【配套K12】江苏省2019高考数学二轮复习 专题四 函数与导数 第2讲 导数及其应用学案

板块四考前回扣2.函数与导数内容索引回归教材易错提醒回扣训练回归教材1.求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.对抽象函数，只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同.[问题1]函数f (x )＝＋lg(1＋x )的定义域是_________________.11－x(－1,1)∪(1，＋∞)2.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应法则的函数，它是一个函数，而不是几个函数.[问题2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的 取值范围是_________.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－1，123.求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数.(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数.(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数.(4)导数法：适合于可导函数.(5)换元法(特别注意新元的范围).(6)分离常数法：适合于一次分式.[问题3] 函数y ＝2x 2x ＋1(x ≥0)的值域为________. ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，14.判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响.[问题4]f (x )＝是____函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)奇lg (1－x 2)|x －2|－2 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0，得定义域为(－1,0)∪(0,1)， f (x )＝lg (1－x 2)－(x －2)－2＝lg (1－x 2)－x .∴f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数.5.函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.(2)若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |).(3)若奇函数f (x )的定义域中含有0，则必有f (0)＝0.“f (0)＝0”是“f (x )为奇函数”的既不充分又不必要条件.增[问题5] 设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数在定义域上单调递________.6.判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的，一般用数形结合法去观察.(2)由基本初等函数通过加减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性判断问题.(3)对于解析式较复杂的，一般用导数.(4)对于抽象函数，一般用定义法.[问题6]函数y ＝|log 2|x －1||的递增区间是________________.[0,1)，[2，＋∞)－17.有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f (x )＝f (x ＋a )(a >0)，则f (x )的周期T ＝a ；(2)f (x ＋a )＝1f (x )(f (x )≠0)或f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的周期T ＝2a . [问题7] 设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52＝________.8.函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x 而言)；上下平移——“上加下减”.(2)翻折变换：f (x )→|f (x )|；f (x )→f (|x |).(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点成中心对称；③函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于直线x ＝0(y 轴)对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称.[问题8]函数y ＝的对称中心是________.(1,3)3x x －19.如何求方程根的个数或范围求f (x )＝g (x )根的个数时，可在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象，看它们交点的个数；求方程根(函数零点)的范围，可利用图象观察或零点存在性定理.[问题9]已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，110.二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合.二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系.(2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形.[问题10]若关于x 的方程ax 2－x ＋1＝0至少有一个正根，则a 的取值范围为__________.⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，1411.指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝a x的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logx的图象恒过定点(1,0).a[问题11]设a＝log6，b＝log510，c＝log714，则a，b，c的大小关系是3a>b>c________.12.函数与方程(1)函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标.(2)y ＝f (x )在[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且f (a )f (b )<0，那么f (x )在(a ，b )内至少有一个零点，即至少存在一个x 0∈(a ，b )使f (x 0)＝0.这个x 0也就是方程f (x )＝0的根.(3)用二分法求函数零点.11212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭[问题12]函数f (x )＝的零点个数为________.13.利用导数研究函数单调性的步骤(1)确定函数y ＝f (x )的定义域.(2)求导数y ′＝f ′(x ).(3)解方程f ′(x )＝0在定义域内的所有实根.(4)将函数y ＝f (x )的间断点(即函数无定义点)的横坐标和各个实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间.(5)确定f ′(x )在各个小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性.特别提醒：(1)多个单调区间不能用“∪”连接；(2)f (x )为减函数时，f ′(x )≤0恒成立，但要验证f ′(x )是否恒等于0.[问题13]若函数f (x )＝x 2－ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________.12 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1，3214.导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f (x )＝x 3，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点.[问题14]函数f (x )＝的极值点是________.14x 4－13x 3x ＝115.利用导数解决不等式问题的思想(1)证明不等式f (x )<g (x )，可构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，再证明h (x )max <0.(2)不等式恒成立问题可利用分离参数法或直接求含参数的函数的最值.[问题15] 已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为__________.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫43，＋∞易错提醒例1函数y ＝(x 2－5x ＋6)的单调增区间为__________.易错分析忽视对函数定义域的要求，漏掉条件x 2－5x ＋6>0.易错点1忽视函数的定义域12log 解析由x 2－5x ＋6>0，知x >3或x <2.令u ＝x 2－5x ＋6，则u ＝x 2－5x ＋6在(－∞，2)上是减函数，∴y ＝(x 2－5x ＋6)的单调增区间为(－∞，2).12log 答案(－∞，2)例2已知奇函数f(x)是定义在(－3,3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)＋f(x2－3)<0，求x的取值范围.易错分析解函数有关的不等式，除考虑单调性、奇偶性，还要把定义域放在首位.∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)＝f (3－x 2).又f (x )在(－3,3)上是减函数，∴x －3>3－x 2，即x 2＋x －6>0，解得x >2或x <－3.解 由⎩⎪⎨⎪⎧ －3<x －3<3，－3<x 2－3<3，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <6，－6<x <6且x ≠0，故0<x < 6.综上得2<x <6，即x 的取值范围为(2，6).例3若函数f (x )＝在(－∞，＋∞)上单调，则a 的取值范围是_________________________.易错分析只考虑分段函数各段上函数值变化情况，忽视对定义域的临界点处函数值的要求.易错点2分段函数意义不清⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ≥0，(a 2－1)e ax ，x <0 答案 (－∞，－2]∪(1，2]解析若函数在R 上单调递减，则有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ a <0，a 2－1>0，(a 2－1)e 0≥1，解得a ≤－2；则有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ a >0，a 2－1>0，(a 2－1)e 0≤1，解得1<a ≤2，若函数在R 上单调递增，故a 的取值范围是(－∞，－2]∪(1，2].例4若函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m 的取值范围是_______________.易错分析解本题易出现的错误有分类讨论不全面、函数零点定理使用不当，如忽视对m ＝0的讨论.易错点3函数零点求解讨论不全面解析当m ＝0时，x ＝为函数的零点；当m ≠0时，若Δ＝0，即m ＝1时，x ＝1是函数惟一的零点，若Δ≠0，显然x ＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f (x )＝mx 2－2x ＋1＝0有一个正根一个负根，即mf (0)<0，即m <0.12答案(－∞，0]∪{1}例5已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程.易错分析“在点”处的切线，说明点在曲线上，且点是切点.“过点”的切线，说明切线经过点：当这个点不在曲线上时，一定不是切点；当这个点在曲线上时，也未必是切点.易错点4混淆“在点”和“过点”致误解设切点为M(x0，x3－3x).因为点M在切线上，所以x30－3x0＝(3x20－3)x0＋16，得x＝－2，所以切线方程为y＝9x＋16.易错点5极值点条件不清例6已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值，且极值为10，则a＋b ＝_____.易错分析把f′(x)＝0作为x0为极值点的充要条件，没有对a，b值进行验证，导致增解.答案－7当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1).在x ＝1两侧的符号相反，符合题意.当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2在x ＝1两侧的符号相同，所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去.综上可知，a ＝4，b ＝－11，所以a ＋b ＝－7.解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10， 得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， ①f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， ②联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3.例7若函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在R 上是增函数，则a 的取值范围是__________.易错分析误认为f ′(x )>0恒成立是f (x )在R 上是增函数的必要条件，漏掉f ′(x )＝0的情况.易错点6函数单调性与导数关系理解不准确解析f (x )＝ax 3－x 2＋x －5的导数f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1，由f ′(x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4－12a ≤0，解得a ≥13.答案 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫13，＋∞回扣训练(－∞，－6)∪(6，＋∞)1.函数f(x)＝log2(x2－6)的定义域为________________________.解析由题意得x2－6>0⇒x>6或x<－6，即定义域为(－∞，－6)∪(6，＋∞).2.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >0，x 2，x ≤0，则满足f (a )＝1的实数a 的值为________.－1解析 依题意，满足f (a )＝1的实数a 必不大于零，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a 2＝1，由此解得a ＝－1.3.(2018·江苏溧阳中学等三校联考)若f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝x 2－8x ＋30，则＝________.－24 f (10)解析 由已知，得f (10)＝－f (－10)＝－f (4－10)，又f (4－10)＝(4－10)2－8(4－10)＋30＝24，故f (10)＝－24.4.已知函数f (x )＝其中m >0，若函数y ＝f (f (x ))－1有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是______.⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋m ，x <0，x 2－1，x ≥0，(0,1)解析 令f (f (x ))＝1，得f (x )＝2或f (x )＝m －1<0，进一步，得x ＝2＋1或x ＝m －2<0或x ＝m .因为m >0，所以只要m <1，即0<m <1即可.5.(2018·南通模拟)若曲线y＝x ln x在x＝1与x＝t处的切线互相垂直，则e－2正数t的值为________.解析因为y′＝ln x＋1，所以(ln1＋1)(ln t＋1)＝－1，所以ln t＝－2，t＝e－2.6.不等式log a x －ln 2x <4(a >0，且a ≠1)对任意x ∈(1,100)恒成立，则实数a的取值范围为__________________.(0,1)∪(，＋∞) 14e7.已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－3)(x0＋1)2，则该函数的单调减区间为__________.(－∞，3]解析由导数的几何意义可知，f′(x)＝(x0－3)(x0＋1)2≤0，解得x0≤3，即该函数的单调减区间是(－∞，3].8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集为__________________.(－5,0)∪(5，＋∞)解析由x2＋2x－3>0，可得x>1或x<－3，“綈p是綈q的充分不必要条件”等价于“q是p的充分不必要条件”，故a≥1.9.已知函数f (x ＋1)是偶函数，当1<x 1<x 2时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0恒成立，设a ＝，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为_______.b <a <c f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12解析因为f (x ＋1)是偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)，所以y ＝f (x )关于直线x ＝1对称.又1<x 1<x 2，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，知y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，且2<52<3，所以f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52<f (3)，即b <a <c .10.已知函数f (x )＝若函数f (x )的图象与直线y ＝x 有三个不同的公共点，则实数a 的取值集合为____________.{－16，－20}⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x <1，x 3－9x 2＋25x ＋a ，x ≥1.11.已知函数f (x )＝在x ＝1处取得极值2.(1)求函数f (x )的表达式；ax x 2＋b解 因为f ′(x )＝a (x 2＋b )－ax ·2x (x 2＋b )2， 而函数f (x )＝ax x 2＋b 在x ＝1处取得极值2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a (1＋b )－2a ＝0，a 1＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1. 所以f (x )＝4x 1＋x 2即为所求.(2)当m 满足什么条件时，函数f (x )在区间(m,2m ＋1)上单调递增？解 由(1)知，f ′(x )＝4(x 2＋1)－8x 2(x 2＋1)2＝－4(x －1)(x ＋1)(1＋x 2)2，所以⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧m ≥－1，2m ＋1≤1，m <2m ＋1，解得－1<m ≤0. 由f ′(x )>0可知，－1<x <1，故f (x )的单调增区间是[－1,1].所以当m ∈(－1,0]时，函数f (x )在区间(m,2m ＋1)上单调递增.12.已知函数f (x )＝(c >0且c ≠1，k ∈R )恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x ＝－c .(1)求函数f (x )的另一个极值点；kx ＋1x 2＋c(2)求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求M－m≥1时k的取值范围.。

第2讲 导数及其应用[考情考向分析] 1.导数的几何意义和导数运算是导数应用的基础，曲线的切线问题是江苏高考的热点，要求是B 级. 2.利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B 级．热点一 函数图象的切线问题例1 已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)． (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0， 解得a ≠－12.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 思维升华 解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，先使用曲线上点的横坐标表示切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系．跟踪演练1 (1)(2018·常州期末)已知函数f (x )＝bx ＋ln x ，其中b ∈R ，若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________． 答案 1e解析 因为f (x )＝bx ＋ln x (x ＞0)，所以f ′(x )＝b ＋1x，设过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，bx 0＋ln x 0)，则切线方程为y －(bx 0＋ln x 0)＝⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1x(x －x 0)，因为该切线过原点，所以－(bx 0＋ln x 0)＝－()bx 0＋1， 解得ln x 0＝1，x 0＝e ，所以k ＝b ＋1e ，故k －b ＝1e.(2)(2018·江苏泰州中学月考)若曲线y ＝12e x 2与曲线y ＝a ln x 在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，则实数a 的值为________． 答案 1解析 两曲线的导数分别是y ′＝1e x ，y ′＝ax，因为在P 处有公切线，所以s e ＝a s 且s 22e＝a ln s ，解得a ＝1.热点二 利用导数研究函数的单调性例2 已知函数f (x )＝2ln x ＋bx ，直线y ＝2x －2与曲线y ＝f (x )相切于点P . (1)求点P 的坐标及b 的值；(2)若函数g (x )＝x －a x(a >0)，讨论函数h (x )＝g (x )－f (x )的单调区间．解 (1)设P (x 0，y 0)为直线y ＝2x －2与曲线y ＝f (x )的切点坐标，则有2ln x 0＋bx 0＝2x 0－2.①因为f ′(x )＝2x ＋b (x ＞0)，所以2x 0＋b ＝2.②联立①②解得b ＝0，x 0＝1，则切点P (1,0)，b ＝0.(2)由(1)知f (x )＝2ln x ，则h (x )＝g (x )－f (x )＝x －a x－2ln x (x >0)．求导得h ′(x )＝1＋a x 2－2x ＝x 2－2x ＋ax 2(x >0)．令y ＝x 2－2x ＋a (x ＞0)．①若Δ＝4－4a ≤0，即a ≥1时，y ≥0，即h ′(x )≥0，此时函数h (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数；②若Δ＝4－4a >0，即0<a <1时，函数y ＝x 2－2x ＋a 有两个不同零点x 1＝1－1－a ，x 2＝1＋1－a .因为0<a <1，所以0＜x 1＜x 2.当0<x <x 1和x >x 2时，y ＞0，即h ′(x )>0，h (x )为增函数； 当x 1<x <x 2时，y ＜0，即h ′(x )<0，h (x )为减函数．综上所述，当a ≥1时，函数h (x )的单调增区间为(0，＋∞)，无单调减区间；当0<a <1时，函数h (x )的单调增区间为(0,1－1－a )，(1＋1－a ，＋∞)，单调减区间为(1－1－a ，1＋1－a )．思维升华 利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求导函数f ′(x )．(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立来求解．跟踪演练2 (1)函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调减区间为________．答案 (0,1)解析 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝x －1x＜0，解得0＜x <1，所以函数f (x )的单调减区间为(0,1)．(2)已知函数h ()x ＝ln x －()a ＋e x 在区间()1，＋∞上为单调函数，则实数a 的取值范围是___________________________________． 答案 (－∞，－e]∪[1－e ，＋∞)解析 当h ()x 单调递增时，则h ′()x ＝1x－()a ＋e ≥0在()1，＋∞上恒成立，∴1x ≥()a ＋e 在()1，＋∞上恒成立，又1x∈()0，1，∴a ＋e≤0，解得a ≤－e.当h ()x 单调递减时，则h ′()x ＝1x－()a ＋e ≤0在()1，＋∞上恒成立，∴1x≤()a ＋e 在()1，＋∞上恒成立， ∴a ＋e≥1，∴a ≥1－e.综上，当h ()x 在区间(1，＋∞)上单调时，a 的取值范围为()－∞，－e]∪[1－e ，＋∞. 热点三 利用导数研究函数的极值与最值例3 已知函数f (x )＝ax －2x－3ln x ，其中a 为常数．(1)当函数f (x )的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f⎝ ⎛⎭⎪⎫23处的切线的斜率为1时，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上的最小值；(2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x(x >0)，由题意可知，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝1，解得a ＝1. 故f (x )＝x －2x －3ln x ，∴f ′(x )＝(x －1)(x －2)x2， 根据题意在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上，由f ′(x )＝0，得x ＝2.于是在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )min ＝f (2)＝1－3ln 2.(2)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ＝ax 2－3x ＋2x2(x >0), 由题意可得方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x 1，x 2，并令h (x )＝ax 2－3x ＋2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a >0，x 1＋x 2＝3a >0，x 1x 2＝2a >0，⎝⎛⎭⎪⎫也可以为⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a >0，－－32a >0，h (0)>0. 解得0<a <98.故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，98. 思维升华 (1)求函数f (x )的极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号．(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解． (3)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．跟踪演练3 (2018·南京模拟)已知函数f (x )＝2x 3－3ax 2＋3a －2()a >0，记f ′()x 为f (x )的导函数．(1)若f (x )的极大值为0，求实数a 的值；(2)若函数g ()x ＝f (x )＋6x ，求g ()x 在[]0，1上取到最大值时x 的值． 解 (1) f ′(x )＝6x 2－6ax ＝6x (x －a )()a >0.令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a .当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 故f (x )极大值＝f (0)＝3a －2＝0，解得a ＝23.(2)g (x )＝f (x )＋6x ＝2x 3－3ax 2＋6x ＋3a －2(a ＞0)， 则g ′(x )＝6x 2－6ax ＋6＝6(x 2－ax ＋1)，x ∈[0,1]． ①当0＜a ≤2时，Δ＝36(a 2－4)≤0，所以g ′(x )≥0恒成立，g (x )在[0,1]上单调递增， 则g (x )取得最大值时x 的值为1；②当a ＞2时，g ′(x )的对称轴x ＝a2＞1，且Δ＝36(a 2－4)＞0，g ′(1)＝6(2－a )＜0，g ′(0)＝6＞0，所以g ′(x )在(0,1)上存在唯一零点x 0＝a －a 2－42.当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增， 当x ∈(x 0,1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，则g (x )取得最大值时x 的值为x 0＝a － a 2－42.综上，当0＜a ≤2时，g (x )取得最大值时x 的值为1； 当a ＞2时，g (x )取得最大值时x 的值为a －a 2－42.1．(2017·江苏)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a >0，b ∈R )有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b 2>3a ；(3)若f (x )，f ′(x )这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a 的取值范围．(1)解 由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 32＋b －a 23.当x ＝－a 3时，f ′(x )有极小值b －a 23.因为f ′(x )的极值点是f (x )的零点，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝－a 327＋a 39－ab 3＋1＝0，又a >0，故b ＝2a 29＋3a.因为f (x )有极值，故f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0有实根， 所以Δ＝4a 2－12b ≥0，从而b －a 23＝19a (27－a 3)≤0，即a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )>0(x ≠－1)， 故f (x )在R 上是增函数，f (x )没有极值；当a >3时，f ′(x )＝0有两个相异的实根x 1＝－a －a 2－3b 3，x 2＝－a ＋a 2－3b3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )的极值点是x 1，x 2. 从而a >3.因此b ＝2a 29＋3a ，定义域为(3，＋∞)．(2)证明 由(1)知，b a ＝2a a 9＋3a a.设g (t )＝2t 9＋3t (t ＞33)，则g ′(t )＝29－3t 2＝2t 2－279t 2. 当t ∈⎝⎛⎭⎪⎫362，＋∞时，g ′(t )>0， 从而g (t )在⎝⎛⎭⎪⎫362，＋∞上单调递增． 又33＞362，故g (t )>g (33)＝3，即b a> 3.因此b 2>3a . (3)解 由(1)知，f (x )的极值点是x 1，x 2， 且x 1＋x 2＝－23a ，x 21＋x 22＝4a 2－6b 9.从而f (x 1)＋f (x 2)＝x 31＋ax 21＋bx 1＋1＋x 32＋ax 22＋bx 2＋1＝x 13(3x 21＋2ax 1＋b )＋x 23(3x 22＋2ax 2＋b )＋13a (x 21＋x 22)＋23b (x 1＋x 2)＋2 ＝4a 3－6ab 27－4ab 9＋2＝0.记f (x )，f ′(x )所有极值之和为h (a )， 因为f ′(x )的极值为b －a 23＝－19a 2＋3a ，所以h (a )＝－19a 2＋3a ，a >3.因为h ′(a )＝－29a －3a 2<0，于是h (a )在(3，＋∞)上单调递减．因为h (6)＝－72，于是h (a )≥h (6)，故3＜a ≤6.因此a 的取值范围为(3,6]． 2．已知函数f (x )＝(x －a )ln x .(1)当a ＝1时，求f (x )的最小值；(2)若函数f (x )不存在极值点，求实数a 的取值范围． 解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 设g (x )＝f ′(x )＝ln x ＋x －a x ，则g ′(x )＝x ＋ax2. (1)当a ＝1时，f (x )＝(x －1)ln x ，g (x )＝f ′(x )＝ln x ＋x －1x ，则g ′(x )＝x ＋1x2>0， 所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又因为g (1)＝0，所以当0<x <1时，g (x )＝f ′(x )<0，因此f (x )在(0,1)上单调递减； 当x >1时，g (x )＝f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝1时，f (x )的最小值为f (1)＝0. (2)当a ≥0时，g ′(x )>0， 所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增． 又g (1＋a )＝ln(1＋a )＋11＋a >ln 1＋11＋a>0， g (e －2)＝－1－e 2a <0，所以g (x )在(0，＋∞)上恰有一个零点x 0，则在(0，x 0)上，g (x )＝f ′(x )<0，f (x )单调递减；在(x 0，＋∞)上，f (x )单调递增， 所以x 0是f (x )的极小值点，不合题意． 当a <0时，令g ′(x )＝0，得x ＝－a ，所以g (x )在(0，－a )上单调递减，在(－a ，＋∞)上单调递增．①当g (－a )＝ln(－a )＋2≥0，即a ≤－e －2时，f ′(x )＝g (x )≥g (－a )≥0， 则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点，满足题意． ②当g (－a )＝ln(－a )＋2<0 ，即－e －2<a <0时，g (1)＝1－a >0，则g (1)g (－a )<0，所以g (x )在(－a ，＋∞)上恰有一个零点x 1，所以当x ∈(－a ，x 1)时，f ′(x )＝g (x )<0，当x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )＝g (x )>0， 则f (x )在(－a ，x 1)上单调递减，在(x 1，＋∞)上单调递增，所以x 1是f (x )的极小值点，不合题意．综上所述，a 的取值范围是(－∞，－e －2]．A 组 专题通关1．(2018·南通模拟)若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________． 答案 e －2解析 ∵y ′＝ln x ＋1 ，∴()ln 1＋1()ln t ＋1＝－1， ∴ln t ＝－2，解得t ＝e －2.2．已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________． 答案 2x ＋y ＋1＝0解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，所以当x ＞0时，f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x－3，所以f ′(1)＝－2，所以切线方程为2x ＋y ＋1＝0.3．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析 f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意知当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立， 即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0在x ∈[－1,1]时恒成立． 令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，x ∈[－1,1]，则有⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧(－1)2＋(2－2a )·(－1)－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab的值为________． 答案 －23解析 由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，满足题意，故a b ＝－23. 5．若函数f (x )＝13ax 3－ax 2＋(2a －3)x ＋1在R 上存在极值点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0,3)解析 求导可得f ′(x )＝ax 2－2ax ＋2a －3.∵函数f (x )＝13ax 3－ax 2＋(2a －3)x ＋1存在极值点，∴f ′(x )＝0有两个不等实根，其判别式Δ＝4a 2－4a (2a －3)＞0， ∴0＜a ＜3，∴a 的取值范围是(0,3)．6．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是______．答案π6＋ 3 解析 y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得x ＝π6，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，y ′>0；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2时，y ′<0，故函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2上单调递减，所以当x ＝π6时，函数取最大值π6＋ 3.7．若函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ，a ＋1]上单调递增，则实数a 的最大值为________． 答案－1＋52解析 因为f ′(x )＝e x(－x 2＋2x ＋a －2x ＋2)＝e x (－x 2＋a ＋2)，且函数f (x )在区间[a ，a ＋1]上单调递增，所以a ＋2≥x 2在x ∈[a ，a ＋1]上恒成立．①当a ＋1<0即a <－1时，y ＝x 2在[a ，a ＋1]上单调递减，y ＝x 2的最大值是y ＝a 2，故a ＋2≥a 2，解得－1≤a ≤2，不合题意，舍；②当－1≤a ≤0时，y ＝x 2在[a,0)上单调递减，在(0，a ＋1]上单调递增，故y ＝x 2的最大值是a 2或(a ＋1)2；③当a >0时，y ＝x 2在[a ，a ＋1]上单调递增，y ＝x 2的最大值是(a ＋1)2，故a ＋2≥(a ＋1)2，所以0<a ≤－1＋52.即a 的最大值为－1＋52.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数y ＝2ln x 的图象与圆M ：(x －3)2＋y 2＝r 2的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数y ＝f (x )的图象经过点O ，P ，M ，则函数y ＝f (x )的最大值为________．答案 98解析 因为两曲线在点P 处有公切线，所以该切线也是圆的切线，它与过点P 的半径PM 垂直． 设P (x 0,2ln x 0)，y ＝f (x )＝ax (x －3)，切线斜率k ＝2x 0.则有⎩⎪⎨⎪⎧ax 0(x 0－3)＝2ln x 0，2x 0×2ln x 0x 0－3＝－1，解得a ＝－12，所以f (x )＝－12x (x －3)，当x ＝32时，函数y ＝f (x )取得最大值98.9．已知函数f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x2(a ＞0)．讨论f (x )的单调性．解 f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝(ax 2－2)(x －1)x 3.当a ≤0，x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．当a >0时，f ′(x )＝a (x －1)x ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2a ⎝⎛⎭⎪⎫x －2a .①当0<a <2时，2a>1，当x ∈(0,1)或x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2a，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，2a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．②当a ＝2时，2a＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． ③当a >2时，0<2a<1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2a，1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减； 当0<a <2时，f (x )在(0,1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫1，2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫2a，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增； 当a >2时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 内单调递增；在⎝⎛⎭⎪⎫2a，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2. (1)试问函数f (x )能否在x ＝－33处取得极值？请说明理由； (2)若a ＝－1，令g (x )＝2x －f (x )，求函数g (x )在(－1,2)上的极大值、极小值；(3)若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞上为单调增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1， 假设在x ＝－33处f (x )取得极值，则有 f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝1－233a ＋1＝0，解得a ＝ 3. 此时，f ′(x )＝3x 2＋23x ＋1＝(3x ＋1)2≥0，f (x )为R 上的增函数，无极值． 所以函数f (x )不可能在x ＝－33处取得极值． (2)当a ＝－1时，g (x )＝2x －(x 3－x 2＋x ＋2) ＝－x 3＋x 2＋x －2， 所以g ′(x )＝－3x 2＋2x ＋1.由g ′(x )＝0，得x ＝－13或x ＝1.当x ∈(－1,2)时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：所以函数g (x )在x ＝－13处取得极小值－5927；在x ＝1处取得极大值－1.(3)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1的对称轴为x ＝－a3.若－a 3≥－13，即a ≤1时，要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞上为单调增函数，则有Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤3，所以－3≤a ≤1；若－a 3<－13，即a >1时，要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞上为单调增函数， 则有f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1≥0，解得a ≤2，所以1<a ≤2.综上所述，实数a 的取值范围为[－3，2]．B 组 能力提高11．(2018·扬州期末)已知函数f (x )＝sin x －x ＋12x －2x ，则关于x 的不等式f (1－x 2)＋f (5x－7)<0的解集为____________． 答案 (2,3)解析 易得f ()－x ＝－f (x )，又 f ′()x ＝()cos x －1－(2－x＋2x )ln 2<0，故函数f (x )单调递减，所以f ()1－x 2<－f ()5x －7，即f ()1－x 2<f ()7－5x ，故1－x 2>7－5x ， 解得 2<x <3.12．已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x在[0,1]上的最大值为4，则f (x )在[－1,0]上的最小值为________．答案 －32解析 因为函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x(a ＞0，b ＞0)在[0,1]上的最大值为4，所以函数g (x )＝ax 3＋bx 在[0,1]上的最大值为2，而g (x )是奇函数，所以g (x )在[－1,0]上的最小值为－2，故f (x )在[－1,0]上的最小值为－2＋2－1＝－32.13．已知函数f (x )＝－x ln x ＋ax 在(0，e)上是增函数，函数g (x )＝|e x－a |＋a 22，当x ∈[0，ln 3]时，函数g (x )的最大值M 与最小值m 的差为32，则a 的值为_____________________________． 答案 52解析 由f ′(x )＝－(ln x ＋1)＋a ≥0在(0，e)上恒成立，即a ≥ln x ＋1，得a ≥2.当2≤a ＜3时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e x＋a 22，0≤x <ln a ，e x－a ＋a22，ln a ≤x ≤ln 3，g (x )在[0，ln a ]上单调递减，在[ln a ，ln 3]上单调递增，且g (0)≥g (ln 3)，所以M －m ＝g (0)－g (ln a )＝a －1＝32，解得a ＝52；当a ≥3时，g (x )＝a －e x＋a 22，g (x )在[0，ln 3]上单调递减，所以M －m ＝g (0)－g (ln 3)＝2≠32，舍去．所以a ＝52.14．已知函数f (x )＝x －1－a (x －1)2－ln x (a ∈R )． (1)当a ＝0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－x ＋1既有一个极小值又有一个极大值，求a 的取值范围； (3)若存在b ∈(1,2)，使得当x ∈(0，b ]时，f (x )的值域是[f (b )，＋∞)，求a 的取值范围． 注：自然对数的底数e ＝2.718 28…. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞) .当a ＝0时，f (x )＝x －1－ln x (x ＞0)，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x.由f ′(x )<0，得0<x <1；由f ′(x )>0，得x >1，所以函数f (x )的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)． (2)g (x )＝－a (x －1)2－ln x ，则g ′(x )＝－2a (x －1)－1x ＝－2ax 2－2ax ＋1x.令h (x )＝2ax 2－2ax ＋1(x >0)，若函数g (x )有两个极值点，则方程h (x )＝0必有两个不相等的正实根．设两根为x 1，x 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ≠0，Δ＝4a 2－8a >0，x 1＋x 2＝1>0，x 1x 2＝12a >0，解得a >2.当a >2时， h (x )＝0有两个不相等的正实根， 设为x 1，x 2，不妨设x 1<x 2，则g ′(x )＝－2a (x －x 1)(x －x 2)x ＝－h (x )x.当0<x <x 1时，h (x )>0，g ′(x )<0，函数g (x )在(0，x 1)上为减函数； 当x 1<x <x 2时，h (x )<0，g ′(x )>0，函数g (x )在(x 1，x 2)上为增函数； 当x >x 2时，h (x )>0，g ′(x )<0，函数g (x )在(x 2，＋∞)上为减函数．由此，x ＝x 1是函数g (x )的极小值点，x ＝x 2是函数g (x )的极大值点，符合题意． 综上所述，所求实数a 的取值范围是(2，＋∞)． (3)f ′(x )＝1－2a (x －1)－1x ＝－2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x＝－(x －1)(2ax －1)x(x ＞0)．①当a ≤0时，2ax －1x<0.当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )在(0,1)上为减函数； 当x >1时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上为增函数，所以，当x ∈(0，b ](1<b <2)时，f (x )min ＝f (1)＝0<f (b )，f (x )的值域是[0，＋∞)，不符合题意．②当a >0时，f ′(x )＝－2a (x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12a x.(i)当12a <1，即a >12时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：若满足题意，只需满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >f (2)，即12a －1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －12－ln 12a >1－a －ln 2， 整理得14a ＋ln 2a ＋ln 2－1>0.令F (a )＝14a ＋ln 2a ＋ln 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12， 当a >12时，F ′(a )＝1a －14a 2＝4a －14a2>0，所以F (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，所以，当a >12时，F (a )>F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 2－12>ln e －12＝0. 可见，当a >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >f (2)恒成立，故当a >12，x ∈(0，b ](1<b <2)时，函数f (x )的值域是[f (b )，＋∞)， 所以a >12满足题意．(ii)当12a ＝1，即a ＝12时，f ′(x )＝－(x －1)2x ≤0，当且仅当x ＝1时取等号．所以f (x )在(0，＋∞)上为减函数，从而f (x )在(0，b ]上为减函数，符合题意． (iii)当12a >1，即0<a <12时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：若满足题意，只需满足f (2)<f (1)，且12a <2(若12a ≥2，不符合题意)，即a >1－ln 2，且a >14.又1－ln 2>14，所以a >1－ln 2.此时，1－ln 2<a <12.综上所述，a>1－ln 2.所以实数a的取值范围是(1－ln 2，＋∞)．。

2019年高考理数二轮复习名校资料高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．预测高考仍将利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查．1．导数的定义f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x＋Δx－f xΔx.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．3．导数的运算(1)基本初等函数的导数公式①c′＝0(c为常数)；②(x m)′＝mx m－1；③(sin x)′＝cos x; ④(cos x)′＝－sin x；⑤(e x)′＝e x; ⑥(a x)′＝a x ln a；⑦(ln x)′＝1x；⑧(log a x)′＝1x ln a.(2)导数的四则运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；③[f xg x ]′＝f xg x－f x g xg2x.④设y＝f(u)，u＝φ(x)，则y′x＝y′u u′x.4．函数的性质与导数在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增．如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．5．利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：①画出图形；②确定被积函数；③求出交点坐标，确定积分的上、下限；④运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．特别注意平面图形的面积为正值，定积分值可能是负值．被积函数为y ＝f (x )，由曲线y ＝f (x )与直线x ＝a ，x ＝b (a <b )和y ＝0所围成的曲边梯形的面积为S . ①当f (x )>0时，S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；②当f (x )<0时，S ＝－⎠⎛ab f (x )d x ；③当x ∈[a ，c ]时，f (x )>0；当x ∈[c ，b ]时，f (x )<0，则S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x .高频考点一 导数的几何意义及应用 例1、（2018年全国Ⅲ卷理数）曲线在点处的切线的斜率为，则________．【答案】-3 【解析】，则所以【变式探究】(1)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 解析：基本法：由题意可得f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1，又f (1)＝a ＋2，∴f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，又此切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝(3a ＋1)(2－1)，解得a ＝1.速解法：∵f (1)＝2＋a ，由(1，f (1))和(2,7)连线斜率k ＝5－a1＝5－a ，f ′(x )＝3ax 2＋1，∴5－a ＝3a ＋1，∴a ＝1.答案：1(2)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________. 解析：基本法：令f (x )＝x ＋ln x ，求导得f ′(x )＝1＋1x ，f ′(1)＝2，又f (1)＝1，所以曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.设直线y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1的切点为P (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋a ＋2＝2，得a (2x 0＋1)＝0，∴a ＝0或x 0＝－12，又ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，即ax 20＋ax 0＋2＝0，当a ＝0时，显然不满足此方程， ∴x 0＝－12，此时a ＝8.速解法：求出y ＝x ＋ln x 在(1,1)处的切线为y ＝2x －1由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1y ＝ax 2＋a ＋2x ＋1得ax 2＋ax ＋2＝0，∴Δ＝a 2－8a ＝0，∴a ＝8或a ＝0(显然不成立)． 答案：8【变式探究】设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：基本法：y ′＝a －1x ＋1，当x ＝0时，y ′＝a －1＝2，∴a ＝3，故选D. 答案：D高频考点二 导数与函数的极值、最值 例2、（2018年浙江卷）已知λ∈R ，函数f (x )=，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】 (1). (1,4) (2). 【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f (x )<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为。

2019江苏高考数学二轮练习教学案（祥解）--导数及其应用注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

1.了解导数的实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)，掌握函数在一点处的导数定义和导数几何意义，理解导函数的概念、2.熟记导数的基本公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法那么，了解复合函数的求导法那么，会求某些简单函数的导数.3.理解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值时的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，能用导数解决一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值等、1.函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9在R 上存在极值，那么实数a 的取值范围是________、 2.某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，那么使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件、3.直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝lnx(x>0)的一条切线，那么实数b ＝________.4.假设曲线f(x)＝ax 2＋lnx 存在垂直于y 轴的切线，那么实数a 的取值范围是________.【例1】曲线f(x)＝x 3－3x.(1)求曲线在点P(1，－2)处的切线方程；(2)求过点Q(2，－6)的曲线y ＝f(x)的切线方程、 【例2】函数f(x)＝(x －k)e x . (1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值、【例3】(2017·山东)两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为xkm ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ，统计调查说明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.(1)将y 表示成x 的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？假设存在，求出该点到城A 的距离，假设不存在，说明理由、【例4】(2017·苏北四市三模)函数f(x)＝ax 2＋lnx ，f 1(x)＝16x 2＋43x ＋59lnx ，f 2(x)＝12x 2＋2ax ，a ∈R .(1)求证：函数f(x)在点(e ，f(e))处的切线恒过定点，并求出定点坐标； (2)假设f(x)＜f 2(x)在区间(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围；(3)当a ＝23时，求证：在区间(1，＋∞)上，满足f 1(x)＜g(x)＜f 2(x)恒成立的函数g(x)有无穷多个、1.(2017·湖南)曲线y ＝sinx sinx ＋cosx －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为________、 2.(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，那么点P 的坐标为________.3.(2017·辽宁)点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，那么α的取值范围是________、4.(2017·福建)假设a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，那么ab 的最大值等于________、5.(2017·江西)设f(x)＝－13x 3＋12x 2＋2ax.(1)假设f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围； (2)当0<a<2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－163，求f(x)在该区间上的最大值、 6.(2017·辽宁)函数f(x)＝(a ＋1)lnx ＋ax 2＋1. (1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a<－1.如果对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f(x 1)－f(x 2)|≥4|x 1－x 2|，求a 的取值范围、(2017·南京三模)(此题总分值16分)函数f(x)＝x 3＋x 2－ax(a ∈R )(1)当a ＝0时，求与直线x －y －10＝0平行，且与曲线y ＝f(x)相切的直线方程； (2)求函数g(x)＝f xx －alnx(x>1)的单调递增区间；(3)如果存在a ∈[3,9]，使函数h(x)＝f(x)＋f ′(x)(x ∈[－3，b])在x ＝－3处取得最大值，试求b 的最大值、解：(1)设切点为T(x 0，x 03＋x 02)，由f ′(x)＝3x 2＋2x 及题意得3x 02＋2x 0＝1(2分)解得x 0＝－1或x 0＝13，所以T(－1,0)或T ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，427， 所以切线方程为x －y ＋1＝0或27x －27y －5＝0，(4分)(2)因为g(x)＝x 2＋x －a －alnx(x>1)，所以由g ′(x)＝2x ＋1－ax >0得2x 2＋x －a>0(6分)令φ(x)＝2x 2＋x －a(x>1)，因为φ(x)在(1，＋∞)递增，所以φ(x)>φ(1)＝3－a.当3－a ≥0，即a ≤3时，g(x)的增区间为(1，＋∞)；(8分)当3－a<0即a>3时，因为φ(1)＝3－a<0，所以φ(x)的一个零点小于1，另一个零点大于1，由φ(x)＝0得x 1＝－1－1＋8a 4<1，x 2＝－1＋1＋8a4>1，从而φ(x)>0(x>1)的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋1＋8a 4，＋∞即g(x)的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋1＋8a 4，＋∞.(10分)(3)h(x)＝x 3＋4x 2＋(2－a)x －a ，h ′(x)＝3x 2＋8x ＋(2－a)、因为存在a ∈(3,9]，令h ′(x)＝0，得x 1＝－4－3a ＋103，x 2＝－4＋3a ＋103，所以要使h(x)(x ∈[－3，b])在x ＝－3处取得最大值，必有⎩⎪⎨⎪⎧x 1≤－3，x 2>－3，解得a ≥5，即a ∈[5,9](13分)所以存在a ∈[5,9]使h(x)(x ∈[－3，b])在x ＝－3处取得最大值的充要条件为h(－3)≥h(b)即存在a ∈[5,9]使(b ＋3)a －(b 3＋4b 2＋2b －3)≥0成立、因为b ＋3>0所以9(b ＋3)－(b 3＋4b 2＋2b －3)≥0，即(b ＋3)(b 2＋b －10)≤0，解得－1－412≤b ≤－1＋412，所以b 的最大值为－1＋412(16分) 第6讲导数及其应用1.函数f(x)＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________、【答案】(－1,11)解析：f ′(x)＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，由(x －11)(x ＋1)＜0得单调减区间为(－1,11)、亦可填写闭区间或半开半闭区间、 2.函数f(x)＝13ax 3＋bx 2＋x ＋3，其中a ，b ∈R ，a ≠0.(1)当a ，b 满足什么条件时，f(x)取得极值？(2)a ＞0，且f(x)在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围、 解：(1)由得f ′(x)＝ax 2＋2bx ＋1，令f ′(x)＝0，得ax 2＋2bx ＋1＝0， f(x)要取得极值，方程ax 2＋2bx ＋1＝0必须有两个不同解， 所以Δ＝4b 2－4a ＞0，即b 2＞a,此时方程ax 2＋2bx ＋1＝0的根为 x 1＝－2b －4b 2－4a 2a ＝－b －b 2－a a ， x 2＝－2b ＋4b 2－4a 2a ＝－b ＋b 2－a a，所以f ′(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)、12所以f(x)在x 1，x 2处分别取得极大值和极小值、 综上，当a ，b 满足b 2＞a 时，f(x)取得极值、(2)要使f(x)在区间(0,1]上单调递增，需使f ′(x)＝ax 2＋2bx ＋1≥0在(0,1]上恒成立、即b ≥－ax 2－12x ，x ∈(0,1]恒成立，所以b ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－ax 2－12x max . 设g(x)＝－ax 2－12x ，g ′(x)＝－a 2＋12x 2＝－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1a 2x2，令g ′(x)＝0得x ＝1a 或x ＝－1a (舍去)，当a ＞1时，0＜1a ＜1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，g ′(x)＞0，g(x)＝－ax 2－12x 单调增函数； 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，1时，g ′(x)＜0，g(x)＝－ax 2－12x 单调递减，所以当x ＝1a 时，g(x)取得极大值，极大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－ a.所以b ≥－ a.当0＜a ≤1时，1a ≥1，此时g ′(x)≥0在区间(0,1]上恒成立，所以g(x)＝－ax 2－12x 在区间(0,1]上单调递增，当x ＝1时，g(x)最大，最大值为g(1)＝－a ＋12，所以b ≥－a ＋12.综上，当a ＞1时，b ≥－a ；当0＜a ≤1时，b ≥－a ＋12.点评：此题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，那么导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值、运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题、基础训练1.(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋3，Δ＝4a 2－36＞0，解得a ＞3或a ＜－3.2.9解析：y ′＝－x 2＋81＞0，解得0＜x ＜9；令导数y ′＝－x 2＋81＜0，解得x ＞9，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在区间(0,9)上是增函数，在区间(9，＋∞)上是减函数，所以在x ＝9处取极大值，也是最大值、3.ln2－1解析：y ′＝1x ，令1x ＝12得x ＝2，故切点为(2，ln2)，代入直线方程得，b ＝ln2－1.4.{a|a ＜0}解析：由题意知该函数的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x)＝2ax ＋1x .因为存在垂直于y 轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为在x ＞0范围内，导函数f ′(x)＝2ax ＋1x 存在零点、等价于方程2ax ＋1x ＝0在(0，＋∞)内有解，显然可得a ＝－12x 2∈(－∞，0)、 例题选讲例1解：(1)设切线的斜率为k ，因为f ′(x)＝3x 2－3，点P(1，－2)在曲线上，∴k ＝3－3＝0，所以所求的切线的方程为y ＝－2.(2)f ′(x)＝3x 2－3，设切点Q(x 0，y 0)，那么：y 0＋6x 0－2＝3x 20－3，即：x 30－3x 0＋6x 0－2＝3x 20－3，解得x 0＝0或3，由k ＝f ′(x 0)得k ＝－3或24，得y ＝－3x 或y ＝24x －54.变式训练函数f(x)＝13x 3－2x 2＋3x(x ∈R )的图象为曲线C.(1)求过曲线C 上任意一点的切线斜率的取值范围；(2)假设在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围、解：(1)f ′(x)＝x 2－4x ＋3，那么f ′(x)＝(x －2)2－1≥－1， 即过曲线C 上任意一点的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)、(2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得：x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)，即所求取值范围、例2解：(1)f ′(x)＝(x －k ＋1)e x ，令f ′(x)＝0x ＝k －1；所以f(x)在(－∞，k －1)上递减，在(k －1，＋∞)上递增、(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f(x)在区间[0,1]上递增，所以f(x)min ＝f(0)＝－k ；当0＜k －1<1即1＜k<2时，由(1)知，函数f(x)在区间[0，k －1]上递减，(k －1,1]上递增，所以f(x)min ＝f(k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f(x)在区间[0,1]上递减，所以f(x)min ＝f(1)＝(1－k)e.变式训练函数f(x)＝－13x 3＋x 2＋3x ＋a. (1)求f(x)的单调减区间；(2)假设f(x)在区间[－3,4]上的最小值为73，求实数a 的值、解：(1)∵f ′(x)＝－x 2＋2x ＋3，令f ′(x)＜0，那么－x 2＋2x ＋3＜0.解得x ＜－1或x ＞3.∴函数f(x)的单调减区间为(－∞，－1)∪(3，＋∞)、又∵f(－1)＝a －53，f(4)＝a ＋203，∴f(－1)＜f(4)、 ∴f(－1)是f(x)在[－3,4]上的最小值、 ∴a －53＝73，解得a ＝4.例3解：(1)如右图，由题意知：AC ⊥BC ，BC 2＝400－x 2，y ＝4x 2＋k 400－x 2(0＜x ＜20)，当垃圾处理厂建在弧AB 的中点时，垃圾处理厂到A 、B 的距离都相等，且为102km ，所以有0.065＝41022＋k1022，解得，k ＝9，∴y ＝4x 2＋9400－x 2(0＜x ＜20)、(2)∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2＋9400－x 2′＝－8x 3＋18x 400－x 22＝10x 4＋6 400x 2－1 280 000x 3400－x 22， 令y ′＞0，得x 4＋640x 2－1280000＞0，解得x 2≥160，即x ≥410，又因为0＜x ＜20，所以函数y ＝4x 2＋9400－x 2在x ∈()0，410上是减函数， 在x ∈(410，20)上是增函数，∴当x ＝410时，y 取得最小值， 所以在弧AB 上存在一点，且此点到城市A 的距离为410km ，使建在此处的垃圾处理厂对城市A 、B 的总影响度最小、例4(1)证明：因为f ′(x)＝2ax ＋1x ，所以f(x)在点(e ，f(e))处的切线的斜率为k ＝2ae ＋1e ，所以f(x)在点(e ，f(e))处的切线方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2ae ＋1e (x －e)＋ae 2＋1， 整理得y －12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2ae ＋1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －e 2，所以切线恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，12.(2)解：令p(x)＝f(x)－f 2(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x 2－2ax ＋lnx<0，对x ∈(1，＋∞)恒成立，因为p ′(x)＝(2a －1)x －2a ＋1x ＝2a －1x 2－2ax ＋1x＝x －1[2a －1x －1]x(*)，令p ′(x)＝0，得极值点x 1＝1，x 2＝12a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≠12.①当12＜a ＜1时，有x 2＞x 1＝1，即12＜a ＜1时，在(x 2，＋∞)上有p ′(x)＞0，此时p(x)在区间(x 2，＋∞)上是增函数，并且在该区间上有p(x)∈(p(x 2)，＋∞)，不合题意； ②当a ≥1时，有x 2＜x 1＝1，同理可知，p(x)在区间(1，＋∞)上，有p(x)∈(p(1)，＋∞)，也不合题意；③当a ≤12时，有2a －1≤0，此时在区间(1，＋∞)上恒有p ′(x)＜0， 从而p(x)在区间(1，＋∞)上是减函数；要使p(x)＜0在此区间上恒成立，只须满足p(1)＝－a －12≤0a ≥－12，所以－12≤a ≤12.综上可知a 的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.(3)证明：当a ＝23时，f 1(x)＝16x 2＋43x ＋59lnx ，f 2(x)＝12x 2＋43x. 记y ＝f 2(x)－f 1(x)＝13x 2－59lnx ，x ∈(1，＋∞)、 因为y ′＝2x 3－59x ＝6x 2－59x ＞0，所以y ＝f 2(x)－f 1(x)在(1，＋∞)上为增函数， 所以f 2(x)－f 1(x)＞f 2(1)－f 1(1)＝13.设R(x)＝f 1(x)＋13λ(0＜λ＜1)，那么f 1(x)＜R(x)＜f 2(x)，所以在区间(1，＋∞)上，满足f 1(x)＜g(x)＜f 2(x)恒成立的函数g(x)有无穷多个、 高考回顾1.12解析：y ＝sinx sinx ＋cosx －12的导函数为y ′＝1sinx ＋cosx2，x ＝π4，y ′＝12.2.(－2,15)解析：由C ：y ＝x 3－10x ＋3得，y ′＝3x 2－10＝2，x 2＝4，切点在第二象限，x ＝－2，y ＝15.3.α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析：y ′＝－4e xe 2x＋2e x ＋1＝－4e x＋2＋1e x，∵e x＋1e x ≥2， ∴－1≤y ′＜0，即－1≤tan α＜0，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4.9解析：f ′(x)＝12x 2－2ax －2b ，f ′(1)＝0，a ＋b ＝6，a ＞0，b ＞0,6＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤9，当且仅当a ＝b 时取等号、5.解：(1)f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，即存在某个子区间(m ，n)⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞使得f ′(x)＞0.由f ′(x)＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a ，f ′(x)在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上单调递减，那么只需f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＞0即可、由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a ＞0解得a ＞－19，所以当a ＞－19时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间、 (2)令f ′(x)＝0，得两根x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a 2.所以f(x)在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增、 当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x 2＜4，所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x 2)、 又f(4)－f(1)＝－272＋6a ＜0，即f(4)＜f(1)，所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a －403＝－163，得a ＝1，x 2＝2， 从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝103.6.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)、f ′(x)＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x . 当a ≥0时，f ′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调增加； 当a ≤－1时，f ′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调减少； 当－1＜a ＜0时，令f ′(x)＝0，解得x ＝－a ＋12a .那么当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x)＞0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x)＜0.故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 单调增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞单调减、 (2)不妨假设x 1≥x 2，而a ＜－1，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上单调减，从而 x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f(x 1)－f(x 2)|≥4|x 1－x 2|等价于， x 1，x 2∈(0，＋∞)，f(x 2)＋4x 2≥f(x 1)＋4x 1，① 令g(x)＝f(x)＋4x ，那么g ′(x)＝a ＋1x ＋2ax ＋4， ①等价于g(x)在(0，＋∞)上单调减，即a ＋1x ＋2ax ＋4≤0. 从而a ≤－4x －12x 2＋1＝2x －12－4x 2－22x 2＋1＝2x －122x 2＋1－2， 故a 的取值范围为(－∞，－2].。

第2讲 函数、图象及性质1. 函数在高考中的题型设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其他知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的应用是高考考查的主要着力点之一．2. 重点：①函数的奇偶性、单调性和周期性；②函数与不等式结合；③函数与方程的综合；④函数与数列的综合；⑤函数与向量的综合；⑥利用导数来刻画函数．3. 难点：①新定义的函数问题；②代数推理问题，常作为高考压轴题．1. 已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，则f(x)＝________.2.函数f(x)＝(x ＋1)0|x|－x的定义域为________．3.函数f(x)的定义域是R ，其图象关于直线x ＝1和点(2 , 0)都对称，f ⎝⎛⎭⎫－12＝2，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫20092＝________.4.函数f(x)＝x 2－2x ，g(x)＝mx ＋2，对1∈[－1,2]，0∈[－1,2]，使g(x 1)＝f(x 0)，则实数m 的取值范围是________．【例1】 已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5) ，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在整数m 使得方程f(x)＋37x ＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 值；若不存在，说明理由．【例2】 已知函数f(x)＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．(1) 讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 若函数f(x)在x ∈[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．【例3】 设函数f(x)＝x 2＋|2x －a|(x ∈R ，常数a 为实数)． (1) 若f(x)为偶函数，求实数a 的值； (2) 设a>2，求函数f(x)的最小值.【例4】 (2011·苏锡常镇模拟)已知函数f(x)＝x ＋a ＋a|x|，a 为实数． (1) 当a ＝1，x ∈[－1,1]时，求函数f(x)的值域；(2) 设m 、n 是两个实数，满足m ＜n ，若函数f(x)的单调减区间为(m ，n)，且n －m ≤3116，求a 的取值范围．1. (2011·辽宁)若函数f(x)＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝________.2.(2011·湖北)若定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x ，则g(x)＝________.3.(2011·上海)设g(x)是定义在R 上、以1为周期的函数，若f(x)＝x ＋g(x)在[0,1]上的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为____________．4.(2011·北京)已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为________．5.(2011·上海) 已知函数f(x)＝a·2x ＋b·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1) 若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2) 若ab<0，求f(x ＋1)>f(x)时x 的取值范围．6.(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1) 当0≤x ≤200时，求函数v(x)的表达式；(2) 当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)(2011·镇江一模)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝3－2log 2x ，g(x)＝log 2x. (1) 如果x ∈[1,4]，求函数h(x)＝(f(x)＋1)g(x)的值域； (2) 求函数M(x)＝f (x )＋g (x )－|f (x )－g (x )|2的最大值；(3) 如果对不等式f(x 2)f(x)＞kg(x)中的任意x ∈[1,4]，不等式恒成立，求实数k 的取值范围．解：令t ＝log 2x ，(1分) (1) h(x)＝(4－2log 2x)·log 2x ＝－2(t －1)2＋2，(2分) ∵ x ∈[1,4]，∴ t ∈[0,2]，(3分) ∴ h(x)的值域为[0,2]．(4分) (2) f(x)－g(x)＝3(1－log 2x)，当0＜x ≤2时，f(x)≥g(x)；当x ＞2时，f(x)＜g(x)，(5分)∴ M(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ g (x )，f (x )≥g (x )，f (x )，f (x )＜g (x )， M(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，3－2log 2x ，x>2，(6分) 当0＜x ≤2时，M(x)最大值为1；(7分)当x ＞2时，M(x)＜1.(8分)综上：当x ＝2时，M(x)取到最大值为1.(9分)(3) 由f(x 2)f(x)＞kg(x)，得(3－4log 2x)(3－log 2x)＞k·log 2x ， ∵ x ∈[1,4]，∴ t ∈[0,2]，∴ (3－4t)(3－t)＞kt 对一切t ∈[0,2]恒成立，(10分) ①当t ＝0时，k ∈R ；(11分)②t ∈(0,2]时，k ＜(3－4t )(3－t )t 恒成立，即k ＜4t ＋9t －15，(12分)∵ 4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号．(13分)∴ 4t ＋9t －15的最小值为－3.综上：k ＜－3.(14分)第2讲 函数、图象及性质1. 已知a ＝5－12，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)＞f(n)，则m 、n 的大小关系为________．【答案】 m ＜n 解析： 考查指数函数的单调性a ＝5－12∈(0,1)，函数f(x)＝a x 在R 上递减．由f(m)＞f(n)得：m<n. 2. 设a 为实数，函数f(x)＝2x 2＋(x －a)|x －a|. (1) 若f(0)≥1，求a 的取值范围； (2) 求f(x)的最小值；(3) 设函数h(x)＝f(x)，x ∈(a ，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．点拨： 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．解：(1) 若f(0)≥1，则－a|a|≥⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2≥1≤－1.∴ a 的取值范围是(－∞，－1](2) 当x ≥a 时，f(x)＝3x 2－2ax ＋a 2， f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (a )，a ≥0，f ⎝⎛⎭⎫a 3，a ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧2a 2，a ≥0，2a 23，a ＜0，当x ≤a 时，f(x)＝x 2＋2ax －a 2，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ f (－a )，a ≥0，f (a )，a ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a ≥0，2a 2，a ＜0，综上f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a ≥0，2a 23，a ＜0.(3) x ∈(a ，＋∞)时，h(x)≥1得3x 2－2ax ＋a 2－1≥0，Δ＝4a 2－12(a 2－1)＝12－8a 2. 当a ≤－62或a ≥62时，Δ≤0，x ∈(a ，＋∞)； 当－62＜a ＜62时，Δ＞0，得：⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －3－2a 23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋3－2a 23≥0，x ＞a ， 讨论得：当a ∈⎝⎛⎭⎫22，62时，解集为(a ，＋∞)； 当a ∈⎝⎛⎭⎫－62，－22时，解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞ 当a ∈⎣⎡⎦⎤－22，22时，解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞. 综上，当a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－62∪⎣⎡⎭⎫22，＋∞时，解集为(a ，＋∞)，当a ∈⎣⎡⎦⎤－22，22时，解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞，当a ∈⎣⎡⎦⎤－62，－22时，解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞.基础训练 1. 12x 2＋12x 2. (－∞，－1)∪(－1,0) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x|－x ＞0＜0，x ≠－1.3. －4 解析：函数图象关于直线x ＝1对称，则f(x)＝f(2－x)，函数图象关于点(2 , 0)对称，则f(x)＝－f(4－x)，∴ f(x ＋2)＝－f(x)，∴ f(x ＋4)＝f(x)，∴ f ⎝⎛⎭⎫2 0092＝f ⎝⎛⎭⎫1 004＋12＝f ⎝⎛⎭⎫12，又f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫4＋12＝ －f ⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫2 0092＝2f ⎝⎛⎭⎫12＝－2f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4.4. ⎣⎡⎦⎤－1，12 解析：x ∈[－1,2]时，f(x)∈[－1,3]．m ≥0，x ∈[－1,2]时，g(x)∈[2－m,2＋2m]；m ＜0，x ∈[－1,2]时，g(x)∈[2＋2m,2－m]．m ≥0，[2－m ，2＋－1,3]；m ＜0，[2＋2m,2－－1,3]得0≤m ≤12或－1≤m<0，故实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 例题选讲例1 解： (1) ∵ f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0,5), ∴ 可设f(x)＝ax(x －5)(a ＞0)．∴ f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.由已知得6a ＝12, ∴ a ＝2, ∴ f(x)＝2x(x －5)＝2x 2－10x(x ∈R )．(2) 方程f(x)＋37x ＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0.设h(x)＝2x 3－10x 2＋37，则h ′(x)＝6x 2－20x ＝2x(3x －10)．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，103时，h ′(x)＜0，h(x)是减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫103，＋∞时，h ′(x)＞0，h(x)是增函数．∵ h(3)＝1＞0，h ⎝⎛⎭⎫103＝－127＜0，h(4)＝5＞0，∴ 方程h(x)＝0在区间⎝⎛⎭⎫3，103，⎝⎛⎭⎫103，4内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m ＝3，使得方程f(x)＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不同的实数根．变式训练 已知函数y ＝f (x)是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f(x)(－1≤x ≤1)的图象关于原点对称．又知y ＝f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5.(1) 证明：f(1)＋f(4)＝0；(2)求y ＝f(x)，x ∈[1,4]的解析式； (3)求y ＝f(x)在[4,9]上的解析式．(1)证明： ∵ f (x)是以5为周期的周期函数，∴ f(4)＝f(4－5)＝f(－1)， 又∵ y ＝f(x)(－1≤x ≤1)关于原点对称，∴ f(1)＝－f(－1)＝－f(4), ∴ f(1)＋f(4)＝0.(2)解： 当x ∈[1,4]时，由题意可设f(x)＝a(x －2)2－5(a ＞0)， 由f(1)＋f(4)＝0得a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0，∴ a ＝2， ∴ f(x)＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)．(3)解： ∵ y ＝f(x)(－1≤x ≤1)是奇函数，∴ f(0)＝0，又知y ＝f(x)在[0,1]上是一次函数，∴ 可设f(x)＝kx(0≤x ≤1)，而f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴ k ＝－3，∴ 当0≤x ≤1时，f(x)＝－3x ，从而当－1≤x ＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f(x)＝－3x ，∴ 当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴ f(x)＝f(x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15，当6＜x ≤9时，1＜x －5≤4，∴ f(x)＝f(x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5，∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋15，4≤x ≤6，2(x －7)2－5，6＜x ≤9. 点评：紧抓函数几个性质，将未知的转化为已知的，注意函数图象及端点值．例2 解： (1) 当a ＝0时，f(x)＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x 2＝f(x), ∴ f(x)为偶函数．当a ≠0时，f(x)＝x 2＋ax(a ≠0，x ≠0)，取x ＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a ≠0， ∴ f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴ 函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2) (解法1)设2≤x 1＜x 2，f(x 1)－f(x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a]，要使函数f(x)在x ∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x 1)－f(x 2)＜0恒成立．∵ x 1－x 2＜0，x 1x 2＞4，即a ＜x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立． 又∵ x 1＋x 2＞4, ∴ x 1x 2(x 1＋x 2)＞16. ∴ a 的取值范围是(－∞，16]．(解法2)当a ＝0时，f(x)＝x 2，显然在[2，＋∞)为增函数． 当a ＜0时，反比例函数ax 在[2，＋∞)为增函数，∴ f(x)＝x 2＋ax 在[2，＋∞)为增函数．当a ＞0时，同解法1.(解法3)f ′(x)＝2x －ax 2≥0，对x ∈[2，＋∞)恒成立．∴ a ≤2x 3而y ≤2x 3.在[2，＋∞)上单调增，最小值为16，∴ a ≤16.点评：本题主要考查函数奇偶性、单调性及分类讨论处理含参数问题． 例3 解：(1) 由已知f(－x)＝f(x)，即|2x －a|＝|2x ＋a|，解得a ＝0.(2) f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋2x －a ，x ≥12a ，x 2－2x ＋a ，x ＜12a ，当x ≥12a 时，f(x)＝x 2＋2x －a ＝(x ＋1)2－(a ＋1)，由a ＞2，x ≥12a ，得x ＞1，从而x ＞－1，又f ′(x)＝2(x ＋1)，故f(x)在x ≥12a 时单调递增，f(x)的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 24；当x ＜12a 时，f(x)＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋(a －1)，故当1＜x ＜a2时，f(x)单调递增，当x ＜1时，f(x)单调递减，则f(x)的最小值为f(1)＝a －1；由a 24－(a －1)＝(a －2)24＞0，知f(x)的最小值为a －1. 点评：本题考查二次函数含参数最值的讨论方法．变式训练 已知函数f(x)＝x|x －2|.设a ＞0，求f(x)在[0，a]上的最大值．解： f(x)＝x|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ≥2，－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，x ＜2.∴ f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和[2，＋∞); 单调递减区间是[1,2]．① 当0＜a ≤1时，f(x)是[0，a]上的增函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(2－a)；② 当1＜a ≤2时，f(x)在[0,1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；③ 当a ＞2时，令f(a)－f(1)＝a(a －2)－1＝a 2－2a －1＞0, 解得a ＞1＋ 2. 若2＜a ≤1＋2，则f(a)≤f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1； 若a ＞1＋2，则f(a)＞f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(a －2)．综上，当0＜a ＜1时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(2－a)；当1≤a ≤1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是1；当a ＞1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(a －2)．例4 解： 设y ＝f(x)，(1) a ＝1时，f(x)＝x ＋1＋|x|，当x ∈(0,1]时，f(x)＝x ＋1＋x 为增函数，y 的取值范围为(1,1＋2]． 当x ∈[－1,0]时，f(x)＝x ＋1－x ，令t ＝x ＋1，0≤t ≤1，则x ＝t 2－1，y ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54，0≤t ≤1，y 的取值范围为⎣⎡⎦⎤1，54. ∵ 54＜1＋2， ∴x ∈[1,1]时，函数f(x)的值域为[1,1＋2]．(2) 令t ＝x ＋a ，则x ＝t 2－a ，t ≥0，y ＝g(t)＝t ＋a|t 2－a|. ① a ＝0时，f(x)＝x 无单调减区间；② a ＜0时，y ＝g(t)＝at 2＋t －a 2，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上g(t)是减函数，则在⎝⎛⎭⎫14a 2－a ，＋∞上f(x)是减函数．∴a ＜0不成立．③ a ＞0时，y ＝g(t)＝⎩⎨⎧－at 2＋t ＋a 2，0≤t ≤a ，at 2＋t －a 2，t ＞ a.仅当12a ＜a ，即a ＞312时，在t ∈⎝⎛⎭⎫12a ，a 时，g(t)是减函数，即x ∈⎝⎛⎭⎫14a 2－a ，0时，f(x)是减函数． ∴n －m ＝a －14a 2≤3116，即(a －2)(16a 2＋a ＋2)≤0. ∴a ≤2. 故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤314，2.高考回顾1. 12解析：f(－x)＝－f(x)恒成立或从定义域可直接得到． 2. g(x)＝e x ＋e －x2解析： 因为函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e －x .又因为f(x)＋g(x)＝e x，所以g(x)＝e x ＋e －x2.3. [－2,7] 解析：设x 1∈[0,1]，则f(x 1)＝x 1＋g(x 1)∈[－2,5]，∵ g(x)是定义域为R 周期为1的函数，∴ 当x 2∈[1,2]时，f(x 2)＝x 1＋1＋g(x 1＋1)＝1＋x 1＋g(x 1)＝1＋f(x 1)∈[－1,6]，当x 2∈[2,3]时，f(x 2)＝x 1＋2＋g(x 1＋2)＝2＋x 1＋g(x 1)＝2＋f(x 1)∈[0,7]，∴ f(x)在区间[0,3]上的值域为[－2,7]．4. 4 解析：AB ＝22，直线AB 的方程为x ＋y ＝2，在y ＝x 2上取点C(x ，y)，点C(x ，y)到直线AB 的距离为2，|x ＋y －2|2＝2，|x ＋x 2－2|＝2，此方程有四个解．5. 解：(1) 当a ＞0，b ＞0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2， 则f(x 1)－f(x 2)＝a(2x 1－2x 2)＋b(3x 1－3x 2)， ∵ 2x 1＜2x 2，a ＞1－2x 2)＜0,3x 1＜3x 2，b ＞1－3x 2)＜0， ∴ f(x 1)－f(x 2)＜0，函数f(x)在R 上是增函数．当a ＜0，b ＜0时，同理函数f(x)在R 上是减函数．(2) f(x ＋1)－f(x)＝a·2x ＋2b·3x ＞0，当a ＜0，b ＞0时，⎝⎛⎭⎫32x ＞－a2b ，则 x ＞log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b ；当a ＞0，b ＜0时，⎝⎛⎭⎫32x ＜－a2b，则x ＜log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b . 6. 解：(1) 由题意：当0≤x ≤20时，v(x)＝60；当20≤x ≤200时，设v(x)＝ax ＋b ，显然v(x)＝ax ＋b 在[20,200]是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13(200－x )，20<x ≤200.(2) 依题意并由(1)可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f(x)为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20<x ≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13⎣⎡⎦⎤x ＋(200－x )22＝10 0003， 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立． 所以，当x ＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．。

第2讲 基本初等函数、函数与方程高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A.－12B.13C.12D.1解析 f (x )＝(x －1)2＋a (ex －1＋e1－x)－1，令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t)－1. ∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t＋e t)－1＝g (t )， ∴函数g (t )为偶函数.∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点. 又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12.答案 C2.(2018·天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b解析 c ＝log 1213＝log 23，a ＝log 2e ，由y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，知c >a >1.又b ＝ln 2<1，故c >a >b . 答案 D3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A.[－1，0) B.[0，＋∞) C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)解析 函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1. 答案 C4.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________.解析 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x＋4x ＝3 600x＋4x ≥23 600x×4x ＝240，当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240.答案 30考 点 整 合1.指数式与对数式的七个运算公式 (1)a m·a n＝am ＋n；(2)(a m )n ＝a mn；(3)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (4)log a MN＝log a M －log a N ； (5)log a M n＝n log a M ； (6)alog aN＝N ；(7)log a N ＝log b Nlog b a (注：a ，b >0且a ，b ≠1，M >0，N >0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数.3.函数的零点问题(1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解.4.应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题文字语言建模数学语言求解数学应用反馈检验作答.热点一 基本初等函数的图象与性质【例1】 (1)(2018·郑州一模)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是()(2)(2018·济南质检)已知a (a ＋1)≠0，若函数f (x )＝log 2(ax －1)在(－3，－2)上为减函数，且函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≤12，log |a |x ，x >12在R 上有最大值，则a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，－12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，－12D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，12解析 (1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}， ∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称. 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.(2)∵f (x )＝log 2(ax －1)在(－3，－2)上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2a －1≥0，∴a ≤－12，∵a (a ＋1)≠0，∴|a |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞).当x ≤12时，g (x )＝4x∈(0，2]，又g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≤12，log |a |x ，x >12在R 上有最大值，则当x >12时，log |a |x ≤2，且|a |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1，∴log |a |12≤2，∴|a |2≤12，则|a |≤22，又a ≤－12，∴－22≤a ≤－12.答案 (1)B (2)A探究提高 1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围.2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如求f (x )＝ln(x 2－3x ＋2)的单调区间，只考虑t ＝x 2－3x ＋2与函数y ＝ln t 的单调性，忽视t >0的限制条件. 【训练1】 (1)函数y ＝ln |x |－x 2的图象大致为( )(2)(2018·西安调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧34x ＋54，x <1，2x ，x ≥1，则满足f [f (t )]＝2f (t )的t 的取值范围是________.解析 (1)易知y ＝ln|x |－x 2是偶函数，排除B ，D.当x >0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x－2x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22时，y ′＝1x －2x >0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.A 项满足. (2)若f (t )≥1，显然成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧t <1，34t ＋54≥1或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥1，2t ≥1，解得t ≥－13.若f (t )<1，由f [f (t )]＝2f (t )，可知f (t )＝－1，所以34t ＋54＝－1，得t ＝－3.综上，实数t 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪⎪t ＝－3或t ≥－13. 答案 (1)A (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪⎪t ＝－3或t ≥－13热点二 函数的零点与方程考法1 确定函数零点个数或其存在范围【例2－1】 (1)函数f (x )＝log 2x －1x的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.(1，2) D.(2，3)(2)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________. 解析 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212－112＝－1－2＝－3＜0， f (1)＝log 21－11＝0－1＜0， f (2)＝log 22－12＝1－12＝12＞0，f (3)＝log 23－13＞1－13＝23＞0，即f (1)·f (2)＜0，∴函数f (x )＝log 2x －1x的零点在区间(1，2)内.(2)由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0，所以3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，均满足题意，所以函数f (x )在[0，π]的零点个数为3. 答案 (1)C (2)3探究提高 1.函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定. 2.判断函数零点个数的主要方法：(1)解方程f (x )＝0，直接求零点；(2)利用零点存在定理；(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.【训练2】 函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________.解析 f (x )＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，函数f (x )的零点个数可转化为函数y 1＝sin 2x 与y 2＝x 2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y 1＝sin 2x 与y 2＝x 2的图象如图所示：由图可知两函数图象有2个交点，则f (x )的零点个数为2. 答案 2考法2 根据函数的零点求参数的取值或范围【例2－2】 (2018·天津卷)已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________.解析 当x ≤0时，由x 2＋2ax ＋a ＝ax ，得a ＝－x 2－ax ；当x >0时，由－x 2＋2ax －2a ＝ax ，得2a ＝－x 2＋ax .令g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0. 作出y ＝a (x ≤0)，y ＝2a (x >0)，函数g (x )的图象如图所示，g (x )的最大值为－a 24＋a 22＝a 24，由图象可知，若f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a <a 24<2a ，解得4<a <8.答案 (4，8)探究提高 1.求解本题的关键在于转化为研究函数g (x )的图象与y ＝a (x ≤0)，y ＝2a (x >0)的交点个数问题：常见的错误是误认为y ＝2a ，y ＝a 是两条直线，忽视x 的限制条件. 2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.【训练3】 (2018·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是________.解析 令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案 －78热点三 函数的实际应用【例3】 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值. 解 (1)当x ＝0时，C ＝8，∴k ＝40，∴C (x )＝403x ＋5(0≤x ≤10)，∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10).(2)由(1)得f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10.令3x ＋5＝t ，t ∈[5，35]， 则y ＝2t ＋800t－10≥22t ·800t －10＝70(当且仅当2t ＝800t，即t ＝20时等号成立)，此时x ＝5，因此f (x )的最小值为70.∴隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元. 探究提高 解决函数实际应用题的两个关键点(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题.(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解.【训练4】 (2018·大连质检)某海上油田A 到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里，垂足为B ，海岸线上距离B 处100海里有一原油厂C ，现计划在BC 之间建一石油管道中转站M .已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A 处到原油厂C 修建管道的费用最低，则中转站M 到B 处的距离应为( ) A.52海里 B.52 2海里 C.5海里D.10海里解析 设中转站M 到B 处的距离为x 海里，修造管道的费用为y ，陆地上单位长度修建管道的费用为a ，依题意，y ＝a (3x 2＋102＋100－x )，0≤x ≤100，则y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3×12×2xx 2＋100－1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x x 2＋100－1a .令y ′＝0，得3x ＝x 2＋100，解得x ＝522.∴当x ＝522时，y 取得最小值.答案 B1.指数函数与对数函数的图象和性质受底数a (a >0，且a ≠1)的取值影响，解题时一定要注意讨论，并注意两类函数的定义域与值域所隐含条件的制约.2.(1)忽略概念致误：函数的零点不是一个“点”，而是函数图象与x 轴交点的横坐标.(2)零点存在性定理注意两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点. 3.利用函数的零点求参数范围的主要方法： (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解. 4.构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解. (2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.(3)构建f (x )＝x ＋a x(a >0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解.一、选择题1.(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48) A.1033B.1053C.1073D.1093解析 M ≈3361，N ≈1080，M N ≈33611080，则lg M N ≈lg 33611080＝lg 3361－lg1080＝361lg 3－80≈93.∴M N≈1093.答案 D2.(2018·潍坊三模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2323，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3423，c ＝log 3423，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a <b <cB.b <a <cC.c <a <bD.a <c <b解析 ∵y ＝x 23在(0，＋∞)上是增函数，∴a <b <1.由于0<23<34，∴c ＝log 3423>1.因此c >b >a .答案 A3.函数f (x )＝ln x ＋e x(e 为自然对数的底数)的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eB.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1 C.(1，e) D.(e ，＋∞)解析 函数f (x )＝ln x ＋e x在(0，＋∞)上单调递增，因此函数f (x )最多只有一个零点. 当x →0＋时，f (x )→－∞；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln 1e ＋e 1e ＝e 1e －1>0，∴函数f (x )＝ln x ＋e x(e 为自然对数的底数)的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .答案 A4.(2018·全国Ⅲ卷)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A.a ＋b <ab <0 B.ab <a ＋b <0 C.a ＋b <0<abD.ab <0<a ＋b解析 由a ＝log 0.20.3得1a ＝log 0.30.2，由b ＝log 20.3得1b ＝log 0.32，所以1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，所以0<1a ＋1b <1，得0<a ＋bab<1.又a >0，b <0，所以ab <0，所以ab <a ＋b <0.答案 B5.(2018·北京燕博园联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （x ＋1），x ≥0，x 3－3x ，x <0，若函数y ＝f (x )－k 有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是( ) A.(－2，2) B.(－2，1) C.(0，2)D.(1，3)解析 当x <0时，f (x )＝x 3－3x ，则f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，∴x ＝±1(舍去正根)，故f (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减，又f (x )＝ln(x ＋1)在x ≥0上单调递增.则函数f (x )图象如图所示.f (x )极大值＝f (－1)＝－1＋3＝2，且f (0)＝0.故当k ∈(0，2)时，y ＝f (x )－k 有三个不同零点. 答案 C 二、填空题6.(2018·浙江卷改编)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________.解析 令f (x )＝0，当x ≥λ时，x ＝4.当x <λ时，x 2－4x ＋3＝0，则x ＝1或x ＝3.若函数f (x )恰有2个零点，结合如图函数的图象知，1<λ≤3或λ>4. 答案 (1，3]∪(4，＋∞)7.将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4L ，则m 的值为________.解析 ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5. 答案 58.(2018·广州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，2x ＋1，x ≤0，若方程f (x )＝ax 有三个不同的实数根，则a 的取值范围是________.解析 在同一坐标系内，作函数y ＝f (x )与y ＝ax 的图象，当y ＝ax 是y ＝ln x 的切线时，设切点P (x 0，y 0)，∵y 0＝ln x 0，a ＝(ln x )′|x＝x0＝1x 0，∴y 0＝ax 0＝1＝ln x 0，x 0＝e ，故a ＝1e.故y ＝ax 与y ＝f (x )的图象有三个交点时，0<a <1e.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 三、解答题9.(2018·雅礼中学月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3（x ＋1），x >1，log 2（5－x ），x ≤1.(1)求方程f (x )＝3f (2)的解集；(2)讨论函数g (x )＝f (x )－a (a ∈R )的零点的个数. 解 (1)f (2)＝log 33＝1，当x >1时，由f (x )＝3f (2)＝3得x ＋1＝27，即x ＝26.当x ≤1时，由f (x )＝3得5－x ＝8，即x ＝－3.故方程f (x )＝3f (2)的解集为{－3，26}.(2)当x >1时，f (x )＝log 3(x ＋1)递增，且f (x )∈(log 32，＋∞).当x ≤1时，f (x )＝log 2(5－x )递减，且f (x )∈[2，＋∞).由g (x )＝f (x )－a ＝0得f (x )＝a ，故当a ∈(－∞，log 32]时，g (x )的零点个数为0；当a ∈(log 32，2)时，g (x )的零点个数为1；当a ∈[2，＋∞)时，g (x )的零点个数为2.10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0， 即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故有a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10. 所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q ≥270. 所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位.11.(2018·江苏卷选编)记f ′(x )，g ′(x )分别为函数f (x )，g (x )的导函数.若存在x 0∈R ，满足f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，则称x 0为函数f (x )与g (x )的一个“S 点”.(1)证明：函数f (x )＝x 与g (x )＝x 2＋2x －2不存在“S 点”；(2)若函数f (x )＝ax 2－1与g (x )＝ln x 存在“S 点”，求实数a 的值.(1)证明 函数f (x )＝x ，g (x )＝x 2＋2x －2，则f ′(x )＝1，g ′(x )＝2x ＋2.由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x )，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2＋2x －2，1＝2x ＋2，此方程组无解， 因此，f (x )与g (x )不存在“S 点”.(2)解 函数f (x )＝ax 2－1，g (x )＝ln x ，则f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝1x. 设x 0为f (x )与g (x )的“S 点”，由f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 0＝1x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 20＝1， (*) 得ln x 0＝－12，即x 0＝e －12，则a ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e －122＝e 2. 当a ＝e 2时，x 0＝e －12满足方程组(*)， 即x 0为f (x )与g (x )的“S 点”.因此，a 的值为e 2.。

第2讲 导数及其应用【课前热身】第2讲 导数及其应用(本讲对应学生用书第29~30页)1.(选修1-1 P82练习3改编)函数f (x )=1x 的图象在点122⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线方程为 .【答案】y=-14x+1【解析】因为f'(x )=-21x ，所以f'(2)=-14，所以切线方程为y-12=-14(x-2)，即y=-14x+1.2.(选修1-1 P87练习1改编)函数y=x-x 3的单调增区间为 .【答案】3333⎛ ⎝⎭， 【解析】由y'=1-3x 2，令y'=1-3x 2>0，可得-33<x<33，所以函数的单调增区间为3333⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，.3.(选修1-1 P89习题4改编)函数y=x-ln x ，x ∈(0，2)的极小值为 . 【答案】1【解析】因为y'=1-1x ，令y'=1-1x =0，得x=1，易知当x=1时，函数有极小值1.4.(选修1-1 P90例2改编)函数f (x )=12x+sin x 在区间[0，2π]上的最大值为 .【答案】π【解析】由题意知f'(x)=12+cos x，令f'(x)=0，解得x1=2π3，x2=4π3，又f2π3⎛⎫⎪⎝⎭=π3+32<f(2π)=π，故函数f(x)=12x+sin x的最大值为f(2π)=π.5.(选修1-1 P91练习5改编)已知函数y=e x-x，x∈(0，1]，则函数的值域为.【答案】(1，e-1]【解析】由题设得y'=e x-1，因为x∈(0，1]，所以y'>0，所以函数在x∈(0，1]上是增函数.又x=0时，y=1；x=1时，y=e-1，所以函数y=e x-x，x∈(0，1]的值域为(1，e-1].【课堂导学】导数的几何意义例1(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)当a=4时，求曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，+∞)时，f(x)>0，求实数a的取值范围.【解答】(1)f(x)的定义域为(0，+∞).当a=4时，f(x)=(x+1)ln x-4(x-1)，f'(x)=ln x+1x-3，f'(1)=-2，f(1)=0，故曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x+y-2=0.(2)当x∈(1，+∞)时，f(x)>0等价于ln x-(-1)1a xx+>0.设g(x)=ln x-(-1)1a xx+，则g'(x)=1x-22(1)ax+=222(1-)1(1)x a xx x+++，g(1)=0.①当a≤2，x∈(1，+∞)时，x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0，故g'(x)>0，g(x)在(1，+∞)上单调递增，因此g(x)>0.②当a>2时，令g'(x)=0，得x1=a-1-2(-1)-1a，x2=a-1+2(-1)-1a.由x2>1和x1x2=1得x1<1，故当x∈(1，x2)时，g'(x)<0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)<0.不合题意，舍去.综上，实数a的取值范围是(-∞，2].变式1(2019·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln(-x)+3x，则曲线y=f(x)在点(1，-3)处的切线方程是.【答案】y=-2x-1【解析】设x>0，则-x<0.因为x<0时，f(x)=ln(-x)+3x，所以f(-x)=ln x-3x.又因为f(-x)=f(x)，所以当x>0时，f(x)=ln x-3x，所以f'(x)=1x-3，即f'(1)=-2，所以曲线y=f(x)在点(1，-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1)，整理得y=-2x-1.变式2设函数f(x)=ax2+x+b ln x，曲线y=f(x)过点P(1，0)，且在点P处的切线斜率为2，则a+b= .【答案】2【解析】f'(x)=1+2ax+bx，由已知条件得(1)0'(1)2ff=⎧⎨=⎩，，即10122aa b+=⎧⎨++=⎩，，解得-13.ab=⎧⎨=⎩，所以a+b=2.变式3 (2019·常州一中)已知曲线y=2x-mx (x ∈R ，m ≠-2)在x=1处的切线为直线l.若直线l在两坐标轴上的截距之和为12，则实数m 的值为 .【答案】-3或-4【解析】y'=2+2mx ， y'|x=1=2+m ，所以直线l 的方程为y-(2-m )=(2+m )(x-1)，即y=(2+m )x-2m.令x=0，得y=-2m ；令y=0，x=22m m +.由题意得22mm +-2m=12，解得m=-3或m=-4.利用导数研究函数的单调性例2 (2019·山东卷)设函数f (x )=x ln x-ax 2+(2a-1)x ，a ∈R . (1)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x=1处取得极大值，求实数a 的取值范围. 【解答】(1)由f'(x )=ln x-2ax+2a ， 可得g (x )=ln x-2ax+2a ，x ∈(0，+∞)，则g'(x )=1x -2a=1-2ax x .当a ≤0时，由于x ∈(0，+∞)， 所以g'(x )>0，则函数g (x )单调递增；当a>0时，若x ∈102a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则g'(x )>0，函数g (x )单调递增，若x ∈12a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，则g'(x )<0，函数g (x )单调递减.所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，+∞)；当a>0时，g (x )的单调增区间为102a ⎛⎫⎪⎝⎭，，单调减区间为12a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，. (2)由(1)知，f'(1)=0.①当a≤0时，f'(x)单调递增，所以当x∈(0，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值，不合题意.②当0<a<12时，12a>1，由(1)知f'(x)在12a⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递增，可得当x∈(0，1)时，f'(x)<0，当x∈112a⎛⎫⎪⎝⎭，时，f'(x)>0，所以f(x)在(0，1)内单调递减，在112a⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值，不合题意.③当a=12时，12a=1，f'(x)在(0，1)内单调递增，在(1，+∞)内单调递减，所以当x∈(0，+∞)时，f'(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意.④当a>12时，0<12a<1，当x∈112a⎛⎫⎪⎝⎭，时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)在x=1处取极大值，符合题意.综上可知，实数a的取值范围为1 |2 a a⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.变式(2019·镇江期末)已知函数f(x)=[ax2-(2a+1)x+2a+1]e x，求函数f(x)的单调区间.【解答】f'(x)=(ax2-x)e x=x(ax-1)e x.若a=0，则f'(x)=-x e x，令f'(x)>0，得x<0；令f'(x)<0，得x>0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减，在(-∞，0)上单调递增.若a<0，由f'(x)>0，得1a<x<0；由f'(x)<0，得x<1a或x>0，所以f(x)在1a⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，在1-a ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(0，+∞)上单调递减. 若a>0，由f'(x )<0，得0<x<1a ；由f'(x )>0，得x>1a 或x<0，所以f (x )在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，(-∞，0)上单调递增. 综上，当a=0时，函数f (x )的单调增区间是(-∞，0)，单调减区间是(0，+∞)；当a<0时，函数f (x )的单调增区间是10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调减区间是(0，+∞)，1-a ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当a>0时，函数f (x )的单调增区间是(-∞，0)，1a∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，单调减区间是10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.利用导数研究函数的极值(最值)问题例3 (2019·山东卷)已知函数f (x )=a (x-ln x )+22-1x x ，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a=1时，求证：f (x )>f'(x )+32对于任意的x ∈[1，2]恒成立.【解答】(1)f (x )的定义域为(0，+∞)，f'(x )=a-a x -22x +32x =23(-2)(-1)ax x x .当a ≤0时，若x ∈(0，1)，则f'(x )>0，f (x )单调递增； 若x ∈(1，+∞)，则f'(x )<0，f (x )单调递减.当a>0时，f'(x )=3(-1)22-a x x x x a a ⎛ ⎝. ①当0<a<22a 1.当x ∈(0，1)或x∈∞⎫+⎪⎪⎭时，f'(x )>0，f (x )单调递增； 当x∈1⎛ ⎝时，f'(x )<0，f (x )单调递减. ②当a=2时，1，在区间(0，+∞)内，f'(x )≥0，f (x )单调递增. ③当a>2时，01.当x∈0⎛ ⎝或x ∈(1，+∞)时，f'(x )>0，f (x )单调递增； 当x∈⎫⎪⎪⎭时，f'(x )<0，f (x )单调递减. 综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减；当0<a<2时，f (x )在(0，1)上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增；当a=2时，f (x )在(0，+∞)上单调递增；当a>2时，f (x )在0⎛ ⎝上单调递增，在⎫⎪⎪⎭上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. (2)由(1)知，当a=1时，f (x )-f'(x )=x-ln x+22-1x x -231221--x xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=x-ln x+3x +21x -32x -1，x ∈[1，2]. 设g (x )=x-ln x ，h (x )=3x +21x -32x -1，x ∈[1，2]，则f (x )-f'(x )=g (x )+h (x ).由g'(x )=-1x x ≥0，可得g (x )≥g (1)=1，当且仅当x=1时取得等号.又h'(x )=24-3-26x x x +，设φ(x )=-3x 2-2x+6，则φ(x )在[1，2]上单调递减.因为φ(1)=1，φ(2)=-10，所以存在x0∈(1，2)，使得当x∈(1，x0)时，φ(x)>0，x∈(x0，2)时，φ(x)<0，所以h(x)在(1，x0)上单调递增，在(x0，2)上单调递减.由h(1)=1，h(2)=1 2，可得h(x)≥h(2)=12，当且仅当x=2时取得等号.因为等号不能同时取得，所以f(x)-f'(x)>g(1)+h(2)=32，即f(x)>f'(x)+32对于任意的x∈[1，2]恒成立.【课堂评价】1.(2019·天津卷)已知函数f(x)=(2x+1)e x，f'(x)为f(x)的导函数，则f'(0)的值为.【答案】3【解析】f'(x)=2e x+(2x+1)e x=(2x+3)e x，所以f'(0)=3e0=3.2.(2019·南通一调)在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线y=x2(x>0)和y=x3(x>0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则12xx的值为.【答案】43【解析】方法一：由题设可知曲线y=x2在A(x1，y1)处的切线方程为y=2x1x-21x，曲线y=x3在B(x2，y 2)处的切线方程为y=322x x-232x ，所以2122312232x x x x ⎧=⎨=⎩，，解得x 1=3227，x 2=89，所以12x x =43.方法二：由题设得212322112123-2-x x x x x x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，解得x 1=3227，x 2=89，所以12xx =43.3.(2019·天津卷)设函数f (x )=x 3-ax-b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )存在极值点x 0，且f (x 1)=f (x 0)，其中x 1≠x 0，求证：x 1+2x 0=0. 【解答】(1)由f (x )=x 3-ax-b ，可得f'(x )=3x 2-a. 下面分两种情况讨论：①当a ≤0时，有f'(x )=3x 2-a ≥0恒成立，所以f (x )的单调增区间为(-∞，+∞).②当a>0时，令f'(x )=0，解得x=3或x=-3.当x 变化时，f'(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的单调减区间为-33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，单调增区间为-3∞⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，3∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭. (2)因为f (x )存在极值点，所以由(1)知a>0，且x 0≠0.由题意，得f'(x 0)=320x-a=0，即20x=3a，进而f (x 0)=30x-ax 0-b=-23ax 0-b.又f (-2x 0)=-830x+2ax 0-b=-83a x 0+2ax 0-b=-23ax 0-b=f (x 0)，且-2x 0≠x 0，由题意及(1)知，存在唯一实数x 1满足f (x 1)=f (x 0)，且x 1≠x 0，因此x 1=-2x 0，所以x 1+2x 0=0.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第15~16页.【检测与评估】第2讲导数及其应用一、填空题1.函数y=12x2-ln x的减区间为.2.(2019·苏州暑假测试)已知函数f(x)=x-1+1e x，若直线l：y=kx-1与曲线y=f(x)相切，则实数k= .3.(2019·苏锡常镇宿一调)若曲线C1：y1=ax3-6x2+12x与曲线C2：y2=e x在x=1处的两条切线互相垂直，则实数a的值为.4.(2019·四川卷)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点，则实数a= .5.(2019·全国卷Ⅰ)若函数f(x)=x-13sin 2x+a sin x在(-∞，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是.6.(2019·南京学情调研)已知函数f(x)=13x3+x2-2ax+1，若函数f(x)在(1，2)上有极值，则实数a的取值范围为.7.(2019·苏大考前卷)已知直线x+y=b是函数y=ax+2x的图象在点P(1，m)处的切线，则a+b-m= .8.(2019·无锡期末)已知在曲线y=x-1x(x>0)上一点P(x，y0)处的切线与x轴，y轴分别交于点A，B，O是坐标原点，若△OAB的面积为13，则x= .二、解答题9.(2019·扬州期末)已知函数f(x)=e x，g(x)=ax2+bx+c.(1)若f(x)的图象与g(x)的图象的一个公共点在y轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求实数b和c的值；(2)若a=c=1，b=0，试比较f(x)与g(x)的大小，并说明理由.10.(2019·南通、扬州、泰州、淮安三调)设函数f(x)=x e x-a sin x cos x(a∈R，e是自然对数的底数).(1)当a=0时，求f(x)的极值；(2)若对于任意的x∈π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.11.(2019·南通中学)已知函数f(x)=e x2lna x bx⎛⎫++⎪⎝⎭，其中a，b∈R，e是自然对数的底数.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=e(x-1)，求实数a，b的值.(2)①若a=-2时，函数y=f(x)既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；②若a=2，b≥-2，f(x)≥kx对一切正实数x恒成立，求实数k的最大值(用b表示).【检测与评估答案】第2讲 导数及其应用一、 填空题1. (0，1] 【解析】对于函数y=12x 2-ln x ，易得其定义域为{x|x>0}，y'=x-1x =2-1x x ，令2-1x x ≤0，结合x>0，得x 2-1≤0，解得0<x ≤1，即函数y=12x 2-ln x 的减区间为(0，1].2. 1-e 【解析】设切点为(x 0，y 0)，因为f'(x )=1-1e x，则f'(x 0)=k ，即1-01e x =k ，且kx 0-1=x 0-1+01e x ，所以x 0=-1，所以k=1--11e =1-e .3. -13e 【解析】因为y'1=3ax 2-12x+12，y'2=e x ，所以两条曲线在x=1处的切线的斜率分别为k 1=3a ，k 2=e ，所以k 1·k 2=-1，即3a e =-1，所以a=-13e .4. 2 【解析】由已知得f'(x )=3x 2-12=3(x 2-4)=3(x+2)(x-2).于是当x<-2或x>2时，f'(x )>0；当-2<x<2时，f'(x )<0.故函数f (x )在区间(-∞，-2)，(2，+∞)上单调递增；在区间(-2，2)上单调递减.于是当x=2时，f (x )取得极小值，故a=2.5. 11-33⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【解析】对函数f (x )求导得f'(x )=1-23cos 2x+a cos x=-43cos 2x+a cos x+53.因为函数f (x )在R 上单调递增，所以f'(x )≥0，即-43cos 2x+a cos x+53≥0恒成立.设t=cos x ∈[-1，1]，则g (t )=4t 2-3at-5≤0在[-1，1]上恒成立，所以有22(-1)4(-1)-3(-1)-50(1)41-31-50g a g a ⎧=⨯⨯≤⎨=⨯⨯≤⎩，，解得-13≤a ≤13.6. 342⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】因为函数f (x )在(1，2)上有极值，所以函数f (x )在(1，2)上有极值点.方法一：令f'(x )=x 2+2x-2a=0，得x 1=-1x 2=-1因为x 1∉(1，2)，故需1<x 2<2，即1<-1+2，即4<1+2a<9，所以32<a<4，故实数a 的取值范围为342⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 方法二：f'(x )=x 2+2x-2a 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=-1，则f'(x )在(1，2)上是增函数，因此'(1)3-20'(2)8-20f a f a =<⎧⎨=>⎩，，解得32<a<4，故实数a 的取值范围为342⎛⎫ ⎪⎝⎭，.7. 2 【解析】因为点P 在函数y=ax+2x 与直线x+y=b 的图象上，所以m=a+2，m+1=b.又由函数y=ax+2x 的导函数y'=a-22x 可知，切线的斜率k=-1=a-2，有a=1，所以m=3，b=4，则a+b-m=2.8.【解析】因为y'=1+21x ，切点P 0001-x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，，x 0>0，所以切线斜率k=1+201x ，所以切线方程为y-01-x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=2011x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x-x 0).令y=0，得x=02021x x +，即A 020201x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，.令x=0，得y=-02x ，即B 020-x ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以S △OAB =12OA×OB=12×02021x x +×02x =2021x +=13，解得x 0二、 解答题9. (1) 由题设知f (0)=1，f'(x )=e x ，f'(0)=1，g (0)=c ， g'(x )=2ax+b ，g'(0)=b.由题意得(0)(0)'(0)'(0)-1f gf g=⎧⎨=⎩，，所以1-1.cb=⎧⎨=⎩，(2) 当a=c=1，b=0时，g(x)=x2+1.①当x=0时，f(0)=1，g(0)=1，即f(x)=g(x).②当x<0时，f(x)<1，g(x)>1，即f(x)<g(x).③当x>0时，令h(x)=f(x)-g(x)=e x-x2-1，则h'(x)=e x-2x.设k(x)=h'(x)=e x-2x，则k'(x)=e x-2.当x<ln 2时，k'(x)<0，k(x)单调递减；当x>ln 2时，k'(x)>0，k(x)单调递增.所以当x=ln 2时，k(x)取得极小值，且极小值为k(ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4>0，即k(x)=h'(x)=e x-2x>0恒成立，所以h(x)在R上单调递增.又因为h(0)=0，所以当x>0时，h(x)>h(0)>0，即f(x)>g(x).综上所述，当x<0时，f(x)<g(x)；当x=0时，f(x)=g(x)；当x>0时，f(x)>g(x).10. (1) 当a=0时，f(x)=x e x，f'(x)=e x(x+1)，令f'(x)=0，得x=-1.当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)的极小值为f(-1)=-1e，无极大值.(2) ①当a≤0时，因为对于任意的x∈π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，有sin x cos x≥0，所以f(x)≥0恒成立，即当a≤0时，符合题意.②当0<a ≤1时，因为f'(x )=e x (x+1)-a cos 2x ≥e 0(0+1)-a cos 0=1-a ≥0，所以函数f (x )在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数.所以f (x )≥f (0)=0，即当0<a ≤1时，符合题意.③当a>1时，f'(0)=1-a<0，f'π4⎛⎫ ⎪⎝⎭=π4e π+14⎛⎫⎪⎝⎭>0，所以存在α∈π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，，使得f'(α)=0，且在(0，α)内，f'(x )<0，所以f (x )在(0，α)上为减函数，此时f (x )<f (0)=0， 即当a>1时，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是(-∞，1].11. (1) 由题意知曲线y=f (x )过点(1，0)，且f'(1)=e .因为f'(x )=e x222ln -a a x b x x +⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则有(1)e(2)0'(1)e()e f b f a b =+=⎧⎨=+=⎩，，解得a=3，b=-2.(2) ①当a=-2时，函数y=f (x )的导函数f'(x )=e x22-2ln -x b x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当f'(x )=0时，得b=2ln x+22x .设g (x )=2ln x+22x (x>0)，由g'(x )=2x -34x =232-4x x =0，得x=g(=1+ln 2.当0时，g'(x )<0，函数y=g (x )在区间(0，上为减函数，g (x )∈(1+ln 2，+∞)；当x>g'(x )>0，函数y=g (x )在区间(+∞)上为增函数，g (x )∈(1+ln 2，+∞).所以当且仅当b>1+ln 2时，b=g (x )有两个不同的解，设为x 1，x 2(x 1<x 2).当x 变化时，f (x )，f'(x )的变化情况如下表：此时，函数y=f (x )既有极大值，又有极小值.②由题意知e x 22ln x b x ⎛⎫++⎪⎝⎭≥kx 对一切正实数x 恒成立，取x=1，得k ≤(2+b )e .下证e x 22ln x b x ⎛⎫++⎪⎝⎭≥(2+b )e x 对一切正实数x 恒成立.首先，证明e x ≥e x.设函数u (x )=e x -e x ，则u'(x )=e x -e ，当x>1时，u'(x )>0；当x<1时，u'(x )<0，得e x -e x ≥u (1)=0，即e x ≥e x ，当且仅当x=1时取到等号.再证ln x+1x ≥1.设v (x )=ln x+1x -1，则v'(x )=2-1x x ，当x>1时，v'(x )>0；当x<1时，v'(x )<0，得v (x )≥v (1)=0，即ln x+1x ≥1，当且仅当x=1时取到等号.综上可得e x 22ln x b x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥(2+b )e x ，所以min ()f x x ⎛⎫⎪⎝⎭=(2+b )e ，即实数k 的最大值为(2+b )e .。