专题十三 推理与证明第三十八讲 推理与证明

推理证明与证明方法推理是指通过一系列逻辑性的推导和推论，从已有的前提得出结论的过程。

在数学、哲学、逻辑学和科学研究等领域中，推理是一种重要的思维方式和证明方法。

本文将探讨推理证明的基本概念、推理的类型以及常见的证明方法。

一、推理证明的基本概念推理证明是指基于已知事实和前提，通过逻辑推导和推论的方式，得出一个结论或者证明一个命题的过程。

其目的是通过合理和严密的推理，使得结论具有说服力，能够被他人接受。

推理证明的过程通常分为两个步骤：前提和推导。

前提是指已知的事实、定理或假设，推导是在前提的基础上通过逻辑关系进行推演，从而得到新的结论。

推演的过程中，可以使用各种推理方法和推理规则。

二、推理的类型根据推理的方式和形式，推理可以分为直接推理和间接推理两种类型。

1. 直接推理：直接推理是通过已知的前提和一系列逻辑推理规则，直接得出结论的推理方式。

例如，对于一个条件命题“A蕴含B”，如果已知“A为真”，那么可以直接推导出“B为真”。

2. 间接推理：间接推理是通过否定前提的逻辑关系，从而得到结论的推理方式。

例如，通过反证法可以证明一个命题的真伪。

假设目标命题为真，然后通过逻辑推理推导到一个矛盾的结论，从而推断目标命题为假。

三、常见的证明方法为了实现证明的目的，推理过程中常采用多种证明方法。

以下介绍几种常见的证明方法。

1. 直接证明法：直接证明法是通过直接推理的方式，从已知的前提出发，逐步推导证明目标命题的真伪。

例如，对于证明一个数是偶数的命题，可以通过直接证明“该数能被2整除”来得到结论。

2. 归谬法：归谬法是一种间接证明法，通过假设目标命题为假，然后逐步推导到一个矛盾的结论，从而证明目标命题为真。

这种方法常用于证明一个命题的唯一性或者不存在性。

3. 数学归纳法：数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法。

它分为基础步和归纳步两个阶段。

首先证明基础步，即证明当n取某个特定值时，命题成立；然后证明归纳步，假设当n=m时命题成立，再证明当n=m+1时命题也成立。

推理与证明一、合情推理1.归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理（1）特点：由部分到整体、由个别到一般（2）归纳推理的思维过程大致如图：实验、观察概括、推广猜测一般性结论（3）归纳推理的特点：○1归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象○2由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具○3归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题2.类比推理：根据两类事物之间具有某些类似(一致)性，推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理（1）特点：由特殊到特殊（2）类比推理的一般步骤:○1找出两类事物的相似性或一致性○2用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)○3一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的○4一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠（3）共性：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理二、演绎推理1.定义：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理2.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：（1）大前提——已知的一般原理（2）小前提——所研究的特殊情况（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断三、直接证明直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。

【高中数学】推理与证明知识讲解归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。

简言之，归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；(3)证明（视题目要求，可有可无）。

类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；(3)检验猜想。

合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理。

归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.2. 演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理。

简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。

演绎推理的一般模式---“三段论”，包括：(1)大前提----已知的一般原理；(2)小前提----所研究的特殊情况；(3)结论----据一般原理，对特殊情况做出的判断.3. 直接证明与间接证明(1)综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立。

要点：顺推证法，由因导果。

(2)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法，执果索因。

(3)反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法，它是一种间接的证明方法。

反证法法证明一个命题的一般步骤： ①（反设）假设命题的结论不成立；②（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止； ③（归谬）断言假设不成立；④（结论）肯定原命题的结论成立.4. 数学归纳法：数学归纳法是证明关于正整数n 的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤：(1)（归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立；(2)（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，推证当1n k =+时命题也成立. 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立.课堂练习1．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇2．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，观察上述结果，可推测出一般结论( )A ．f (2n )>2n ＋12B ．f (n 2)≥n ＋22C ．f (2n )≥n ＋22D ．以上都不对3．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α，则直线b ∥直线a ”，结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误4．若点P 是正四面体A －BCD 的面BCD 上一点，且P 到另三个面的距离分别为h 1，h 2，h 3，正四面体A －BCD 的高为h ，则( )A ．h >h 1＋h 2＋h 3B ．h ＝h 1＋h 2＋h 3C ．h <h 1＋h 2＋h 3D ．h 1，h 2，h 3与h 的关系不定5．下图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续逐个叠放下去，那么在第七个叠放的图形中小正方体木块数应是( )A ．25B ．66C ．91D ．1206．已知等差数列{a n }中，a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，那么等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式_ 成立。

《推理与证明》知识归纳总结推理合情推理推理比推理推演推理理与合法直接明分析法明数学明接明反法第一部分合情推理学目：了解合情推理的含（易混点）理解推理和比推理的含，并能运用它行的推理（重点、点）了解合情推理在数学展中的作用（点）一、知：合情推理可分推理和比推理两：推理 :1.推理 :由某事物的部分象具有某些特征，推出事物的全部象具有些特征的推理，或者由个事概括出一般的推理，称推理.言之，推理是由部分到整体、由个到一般的推理 .2.推理的一般步:第一步，通察个情况某些相同的性;第二步，从已知的相同性中推出一个明确表述的一般命（猜想）.思考探究 :1.推理的一定正确?2.学中，从体中抽取本，然后用本估体，是否属推理?型 1用推理律、察： 7 15 2 11； 5.516.5 2 11；33193211；⋯于1.任意正数 a, b ，写出使a b 211 成立的一个条件可以是____.点：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和22，故a b222、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图 . 其中第一个图有 1 个蜂巢，第二个图 有 7 个蜂巢，第三个图有19 个蜂巢，按此规律，以f ( n) 表示第 n 幅图的蜂巢总数 .则 f (4) =_____; f ( n) =___________.【解题思路】找出 f (n) f (n 1) 的关系式[解析 ] f (1)1, f (2) 1 6, f (3) 1 6 12, f (4) 1 6 12 18 37 f (n) 16 12186(n1) 3n 2 3n 1总结：处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系类比推理1.类比推理 :由两类对象具有某些类似特征和其中象也具有 这些特征的推理 .简言之，类比推理是由一类 对象的某些已知特征，推出另一类对特殊到特殊的推理 .2.类比推理的一般步骤:第一步：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 ；第二步：用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想 .思考探究 :1.类比推理的结论能作为定理应用吗 ?2.(1)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径 .由此结论如何类比到球体 ?(2)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论?题型 2 用类比推理猜想新的命题[例 ]已知正三角形内切圆的半径是高的 1 ，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是 ______.3【解题思路】从方法的类比入手[解析 ]原问题的解法为等面积法，即S 1 ah 3 1arr1 h ，类比问题的解法应为2 23等体积法， V1Sh 4 1Srr1h 即正四面体的内切球的半径是高13344总结：（ 1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（ 2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等合情推理1.定义 : 归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.简言之，合情推理就是合乎情理的推理.2.推理的过程:从具体问题出→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想发思考探究 :1.归纳推理与类比推理有何区别与联系?1）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。

专题十三 推理与证明第三十八讲 推理与证明答案部分1．B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>，与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二 因为1x e x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a e a a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．2．D 【解析】解法一 点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a-的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)，斜率为1a的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-，当32a -<-，即32a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即32a =时，4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ．解法二 若(2,1)A ∈，则21422a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．故选D ．3．D 【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D ．4．B 【解析】设O 为三角形ABC 中心，底面如图2，过O 作OE RP ⊥，OF PQ ⊥，OG RQ ⊥，由题意可知tan DO OE α=，tan OD OF β=，tan OD OGγ=， G FE O DC B AP QR 图1 图2由图2所示，以P 为原点建立直角坐标系，不妨设2AB =，则(1,0)A -，(1,0)B，C，(0,3O ，∵AP PB =，2BQ CR QC RA==，∴1(,33Q ，2(,)33R -，则直线RP的方程为2y x =-，直线PQ的方程为y =，直线RQ的方程为39y x =+，根据点到直线的距离公式，知21OE =，39OF =，13OG =，∴OF OG OE <<，tan tan tan αγβ<<，因为α，β，γ为锐角，所以αγβ<<．选B5．B 【解析】由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1~8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从1~8号里产生．数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63，a ，60，63，a -l 的5人中有3人进入30秒跳绳决赛．若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以l 号，5号学生必进入30秒跳绳决赛，故选B ．6．A 【解析】当4s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有44464⨯⨯=种，当3s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有33327⨯⨯=种，当2s =时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2228⨯⨯=种，当1s =时，p ，q ，r 都取0，有1种，所以()card 642781100E =+++=，当0t =时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种，当1t =时，u 取2，3，4中的一个，有3种，当2t =时，u 取3，4中的一个，有2种，当3t =时，u 取4，有1种，所以t 、u 的取值有123410+++=种， 同理，v 、w 的取值也有10种，所以()card F 1010100=⨯=，所以()()card card F 100100200E +=+=，故选D ．7．B 【解析】学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙，一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等．故选B ．8．A 【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选A ．9．D 【解析】∵553125=,6515625=,7578125=,85390625=，951953125=， 1059765625=,⋅⋅⋅,∴5n (n Z ∈,且5n ≥)的末四位数字呈周期性变化，且最小正 周期为4,记5n (n Z ∈,且5n ≥)的末四位数字为()f n ,则(2011)(50147)f f =⨯+ (7)f =，∴20115与75的末位数字相同，均为8 125，选D ．10．D 【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数()f x 是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，即函数()f x 是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有()g x -=()g x -，故选D ．11．27【解析】所有的正奇数和2n (*n ∈N )按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列{}n a中，52前面有16个正奇数，即5212a =，6382a =．当1n =时，1211224S a =<=，不符合题意；当2n =时，2331236S a =<=，不符合题意；当3n =时，3461248S a =<=，不符合题意；当4n =时，45101260S a =<=，不符合题意；……；当26n =时，52621(141)2(12)212S ⨯+⨯-=+-= 441 +62= 503<2712516a =，不符合题意；当27n =时，52722(143)2(12)212S ⨯+⨯-=+-=484 +62=546>2812a =540，符合题意．故使得112n n S a +>成立的n 的最小值为27．12．1Q 2p 【解析】设线段i i A B 的中点为(,)i i i C x y ，则2i i Q y =，其中1,2,3i =①由题意只需比较线段i i A B 中点的纵坐标的大小即可，作图可得11A B 中点纵坐标比2233,A B A B 的中点纵坐标大，所以第一位选1Q ． ②由题意i i iy p x =，只需比较三条线段1OC ，2OC 3OC 斜率的大小，分别作123,,B B B 关于原点的对称点123,,B B B '''，比较直线112233,,A B A B A B ''' 斜率，可得22A B '最大，所以选2.p13．1和3【解析】为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A ，B ，C 从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A 或B ，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C ，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B ，此时丙所拿的卡片为A ．14．【解析】根据已知，归纳可得结果为43n (n+1)． 15．111111111234212122n n n n n -+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++．【解析】观察等式知：第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是111122n n n ++⋅⋅⋅+++． 16．14n 【解析】 具体证明过程可以是：0121012121212121212121211(2222)2n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------++++=++++021122223121212121212121211[()()()()]2n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C ------------=++++++++ 01212121121212121212111()2422n n n n n n n n n n n C C C C C C ----------=+++++++=⋅=．17．14【解析】解法一 直接递推归纳；等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =1122,AB AC a AA a ====1231A A a ==，⋅⋅⋅，6567114A A a a ==⨯=．解法二 求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =所以1122,AB AC a AA a =====⋅⋅⋅，11sin 2(422n n n n n n A A a a a π-+==⋅==⨯，故672)2a =⨯=1418．6【解析】因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为(2,3,1,4)，(3,2,1,4)；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1,3,2)．综上符合条件的有序数组的个数是6．19．42【解析】先由徒弟粗加一工原料B ，6天后，师傅开始精加工原料B ，徒弟同时开始粗加工原料A ，再9天后（15天后），徒弟粗加工原料A 完成，此时师傅还在精加工原料B ，27天后，师傅精加工原料B 完成，然后接着精加工原料A ，再15天后，师傅精加工原料A 完成，整个工作完成，一共需要6 +21+15= 42个工作日．20．12014x x +【解析】由1()1x f x x =+，得2()()112x x f x f x x==++， 可得32()(())13x f x f f x x ==+，故可归纳得2014()12014x f x x=+． 21．2F V E +-=【解析】三棱柱中5 +6-9 =2；五棱锥中6+6 -10 =2；立方体中6+8 -12 =2，由此归纳可得2F V E +-=．22．12－22+32－42+…+（－1）n +1n 2=（－1）n +1·(1)2n n +（n ∈*N ） 【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1，2，3，…n ，指数都是2，符号成正负交替出现可以用1(1)n +-表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为(1)n-·(1)2n n +，所以第n 个式子可为12－22+32－42+…+12(1)n n +-=（－1）n+1·(1)2n n +（n ∈*N ）． 23．1000【解析】观察2n 和n 前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故()2,241110N n n n =-，()10,241000N ∴= 24．6116151413121122222<+++++【解析】观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边=222111123(1)n +++⋅⋅⋅++，右边=()1112+-+n n ，所以第五个不等式为6116151413121122222<+++++． 25．（1）6；（2）43211n -⨯+【解析】（1）当N =16时，012345616P x x x x x x x =，可设为(1,2,3,4,5,6,,16)，113571524616P x x x x x x x x x =，即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16)，2159133711152616P x x x x x x x x x x x =，即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16)，7x 位于2P 中的第6个位置； （2）在1P 中173x 位于两段中第一段的第87个位置，位于奇数位置上，此时在2P 中173x 位于四段中第一段的第44个位置上，再作变换得3P 时，173x 位于八段中第二段的第22个位置上，再作变换时，173x 位于十六段中的第四段的第11个位置上．也就是位于4P 中的第43211n -⨯+个位置上．26．2(1)(32)(21)n n n n ++++-=- 【解析】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n ，加数的个数是21n -；等式右边都是完全平方数，行数 等号左边的项数1=1 1 12+3+4=9 2 33+4+5+6+7=25 3 54+5+6+7+8+9+10=49 4 7…… …… ……所以2(1)[(21)1](21)n n n n n +++++--=-， 即2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-27．0,1123n nn n ⎧⎪⎨-⎪⎩当为偶数时，当为奇数时【解析】根据合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，可得n T =0,1123n n n n ⎧⎪⎨-⎪⎩当为偶数时，当为奇数时． 28．962【解析】观察等式可知，cos α的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故1284512m =⨯=．取0α=，则cos 1α=，cos101α=，代入等式⑤得 1512128011201n p =-+++-，即350n p +=- ① 取3πα=，则1cos 2α=，1cos102α=-，代入等式⑤得 108642111111512()1280()1120()()()1222222n p -=⨯-⨯+⨯+⨯+⨯- 即4200n p +=- ②联立①②得，400,50n p =-=，所以m n p -+=512(400)50962--+=．29．【解析】(1)因为(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，所以1(,)[(11|11|)(11|11|)(00)|00|)]22M αα=+--++--++--=， 1(,)[(10|10|)(11|11|)(01|01|)]12M αβ=+--++--++--=． (2)设1234(,,,)x x x x B α=∈，则1234(,)M x x x x αα=+++．由题意知1x ，2x ，3x ，4x ∈{0，1}，且(,)M αα为奇数，所以1x ，2x ，3x ，4x 中1的个数为1或3．所以B ⊆{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}．将上述集合中的元素分成如下四组：(1，0，0，0)，(1，1，1，0)；(0，1，0，0)，(1，1，0，1)；(0，0，1，0)，(1，0，1，1)；(0，0，0，1)，(0，1，1，1)．经验证，对于每组中两个元素α，β，均有(,)1M αβ=．所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以集合B 中元素的个数不超过4．又集合{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)}满足条件， 所以集合B 中元素个数的最大值为4．(3)设1212121{(,,,)|(,,,),1,0}k n n k k S x x x x x x A x x x x -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈===⋅⋅⋅== (1,2,,)k n =⋅⋅⋅，11212{(,,,)|0}n n n S x x x x x x +=⋅⋅⋅==⋅⋅⋅==，则121n A S S S +=⋅⋅⋅．对于k S （1,2,,1k n =⋅⋅⋅-）中的不同元素α，β，经验证，(,)1M αβ≥． 所以k S （1,2,,1k n =⋅⋅⋅-）中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以B 中元素的个数不超过1n +．取12(,,,)k n k e x x x S =⋅⋅⋅∈且10k n x x +=⋅⋅⋅==（1,2,,1k n =⋅⋅⋅-）．令1211(,,,)n n n B e e e S S -+=⋅⋅⋅，则集合B 的元素个数为1n +，且满足条件． 故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．30．【解析】(1)记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．(2)对一般的n (4)n ≥的情形，逆序数为0的排列只有一个：12n ⋅⋅⋅，所以(0)1n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12n ⋅⋅⋅中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将1n +添加进原排列，1n +在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当5n ≥时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=， 因此，5n ≥时，(2)n f =222n n --． 31．【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，从而，当n 4≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6，因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”.（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.②由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'. 在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列.32．【解析】（Ⅰ）易知11a =，22a =，33a =且11b =，23b =，35b =所以111110,c b a =-=-=21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-， 3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-． 下面证明：对任意n ∈*N 且2n ≥，都有11n c b a n =-⋅． 当k ∈*N 且2k n ≤≤时，11()()k k b a n b a n -⋅--⋅[(21)]1k nk n =---+(22)(1)k n k =---(1)(2)k n =--∵10k ->且20n -≤∴11()()0k k b a n b a n -⋅--⋅≤⇒11()()k k b a n b a n -⋅-⋅≥． 因此对任意n ∈*N 且2n ≥，111n c b a n n =-⋅=-，则11n n c c +-=-． 又∵211c c -=-，故11n n c c +-=-对n ∈*N 均成立，从而{}n c 是等差数列 （Ⅱ）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为,a b d d ，下面我们考虑n c 的取值． 对11b a n -⋅，22b a n -⋅，n n b a n -⋅，考虑其中任意项i i b a n -⋅(i ∈*N 且1)i n ≤≤，i i b a n -⋅11[(1)][(1)]b a b i d a i d n =+--+-⋅ 11()(1)()b a b a n i d d n =-⋅+--⋅下面分0a d =，0a d >，0a d <三种情况进行讨论． （1）若0a d =，则i i b a n -⋅11()(1)b b a n i d =-⋅+- ①若0b d ≤，则11()()(1)0i i b b a n b a n i d -⋅--⋅=-≤ 则对于给定的正整数n 而言，11n c b a n =-⋅ 此时11n n c c a +-=-，故{}n c 是等差数列②0b d >，则()()()0i i n n b b a n b a n i n d -⋅--⋅=-≤ 则对于给定的正整数n 而言，1n n n n c b a n b a n =-⋅=-⋅ 此时11n n b c c d a +-=-，故{}n c 是等差数列此时取1m =，则123,,,c c c ⋅⋅⋅是等差数列，命题成立．（2）若0a d >，则此时a b d n d -⋅+为一个关于n 的一次项系数为负数的一次函数． 故必存在m ∈*N ，使得当n m ≥时，0a b d n d -⋅+< 则当n m ≥时，11()()(1)(0i i a b b a n b a n i d n d -⋅--⋅=--⋅+)≤(,1)i i n ∈*N ≤≤因此，当n m ≥时，11n c b a n =-⋅．此时11n n c c a +-=-，故{}n c 从第m 项开始为等差数列，命题成立．（3）0a d <，则此时a b d n d -⋅+为一个关于n 的一次项系数为正数的一次函数．故必存在s ∈*N ，使得当n s ≥时，0a b d n d -⋅+>则当n s ≥时，()()()(0i i n n a b b a n b a n i n d n d -⋅--⋅=--⋅+)≤(,1)i i n ∈*N ≤≤因此当n s ≥时，n n n c b a n =-⋅．此时n n n n n c b a n b a n n n -⋅==-+11()b a a b b d d n d a d n-=-⋅+-++ 令0a d A -=>，1a b d a d B -+=，1b b d C -= 下面证明n c CAn B n n=++对任意正数M ，存在正整数m ，使得当n m ≥时，nc M n>． ①若0C ≥，则取||[]1M B m A-=+（[]x 表示不等于x 的最大整数） 当n m ≥时，||([]1)n c M B M B An B Am B A B A B M n A A--++=++>⋅+=≥≥ 此时命题成立． 若0C <，则取||[]1M C B m A--=+当n m ≥时||([]1)n c M C B An B C Am B C A B C n A--++++=+++≥≥ M C B B C M --++=≥此时命题成立．因此，对任意正数M ，使得当n m ≥时，nc M n>． 综合以上三种情况，命题得证．33．【解析】(1)由已知得1*13,n n a a n N -=⋅∈.于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=. 又30r S =，故13030a =，即11a =.所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈.(2)因为{1,2,,}T k ⊆，1*30,n n a n N -=>∈，所以1121133(31)32k k k r k S a a a -≤+++=+++=-<.因此，1r k S a +<.(3)下面分三种情况证明. ①若D 是C 的子集，则2C CDC D D D D S S S S S S S +=+≥+=.②若C 是D 的子集，则22C CDC C CD S S S S S S +=+=≥.③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集. 令U E CC D =，U F D C C =则E φ≠，F φ≠，EF φ=.于是C E C D S S S =+，D F CD S S S =+，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥.设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠.由（2）知，1E k S a +<，于是1133l kl F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤.又k l ≠，故1l k ≤-， 从而11121131311332222l k l k E F l a S S a a a ------≤+++=+++=≤=≤，故21E F S S ≥+，所以2()1C C DD C DS S S S -≥-+，即21C CDD S S S +≥+.综合①②③得，2C CDD S S S +≥.34．【解析】(1)因为()()442311111x x x x x x x----+-==--+，由于[]0,1x ∈，有41111x x x -++≤，即23111x x x x-+-+≤， 所以2()1.f x x x -+≥ (2)由01x ≤≤得3x x ≤， 故()()()3121113333()11222122x x f x x x x x x -+=++-+=++++≤≤， 所以3()2f x ≤. 由(1)得22133()1()244f x x x x -+=-+≥≥， 又因为1193()2244f =>，所以()34f x >，综上，33()42f x <≤．35．【解析】(1)()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-．当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增；当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减．故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞． 当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e x x +<．令1x n=，得111e n n +<，即1(1)e n n +<．(*)(2)11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=； 2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=． 由此推测：1212(1)n nnb b b n a a a =+．(**) 下面用数学归纳法证明②．①当1n =时，左边=右边2=，(**)成立． ②假设当n k =时，(**)成立，即1212(1)k kkb b b k a a a =+． 当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++． 所以当1n k =+时，(**)也成立．根据①②，可知(**)对一切正整数n 都成立．(3)由n c 的定义，(**)，算术-几何平均不等式，n b 的定义及(*)得 123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++12312112122334(1)nb b b b b b b b b n n ++++++≤++++⨯⨯⨯+121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n=++++++12e e e n a a a <+++=e n S ，即e n n T S <．36．【解析】(1)()613f =．(2)当6n ≥时，()2,623112,612322,622312,632312,6423122,6523n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩（t *∈N ）．下面用数学归纳法证明： ①当6n =时，()666621323f =+++=，结论成立； ②假设n k =（6k ≥）时结论成立，那么1n k =+时，1k S +在k S 的基础上新增加的元素在()1,1k +，()2,1k +，()3,1k +中产生，分以下情形讨论： 1）若16k t +=，则()615k t =-+，此时有()()12132323k k f k f k k --+=+=++++ ()111223k k k ++=++++，结论成立； 2）若161k t +=+，则6k t =，此时有()()112123k kf k f k k +=+=++++ ()()()11111223k k k +-+-=++++，结论成立；3）若162k t +=+，则61k t =+，此时有()()11122223k k f k f k k --+=+=++++ ()()1211223k k k +-+=++++，结论成立；4）若163k t +=+，则62k t =+，此时有()()2122223k k f k f k k -+=+=++++()()1111223k k k +-+=++++，结论成立；5）若164k t +=+，则63k t =+，此时有()()1122223k kf k f k k -+=+=++++ ()()1111223k k k +-+=++++，结论成立； 6）若165k t +=+，则64k t =+，此时有()()1112123k k f k f k k -+=+=++++()()()11121223k k k +-+-=++++，结论成立．综上所述，结论对满足6n ≥的自然数n 均成立． 37．【解析】(1)当2q，3n 时，0,1M ，12324,,1,2,3iA x xx x x M x i .可得，0,1,2,3,4,5,6,7A.(2)由,s tA ，112n n sa a qa q ，112n n tb b qb q ，,i ia b M ，1,2,,i n 及n n a b ，可得11222111nn nnnn a b q a b q s t a b a b q21111nn q q qq q q11111nnq q q q10.所以，st .38．【证明】(1)若0=c ，则n n S b n =，*N n ∈，又由题(1)2n n n d S na -=+， 12n n S n b a d n -∴==+，112n n b b d +∴-=，{}n b ∴是等差数列，首项为a ，公差为2d，)0(≠d ，又421b b b ，，成等比数列， 2214b b b ∴=，23()()22d da a a ∴+=+，23()42d d ad a ∴+=，0d ≠，2d a ∴=，2n S n a ∴=，222222(),nk k S nk a n k a n S n k a ∴===，2nk k S n S ∴=（*,N n k ∈）． (2)由题c n nS b n n +=2，*N n ∈，22[2(1)]2()n n a n d b n c +-=+，若}{n b 是等差数列，则可设n b x yn =+，,x y 是常数，22[2(1)]2()n a n d x yn n c +-=++关于*N n ∈恒成立．整理得：32(2)(22)220d y n a d x n cyn cx -+----=关于*N n ∈恒成立．20,220,20,20d y a d x cy cx ∴-=--===，20,22,0,0d y a x d cy cx ∴=≠-===0c ∴=．。

专题十三 推理与证明第三十八讲 推理与证明一、选择题1．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >2．(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉ 3．（2017新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩4．（2017浙江）如图，已知正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D PR Q --，D PQ R --，D QR P --的平面角为α，β，γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α5．(2016北京)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次） 63a7560637270a −1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛6．(2015广东)若集合(){,,,04,04,04Εp q r s p s q s r s =<<<≤≤≤≤≤≤，且,,,}p q r s ∈N ，(){},,,04,04,,,F t u v w t u v w t u v w =<<∈N ≤≤≤≤且，用()card Χ表示集合Χ中的元素个数，则()()card card ΕF += A ．200 B ．150 C ．100 D ．507．（2014北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”三种．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”，如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学生，那么这组学生最多有 A ．2人 B ．3人 C ．4人 D ．5人8．（2014山东）用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是A ．方程30x ax b ++=没有实根B ．方程30x ax b ++=至多有一个实根 C ．方程30x ax b ++=至多有两个实根 D ．方程30x ax b ++=恰好有两个实根9．（2011江西）观察下列各式: 553125=，6515625=，7578125=，⋅⋅⋅，则20115的末四位数字为A ．3125B ．5625C ．0625D ．812510．（2010山东）观察2()2x x '=，43()4x x '=，(cos )sin x x '=-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x - C ．()g x D ．()g x - 二、填空题11．(2018江苏)已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ．12．（2017北京）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点iA 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点iB 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3．①记i Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则1Q ，2Q ，3Q 中最大的是_ ___． ②记i p 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则1p ，2p ，3p 中最大的 是______．13．(2016新课标Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ． 14．（2016山东）观察下列等式：22π2π4(sin )(sin )12333--+=⨯⨯；2222π2π3π4π4(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=⨯⨯；2222π2π3π6π4(sin )(sin )(sin )(sin )3477773----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；2222π2π3π8π4(sin )(sin )(sin )(sin )4599993----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；…… 照此规律，2222π2π3π2π(sin)(sin )(sin )(sin )21212121n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++_______． 15．（2015陕西）观察下列等式：1－1122= 1－1111123434+-=+1－1111111123456456+-+-=++……据此规律，第n 个等式可为______________________．16．（2015山东）观察下列各式：0014C =；011334C C +=；……照此规律，当*N n ∈时，012121212121n n n n n C C C C -----+++⋅⋅⋅+= ．17．（2014安徽）如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边22BC =A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，依此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =__．18．(2014福建)若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是____． 19．(2014北京)顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序 时间 原料粗加工精加工原料A 原料B则最短交货期为 个工作日． 20．(2014陕西)已知0,1)(≥+=x xxx f ，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则)(2014x f 的表达式为________．21．(2014陕西)观察分析下表中的数据：多面体面数（F ）棱数（E )顶点数（V )三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________． 22．(2013陕西)观察下列等式:…照此规律, 第n 个等式可为 ．23．(2013湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+．记第n 个k 边形数为 (),N n k ()3k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 ()211,322N n n n =+ 正方形数 ()2,4N n n = 五边形数 ()231,522N n n n =- 六边形数 ()2,62N n n n =- ……可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = ． 24．(2012陕西)观察下列不等式231151233++<， 474131211222<+++，……照此规律，第五个．．．不等式为 ． 25．(2012湖南)设2nN =*(,2)n N n∈，将N 个数12,,,N x x x ⋅⋅⋅依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列012N P x x x =⋅⋅⋅．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N 个位置，得到排列113124N N P x x x x x x -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，将此操作称为C 变换，将1P 分成两段，每段2N个数，并对每段作C 变换，得到2P ；当22i n -时，将i P 分成2i 段，每段2i N个数，并对每段C 变换，得到1i P +，例如，当N =8时，215372648P x x x x x x x x =，此时7x 位于2P 中的第4个位置.（1）当N =16时，7x 位于2P 中的第 个位置； （2）当2nN =（8n）时，173x 位于4P 中的第 个位置.26．(2011陕西)观察下列等式1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为 ．27．(2010浙江)设112,,(2)(3)23n nn n N x x ≥∈+-+2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，将(0)k a k n ≤≤的最小值记为n T ，则2345335511110,,0,,,2323T T T T ==-==-⋅⋅⋅ ,n T ⋅⋅⋅其中n T =__________________．28．(2010福建)观察下列等式：① cos2α=22cos α-1；② cos4α=84cos α-82cos α+ 1；③ cos6α=326cos α-484cos α+ 182cos α-1；④ cos8α=1288cos α-2566cos α+ 1604cos α-322cos α+ 1；⑤ cos10α=m 10cos α-12808cos α+ 11206cos α+n 4cos α+p 2cos α-1．可以推测，m n p -+= ． 三、解答题29．（2018北京）设n 为正整数，集合12={|(,,,),{0,1},1,2,,}n k A t t t t k n αα=∈=．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=和12(,,,)n y y y β=，记(,)M αβ=111122221[(||)(||)(||)]2n n n n x y x y x y x y x y x y +--++--+++--．(1)当3n =时，若(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值；(2)当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，(,)M αβ是奇数；当,αβ不同时，(,)M αβ是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；(3)给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，(,)0M αβ=．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．30．(2018江苏)设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s t <时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． (1)求34(2),(2)f f 的值；(2)求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．31．（2017江苏）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 32．（2017北京）设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．33．(2016江苏)记{}1,2,,100U =．对数列{}n a （*n ∈N ）和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t =，定义12k T t t t S a a a =+++．例如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++．现设{}n a （*n ∈N ）是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)对任意正整数k （1100k ≤≤），若{}1,2,,T k ⊆，求证：1T k S a +<； (3)设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C CDD S S S +≥．34．(2016浙江)设函数()f x =311x x++，[0,1]x ∈．证明： (1)2()1f x x x -+≥； (2)33()42f x <≤． 35．(2015湖北)已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．(1)求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n +与e 的大小；(2)计算11b a ，1212b ba a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212nnb b b a a a 的公式，并给出证明； (3)令112()nn n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：e n n T S <．36．(2015江苏)已知集合*{1,2,3},{1,2,3,.....,}()n X Y n n N ==∈，设{(,)|n S a b =a 整除b 或,,}n b a a X b Y ∈∈除，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数．(1)写出(6)f 的值；(2)当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明． 37．(2014天津)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{0,1,2,1,}Mq ，集合112,,1,2,,{}n n ix q x M i n A x xx x q.(1)当2q ，3n 时，用列举法表示集合A ；(2)设,s tA ，112n n sa a qa q ，112n n tb b qb q ，其中i a ，i b M ∈，1,2,,i n =⋅⋅⋅．证明：若n n a b <，则s t <．38．(2013江苏)设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和. 记2nn nS b n c=+，N n *∈，其中c 为实数. (1)若0c =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，证明：()2N nk k S n S k,n *=∈； (2)若{}n b 是等差数列，证明：0c =．。