹣x)，∴函数f(x)的图象关于直线x=2对称， ∴f(3)=f(1).当x ∈(﹣∞，2)时，(x ﹣2)f′(x)＜0， ∴f′(x)＞0，即f(x)单调递增， ∵0＜1 2＜1，∴f(0)＜f(1 2)＜f(2)， 即a ＜b ＜c. 答案：C10.已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为6x π=-，且f(x 1)·f(x 2)=﹣16，则|x 1+x 2|的最小值为( )A.3π B.2π C.23π D.34π解析：()sin f x a x x =-=()x θ+，由于函数f(x)的对称轴为：6x π=-，所以()1362f a π-=--，则132a --= 解得：a=2； 所以：f(x)=4sin(x ﹣3π)， 由于：f(x 1)·f(x 2)=﹣16，所以函数f(x)必须取得最大值和最小值，所以：x 1=2kπ+56π或x 2=2kπ﹣6π，k ∈Z ； 所以：|x 1+x 2|的最小值为23π. 答案：C11.对于向量a ，b ，定义a ×b 为向量a ，b 的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a ×b 的模|a ×b|=|a||b|sinθ(其中θ为向量a 与b 的夹角)，a ×b 的方向与向量a ，b 的方向都垂直，且使得a ，b ，a ×b 依次构成右手系.如图，在平行六面体ABCD ﹣EFGH 中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，则()AB AD AE ⨯⋅u u u r u u u r u u u r=( )A.4B.8C.D.解析：据向量积定义知，向量AB AD ⨯u u u r u u u r 垂直平面ABCD ，且方向向上，设AB AD ⨯u u u r u u u r 与AE u u u r所成角为θ.∵∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，∴点E 在底面ABCD 上的射影在直线AC 上.作EI ⊥AC 于I ，则EI ⊥面ABCD ，∴θ+∠EAI=2π. 过I 作IJ ⊥AD 于J ，连EJ ，由三垂线逆定理可得EJ ⊥AD.∵AE=2，∠EAD=60°，∴AJ=1，.又∵∠CAD=30°，IJ ⊥AD ，∴.∵AE=2，EI ⊥AC ，∴cos AI EAI AE ∠==.∴()sin sin cos cos 2EAI EAI πθθ=-∠=∠==故()sin cos 8AB AD AE AB AD BAD AE θ⨯⋅=∠==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 答案：D12.若存在实数x 使得关于x 的不等式(e x﹣a)2+x 2﹣2ax+a 2≤12成立，则实数a 的取值范围是( )A.{12} B.{14} C.[12，+∞) D.[14，+∞)解析：不等式(e x﹣a)2+x 2﹣2ax+a 2≤12成立， 即为(e x﹣a)2+(x ﹣a)2≤12， 表示点(x ，e x)与(a ，a)的距离的平方不超过12， 即最大值为12. 由(a ，a)在直线l ：y=x 上，设与直线l 平行且与y=e x相切的直线的切点为(m ，n)，可得切线的斜率为e m=1， 解得m=0，n=1，切点为(0，1)，由切点到直线l 的距离为直线l 上的点与曲线y=e x的距离的最小值， 可得(0﹣a)2+(1﹣a)2=12， 解得a=12，则a 的取值集合为{12}. 答案：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.已知等差数列{a n }前15项的和S 15=30，则a 2+a 9+a 13=______. 解析：∵设等差数列的等差为d ，{a n }前15项的和S 15=30， ∴()11515302a a +=，即a 1+7d=2，则a 2+a 9+a 13=(a 1+d)+(a 1+8d)+(a 1+12d)=3(a 1+7d)=6. 答案：614.若()12nx x+的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为______.解析：由题意可知，2n=256，解得n=8.∴()()81122nx x xx +=+，其展开式的通项()()8882188122rrr rr r r T C x C x x---+⋅⋅=⋅⋅＝，令8﹣2r=0，得r=4.∴该展开式中常数项的值为445821120T C ⋅＝＝. 答案：112015.已知函数f(x)的定义域为R ，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，下列结论正确的序号是______. ①f(x)＜0恒成立；②(x 1﹣x 2)[f(x 1)﹣f(x 2)]＜0； ③(x 1﹣x 2)[f(x 1)﹣f(x 2)]＞0；④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫⎪⎝⎭＞ ⑤()()121222f x f x x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭＜解析：由导函数的图象可知，导函数f′(x)的图象在x 轴下方，即f′(x)＜0，故原函数为减函数，并且是，递减的速度是先快后慢.所以f(x)的图象如图所示：f(x)＜0恒成立，没有依据，故①不正确；②表示(x1﹣x2)与[f(x1)﹣f(x2)]异号，即f(x)为减函数.故②正确；③表示(x1﹣x2)与[f(x1)﹣f(x2)]同号，即f(x)为增函数.故③不正确，④⑤左边边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边，故④不正确，⑤正确，综上，正确的结论为②⑤.答案：②⑤16.在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，M是直线DE上的动点.若△ABC的面积为2，则2MB MC BC⋅+u u u r u u u u r u u u r的最小值为______.解析：∵D、E是AB、AC的中点，∴M到BC的距离等于点A到BC的距离的一半，∴S△ABC=2S△MBC，而△ABC的面积2，则△MBC的面积S△MBC=1，S△MBC=12丨MB丨·丨MC丨sin∠BMC=1，∴2sinMB MCBMC ⋅=∠u u u r u u u u r丨丨丨丨.∴2coscossinBMC MB MC MB MC BMCBMC∠⋅=⋅∠=∠u u u r u u u u r.由余弦定理，丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨·丨CM丨cos∠BMC，显然，BM、CM都是正数，∴丨BM丨2+丨CM丨2≥2丨BM丨·丨CM丨，∴丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC=22cos22sin sinBMCBMC BMC∠⨯-⨯∠∠.∴22cos22cos22sin sin sinBMC BMC MB MC BCBMC BMC BMC∠∠⋅++⨯-⨯∠≥∠∠u u u r u u u u r u u u r=2cos2sinBMCBMC-∠⋅∠，方法一：令y=2cos sin BMC BMC -∠∠，则y′=212cos sin BMC BMC-∠∠，令y′=0，则cos ∠BMC=12，此时函数在(0，12)上单调减，在(12，1)上单调增，∴cos ∠BMC=12时，2cos sin BMC BMC-∠∠，2MB MC BC ⋅+u u u r u u u u r u u u r 的最小值为方法二：令y=2cos sin BMCBMC-∠∠，则ysin ∠BMC+cos ∠BMC=2∠BMC+α)=2， tanα=1y， 则sin(∠BMC+α1，解得：y则2MB MC BC ⋅+u u u r u u u u u r 的最小值为答案：三、解答题.(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且acosB=(3c ﹣b)cosA. (1)求cosA 的值；(2)若b=3，点M 在线段BC 上，2AB AC AM AM +==u u u r u u u r u u u u r u u u u r，ABC 的面积. 解析：(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得sinC=3sinCcosA ，结合sinC ≠0，可求cosA 的值.(2)将2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r两边平方，利用平面向量数量积的运算可求c 的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解.答案：(1)因为acosB=(3c ﹣b)cosA ，由正弦定理得：sinAcosB=(3sinC ﹣sinB)cosA ， 即sinAcosB+sinBcosA=3sinCcosA ，可得：sinC=3sinCcosA ， 在△ABC 中，sinC ≠0，所以1cos 3A ＝.(2)∵2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r ，两边平方得：22224AB AC AB AC AM ++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r ，由b=3，AM =u u u u r 1cos 3A ＝，可得：219234183c c ++⨯⨯⨯⨯＝，解得：c=7或c=﹣9(舍)，所以△ABC 的面积1732S ⨯⨯＝18.在如图所示的圆台中，AB ，CD 分别是下底面圆O ，上底面圆O′的直径，满足AB ⊥CD ，又DE 为圆台的一条母线，且与底面ABE 成角3π. (Ⅰ)若面BCD 与面ABE 的交线为l ，证明：l ∥面CDE ；(Ⅱ)若AB=2CD ，求平面BCD 的与平面ABE 所成锐二面角的余弦值.解析：(Ⅰ)在圆台OO′中，由CD ⊂圆O′，可得CD ∥平面ABE ，再由线面平行的性质可得l ∥CD ，进一步利用线面平行的判定可得l ∥面CDE ；(Ⅱ)连接OO′、BO′、OE ，则CD ∥OE ，由已知AB ⊥CD ，得AB ⊥OE ，再由三垂线定理得O′B ⊥OE ，即O′B⊥CD ，可得∠O′BO 就是求面BCD 与底面ABE 所成二面角的平面角.设AB=4，由母线与底面成角3π，求解三角形可得平面BCD 的与平面ABE 所成锐二面角的余弦值. 答案：(Ⅰ)证明：如图，在圆台OO′中，∵CD ⊂圆O′，∴CD ∥平面ABE ，∵面BCD ∩面ABE=l ，∴l ∥CD ，∵CD ⊂平面CDE ，l ⊄平面CDE ，∴l ∥面CDE ；(Ⅱ)解：连接OO′、BO′、OE ，则CD ∥OE ，由AB ⊥CD ，得AB ⊥OE ，又O′B 在底面的射影为OB ，由三垂线定理知：O′B⊥OE ，∴O′B⊥CD ，∴∠O′BO 就是求面BCD 与底面ABE 所成二面角的平面角.设AB=4，由母线与底面成角3π，可得OE=2O′D=2，DE=2，OB=2∴cos .19.如图为2020届淮北师范大学数学与应用数学专业N 名毕业生的综合测评成绩(百分制)分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人.(Ⅰ)求该专业毕业总人数N 和90～95分数段内的人数n ；(Ⅱ)现欲将90～95分数段内的n 名毕业生随机的分配往A 、B 、C 三所学校，若每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法？(Ⅲ)若90～95分数段内的这n 名毕业生中恰有两女生，设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往乙学校的两名学生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望.解析：(Ⅰ)先求出80～90分数段的毕业生的频率和学员总数，由此能求出毕业生的总人数N ，从而求出90～95分数段内的人数频率，进而能求出90～95分数段内的人数.(Ⅱ)将90～95分数段内的6名毕业生随机的分配往A 、B 、C 三所学校，每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，利用排列数公式能出共有多少不同的分配方法. (Ⅲ)ξ所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望.答案：(Ⅰ)80～90分数段的毕业生的频率为：p 1=(0.04+0.03)×5=0.35，此分数段的学员总数为21人，∴毕业生的总人数N 为N=210.35=60， 90～95分数段内的人数频率为：p 2=1﹣(0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01)×5=0.1，∴90～95分数段内的人数n=60×0.1=6.(Ⅱ)将90～95分数段内的6名毕业生随机的分配往A 、B 、C 三所学校，每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校， 共有：2234232218C C A A ⋅=不同的分配方法. (Ⅲ)ξ所有可能取值为0，1，2，()0224266015C C P C ξ===， ()1124268115C C P C ξ===， ()2022461215P C C C ξ===， 所以ξ的分布列为：ξ 01 2 P 615 815 115所以随机变量ξ数学期望为()68120121515153E ξ=⨯+⨯+⨯=.20.已知椭圆C ：22221y x a b+=(a ＞b ＞0)，其左右焦点为F 1，F 2，过F 1直线l ：与椭圆C 交于A ，B 两点，且椭圆离心率； (Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ) 若椭圆存在点M，使得2OM OA =+u u u u r u u u r u u r ，求直线l 的方程.解析：(I)过F 1直线l ：，以及离心率结合a 、b 、c关系，求解即可得到椭圆方程.(II)设AB 的方程为y=k(x ﹣2)，联立直线与椭圆的方程组，利用判别式求出k 的范围，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x 3，y 3)，利用韦达定理以及，即可求出m 的值，得到直线l 的方程 答案：(Ⅰ)过F 1直线l ：=0，令y=0，解得x=，∴∵c e a ==， ∴a=2，∴b 2=a 2﹣c 2=4﹣3=1，∴椭圆C 的方程为2214x y +=； (Ⅱ)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x 3，y 3)，由2OM OA =u u u u r u u u r u u r，得：3123121122x x x y y y ==，代入椭圆方程可得：22121211110422x x y y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()())2222112212121131 414444x y x y x x y y ++++=， ∴x 1x 2+4y 1y 2=0联立方程220440x my x y ⎧++⎪⎨+-⎪⎩＝消x 可得(m 2+4)y 2+﹣1=0，∴1212214y y y y-+==+， ∴x 1x 2+4y1y 2=(my 1)(my 21y 2=(m 2+4)4y 1y 2m(y 1+y 2)+3=0，即m 2=2， 解得m=所求直线l 的方程：0x ±+=.21.设函数f(x)=12x 2﹣alnx ，其中a ∈R. (1)若函数f(x)在[1 2，+∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)设正实数m 1，m 2满足m 1+m 2=1，当a ＞0时，求证：对任意的两个正实数x 1，x 2，总有f(m 1x 1+m 2x 2)≤m 1f(x 1)+m 2f(x 2)成立；(3)当a=2时，若正实数x 1，x 2，x 3满足x 1+x 2+x 3=3，求f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)的最小值.解析：(1)求得f(x)的导数，由题意可得f′(x)=x ﹣a x ≥0在[1 2，+∞)恒成立，运用参数分离和二次函数的最值，即可得到所求范围；(2)求得f(x)的导数，及二阶导数，判断符号，由凹凸函数的性质，即可得证；(3)求得f(x)的导数，以及二阶导数，判断符号，由凹凸函数的性质，即可得到所求最小值.答案：(1)函数f(x)=12x 2﹣alnx ， 导数为f′(x)=x ﹣a x，函数f(x)在[1 2，+∞)上单调递增，可得f′(x)=x ﹣a x ≥0在[1 2，+∞)恒成立， 即为a ≤x 2的最小值，由x 2在[12，+∞)的最小值为1 4， 可得a ≤1 4； (2)证明：由f(x)=12x 2﹣alnx ，a ＞0， 可得f′(x)=x ﹣a x ，f″(x)=1+2a x＞0， 即有f(x)为凹函数，由m 1+m 2=1，可得对任意的两个正实数x 1，x 2，总有f(m 1x 1+m 2x 2)≤m 1f(x 1)+m 2f(x 2)成立；(3)由f(x)=12x 2﹣2lnx ， 可得导数为f′(x)=x ﹣2x ， f″(x)=1+22x ＞0，则f(x)为凹函数， 有()()()123123[133]x x x f f x f x f x ++⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭， 即为()()()()123123[]313313322x x x f x f x f x f f ++⎛⎫++==⨯⨯ ⎪⎝≥⎭， 则f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)的最小值为32.选做题.(10分)[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=θ﹣4π)，直线l 的参数方程为1x t y t-⎧⎨+⎩＝＝t 为参数，直线l 和圆C 交于A ，B 两点.(Ⅰ)求圆C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设l 上一定点M(0，1)，求|MA|·|MB|的值.解析：(Ⅰ)圆C 的极坐标方程转化为ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，由此能求出圆C 的直角坐标方程.(Ⅱ)直线l的参数方程化为1x y ⎧'⎪⎪⎨⎪'⎪⎩＝＝，t′为参数，代入(x+1)2+(y ﹣1)2=2，得t '2'﹣1=0，由此能求出|MA|·|MB|.答案：(Ⅰ)∵圆C 的极坐标方程为：())sin cos cos sin 2sin 2cos 444πππρθθθθθ=-=-=-， ∴ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，∴圆C 的直角坐标方程x 2+y 2=2y ﹣2x ，即(x+1)2+(y ﹣1)2=2.(Ⅱ)直线l 的参数方程为1x t y t-⎧⎨+⎩＝＝，t 为参数，直线l的参数方程可化为1x y ⎧'⎪⎪⎨⎪'⎪⎩＝＝，t′为参数，代入(x+1)2+(y ﹣1)2=2，得2212⎛⎫⎫'++'= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得：t '2'﹣1=0，∴121t t '⋅'=-，∴|MA|·|MB|=121t t '⋅'=.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x ﹣m|﹣3，且f(x)≥0的解集为(﹣∞，﹣2]∪[4，+∞).(Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)若∃x ∈R ，使得f(x)≥t+|2﹣x|成立，求实数t 的取值范围.解析：(Ⅰ)利用不等式的解集，列出方程即可求m 的值；(Ⅱ)利用已知条件，转化求解函数的最值，然后推出结果即可.答案：(Ⅰ)∵函数f(x)=|x ﹣m|﹣3，且f(x)≥0的解集为(﹣∞，﹣2]∪[4，+∞). 即|x ﹣m|﹣3≥0的解集为(﹣∞，﹣2]∪[4，+∞).∴m+3=4，m ﹣3=﹣2，解得m=1.(Ⅱ)∵∃x ∈R ，使得f(x)≥t+|2﹣x|成立，即|x ﹣1|﹣3≥t+|2﹣x|，∴∃x ∈R ，|x ﹣1|﹣|2﹣x|≥t+3， 令g(t)=|x ﹣1|﹣|x ﹣2|=11231212x x x x -≤⎧⎪-≤⎨⎪⎩，，＜，＞， ∴∃x ∈R ，|x ﹣1|﹣|2﹣x|≥t+3成立，∴t+3≤g(x)max =1，∴t ≤﹣2.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

淮北一中2020届高三下第五次考试数学（文）试题参考答案一、选择题A D AB B BC B C A B C二、填空题13．3-14．915．1116．4π三、解答题（1）取11A B 中点P ，连接PN ，由于,P N 分别为1111,A B B C 的中点，所以1112PNAC P 而1112MC A C P ，则PN MC P ，所以PNCM 为平行四边形，所以CN PM P 又因为CN ⊄面11MA B ，PM ⊂面11MA B ，所以CNP 平面11MA B （2）由（1）知C N 、到面11MA B 距离相等，则111111111111132332M A B C C A B M N A B M M A B N A B N V V V V S AA ----====⋅=⋅⋅18解：（1）由正弦定理：sin 30sin BD AB ADB =︒∠，3sin 2ADB C DAC ∴∠==∠+∠60DAC ∠=︒，从而60C ∠=︒（2）设12BD CD a ==，3AB a ∴=，6AC a =从而6cos 3C =，余弦定理得222222cos6022AD AC CD AD CD a ︒=+-⋅⋅==得2a =，所以32BC =19．解：（1）由散点图可知选择模型①．（2）由（1），知y 关于x 的回归方程为2y bx a =+$，令2z x =，则y bz a =+$．由所给数据得：1(1491625364964)25.58z =+++++++=，1(481631517197122)508y =+++++++=，()()()818216868 1.93570i ii i i z z y y b z z ==--==≈-∑∑$，50 1.925.5 1.6a y bz =-≈-⨯≈$$，y ∴关于x 的回归方程为21.9 1.6y x =+$．（3）预测该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为21.99 1.6155.5156y =⨯+=≈$（人）．20．解：（1）,A B 到准线的距离之和等于到焦点距离之和，即为||AB ，最小为通径28p =，4p =抛物线方程为28y x=（2）代入曲线得(8,8)P ，设()()1122,,A x y B x y 直线:2l x my =+，（m 不存在时为直线2x =，(2,4)(2,4)A B -，检验成立）联立得28(2)y my =+，1216y y =-，128y y m +=PA 直线为111888(8)(8)88y y x x x y --=-=--+代入准线2x =-得：11180816888M y y y y --=+=++同理可得228168N y y y -=+()()()12121212642244,4,168864M N y y y y MF NF y y y y y y --+⋅=⋅=++++uuu r uuu r ()()121212121212161281664642248864y y y y y y y y y y y y +++⋅+--+=+++12121280166446408864y y y y y y +⋅+⋅==+++21．解：（1）设切点为()00,x y ，则()()000000014x x x e g x x e x -'==++，化简得200054x x x =++，所以02x =-，2k e-=-切线为2(4)y e x -=-+（2）设()()()F x g x f x =-，即讨论()F x 零点个数．()()(1)2(1)(1)2x x F x x e a x x e a '=+-+=+-0a =时，()F x 只有一个零点；0a <时，()F x 在(,1)-∞-↓，(1,)-+∞↑1(1)0F e-=-<，x →-∞，x →+∞时，()F x 均→+∞，此时，()F x 有两个零点0a >时，x →-∞时()F x →-∞，x →+∞时()F x →+∞由()0F x '=得1x =-，ln(2)x a =若12a e =时，()F x 在R 单增，只有一个零点；若12a e ≠时，1(1)0F e -=-<，2(ln(2))ln (2)0F a a a a =--<极大值极小值均小于0，从而也只有一个零点．综上，0a ≥时，只有一个交点；0a <时，有两个交点．22．解：（1）曲线C 的普通方程为2244x y +=，极坐标方程为()2213sin 4ρθ+=（2）设()1,M ρθ，2,2N πρθ⎛⎫± ⎪⎝⎭，代入曲线得：()22113sin 4ρθ+=，()22213cos 4ρθ+=则()()221222222161616166492549sin cos 2513sin 13cos 4sin 244ρρθθθθθ===≥=++++当4πθ=，357,,444πππ时可以取等．所以OMN △面积为121425S ρρ=≥23．解：（1）4,244,12()22,114,1x x x f x x x x ≥⎧⎪-≤<⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎩min ()4f x ∴=-，即4a ≥-（2）由（1）可得()y f x =的图象如下要使()||4f x x b ≤--恒成立，当函数||4y x b =--的一段经过点(2,4)时满足要求，此时6b =-，结合图象可知，当6b ≤-时满足条件．。

第 I 卷一、选择题（每小题5分，共50分） 1.复数的虚部为（ ）A ．－lB ．C ．－D ．－i 2. 已知，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ． 3.已知关于的方程的两个实数根满足，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D.4.是不同的直线，是不重合的平面，下列结论正确的是（ ）A ．若,,m m αβαβ⊂⊥则⊥B ．若C ．若,,m m n n αα∥∥则∥D ．若,,m m αβαβ⊥∥则⊥5. 已知函数（其中）的部分图象如右图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（ ）A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向左平移个长度单位 6.设是等差数列的前项和，若，则（ ）A.103B.31C.81D.917.若正数满足，则的取值范围是（ ）A ． Ｂ． C ． D ．8. 抛物线上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ）A ． Ｂ． C ． D ．3 9. 已知)(x f y =为上的可导函数，当0≠x 时，0)()(>+'xx f x f ，则关于x 的函数的零点个数为（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 310.在△ABC 所在平面上有三点P 、Q 、R ，满足，→→→→=++3AB PC PB 3PA ，→→→→=++BC 3QC 3QB QA →→→→=++CA 3RC RB 3RA 则的面积与的面积之比为（ ）A ．1:2B ．C ． 12:13D ． 13:25第 II 卷 二、填空题（每小题5分，共25分）11.函数xx x x x f +--=)2ln()(2的定义域为 .12.某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的值是___ .14. 定义在上的函数满足是偶函数且是奇函数，又，则 ；15. 角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点，且；角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限内的点，且．对于下列结论： ①（－，－）； ②＝； ③； ④的面积为，其中正确结论的编号是 三、解答题（本大题6小题，共75分） 16．（本题满分12分）在中，内角的对边分别为 已知． （1）求的值； （2）求的值．17.（本题满分12分）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图．（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高为176cm 的同学被抽中的概率．18.（本题满分12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA 1垂直于底面ABC ，AA 1=233，D 是CB 延长线上一点，且BD=BC ． （1）求证：直线BC 1∥平面AB 1D ； （2）求三棱锥C 1﹣ABB 1的体积．19.（本题满分13分）设数列的前n 项和为，点(),n n a S 在直线20x y +-=上，()n N +∈. （1）求证：数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （2）设直线n a x =与函数2)(x x f =的图像交于点nA ，与函数x x g 21log )(=的图像交于点nB，记（其中O 为坐标原点），求数列{}n b 的前n 项和.20．（本题满分13分）已知椭圆的右焦点为)0,2(2F ，实轴的长为24．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点)0,2(1-F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点和，求的最小值．21.（本题满分13分）已知函数x a a x a x x f )()12(2131)(223+++-=. （Ⅰ）若在处取得极大值，求实数a 的值；（Ⅱ）若，直线都不是曲线的切线，求的取值范围； （Ⅲ）若，求在区间［0，1］上的最大值。

安徽省淮北市2020届高三最后一卷理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若复数z 满足()112i z i =-+g ，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A ．12i - B ．12i C ．12- D ．12【答案】C考点：复数的运算，复数的概念．2. 命题“00,10x R x ∃∈+<或2000x x ->”的否定形式是（ ） A ．00,10x R x ∃∈+≥或2000x x -≤ B ．,10x R x ∀∈+≥或20x x -≤ C ．00,10x R x ∃∈+≥且2000x x -≤ D ．,10x R x ∀∈+≥且20x x -≤【答案】D 【解析】试题分析：命题“00,10x R x ∃∈+<或2000x x ->”的否定形式“,10x R x ∀∈+≥且20x x -≤”．故选D ．考点：命题的否定． 3. 已知()1sin cos ,0,2αααπ+=∈，则1tan 1tan αα-=+（ ） A ．7- B 7 C 3 D ．3-【答案】A 【解析】试题分析：21(sin cos )4αα+=，3sin cos 8αα=-，所以cos 0,sin 0αα<>，27(cos sin )12sin cos 4αααα-=-=，7cos sin αα-=所以71tan cos sin 2711tan cos sin 2αααααα---===-++．故选A ． 考点：同角间的三角函数关系． 4. 设函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a <≤B ．4a ≥C ．2a ≤D ．03a <≤ 【答案】A考点：函数的单调性．5. 已知随机变量()2,4X N :，随机变量31Y X =+，则（ ）A ．()6,12Y N :B ．()6,37Y N :C ．()7,36Y N :D ．()7,12Y N : 【答案】C 【解析】试题分析：27X Y =⇒=，22()4()9436σX σY =⇒=⨯=，因此(7,36)Y N :．故选C ． 考点：正态分布．6. 若P 在双曲线2211620x y -=上，1F 为左焦点，1=9PF ，则2PF =（ ） A ．1 B ．1或17 C ．41 D ．17 【答案】D 【解析】试题分析：4a =，6c =，若P 在双曲线右支上，则110最小值PF a c =+=9>，因此P 在双曲线的左支上，所以2128PF PF a -==，217PF =．故选D ． 考点：双曲线的定义．7. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么近似公式2275V L h ≈，相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A ．227 B ．258 C ．15750 D ．355113【答案】B考点：圆锥的体积．8. 淮北一中有5名优秀毕业生到市内一所初中的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名同学的不同分派方法种数为（ ）A ．150B ．180C ．200D ．280 【答案】A 【解析】试题分析：22333533531502C C A C A +=． 考点：排列组合的综合应用． 【名师点睛】解决分组分配问题的策略1．对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A nn (n 为均分的组数)，避免重复计数．2．对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．3．对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．9. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为（ ）A ．18 B ．12 C ．14D ．1 【答案】D考点：程序框图，周期数列．10. 现定义cos sin i e i θθθ=+，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底数，R θ∈，且实数指数幂的运算性质对i e θ都适用，若0523244555cos cos sin cos sin a C C C θθθθθ=-+，1432355555cos sin cos sin sin b C C C θθθθθ=-+，那么复数a bi +等于（ ）A ．cos5sin5i θθ+B ．cos5sin5i θθ-C ．sin5cos5i θθ+D ．sin5cos5i θθ- 【答案】A 【解析】 试题分析：05232441432355555555cos cos sin cos sin (cos sin cos sin sin )a bi C θC θθC θC θθC θθC θi +=-++-+ 051423223233444555555555cos cos sin cos sin cos sin cos sin sin C θC θi θC θi θC θi θC θi C i θ=+⋅+⋅+⋅+⋅+5(cos sin )cos5sin 5θi θθi θ=+=+．故选A ．考点：复数的运算，二项式定理．11. 如图，网格上纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为（ ）A ．43B ．43C ．83D ．23 【答案】C考点：三视图，体积．【名师点睛】象这种画在方格纸中的三视图，常常可以看作是由基本几何体（如正方体、长方体）切割出的几何体的三视图，因此由这样的三视图作直观图时，可以画出正方体（或长方体），在此基础上切割并想象三视图得到所需几何体的直观图． 12. 已知实数a b c <<，设方程1110x a x b x c++=---的两个实根分别为()1212,x x x x <，则下列关系 中恒成立的是（ ）A ．12x a b x c <<<<B ．12a x b x c <<<<C ．12a x x b c <<<<D ．12a x b c x <<<< 【答案】B 【解析】 试题分析：方程1110x a x b x c++=---可化为()()()()()()0x a x b x a x c x b x c --+--+--=，记()()()()()()()f x x a x b x a x c x b x c =--+--+--，这是二次函数，又()()()0f a a b a c =-->，同理()0f b <，()0f c >，由二次函数的图象知必有12a x b x c <<<<．故选B ．考点：二次函数的图象与性质．【名师点睛】二次函数与一元二次方程，一元二次不等式常称为“三个二次”问题，在研究它们三者之一的问题时，常考虑三者之间的相互联系，借助这种联系而解题，解题时二次函数的图象起到重要的桥梁作用．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13. 若变量,y x 满足约束条件4yx x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为-6，则k =_______________．【答案】－2考点：简单的线性规划问题．14. 如图，为测量出高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角060MAN ∠=，C 点的仰角045CAB ∠=以及075MAC ∠=；从C 点测得060MCA ∠=．已知山高100BC m =，则山高MN =__________m ．【答案】150考点：解三角形的应用．15. 数列 {}n a 中，()11126,212n n n a a a a n n n--=-=++≥，则此数列的通项公式n a =___________．【答案】()()1121n n ++- 【解析】试题分析：由11221n n n a a a n n ---=++得1211n n a a n n -=++，所以112(1)1n n a an n-+=++，又1142a +=，所以{1}1n a n ++是等比数列，所以1114221n n n a n -++=⨯=+，即1(1)(21)n n a n +=+-．考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式．【名师点睛】已知数列的递推公式1(1,0)n n a pa q p q -=+≠≠，我们可以把它配成一个等比数列：设1()n n a x p a x -+=+，由此可求得1q x p =-，只要101qa p +≠-，则新数列{}1n qa p +-是等比数列，从而易求得通项公式． 16. P 为椭圆22198x y +=上的任意一点，AB 为圆()22:11C x y -+=的任一条直径，则PA PB u u u v u u u vg 的取值范围是____________． 【答案】[]3,15考点：向量的数量积，椭圆的性质．【名师点睛】求向量数量积的取值范围，要把数量积用一个变量表示出来，本题中，表面上点,,P A B 都在变化，仔细观察，发现AB 是圆的直径，其中点为圆心(1,0)C 是不变的，而且由向量的加法运算，有PA PC CA =+u u u r u u u r u u u r ，PB PC CB =+u u u r u u u r u u u r ，,CA CB u u u r u u u r是模为1的相反向量，因此由数量积的运算法则得PA PB ⋅uu r uu r 21PC =-uu u r ，此时变化的只有一个点P ，根据椭圆性质可很快得结论．这题提醒我们在一个变量很多的问题中，一定隐藏着不变量，解题时要善于寻找到这个不变量，减少变量的个数．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,42ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ，过B作BC y ⊥轴于点C ；（1）若点A 的纵坐标为32，求点B 的横坐标； （2）求AOC ∆的面积S 的最大值； 【答案】（1）12-；（213+（2）因为1,sin ,32OA OC AOC ππαα⎛⎫==+∠=- ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分所以11sin sin sin 2232S OA OC AOC ππαα⎛⎫⎛⎫=∠=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g 2113sin cos cos 222113sin cos 22αααααα⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ 1131cos 2sin 224αα⎛+= ⎝⎭1133sin 2cos 2422813sin 243ααπα⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 又,42ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以542,363πππα⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，所以当5236ππα+=， 则4πα=时，sin 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭取得最大值12，所以S 的最大值为138+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：三角函数的定义，两角和与差的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的性质．18. （本小题满分12分）如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D-中，底面ABCD是梯形，//AD BC，侧面11ABB A为菱形，1DAB DAA∠=∠．（1）求证：1A B AD⊥；（2）若01AD=AB=2BC,A60AB∠=，点D在平面11ABB A上的射影恰为线段1A B的中点，求平面11DCC D与平面11ABB A所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）39331．试题解析：（1）因为侧面1ABB A为菱形，所以1AB AA=u u u v u u u v，又1DAB DAA∠=∠，所以()() 1111111A cos coscos cos0A B AD A AB AD A A AD AB AD A A AD DAA AB AD DABAB AD DAA AB AD DAAπ=+=+=-∠+∠=-∠+∠=u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vg g g g g gu u u v u u u v u u u v u u u vg g，从而1A B AD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分考点：用向量法证明线线垂直、求二面角．【名师点睛】(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直以及求空间角、距离的关键．(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．(3)证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明．(4)求二面角，只要先求得两平面的法向量，两法向量的夹角与二面角相等或互补． (5)求直线与平面所成角，利用直线与平面的法向量的夹角与线面角互余可得．证明线线垂直，也可直接利用空间向量基本定理，证明两直线的方向向量的数量积为0．19. （本小题满分12分）由于全力备战高考，造成高三学生视力普遍下降，现从我市所有高三学生中随机抽取16名学生，经医生用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如下：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若视力测试结果不低于5.0则称为“好视力”，求医生从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计全市的总体数据，若从我市考生中（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．【答案】（1）众数：4.6和4.7；中位数；4.75；（2）121140；（3）分布列见解析，期望为0.75．考点：茎叶图，众数，中位数，古典概型，随机变量分布列与数学期望． 20. 已知抛物线C 的标准方程为()220y px p =>，M 为抛物线C 上一动点，()(),0,0A a a ≠为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N ．当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，MON ∆的面积为18． （1）求抛物线C 的标准方程； （2）记11t AM AN=+，若t 值与M 点位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．【答案】（1）212y x =；（2）稳定点为(3,0)A ． 【解析】试题分析：（1）由已知MN 为通径，因此2MN p =，由18OMN S ∆=可求得6p =；（2）定点问题处理，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为x my a =+，代入抛物线方程，由韦达定理得1212,y y y y +， 计算22121111t AM AN m y m y =+=++122121y y y y m +=+，按0a >和0a <分类后讨论可得a 取特定值时t 与m 无关，即A 为稳定点．②0a >时，∵12120y y a =-<，∴12,y y 异号． 又22121111t AM AN m y m y =+=++， ∴()()()()2221212122222222221212114111144481311111441a y y y y y y m a t m m m a a m y y y y ⎛⎫- ⎪-+-+====+ ⎪++++ ⎪⎝⎭gg g ，∴仅当1103a -=，即3a =时，t 与m 无关，稳定点为(3,0)A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 【备注：此题第2问若证明焦点满足给4分！】 考点：抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系．【名师点睛】在解析几何中，求直线上两点间距离，可利用直线的斜率简化距离公式：1122(,),(,)P x y Q x y 是直线y kx m =+上的两点，则212122111PQ k x y y k=+-=+-，而2121212()4x x x x x x -=+-定理就可得．21. 已知函数()()2ln 2a f x x x x a R =-∈． （1）若2a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若函数()()g x f x x =-有两个极值点12,x x ，求证：12112ln ln ae x x +>． 【答案】（1）y x =-，（2）证明见解析．（2）()()1ln g x f x x ax ''=-=-，函数()()g x f x x =-有两个相异的极值点12,x x ，即()ln 0g x x ax '=-=有两个不同的实数根．①当0a ≤时，()g x '单调递增，()0g x '=不可能有两个不同的实根；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分 ②当0a >时，设()()1ln ,axh x x ax h x x-'=-=，考点：导数的几何意义，导数的综合应用．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，,A B 是圆O 上的两点，P 为圆O 外一点，连结,PA PB 分别交圆O 于点,C D ，且AB AD =，连结BC 并延长至E ，使PEB PAB ∠=∠．（1）求证：PE PD =；（2）若1AB EP ==，且0120BAD ∠=，求AP ． 【答案】（1）证明见解析；（2）26AP +=．（2）因为,ACB PBA BAC PAB ∠=∠∠=∠，所以ABC APB ∆∆:，则()2AB AP AC AP AP PC ==-g ，所以()22AP AB AP PC PD PB PD PD BD -===+g g ，又因为,1PD AB AB ==，所以2223AP AB AB BD -==g所以223AP =+26AP +=． 考点：全等三角形的判定，切割线定理，相似三角形的判断与性质． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是2sin 333πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭射线:3OM πθ=与圆C 的交点为O P 、，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2PQ =．考点：参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，极坐标的应用． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()21,2,,f x x a g x x m a m R =--=-+∈，若关于x 的不等式()1g x ≥-的整数解有且仅有一个值为-3． （1）求整数m 的值；（2）若函数()y f x =的图象恒在函数()12y g x =的上方，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）6m =；（2）(),4-∞．（2）因为()y f x =的图象恒在函数()12y g x =的上方，故()()102f xg x ->， 所以213a x x <-++对任意x R ∈恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分设()213h x x x =-++，则()313531311x x h x x x x x --≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪+>⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分则()h x 在(),1-∞是减函数，在()1,+∞上是增函数，所以当1x =时，()h x 取得最小值4， 故4a <时，函数()y f x =的图象恒在函数()12y g x =的上方， 即实数a 的取值范围是(),4-∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：解绝对值不等式，绝对值的性质，不等式恒成立．。