2018年高考理科数学小题标准练2含答案
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2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题,共150分,共4页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.12i12i+=-( )A.43i 55-- B.43i 55-+ C.34i 55-- D.34i 55-+ 2.已知集合22{(,)|3,,A x y x y x y =+≤∈∈Z Z},则A 中元素的个数为( ) A.9 B .8 C.5 D .43.函数2e e ()x xf x x --=的图象大致为( )4.已知向量a ,b 满足||1=a ,1⋅=-a b ,则(2)⋅-=a a b ( )A.4 B .3 C.2 D .05.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3则其渐近线方程为( )A.2y x = B .3y x = C.2y = D .3y = 6.在ABC △中,5cos2C 1BC =,5AC =,则AB =( )A.4230C 29D.257.为计算11111123499100S =-+-++-,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入( )A .1i i =+B .2i i =+开始0,0N T ==S N T =-S 输出1i =100i <1N N i=+11T T i =++结束是否C.3i i =+ D.4i i =+8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723=+.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )A .112 B .114 C.115 D .1189.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,1AA =则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为( )A.15B10.若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数,则a 的最大值是( )A .π4B.π2C.3π4D.π 11.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =,则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=( )A .50- B.0 C.2 D .5012.已知1F ,2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>:的左,右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A的直线上,12PF F △为等腰三角形,12120F F P ∠=︒,则C 的离心率为( )A.23B .12C .13D.14二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.1+2i1-2i=( ) A .- 45 - 35iB .- 45 + 35iC .- 35 - 45iD .- 35 + 45i解析:选D2.已知集合A={(x,y)|x 2+y 2≤3,x ∈Z,y ∈Z },则A 中元素的个数为 ( ) A .9 B .8 C .5 D .4 解析:选A 问题为确定圆面内整点个数 3.函数f(x)= e x-e-xx2的图像大致为 ( )解析:选B f(x)为奇函数,排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)= e 2-e-24>1,故选B4.已知向量a ,b 满足|a|=1,a ·b=-1,则a ·(2a-b)= ( ) A .4 B .3 C .2D .0解析:选B a ·(2a-b)=2a 2-a ·b=2+1=35.双曲线x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为3,则其渐近线方程为( )A .y=±2xB .y=±3xC .y=±22x D .y=±32x 解析:选A e= 3 c 2=3a 2b=2a6.在ΔABC 中,cos C 2=55,BC=1,AC=5,则AB= ( )A .4 2B .30C .29D .2 5解析:选A cosC=2cos 2C 2 -1= - 35AB 2=AC 2+BC 2-2AB ·BC ·cosC=32 AB=4 27.为计算S=1- 12 + 13 - 14 +……+ 199 - 1100,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入( )A .i=i+1B .i=i+2C .i=i+3D .i=i+4 解析:选B 8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( ) A .112B .114C .115D .118解析:选C 不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,从中选2个其和为30的为7+23,11+19,13+17,共3种情形,所求概率为P=3C 102=1159.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=1,AA 1=3,则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A .15 B .56 C .55 D .22解析:选C 建立空间坐标系,利用向量夹角公式可得。
2018 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标II 卷)理科数学2018.6.29本试卷 4 页, 23 小题,满分150 分.考试用时120 分钟.一、选择题:本题共12 小题,每小题 5 分,共60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.12i()12iA . 4 3 i B. 4 3 i C. 3 4 i D. 3 4 i555555551.【解析】12i112i 234i34i,故选 D.12i2i12i5552.已知集合A{( x, y) | x2y 23, x Z , y Z} ,则A中元素的个数为()A .9B . 8C. 5D. 42.【解析】A{(1,1), ( 1,0), (1,1), (0,1), (0,0), (0,1),(1,1), (1,0), (1, 1)} ,元素的个数为9,故选 A .3.函数f (x)e x e x的图像大致为()x 2y yA .1B .1O1x O 1xy yC.1 D .1O1x O 1xe x e xf ( x) ,即 f ( x) 为奇函数,排除 A ;由f (1) e 1D;由3.【解析】 f ( x)20 排除x ef (4)e4 e 41211)(e11f (1)排除 C,故选 B .16(ee2 )(ee)e16e e4.已知向量a, b满足a 1 , a b1,则a(2a b)()A .4B . 3C. 2D. 04.【解析】a(2a b)2a b 2 1 3 ,故选B.2ax2y 21( a0, b0) 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为()5.双曲线b2a2A .y2x B.y3x C.y2x D.y3 2x25.【解析】离心率e c3c2 a 2b2b,渐近线方程为y 2 x ,故选A.a a 2a23 ,所以2a6.在ABC 中,cos C5, BC1, AC 5 ,则 AB()25A .4 2B .30C.29D.2 56.【解析】cosC 2 cos2C13,开始25由余弦定理得AB BC 2AC22BC ACcos4 2 ,N0, T0C故选 A .i17.为计算S11111,设计了右侧的是i100否1349921001程序框图,则在空白框中应填入()N Ni S N TA .i i11B .i i2T T输出 Si 1C.i i3结束D .i i47.【解析】依题意可知空白框中应填入i i 2 .第1次循环: N1,T 1,i 3 ;第2次循环:2N 11,T11,i5;;第50 次循环:N111,T111, i101 ,结32439924100束循环得 S11111,所以选 B.1349910028.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723,在不超过30 的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()1B .1C .11A .1415D .12188.【解析】 不超过 30 的素数有: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 ,共 10 个.从中选取两个不同的数, 其和等于 30的有: 7 与 23、 11与 19、 13 与 17 ,共 3 对.则所求概率为31,故选 C .C 102159.在长方体 ABCD A 1B 1C 1 D 1 中, AB BC1, AA 13 ,则异面直线 AD 1 与 DB 1 所成角的余弦值为()1B . 5C . 52A .65D .529.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,z则 A(1,1,0) , D 1 (1,0, 3) , D (1,0,0) , B 1 (0,1, 3)C 1,1DA 1 B所以 AD 1(0, 1, 3) , DB 1 ( 1,1, 3) ,1AD 1 DB 12 5DCBy则cosAD 1, DB 1,故选 C .AAD 1 DB 12 55x10.若 f ( x)cos x sin x 在 [a,a] 上是减函数,则 a 的最大值是()A .B .3D .2C .4410.【解析】 因为 f ( x)cos x sin x2 cos( x) 在区间 [ , 3 ,] 上是减函数, 所以 a 的最大值是44 44故选 A .11 . 已 知 f (x) 是 定 义 域 为 ( ,) 的 奇 函 数 , 满 足 f (1 x)f (1 x) . 若 f (1)2 , 则f (1) f ( 2) f (3)f (50)()A .50 B . 0C . 2D . 5011.【解析】因为 f ( x)f ( x) ,所以 f (1 x) f (x 1) ,则 f ( x1) f (x 1) , f ( x) 的最小正周期 为 T4 . 又 f (1) 2 , f (2)f ( 0) 0 , f (3)f (1)2 , f (4) f (0)0 , 所 以f (1)f ( 2)f (3)f (50) 12[ f (1) f (2) f (3)f ( 4)] f (49)f (50)f (1)f (2) 2 ,选 C .x 2y 2 1( a b312.已知 F 1, F 2 是椭圆 C :2b 20) 的左、右焦点, A 是 C 的左顶点, 点 P 在过 A 且斜率为a6的直线上,PF 1F 2 为等腰三角形,F 1F 2 P 120 ,则 C 的离心率为()2B .11 1A .2C .D .33412.【解析】如图,因为PF 1F 2 为等腰三角形, F 1 F 2 P 120 且 F 1F 2 2c ,所以 PF 1 F 2 30 ,则 P的坐标为 (2c,3c) ,故 k PA3c 3,化简得 4c a ,所以离心率e c1,故选 D .2c a6a4yPA F1 O F 2x二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.曲线y2ln( x1)在点 (0,0)处的切线方程为.13.【解析】y2y|x 0 2 ,则曲线 y2ln( x1)在点 (0,0)处的切线方程为 y2x.x1x 2 y5014.若x, y满足约束条件x 2 y30 ,则z x y 的最大值为.x5014.【解析】可行域为ABC 及其内部,当直线y x z 经过点B(5,4)时,z max9 .yBAC-3O5x15.已知sin cos1, cos sin0 ,则 sin().15.【解析】sin cos2sin 2 2 sin cos cos21,cos sin2cos2 2 cos sin sin 20 ,则 sin 22sin cos cos2cos22cos sin sin 20 1 1 ,即2 2 sin cos2cos sin1sin()1.216.已知圆锥的顶点为S ,母线SA, SB所成角的余弦值为7, SA与圆锥底面所成角为45,若SAB的面8积为 515 ,则该圆锥的侧面积为.16.【解析】如图所示,因为cos ASB 7ASB15S ,所以 sin,88SSAB1SA SB sin ASB15SA2 5 15 ,所以 SA4 5 .216又 SA与圆锥底面所成角为45,即SAO45 ,AO则底面圆的半径 OA210 ,圆锥的侧面积S OA SA40 2 .B三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、 23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分.17.( 12 分)记 S n 为等差数列 a n 的前 n 项和,已知 a 17 , S 315 .( 1)求 a n 的通项公式;( 2)求 S n ,并求 S n 的最小值.17.【解析】( 1)设等差数列a n 的公差为 d ,则 由 1 7 , S 3 3a 1 3d 15 得 d 2 ,a所以 a n7 (n 1) 22n 9,即 a n 的通项公式为 a n 2n 9 ;( 2)由( 1)知 S nn( 72n9) n 2 8n ,2因为 S n (n 4)2 16 ,所以 n4 时, S n 的最小值为 16 .18.( 12 分)下图是某地区2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y (单位:亿元)的折线图.投资额240220220209200184180 171160148140 122 129120 1006053 568035374242 4740192514202000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 年份为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额,建立了y 与时间变量 t 的两个线性回归模型,根据2000 年至 2016年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2, ,17y 30.4 13.5t ;根据 2010年至 2016)建立模型①: ?年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2, ,7 )建立模型②: y 99 17.5t .?( 1)分别利用这两个模型,求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值;( 2)你认为哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.18.【解析】( 1)将t19代入模型①:?30.4 13.5 19 226.1(亿元),y所以根据模型①得该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为226.1亿元;将 t 9 代入模型②:?99 17.59256.5 (亿元),y所以根据模型②得该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为256.5亿元.( 2)模型②得到的预测值更可靠.理由如下:答案一:从折现图可以看出,2010 年至 2016 年的数据对应的点并没有紧密地均分分布在回归直线y30.413.5t的上下,2009年至2010年的环境基础设施投资额出现了明显的大幅度增加,这说明模型?①不能很好的反应环境基础设施投资额呈线性增长.而2010 年至 2016年的数据对应的点紧密的分布在回归?17.5t 的附近,这说明模型②能更好地反应环境基础设施投资额呈线性增长,所以模型②得到的直线 y 99预测值更可靠.答案二:从计算结果来看,相对于2016 年的环境基础设施投资额为220 亿元,利用模型①得到的该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为226.1 亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为256.5亿元的增幅明显更合理,所以模型②得到的预测值更可靠.19.( 12 分)设抛物线 C : y24x的焦点为F,过F且斜率为k (k0) 的直线l 与 C 交于A, B两点,AB8 .(1)求l的方程;(2)求过点A, B且与C的准线相切的圆的方程.19.【解析】( 1)焦点F为 (1,0),则直线 l :y k( x1) ,联立方程组y k( x1),得22( 224)x 20,yy24x k x k k A令 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1x22k 24x1 x21.k2,- 1O F x根据抛物线的定义得AB x1x2 2 8 ,B 即 2k 24 6 ,解得k 1 (舍去 k1),k 2所以 l 的方程为y x1;( 2)设弦AB的中点为M,由( 1)知x1x2 3 ,所以M的坐标为(3,2),2则弦 AB 的垂直平分线为y x5,令所求圆的圆心为(m,5m) ,半径为 r ,2m5m12根据垂径定理得r AB221234 ,22m m由圆与准线相切得m 1221234,解得 m3或 m11 .m m则所求圆的方程为:( x 3) 2( y 2) 216 或 ( x 11) 2( y 6) 214420.( 12 分)如图,在三棱锥P ABC 中,AB BC22 ,PA PB PC AC4, O 为 AC 的中点.( 1)证明:PO平面 ABC ;( 2)若点M在棱BC上,且二面角M PA C 为30,求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值.P20.【解析】( 1)证明:连接OB,PA PC , O 为 AC 的中点,PO AC ,AB BC22, AC 4,AB 2BC 2AC 2,即AB BC ,OB 1AC 2 ,AOC 2又 PO23, PB 4 ,则 OB2PO 2PB 2,即 OP OB ,B MAC OB O ,PO平面 ABC ;( 2)由( 1)知OB,OC , OP两两互相垂直,z以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,P则 B(2,0,0) , C (0,2,0) , A(0,2,0) , P(0,0,2 3) ,BC ( 2,2,0), AP(0,2,23), CP(0,2,23)令 BM BC ,[ 0,1] .A OC y 则 OM OB BC(22,2,0) , AM(22,22,0) ,M令平面 PAM 的法向量为 n(x, y, z) ,Bxn AP 2 y 2 3z0,取 x3 1 ,得n ( 3 1 , 3 1 ,1)由n AM(2 2 )x ( 22) y 0易知平面 PAC 的一个法向量为m(1,0,0) ,所以 cos n, mn m3(1)3(1)3,1) 21) 2) 27 2cos302n m3(3((127解得1(舍去3),即n( 43,23,2) ,3333n CP 83因为 cos n, CP333.8,所以PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为n CP444 321.( 12 分)已知函数 f ( x)e x ax2.( 1)若a1,证明:当 x0 时,f ( x)1;( 2)若f ( x)在(0,) 只有一个零点,求 a .21.【解析】( 1)方法 1:欲证明当x0 时, f ( x)1,即证明e x1 .x21令 g ( x)e x,则g ( x)e x (x 21)2xe x(x 1) 2 e x0,x 2x 2 1 2x2 1 2 1则 g ( x) 为增函数, g (x)g (0) 1 ,得证.方法 2:a1时, f ( x) e x x2,则 f ( x) e x2x ,令 f (x)g( x) ,则 g ( x)e x 2 ,x[0, ln 2) 时, g (x)0 , g( x) 为减函数, x(ln 2,) 时, g ( x)0 , g( x) 为增函数,所以 g( x) min g(ln 2)22ln 20,即当x0 时, f (x)0, f (x) 为增函数,所以 f ( x) f (0) 1 ,因此 a 1 , x0 时, f (x) 1.( 2)方法 1:若f ( x)在(0,) 只有一个零点,则方程e xa 只有一个实数根.x2令 h(x)e xh( x) 的图像与直线y a 只有一个公共点.x2,等价于函数y又 h ( x)x2e x2xe x x 2 e xx4x3,x(0,2) 时, h ( x)0 , h( x) 为减函数, x (2,) 时, h ( x)0 , h( x) 为增函数,所以 h( x) min h(2)e2, x0 时h(x), x时 h( x).4则 a e2) 只有一个零点.时, f ( x) 在 (0,4方法 2:若f ( x)在(0,) 只有一个零点,则方程e xax 只有一个实数根.x令 h(x)e xh(x) 的图像与直线y ax 只有一个公共点.,等价于函数 yx当直线 y ax 与曲线y h(x) 相切时,设切点为(x0, e x0) ,x0又 h ( x)xe x e x x 1 e x x0 1 e x0e x0x0 2 ,此时a h ( x0)e2 x2x 2,则 h ( x0 )x02x02.4又当 x(0,1) 时, h ( x)0 , h( x) 为减函数,yx (1, ) 时, h ( x) 0 , h(x) 为增函数,所以 h( x) min h(1) e ,且 x 0 时 h(x), x 时 h( x).根据 yh( x) 与 yax 的图像可知,O 1 2xe 2 时,函数 yh(x) 的图像与直线 yax 只有一个公共点,即f ( x) 在 (0,) 只有一个零点.a4(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、 23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22. [选修 4—4:坐标系与参数方程]( 10 分)在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 C 的 参 数 方 程 为x 2 cosy( 为 参 数 ) , 直 线 l 的 参 数 方 程 为4sinx 1 t cos y2 (t 为参数 )t sin( 1)求 C 和 l 的直角坐标方程;( 2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2) ,求 l 的斜率.22.【解析】( 1)消去参数,得 C 的直角坐标方程为x 2 y 2 41;16消去参数 t ,得 l 的直角坐标方程为 sin x cos y sin2 cos0 ;( l 的直角坐标方程也可写成:y tan (x 1)2() 或 x 1 .)2( 2)方法 1:将 l 的参数方程:x 1 t cos x 2 y 2y 2t sin(t 为参数 ) 代入 C :164 4 1 t cos22 t sin216 ,即 1 3 cos2t24 2 cossint由韦达定理得 t 14 2cossint 23 cos 2,1依题意,曲线 C 截直线 l 所得线段的中点对应t 1t 2 0,即 2 cossin2因此 l 的斜率为 2 .方法 2:令曲线 C 与直线 l 的交点为 A( x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) ,x 1 2 y 1 2 1416x 2 x 1x 2y 1y 2 y 1y 2则由x 10 ,其中 x 1x 2 2 y 2 2 得4 1614161得:8 0 ,0 ,得 tan 2 .x 2 2, y 1 y 2 4 .所以x 1x2y 1 y 2y 1 y 2 2 ,即 l 的斜率为 2 .24x 1 x 223. [选修 4—5:不等式选讲 ]( 10 分)设函数f (x)5x ax 2 .( 1)当 a1时,求不等式f (x)0 的解集;( 2)若 f ( x)1 ,求 a 的取值范围.23.【解析】( 1) a1时, f ( x) 5 x 1x 2 ,x 1时, f( x) 5 x1 x2 2x 4 0 ,解得2 x 1 ; 1 x 2 时, f ( x) 5x1 x2 2 0,解得 1 x 2 ; x 2 时, f ( x)5 x 1 x22x6 0 ,解得 2 x3,综上所述,当 a 1 时,不等式 f (x) 0 的解集为 [ 2,3] .( 2) f (x)5 x ax2 1,即 xa x2 4 ,又 x a x 2 x a x 2 a 2 ,所以 a 24 ,等价于 a 2 4 或 a 24 ,解得 a 的取值范围为 { a | a2 或 a6} .。
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(新课标II 卷)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分 1.12i12i +=-( ) A .43i 55--B .43i 55-+C .34i 55--D .34i 55-+2.已知集合(){}223A x y x y x y =+≤∈∈Z Z,,,,则A 中元素的个数为( )A .9B .8C .5D .43.函数()2e e x xf x x --=的图像大致为( )4.已知向量a ,b 满足1=a ,1⋅=-a b ,则()2⋅-=a a b ( )A .4B .3C .2D .05.双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为3,则其渐近线方程为( )A .2y x =±B .3y x =±C .2y x =±D .3y x =±6.在ABC △中,5cos 2C=,1BC =,5AC =,则AB =( ) A .42B .30C .29D .257.为计算11111123499100S =-+-++-,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入( ) A .i i 1=+B .i i 2=+C .i i 3=+D .i i 4=+8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723=+.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )A .112 B .114 C .115 D .1189.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,1AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为()A .15BCD10.若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数,则a 的最大值是( ) A .π4B .π2C .3π4D .π11.已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数,满足()()11f x f x -=+.若()12f =, 则()()()()12350f f f f ++++=( )A .50-B .0C .2D .5012.已知1F ,2F 是椭圆()222210x y C a b a b +=>>:的左,右焦点,A 是C的左顶点,点P 在过A 且斜的直线上,12PF F △为等腰三角形,12120F F P ∠=︒,则C 的离心率为( )A .23B .12C .13D .14二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
WORD 格式整理绝密★启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12 小题,每小题 5 分,共60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.1 2i1 2iA.4 35 5i B.4 35 5i C.3 45 5i D.3 45 5i2.已知集合 2 2 3A x,y x y ≤,x Z,y Z,则A中元素的个数为A.9 B.8 C.5 D.4x xe e3.函数 2f xx的图像大致为4.已知向量a,b满足|a| 1 ,a b 1 ,则a(2a b)A.4 B.3 C.2 D.02 2x y5.双曲线2 2 1( 0, 0)a ba b的离心率为3,则其渐近线方程为A.y 2x B.y 3x C.2y x D.23y x26.在△ABC 中,cos C52 5,BC 1 ,AC 5 ,则ABA.4 2 B.30 C.29 D.2 5分享专业知识WORD 格式整理1 1 1 1 17.为计算S 1 ⋯,设计了右侧的程序框图,2 3 4 99 100开始N 0,T 0 则在空白框中应填入i 1 A.i i 1B.i i 2 是否i 100C.i i 3D.i i 4 N N 1iS N T 1输出ST Ti 1结束8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”,如30 7 23 .在不超过30 的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30 的概率是A.112B.114C.115D.1189.在长方体A BCD A1B1C1D1 中,AB BC 1 ,A A ,则异面直线AD1 与1 3 DB 所成角的余弦值为1A.15B.56C.55D.2210.若 f (x) cos x sin x 在[ a, a] 是减函数,则 a 的最大值是A.π4B.π2C.3π4D.π11.已知 f (x) 是定义域为( , ) 的奇函数,满足 f (1 x) f (1 x) .若 f (1) 2 ,则f (1) f (2) f (3) ⋯ f (50)A.50 B.0 C.2 D.5012.已知F1 ,2 2x yF 是椭圆:的左,右焦点,A是C 的左顶点,点P 在过A且斜率C 2 2 1(a b 0)2a b为36的直线上,△PF1F2 为等腰三角形,F1 F2 P 120 ,则C 的离心率为A.23B.12C.13D.14二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共20 分。
甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、陕西、重庆共10个省份使用的全国2卷2018年高考理科数学全国卷2试题与答案分析试题与答案分析一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
中,只有一项是符合题目要求的。
1.=( )A .iB .C .D .【解答】解:==+.选:.选:D D .2.已知集合A={A={((x ,y )|x 2+y 2≤3,x ∈Z ,y ∈Z ),则A 中元素的个数为(中元素的个数为( )A .9B .8C .5D .4 【解答】解:当x=x=﹣﹣1时,时,y y 2≤2,得y=y=﹣﹣1,0,1,当x=0时,时,y y 2≤3,得y=y=﹣﹣1,0,1,当x=1时,时,y y 2≤2,得y=y=﹣﹣1,0,1, 即集合A 中元素有9个,故选:个,故选:A A .3.函数f (x )=的图象大致为(的图象大致为( )A .B .C .D .【解答】解:函数f (﹣(﹣x x )==﹣=﹣f (x ),则函数f (x )为奇函数,图象关于原点对称,排除A ,当x=1时,时,f f (1)=e =e﹣﹣>0,排除D . 当x →+∞时,∞时,f f (x )→)→++∞,排除C ,故选:,故选:B B .4.已知向量,满足满足|||=1|=1,,=﹣1,则•(2)=( )A .4B .3C .2D .0 【解答】解:向量,满足满足|||=1|=1,,=﹣1,则•(2)=2﹣=2+1=3=2+1=3,,故选:故选:B B .5.双曲线=1=1((a >0,b >0)的离心率为,则其渐近线方程为(,则其渐近线方程为( )A .y=y=±±x B .y=y=±±x C .y=y=±±x D .y=y=±±x【解答】解:∵双曲线的离心率为e==,则=====,即双曲线的渐近线方程为y=y=±±x=x=±±x ,故选:,故选:A A .6.在△.在△ABC ABC 中,中,cos cos =,BC=1BC=1,,AC=5AC=5,则,则AB=AB=(( )A .4B .C .D .2【解答】解:在△解:在△ABC ABC 中,中,cos cos =,cosC=2cosC=2××=﹣,BC=1BC=1,,AC=5AC=5,则,则AB====4.故选:选:A A .7.为计算S=1S=1﹣﹣+﹣+…+﹣,设计了如图,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入(的程序框图,则在空白框中应填入( )A .i=i+1B .i=i+2C .i=i+3D .i=i+4 【解答】解:模拟程序框图的运行过程知,解:模拟程序框图的运行过程知,该程序运行后输出的是该程序运行后输出的是S=N S=N﹣﹣T=T=((1﹣)+(﹣)+…+(﹣);累加步长是2,则在空白处应填入i=i+2i=i+2.. 故选:故选:B B .8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+2330=7+23.在不超.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是(的概率是( )A .B .C .D .【解答】解:在不超过30的素数中有,的素数中有,22,3,5,7,1111,,1313,,1717,,1919,,2323,,29共10个,个,从中选2个不同的数有=45种,种,和等于30的有(的有(77,2323)),(1111,,1919)),(1313,,1717)),共3种,种,则对应的概率P==,故选:,故选:C C .9.在长方体ABCD ABCD﹣﹣A 1B 1C 1D 1中,中,AB=BC=1AB=BC=1AB=BC=1,,AA 1=,则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为(的余弦值为( )A .B .C .D . 【解答】解:以D 为原点,为原点,DA DA 为x 轴,轴,DC DC 为y 轴,轴,DD DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系,标系,∵在长方体ABCD ABCD﹣﹣A 1B 1C 1D 1中,中,AB=BC=1AB=BC=1AB=BC=1,,AA 1=,∴A (1,0,0),D 1(0,0,),D (0,0,0),B 1(1,1,),=(﹣(﹣11,0,),=(1,1,),设异面直线AD 1与DB 1所成角为θ, 则cos θ===,∴异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为.故选:故选:C C . 1010.若.若x x x f sin cos )(-=在],[a a -是减函数,则a 的最大值是(的最大值是( )A .B .C .D .π【解答】解:)4sin(2)cos (sin sin cos )(p --=--=-=x x x x x x f 由Zk k x k Î+£-£+-,22422p p p p p , 得Z k k x k Î+££+-,24324p p p p ,取0=k ,得)(x f 的一个减区间为]43,4[pp -,由)(x f 在],[a a - 是减函数,是减函数,得,∴.则a 的最大值是.故选:.故选:A A .1111.已知.已知)(xf 是定义域为(﹣∞,是定义域为(﹣∞,++∞)的奇函数,满足)1()1(x f x f +=-,若)1(f =2=2,则,则)1(f +)2(f +)3(f +…+)50(f =( )A .﹣.﹣50 50 B.0 C .2 D .50 【解答】解:∵)(x f 是奇函数,且)1()1(x f x f +=-, ∴)1()1()1(--=+=-x f x f x f 、,f (0)=0=0,, 则)()2(x f x f -=+,则)()2()4(x f x f x f =+-=+, 即函数)(xf 是周期为4的周期函数,的周期函数,∵)1(f =2=2,,∴)2(f =)0(f =0=0,,)3(f =)1()1()21(f f f -=-=- =﹣2, )4(f =)0(f =0=0,,则)1(f +)2(f +)3(f +)4(f =2+0=2+0﹣﹣2+0=02+0=0,,则)1(f +)2(f +)3(f +…+)50(f =12[)1(f +)2(f +)3(f +)4(f ]+)49(f +)50(f =)1(f +)2(f =2+0=2=2+0=2,故选:,故选:,故选:C C .1212.已知.已知F 1,F 2是椭圆C :=1=1((a >b >0)的左、右焦点,)的左、右焦点,A A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为的直线上,△的直线上,△PF PF 1F 2为等腰三角形,∠为等腰三角形,∠F F 1F 2P=120P=120°,°,则C 的离心率为(的离心率为( )A .B .C .D .【解答】解:由题意可知:解:由题意可知:A A (﹣(﹣a a ,0),F 1(﹣(﹣c c ,0),F 2(c ,0), 直线AP 的方程为:的方程为:y=y=(x+a x+a)), 由∠由∠F F 1F 2P=120P=120°,°,°,|PF |PF 2|=|F 1F 2|=2c |=2c,则,则P (2c 2c,,c ),代入直线AP AP::c=(2c+a 2c+a)),整理得:,整理得:a=4c a=4c a=4c,,∴题意的离心率e==.故选:.故选:D D .二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2018年高考理科数学小题标准练21.已知集合A ={x |(x -1)(x -3)(x -5)<0},B ={x ∈N |-2<x <6},则A ∩B 的元素的个数为( )A .1B .2C .3D .4答案 B解析 A ={x |(x -1)(x -3)(x -5)<0}={x |3<x <5或x <1}, B ={x ∈N |-2<x <6}={0,1,2,3,4,5}, 则A ∩B ={0,4},即A ∩B 的元素的个数为2,故选B.2.(2017·全国Ⅲ)设复数z 满足(1+i)z =2i ,则|z |等于( ) A.12B.22 C.2D .2答案 C解析 方法一 由(1+i)z =2i ,得z =2i1+i =1+i ,∴|z |= 2. 故选C.方法二 ∵2i =(1+i)2,∴由(1+i)z =2i =(1+i)2,得z =1+i , ∴|z |= 2. 故选C.3.(2017届山东省、湖北省部分重点中学模拟)为了解决低收入家庭的住房问题,某城市修建了首批216套住房,已知A ,B ,C 三个社区分别有低收入家庭720户,540户,360户,现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数,则应从C 社区抽取低收入家庭的户数为( ) A .48 B .36 C .24 D .18 答案 A解析 根据分层抽样的要求可知,在C 社区抽取户数为216×360720+540+360=216×29=48.故选A.4.(2017·浙江省宁波市镇海中学模拟)关于周期函数,下列说法错误的是( ) A .函数f (x )=sin x 不是周期函数B .函数f (x )=sin 1x 不是周期函数C .函数f (x )=sin|x |不是周期函数D .函数f (x )=|sin x |+|cos x |的最小正周期为π 答案 D解析 对于A :函数f (x )=sin x ,令x =u ,u ≥0, 则f (u )=sin u 不是周期函数,∴A 对;对于B :函数f (x )=sin 1x ,令1x=t ,t ≠0,则f (t )=sin t ,不是周期函数,∴B 对;对于C :函数f (x )=sin|x |是由函数y =sin x 的部分图象关于y 轴对称所得,不是周期函数, ∴C 对;对于D :函数f (x )=|sin x |+|cos x |的最小正周期为π2,∴D 不对.故选D.5.(2017·山东)执行两次右图所示的程序框图,若第一次输入的x 的值为7,第二次输入的x 的值为9,则第一次、第二次输出的a 的值分别为( )A .0,0B .1,1C .0,1D .1,0 答案 D解析 当x =7时, ∵b =2,∴b 2=4<7=x .又7不能被2整除,∴b =2+1=3.此时b 2=9>7=x ,∴退出循环,a =1,∴输出a =1.当x =9时,∵b =2,∴b 2=4<9=x . 又9不能被2整除,∴b =2+1=3.此时b 2=9=x ,又9能被3整除,∴退出循环,a =0. ∴输出a =0. 故选D.6.(2017·湖北省黄冈中学模拟)设m ,n 是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列命题中不正确的是( )A .当n ⊥α时,“n ⊥β”是“α∥β”的充要条件B .当m ⊂α时,“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C .当m ⊂α时,“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件D .当m ⊂α时,“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件 答案 C解析 C 中,当m ⊂α时,若n ∥α,则直线m ,n 可能平行,可能异面;若m ∥n ,则n ∥α或n ⊂α,所以“n ∥α”是“m ∥n ”的既不充分也不必要条件,故C 项不正确.7.(2017届山东省聊城市三模)已知两点A (-m,0)和B (2+m,0)(m >0),若在直线l :x +3y -9=0上存在点P ,使得P A ⊥PB ,则实数m 的取值范围是( ) A .(0,3)B .(0,4)C .[3,+∞)D .[4,+∞) 答案 C解析 以AB 为直径的圆的方程为(x -1)2+y 2=(1+m )2.在直线l :x +3y -9=0上存在点P ,使得P A ⊥PB ,则直线l 与圆有公共点. ∴|1-9|2≤1+m ,解得m ≥3.故选C.8.(2016·全国Ⅲ)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A .18+365B .54+18 5C .90D .81 答案 B解析 由题意知,几何体为平行六面体,边长分别为3,3,45,几何体的表面积S =3×6×2+3×3×2+3×45×2=54+18 5.9.(2017届山东师大附中模拟)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0)右支上非顶点的一点A关于原点O 的对称点为B ,F 为其右焦点,若AF ⊥FB ,设∠ABF =θ且θ∈⎝⎛⎭⎫π12,π4,则双曲线离心率的取值范围是( ) A .(2,2] B .(1,2] C .(2,+∞) D .(2,+∞)答案 C解析 如图所示,设双曲线的左焦点为F ′, 连接AF ′,BF ′.∵AF ⊥FB ,∴四边形AFBF ′为矩形, 因此|AB |=|FF ′|=2c , 则|AF |=2c sin θ,|BF |=2c cos θ. ∵|AF ′|-|AF |=2a . ∴2c cos θ-2c sin θ=2a . 即c (cos θ-sin θ)=a , 则e =c a =1cos θ-sin θ=12cos ⎝⎛⎭⎫θ+π4,∵θ∈⎝⎛⎭⎫π12,π4,∴θ+π4∈⎝⎛⎭⎫π3,π2, 则cos ⎝⎛⎭⎫θ+π4∈⎝⎛⎭⎫0,12, 2cos ⎝⎛⎭⎫θ+π4∈⎝⎛⎭⎫0,22,则12cos ⎝⎛⎭⎫θ+π4>122=2, 即e >2,故双曲线离心率的取值范围是(2,+∞), 故选C.10.(2017届四川省成都市三诊)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S m -1=13,S m =0,S m +1=-15.其中m ∈N *且m ≥2,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n +1的前n 项和的最大值为( )A.24143B.1143C.2413D.613答案 D解析 ∵S m -1=13,S m =0,S m +1=-15, ∴a m =S m -S m -1=0-13=-13, a m +1=S m +1-S m =-15-0=-15, 又∵数列{a n }为等差数列,∴公差d =a m +1-a m =-15-(-13)=-2, ∴⎩⎨⎧(m -1)a 1+(m -1)(m -2)2×(-2)=13,ma 1+m (m -1)2×(-2)=0,解得a 1=13,∴a n =a 1+(n -1)d =13-2(n -1)=15-2n , 当a n ≥0时,n ≤7.5, 当a n +1≤0时,n ≥6.5, ∴数列的前7项为正数, ∴1a n a n +1=1(15-2n )(13-2n )=12⎛⎭⎫113-2n -115-2n∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n +1的前n 项和的最大值为12⎝⎛⎭⎫111-113+19-111+17-19+…+1-13=12⎝⎛⎭⎫1-113=613.故选D.11.(2017届吉林省东北师大附中模拟)已知A ,B ,C 是球O 的球面上三点,AB =2,AC =23,∠ABC =60°,且棱锥O -ABC 的体积为463,则球O 的表面积为( )A .10πB .24πC .36πD .48π答案 D解析 ∵AB =2,AC =23,∠ABC =60°. ∴由正弦定理c sin C =a sin A =b sin B ,可得2sin C =23sin 60°,C <60°,sin C =12,C =30°,∴∠A =90°,BC =22+12=4. ∵A ,B ,C 是球O 的球面上三点, ∴截面圆的圆心为BC 中点,半径为2. ∵棱锥O -ABC 的体积为463,∴13×12×2×23×d =463,∴d =22, 设球O 的半径为R , 则R 2=(22)2+22=12,∴球O 的表面积为4πR 2=48π,故选D.12.设正数x ,y 满足log 13x +log 3y =m (m ∈[-1,1]),若不等式3ax 2-18xy +(2a +3)y 2≥(x -y )2有解,则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤1,5529 B.⎝⎛⎦⎤1,3121 C.⎣⎡⎭⎫3121,+∞ D.⎣⎡⎭⎫5529,+∞ 答案 C解析 ∵log 13x +log 3y =m ,即log 31x +log 3y =log 3yx=m ,∴y x =3m ,∵m ∈[-1,1],∴y x ∈⎣⎡⎦⎤13,3. ∵3ax 2-18xy +(2a +3)y 2≥(x -y )2, ∴3a -18y x +(2a +3)y 2x 2≥1-2y x +y 2x 2,令yx =t ,则2(a +1)t 2-16t +3a -1≥0, 设f (t )=2(a +1)t 2-16t +3a -1,∵不等式3ax 2-18xy +(2a +3)y 2≥(x -y )2有解, ∴f (t )在⎣⎡⎦⎤13,3上的最大值f (x )max ≥0, (1)当a =-1时,f (t )=-16t -4, ∴f (t )max =f ⎝⎛⎭⎫13=-163-4<0,不符合题意. (2)若a <-1,则f (t )开口向下,对称轴为t =4a +1<0, ∴f (t )在⎣⎡⎦⎤13,3上单调递减,∴f (t )max =f ⎝⎛⎭⎫13=29a 9-559<0,不符合题意. (3)若a >-1,则f (t )开口向上,对称轴为t =4a +1>0, (ⅰ)若0<4a +1≤13,即a ≥11时,f (t )在⎣⎡⎦⎤13,3上单调递增, ∴f (t )max =f (3)=21a -31>0,符合题意;(ⅱ)若4a +1≥3,即-1<a ≤13时,f (t )在⎣⎡⎦⎤13,3上单调递减, ∴f (t )max =f ⎝⎛⎫13=29a 9-559≤2927-559<0,不符合题意; (ⅲ)若13<4a +1<3,即13<a <11时,f (t )在⎣⎡⎦⎤13,3上先减后增, ∴f (t )max =f ⎝⎛⎭⎫13或f (t )max =f (3),∴f ⎝⎛⎭⎫13=29a 9-559≥0或f (3)=21a -31≥0, 解得a ≥5529或a ≥3121,又13<a <11,∴3121≤a <11. 综上,a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫3121,+∞. 故选C.13.(2017·山东)已知(1+3x )n 的展开式中含有x 2项的系数是54,则n =________. 答案 4解析 (1+3x )n 的展开式的通项为T k +1=C k n (3x )k. 令k =2,得T 3=9C 2n x 2.由题意得9C 2n =54,解得n =4.14.(2017·河北省石家庄市冲刺卷)已知定义在R 上的奇函数f (x ),当x >0时,f (x )=log 2(x +1),则使得f (2x )<f (x -1)成立的x 的取值范围为________. 答案 {x |x <-1}解析 定义在R 上的奇函数f (x ),f (0)=0,当x >0时,f (x )=log 2(x +1)为增函数,且此时f (x )>0, 当x <0,则-x >0,此时f (-x )=log 2(-x +1)=-f (x ),即当x <0时,f (x )=-log 2(-x +1),此时函数为增函数,且f (x )<0, 综上可知,f (x )在R 上为增函数, 则不等式f (2x )<f (x -1)等价为2x <x -1, 即x <-1.15.设不等式⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x ≤3,y ≥-1,x -y +3≥0,x +2y -9≤0表示的平面区域为M ,若直线y =k (x +2)上存在M 内的点,则实数k 的最大值是________. 答案 2解析 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x ≤3,y ≥-1,x -y +3≥0,x +2y -9≤0,作出可行域如图阴影部分所示,直线y =k (x +2)过定点P (-2,0),联立⎩⎪⎨⎪⎧x -y +3=0,x =-1,解得B (-1,2),∵k PB =2-0-1-(-2)=2,∴满足条件的k 的最大值为2.16.(2017·湖南省邵阳市联考)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,点M (x 0,22)⎝⎛⎭⎫x 0>p 2是抛物线C 上一点,圆M 与线段MF 相交于点A ,且被直线x =p2截得的弦长为3|MA |.若|MA ||AF |=2,则|AF |=______. 答案 1解析 由题意,M (x 0,22)在抛物线上, 则8=2px 0,则px 0=4,①由抛物线的性质可知,|DM |=x 0-p 2,|MA ||AF |=2,则|MA |=2|AF |=23|MF |=23⎝⎛⎭⎫x 0+p 2, ∵圆M 被直线x =p2截得的弦长为3|MA |,则|DE |=32|MA |=33⎝⎛⎭⎫x 0+p 2, 由|MA |=|ME |=r ,在Rt △MDE 中,|DE |2+|DM |2=|ME |2,即13⎝⎛⎭⎫x 0+p 22+⎝⎛⎭⎫x 0-p 22=49⎝⎛⎭⎫x 0+p 22, 将①代入整理得4x 20+p 2=20,②由①②,解得x 0=2,p =2, ∴|AF |=13⎝⎛⎭⎫x 0+p 2=1.。