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For personal use only in study and research; not for commercial use推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则，因此就是所求辅助角公式。
又因为，且-π/2<φ<π/2，所以，于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况），设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则，因此同理，，上式化成若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则再根据诱导公式得记忆很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。
其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，分母的位置永远是你用来表示函数名称的系数。
例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。
如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b在分母）。
疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)？其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。
而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。
提出者公式应用例1求sinθ/(2cosθ+√5)的最大值解：设sinθ/(2cosθ+√5)=k 则sinθ-2kcosθ=√5k∴√[1+(-2k)²]sin(θ+α)=√5k平方得k²=sin²(θ+α)/[5-4sin²(θ+α)]令t=sin²(θ+α) t∈[0,1]则k²=t/(5-4t)=1/(5/t-4)当t=1时有kmax=1辅助角公式可以解决一些sin与cos角之间的转化例2化简5sina-12cosa解：5sina-12cosa=13(5/13*sina-12/13*cosa)=13(cosbsina-sinbcosa)=13sin(a-b)其中，cosb=5/13,sinb=12/13例3π/6≤a≤π/4 ,求sin²a+2sinacosa+3cos²a的最小值解：令f(a)=sin²a+2sinacosa+3cos²a=1+sin2a+2cos²a=1+sin2a+(1+cos2a)(降次公式)=2+(sin2a+cos2a)=2+（√2）sin(2a+π/4)(辅助角公式)因为7π/12≤2a+π/4≤3π/4所以f(a)min=f(3π/4)=2+(√2)sin(3π/4)=3仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
三角函数中辅助角公式的应用1951-修订编选本文主要介绍三角函数的辅助角公式。
在三角函数的各个发展阶段，三角函数的应用范围不断扩大，对三角问题的研究和探索也取得了长足的进步。
但是，在运用时，仍然存在一些困难，比如某些特殊场合对解法是十分严格的，难以准确计算。
但对于使用辅助角公式解题往往会有一些较复杂的结论，这一点往往不能通过简单的证明。
本文给出了一些在特殊情况下可能会采用的辅助角公式，可以方便地用于求取。
下面一一介绍相关条件：(1).辅助角公式式：△ T为一个独立的函数 g (x, y) r+2 k+3-4 l n,其中: f (x, y)为连续函数; h为辅助参数；β t= k (k|θ>0);λ为绝对值系数。
1)△T1,T2 k+3-4 l n是三角函数 f (x, y)的辅助参数α和β的乘积，可以求出α;(3) t是三角函数 f (x, y)的辅助参数β的乘积。
a, b=1+3=2+3=2, c, d是角的乘积, d<α时 r=0, d> m时 r=1。
f (x, y)= r+2 k+3 l n 是一个独立函数, f (x, y)与 t有交点, f (x, y)与 t有乘点，求取函数 f (x, y)与 t关系式即可。
(2).△ T为一个独立函数, f (x, y)+ t=2+3,其中：u是连续函数。
a, b是乘积常数，α为辅助参数；c是绝对值系数。
1、a为三角函数 f (x, y)的系数，它的值大于0,叫做 f是角的乘积。
a< a, d> a,它的值大于0,叫做角的乘积。
a=0, a=0, a=1,可以求出 a和 e (x, y)的值，也可以求出 e和 a的值。
u为一个独立函数, u与 u有交点, u与 u之间有角的乘积, u> t即可求出 b和 c。
其中 e表示在该函数 f (x, y)中对应的角数点。
2、△ T为一个独立函数, f (x, y)和 t有交点时取 b^2+ c,其值与 a的取值范围一致即可。
辅助⾓公式辅助⾓公式编辑辅助⾓公式是李善兰先⽣提出的⼀种⾼等三⾓函数公式，使⽤代数式表达为辅助⾓公式asinx+bcosx=√(a2+b2)sin[x+\arctan(b/a)]。
（a>0）中⽂名辅助⾓公式别称三⾓函数辅助⾓公式表达式asinx+bcosx=√(a2+b2)sin(x+\arctan(b/a))提出者李善兰提出时间19世纪应⽤学科数学、物理适⽤领域范围数学、物理学⽬录1. 1 综述2. ? 推导3. ? 记忆1. ? 疑问2. 2 提出者3. 3 公式应⽤1. ? 例12. ? 例23. ? 例3综述编辑推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形，设点(a,b)为某⼀⾓φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则，因此就是所求辅助⾓公式。
⼜因为，且-π/2<φ<π/2，所以，于是上述公式还可以写成该公式也可以⽤余弦来表⽰（针对b>0的情况），设点(b,a)为某⼀⾓θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则，因此同理，，上式化成若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则再根据诱导公式得记忆很多⼈在利⽤辅助⾓公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。
其实有⼀个很⽅便的记忆技巧，就是不管⽤正弦还是余弦来表⽰asinx+bcosx，分母的位置永远是你⽤来表⽰函数名称的系数。
例如⽤正弦来表⽰asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。
如果⽤余弦来表⽰,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b在分母）。
疑问为什么在推导辅助⾓公式的时候要令辅助⾓的取值范围为(-π/2,π/2)？其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助⾓的终边限定在⼀、四象限内了，此时辅助⾓的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。
⽽根据三⾓函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助⾓可以利⽤反正切表⽰，使得公式更加简洁明了。
三角函数的辅助角计算方法三角函数是数学中一个重要且广泛应用的概念。
它们的求值在解决各种几何和物理问题中起着关键作用。
然而，有时候我们遇到的角度不在常用角度范围内，这就需要用到辅助角计算方法。
辅助角计算方法可以帮助我们将任意角度转化为一个介于0到90度之间的角度，从而方便我们使用常见的三角函数公式进行计算。
以下是几种常用的辅助角计算方法。
一、补角法补角法是利用补角的性质，将大于90度的角转化为小于90度的角。
具体操作如下：1. 角A是大于90度的角，记为A=α+β，其中α是与角A的补角，α+β=90度。
2. 利用三角函数的定义：sin(A) = sin(α+β) = sinα * cosβ + cosα * sinβ。
通过补角法，我们可以将大于90度的角转换成小于90度的角，并以此计算出对应的三角函数值。
二、合成角法合成角法是将一个角度分解成两个较小角度的和，以便利用已知的较小角度的三角函数值求得未知角度的三角函数值。
具体操作如下：1. 角A是一个未知角，我们将其分解为两个已知的角α和β，即A = α - β。
2. 根据角度和差公式：sin(A) = sin(α - β) = sinα * cosβ - cosα * sinβ。
通过合成角法，我们可以利用已知的角度的三角函数值来计算未知角度的三角函数值，从而实现对三角函数的辅助计算。
三、角度相等法角度相等法是通过将两个角度相等的三角函数公式进行转换，使求解目标角度变得容易。
具体操作如下：1. 假设角A与角B相等，即A = B。
2. 利用三角函数的定义：sin(A) = sin(B)、cos(A) = cos(B)、tan(A) = tan(B)。
通过角度相等法，我们可以通过已知的角度来计算与之相等的目标角度的三角函数值。
以上是三角函数的几种常用辅助角计算方法。
它们能够帮助我们将任意角度转化为标准的0到90度范围内的角度，从而方便我们进行三角函数的求解。
辅助角公式1、推导过程变形得为利用两角和差公式化简，设-π/2<φ<π/2令（注意到a >0 ）则其等价于tanφ=b/a则即其中tanφ=b/a若令则（b>0 ）其等价于tanφ=a/b则即其中tanφ=a/b注意：两种令法中初相用了同一个字符φ表示，但含义不同，要区分。
2、分析意义我们需要分析公式中每一个量的意义。
先看等式左边是两个分别增大（或减小）一定倍数的正弦与余弦函数的和。
再看等式右边是一个增大（或减小）一定倍数并且被改变了初相的正弦函数。
从代数意义上讲，辅助角公式是为了将几个同频率的正弦型函数求和，转化为一个单独的正弦型函数而诞生的。
频率相同意味着ω 相同，所以对于辅助角公式而言，为了方便起见，我们只讨论ω=1 时的特殊情况。
在这种情况下，对于一个正弦型函数，我们只有A（增大的倍数）与φ （初相）两个量需要讨论。
我们可以把A 看作大小，把φ 看作角度。
而角度和大小恰是极坐标系确定位置的两个要素。
辅助角公式与极坐标系有什么关系吗？简化验证简化问题，使a=b=1 ，得而在极坐标系中平面向量的加即为两者之间有异曲同工之妙。
即sin 与cos 都只是单位向量，而a、b 两者是单位向量的变化幅度，是两向量和的模，φ 则是和向量与横轴的夹角。
推广延伸之前的验证只是在a=b=1下进行的。
其实，这一结果具有普适性。
注：这种几何意义同样适合推导诱导公式等部分三角函数恒等变换公式，但三角函数间乘法不等价于单位向量间点乘（即数量积）。
3、疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2) ？其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k∈Z) 。
而根据三角函数的周期性可知加上2kπ 后函数值不变，况且在(-π/2,π/2) 内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。
数学三角函数变化公式有什么三角函数公式是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数公式。
它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
下面是小编给大家带来的数学三角函数变化公式，欢迎大家阅读参考，我们一起来看看吧!初中数学三角函数公式：三角函数半角公式半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))初中数学三角函数公式：三角函数和差化积公式和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)初中数学三角函数公式：三角函数积化和差公式积化和差sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2初中数学三角函数公式：三角函数两角和公式两角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ) cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ初中数学三角函数公式：角函数的关系(正弦) Sin θ = 对边A / 斜边C(余弦) Cosθ = 邻边B / 斜边C(正切) Tanθ = 对边A / 邻边B对边A = 斜边C 乘Sinθ对边A = 邻边B 乘Tanθ邻边B = 斜边C 乘Cosθ邻边B = 对边A / T anθ斜边C = 对边A / Sinθ斜边C = 邻边B / Co sθ。
高中必修一辅助角公式高中数学中的辅助角公式是指在三角函数中，通过辅助角的引入来推导出一系列重要的三角函数关系式。
辅助角公式在解决三角函数的复杂计算中起到了重要的作用，使得计算更加简单、快速。
本文将详细介绍高中数学必修一中的辅助角公式。
辅助角公式的引入是为了解决角度和弧度之间的转换以及角度之间的运算。
在三角函数中，我们经常会遇到需要将角度转换为弧度，或者需要将角度相加或相减的情况。
辅助角公式正是为了解决这些问题而产生的。
先来看看辅助角公式中的一个重要概念——余角。
余角是指两个角的和为90°的两个角。
对于任意一个角A，它的余角记为A'。
根据余角的定义，我们可以得到以下几个重要的辅助角公式：1. 余角公式：对于任意一个角A，其余角A'满足sinA=sinA'，cosA=cosA'，tanA=tanA'。
这个公式非常重要，可以帮助我们在计算中快速得到角度的正弦、余弦和正切值。
2. 补角公式：对于任意一个角A，其补角A''满足sinA=sinA''，cosA=-cosA''，tanA=-tanA''。
补角公式与余角公式类似，但是补角与角的正弦、余弦和正切值之间的关系有些差异，需要注意。
3. 已知角的三角函数值求角度：有时候我们会遇到已知某个角的正弦、余弦或正切值，需要求解这个角度的情况。
在这种情况下，我们可以通过辅助角公式来进行计算。
以已知正弦值求角度为例，假设已知sinA=x，我们可以构造一个辅助角A'，使得sinA'=x，然后利用已知的三角函数关系来求解角A的值。
辅助角公式在解决三角函数计算中起到了重要的作用，它简化了计算过程，提高了计算的效率。
通过合理运用辅助角公式，我们可以更加轻松地解决各种三角函数计算问题。
除了辅助角公式，高中数学必修一还包括了其他重要的三角函数公式，比如和差化积公式、倍角公式等。
《辅助角公式》讲义一、引入在三角函数的学习中，我们常常会遇到形如＼（a\sin x ＋b\cos x\）这样的式子。
为了更方便地对其进行分析和处理，我们引入了一个非常重要的公式——辅助角公式。
二、什么是辅助角公式辅助角公式的一般形式为：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）。
这个公式的作用在于将两个不同的三角函数\（＼sin x\）和\（＼cos x\）合并成一个单一的三角函数\（＼sin(x ＋＼varphi)＼），从而简化计算和分析。
三、辅助角公式的推导为了推导辅助角公式，我们可以利用三角函数的和角公式：＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）令＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝ R\sin(x ＋＼varphi)＼）则＼（R\sin(x ＋＼varphi) ＝ R(＼sin x\cos\varphi ＋＼cosx\sin\varphi) ＝ R\cos\varphi\sin x ＋ R\sin\varphi\cos x\）所以＼（R\cos\varphi ＝ a\），＼（R\sin\varphi ＝ b\）两边平方相加可得：＼（R^2(＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi) ＝a^2 ＋ b^2\）因为\（＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi ＝ 1\），所以＼（R ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）则\（＼tan\varphi ＝＼frac{＼sin\varphi}｛＼cos\varphi} ＝＼frac{b}｛a}＼）这样就得到了辅助角公式：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）四、辅助角公式的应用（一）化简三角函数表达式例 1：化简\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x\）首先，＼（R ＝＼sqrt{（＼sqrt{3}）＾2 ＋ 1^2} ＝ 2\）＼（＼tan\varphi ＝＼frac{1}｛＼sqrt{3}｝＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛6}＼）则\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x ＝ 2\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛6}）＼）例 2：化简＼（5\sin x 12\cos x\）＼（R ＝＼sqrt{5^2 ＋（－12)＾2} ＝ 13\）arctan\frac{12}｛5}＼）则＼（5\sin x 12\cos x ＝ 13\sin(x ＼arctan\frac{12}｛5}）＼）（二）求三角函数的最值例 3：求函数＼（y ＝ 2\sin x ＋ 2\sqrt{3}＼cos x\）的最大值和最小值先将其化为辅助角公式的形式：＼（R ＝＼sqrt{2^2 ＋（2\sqrt{3}）＾2} ＝ 4\）＼（＼tan\varphi ＝＼sqrt{3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛3}＼）则＼（y ＝ 4\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）因为\（＼sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）的最大值为＼（1\），最小值为\（－1\）所以＼（y\）的最大值为＼（4\），最小值为\（－4\）（三）求解三角函数方程例 4：求解方程＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 2\）将左边化为辅助角公式：＼（R ＝＼sqrt{3^2 ＋ 4^2} ＝ 5\）arctan\frac{4}｛3}＼）则＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＼）原方程变为＼（5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝ 2\）＼（＼sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝＼frac{2}｛5}＼）则＼（x ＋＼arctan\frac{4}｛3} ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5}＼），＼（k\in Z\）＼（x ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5} ＼arctan\frac{4}｛3}＼），＼（k\in Z\）五、使用辅助角公式的注意事项（一）正确确定辅助角\（＼varphi\）要根据\（＼tan\varphi ＝＼frac{b}｛a}＼）来确定\（＼varphi\）的值，同时要注意\（＼varphi\）所在的象限。
三角函数辅助角公式推导过程是什么辅助角公式是一种高等三角函数公式，下面小编整理了三角函数辅助角公式公式及推导过程，供大家参考！1 三角函数辅助角公式是什幺辅助角公式是一种高等三角函数公式，使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+\arctan(b/a)]（a>0）。
虽然该公式已经被写入中学课本，但其几何意义却鲜为人知。
设要证明的公式为asinA+bcosA=√(a +b )sin(A+M) (tanM=b/a)以下是证明过程：设asinA+bcosA=xsin(A+M)∴asinA+bcosA=x((a/x)sinA+(b/x)cosA)由题,（a/x) +(b/x) =1,sinM=a/x,cosM=b/x∴x=√(a +b )∴asinA+bcosA=√(a +b )sin(A+M) ,tanM=sinM/cosM=b/a1 三角函数辅助角公式推导过程三角函数辅助角公式推导：asinx+bcosx=√(a²+b²)[asinx/√(a²+b²)+bcosx/√(a²+b²)]令a/√(a²+b²)=cosφ，b/√(a²+b²)=sinφasinx+bcosx=√(a²+b²)(sinxcosφ+cosxsinφ)=√(a²+b²)sin(x+φ)其中，tanφ=sinφ/cosφ=b/a，φ的终边所在象限与点(a,b)所在象限相同. 简单例题：（1）化简5sina-12cosa5sina-12cosa=13(5/13sina-12/13cosa)。
三角函数辅助角公式化简修订版IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】三角函数辅助角公式化简一、解答题1．已知函数()22sin cos 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， x R ∈（1）求()f x 的对称中心；（2）讨论()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.2．已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（1）将()f x 化简为()()sin f x A x ωφ=+的形式，并求()f x 最小正周期；（2）求()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值及取得最值时x 的值.3．已知函数()4tan sin cos 23f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间及最大值与最小值．4．设函数()2sin cos f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的最小正周期T 及最大值； （2）求函数()f x 的单调递增区间.5．已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.6．已知函数()21cos cos 2f x x x x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的对称中心； (Ⅱ)求()f x 在[]0,π上的单调区间.7．已知函数()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，求（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间（3）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.8．设函数()()sin ?cos 2tan x x x f x xπ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=.（1）求()f x 的最小正周期；（2）讨论()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性.9．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标；(Ⅱ)讨论()f x 在[]0,π上的单调性。
10．已知函数.(1)求 的最小正周期；(2)若关于 的方程在上有两个不同的实根，求实数 的取值范围.11．设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 1a =， 3bc =，求b c +的值.12．已知函数.（1）求函数的单调增区间；（2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值.13．设函数.（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；（2）已知中,角的边分别为，若，求的最小值.14．已知()()13sin cos cos 2f x x x x ωωω=+-，其中0ω>，若()f x 的最小正周期为4π. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）锐角三角形ABC 中， ()2cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围.15．已知a =（sinx ，cosx ），b =（cos φ，sin φ）（|φ|＜）．函数f （x ）=a ?b 且f （3π－x ）=f （x ）． （Ⅰ）求f （x ）的解析式及单调递增区间；（Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移3π单位得g （x ）的图象，若g （x ）+1≤ax +cosx 在x ∈[0， 4π]上恒成立，求实数a 的取值范围．16．已知向量a =（2cos2xω， 3sin2xω），b =（cos2xω，2cos2xω），（ω＞0），设函数f（x ）=a ?b ，且f （x ）的最小正周期为π．（1）求函数f （x ）的表达式；（2）求f （x ）的单调递增区间．17．已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.（1） 求函数()f x 的解析式；（2） 如何由函数2sin y x =的通过适当图象的变换得到函数()f x 的图象， 写出变换过程;（3） 若142f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求sin 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18．已知函数（1）求函数在上的单调递增区间；（2）若且，求的值。
19．已知()22cos sin 3sin cos sin 6f x x x x x x π⎛⎫=⋅++⋅- ⎪⎝⎭，（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）设△ABC 的内角A 满足()2f A =，而3AB AC ⋅=，求边BC 的最小值．20．已知函数()cos 3cos cos 2f x x x x π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．21．已知()223cos sin231f x x x =+-+ ()x R ∈，求： （1）()f x 的单调增区间；（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域.22．已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为.（1）求的值；（2）函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间.23．已知函数()44cos sin2sin f x x x x =--. （1）求函数()f x 的递减区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最小值以及取最小值时x 的值.24．已知函数()2cos 2sin 1f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的对称中心和单调递减区间；（2）若将函数()f x 图象上每一点的横坐标都缩短到原来的12（纵坐标不变），然后把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的表达式.参考答案1．（1）对称中心为,0212k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， k Z ∈；（2）增区间为,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，减区间为,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：利用降幂公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦型函数，根据正弦函数的性质来求对称中心,其对称中心能使函数值为0，从而角的终边在x 轴上；（2）首先求出函数的单调区间，再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间．试题解析：1）由已知()21cos 21cos2113cos2sin 222426x x f x x x x ππ⎛⎫++ ⎪-⎛⎫⎝⎭=-=-=- ⎪⎝⎭令26x k ππ-=，得,212k x k Z ππ=+∈，对称中心为,0212k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， k Z ∈. （2）令222262k x k πππππ-≤-≤+， k Z ∈得63k x k ππππ-≤≤+， k Z ∈,增区间为,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦令3222262k x k πππππ+≤-≤+， k Z ∈ 得536k x k ππππ+≤≤+， k Z ∈,增区间为5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增区间为,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，减区间为,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 2．（1）()f x 2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， T π=；（2）4x π=-时， ()min 1f x =-，12x π=时， ()max 2f x =.【解析】试题分析：（1）由三角函数的公式化简可得()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由周期公式可得答案；（2）由x 的范围可得22633x πππ-≤+≤的范围，可得f （x ）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x 值．试题解析：（1）()24sin cos cos sin sin 2sin cos 33f x x x x x x x ππ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭sin22sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以22T ππ==. （2）因为46x ππ-≤≤，所以22633x πππ-≤+≤所以1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()12f x -≤≤， 当236x ππ+=-，即4x π=-时， ()min 1f x =-，当232x ππ+=，即12x π=时， ()min 2f x =.3．(1) π (2) ()f x 最大值为-2，最小值为1．【解析】试题分析：（1）化简函数的解析式得()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据22T ππ==求周期；（2）先求出函数()f x 的单调递增区间，再求其与区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的交集即可；根据23x π-的取值范围确定函数在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值。
试题解析：（1）()4tan cos cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭4sin cos 3x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭14sin cos 22x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos x x x =+)sin21cos2x x =-sin22sin 23x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭．所以()f x 的最小正周期22T ππ==． （2）令23z x π=-，函数2sin y z =的单调递增区间是2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． 由222232k x k πππππ-+≤-≤+，得51212k x k ππππ-+≤≤+， k Z ∈．设,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， 5{|,}1212B x k x k k Z ππππ=-+≤≤+∈，易知,124A B ππ⎡⎤⋂=-⎢⎥⎣⎦．所以，当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， ()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增。
∵44x ππ-≤≤，∴52636x πππ-≤-≤， ∴1sin 2123x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴12sin 223x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭∴()f x 最大值为2，最小值为-1．点睛：解题的关键是将函数化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式后，把ωx ＋φ看成一个整体去处理，特别是在求单调区间的时候，要注意复合函数单调性规律“同增异减”， 如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．4．（1）T π=，最大值为1（2）()5,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最小正周期T 及最大值；（2）根据正弦函数性质列不等式()222Z 232k x k k πππππ-+≤+≤+∈，解得函数()f x 的单调递增区间.试题解析：解： ())1cos21sin2222x f x x +=+-1sin2sin 223x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ （1）T π=当2232x k πππ+=+即()Z 12x k k ππ=+∈时()f x 取最大值为1 （2）令()222Z 232k x k k πππππ-+≤+≤+∈∴()f x 的单调增区间为()5,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦5．(1)答案见解析；(2) ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式可得()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则函数的最小正周期为T π=；对称轴方程为()3x k k Z ππ=+∈；(2)结合函数的定义域和(1)中整理的函数的解析式可得函数的值域为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.试题解析：（1）()22344f x cos x sin x sin x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()12222cos x sin x sinx cosx sinx cosx =++-+221222cos x x sin x cos x =++-12222cos x x cos x =+- 26sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 22T ππ∴==周期 由()()2,6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3x k k Z ππ=+∈（2）5,,2,122636x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∴-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以 当3x π=时， ()f x 取最大值 1又11222f f ππ⎛⎫⎛⎫-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12x π=-时， ()f x 取最小值所以 函数 ()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．(1) ,1,212k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭ (2) 50,,36πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】试题分析：(1) ()21cos cos sin 2126f x x x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，令26x k ππ-=解得x 即可(Ⅱ) 求()f x 在[]0,π上的单调区间，则令222262k x k πππππ-≤-≤+解得x,对k 赋值得结果.试题解析：(Ⅰ) ()1cos21sin 21226x f x x x π+⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 令26x k ππ-=，得212k x ππ=+， 故所求对称中心为,1,212k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭(Ⅱ)令222262k x k πππππ-≤-≤+，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈又由于[]0,x π∈，所以50,,36x πππ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故所求单调区间为50,,36πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.点睛：三角函数的大题关键是对f(x)的化简，主要是三角恒等变换的考查，化简成()sin y A wx ϕ=+ 类型，把wx+ ϕ 看成整体进行分析.7．（1）T π=；（2）单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）()min 1f x =-， ()2miax f x =.【解析】试题分析：（1）由和差角公式及二倍角公式化简得：() 2sin 26f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而得最小正周期；（2）由2k 22,62x k k Z ππππ≤+≤+∈可得增区间；（3）由64x ππ-≤≤得22663x πππ∴-≤+≤，根据正弦函数的图象可得最值. 试题解析：(1)()214cos sin 14cos cos 1cos 2cos 162f x x x x x x x x x π⎫⎛⎫=+-=+-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos2x x =+ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.()f x ∴的最小正周期T π=. （2）由2k 22,62x k k Z ππππ≤+≤+∈解得k ,36x k k Z ππππ-≤≤+∈∴函数()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(3) 64x ππ-≤≤232x ππ∴-≤≤22663x πππ∴-≤+≤ ∴当266x ππ+=-时， x 6π=-， ()min 1f x =-当262x ππ+=时， x 6π=， ()2miax f x =.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.8．（1）T π=（2）()f x 在区间0,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.【解析】试题分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质得()f x 的最小正周期；（2）根据正弦函数性质求0,)2π上单调区间，即得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性.试题解析：（1）()()2sin ?cos sin cos f x x x x x x x ==12sin2sin 2232x x T πππ⎛⎫==++⇒== ⎪⎝⎭ （2）令222232k x k πππππ-+<+<+，解得51212k x k ππππ-+<<+（k Z ∈） ∵0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ ()f x 在区间0,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.9．(Ⅰ) 最大值为2，对称中心为： (),0212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；(Ⅱ) 递增区间：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；递减区间： 5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）由正弦的倍角公式和降幂公式，f(x)可化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可知最大值为2，对称中心由26x k ππ-=，解得x 可求。
