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2018年高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第38讲 数学归纳法实战演练 理1．(2015·陕西卷)设f n (x )是等比数列1，x ，x 2，…，x n的各项和，其中x >0，n ∈N ，n ≥2.设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n (x )，比较f n (x )和g n (x )的大小，并加以证明．解析：由题设，f n (x )＝1＋x ＋x 2＋…＋x n，g n (x )＝n ＋x n ＋2，x ＞0.当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )；当x ≠1时，用数学归纳法可以证明f n (x )＜g n (x )；①当n ＝2时，f 2(x )－g 2(x )＝－12(1－x )2＜0，所以f 2(x )＜g 2(x )成立．②假设n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即f k (x )＜g k (x )． 那么，当n ＝k ＋1时，f k＋1(x )＝f k (x )＋xk ＋1＜g k (x )＋xk ＋1＝k ＋＋xk2＋xk ＋1＝2xk ＋1＋k ＋x k ＋k ＋12.又g k ＋1(x )－2xk ＋1＋k ＋x k ＋k ＋12＝kx k ＋1－k ＋x k ＋12，令h k (x )＝kxk ＋1－(k ＋1)x k＋1(x ＞0)，则h ′k (x )＝k (k ＋1)x k－k (k ＋1)x k －1＝k (k ＋1)xk －1(x －1)．所以当0＜x ＜1时，h ′k (x )＜0，h k (x )在(0,1)上递减； 当x ＞1时，h ′k (x )＞0，h k (x )在(1，＋∞)上递增． 所以h k (x )＞h k (1)＝0， 从而g k ＋1(x )＞2xk ＋1＋k ＋x k ＋k ＋12.故f k ＋1(x )＜g k ＋1(x )，即n ＝k ＋1时不等式也成立． 由①和②知，对一切n ≥2的整数，都有f n (x )＜g n (x )． 综上所述，当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )；当x ≠1时，f n (x )＜g n (x )．2．(2017·安徽模拟)如图，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )(0<y 1<y 2<…<y n )是曲线C ：y 2＝3x (y ≥0)上的n 个点，点A i (a i,0)(i ＝0,1,2，…，n )在x 轴的正半轴上，且△A i －1A i P i 是正三角形(A 0是坐标原点)．(1)写出a 1，a 2，a 3；(2)求出点A n (a n,0)(n ∈N *)的横坐标a n 关于n 的表达式并证明．解析：(1)依题意得：x 1＝a 12，y 1＝3·a 12，y 21＝3x 1，解得a 1＝2，同理可得a 2＝6，a 3＝12.(2)依题意，得x n ＝a n －1＋a n2，y n ＝3·a n －a n －12，又y 2n ＝3x n ，所以⎝⎛⎭⎪⎫3·a n －a n －122＝32(a n ＋a n －1)，即(a n －a n －1)2＝2(a n －1＋a n )．由(1)可猜想：a n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．下面用数学归纳法予以证明： ①当n ＝1时，命题显然成立：②假定当n ＝k 时命题成立，即有a k ＝k (k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，由归纳假设及(a k ＋1－a k )2＝2(a k ＋a k ＋1)，得[a k ＋1－k (k ＋1)]2＝2[k (k ＋1)＋a k ＋1]，即a 2k ＋1－2(k 2＋k ＋1)a k ＋1＋k (k －1)·(k ＋1)(k ＋2)＝0，解得a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)(a k ＋1＝k (k －1)＜a k 不合题意，舍去)，即当n ＝k ＋1时成立． 由①②知，猜想成立，∴a n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．3．(2017·重庆模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝c －1a n.(1)设c ＝52，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式；(2)求使不等式a n <a n ＋1<3成立的c 的取值范围．解析：(1)由已知有：a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n ，所以1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n＋1＝4b n ＋2，b n ＋1＋23＝4⎝⎛⎭⎪⎫b n ＋23，又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.(2)a 1＝1，a 2＝c －1，由a 2＞a 1得c ＞2. 用数学归纳法证明：当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. ①当n ＝1时，a 2＝c －1a 1＞a 1，命题成立；②设当n ＝k 时，a k ＜a k ＋1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝c －1a k ＋1＞c －1a k＝a k ＋1，不等式成立．故由①②知当c ＞2时，a n ＜a n ＋1.当c ＞2时，令α＝c ＋c 2－42，由a n ＋1a n ＜a n ＋1＋1a n＝c 得a n ＜α.当2＜c ≤103时，a n ＜α≤3.当c ＞103时，α＞3，且1≤a n ＜α，于是α－a n ＋1＝1a n α(α－a n )≤13(α－a n )，α－a n ＋1≤13n (α－1)． 当n ＞log 3α－1α－3时，α－a n ＋1＜α－3，a n ＋1＞3.因此c ＞103不符合要求．所以c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤2，103.4．(2014·重庆卷)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． 解析：(1)a 2＝2，a 3＝2＋1，可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1. 因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式：当n ＝1时结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立， 即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝a k －2＋1＋1＝k －＋1＋1＝k ＋－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 综上可知，a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． (2)设f (x )＝x －2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝c －2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明加强命题a 2n <c <a 2n ＋1<1. 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1， 所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即1>c >a 2k ＋2>a 2. 再由f (x )在(－∞，1]上为减函数得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1.故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.。
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重点强化课(三) 不等式及其应用［复习导读］本章的主要内容是不等式的性质，一元二次不等式及其解法,简单的线性规划问题,基本不等式及其应用,针对不等式具有很强的工具性,应用广泛，解法灵活的特点，应加强不等式基础知识的复习，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式是解决问题的重要工具，如利用导数研究函数的单调性，往往归结为解一元二次不等式问题；函数、方程、不等式三者密不可分，相互转化，因此应加强函数与方程思想在不等式中应用的训练．重点1 一元二次不等式的综合应用（1)（2016·山东青岛一模)函数y＝错误!的定义域为（）A．（－∞，1］B．［－1,1]C．［1,2）∪（2，＋∞)D。
错误!∪错误!(2)已知函数f（x)＝错误!则满足不等式f(1－x2)〉f(2x)的x的取值范围是__________．(1）D（2)(－1，错误!－1) [（1）由题意得错误!解得错误!即－1≤x≤1且x≠－错误!，所以函数的定义域为错误!，故选D.（2）由题意得错误!或错误!解得－1〈x<0或0≤x〈错误!－1.所以x的取值范围为（－1，错误!－1）．］［规律方法］一元二次不等式综合应用问题的常见类型及求解方法(1)与函数的定义域、集合的综合，此类问题的本质就是求一元二次不等式的解集．（2）与分段函数问题的综合．解决此类问题的关键是根据分段函数解析式，将问题转化为不同区间上的不等式，然后根据一元二次不等式或其他不等式的解法求解．（3）与函数的奇偶性等的综合．解决此类问题可先根据函数的奇偶性确定函数的解析式，然后求解，也可直接根据函数的性质求解．［对点训练1] 已知f(x）是定义在R上的奇函数．当x〉0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为__________. 【导学号：31222215】(－5，0)∪(5，＋∞）[由于f(x)为R上的奇函数，所以当x＝0时,f(0)＝0；当x〈0时，－x〉0,所以f(－x）＝x2＋4x＝－f(x），即f(x)＝－x2－4x，所以f（x)＝错误!由f（x)〉x，可得错误!或错误!解得x〉5或－5<x<0，所以原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞）．］重点2 线性规划问题(1）(2017·深圳二次调研）在平面直角坐标系xOy中,若x，y满足约束条件错误!则z＝x＋y的最大值为（)A。
第六节 数学归纳法[考纲传真] .了解数学归纳法的原理.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．．数学归纳法证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：()(归纳奠基)证明当取第一个值(∈*)时命题成立；时命题也成立．＝＋当)时命题成立，证明*∈，≥()(归纳递推)假设＝( 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立．．数学归纳法的框图表示．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当＝时结论成立．( )()用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( )()不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由＝到＝＋时，项数都增加了一项．( )()用数学归纳法证明等式“＋＋＋…＋＋＝＋－”，验证＝时，左边式子应为＋＋＋.( )[答案]()× ()× ()× ()√．(·银川九中月考)在应用数学归纳法证明凸边形的对角线为(－)条时，第一步检验等于( )．．[因为凸边形最小为三角形，所以第一步检验等于，故选.]．已知为正偶数，用数学归纳法证明－＋－＋…－＝时，若已假设＝(≥，且为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )．＝＋时等式成立．＝＋时等式成立．＝＋时等式成立．＝(＋)时等式成立[为偶数，则＋为偶数．]．(教材改编)已知{}满足＋＝－＋，∈*，且＝，则＝，＝，＝，猜想＝.＋．用数学归纳法证明：“＋＋＋…＋<(>)”由＝(>)不等式成立，推证＝＋时，左边应增加的项的项数是．[当＝时，不等式为＋＋＋…＋<.则＝＋时，左边应为＋＋＋…＋＋＋＋…＋，则左边增加的项数为＋－－＋＝.]设*)．[证明]()当＝时，左边＝()＝，右边＝＝，左边＝右边，等式成立分()假设＝(≥，∈*)时，结论成立，即()＋()＋…＋(－)＝[()－]，分那么，当＝＋时，()＋()＋…＋(－)＋()＝[()－]＋()＝(＋)()－＝(＋)－＝(＋)(＋)－(＋)＝(＋)[(＋)－]，分∴当＝＋时结论仍然成立．由()()可知：()＋()＋…＋(－)＝[()－](≥，∈*)分[规律方法] .用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值是多少．。
