数学归纳法练习

数列与数学归纳法练习题数学归纳法是数学中常用的一种证明方法，尤其在数列问题中被广泛应用。

通过数学归纳法，我们能够证明某个命题对所有自然数都成立，而不需要逐个验证。

本文将为大家提供数列与数学归纳法的练习题，帮助大家更好地掌握这一方法。

1. 练习题一证明下列命题对所有正整数n成立：(1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2(2) 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6解答：(1) 首先在n=1的情况下，命题显然成立，因为左右两边都等于1。

假设当n=k时，命题成立，即1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k^2。

下面证明当n=k+1时，命题也成立。

当n=k+1时，左边的求和式为：1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2(k+1)-1) = k^2 + (2k+1)。

根据假设，我们知道前面的求和式等于k^2，因此我们只需要证明(2k+1) = (k+1)^2即可。

展开(k+1)^2，得到k^2 + 2k + 1，与2k+1相比较，左右两边相等。

因此，由数学归纳法可知，命题对所有正整数n成立。

(2) 同样，在n=1的情况下，命题显然成立。

假设当n=k时，命题成立，即1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6。

下面证明当n=k+1时，命题也成立。

当n=k+1时，左边的求和式为：1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2。

将右边的分数相加，得到(k^3 + 3k^2 + 2k)/6 + (k^2 + 2k + 1)。

化简并合并同类项，得到(k^3 + 3k^2 + 2k + k^2 + 2k + 1)/6 = (k^3 +4k^2 + 5k + 1)/6。

因此，我们只需要证明(k^3 + 4k^2 + 5k + 1) = (k+1)(k+2)(2k+3)即可。

数列与数学归纳法的综合练习题一、数学归纳法的基本概念数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法。

它包括两个基本步骤：基础步和归纳步。

基础步是证明命题对于某个特定的自然数成立；归纳步是假设命题对于一个自然数成立，然后证明对于下一个自然数也成立。

下面通过具体的练习题来进一步理解数学归纳法的应用。

二、练习题一：数列的定义与递推关系1. 已知数列{an}的通项公式是an = 3n - 1（n为自然数），求前5项的值。

解：将n逐个代入通项公式，有：a1 = 3 * 1 - 1 = 2；a2 = 3 * 2 - 1 = 5；a3 = 3 * 3 - 1 = 8；a4 = 3 * 4 - 1 = 11；a5 = 3 * 5 - 1 = 14。

所以，数列{an}的前5项的值分别为2，5，8，11，14。

2. 已知数列{bn}的递推关系是bn = bn-1 + 2，其中b1 = 1，求前6项的值。

解：根据递推关系，可以得到：b2 = b1 + 2 = 1 + 2 = 3；b3 = b2 + 2 = 3 + 2 = 5；b4 = b3 + 2 = 5 + 2 = 7；b5 = b4 + 2 = 7 + 2 = 9；b6 = b5 + 2 = 9 + 2 = 11。

所以，数列{bn}的前6项的值分别为1，3，5，7，9，11。

三、练习题二：数学归纳法证明1. 证明1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2，其中n为自然数。

证明：基础步：当n=1时，等式左边为1，右边为1(1+1)/2，两边相等成立。

归纳步：假设当n=k时等式成立，即1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2；则当n=k+1时，等式左边变为1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1)；根据归纳假设，左边可以变为k(k+1)/2 + (k+1)；化简得 (k^2 + k + 2k + 2) / 2；再次化简得 (k^2 + 3k + 2) / 2；进一步化简得 (k+1)(k+2)/2；即等式右边。

11-4数学归纳法(理) 基础巩固强化1.用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13<2C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<3[答案] B[解析] ∵n ∈N *，n >1，∴n 取的第一个数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B.2．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得( )A ．n ＝6时该命题不成立B ．n ＝6时该命题成立C ．n ＝4时该命题不成立D ．n ＝4时该命题成立[答案] C[解析] ∵“若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则当n ＝k ＋1时，该命题也成立”，故若n ＝4时命题成立，则n ＝5时命题也应成立，现已知n ＝5时，命题不成立，故n ＝4时，命题也不成立．[点评] 可用逆否法判断．3．(2012·深圳市明德外语实验学校测试)用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n 2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3，第二步证明由“k 到k ＋1”时，左边应加( )A ．k 2B ．(k ＋1)2C ．k 2＋(k ＋1)2＋k 2D ．(k ＋1)2＋k 2[答案] D[解析] 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋…＋22＋12，∴选D.4．已知S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k (k ＝1,2,3，…)，则S k ＋1等于( )A ．S k ＋12(k ＋1)B ．S k ＋12k ＋2－1k ＋1C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2[答案] C[解析] S k ＋1＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12k ＋2. 5．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2、a 3、a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －2B ．a n ＝n 2C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝4n －3 [答案] B[解析] a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2. 6．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项B ．f (n )中共有n ＋1项C ．f (n )中共有n 2－n 项D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项[答案] D[解析] f (n )的分母从n 开始取自然数到n 2止，共有n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1项．7．如果不等式2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立，则n 0的最小值为________．[答案] 5[解析] 当n ＝1时，2>2不成立， 当n ＝2时，4>5不成立． 当n ＝3时，8>10不成立 当n ＝4时，16>17不成立 当n ＝5时，32>26成立当n ＝6时，64>37成立，由此猜测n 0应取5.8．用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n (3n ＋1)2(n∈N *)的第二步中，当n ＝k ＋1时等式左边与n ＝k 时等式左边的差等于________．[答案] 3k ＋2[解析] [(k ＋1)＋1]＋[(k ＋1)＋2]＋…＋[(k ＋1)＋(k ＋1)]－[(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(k ＋k )]＝[(k ＋1)＋k ]＋[(k ＋1)＋(k ＋1)]－(k ＋1) ＝3k ＋2.9．(2012·长春模拟)如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来的(n ＝1,2,3，…)，则第n －2(n ≥3，n ∈N *)个图形共有________个顶点．[答案] n (n ＋1)[解析] 当n ＝1时，顶点共有3×4＝12(个)， 当n ＝2时，顶点共有4×5＝20(个)， 当n ＝3时，顶点共有5×6＝30(个)， 当n ＝4时，顶点共有6×7＝42(个)，故第n －2图形共有顶点(n －2＋2)(n －2＋3)＝n (n ＋1)个． 10．已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n＋1)．试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n 与1的大小，并说明理由．[解析] ∵f ′(x )＝x 2－1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1.∵函数g (x )＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x 在区间[－1，＋∞)上单调递增，于是由a 1≥1，及a 2≥(a 1＋1)2－1得，a 2≥22－1，进而得a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1>23－1，由此猜想：a n ≥2n －1.下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时结论成立，即a k ≥2k －1，则当n ＝k ＋1时，由g (x )＝(x ＋1)2－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，a k＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k －1≥2k ＋1－1， 即n ＝k ＋1时，结论也成立．由①、②知，对任意n ∈N *，都有a n ≥2n －1. 即1＋a n ≥2n.∴11＋a n ≤12n .∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a 3＋…＋11＋a n ≤12＋122＋123＋…＋12n ＝1－(12)n<1.能力拓展提升11.若f (x )＝f 1(x )＝x1＋x ，f n (x )＝f n －1[f (x )](n ≥2，n ∈N *)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝( )A ．n B.9n ＋1 C.n n ＋1 D ．1[答案] A[解析] 易知f (1)＝12，f (2)＝23，f (3)＝34，…，f (n )＝nn ＋1；由f n (x )＝f n －1(f (x ))得，f 2(x )＝x 1＋2x ，f 3(x )＝x 1＋3x ，…，f n (x )＝x1＋nx ，从而f 1(1)＝12，f 2(1)＝13，f 3(1)＝14，…，f n (1)＝1n ＋1，， 所以f (n )＋f n (1)＝1，故f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝n .12.如图，一条螺旋线是用以下方法画成的：△ABC 是边长为1的正三角形，曲线CA 1、A 1A 2，A 2A 3是分别以A 、B 、C 为圆心，AC 、BA 1、CA 2为半径画的圆弧，曲线CA 1A 2A 3称为螺旋线旋转一圈．然后又以A 为圆心，AA 3为半径画圆弧……这样画到第n 圈，则所得螺旋线的长度l n 为( )A ．(3n 2＋n )πB ．(3n 2－n ＋1)π C.(3n 2＋n )π2D.(3n 2－n ＋1)π2[答案] A[解析] 由条件知CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n －1A n 对应的中心角都是2π3，且半径依次为1,2,3,4，…，故弧长依次为2π3，2π3×2，2π3×3…，据题意，第一圈长度为2π3(1＋2＋3)，第二圈长度为2π3(4＋5＋6)，第n 圈长度为2π3[(3n －2)＋(3n －1)＋3n ]，故L n ＝2π3(1＋2＋3＋…＋3n )＝2π3·3n (1＋3n )2＝(3n 2＋n )π.13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S n 、S n ＋1、2S 1成等差数列，则S 2、S 3、S 4分别为________，由此猜想S n ＝________.[答案] 32，74，158 S n ＝2n －12n －1[解析] ∵S n 、S n ＋1、2S 1成等差数列， ∴2S n ＋1＝S n ＋2S 1，∵S 1＝a 1＝1，∴2S n ＋1＝S n ＋2. 令n ＝1，则2S 2＝S 1＋2＝1＋2＝3， ∴S 2＝32.同理，分别令n ＝2、n ＝3， 可求得S 3＝74，S 4＝158，由S 1＝1＝21－120，S 2＝32＝22－121，S 3＝74＝23－122，S 4＝158＝24－123，猜想S n ＝2n －12n －1.14．(2012·温州一模)已知n ∈N *，设平面上的n 个椭圆最多能把平面分成a n 部分，则a 1＝2，a 2＝6，a 3＝14，a 4＝26，…，则a n ＝________.[答案] 2n 2－2n ＋2[解析] 观察规律可知a n －a n －1＝(n －1)×4，利用累加法可得a n＝2n 2－2n ＋2.15．用数学归纳法证明下面的等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n (n ＋1)2.[证明] (1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0·1×(1＋1)2＝1，∴原等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2 ＝(－1)k －1k (k ＋1)2.那么，当n ＝k ＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k ·(k ＋1)2 ＝(－1)k －1k (k ＋1)2＋(－1)k ·(k ＋1)2＝(－1)k·k ＋12[－k ＋2(k ＋1)]＝(－1)k (k ＋1)(k ＋2)2，∴n ＝k ＋1时，等式也成立， 由(1)、(2)得对任意n ∈N ＋有 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2 ＝(－1)n －1n (n ＋1)2.16．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a n(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上．[解析] (1)由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1. ∴b 2＝b 11－4a 21＝13，a 2＝a 1·b 2＝13.∴点P 2的坐标为(13，13)．∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，2a k＋b k＝1成立，则当n＝k＋1时，2a k＋1＋b k＋1＝2a k·b k＋1＋b k＋1＝b k1－4a2k·(2a k＋1)＝b k1－2a k＝1－2a k1－2a k1，∴当n＝k＋1时，命题也成立．由①②知，对n∈N*，都有2a n＋b n＝1，即点P n在直线l上．1．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某人的证明过程如下：1°当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立.2°假设n＝k(k∈N*)时不等式成立，即k2＋k<k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋k＋2＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立.上述证法()A．过程全都正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[答案] D[解析]上述证明过程中，在由n＝k变化到n＝k＋1时，不等式的证明使用的是放缩法而没有使用归纳假设．故选D.2．观察下式：1＋3＝221＋3＋5＝321＋3＋5＋7＝421＋3＋5＋7＋9＝52……据此你可归纳猜想出的一般结论为()A．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)B．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝n2(n∈N*)C．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝(n＋1)2(n∈N*)D．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2(n∈N*)[答案] D[解析]观察可见第n行左边有n＋1个奇数，右边是(n＋1)2，故选D.3．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为()A．190B．715C．725D．385[答案] B[解析]由条件可知前5件首饰的珠宝数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，即每件首饰的珠宝数为一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n 项和，通项a n ＝4n －3.由此可归纳出第n 件首饰的珠宝数为n [1＋(4n －3)]2＝2n 2－n .则前n 件首饰所用的珠宝总数为2(12＋22＋…＋n 2)－(1＋2＋…＋n )＝4n 3＋3n 2－n 6. 当n ＝10时，总数为715.4．已知正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有a 2n ≤a n －a n ＋1成立．(1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1；(2)探究a n 与1n的大小，并证明你的结论． [解析] (1)由a 2n ≤a n －a n ＋1得a n ＋1≤a n －a 2n .∵在数列{a n }中a n >0，∴a n ＋1>0，∴a n －a 2n >0，∴0<a n <1，故数列{a n }中的任何一项都小于1.(2)解法1：由(1)知0<a n <1＝11， 那么a 2≤a 1－a 21＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－122＋14≤14<12，由此猜想：a n <1n. 下面用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N 时猜想正确．①当n ＝2时，显然成立；②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N )时，有a k <1k ≤12成立． 那么a k ＋1≤a k －a 2k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k －122＋14<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －122＋14＝1k －1k 2＝k －1k 2<k －1k 2－1＝1k ＋1， ∴当n ＝k ＋1时，猜想也正确．综上所述，对于一切n ∈N *，都有a n <1n . 解法2：由a 2n ≤a n －a n ＋1，得0<a k ＋1≤a k －a 2k ＝a k (1－a k )，∵0<a k <1，∴1a k ＋1≥1a k (1－a k )＝1a k ＋11－a k， ∴1a k ＋1－1a k ≥11－a k>1. 令k ＝1,2,3，…，n －1得：1a 2－1a 1>1，1a 3－1a 2>1，…，1a n －1a n －1>1， ∴1a n >1a 1＋n －1>n ，∴a n <1n. 5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 都在函数f (x )＝x ＋a n 2x的图象上． (1)求a 1、a 2、a 3的值，猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明；(2)将数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a 1)，(a 2，a 3)，(a 4，a 5，a 6)，(a 7，a 8，a 9，a 10)；(a 11)，(a 12，a 13)，(a 14，a 15，a 16)，(a 17，a 18，a 19，a 20)；(a 21)，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n }，求b 5＋b 100的值．[分析] (1)将点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 代入函数f (x )＝x ＋a n 2x中，通过整理得到S n 与a n 的关系，则a 1，a 2，a 3可求；(2)通过观察发现b 100是第25组中第4个括号内各数之和，各组第4个括号中各数之和构成首项为68、公差为80的等差数列，利用等差数列求和公式可求b 100.[解析] (1)∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在函数f (x )＝x ＋a n 2x的图象上， ∴S n n ＝n ＋a n 2n ，∴S n ＝n 2＋12a n . 令n ＝1得，a 1＝1＋12a 1，∴a 1＝2； 令n ＝2得，a 1＋a 2＝4＋12a 2，∴a 2＝4； 令n ＝3得，a 1＋a 2＋a 3＝9＋12a 3，∴a 3＝6. 由此猜想：a n ＝2n .用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，由上面的求解知，猜想成立．②假设n ＝k (k ≥1)时猜想成立，即a k ＝2k 成立，则当n ＝k ＋1时，注意到S n ＝n 2＋12a n (n ∈N *)， 故S k ＋1＝(k ＋1)2＋12a k ＋1，S k ＝k 2＋12a k . 两式相减得，a k ＋1＝2k ＋1＋12a k ＋1－12a k ，所以a k ＋1＝4k ＋2－a k . 由归纳假设得，a k ＝2k ，故a k ＋1＝4k ＋2－a k ＝4k ＋2－2k ＝2(k ＋1)．这说明n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②知，对一切n ∈N *，a n ＝2n 成立．(2)因为a n ＝2n (n ∈N *)，所以数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(2)，(4,6)，(8,10,12)，(14,16,18,20)；(22)，(24,26)，(28,30,32)，(34,36,38,40)；(42)，….每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b 100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以b100＝68＋24×80＝1988，又b5＝22，所以b5＋b100＝2010.[点评]由已知求出数列的前几项，做出猜想，然后利用数学归纳法证明，是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式问题的方法．证明的关键是根据已知条件和假设寻找a k 与a k＋1或S k与S k＋1间的关系，使命题得证．。

小学六年级数学归纳法练习题数学归纳法是一种用于证明与自然数有关的命题的方法。

对于小学六年级的同学来说，通过练习数学归纳法的相关题目，可以培养逻辑思维和推理能力。

下面我们就来一起看看一些小学六年级数学归纳法的练习题。

一、基础练习1、观察下列算式：1 ＋ 3 ＝ 41 ＋ 3 ＋ 5 ＝ 91 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＝ 161 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＋ 9 ＝ 25根据以上规律，用数学归纳法证明：1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2n 1) ＝n²证明：当 n ＝ 1 时，左边＝ 1，右边＝ 1²＝ 1，等式成立。

假设当 n ＝ k（k ≥ 1）时，等式 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2k 1) ＝ k²成立。

那么当 n ＝ k ＋ 1 时，左边＝ 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2k 1) ＋（2(k ＋ 1) 1)＝ k²＋（2k ＋ 1)＝ k²＋ 2k ＋ 1＝（k ＋ 1)²所以当 n ＝ k ＋ 1 时，等式也成立。

综上，对于任意正整数 n，1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2n 1) ＝ n²成立。

2、计算：1×2 ＋ 2×3 ＋ 3×4 ＋… ＋ n(n ＋ 1)，并用数学归纳法证明你的结论。

解：1×2 ＋ 2×3 ＋ 3×4 ＋… ＋ n(n ＋ 1) ＝ 1/3 × n(n ＋ 1)（n ＋ 2)证明：当 n ＝ 1 时，左边＝ 1×2 ＝ 2，右边＝ 1/3 × 1×2×3 ＝ 2，等式成立。

假设当 n ＝ k（k ≥ 1）时，等式 1×2 ＋ 2×3 ＋ 3×4 ＋… ＋ k(k ＋ 1) ＝ 1/3 × k(k ＋ 1)（k ＋ 2) 成立。

那么当 n ＝ k ＋ 1 时，左边＝ 1×2 ＋ 2×3 ＋ 3×4 ＋… ＋ k(k ＋ 1) ＋（k ＋ 1)（k ＋ 2)＝ 1/3 × k(k ＋ 1)（k ＋ 2) ＋（k ＋ 1)（k ＋ 2)＝（k ＋ 1)（k ＋ 2)（1/3k ＋ 1)＝ 1/3 ×（k ＋ 1)（k ＋ 2)（k ＋ 3)所以当 n ＝ k ＋ 1 时，等式也成立。

教材习题点拨练习(P 19）证明:(1)当n=1时,x 2—y 2=（x+y ）(x —y ）,能够被x —y 整除.(2)假设当n=k 时,结论成立,即x 2k -y 2k 能够被x —y 整除。

当n=k+1时,)1(2+k x—)1(2+k y =)1(2+k x —)1(2+k y +x 2k y 2—x 2k y 2 =)1(2+k x —x 2k y 2+x 2k y 2—)1(2+k y=x 2k （x 2—y 2）+y 2（x 2k -y 2k ），由于x 2—y 2和x 2k —y 2k 都能被x —y 整除，所以)1(2+k x -)1(2+k y 能够被x-y 整除.所以n=k+1时也成立。

故结论得证。

习题14（P 19)1。

证明:(1)当n=1时,21=1—21,等式成立。

(2）假设当n=k 时,等式成立，即21+41+…+k 21=1-k 21. 当n=k+1时，21+41+…+k 21+121+k =1-k 21+121+k =1122+k +121+k =1-121+k .所以n=k+1时等式也成立.故结论得证. 2.证明:当n=2时,f （2）=2)12(2-=1，两条直线的交点数为1,结论明显成立。

(2）假设当n=k 时,结论成立，即k 条直线的交点数为f(k)=2)1(-k k . 当n=k+1时,交点数相当于在k 条直线的交点数的基础上增加了k 条,即f(k+1）=f(k)+k=2)1(-k k +k=22k k -+22k =2)1(+k k 。

所以n=k+1时也成立。

故结论得证.3。

证明:(1）当n=1时，左边=12=1,右边=6)112)(11(1+⨯+=1，左边=右边,故结论成立.(2）假设当n=k 时,等式成立，即12+22+…+k 2=6)12)(1(++k k k .当n=k+1时，12+22+…+k 2+（k+1）2=6)12)(1(++k k k +（k+1)2=6)12)(1(++k k k + 6]1)1(2][1)1)[(1(6)32)(2)(1(6)662)(1(6)1(622+++++=+++=++++=+k k k k k k k k k k k 所以n=k+1时等式也成立.故结论得证。

2.3数学归纳法第1课时数学归纳法1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()．A．2 B．3 C．5 D．6解析当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.答案 C2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N＋)，验证n＝1时，左边应取的项是()．A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析等式左边的数是从1加到n＋3.当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.答案 D3．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于()．A.13n＋2B.13n＋13n＋1C.13n＋1＋13n＋2D.13n＋13n＋1＋13n＋2解析∵f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1，∵f(n＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n－1＋13n＋13n＋1＋13n＋2，∴f(n＋1)－f(n)＝13n＋13n＋1＋13n＋2.答案 D4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________．答案1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)25．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解析由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案π6．用数学归纳法证明：1 1×2＋13×4＋…＋1(2n－1)·2n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n.证明(1)当n＝1时，左边＝11×2＝12，右边＝12，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1 1×2＋13×4＋…＋1(2k－1)·2k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k.则当n＝k＋1时，1 1×2＋13×4＋…＋1(2k－1)·2k＋1(2k＋1)(2k＋2)＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋1(2k＋1)(2k＋2)＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋⎝⎛⎭⎪⎫12k＋1－12k＋2＋1k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＝1(k＋1)＋1＋1(k＋1)＋2＋…＋1(k＋1)＋k＋1(k＋1)＋(k＋1).即当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．7．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有()．A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确解析由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n ＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.答案 C8．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从n＝k到n＝k＋1，左边增加的代数式为()．A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D.2k＋3k＋1解析n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(2k)；n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)…(2k)(2k＋1)，故选B.答案 B9．分析下述证明2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1(n∈N＋)的过程中的错误：证明假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N＋等式都成立．__________________.答案缺少步骤归纳奠基，实际上当n＝1时等式不成立10．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n ＝k＋1左边需要添加的因式是________．解析当n＝k时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，当n ＝k ＋1时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k ＋k )(k ＋1＋k ＋1)， 由k 到k ＋1需添加的因式为：(2k ＋2)． 答案 2k ＋2 11．用数学归纳法证明12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2 ＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．12．(创新拓展)已知正数数列{a n }(n ∈N *)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n ，用数学归纳法证明：a n ＝n －n －1. 证明 (1)当n ＝1时．a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，∴a 21＝1(a n >0)，∴a 1＝1，又1－0＝1， ∴n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝k －k －1. 当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k∴a 2k ＋1＋2k a k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k (a n >0)， ∴n ＝k ＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n ∈N *都有a n ＝n －n －1.。

1．应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线条数f (n )＝12n (n －3)(n ≥3)．证明：①当n ＝3时，三角形没有对角线，f (3)＝0，又f (3)＝12×3×(3－3)＝0，命题成立．②假设当n ＝k (k ≥3)时命题成立，即凸k 边形A 1A 2…A k 有f (k )＝12k (k －3)条对角线，再加一个顶点A k ＋1，构成凸k ＋1边形，则增加了k －2条对角线，又原来的边A 1A k 变成了对角线，故对角线增加了k －1条，即凸k ＋1边形有f (k ＋1)＝12k (k－3)＋k －1＝12(k 2－3k ＋2k －2)＝12(k 2－k －2)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]条对角线，可知当n ＝k ＋1时，命题成立，综合①②可知命题对于n ≥3的自然数n 都成立．2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何正整数n ，等式a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)都成立，并证明你的结论．解析：将n ＝1,2,3分别代入等式得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝6，a 1＋2a 2＝24，a 1＋2a 2＋3a 3＝60，解得a 1＝6，a 2＝9，a 3＝12，设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝3，从而a n ＝3n ＋3.故存在一个等差数列a n ＝3n ＋3，使得当n ＝1,2,3时，等式成立．下面用数学归纳法证明结论成立．①当n ＝1时，结论显然成立．②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，即a1＋2a2＋3a3＋…＋ka k＝k(k＋1)(k＋2)．那么当n＝k＋1时，a1＋2a2＋3a3＋…＋ka k＋(k＋1)a k＋1＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)[3(k＋1)＋3]＝(k＋1)(k2＋2k＋3k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]．∴当n＝k＋1时，结论也成立．由①②知存在一个等差数列a n＝3n＋3，使得对任何正整数n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝n(n＋1)(n＋2)都成立．3．已知数列{a n}，a n≥0，a1＝0，a2n＋1＋a n＋1－1＝a2n.求证：当n∈N*时，a n<a n＋1.证明：(1)当n＝1时，因为a2是方程x2＋x－1＝0的正根，所以a1<a2.(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，0≤a k<a k＋1，因为a2k＋1－a2k＝(a2k＋2＋a k＋2－1)－(a2k＋1＋a k＋1－1)＝(a k＋2－a k＋1)(a k＋2＋a k＋1＋1)>0，所以a k＋1<a k＋2，即当n＝k＋1时，a n<a n＋1也成立．根据(1)和(2)，可知a n<a n＋1对任意n∈N*都成立．4．已知a>0，b>0，n>1，n∈N*.用数学归纳法证明：a n＋b n2≥(a＋b2)n.证明：(1)当n＝2时，左边－右边＝a2＋b22－(a＋b2)2＝(a－b2)2≥0，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k >1)时，不等式成立，即a k ＋b k 2≥(a ＋b 2)k .因为a >0，b >0，k >1，k ∈N *，所以(a k ＋1＋b k ＋1)－(a k b ＋ab k )＝(a －b )·(a k －b k )≥0， 于是a k ＋1＋b k ＋1≥a k b ＋ab k .当n ＝k ＋1时，(a ＋b 2)k ＋1＝(a ＋b 2)k ·a ＋b 2≤a k ＋b k 2·a ＋b 2＝a k ＋1＋b k ＋1＋a k b ＋ab k 4≤a k ＋1＋b k ＋1＋a k ＋1＋b k ＋14＝a k ＋1＋b k ＋12， 即当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综合(1)，(2)知，对于a >0，b >0，n >1， n ∈N *，不等式a n ＋b n 2≥(a ＋b 2)n 总成立．。

高二数学归纳法练习题一、选择题从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案。

1. 使用归纳法证明命题“对任意正整数n，当n为偶数时，2n一定是偶数”，需要进行的推理基础是：A. 列举B. 逆否命题C. 数学归纳法D. 反证法2. 已知正整数序列An满足An = An-1 + n，若A1 = 3，则A3的值为：A. 6B. 8C. 9D. 113. 使用归纳法证明命题“对任意自然数n，2^n + 1能被3整除”，需要证明的基础命题是：A. 2^1 + 1能被3整除B. 2^n能被3整除C. 2^2 + 1能被3整除D. 2^n + 1能被3整除4. 已知定义在非负整数上的函数f(n)满足f(0) = 0，且对任意非负整数n，f(n+1) = f(n) + 2n + 1。

则f(3)的值为：A. 6B. 8C. 9D. 115. 使用数学归纳法证明命题“对任意正整数n，2^n - 1能被7整除”，需要进行的推理基础是：A. 2^1 - 1能被7整除B. 2^n能被7整除C. 2^2 - 1能被7整除D. 2^n - 1能被7整除二、解答题请根据所给条件，使用归纳法完成下列问题的证明。

1. 对任意正整数n，证明下列命题成立：1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。

2. 已知正整数序列Bn满足Bn = Bn-1 + 2n - 1，且B1 = 1，证明Bn = n^2。

3. 对任意正整数n，证明下列命题成立：1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3= ((n(n+1))/2)^2。

4. 已知定义在非负整数上的函数g(n)满足g(0) = 1，且对任意非负整数n，g(n+1) = g(n) + 3n + 1。

证明g(n) = (n+1)^2。

5. 对任意正整数n，证明下列命题成立：1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2= (n(n+1)(2n+1))/6。

三、应用题根据所给条件，使用归纳法解决下列问题。

4.4 数学归纳法(精练)【题组一 增项问题】1．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明等式(1)(2)()213(21)n n n n n n ++⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅-()N n *∈，从k 到1k +左端需要增乘的代数式为( ) A ．21k + B ．()221k + C ．211k k ++ D ．231k k ++ 【答案】B【解析】当n k =时，左端为()()()1232k k k k +++⋅⋅⋅当1n k =+时，左端为()()()()2322122k k k k k ++⋅⋅⋅+⋅+因为()()()()()()()()23221221232221k k k k k k k k k k ⎡⎤++⋅⋅⋅+⋅+=+++⋅⋅⋅⋅+⎣⎦所以从k 到1k +左端需要增乘的代数式为()221k +，故选：B. 2．(2021·全国高二专题练习)用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝221(1)1n a a a+-≠-”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4【答案】C【解析】由21n a +知，当1n =时，等式的左边是231a a a +++.故选：C.3．(2021·全国)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，n n x y +能被x y +整除”时，第二步归纳假设应写成( )A ．假设当()*21n k k N=+∈时成立，再推出当23n k =+时成立B ．假设当()*21n k k N =-∈时成立，再推出当21n k =+时成立C ．假设当()*n k k N =∈时成立，再推出当1n k =+时成立D ．假设当()1n k k =≥时成立，再推出当2n k =+时成立 【答案】B【解析】第二步假设当()*21n k k =-∈N 时成立，再推出当()21121n k k =+-=+时成立.故选：B.4．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明()1111N ,22321nn n n *++++<∈≥-时，第一步需要验证的不等式是( ) A ．1122+< B ．111223++<C ．111323++<D ．11113234+++<【答案】B【解析】因为2n ≥，由数学归纳法可知：第一步需要证明2n =时该不等式成立， 所以第一步需要验证的不等式是111223++<，故选：B.5．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明：首项是a 1，公差是d 的等差数列的前n 项和公式是S n ＝na 1＋(1)2n n -d 时，假设当n ＝k 时，公式成立，则S k ＝( ) A ．a 1＋(k －1)d B ．1()2k k a a + C ．ka 1＋(1)2k k -d D ．(k ＋1)a 1＋(1)2k k + d 【答案】C【解析】假设当n ＝k 时，公式成立，只需把公式中的n 换成k 即可，即S k ＝ka 1＋(1)2k k -d . 故选: C6(2021·杭州市实验外国语学校高中部高二期中)用数学归纳法证明：11112321n n ++++<-，(*,1)n n ∈>N 时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是( ) A ．2k B ．21k - C ．12k - D ．21k +【答案】A【解析】从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项为1111,,,22121k k k ++-，因此增加的项数是121212k k k +--+=，故选A .7．(2021·全国)用数学归纳法证明：()()()()1121321126n n n n n n n ⨯+⨯-+⨯-++⨯=++，当n k =时，左式为()f k ，当1n k =+时，左式为()1f k +，则()()1f k f k +-应该是( )A ．()11k ⨯+B ．()1231k +++++C ．123k ++++D ．()2k k ⨯-【答案】B【解析】由题意，()12(1)3(2)4(3)...1=⋅+-+-+-++⋅f k k k k k k ，()11(1)23(1)4(2)...2(1)1+=⋅+++-+-++⋅++⋅f k k k k k k k ，所以()()11[(1)]2[(1)]3[(1)(2)]4[(2)(3)]...(21)(1)1+-=⋅+-+⋅--+⋅---+⋅---++⋅-++⋅f k f k k k k k k k k k k k 123...(1)=++++++k k .故选：B.8．(2021·陕西省黄陵县中学高二月考(理))用数学归纳法证明“1111(2)2321n n n ++++<≥-”时，由n k =的假设证明1n k =+时，不等式左边需增加的项数为( ) A ．12k - B ．21k -C ．2kD ．21k +【答案】C【解析】当n k =时，左边11112321k =++++-， 当1n k =+时，左边11111111123212222121k k k k k ++=+++++++++-+-，所以左边增加111112212221k k k k +++++++-分母是连续的正整数所以共增加了1(21)212222k k k k k +--+=⨯-=项所以n k =的假设证明1n k =+时，不等式左边需增加的项数为2k 故选：C9．(2021·全国)用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝1n(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，左边计算所得的式子是( ) A ．1 B ．1＋a C ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3 【答案】B【解析】当n ＝1时，左边计算得出1a +故选：B10．(2021·河南信阳高中高二月考(理))用数学归纳法证明242123,2n n n n N *++++⋅⋅⋅+=∈，则当1n k =+时，左端应在n k =的基础上加上( ) A ．21k +B ．()21k +C ．()()()222121k k k +++⋅⋅⋅++D ．()()24112k k +++【答案】C【解析】当n k =时，等式左端为2123k +++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，等式左端为()()()2222123121k k k k +++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++，∴左端应在n k =的基础上加上()()()222121k k k ++++⋅⋅⋅++.故选：C.11(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，从“n=k ”到“n=k+1”，左边需增添的代数式是( ) A ．(2k+1)+(2k+2) B ．(2k-1)+(2k+1) C ．(2k+2)+(2k+3) D ．(2k+2)+(2k+4)【答案】C【解析】当n=k 时，左边是共有2k+1个连续自然数相加，即1+2+3+…+(2k+1)， 所以当n=k+1时，左边共有2k+3个连续自然数相加， 即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3). 所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3). 故选：C12．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明242123()2n n n n N *+++++=∈，则当1n k =+时，等式左边应该在n k =的基础上加上( ) A ．21k + B ．2(1)k +C ．2(2)k +D ．222(1)(2)(1)k k k ++++++【答案】D【解析】当n =k 时，等式左端2123k =++++，当n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++，增加了项222(1)(2)(1)k k k ++++++．故选：D ．13．(2021·全国)用数学归纳法证明下列等式：()()()()()()()()122135712112112312nn n n n n n n +++-+-++⋯+--+-++-+=-+．要验证当1n =时等式成立，其左边的式子应为( ) A ．1- B ．13-+ C ．135-+- D ．1357-+-+【答案】C 【解析】由题意，当1n =时， 左边1213(1)(213)+=-+++-⨯+135=-+-故选：C14．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明不等式11111123422n n-++++>-(*,2n N n ∈≥)时，以下说法正确的是( )A ．第一步应该验证当1n =时不等式成立B ．从“n k =到1n k =+”左边需要增加的代数式是12kC ．从“n k =到1n k =+”左边需要增加2k 项D ．从“n k =到1n k =+”左边需要增加的代数式是1111121222k k k--+++++ 【答案】D【解析】第一步应该验证当2n =时不等式成立，所以A 不正确； 因为11111111111111()2342234221222k k k k k---++++-++++=++++， 所以从“n k =到1n k =+”左边需要增加的代数式是1111121222k k k--+++++，所以B 不正确； 所以从“n k =到1n k =+”左边需要增加12k -项，所以C 不正确. 故选:D.【题组二 等式的证明】1．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明：22212(1)1335(21)(21)2(21)n n n n n n ++++=⨯⨯-++． 【答案】见解析【解析】(1)当1n =时，左边=211133=⨯，右边=213213⨯⨯=，等式成立， (2)假设当n k =时，等式成立，即22121335+⨯⨯＋…＋()()22121k k k -+＝()()1221k k k ++， 当1n k =+时，22121335+⨯⨯＋…＋()()22121k k k -++()()()221123k k k +++ ()()()()()2121212123k k k k k k ++++=++1121223k k k k k ++⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭()()()221121223k k k k k +++=⋅++ ()()()1112211k k k +++⎡⎤⎣⎦=++⎡⎤⎣⎦，即当1n k =+时等式也成立.，由(1)(2)可知：等式对任何*n N ∈都成立， 故22212(1)1335(21)(21)2(21)n n n n n n ++++=⨯⨯-++. 2．(2021·全国)用数学归纳法证明： (1)()213521n n +++⋯+-=；(2)21122221n n -++++=-；(3)233331123(1)2n n n ⎡⎤++++=+⎢⎥⎣⎦．【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3) 证明见解析. 【解析】(1)当1n =时，等式左边1=，右边1=，所以等式成立； 假设n k =时等式成立，即()213521k k +++⋯+-=，则当1n k =+时，()()()()221352121211k k k k k +++⋯+-+++==++， 故1n k =+时等式成立，综上可知，等式()213521n n +++⋯+-=成立.(2) 当1n =时，等式左边1=，右边1=，所以等式成立； 假设n k =时等式成立，即21122221k k -++++=-，则当1n k =+时，()1121222221222211k k k k k k +-++++=-=⨯-=++-，故1n k =+时等式成立， 综上可知，等式21122221n n -++++=-成立.(3) 当1n =时，等式左边1=，右边1=，所以等式成立； 假设n k =时等式成立，即233331123(1)2k k k ⎡⎤++++=+⎢⎥⎣⎦，则当1n k =+时，()()()2333333221123111(1)1124k k k k k k k k ⎡⎤+++++=+++⎢⎛⎫++=++⎣⎪⎦ ⎝⎥⎭()()()()()22222111111212222k k k k k k ⎛⎫++++++ ⎪⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ，故1n k =+时等式成立， 综上可知，等式233331123(1)2n n n ⎡⎤++++=+⎢⎥⎣⎦成立.【题组三 不等式的证明】1．(2021·全国高二课时练习)证明：不等式()*11111123422n n n N -+++++>∈，恒成立. 【答案】证明见解析. 【解析】当1n =时，112>成立 假设n k =时，不等式11111123422k k-++++⋯+>成立那么1n k =+时111111111111112342212222212k k k k k kk ----++++⋯+++++>++++++ 111212k k ->+，111222k k ->+，，1122k k=11111111111211234221222222k k k k k k k k ----+∴++++⋯+++++>+=++ 即1n k =+时，该不等式也成立综上：不等式()*11111123422n n n N -++++⋯+>∈，恒成立.2(2021·全国高三专题练习)证明：对于一切自然数1n ≥都有222n n +>.【答案】证明见解析【解析】(1)当1n =时，1222411+=>=，成立； 当2n =时，2222624+=>=，成立； 当3n =时，32221039+=>=，成立.(2)假设当(3,)n k k k =≥∈N 时不等式成立，即222k k +>，222k k >-， 当1n k =+时，()12222(1)22221k k k k k ++-+=⋅+-++()()2222222123(3)(1)k k k k k k k >-+-++=--=-+.因为3k ≥，即(3)(1)0k k -+≥， 所以1222(1)0k k ++-+>，即当1n k =+时，1222(1)k k ++>+时仍成立. 由(1)(2)所述，原不等式得证.3．(2021·全国高三专题练习)证明不等式1(n ∈N *)．【答案】证明见解析【解析】当n ＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即1< 当n ＝k ＋1时，1+<==所以当n ＝k ＋1时，不等式成立． 综上，原不等式对任意n ∈N *都成立．4．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明：1111123421++++⋯+≤-nn . 【答案】证明见解析；【解析】(1)当1n =时，左边1=，右边1=，不等式成立.(2)假设当n k =，*k N ∈时，不等式成立，即有1111123421kk ++++⋯+≤-，则当1n k =+时，左边=1111123421k ++++⋯+-112111221k k k ++⋯+++-+ k ≤+111122121k k k +++⋯++-， 又111122121k k k +++⋯++-1212k k <⋅= 即1111123421k ++++⋯+-112111221k k k ++⋯+++-+1k ≤+， 即当1n k =+时，不等式也成立.综上可得，对于任意*n N ∈，1111123421++++⋯+≤-nn 成立. 5．(2021·全国高二课时练习)试用数学归纳法证明2221111123(1)22n n ++⋯+>-++. 【答案】证明见解析【解析】(1)当1n =时，左边＝14，右边＝16，不等式成立；(2)假设当()*n k k N =∈时，原不等式成立，即2221111123(1)22k k ++⋯+>-++，当1n k =+时，22222111111123(1)(2)22(2)k k k k ++⋯++>-+++++ ∵()222111111111022(2)2332(2)3(2)k k k k k k k k ⎛⎫-+--=-+=> ⎪++++++++⎝⎭ ∴21111122(2)23k k k -+>-+++．即222211111123(1)(2)23k k k ++⋯++>-+++， 所以，当1n k =+时，不等式也成立．根据(1)和(2)可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立． 6．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明1＋2n ≤1＋111232n +++≤12＋n (n ∈N *)． 【答案】见解析【解析】(1)当n ＝1时，≤1＋≤，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k ， 则当n ＝k ＋1时， 1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k ·＝1＋.又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k ＋2k ·＝＋(k ＋1)，即n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有n ∈N *都成立．【题组四 数列的证明】1．(2021·全国高二课时练习)已知数列{a n }满足：11a =，点*1(,)()n n a a n N +∈在直线21y x =+上．(1)求234,,a a a 的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想．【答案】(1)23a =，37a =，415a =；21nn a =-；(2)证明见解析.【解析】(1)点*1(,)()n n a a n N +∈在直线21y x =+上可知，数列{}n a 满足： 121n n a a +=+，11a =，2343,7,15a a a ∴===．可猜得21n n a =-．(2)当1n =时，1211a =-=成立，假设当(1,)n k k k N =≥∈时，21kk a =-成立，则当1n k =+时，11212(21)121k k k k a a ++=+=-+=-成立，就是说*n N ∈，猜想正确；综上，21nn a =-．2(2021·河北曹妃甸一中高二期中)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中(21)n n S a n n =-且113a =.(1)求23,a a ；(2)猜想数列{}n a 的通项公式，并证明．【答案】(1)2115a =，3135a =，；(2)猜想1(21)(21)n a n n =-+，证明见解析.【解析】(1)由题意，数列{}n a 满足(21)n n S a n n =-，且113a =，可得21222(221)6S a a a +==⋅⨯-， 即2111515a a ==，又由312333(231)15S a a a a ++==⨯⨯-，可得31261415a a a =+=，可得3135a =. (2)由113a =，2115a =，31,35a =，猜想：1(21)(21)n a n n =-+，证明：当1n =时，由(1)可知等式成立； 假设n k =时，猜想成立，即1(21)(21)k a k k =-+，当1n k =+时，由题设可得11,(21)(1)(21)k k k k S S a a k k k k ++==-++， 所以1(21)(21)(21)(21)21k k k S k k a k k k k k -=-⋅=-++=， ()()11121k k S k k a ++=++， 又由111(1)(21)21k k k k k a S S k k a k +++=-=++-+，所以1(23)21k k k k a k ++=+， 所以()()()()1112123211211k a k k k k +==++⎡⎤⎡⎤+-++⎣⎦⎣⎦， 即当1n k =+时，命题也成立， 综上可得，命题1(21)(21)n a n n =-+对任意n *∈N 都成立. 3．(2021·安徽金安·六安一中高二月考(理))已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足1122n n n a S a =+-，且0n a >． (1)求1a 、2a 、3a ；(2)猜思{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明．【答案】(1)11a =，2a =32a =(2)猜想n a n *∈N ，证明见解析．【解析】(1)对任意的n *∈N ，1122n n n a S a =+-，且0n a >． 当1n =时，11111122a a S a ==+-，整理得211210a a +-=，且0n a >，所以11a ； 当2n =时，221221122a S a a a =+=+-，整理得22210a +-=，且0n a >，所以2a = 当3n =时，3312331122a S a a a a =++=+-，整理得23310a +-=，且0n a >，所以32a = (2)由(1)猜想n a n *∈N ，下面用数学归纳法加以证明：①当1n =时，由(1)知11a 成立；②假设当()n k k *=∈N时，k a = 当1n k =+时，11111111111222222k k k k k k k k k a a a a S S a a a ++++++⎛⎫⎛⎫=-=+--+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以21110k k a +++-=，且10k a +>，所以1k a +=1n k =+时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n *∈N 都成立．4．(2021·全国高二课时练习)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，214a =，且()1*1122n n n a S n N n -⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭. (1)求12S 、24S 、38S ； (2)由(1)猜想数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】(1)112S =，244S =，398S =；(2)()2*2n n S n n N =∈，证明见解析. 【解析】(1)()1*1122n n n a S n n -⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭N ， 当1n =时，1111112a S S ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，解得12S =，即有112S =； 当2n =时，22121121422a S S S ⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭，解得216S =，则244S =； 当3n =时，2332311223a S S S ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，解得372S =，则398S =； (2)由(1)猜想可得数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为()2*2n n S n n =∈N . 下面运用数学归纳法证明.①当1n =时，由(1)可得112S =成立； ②假设()*n k k N =∈，22k k S k =成立， 当1n k =+时，1111111221k k k k k a S S S k +-+++⎛⎫=-=+- ⎪+⎝⎭， 即有()221112221221k k k k k k S S k k k +⎛⎫-=-=-=-⋅ ⎪+⎝⎭⋅， 则()()()1111221k k k S k k k +-=+-⋅+， 当1k =时，上式显然成立；当1k >时，()()221121212k k k S k k ++=+⋅=+⋅，即()21112k k S k ++=+， 则当1n k =+时，结论也成立.由①②可得对一切*n ∈N ，22n n S n =成立. 5．(2021·全国)猜想满足1a a =，1121n n n a a a ++-=的数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．【答案】1(2)(1)n n n aa n n a ---=--，证明见解析【解析】由1121n n n a a a ++-=可得112n na a +=-， 得211122a a a ==--， 32112123222a a a a a-===----，4311322243232a a a a a a -===-----． 推测1(2)(1)n n n aa n n a ---=--．下面用数学归纳法证明：①当1n =时，左边1a a ==， 右边11(12)1(11)a a a ---==--，结论成立．②假设(*)n k n N =∈时等式成立， 有1(2)(1)k k k a a k k a ---=--，则当1n k =+时，111(1)1(2)212(1)k k k k a a k k a a k ka k k a +--===----+----故当1n k =+时，结论也成立．由①②可知，对任何*n N ∈都有1(2)(1)n n n a a n n a ---=--．【题组五 整除问题】1．(2021·陕西渭滨·(理))用数学归纳法证明：对任意正整数,4151n n n +-能被9整除．【答案】见解析【解析】证明：(1)当1n =时，4151n n +-18=，能被9整除，故当1n =时， 4151n n +-能被9整除．(2)假设当n k =时，命题成立，即4151k k +-能被9整除，则当1n k =+时，()1415(1)1441519(52)k k k k k +++-=+---也能被9整除.综合(1)(2)可得, 对任意正整数,4151n n n +-能被9整除．2．(2021·陕西碑林·西北工业大学附属中学高二月考(理))用数学归纳法证明：()21243n n n N ++++∈能被13整除．【答案】证明见解析.【解析】当1n =时，3343642791+=+=，又13791⨯=，∴()21243n n n N ++++∈能被13整除； 假设当n k =时，21243k k +++能被13整除，即()2124133k k m m N +++=∈+，那么当1n k =+时，21123321111643314364163133k k k k k k k +++++++=⨯+⨯=⨯+⨯-⨯+()()2111111643133161313313163k k k k k m m +++++=⨯+-⨯=⨯-⨯=-能被13整除；综上所述：()21243n n n N ++++∈能被13整除.3(2021·河南高二月考(理))用两种方法证明：()33*278n n n +--∈N 能被49整除．【答案】证明见解析. 【解析】证明：方法一：331278878n n n n ++--=--01112111111C 7C 7C 7C 7C 78n n nn n n n n n n n +-++++++=+++++--01112111C 7C 7C 77(1)178n n nn n n n n +-+++=++++++--()0111201121111111C 7C 7C 7C 7C 7C 49n n n n n n n n n n n n +----+++--+=+++=+++⨯因为01121111C 7C 7C n n nn n n ---++++++为整数，所以33278n n +--能被49整除．方法二：(1)当1n =时，33278641549n n +--=-=，能被49整除．(2)假设当(1)n k k =≥，33278k k +--能被49整除，那么，当(1)1n k k =+≥，()3(1)33333327(1)822715827849(1)k k k k k k k ++++-+-=⨯--=--++． 因为33278k k +--能被49整除，()491k +也能被49整除，所以()313)2718k k <++-+-能被49整除，即当(1)1n k k =+≥时命题成立，由(1)(2)知，()33*278n n n +--∈N 能被49整除．4．(2020·上海高二课时练习)求证：对于自然数*212,43n n n N ++∈+能被13整除.【答案】证明见解析；【解析】当1n =时，3343642791+=+=，91能被13整除.假设当*,n k n N =∈时结论成立，即21243k k +++能被13整除.则当1n k =+时，()21222122121114433444333k k k k k k ++++++++=⋅+⋅-⋅+⋅+()21221443331k k k +++=+⋅+⋅，由于21243k k +++能被13整除，所以()2111243k k +++++能被13整除. 所以当1n k =+时，结论成立.综上所述，对于自然数*212,43n n n N ++∈+能被13整除.5．(2022·上海高三专题练习)求证：当*n ∈N ，且2n 时，1(1)--+-n n n a nab n b 能被2()a b -整除.【答案】证明见解析；【解析】证明：当2n =时，原式为2222()a ab b a b -+=-，显然能被2()a b -整除，假设当(2)n k k =时1(1)k k k a kab k b --+-能被2()a b -整除，设上式除以2()a b -所得的商为r ，则12(1)()k k k a kab k b r a b --+-=-12(1)()k k k a kab k b r a b -∴=--+-1212(1)()k k k a ka b k ab r a b a +-∴=--+-因而11(1)k k k a k ab kb ++-++2121(1)()(1)k k k k ka b k ab r a b a k ab kb ++=--+--++122()()k kb a b r a b a -=-+-12()()k ra kb a b -=+-，∴当1n k =+时命题成立，∴当*n N ∈，且2n 时，1(1)--+-n n n a nab n b 能被2()a b -整除．6．(2022·上海高三专题练习)证明(31)71+-n n 能被9整除()*n ∈N .【答案】证明见解析；【解析】证明(1)当1n =时，(31)71(31)7127+-=+⨯-=n n 是9的倍数.命题成立.(2)假设当n k =时，命题成立，即(31)71+-k k 能被9整除.那么当1n k =+时，1[3(1)1]71(2128)71+++-=+⋅-k k k k(31)71(1827)7=+⋅-++⋅k k k k由假设(31)71k k +⋅-能被9整除，(1827)7(23)79k k k k =+⋅+⋅⋅能被9整除.所以(31)71(1827)7k k k k +⋅-++⋅能被9整除.即1n k =+是命题也成立.(3)根据(1)，(2)可知()3171n n +-能被9整除.7．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明：1211112n n +-+能被133整除 ()*n N∈．【答案】见解析 【解析】证明： ①当1n =时，121211*********n n +-+=+=能被133整除，所以 1n =时结论成立，． ②假设当()*n k k N =∈时，1211112k k +-+能被133整除，那么当1n k =+时， 2211212111211111212k k k k +++-+=⨯+⨯121212121111121112111212k k k k +---=⨯+⨯-⨯+⨯()1212111111213312k k k +--=⨯++⨯．由归纳假设可知()1212111111213312k k k +--⨯++⨯能被133整除，即 2211112k k +++能被133整除．所以1n k =+时结论也成立综上，由①②得，1211112n n +-+能被133整除.。