能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征讲解学习

学生学校年级科目教师日期时段次数课题能被4、8、9整除的数的特征教学重点难点重点：能被4，8，9整除的数的特征难点：能被4，8，9整除的数的特征教学步骤及教学内容一、作业检查：二、课前热身：三、内容讲解：数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。

例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。

例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。

性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。

例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。

利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。

为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。

（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。

（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。

（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。

（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。

（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。

个性化教学辅导教案其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。

因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。

因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。

第四讲我们在三年灰巳经学习了能被2, 3, 5整除的敎的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，芥讲解能被4, 8, 9整除的数的特征。

数的笔除具有如下性质：性质1如杲甲数能被乙数強除，乙数能被丙数養除，那么甲数一定能被丙数蛭除，例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48 —定能被8整除。

性质2如果网个数梆能被一个自然数密除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。

例如，21与15部能被3整除，那么21 + 15及21J5都能被3整除。

性质3如果一个纹能分别被两个亘质的自然数聲除，那么这个数一定能被这两个亘质的自然数的乘积整除。

例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9X7=63整除。

利用上面关于整除的性质，我们可以解决许条与整除有关的问题。

为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的教宇特征列出来：(1) 一个教的个位教宇如果是0, 2, 4, 6, 8中的一个，那么这个敎就能被2奚除。

(2) 一个教的个位教宇如果是0或5,那么这个教就能被5整除。

(3) 一个教各个数位上的数宇之和如果能袱3整除，那么这个数就能被3整除。

(4) 一个数的耒两位数如果能被4 (或25)整除，那么这个数就能被4 (或25)整除。

(5) 一个数的耒三位数如髡能被8 (或125)整除，那么这个敌就能被8 (或125)整除。

(6) 一个教各个数位上的数宇之和如果能被9整除，那么这个敎就能被9整除。

其中(1) (2) (3)是三年饭学过的内容，(4) (5) (6)是本讲要学习的内容。

因为100能被4 (或25)整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4 (或25)整除。

因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4 (或25)整除，这个数就能被4 (或25)整除。

这就证明了(4)。

类似地可以证明(5) o(6)的正确性，我们用一个具肚的数来说明一般性的证明方法。

要点考点一、整数和除尽的联系和区别整除和除尽，它们所除的结果都没有余数，这是它们的共同点。

“除尽”包括“整除”，“整除”是除尽的一种特殊情况。

二、整除数的特征1．能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8。

2．能被5整除的数的特征：个位上是0或5。

3．能被3(或9)整除的数的特征：一个数的各个数位上的数之和能被3(或9)整除，这个数就能被3(或9)整除。

例如：6，12，108，204，354都能被3整除，其中108又能被9整除。

注意：能被3整除的数不一定能被9整除，但能被9整除的数一定能被3整除。

三、质数和合数1．一个数只有l和它本身两个约数，这个数叫做质数(素数)。

2．一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

3．1既不是质数，也不是合数。

4．自然数按约数的个数可分为：1、质数、合数。

5．自然数按能否被2整除分为：奇数、偶数。

四、分解质因数1．每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。

例如：18=3×3×2，3、3和2叫作18的质因数。

2．把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

通常用短除法来分解质因数。

3．特殊情况下几个数的最大公约数和最小公倍数。

(1)如果几个数中，较大数是较小数的倍数，较小数是较大数的约数，则较大数是它们的最小公倍数；较小数是它们的最大公约数。

(2)如果几个数两两互质，则它们的最大公约数是1，最小公倍数是这几个数连乘的积。

五、名师讲解例1：下面的式子中哪个表示除尽，哪个表示整除?A．6÷0．5=12 B．10÷0．2=50 C．5÷10=0。

5D．38÷19=2 E．1÷7=1/7[分析]根据除尽的概念可知，算式A、B、C、D的余数都为零，所以A、B、C、D都属于除尽。

整除不仅要求余数为零，而且被除数、除数、商都必须是自然数，所以符合整除的只有D。

2019数的整除性讲解（一）我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。

数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。

例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。

例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。

性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。

例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。

利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。

为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。

（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。

（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。

（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。

（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。

（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。

其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。

因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。

因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。

这就证明了（4）。

类似地可以证明（5）。

（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

四年级奥数：4,8,9整除的数的特征我们在三年级已经学习了能被2,3,5整除的数的特征,这一讲我们将讨论整除的性质,并讲解能被4,8,9整除的数的特征.数的整除具有如下性质：性质 1 如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数一定能被丙数整除.例如,48能被16整除,16能被8整除,那么48一定能被8整除.性质2 如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除.例如,21与15都能被3整除,那么21＋15及21-15都能被3整除. 性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除,那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除.例如,126能被9整除,又能被7整除,且9与7互质,那么126能被9×7＝63整除.利用上面关于整除的性质,我们可以解决许多与整除有关的问题.为了进一步学习数的整除性,我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0,2,4,6,8中的一个,那么这个数就能被2整除.（2）一个数的个位数字如果是0或5,那么这个数就能被5整除.（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除,那么这个数就能被3整除.（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除,那么这个数就能被4（或25）整除.（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除,那么这个数就能被8（或125）整除.（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除,那么这个数就能被9整除.其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容,（4）（5）（6）是本讲要学习的内容.因为100能被4（或25）整除,所以由整除的性质1知,整百的数都能被4（或25）整除.因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和,所以由整除的性质2知,只要这个数的后两位数能被4（或25）整除,这个数就能被4（或25）整除.这就证明了（4）.类似地可以证明（5）.（6）的正确性,我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法.837＝800＋30＋7＝8×100＋3×10＋7＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7＝8×99＋8＋3×9＋3＋7＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）.因为99和9都能被9整除,所以根据整除的性质1和性质2知,（8x99＋3x9）能被9整除.再根据整除的性质2,由（8＋3＋7）能被9整除,就能判断837能被9整除.利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4,8,9的余数：（4‘）一个数除以4的余数,与它的末两位除以4的余数相同.（5＇）一个数除以8的余数,与它的末三位除以8的余数相同.（6＇）一个数除以9的余数,与它的各位数字之和除以9的余数相同.例1在下面的数中,哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234,789,7756,8865,3728.8064.解：能被4整除的数有7756,3728,8064；能被8整除的数有3728,8064；能被9整除的数有234,8865,8064.例2在四位数56□2中,被盖住的十位数分别等于几时,这个四位数分别能被9,8,4整除？解：如果56□2能被9整除,那么5＋6＋□＋2＝13＋□应能被9整除,所以当十位数是5,即四位数是5652时能被9整除；如果56□2能被8整除,那么6□2应能被8整除,所以当十位数是3或7,即四位数是5632或5672时能被8整除；如果56□2能被4整除,那么□2应能被4整除,所以当十位数是1,3,5,7,9,即四位数是5612,5632,5652,5672,5692时能被4整除.到现在为止,我们已经学过能被2,3,5,4,8,9整除的数的特征.根据整除的性质3,我们可以把判断整除的范围进一步扩大.例如,判断一个数能否被6整除,因为6＝2×3,2与3互质,所以如果这个数既能被2整除又能被3整除,那么根据整除的性质3,可判定这个数能被6整除.同理,判断一个数能否被12整除,只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除,只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等.例3从0,2,5,7四个数字中任选三个,组成能同时被2,5,3整除的数,并将这些数从小到大进行排列.解：因为组成的三位数能同时被2,5整除,所以个位数字为0.根据三位数能被3整除的特征,数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除,因此所求的这些数为270,570,720,750.例4五位数能被72整除,问：A与B各代表什么数字？分析与解：已知能被72整除.因为72＝8×9,8和9是互质数,所以既能被8整除,又能被9整除.根据能被8整除的数的特征,要求能被8整除,由此可确定B＝6.再根据能被9整除的数的特征,的各位数字之和为A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20,因为l≤A≤9,所以21≤A＋20≤29.在这个范围内只有27能被9整除,所以A＝7.解答例4的关键是把72分解成8×9,再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字.在解题顺序上,应先确定B所代表的数字,因为B代表的数字不受A的取值大小的影响,一旦B代表的数字确定下来,A所代表的数字就容易确定了.例5 六位数是6的倍数,这样的六位数有多少个？分析与解：因为6＝2×3,且2与3互质,所以这个整数既能被2整除又能被3整除.由六位数能被2整除,推知A可取0,2,4,6,8这五个值.再由六位数能被3整除,推知3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B能被3整除,故2B能被3整除.B可取0,3,6,9这4个值.由于B可以取4个值,A 可以取5个值,题目没有要求A≠B,所以符合条件的六位数共有5×4＝20（个）.例6要使六位数能被36整除,而且所得的商最小,问A,B,C各代表什么数字？分析与解：因为36＝4×9,且4与9互质,所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除.六位数能被4整除,就要能被4整除,因此C可取1,3,5,7,9.要使所得的商最小,就要使这个六位数尽可能小.因此首先是A尽量小,其次是B尽量小,最后是C尽量小.先试取A=0.六位数的各位数字之和为12＋B＋C.它应能被9整除,因此B＋C＝6或B＋C＝15.因为B,C应尽量小,所以B＋C＝6,而C只能取1,3,5,7,9,所以要使尽可能小,应取B＝1,C＝5.当A=0,B=1,C＝5时,六位数能被36整除,而且所得商最小,为150156÷36＝4171.练习41．6539724能被4,8,9,24,36,72中的哪几个数整除？2．个位数是5,且能被9整除的三位数共有多少个？3．一些四位数,百位上的数字都是3,十位上的数字都是6,并且它们既能被2整除又能被3整除.在这样的四位数中,最大的和最小的各是多少？4．五位数能被12整除,求这个五位数.5．有一个能被24整除的四位数□23□,这个四位数最大是几？最小是几？6．从0,2,3,6,7这五个数码中选出四个,可以组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数？7．在123的左右各添一个数码,使得到的五位数能被72整除.8．学校买了72只小足球,发票上的总价有两个数字已经辨认不清,只看到是□67.9□元,你知道每只小足球多少钱吗？答案练习41.4,9,36.2.10个. 提示：百位与十位的数字和为4或13.3.9366；1362.4.42972.5.8232；2232.提示：先由能被8整除判断出个位数是2.6.16个.提示：6320,3720,2360,2760,6032,3072,2736,7632, 7320,6720,7360,3760,7032,6072,2376,3672.7.11232.8.5.11元. 提示：□679□应能被72整除.。

学而思 85723332/82624855/87716307 五年级QQ 交流群126795196知识点讲解：数的整除规律1） 2系列：能被2和5整除的数要看个位，能被4和25整除的要看末两位，能被8和125整除的要看末三位.请大家想想为什么？我们以被8整除看末三位为例证明以上两个系列的性质，假设一个多位数为是nm dcba 则还可以表示为：0001000nm dcba nm d cba nm d cba =+=⨯+ ，由于81000所以8000nm d ，因此只要cba 能被8整除该数就一定能被8整除 2） 3系列：能被3和9整除只需看各位数字之和能否被3和9整除，为什么?我们以三位数abc 为例来证明被9整除只需看各位数字之和这一性质，如：()()10010999abc a b c a b a b c =++=++++显然()999a b +是9的倍数，因此只要()a b c ++即各个数位数字之和能被9整除那么这三位数abc 就能被9整除，反之亦然.推广到任意位数的自然数，该证明方法仍然成立，请大家自己尝试一下.3） 7，11，13系列：被7、11、13整除的判别方法：看多位数的末三位和前面部分之差能否被7、11、13整除.为什么呢？仔细观察我们会发现711131001⨯⨯=，比1000大1，由此可以有如下证明：假设一个多位数为是nm dcba ，有：0001000nm dcba nm d cba nm d cba =+=⨯+ = ()10011001nm d nm d cba nm d nm d cba ⨯-+=⨯-- ，由于1001是7、11、13的倍数，故只要()nm d cba - 能被7、11、13整除即可.4） 特别的，我们还有另外一种判别能否被11整除的性质，就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除，这个定理也是可以证明的，我们以简单的三位数abc 来说明：()()1001099119911abc a b c a b a b c a b a c b =++=++-+=+++-显然()9911a b +是11的倍数，因此只要()a c b +-是11的倍数，那么这三位数abc 就能被11整除，反之亦然.例题讲解例1 试说明一个5位数，原序数与反序数的差一定是99的倍数(如：12367为原序数，那么它对应的反序数为76321，它们的差6395499646=⨯是99的倍数)【分析】设原序数为abcde，则反序数为edcba，则abcde－edcba1000010001001010000100010010()()a b c d e e d c b a=++++-++++=+--a b d e99999909909999()=+--a b d e991011010101因为等式的右边能被99整除，所以abcde-edcba能被99整除【例2】一位后勤人员买了72本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去两个数字.帐本是这样的：72本笔记本，共□67.9□元(□为被烧掉的数字)，请把□处数字补上，并求笔记本的单价.【分析】把□67.9□元作为整数□679□分.既然是72本笔记本的总线数，那就一定能被72整除，又因为7289=⨯，(8，9)1=.所以8|□679□，9|□679□.8|□679□，根据能被8整除的数的特征，8|79□，通过计算个位的□2=.又9|□6792，根据能被9整除的数的特征，9|(□6792++++)，显然前面的□应是3.所以这笔帐笔记本的单价是：367.9272 5.11÷=(元)【例3】一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是多少？【分析】设五位数为abcde，则由题意得：()2007=++++⨯，因为2007是9的倍数，则这abcde a b c d e个五位数一定是9的倍数，所以各位数字和也一定是9的倍数.()++++的和可以从9、a b c d e⨯=(要注意数字和为9)本例不成立；类似地：18、27、36、45进行试值.2007918063⨯=，⨯=，不成立，20074590315⨯=，成立；2007367225220071836126⨯=，成立；20072754189不成立.所以只有两解：20071836126⨯=，成立.⨯=，成立；20072754189【例4】一些四位数，百位数字都是3，十位数字都是6，并且他们既能被2整除又能被3整除.甲是这样四位数中最大的，乙是最小的，则甲乙两数的千位数字和个位数字(共四个数字)的总和是多少？【分析】根据条件□36□是6的倍数，即□36□既是2也是3的倍数，甲是最大的，所以甲的千位数字是9，要想是6的倍数且尽量大那么它的个位就得是6；乙是最小的，所以乙的千位数字是1，要想是6的倍数且尽量小那么它的个位就得是2.综上，甲乙两数千位数字和个位数字的总和是：961218+++=.【例5】(第六届“走进美妙的数学花园"趣味数学解题技能展示大赛初赛)1872a a是2008的倍数．a=_________【分析】因为2008能被8整除，所以1872a a，既能被4整除，又能被8整除.根据能被4整除的数的特学而思85723332/82624855/87716307 五年级QQ交流群126795196征——后两位能被4整除，1a=，3，5，7，9；再根据能被8整除的数的特征——后三位能被8整除，可得1a=a=，5，9.分别代入知9作业：1．173□是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内中先后填入3个数字，所得到的3个四位数：依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少?[答案]:192．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的有几个?[答案]12、24、36、483．两个四位数275A和275B相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A和B.[答案]A=4;B=2学而思85723332/82624855/87716307 五年级QQ交流群126795196。

1.3(3)能被3,4,6,9整除的数的特征教案(总4页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除课题:1.3能被3,4,6，9整除的数的特征（第3课时）一、教学目标1.经历观察与思考，概括出能被3,4,6整除的数的特征；2.并会运用判断一个正整数能否被3,4,6整除;二、教学重、难点：能被3、4,6整除的数的特征三、教学过程1.游戏导入：能被3整除的数的特征游戏1：请按照座位顺序（从前至后U型弯）依次报数，遇到3的倍数请拍手，不要报出声。

其他不是3的倍数的同学请直接报数。

归纳能被3整除的数的特征：各个位数之和能被3整除例题：以432为例说明结论的正确性=++解：因为432400302一定能被3整除能否被3整除练习1：判断下列各数能否被3整除：84,123,437,111 114,707052等练习2：请尝试用例题的方法说明432不仅能被3整除，而且还能被9整除. 拓展游戏2：猜数字游戏（能被9整除的数的特征）游戏规则：心里想好一个多位数，然后把这个数减去它的各位数字之和，然后再所得的差中留下任何一个数字，但不能留0，把其余各位数字以任意顺序告诉老师，老师能立即猜到你留下的这个数字是几？如心里想8764 按游戏规则8764—（8+7+6+4）=8739 如心里藏8，那么则告诉老师7,3,9（7,3,9可以任意顺序排）老师能猜出数字是8吗为什么解：假设任意数字为所以按游戏规则，心里得到的数一定是9的倍数，能被9整除的数的特征是：各个位数之和能被9整除。

判断：432能不能被9整除。

3.能被4整除的数的特征：如果一个数的末两位数能被4整除，那么这个数能被4整除。

以832为例证明：因为832=8×100+32一定能被4整除判断：能否被4整除同样可以判断：一个数能否被25整除，证明如上。

练习:判断下列各数能否被4整除：482, 2556,8762, 12368,213186等4.能被6整除的数的特征：能同时被2和3整除（因为6＝2×3，2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3（如果两个整数a，b都能被整数c整除，那么ab也能被c整除），可判定这个数能被6整除）例题1：练习1：练习2：四、挑战1.模仿能被4或25整除的数的特征，讨论能被8或125整除的数的特征，并举例？2.模仿能被6整除的数的特征的讨论，讨论能被12整除的数的特征？能被15整除的数的特征？能被36整除的数的特征？…五、作业（可选择）例1 在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728.8064。

数学运算基本技巧之整除特性展开全文今天给大家分享的是，数学运算基本技巧之整除特性，之前分享的几种数学运算方法不知道大家有没有学到呢，还没有掌握的赶紧学起来哦今天继续学习新的运算技巧，请往下看1、几个特殊数字的整除判定基本法则（1）2、4、8的整除判定一个数能被2(或者5)整除，当且仅当末一位数字能被2(或者5)整除；一个数能被4(或者25)整除，当且仅当末两位数字能被4(或者25)整除；一个数能被8(或者125)整除，当且仅当末三位数字能被8(或者125)整除；如：一个数字为12348，这个数字的最后一位8能够被2整除，则这个数字能被2整除；最后两位48能够被4整除，则12348能够被4整除；最后三位348不能被8整除，则这个数字不能被8整除。

（2）3、9的整除判定一个数字能被3整除，当且仅当其各位数字之和能被3整除；一个数字能被9整除，当且仅当其各位数字之和能被9整除；如：一个数字为12348，这个数字的各位数字之和为1+2+3+4+8=18，18能够被3、9整除，则12348也能够被3、9整除。

（3）7、11、13的整除判定一个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7，11或13整除，则这个数字就能被7、11、13整除。

如：一个数字为1234569，末三位数字为569，之前的数字为1234，1234-569=665，665能够被7整除，则1234569这个7整除。

2、整除判定的应用数量关系的题目中，一般很少考察整除判定的基本法则这些纯理论的知识，整除特性的主要应用在于：当题目中出现了3、7、9、11、13、17这些特殊数字的时候，我们就要想一想，能不能利用这些数字的整除特性，快速解题。

3、例题讲解【例1】某市服务行业举行业务技能大赛，其中东区参赛人数占总人数的1/5，西区参赛人数占总人数的2/5，南区参赛人数占总人数的1/4，其余的是北区的参赛人员。

结果东区参赛人数的1/3获奖，西区参赛人数的1/12获奖，南区参赛人数的1/9获奖。

下面我们讨论能被2，5，3，9，4，25，8，125，11，7，13等数整除的数的特征．1．能被2或5整除的数的特征是：如果这个数的个位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除．也就是说：一个数的个位数字是0、2、4、6、8时，这个数一定能被2整除．一个数的个位数字是0、5时，这个数一定能被5整除．例如要判断18762，9685，8760这三个数能否被2或5整除，根据这三个数的个位数字的特点，很快可以判断出，2|18762，2不能整除9685，2|8760；5不能整除18762，5|9685，5|8760．2．能被3或9整除的数的特征是：如果这个数的各个数位上的数字和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除．例如要判断47322能否被9整除，由于47322=40000+7000+300+20+2=4×（9999＋1）+7×（999+1）+3×（99＋1）+2×（9+1）＋2=4×9999+7×999+3×99+2×9+4+7+3+2+2=9×（4×1111+7×111+3×11+2×1）+（4+7+3+2+2）9一定能整除9×（4×1111+7×111+2×11+2×1），所以要判断9能否整除47322，只要看9能否整除4+7+3+2+2=18，因为9|18，所以9|47322．可以看到4+7+3+2+2恰好是这个数的各个数位上的数字和．类似的方法我们还可以判断出3|47322．3．能被4或25整除的数的特征是：如果这个数的末两位数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除．例如要判断63950能否被4或25整除，由于63950=639×100+50，100=4×25，所以100能被4或25整除，根据整除的性质，639×100能被4或25整除，要判断63950能否被4或25整除，只要看50能否被4或25整除，因为4不能整除50，25|50，所以4不能整除63950，25|63950．可以看出50恰好是63950的末两位数．4．能被8或125整除的数的数的特征是：如果这个数的末三位数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除．例如要判断4986576能否被8整除，由于4986576=4986×1000＋576，1000=8×125，所以8|1000，根据整除的性质，8|4986000，要判断8能否整除4986576，只要看8能否整除576，因为8|576，所以8|4986576．可以看出576恰好是4986576的末三位数．同理可以判断这个数不能被125整除．5．能被11整除的数的特征是：如果这个数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除．奇数位是指从个位起的第1、3、5…位，其余数位是偶数位．例如要判断64251能否被11整除，由于64251=6×104＋4×103+2×102+5×10+1=6×（9999+1）+4×（1000+1-1）+2×（99+1）+5×（10+1-1）+1=6×（11×909+1）+4×（11×91-1）+2×（11×9+1）+5×（11-1）+1=[11×（6×909+4×91+2×9+5）]+[（6+2+1）-（4＋5）]上式第一个中括号内的数能被11整除，要判断64251能否被11整除，只要（6＋2＋1）-（4＋5）=0能被11整除，因为11|0，所以11|64251，而（6＋2+1）-（4+5）恰好是64251的奇数位上的三个数减去偶数位上的两个数字．6．能被7、11、13整除的数的特征是：如果这个数的末三位数所组成的数与末三位以前的数所组成的数的差（大减小）能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除．例如要判断1096823能否被7、11、13整除，由于7×11×13=1001，所以7|1001，11|1001，13|10011096823=1096×1000+823=1096×（1001-1）+823=1096×1001-（1096-823）因为1096×1001能被7、11、13整除，要判断1096823能否被7、11、13整除，只要判断1096-823=273能否被7、11、13整除，由于7|273，13|273，11不能整除273，所以7|1096823，13|1096823，11不能整除1096823，而1096-823恰好是1096823的末三位以前的数所组成的四位数减去1096823的末三位数所组成的数．下面举例说明整除的性质及数的整除特征的应用．例1在□内填上适当的数字，使（1）34□□能同时被2、3、4、5、9整除；（2）7□36□能被24整除；（3）□1996□□能同时被8、9、25整除．分析：（1）题目要求34□□能同时被2、3、4、5、9整除，因为能被4整除的数一定能被2整除，能被9整除的数一定能被3整除，所以34□□只要能被4、9、5整除，就一定能被2、3、4、5、9整除．先考虑能被5整除的条件．个位是0或5，再考虑能被4整除的条件，由于4不能整除34□5，所以个位必须是0，最后考虑能被9整除的条件，34□0的各个数位上的数字和是9的倍数，3+4+□+0=7+□，这时十位数字只能是2，问题得以解决．（2）题目要求7□36□能被24整除，24=3×8，而3与8互质，根据整除的性质，考虑被24整除，只要分别考虑被3、8整除就行了．先考虑被8整除的条件，7□36□的末三位数所组成的数36□能被8整除，所以个位数字只能是0或8，当个位数字为0时，由于要求7□360能被3整除，所以7+□+3+6+0=16+□能被3整除，这样千位数字只能是2或5或8；当个位数字为8时，由于要求7□368能被3整除，所以7+□+3+6+8=24+□能被3整除，这样千位数字只能是0或3或6或9．（3）题目要求□1996□□能同时被8、9、25整除，首先考虑能被25整除的条件，□1996□□的末两位数能被25整除，末两位数只能是00，25，50，75．其次考虑能被8整除的条件，□1996□□的末三位数字组成的数能被8整除，但600，625，650，675这四个数中，只有600这个数能被8整除．最后□199600这个数能被9整除，其各个数位上的数字和□+1+9+9+9+6+0=25+□能被9整除，所以第七位数字是2．解：（1）因为34□□能同时被2、3、4、5、9整除，因此只要34□□能同时被4、5、9整除．由于34□□能被5整除，所以个位数字只能是0或5，又因为4不能整除34□5，所以个位必须是0，又34□0能被9整除，3+4+□+0=7+□能被9整除，所以十位数字只能是2．3420能同时被2、3、4、5、9整除．（2）因为24=3×8，3与8互质，7□36□被8整除的条件是，7□36□的末三位数所组成的数36□能被8整除，所以个位数字只能是0或8；当个位数字是0时，7□360能被3整除，7+□+3+6+0=16+□能被3整除，所以千位数字只能是2或5或8；当个位数字是8时，7□368能被3整除，7+□+3+6+8=24+□能被3整除，所以千位数字只能是0或3或6或9．所以所求的数为72360，75360，78360，70368，73368，76368，79368．（3）因为□1996□□能被25整除，□1996□□的末两位数能被25整除，这样末两位数只能是00，25，50，75；又因为□1996□□能被8整除，但□1996□□的末三位数600，625，650，675这四个数中，只有600能被8整除；而□199600又能被9整除，□+1+9+9+6+0+0=25+□能被9整除，所在第七位数字只能是2．所以2199600能同时被8、9、25整除．例2把915连续写多少次，所组成的数就能被9整除，并且这个数最小．分析：要求这个数能被9整除，而9+1+5=15显然不能被9整除，但3×15能被9整除，因此只要把915连续写3次，所组成的数就能被9整除，并且这个数最小．解：因为9+1+5=15，15不能被9整除，而3×15能被9整除，所以只要把915连续写3次，即915915915必能被9整除，且这个数最小．例3希希买了九支铅笔，两支圆珠笔，三个练习本和五块橡皮．她看到圆珠笔每支3角9分，橡皮每块6分，其余她没注意．售货员要她付3元8角，希希马上说：“阿姨你算错了．”请问售货员的帐算错了没有？为什么？分析：根据圆珠笔与橡皮的单价，可以算出圆珠笔、橡皮共需39×2+6×5=108（分），而3元8角即380分减去108分等于272分，这272分是买九支铅笔、三个练习本的价格，这9与3正好是3的倍数，也就是说九支铅笔与三个练习本的总价钱应是3的倍数（无论它们各自的单价是多少），而272不是3的倍数，显然是售货员把账算错了．解：两支圆珠笔和五块橡皮的总钱数39×2+6×5=108（分）3元8角即380分，380-108=272（分）应是九支铅笔与三个练习本付的总价钱，因为九支铅笔与三个练习本的总价钱必是3的倍数，而272不是3的倍数，所以售货员把账给算错了．。

能被23456789等数整除的数的特征讲解学习被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数具有以下特征：1.能被2整除：一个数能被2整除，意味着它是偶数。

偶数的特点是个位数字可以是0、2、4、6或82.能被3整除：一个数能被3整除，意味着它的各位数字之和能被3整除。

例如，27是3的倍数，因为2+7=9，而9能被3整除。

3.能被4整除：一个数能被4整除，意味着它的末两位能被4整除。

例如，236可以被4整除，因为36能够整除44.能被5整除：一个数能被5整除，意味着它的个位数字是0或5、例如，75能够被5整除。

5.能被6整除：一个数能被6整除，意味着它能被2和3同时整除。

因此，它必须是一个偶数且各位数字之和能被3整除。

6.能被7整除：一个数能被7整除的特征比较复杂，但是以下特征可以帮助判断：将这个数的个位数字翻倍，然后从原数中减去翻倍后的个位数字。

如果所得的差能被7整除，则原数能被7整除。

例如，196是7的倍数，因为19-2×6=19-12=77.能被8整除：一个数能被8整除，意味着它的末三位能被8整除。

例如，520可以被8整除，因为520是8的65倍。

8.能被9整除：一个数能被9整除，意味着它的各位数字之和能被9整除。

例如，81是9的倍数，因为8+1=9综上所述，一个数能被2、3、4、5、6、7、8、9整除的特征可以通过前述规则判断。

这些规则不仅在数学学科中有应用，还在解决实际问题、判断数字的性质和特征等方面起着重要的作用。

为了提高对这些规则的熟悉程度，可以进行练习和应用这些规则解决具体问题的实践。

能被4、6、9整除数的特征我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。

数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。

例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。

例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。

性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。

例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。

利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。

为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。

（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。

（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。

（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。

（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。

（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。

其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。

因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。

因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。

这就证明了（4）。

类似地可以证明（5）。

（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

数的整除性质技巧一、整除的基本法则（一）能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被2 （或5）整除的数，末位数字能被2（或5）整除；能被4 （或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；能被8 （或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；（二）能被3、9 整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。

（三）能被7 整除的数的数字特性能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。

能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。

（四）能被11 整除的数的数字特性能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。

能被11 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11 整除。

（五）能被13 整除的数的数字特性能被13 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被13 整除。

二、例题讲解法则下面我们通过几个例题来看下数的整除性质在数学运算中的应用。

例1、一个四位数，分别能被15、12、10除尽，且被这三个数除尽时所得的三个商的和为1365，问这个四位数四个数字的和是多少？（）A.17B.16C.15D.14解析：本题所要求的是这个四位数四个数字的和，按常规思维，我们需要先把这个四位数求出来，但这样会比较浪费时间。

我们要求的是四个数字的和，联系到特殊数的整除判定，只有3和9的倍数是与数字和相关的。

由题目的条件我们知道，这个四位数能被15除尽，那肯定可以被3除尽，所以这个四位数四个数字的和也是3的倍数，结合选项，只有C正确。

例2、甲、乙、丙三人合修一条公路，甲、乙合修6天修好公路的1/3，乙、丙合修2天修好余下的1/4，剩余的三人又修了5天才完成。

共得收入1800元，如果按工作量计酬，则乙可获得收入为（）元A.330元B.910元C.560元D.980元解析：本题属于工程类问题，常规方法是通过列方程来解，但解方程比较困难。

能被2，5整除的数数学教案标题：能被2，5整除的数的数学教案一、教学目标：1. 理解并掌握能被2和5整除的数的特征。

2. 学会判断一个数能否被2或5整除。

3. 培养学生的观察力、分析能力和逻辑思维能力。

二、教学重点与难点：重点：理解和掌握能被2和5整除的数的特征。

难点：运用所学知识进行实际问题的解决。

三、教学过程：（一）引入新课教师可以通过提问的方式引出今天的主题：“同学们，你们知道哪些数可以被2整除？哪些数可以被5整除？”引导学生思考并回答。

（二）新课讲解1. 能被2整除的数的特征：个位是0，2，4，6，8的数都能被2整除。

解释：因为任何数都是由若干个2相乘得到的，所以这个数的各位数字之和必须是2的倍数。

而2的倍数只有偶数，所以个位只能是0，2，4，6，8。

2. 能被5整除的数的特征：个位是0或5的数都能被5整除。

解释：因为任何数都是由若干个5相乘得到的，所以这个数的末尾数字之和必须是5的倍数。

而5的倍数只有5和0，所以个位只能是0或5。

（三）课堂练习设计一些题目让学生进行练习，如判断以下哪些数可以被2或5整除：15, 32, 45, 50, 62等。

（四）归纳总结让学生总结今天学到的知识，并提出他们在学习过程中遇到的问题，教师给予解答。

（五）作业布置布置一些相关的习题，让学生在课后进行巩固和复习。

四、教学反思：通过本节课的学习，学生能够理解和掌握能被2和5整除的数的特征，并能熟练地判断一个数是否可以被2或5整除。

在教学过程中，应注意引导学生主动思考，培养他们的独立思考和解决问题的能力。

第四讲我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。

数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。

例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。

例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。

性质 3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。

例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。

利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。

为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。

（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。

（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。

（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。

（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。

（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。

其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。

因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。

因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。

这就证明了（4）。

类似地可以证明（5）。

（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

小学奥数基础教程（四年级）第1讲速算与巧算（一）第2讲速算与巧算（二）第3讲高斯求和第4讲 4，8，9整除的数的特征第5讲弃九法第6讲数的整除性（二）第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比较法（一）第15讲盈亏问题与比较法（二）第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）第1讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。

准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。

我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。

例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。

求这10名同学的总分。

分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。

观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。

我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。

于是得到总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。

实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。

为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。

第八讲数的整除特征（二）一、知识点梳理Ø奥数六大模块：计算，计数，应用题，行程，几何，数论。

Ø本讲属于：数论常见基本数的整除的判断方法：一、尾数判断法：(1)、被2,5整除的数的特征：看个位如果一个数的个位能被2或者5整除，则这个数能被2或者5整除(2)、被4,25整除的数的特征：看末两位如果一个数的末两位能被4或者25整除，则这个数能被4或者25整除(3)、被8,125整除的数的特征：看后三位如果一个数的后三位能被8或者125整除，则这个数能被8或者125整除二、求和判断法：判断被3和9整除的数(1)如果一个数的各位数字之和能被3或者9整除，则这个数能被3或者9整除。

三、分段求和法：判断被7,11,13整除的数(1)、把数从末三位开始，三位为一段断开，看奇数段的和与偶数段的和的差是否为7,（或者11,或者13）的倍数。

(2)、奇数段的和与偶数段的和的差被7（或者11,或者13）除余几就代表这个数除以7（或者11,或者13）余几四、奇偶位差法：判断被11整除的另外一种方法(1)从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是否为11的倍数即为是否被11整除五、了解：(1)试除法(2)割减法六、数的整除性质(1)、甲能被乙整除，乙能被丙整除，那么：甲能被丙整除(2)、两个数都能被另外一个自然数整除，那么：这两个数的和与差都能被这个数整除(3)、一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么：这个数能被这几个两两互质的数的乘积整除(4)、一个质数能整除两个自然数的乘积，那么：这个质数至少能整除这两个自然数中的一个(5)、几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除二、重点例题讲解例题5：解析：对所求五位数有两个要求：(1)、数字和为43(2)、能被11整除从(1)看有两种情况：五位数可以由一个7和四个9组成，或者由两个8和三个9组成。

如何对以上数字进行排列，根据被11整除的数的特点：奇数位数字和减去偶数位数字和为11的倍数如果奇数位数字和为27，偶数位数字和为16，那么差为11经寻找，满足这些要求的五位数有：97999,99979,98989例题6：解析：首先可以断定编号是2,3,4,5,6,7号的同学说的一定都对，否则，其中说的不对的编号乘以2后所得编号也将说的不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说得不对”不符合因此这个数能被2,3,4,5,6,7整除，从而这个数也能被25,34,27´´´整除，即编号为10，12,14的同学说的也对。

第四讲我们在三年灰巳经学习了能被2, 3, 5整除的敎的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，芥讲解能被4, 8, 9整除的数的特征。

数的笔除具有如下性质：性质1如杲甲数能被乙数強除，乙数能被丙数養除，那么甲数一定能被丙数蛭除，例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48 —定能被8整除。

性质2如果网个数梆能被一个自然数密除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。

例如，21与15部能被3整除，那么21 + 15及21J5都能被3整除。

性质3如果一个纹能分别被两个亘质的自然数聲除，那么这个数一定能被这两个亘质的自然数的乘积整除。

例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9X7=63整除。

利用上面关于整除的性质，我们可以解决许条与整除有关的问题。

为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的教宇特征列出来：(1) 一个教的个位教宇如果是0, 2, 4, 6, 8中的一个，那么这个敎就能被2奚除。

(2) 一个教的个位教宇如果是0或5,那么这个教就能被5整除。

(3) 一个教各个数位上的数宇之和如果能袱3整除，那么这个数就能被3整除。

(4) 一个数的耒两位数如果能被4 (或25)整除，那么这个数就能被4 (或25)整除。

(5) 一个数的耒三位数如髡能被8 (或125)整除，那么这个敌就能被8 (或125)整除。

(6) 一个教各个数位上的数宇之和如果能被9整除，那么这个敎就能被9整除。

其中(1) (2) (3)是三年饭学过的内容，(4) (5) (6)是本讲要学习的内容。

因为100能被4 (或25)整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4 (或25)整除。

因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4 (或25)整除，这个数就能被4 (或25)整除。

这就证明了(4)。

类似地可以证明(5) o(6)的正确性，我们用一个具肚的数来说明一般性的证明方法。

..第四讲我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。

数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。

例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。

例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。

性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。

例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。

利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。

为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。

（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。

（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。

（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。

（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。

（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。

其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。

因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。

因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。

这就证明了（4）。

类似地可以证明（5）。

（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。