专题11 导数的几何意义(重难点突破)教师版

3.1.3 导数的几何意义(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能理解导数的几何意义，初步体会“以直代曲”的辩证思想；掌握求曲线上一点出的切线的斜率的方法．2．过程与方法培养学生的观察、动手动脑、归纳总结的能力；培养学生合作学习、创新能力．3．情感、态度与价值观经过FLASH动画演示割线“逼近”成切线过程，让学生感受函数图象的切线“形成”过程，获得函数图象的切线的意义；增强学生问题应用意识教育，让学生获得学习数学的兴趣与信心．●重点、难点重点：导数的几何意义，求曲线上过一点处的切线方程．难点：“以直代曲”的数学思想方法；以及切线定义的理解——在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解．(教师用书独具)●教学建议为了更好的完成本节课的教学目标，帮助学生理解本节课内容，突出重点，突破难点，宜设计了如下的教法和学法：(1)教学设计：探讨教学法，即教师通过问题→诱导→演示→讨论→探索结果→归纳总结．(2)学法设计：自主思考，参与探究、合作交流、形成共识．(3)教学手段：以“多媒体辅助教学手段”为辅，以“问题的探讨，学生发言、演板，老师黑板板书”为主．●教学流程创设问题情境，引出问题：导数是否有一定的几何意义呢？⇒引导学生结合切、割线知识，用“逼近”思想探究出导数的几何意义.⇒通过引导学生回答所提问题进一步理解导数的几何意义.⇒通过例1及其变式训练，使学生对导数的几何意义加深理解，为应用埋下伏笔.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握求曲线的切线方程的方法.⇒在深入理解导数几何意义的基础上完成例3及其变式训练，学会其几何意义的综合应用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第49页)1．我们知道，导数f′(x0)表示函数f(x)在x0处的瞬时变化率，反映了函数f(x)在x ＝x0附近的变化情况，那么，导数f′(x0)是否有一定的几何意义呢？【提示】f′(x0)有几何意义．2．如图，当点P n(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4)，沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n的变化趋势是什么？【提示】 点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于过点P 的切线PT . 3．第2题图中割线PP n 的斜率k n ＝f x n －f x 0x n －x 0，当点P n 无限趋近于点P 时，此斜率与切线PT 的斜率有何大小关系？【提示】 k n 无限趋近于切线PT 的斜率．1．设点P (x 0，f (x 0))，P n (x n ，f (x n ))是曲线y ＝f (x )上不同的点，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4…)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为过点P 的切线，且PT 的斜率k ＝li m x n →x 0f x n －f x 0x n －x 0＝f ′(x 0)．2．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率，在点P 的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．导函数的概念000是一个确定的数；当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称为f (x )的导函数，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f xΔx.【问题导思】导函数f (x )与函数在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)相同吗？它们有什么区别与联系？ 【提示】 不相同．(1)两者的区别：由导数的定义知，f ′(x 0)是一个具体的值，f ′(x )是由于f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义在I上的一个新函数，所以两者的区别是：前者是数值，后者是函数．(2)两者的联系：在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数.(对应学生用书第49页)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )【思路探究】(1)导数的几何意义是什么？(2)y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，说明y＝f(x)图象的切线有什么特点？【自主解答】因为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，由导数的几何意义可知，在区间[a，b]上各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合．【答案】 A1．f′(x0)即为过曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))切线的斜率．2．若曲线y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数值都大于零，可以判断曲线y＝f(x)在(a，b)上图象呈上升趋势，则函数y＝f(x)在(a，b)上单调递增．而若y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数都小于零，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)上呈下降趋势，y＝f(x)在(a，b)单调递减．当函数y＝f(x)在(a，b)上的导数值都等于零时，函数y＝f(x)的图象应为垂直于y轴的直线的一部分．已知y＝f(x)的图象如图3－1－1所示，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是( )图3－1－1A．f′(x A)＞f′(x B)B．f′(x A)＝f′(x B)C．f′(x A)＜f′(x B)D．f′(x A)与f′(x B)大小不能确定【解析】由y＝f(x)的图象可知，k A＞k B，根据导数的几何意义有：f′(x A)＞f′(x B)．【答案】 A(1)求曲线y＝x2＋x＋1在点(1,3)处的切线方程．(2)求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．【思路探究】(1)所给点是切点吗？(2)若是切点，该如何求切线方程？若不是切点该怎么办？【自主解答】(1)y′＝limΔx→0x＋Δx2＋x＋Δx＋1－x2＋x＋1Δx＝2x＋1，∵(1,3)在曲线上，∴切线斜率k＝y′|x＝1＝2×1＋1＝3.∴所求切线方程为y－3＝3(x－1)，即3x－y＝0.(2)y′＝2x＋1，∵点(－1,0)不在曲线上，设切点坐标为(x0，y0)，则切线斜率为k＝2x0＋1＝y0x0＋1.∵y0＝x20＋x0＋1，∴x0＝0或x0＝－2.当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0，当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y ＋3＝0，故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.1．如果所给点P (x 0，y 0)就是切点，一般叙述为“在点P 处的切线”，此时只要求函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)，即得切线的斜率k ＝f ′(x 0)，再根据点斜式得出切线方程．2．如果所给点P 不是切点，应先设出切点M (x 0，y 0)，再求切线方程．要特别注意“过点P 的切线”这一叙述，点P 不一定是切点，也不一定在曲线上．求曲线y ＝1x 在点A (12，2)处的切线的斜率，并写出切线方程．【解】 ∵Δy ＝f (12＋Δx )－f (12)＝21＋2Δx －2＝－4Δx1＋2Δx ，∴Δy Δx ＝－41＋2Δx， ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝12＝lim Δx →0 －41＋2Δx ＝－4.∴切线方程为y －2＝－4(x －12)，即4x ＋y －4＝0.导数几何意义的综合应用抛物线y ＝x 2在点P 处的切线与直线4x －y ＋2＝0平行，求P 点的坐标及切线方程．【思路探究】 设切点Px 0，y 0→求导数y ′＝f ′x →由k ＝4，求x 0→确定切点P x 0，y 0→求切线方程【自主解答】 设P 点坐标为(x 0，y 0)， y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x2Δx ＝lim Δx →0 2x ·Δx ＋Δx 2Δx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . ∴y ′|x ＝x 0＝2x 0，又由切线与直线4x －y ＋2＝0平行， ∴2x 0＝4，∴x 0＝2，∵P (2，y 0)在抛物线y ＝x 2上，∴y 0＝4， ∴点P 的坐标为(2,4)，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.1．导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点．2．导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导，注意灵活利用题目提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等关系求解相应问题．已知曲线C：y＝x3.求：(1)曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；(2)(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？【解】(1)将x＝1代入曲线C的方程，得y＝1，∴切点为P(1,1)．∵y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0x＋Δx3－x3Δx＝lim Δx →0 3x 2Δx ＋3x Δx 2＋Δx3Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝3x 2， ∴y ′|x ＝1＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为P (1,1)或P (－2，－8)．说明切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另外的点(－2，－8)．(对应学生用书第51页)错把所给点当作切点致误已知曲线y＝2x2－7，求曲线过点P(3,9)的切线方程．【错解】f′(3)＝limΔx→0Δy Δx＝limΔx→0[23＋Δx2－7]－2×32－7Δx＝limΔx→0(12＋2Δx)＝12.故切线斜率为12.由直线的点斜式方程，得切线方程为y－9＝12(x－3)，即12x－y－27＝0.【错因分析】点P不是切点，故切线斜率不是在x＝3处的导数．【防范措施】求曲线的切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，否则极易出错．【正解】f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx＝limΔx→0[2x0＋Δx2－7]－2×x20－7Δx＝limΔx→0(4x0＋2Δx)＝4x0.由于2×32－7＝11≠9，故点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2，或x0＝4.所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0，或16x－y－39＝0.1．函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)，相应地，切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数f′(x)，是针对某一区间内任意点x而言的，函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)，根据函数的定义，在区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．(对应学生用书第51页)1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交【答案】 B2．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在【解析】 由x ＋2y －3＝0知斜率k ＝－12，∴f ′(x 0)＝－12＜0.【答案】 B3．抛物线y ＝2x 2在点P (1,2)处的切线l 的斜率为____． 【解析】 k ＝f ′(1)＝4 【答案】 44．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝12x ＋2.求f (1)与f ′(1)的值．【解】 由题意f (1)＝12×1＋2＝52.由导数的几何意义得f ′(1)＝k ＝12.(对应学生用书第105页)一、选择题1．(2013·临沂高二检测)设函数f (x )满足lim Δx →0f 1－f 1－ΔxΔx＝－1，则曲线y＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( )A ．2B ．－1 C.12 D ．－2【解析】 ∵lim Δx →0f 1－f 1－ΔxΔx＝f ′(1)＝k ＝－1，∴y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是－1. 【答案】 B2．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋5＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0【解析】 ∵点(－1,0)不在抛物线y ＝x 2＋x ＋1上，故点(－1,0)不是切点，但此点在切线上，应满足切线方程，经验证，只有D 符合．【答案】 D3．函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图3－1－2所示，则在y＝f(x)的图象上A，B的对应点附近，有( )图3－1－2A．A处下降，B处上升B．A处上升，B处下降C．A处下降，B处下降D．A处上升，B处上升【解析】∵所给图象的导函数的图象，且A点处y＜0，B点处y＞0，故原函数图象上A处下降，B处上升．【答案】 A4．(2013·鹤壁高二检测)如图3－1－3所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝( )图3－1－3A.12B ．1C ．2【解析】 由图象知f (5)＝－5＋8＝3. 由导数几何意义知f ′(5)＝－1. ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 【答案】 C5．(2013·黄冈高二检测)已知曲线y ＝4x在点P (1,4)处的切线与直线l 平行且距离为17，则直线l 的方程为( ) A ．4x －y ＋9＝0B ．4x －y ＋9＝0或4x －y ＋25＝0C ．4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0D ．以上均不对【解析】 y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝－4，∴k ＝－4，∴切线方程为y －4＝－4(x －1)，即4x ＋y －8＝0，设l ：4x ＋y ＋c ＝0，由题意17＝|c ＋8|42＋12，∴c ＝9或－25，应选C.【答案】 C 二、填空题6．已知y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________. 【解析】 由题意lim Δx →0a 1＋Δx2＋b －a －bΔx＝lim Δx →0(a Δx ＋2a )＝2a ＝2，∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2，∴b a＝2.【答案】 27．(2013·杭州高二检测)曲线f (x )＝3x ＋x 2在点(1，f (1))处的切线方程为__________． 【解析】 k ＝lim Δx →0 31＋Δx ＋1＋Δx2－3－12Δx＝5.∵f (1)＝4.由点斜式得y －4＝5(x －1)，即y ＝5x －1. 【答案】 y ＝5x －18．y ＝f (x )，y ＝g (x )，y ＝α(x )的图象如图3－1－4所示：图3－1－4而下图是其对应导数的图象：则y＝f(x)对应________；y＝g(x)对应________；y＝α(x)对应________．【解析】由导数的几何意义，y＝f(x)上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变，则y＝f(x)对应B.y＝g(x)上任一点处的切线斜率均小于零，且在起始部分斜率值趋近负无限，故y＝g(x)对应C.y＝α(x)图象上任一点处的切线斜率都大于零，且先小后大，故y＝α(x)对应A.【答案】 B C A三、解答题9．已知函数f(x)＝x2＋2.(1)求f′(x)；(2)求f(x)在x＝2处的导数．【解】(1)∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x ＋Δx )2＋2－(x 2＋2)＝(Δx )2＋2x ·Δx ， ∴Δy Δx ＝2x ＋Δx . ∴f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝2x .(2)f ′(2)＝f ′(x )|x ＝2＝2×2＝4.10．已知曲线y ＝13x 3上一点P (2，83)，求：(1)点P 处的切线的斜率；(2)点P 处的切线方程．【解】 (1)由y ＝13x 3，得y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 13x ＋Δx 3－13x 3Δx＝13lim Δx →0 3x 2Δx ＋3x Δx 2＋Δx 3Δx＝13lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝x 2，y ′|x ＝2＝22＝4.所以点p 处的切线的斜率等于4.(2)在点p 处的切线方程为y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.11．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3.(1)求f ′(x )，g ′(x )，并判断f ′(x )和g ′(x )的奇偶性；(2)若对于所有的实数x ，f ′(x )－2＜ag ′(x )恒成立，试求实数a 的取值范围．【解】 (1)由导数的定义知，f ′(x )＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx ＝2x ；g ′(x )＝lim Δx →0 x ＋Δx 3－x 3Δx ＝lim Δx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝3x 2.f ′(x )和g ′(x )的定义域为R ，故定义域关于原点对称，∵f ′(－x )＝－2x ＝－f ′(x )，∴f ′(x )为奇函数．∵g ′(－x )＝3(－x )2＝3x 2＝g ′(x )，∴g ′(x )为偶函数． (2)由f ′(x )－2＜ag ′(x )，得3ax 2－2x ＋2＞0对任意实数x 恒成立， ①当a ＝0时，转化为－2x ＋2＞0恒成立，即x ＜1，不合题意； ②当a ≠0时，由3ax 2－2x ＋2＞0对所有实数x 都成立得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝－22－4×2×3a ＜0，解得a ＞16.综上，a 的取值范围是(16，＋∞).(教师用书独具)在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)与x 轴成135°的倾斜角．【解】 f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)．(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P (－32，94)． (3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1. 即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P (－12，14)．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切．(1)求a 的值；(2)求切点的坐标．【解】 设直线l 与曲线C 相切于P (x 0，y 0)点． f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f xΔx＝lim Δx →0 x ＋Δx 3－x ＋Δx 2＋1－x 3－x 2＋1Δx ＝3x 2－2x .由题意知，k ＝1，即3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝－13或x 0＝1.于是切点的坐标为(－13，2327)或(1,1)． 当切点为(－13，2327)时，2327＝－13＋a ，a ＝3227.当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，a ＝0(舍去)． 所以a 的值为3227，切点坐标为(－13，2327)．。

第二章 导数及其应用2.2.2 导数的几何意义1. 理解割线逼近切线的过程，了解曲线上一点处的切线的意义；2. 理解由平均变化率到瞬时变化率与由割线到切线的斜率之间的关系．重点：曲线上一点处的切线概念的形成过程． 难点：用运动变化的观点认识导数的几何意义．一、新课导入问题1：我们学习了函数在某区间上的平均变化率，它的几何意义是什么呢？答案：几何意义为割线的斜率，反映了直线的“陡峭”程度．近似地刻画了曲线在这一区间上的变化趋势． 设计意图：这一段的内容既是对平均变化率与瞬时变化率进一步的概括，又是对本节课要研究内容的适时切入，展现了数学知识发生与发展的过程，更重要的是，这种发生、发展的规律，与人们认识事物的规律是吻合的，即数学知识的发生往往是从原有知识的基础发展而来的．问题2 有些时候我们需要研究曲线上某一点处的变化趋势，比如我们熟悉的幂函数，如图，这些幂函数在[0，1]区间上的平均变化率是相同的，但是在点P (1，1)处的变化趋势是相同的吗？答案：不相同．设计意图：提出研究方向，感受研究的必要性．其实在我们生活中也有这样的例子．在2010年广州亚运会的链球决赛中，我国选手张文秀技压群芳，获得了冠军，为国争光，作为一个专业运动员，她很好地掌握了链球在抛出点处的运动趋势，把握了链球出手的最佳时机．这些都告诉我们，确实有必要来研究曲线上一点处的变化趋势．设计意图：数学知识的产生往往离不开生产和生活的实际需要，从生活背景出发，提出◆教学目标◆教学过程◆教学重难点 ◆研究问题的必要性．二、新知探究问题3怎样在图形中表示由平均变化率到瞬时变化率？如图，设Q为曲线C上不同于点P的一点，则直线PQ称为曲线的割线．随着点Q沿曲线C向点P运动，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终成为点P处最逼近曲线的直线l，这时直线l称为曲线在点P处的切线．设计意图：通过类似放大镜观察图形的过程，可以近似地把曲线在一点处的变化趋势看成直线，用信息技术表达．问题４对于一般的曲线C，如抛物线f (x)＝x2，如何定义它在某一点，如P0 (1，1)处的切线呢？追问1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？答案：不一定. 例如，二次函数f (x)＝x2的图象和直线x＝1只有一个交点，但它们显然不相切．追问2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？答案：不一定. 例如，正弦函数f (x)＝sin x的图象和直线y＝1相切，但它们显然不止一个交点．因此不能再像在研究直线和圆的位置关系时那样，通过交点个数来定义相切．追问3：对于抛物线f (x)＝x2，应该如何定义它在点P0(1，1)处的切线的切线呢？答案：与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f (x)＝x2在点P0(1，1)处的切线，我们在点P0(1，1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线的割线P0 P的变化情况．我们可以借助几何画板工具来观察．通过演示可以看到，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f (x)＝x2在点P0(1，1)处的切线．这样，我们得到抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线的含义．从几何上看，抛物线在点P0的切线，是由过这一点的割线P0P，当P无限接近P0时的极限位置确定的．我们知道，斜率是确定直线的一个要素．在已知切点的情况下，如果我们再能确定切线的斜率，就能确定切线的方程．追问4：如何求抛物线f (x)＝x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率呢？答案：从上述切线的定义可见，抛物线f (x)＝x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系．既然切线是割线的极限位置确定的，那么切线的斜率也就应该是割线斜率当P无限接近P0时的极限值．我们记点P的横坐标x＝1＋Δx，则点P的坐标为(x，(1＋Δx)2)．于是割线P0P的斜率k=f(x)−f(1)x−1=(1+Δx)2−1Δx=Δx+2我们可以通过割线P0P的斜率近似地表示切线的斜率，并且通过不断缩短横坐标间隔|Δx来提高近似表示的精确度．我们可以借助电脑的excel计算，来观察当P无限接近P0时，割线P0P的斜率变化情况．当Δx无限趋近于0时，无论x从小于1的一边还是大于1的一边无限趋近于1，割线斜率都无限趋近于2．事实上，由k=f(1+Δx)−f(1)Δx=Δx+2可以直接看出，当Δx无限趋近于0时，Δx＋2无限趋近于2. 我们把2叫做“当Δx无限趋近于0时，k=f(1+Δx)−f(1)Δx的极限”，记做lim Δx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=2．问题５曲线上一点处切线的斜率与导数是什么关系？答案：由导函数的定义可知，曲线上一点处切线的斜率就是曲线对应的函数在这一点的导数，可以通过割线的斜率逼近切线的斜率．问题６ 在曲线上怎样反映出从平均变化率到瞬时变化率？答案：点Q 沿着曲线向点P 无限靠近时，也就是说Δx →0．即：切线的斜率为k ，那么当Δx →0，f(x 0+Δx)−f (x 0)Δx→k ．总结：函数y=f (x )在x 0处的导数f′(x 0)，是曲线y=f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．函数y=f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义．三、应用举例例1 已知函数y =x 2及自变量x 0=−2．(1) 分别对Δx =1，0.5，0.1求y =x 2在区间[x 0，x 0+Δx]上的平均变化率，并画出过点(x 0，f (x 0))的相应割线；(2) 求函数y =x 2在x 0处的导数，并画出曲线y =x 2在点(x 0，f (x 0))处的切线． 解：(1)当Δx =1，0.5，0.1时，区间[x 0，x 0+Δx]相应为[−2，−1]，[−2，−1.5]，[−2，−1.9]，y =x 2在这些区间上的平均变化率分别为f (−1)−f (−2)1=(−1)2−(−2)21=−3， f (−1.5)−f (−2)0.5=(−1.5)2−(−2)20.5=−3.5， f (−1.9)−f (−2)0.1=(−1.9)2−(−2)20.1=−3.9．如图，其相应割线分别是经过点(−2，4)和点(−1，1)的直线l 1，经过点(−2，4)和点(−1.5，2.25)的直线l 2，经过点(−2，4)和点(−1.9，3.61)的直线l 3．(2) y =x 2在区间[−2，−2+Δx]上的平均变化率为(−2+Δx)2−(−2)2Δx=−4Δx+(Δx)2Δx=−4+Δx ．令Δx 趋于0，可知函数y =x 2在x 0=−2处的导数为−4．因此，曲线y =x 2在点(−2，4)处的切线为经过点(−2，4)，斜率为−4的直线l ．例2 求函数y ＝f (x )＝2x 3在x ＝1处的切线方程． 解：f(1+Δx)−f (1)Δx=2(1+Δx)3−2×13Δx=2[1+3Δx+3(Δx)2+(Δx)3]−2Δx=6+6Δx +2(Δx)2．令Δx 趋于0，可知y =2x 3在x =1处的导数为f ′(1)=6．于是，函数y =2x 3在点(1，f(1))即(1，2)处的切线斜率为6，即该切线经过点(1，2)，且斜率为6．因此，函数y ＝f (x )=2x 3在x =1处的切线方程为：y −2=6(x −1)，即y =6x −4．四、课堂练习1．曲线f (x )=−2x 在点A (1，－2)处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x ＋4 B ．y ＝－2x －4 C ．y ＝2x －4 D ．y ＝2x ＋42．如图，函数y =f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f′(5)＝___________．3. 直线y =−14x +b 是函数f (x )=1x图象的切线，则切点是_________，实数b ＝________．４．曲线y =f (x )=x 2−1在x ＝x 0处的切线与曲线y =g (x )=1−x 3在x ＝x 0处的切线互相平行．(1)求x 0的值；(2)求曲线y =f (x )在x ＝x 0处的切线方程． 参考答案：1．答案 C 解析：ΔyΔx =−21+Δx+2Δx=21+Δx ，所以当Δx →0时，f′(x)=2，故直线方程为y ＋2＝2(x －1)，即y ＝2x －4．2．答案：2解析：点P 横坐标为5，故由在点P 处切线为y ＝－x ＋8，得f′(5)＝－1，f(5)＝－5＋8＝3．∴f(5)＋f′(5)＝2．3．答案：(−2，−12)或(2，12)，1或－1． 解析：f ′(x )=limΔx→01x+Δx −1xΔx=−1x 2=−14 ，解得x ＝±2．当x ＝－2时，y ＝－12，b ＝－1；当x ＝2时，y ＝12，b ＝1．４．解：(1) f′(x 0)＝lim Δx→0f(x 0+Δx)−f (x 0)Δx＝limΔx→0(x 0+Δx)2−1−(x 02−1)Δx =2x 0，g′(x 0)＝limΔx→0g(x 0+Δx)−g (x 0)Δx＝limΔx→01−(x 0+Δx)3−(1−x 03)Δx=−3x 02．由题意得2x 0＝−3x 02，解得x 0＝0或－23．(2)当x 0＝0时，f′(x 0)＝0，又f (0)＝－1，故所求切线方程为y ＝－1；当x 0＝－23时，f′(x 0)＝－43，又f (－23)=−59，故所求切线方程为y ＋59＝－43(x +23)，即y ＝－43x －139．五、课堂小结１.切线的定义：设Q 为曲线C 上不同于点P 的一点，则直线PQ 称为曲线的割线．随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终成为点P 处最逼近曲线的直线l ，这时直线l 称为曲线在点P 处的切线．２.导数的几何意义：函数y=f (x )在x 0处的导数f′(x 0)，是曲线y=f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．函数y=f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义．六、布置作业教材第56页A 组练习第3，4，5题．。

导数的几何意义
教学目标
1. 了解一般曲线的切线的定义，理解导数的几何意义。

2. 经历发现导数的几何意义的过程，体会逼近、类比、数形结合的思想方法。

3. 领悟有限与无限，量变与质变的辩证关系，感受数学与生活的联系。

教学重点
理解导数的几何意义
教学难点
理解切线新定义
教学过程
（一）导入新课
介绍导数的产生源于解决两类问题：
①力学中的速度、加速度问题；
②几何学中曲线的切线问题。

上节课以物理为背景，从“数”的角度研究导数，本节课则从“形”的角度探索导数。

2.发现导数的几何意义
1）从直观上感知了“割线逼近切线”的变化过程，应该如何用数量关系来表示这种变化呢？生：直线方程的变化。

2）怎样求割线方程？（小组讨论）生1：已知两个点坐标，因此选用两点式。

（三）巩固提升
课件中的练习题：判断下图中直线与曲线的位置关系。

生：图1相切；图2相切，有两个交点；图3相交。

（四）课堂小结
知识：导数的几何意义思想：“逼近”和“极限”的思想方法（五）作业设计必做题：导学案练习题。

选做题：导学案提高题
板书设计。

2.2 导数的几何意义学习目标 1.了解导函数的概念；理解导数的几何意义.(重点)2.会求导函数.(重点)3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.(重、难点)知识点一切线的概念如图，当点P n(x n，f(x n))(n＝1，2，3，4，…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.显然割线PP n的斜率是k n＝f（x n）－f（x0）x n－x0，当点P n无限趋近于点P时，k n无限趋近于切线PT的斜率.知识点二导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，也就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率k＝0limx∆→f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝f′(x0).相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 【预习评价】1.曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？提示不一定.曲线的切线与曲线除了切点外，可能还有其他的公共点.2.曲线“在点P处的切线”与“过点P的切线”的差异是什么？提示在点P处的切线，点P必为切点，过点P的切线，点P不一定为切点，点P也不一定在曲线上.题型一 已知过曲线上一点求切线方程【例1】 若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值. 解 ∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）3＋3a （x ＋Δx ）－x 3－3axΔx＝ 0lim x ∆→3x 2Δx ＋3x （Δx ）2＋（Δx ）3＋3a ΔxΔx＝0lim x ∆→[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a .设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)， 结合已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－322，x 0＝－342，∴a ＝1－322.规律方法 一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图像，P (x 0，y 0)是曲线C 上的定点，由导数的几何意义知k ＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程.【训练1】 求过曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线方程.解 因为0lim x ∆→ f （2＋Δx ）－f （2）Δx ＝0lim x ∆→12＋Δx －12Δx ＝0lim x ∆→ －12（2＋Δx ）＝－14.所以这条曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0. 题型二 求过曲线外一点的切线方程【例2】 已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3，9)的切线方程. 解 y ′＝0lim x ∆→ΔyΔx＝0lim x ∆→[2（x ＋Δx ）2－7]－（2x 2－7）Δx＝0lim x ∆→(4x ＋2Δx )＝4x .由于点P (3，9)不在曲线上.设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0， 故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0). 将P (3，9)及y 0＝2x 20－7代入上式， 得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0). 解得x 0＝2或x 0＝4， 所以切点为(2，1)或(4，25).从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.规律方法 若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程. 【训练2】 求过点A (2，0)且与曲线y ＝f (x )＝1x 相切的直线方程. 解 易知点(2，0)不在曲线上，故设切点为P (x 0，y 0)，由f′(x0)＝limx∆→1x0＋Δx－1x0Δx＝－1x20，得所求直线方程为y－y0＝－1x20(x－x0).由点(2，0)在直线上，得x20y0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，所求直线方程为x＋y－2＝0.【例3】已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值.解对于曲线y＝x2－1在x＝x0处，y′|x＝x0＝limx∆→[（x0＋Δx）2－1]－（x20－1）Δx＝limx∆→2x0·Δx＋（Δx）2Δx＝limx∆→(2x0＋Δx)＝2x0.对于曲线y＝1－x3在x＝x0处，y′|x＝x0＝limx∆→[1－（x0＋Δx）3]－（1－x30）Δx＝limx∆→－3x20Δx－3x0（Δx）2－（Δx）3Δx＝limx∆→[－3x20－3x0·Δx－(Δx)2]＝－3x20，又y＝1－x3与y＝x2－1在x＝x0处的切线互相平行，所以2x0＝－3x20，解得x0＝0或x0＝－23.【迁移1】(条件不变，改变问法)本典例条件不变，试分别求出这两条平行的切线方程.解 (1)当x 0＝0时，两条切线的斜率k ＝0，曲线y ＝x 2－1上的切点坐标为(0，－1)，切线方程为y ＝－1， 曲线y ＝1－x 3上的切点坐标为(0，1)，切线方程为y ＝1. (2)当x 0＝－23时，两条切线的斜率k ＝－43，曲线y ＝x 2－1上的切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－59，切线方程为y ＋59＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，即12x＋9y ＋13＝0，曲线y ＝1－x 3上的切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3527，切线方程为y －3527＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，即36x＋27y －11＝0.故两曲线的切线方程分别是y ＝－1，y ＝1或 12x ＋9y ＋13＝0，36x ＋27y －11＝0.【迁移2】 (条件不变，改变问法)本典例条件不变，试求出两条切线之间的距离.解 由迁移1知两切线的方程为y ＝－1，y ＝1或12x ＋9y ＋13＝0，36x ＋27y －11＝0，其中36x ＋27y －11＝0可化为12x ＋9y －113＝0， 故两直线间的距离d 1＝2或d 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪13＋113122＋92＝109. 故两条切线之间的距离为2或109.规律方法 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线互相平行或垂直等.课堂达标1.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2，8)，则点A 处的切线斜率为( ) A.4B.16C.8D.2解析 f ′(2)＝0lim x ∆→f （2＋Δx ）－f （2）Δx＝0lim x ∆→2（2＋Δx ）2－8Δx ＝0lim x ∆→ (8＋2Δx )＝8，即斜率k ＝8.答案 C2.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A.a ＝1，b ＝1 B.a ＝－1，b ＝1 C.a ＝1，b ＝－1D.a ＝－1，b ＝－1解析 由题意，知k ＝0lim x ∆→（0＋Δx ）2＋a （0＋Δx ）＋b －bΔx ＝1，∴a ＝1.又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A. 答案 A3.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________.解析 设点P (x 0，2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝0lim x ∆→2（Δx ）2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx ＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3，30). 答案 (3，30)4.曲线y ＝2x 2＋1在点P (－1，3)处的切线方程为________. 解析 Δy ＝2(Δx －1)2＋1－2×(－1)2－1＝2(Δx )2－4Δx ，ΔyΔx ＝2Δx －4，0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→(2Δx －4)＝－4， 由导数几何意义知，曲线y ＝2x 2＋1在点(－1，3)处的切线的斜率为－4，切线方程为y ＝－4x －1，即4x ＋y ＋1＝0. 答案 4x ＋y ＋1＝05.在抛物线y ＝x 2上，问哪一点处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？解 y ′＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）2－x 2Δx ＝0lim x ∆→ (2x ＋Δx )＝2x .设抛物线上点P (x 0，y 0)处的切线平行于直线 4x －y ＋1＝0，则k ＝2x 0＝4，解得x 0＝2. 所以y 0＝x 20＝4，即P (2，4).设抛物线上点Q (x 1，y 1)处的切线垂直于直线 4x －y ＋1＝0，则k ＝2x 1＝－14，解得x 1＝－18. 所以y 1＝x 21＝164，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，164.故抛物线y ＝x 2在点(2，4)处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0， 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，164处的切线垂直于直线4x －y ＋1＝0.课堂小结1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝0limx ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.2.“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.。

导数的概念及其几何意义教案导数的概念及其几何意义导数是微积分学中的一个基本概念，它不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中也有着广泛的用途。

本文将通过深入的理论探讨和几何意义的解释，帮助读者全面理解导数的概念及其应用。

一、导数的概念导数是函数的一种基本性质，它描述了函数在某一点上的变化率。

具体地说，设函数y=f(x)，在某一点x=a处有定义，若存在极限lim_[h→0] (f(a+h)-f(a))/h ，那么这个极限就称为函数f(x)在点a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|_(x=a)。

从定义中可以看出，导数表示了函数在某一点上的瞬时变化率，也即函数的斜率。

导数的绝对值越大，表示函数在该点上的变化越剧烈；导数为零表示函数在该点上没有变化；导数为正表示函数在该点上单调递增；导数为负表示函数在该点上单调递减。

二、导数的几何意义导数的几何意义可以通过理解切线的概念来解释。

对于一个函数，取其中一点P(x,y)，在这一点上作一条切线，使得切线与曲线只有一个公共点P。

那么这条切线的斜率就是函数在点P处的导数。

通过这种解释，我们可以把导数理解为函数曲线在某一点上的局部近似线性化描述。

切线的近似线性特征使得我们可以使用直线的性质来研究函数曲线的性质。

我们可以通过判断切线的斜率的正负来确定函数的单调性；通过判断切线与x轴的交点来确定函数的根的存在性等等。

三、导数的应用导数在实际应用中具有广泛的用途。

下面列举几个典型的应用场景：1. 曲线的拟合与插值：通过函数的导数可以获得曲线的斜率信息，进而进行曲线的拟合和插值，从而更好地描述和预测曲线的变化。

2. 最优化问题：很多最优化问题可以通过导数的求解来解决。

求函数在某一范围内的最大值或最小值，我们可以通过求解导数为零的位置来得到答案。

3. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，速度和加速度是描述物体的运动的重要概念。

通过对位移和时间的关系进行导数运算，我们可以得到速度和加速度的函数表达式，从而更好地分析物体的运动规律。

导数的几何意义教案及说明教案章节：一、导数的定义；二、导数的计算；三、导数的应用；四、导数与曲线的切线；五、导数与函数的单调性一、导数的定义1. 教学目标：理解导数的定义，掌握导数的几何意义。

2. 教学内容：引入导数的概念，解释导数的几何意义，举例说明导数表示曲线的切线斜率。

3. 教学步骤：a. 引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

b. 解释导数的几何意义，即导数表示曲线的切线斜率。

c. 举例说明导数表示曲线的切线斜率，通过图形演示导数的变化。

4. 教学练习：a. 练习计算函数在某一点的导数。

b. 练习根据导数的几何意义，确定曲线的切线斜率。

二、导数的计算1. 教学目标：掌握导数的计算方法，能够计算常见函数的导数。

2. 教学内容：介绍导数的计算方法，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数。

3. 教学步骤：a. 介绍导数的计算方法，包括常数函数的导数为0，幂函数的导数按幂次降次，指数函数的导数为自身，对数函数的导数为1/x。

b. 举例说明常见函数的导数计算，包括正弦函数、余弦函数、绝对值函数等。

4. 教学练习：a. 练习计算常见函数的导数。

b. 练习根据导数的计算结果，分析函数的单调性。

三、导数的应用1. 教学目标：理解导数在实际问题中的应用，掌握导数的基本应用方法。

2. 教学内容：介绍导数在实际问题中的应用，包括速度、加速度、优化问题等。

3. 教学步骤：a. 介绍导数在速度和加速度中的应用，解释速度是位置关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数。

b. 举例说明导数在优化问题中的应用，通过导数找到函数的最大值和最小值。

4. 教学练习：a. 练习根据导数计算速度和加速度。

b. 练习使用导数解决优化问题。

四、导数与曲线的切线1. 教学目标：理解导数与曲线的切线的关系，掌握求解切线方程的方法。

2. 教学内容：解释导数与曲线的切线的关系，介绍求解切线方程的方法。

3. 教学步骤：a. 解释导数与曲线的切线的关系，即导数表示曲线的切线斜率。

【热点聚焦】导数的几何意义为高考命题热点内容，考查题型有客观题，有时也出现在解答题中，难度中等或更小．导数的运算基本不单独命题，主要是在导数的几何意义及导数的应用中加以考查.导数的几何意义问题归纳起来常见的命题探究角度有：(1)求切线方程问题．(2)确定切点坐标问题．(3)已知切线问题求参数．(4)导数几何意义的综合应用．【重点知识回眸】（一）导数的几何意义1.函数f (x)在点x0处的导数f ′(x0)的几何意义是曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．2.提醒：(1)瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数．(2)曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为f ′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(3)曲线y＝f (x)过点P(x0，y0)的切线，点P不一定是切点，切线可能有多条．（二）基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x)＝c(c为常数)f ′(x)＝0f (x)＝x n(n∈Q*)f ′(x)＝nx n－1f (x)＝sin x f ′(x)＝cos xf (x)＝cos x f ′(x)＝－sin xf (x)＝a x f ′(x)＝a x ln a(a＞0)f (x)＝e x f ′(x)＝e xf (x)＝log a x(a＞0，且a≠1)f ′(x)＝1x ln a(a＞0，且a≠1)f (x)＝ln x f ′(x)＝1 x(1)[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)；(2)[f (x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)；（3）(g (x )≠0)． （四）复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． （五）常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论： (1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2； (2) 21'()[]'()[()]f x f x f x =- (f (x )≠0)； (3)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )． （六）方法与技巧：1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）与切点，在利用点斜式写出直线方程.2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点A 的横坐标0x ，因为0x 可“一点两代”，代入到原函数，即可得到切点的纵坐标()0f x ，代入到导函数中可得到切线的斜率()'0fx k =,从而一点一斜率，切线即可求所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计的把它求解出来.3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标()00,x y ,再考虑利用条件解出核心要素0x ，进而转化成第一类问题.4、在解析几何中也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用0∆=求出参数值进而解出切线方程.解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以互通.若某函数的图像为圆锥曲线，二次曲线的一部分，则在求切线时可用解析的方法求解，例如：21y x =-13,22⎛⎝⎭处的切线方程，则可考虑利用圆的切线的求法进行解决.若圆锥曲线可用函数解析式表示，像焦点在y 轴的抛物线，可看作y 关于x 的函数，则在求切线时可利用导数进行快速求解（此方法也为解析几何中处理焦点在y 轴的抛物线切线问题的重要方法）.5、在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点.“在某点处的切线”意味着该点即2()'()()'()()'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢⎥⎣⎦为切点，而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点，有可能不是切点.如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论了.【典型考题解析】热点一 求曲线的切线方程【典例1】（2020·全国·高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+【典例2】（2019·全国高考真题（文））曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【典例4】（2022·全国·高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【规律方法】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程． 热点二 求切点坐标【典例5】（2021·河北唐山市·唐山一中高三其他模拟）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2:2C x y =的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，若直线MQ 与抛物线C 相切于点M ，则点M 的坐标是___________. 【典例6】（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A 在曲线y =ln x 上，且该10x y --π-=2210x y --π-=2210x y +-π+=10x y +-π+=0010010()'()y f x y y f x x x=⎧⎪-⎨=⎪-⎩xOy曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【方法总结】1.已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．2.已知斜率求切点：已知斜率k ，求切点(x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k . 热点三 求参数的值(范围)【典例7】（2019·全国·高考真题（理））已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-【典例8】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()e ,x f x a b a b =+∈R 在点()()0,0f 处的切线方程为32y x =+，则2a b +=（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5【典例9】（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________． 【规律方法】1.利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2.根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．3.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围． (2)谨记切点既在切线上又在曲线上． 热点四 切线的斜率与倾斜角【典例10】（2023·全国·高三专题练习）设函数321()(1)sin 3f x x a x a x =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线斜率为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．12【典例11】（2022·江西·丰城九中高三开学考试（理））函数()2ln 1sin y x x =++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则sin2α=（ ） A ．310B ．±310 C ．35D ．±35【典例12】（2018·全国·高考真题（理））曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则=a ________．热点五：两曲线的公切线问题【典例13】（2020·全国·高考真题（理））若直线l 与曲线y x x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【典例14】（2023·全国·高三专题练习）已知函数22f xx ，()3ln g x x ax =-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =在公共点处的切线相同，则实数=a ________．【典例15】（2016·全国·高考真题（理））若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =_______． 【总结提升】解决此类问题通常有两种方法一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝1212()()f xg x x x --.热点六：导数几何意义的综合应用【典例16】（2021·全国·高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a <<D ．0e a b <<【典例17】（全国·高考真题（文））已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-【典例18】（2020·北京·高考真题）已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．【精选精练】一、单选题1．（2022·湖北武汉·高三开学考试）若函数()ln bf x a x x=-在点（1，f （1））处的切线的斜率为1，则22a b +的最小值为（ ）A ．12B 2C 3D ．342．（2023·全国·高三专题练习）函数()ln f x x ax =+存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞ B ．11,22,2e e ∞⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2,+∞D ．()0,∞+3．（2022·江西·高三阶段练习（文））我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图像的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．利用此方法计算sin 0.01︒的近似值为（ ） A ．0.01B ．180πC ．1800πD ．18000π4．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（文））若函数1()33(0)f x x x x=+->的图象与函数()e x g x tx =的图象有公切线l ，且直线l 与直线122y x =-+互相垂直，则实数t =（ ）A ．1eB ．2eC ．1e或2e D ．1e或4e 5．（2022·安徽省舒城中学三模（文））以下曲线与直线e e y x =-相切的是（ ） A ．221x y +=B ．e x y =C ．e ln x y x =D ．21e 2y x =6．（2022·广东·高三阶段练习）已知函数2()ln f x a x bx =-的图象在1x =处与直线12y =-相切，则函数()f x 在[]1,e 上的最大值为（ ） A ．1-B ．0C ．12-D ．17．（2023·全国·高三专题练习）曲线e 22x y x x =+-在0x =处的切线方程是（ ） A ．320x y ++= B ．220x y ++= C ．220x y --=D ．320x y --=8．（2023·河北·高三阶段练习）若过点(,)m n 可以作曲线2log y x =的两条切线，则（ ） A ．2log m n >B ．2log n m >C ．2log m n <D ．2log n m <9．（2022·全国·高三专题练习）曲线ln y x =上的点到直线2y x =+的最短距离是（ ） A ．22B 32C 2D 210．（2022·河南·高三阶段练习（理））曲线ln 3y x x x =+-在1x =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．811．（2023·全国·高三专题练习）过点()0,P b 作曲线e x y x =的切线，当240e b -<<时，切线的条数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3二、填空题12．（2021·全国·高考真题（理））曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________． 13．（2023·山西大同·高三阶段练习）已知2e ()e x xaf x +=满足()()0f x f x ，且()f x 在(,())b f b 处的切线方程为2y x =，则a b +=___________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切，则21a b+的最小值为___________.15．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.16．（2021·全国·高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______． 三、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）设函数()12ln f x p x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2e g x x =若直线l 与函数()(),f x g x 的图象都相切，且与函数()f x 的图象相切于点()1,0，求p 的值；18．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()ln f x x x ax b =++在e x =时取得极小值1e -，其中e 2.718=是自然对数的底数.(1)求实数a 、b 的值； (2)若曲线()y f x =在点()(),t f t 处的切线过原点()0,0，求实数t 的值.。

导数的几何意义教案（后附教学反思）一、教学目标1. 让学生理解导数的定义，掌握导数的几何意义。

2. 能够运用导数求解曲线的切线斜率。

3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数与切线斜率的关系4. 求解曲线的切线斜率5. 应用实例三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义，导数的几何意义，求解曲线的切线斜率。

2. 难点：导数的几何意义的理解，求解曲线的切线斜率的应用。

四、教学方法1. 采用讲解法、问答法、案例分析法、互动讨论法等。

2. 通过图形演示、实例分析，引导学生直观理解导数的几何意义。

3. 以学生为主体，鼓励学生主动探究、积极参与，培养学生的动手能力和思考能力。

五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考如何描述曲线的变化率。

2. 讲解导数的定义：引入极限的概念，讲解导数的定义，强调导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率。

3. 导数的几何意义：通过图形演示，解释导数表示的是曲线在某一点的切线斜率。

引导学生直观理解导数的几何意义。

4. 导数与切线斜率的关系：讲解导数与切线斜率的关系，引导学生掌握求解曲线的切线斜率的方法。

5. 应用实例：分析实际问题，运用导数求解曲线的切线斜率，巩固所学知识。

6. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固导数的几何意义及求解切线斜率的方法。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的几何意义及求解切线斜率的方法。

8. 布置作业：布置课后作业，巩固所学知识。

教学反思：1. 讲解导数的定义时，要注重极限思想的理解，引导学生明白导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率。

2. 通过图形演示，让学生直观地理解导数的几何意义，强化空间想象能力。

3. 结合实际问题，让学生学会运用导数求解曲线的切线斜率，提高学生的应用能力。

4. 课堂练习环节，要注意引导学生主动思考，培养学生的解决问题能力。

5. 教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够扎实掌握所学知识。