2020年山东省潍坊市高三二模数学试题(含答案和解析)

山东省潍坊市2020届高三模拟（二模)数学试题一、选择题1．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}，则A ∩(∁U B )＝（ ）A ．{1，4}B ．{1，4，5}C ．{4，5}D ．{6，7}【答案】C【解析】集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，B ＝{2，3，6，7}，所以∁U B ＝{1，4，5}，又A ＝{2，3，4，5}，所以A ∩(∁U B )＝{4，5}．故选：C ． 2．若复数1a iz i+=-在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a 的值可以是（ ） A ．1 B ．0C ．﹣1D ．﹣2【答案】B 【解析】∵()()()()11111122a i i a i a a z i i i i +++-+===+--+，又因为复数在复平面内对应的点在第二象限内，∴102102a a -⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩＜＞，得﹣1＜a ＜1．∴实数a 的值可以是0．故选：B ．3．甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（ ） A ．甲是律师，乙是医生，丙是记者 B ．甲是医生，乙是记者，丙是律师 C ．甲是医生，乙是律师，丙是记者 D ．甲是记者，乙是医生，丙是律师 【答案】C【解析】由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，从而排除B 和D ； 由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生（若乙是医生的话与记者的年龄比乙小相矛盾），从而乙是律师，甲是医生．故选：C .4．以抛物线2:4E x y =的焦点为圆心，且与E 的准线相切的圆的方程为（ ）A ．()2214x y -+= B ．()2214x y ++= C ．()2214x y ++= D ．()2214x y +-=【答案】D【解析】抛物线2:4E x y =的焦点为()0,1，准线方程为1y =-，圆与E 的准线相切，则2r，故圆方程为：()2214x y +-=.故选：D.5．设函数f （x ）为奇函数，且当x ≥0时，f （x ）＝e x ﹣cosx ，则不等式f （2x ﹣1）+f （x ﹣2）＞0的解集为( ) A ．（﹣∞，1） B ．（﹣∞，13） C ．（13，+∞） D ．（1，+∞）【答案】D【解析】由题知，当x ≥0时，f （x ）＝e x ﹣cosx ，此时有()f x '＝e x +sinx ＞0，则f （x ）在[0，+∞）上为增函数，又由f （x ）为奇函数，则f （x ）在区间（﹣∞，0]上也为增函数，故f （x ）在R 上为增函数.由f （2x ﹣1）+f （x ﹣2）＞0，可得f （2x ﹣1）＞﹣f （x ﹣2），而函数f （x ）为奇函数，可得到f （2x ﹣1）＞f （2﹣x ），又f （x ）在R 上为增函数，有2x ﹣1＞2﹣x ，解得x ＞1，即不等式的解集为（1，+∞）.故选：D6．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( ) A ．94 B ．95C ．96D ．98【答案】B【解析】根据题意可知，这20个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，m ∈[90,100]，则有n +（n +1）+（n +2）++（n +18）+m ＝19n +171+m ＝1520，则有19n +m ＝1349，则m ＝1349﹣19n ，所以90≤1349﹣19n ≤100，解得14565661919n ≤≤，因为年龄为整数，所以n ＝66，则m ＝1349﹣19×66＝95.故选：B 7．在四面体ABCD 中，△ABC 和△BCD 均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，则四面体ABCD 的体积为( )A B C D 【答案】B【解析】在四面体ABCD 中，△ABC 和△BCD 均是边长为1的等边三角形，四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，设球心为O ，则O 为AD 的中点，∴AB ＝AC ＝BC ＝BD ＝CD ＝1，∠ABD ＝∠ACD ＝90°，OB ＝OC ＝OD 22=，BO ⊥AD ，BO ⊥OC ， ∴BO ⊥平面ACD ，∴四面体ABCD 的体积为：V B ﹣ACD1112222332ACDS BO =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=．故选：B 8．已知O 为坐标原点，双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且BF ∥OA ，若0AB OB ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．233B ．2C ．3D ．2【答案】A【解析】如图所示，设双曲线的半焦距为c ，渐近线方程为：y ＝±b x a，则点F （c ，0），A （c ，bca ），设点B （x 0，0bx a -），∵BF ∥OA ，∴OA BF k k =，即00bx b a a x c-=-，解得：x 02c =，所以(,)22c bc B a -，∴322c bc AB a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，22c bc OB a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，又∵0AB OB ⋅=，∴2222344c b c a-+=0，即a 2＝3b 2．∵c 2＝a 2+b 2，∴a 2＝3（c 2﹣a 2），即3c 2＝4a 2，所以离心率e 233c a ==．故选：A ． 二、多选题9．我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤﹣比全球人均粮食产量高了约250斤．如图是中国国家统计局网站中2010﹣2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据如图可知在2010﹣2019年中（ ）A ．我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B ．2011年我国粮食年产量的年增长率最大C ．2015年﹣2019年我国粮食年产量相对稳定D ．2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰 【答案】BCD【解析】由中国国家统计局网站中2010﹣2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，知：对于A ，我国粮食年产量在2010年至2015年逐年递增，在2015年至2019年基本稳定在66千万吨左右，2016年，2018年略低；而我国年末总人口均逐年递增，故A 错误；对于B ，由粮食产量条形图得2011年我国粮食年产量的年增长率最大，约为5%，故B 正确； 对于C ，在2015年至2019年基本稳定在66千万吨以上，故C 正确；对于D ，2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰，约为0.48吨/人，故D 正确． 故选：BCD10．若1a b <<-，0c >则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a b a b->- B ．11b aa b -<- C ．ln()0b a -> D ．()()ccab ba> 【答案】BD【解析】由函数1y x x=-在(,1)-∞-上为增函数可知，当1a b <<-时，11a b a b -<-，故选项A 错误； 由函数1y x x =+在(,1)-∞-上为增函数可知，当1a b <<-时，11a b a b +<+，即11b aa b -<-，故选项B 正确；由于a b <，则0b a ->，但不确定b a -与1的大小关系，故ln()b a -与0的大小关系不确定，故选项C 错误；由1a b <<-可知，1a b >，01b a <<，而0c >，则10c ca b b a ⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项D 正确．故选：BD11．在单位圆O ：x 2+y 2＝1上任取一点P （x ，y ），圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记x ，y 关于θ的表达式分别为x ＝f （θ），y ＝g （θ），则下列说法正确的是（ ） A ．x ＝f （θ）是偶函数，y ＝g （θ）是奇函数 B ．x ＝f （θ）在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，为增函数，y ＝g （θ）在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，为减函数 C ．f （θ）+g （θ）≥1对于02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立D ．函数t ＝2f （θ）+g （2θ）的最大值为2【答案】AC【解析】由题可知，()cos x f θθ==，()sin y g θθ==，即A 正确； ()cos x f θθ==在[,0)2π-上为增函数，在[0,]2π上为减函数；()sin y g θθ==在[,]22ππ-上为增函数，即B 错误；()()cos sin )4f g πθθθθθ+=++，[0,]2πθ∈，∴3[,]444πππθ+∈)4πθ+∈，即C 正确；函数2()(2)2cos sin 2t f g θθθθ=+=+，[0,2]θπ∈则22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，3cos θ=时，函数t 取得极大值，为31333222t =⨯+⨯⨯=， 又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数t 的最大值为33，即D 错误． 故选：AC ．12．如图，平面α∩平面β＝l ，A ，C 是α内不同的两点，B ，D 是β内不同的两点，且A ，B ，C ，D ∉直线l ，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．下列判断正确的是（ ）A ．若AB //CD ，则MN //l B ．若M ，N 重合，则AC //lC ．若AB 与CD 相交，且AC //l ，则BD 可以与l 相交 D ．若AB 与CD 是异面直线，则MN 不可能与l 平行 【答案】BD【解析】若//AB CD ，则A 、B 、C 、D 四点共面γ，当<AB CD 时，平面α、β、γ两两相交有三条交线，分别为AC 、BD 、l ，则三条交线交于一点O ， 则l 与平面γ交于点O ，MN ∴与l 不平行，故A 错误；若M ，N 两点重合，则//AC BD ，A 、B 、C 、D 四点共面γ， 平面α、β、γ两两相交有三条交线，分别为AC 、BD 、l ， 由//AC BD ，得////AC BD l ，故B 正确；若AB 与CD 相交，确定平面γ，平面α、β、γ两两相交有三条交线，分别为AC 、BD 、l ， 由//AC l ，得////AC BD l ，故C 错误；当AB ，CD 是异面直线时，如图，连接BC ，取BC 中点G ，连接MG ，NG ．则//MG AC ，AC α⊂，MG α⊂/，则//MG α，假设//MN l ，l α⊂，MN α⊂/，//MN α∴，又MNMG M =，∴平面//MNG α，同理可得，平面//MNG β，则//αβ，与平面α平面lβ=矛盾．∴假设错误，MN 不可能与l 平行，故D 正确． 故选：BD ． 三、填空题13．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是12,F F ，且12,F F 与水平夹角均为45︒，12102N F F ==，则物体的重力大小为_________N .【答案】20【解析】由题意知12||=|F +F |G .12,FF 的夹角为2π.所以2222121122||||||+2||||cos+||2G F F F F F F π=+=.所以2||200+0+200=400G =.所以||20G =. 14．已知5024sin ππαα⎛⎫⎛⎫∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则tanα＝_____． 【答案】3【解析】5sin()4πα-=，且(0,)2πα∈，∴(,)444πππα-∈-，225cos()1()44sinππαα-=--=，∴2235310sin sin[()][sin()cos()]4444ππππαααα=-+=-+-=⨯=，(0,)2πα∈，∴210cos1sinαα=-=，∴sintan3cosααα==．15．植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A、B、C分别与E、F、G关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是_____（用数字作答）．【答案】36【解析】由题意对称相当于3种树苗种A，B，C，D四个位置，有且仅有一种树苗重复，有13C种选法；在四个位置上种植有442212AA=种方法，则由乘法原理得131236C⨯=种方法．16．已知函数()3212311lnx xf xx x x≥⎧=⎨-+⎩，，＜则x∈[﹣1，e]时，f（x）的最小值为_____；设g（x）＝[f（x）]2﹣f（x）+a若函数g（x）有6个零点，则实数a的取值范围是_____．【答案】﹣4 （0，14）【解析】当[1x∈，]e时，()f x lnx=，此时函数在区间上单调递增，故此时函数最小值为()110f ln==，当[1x∈-，1)时，32()231f x x x=-+，则2()660f x x x'=-=时，1x=（舍)或0，且有()f x在(1,0)-上单调递增，在(0,1)上单调递减，因为()()123141f f-=--+=-<，故函数()f x在[1-，]e上的最小值为4-；令()t f x=，()0g x=即2t t a-=-，作出函数()y f x=的图象，如图所示：直线y t=与函数()y f x=的图象最多只有三个交点，所以01t<<，即说明方程2t t a-=-有两个(0,1)内的不等根，亦即函数2y t t=-在(0,1)内的图象与直线y a =-有两个交点，因为2211()24y t t t =-=--，根据2y t t =-的图象可知，104a -<<，即实数a 的取值范围为104a <<．四、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知233a A π==，，（1）若4B π=，求b ；（2）求△ABC 面积的最大值． 【解析】（1）4B π=，23,3a A π==，∴由正弦定理sin sin a bA B=，可得223sin 22sin 3a Bb A ===．（2）23,3a A π==，∴由余弦定理知222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+--=，212bc a ∴=，当且仅当b c =取“=”；ABC ∆∴面积的最大值为113sin 123322bc A =⨯= 18．已知数列{}n a 为正项等比数列，11a =；数列{}n b 满足21122333,b a b a b a b =++⋅⋅⋅()3232n n n a b n +=+-.（1）求n a ；（2）求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【解析】（1）令1n =，得()1132321a b =+-=，所以11b =，令2n =，得211223(43)27a b a b +=+-⨯=，所以226a b =，又23b =，所以22a =， 设数列{}n a 的公比为q ， 则212a q a ==，所以12n n a ；（2）当2n ≥时，11122113[2(1)3]2n n n a b a b a b n ---+++=+--①又3311223(23)2n n n a b a b a b b n a +++=+-，②②–①113(23)23(25)2(21)2nn n n n a b n n n --⎡⎤=+--+-=-⎣⎦， 因为12n na ，所以21nb n =-，1n =时也成立，所以21n b n =-.111111()(21)(21)22121n n b b n n n n +==--+-+， 所以111111[(1)()()]23352121n T n n ==-+-++--+ 111111[(1)()]23213521n n =+++-+++-+ 11(1)22121nn n =-=++. 19．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．①AB ⊥BC ，②FC 与平面ABCD 所成的角为6π，③∠ABC 3π=． 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ＝2，，PD 的中点为F ．（1）在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF //平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；（2）若_______，求二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值．【答案】（1）存在，G 是线段AB 的中点，证明见解析；（2）详见解析 【解析】（1）在线段AB 上存在中点G ，使得AF ∥平面PCG ． 证明如下：如图所示：设PC 的中点为H ，连结FH ，因为//FH CD ，12FH CD =，//AG CD ，12AG CD =，所以//,FH AG FH AG = 所以四边形AGHF 为平行四边形， 则AF ∥GH ，又GH ⊂平面PGC ，AF ⊄平面PGC ， ∴AF ∥平面PGC ． （2）选择①AB ⊥BC ：∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC ， 由题意知AB ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵P A ＝AB ＝2，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），F （0，1，1），P （0，0，2）， ∴AF =（0，1，1），CF =（﹣2，﹣1，1）， 设平面F AC 的一个法向量为μ=（x ，y ，z ），∴020AF y z CF x y z μμ⎧⋅=+=⎨⋅=--+=⎩，取y ＝1，得μ=（﹣1，1，﹣1），平面ACD 的一个法向量为v =（0，0，1）， 设二面角F ﹣AC ﹣D 的平面角为θ，则cosθ33v vμμ⋅==⋅， ∴二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值为33． 选择②FC 与平面ABCD 所成的角为6π： ∵P A ⊥平面ABCD ，取BC 中点E ，连结AE ，取AD 的中点M ，连结FM ，CM ， 则FM ∥P A ，且FM ＝1， ∴FM ⊥平面ABCD ，FC 与平面ABCD 所成角为∠FCM ，∴6FCM π∠=，在Rt △FCM 中，CM 3=又CM ＝AE ，∴AE 2+BE 2＝AB 2，∴BC ⊥AE ， ∴AE ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AE 、AD 、AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵P A ＝AB ＝2， ∴A （ 0，0，0），B （ 3，﹣1，0），C 31，0），D （0，2，0），E 3，0，0），F （0，1，1），P （0，0，2），∴AF =（0，1，1），CF =（30，1）， 设平面EAC 的一个法向量为m =（x ，y ，z ），则030m AF y z m CF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 取x 3=，得m =33，3）， 平面ACD 的一个法向量为：n =（0，0，1）， 设二面角F ﹣AC ﹣D 的平面角为θ， 则cosθ217m n m n⋅==⋅． ∴二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值为217． 选择③∠ABC 3π=：∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC ，取BC 中点E ，连结AE ，∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴△ABC 是正三角形， ∵E 是BC 的中点，∴BC ⊥AE ， ∴AE ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AE 、AD 、AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵P A ＝AB ＝2， ∴A （ 0，0，0），B （ 3，﹣1，0），C 31，0），D （0，2，0），E 3，0，0），F （0，1，1），P （0，0，2），∴AF =（0，1，1），CF =（30，1）， 设平面EAC 的一个法向量为m =（x ，y ，z ），则030m AF y z m CF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 取x 3=，得m =33，3）， 平面ACD 的法向量n =（0，0，1）， 设二面角F ﹣AC ﹣D 的平面角为θ， θ则cosθ21m n m n⋅==⋅ ∴二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值为217． 20．已知函数f （x ）()1xe alnx g x x x=+=，，（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）证明：a ＝1时，f （x ）+g （x ）﹣（12ex +）lnx ＞e ． 【解析】（1）f （x ）1x=+alnx ，（x ∈（0，+∞））． ()f x '2211a ax x x x-=-+=．当a ≤0时，()f x '＜0，函数f （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递减． a ＞0时，由()f x '0<，得10x a <<，由()f x '0>，得1x a> 所以函数()f x 在（0，1a ）上单调递减，在（1a，+∞）上单调递增． （2）证明：a ＝1时，要证f （x ）+g （x ）﹣（12ex +）lnx ＞e ． 即要证：21x e ex x x+-lnx ﹣e ＞0⇔e x ﹣ex +1elnx x ＞．x ∈（0，+∞）． 令F （x ）＝e x ﹣ex +1，F ′（x ）＝e x ﹣e ，当x ∈（0，1）时，F ′（x ）＜0，此时函数F （x ）单调递减； 当x ∈（1，+∞）时，F ′（x ）＞0，此时函数F （x ）单调递增． 可得x ＝1时，函数F （x ）取得最小值，F （1）＝1． 令G （x ）elnxx =，G ′（x ）()21e lnx x-=， 当0x e <<时，()0G x '>，此时()G x 为增函数， 当x e >时。

数学试题（二）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设1i3iz -=+，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．曲线ln(1)y ax =+在点00（，）处的切线过点48（，），则a = A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升 4,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D．c b a >>5．已知向量()()()21,1,21,30,0,//,m a n b a b m n a b=-=->>+u r r u r r 若则的最小值为A ．12B ．8+C ．15D ．10+6．若()()sin cos 1,tan 2tan 21cos 24αααββαα=-=-=-，则 A ．43 B ．43- C ．3 D ．3-7．已知二面角l αβ--为60o，点A α∈,点B β∈,异面直线AB 与l 所成的角为60o，=4AB .若A 到β,则B 到α的距离为A ．23B ．3C ．6D ．38．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有A ．24种B ．30种C ．36种D ．48种二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：下图是某市12月1日～20日AQJ 指数变化趋势下列叙述正确的是A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上的天数占14C ．该市12月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 10．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭的定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m -的值可能是 A ．512π B ．712π C ．34πD ．1112π11.下列有关说法正确的是A ．5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含23x y 项的二项式系数为20；B ．事件A B U 为必然事件，则事件A 、B 是互为对立事件；C ．设随机变量ξ服从正态分布(),7N μ，若()()24P P ξξ<=>，则μ与D ξ的值分别为3,7D μξ==;D ．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点各不相同”，事件B =“甲独自去一个景点”，则()2|9P A B =. 12．已知函数2()ln f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点,以下几个结论中正确的是A ．01x e >B ．010x e<< C ．00()20f x x +< D ．00()20f x x +>三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．已知集合2{,,2},{2,,2}A a b B b a ==，且,A B A B =I U 则a = .14．甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以3∶1获胜的概率是_______ __．15．已知双曲线C 过点)(23，且渐近线方程是,33x y ±=则双曲线C 的方程为 ，又若点)(,4,0N F 为双曲线C 的右焦点，M 是双曲线C 的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为 .16．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若PB=1，3APB BAD π∠=∠=，则三棱锥P －AOB 的外接球的体积是___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知△ABC 的内角A ，B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，在 ① (a +b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC;② b sin2B C+=a sinB; ③ cos2A-3cos(B+C)=1；这三个条件中任选一个完成下列内容： （1）求A 的大小；（2）若△ABC 的面积S =b =5，求sinBsinC 值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

2020年山东省潍坊市高考数学二模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-2≤x≤3}，函数f（x）=ln（1-x）的定义域为集合B，则A∩B=（）A. [-2，1]B. [-2，1）C. [1，3]D. （1，3]2.若复数z1，z2，在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，则=（）A. iB. -iC. 1D. -13.已知等差数列{a n}的前5项和为15，a6=6，则a2019=（）A. 2017B. 2018C. 2019D. 20204.已知命题p：“∀x∈R，x2＞0”，则￢p是（）A. ∀x∈R，x2≤0B. ∃x∈R，x2＞0C. ∃x∈R，x2＜0D. ∃x∈R，x2≤05.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的，而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以淮《冷庐杂识》写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．在18世纪，七巧板流传到了．国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾（阴影部分）的概率为（）A. B. C. D.6.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为l的正方形，正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，则此几何体的体积是（）A. B. C. D.7.如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（）A. y=2x-x2-1B. y=2x sinxC. D.8.函数y=sin（2x+）的图象可由函数y=sin2x-cos2x的图象（）A. 向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到B. 向右平穆个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到C. 向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的横坐标不变得到D. 向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的横坐标不变得到9.在边长为1的等边三角形ABC中，点P是边AB上一点，且．BP=2PA，则=（）A. B. C. D. 110.一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2，则该四面体外接球的表面积为（）A. 6πB. 12πC. 32πD. 48π11.已知P为双曲线C：（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，若|PF1|=|F1F2|，且直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=2x-1，g（x）=（a∈R），若对任意x1∈[1，+∞），总存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）A. （-∞，）B. （，+∞）C. （-∞，）∪[1，2]D. （1，]∪[，2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.焦点在x轴上，短轴长等于16，离心率等于的椭圆的标准方程为______．14.若x，y满足约束条件，则z=x-2y的最大值为______．15.设数列{a n}满足a1•2a2•3a3•…•na n=2n，则a n=______．16.如图，边长为1的正方形ABCD，其中边DA在x轴上，点D与坐标原点重合，若正方形沿x轴正向滚动，即先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD的某个顶点落在x轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转，设顶点C（x，y）滚动时形成的曲线为y=f（x），则f（2019）=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在平面四边形ABCD中，．（1）求cos∠BAC；（2）若∠D=45o，∠BAD=90°，求CD．18.如图，四棱锥M—ABCD中，MB⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AB＝MB，E、F分别为MA、MC的中点．(1)求证：平面BEF⊥平面MAD；(2)若求三棱锥E－ABF的体积．19.某公司甲、乙两个班组分别试生产同一种规格的产品，已知此种产品的质量指标检测分数不小于70时，该产品为合格品，否则为次品，现随机抽取两个班组生产的此种产品各100件进行检测，其结果如表：质量指标检测分数[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，IOO]甲班组生产的产品件71840296数乙班组生产的产品件81240328数（1）根据表中数据，估计甲、乙两个班组生产该种产品各自的不合格率；（2）根据以上数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该种产品的质量与生产产品的班组有关？甲班组乙班组合计合格品次品合计（3）若按合格与不合格的比例，从甲班组生产的产品中抽取4件产品，从乙班组生产的产品中抽取5件产品，记事件A：从上面4件甲班组生产的产品中随机抽取2件，且都是合格品；事件B：从上面5件乙班组生产的产品中随机抽取2件，一件是合格品，一件是次品，试估计这两个事件哪一种情况发生的可能性大．附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82820.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线：y=kx+b（k≠0）交抛物线C于A、B两点，|AF|+|BF|=4，M（0，3）．（1）若AB的中点为T，直线MT的斜率为k'，证明k⋅k'为定值；（2）求△ABM面积的最大值．21.已知函数f（x）=xe x-a ln x（无理数e=2.718…）．（1）若f（x）在（0，1）单调递减，求实数a的取值范围：（2）当a=-1时，设g（x）=x（f（x）-xe x）-x3+x2-b，若函数g（x）存在零点，求实数b的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为，直线l的极坐标方程为．（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值．23.已知函数f（x）=|ax-2|，不等式f（x）≤4的解集为{x|-2≤x≤6}．（1）求实数a的值；（2）设g（x）=f（x）+f（x+3），若存在x∈R，使g（x）-tx≤2成立，求实数t的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵B={x|x＜1}；∴A∩B=[-2，1）．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域，交集的运算．2.答案：B解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．由已知求得z2，把z1，z2代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，∴z2=-1+i，∴==．故选：B．3.答案：C解析：解：等差数列{a n}的前5项和为15，即15===5a3，所以a3=3，又因为a6=6，所以a6-a3=3d=3，所以d=1，所以a2019=a3+（2019-3）×d=3+2016=2019．故选：C．由前5项和为15，可以得到a3=3，又知道a6=6，故可求a1和d，进而得到a2019．本题考查了等差数列的前n项和公式，等差数列的通项公式，属于基础题．4.答案：D解析：解：命题：∀x∈R，x2＞0的否定是：∃x∈R，x2≤0．故选：D．欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．5.答案：C解析：解：阴影部分对应的图形为6平行四边形，设正方形的边长为4，则平行四边形的底面长为2，平行四边形的高为1，则阴影部分的面积S=2×1=2，则大正方形的面积S=4×4=16，则阴影部分的概率P==，故选：C．根据七巧板对应图形的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，设出对应边长求出对应面积是解决本题的关键．6.答案：D解析：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面边长为1正方形，斜高为1四棱锥，且四棱锥的高为=的正四棱锥．∴它的体积为V=×12×=．故选：D．根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为正方形的正四棱锥，结合图中数据求出它的体积．本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．7.答案：D解析：解：根据函数定义域为R，可知C不符合，根据函数图象可知，该函数为非奇非偶函数，故B不符合，当x→∞时，函数值趋向于-∞，故A不符合，对于D：y=（x2-2x）e x，当y=0时，解得x=0或x=2，当x→+∞时，y→+∞，当x→-∞时，y→0，故D符合．故选：D．根据函数的定义域，函数的奇偶性，函数值的变化趋势即可选择．本题考查了函数图象的识别，属于基础题．8.答案：D解析：解：把函数y=sin2x-cos2x=2sin（2x-）的图象向左平移个单位，可得y=2sin （2x+）的图象；再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变得到函数y=sin（2x+）的图象，故选：D．利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查两角和差的正弦公式，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9.答案：C解析：解：在边长为1的等边三角形ABC中，点P是边AB上一点，且BP=2PA，可得=，所以=（）=×1×1×cos60°=．故选：C．利用向量关系，求出，然后求解向量的数量积即可．本题考查向量的数量积的应用，平面向量的基本定理以及平行四边形法则的应用，是基本知识的考查．10.答案：B解析：解：如图，四面体ABCD中，∠ABD=∠ABC=∠BCD=∠ACD=90°，AB=BC=CD=2，可得BD=2，AD=2，AD中点O即为外接球球心，故球O半径为，其表面积为12π，故选：B．作出图形，易知最大斜边即为外接球直径，容易求解．此题考查了四面体外接球，难度不大．11.答案：A解析：解：设直线PF2与圆x2+y2=a2相切于点M，则|OM|=a，OM⊥PF2，取PF2的中点N，连接NF2，由于|PF1|=|F1F2|=2c，则NF1⊥PF2，|NP|=|NF2|，由|NF1|=2|OM|=2a，则|NP|==2b，即有|PF2|=4b，由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=2a，即4b-2c=2a，即2b=c+a，4b2-4ab+a2=b2+a2，4（c-a）=c+a，即3b=4a，则=．则C的渐近线方程为：．故选：A．设直线PF2与圆x2+y2=a2相切于点M，取PF2的中点N，连接NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF2|=4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系，计算即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法．中位线定理和双曲线的定义是解题的关键．12.答案：C解析：解：对任意x∈[1，+∞），则f（x）=2x-1≥20=1，即函数f（x1）的值域为[1，+∞），若对任意x1∈[1，+∞），总存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），设函数g（x）的值域为A，则满足[1，+∞）⊆A，即可，当x＜0时，函数g（x）=x2+2a为减函数，则此时g（x）＞2a，当x≥0时，g（x）=a cos x+2∈[2-|a|，2+|a|]，①当2a＜1时，（红色曲线），即a＜时，满足条件[1，+∞）⊆A，②当a≥时，此时2a≥1，要使[1，+∞）⊆A成立，则此时当x≥0时，g（x）=a cos x+2∈[2-a，2+a]，此时满足（蓝色曲线），即，得1≤a≤2，综上a＜或1≤a≤2，故选：C．求出两个函数的值域，结合对任意x1∈[1，+∞），总存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），等价为f（x）的值域是g（x）值域的子集，利用数形结合进行转化求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的值域，转化为f（x）的值域是g（x）值域的子集，利用数形结合是解决本题的关键．13.答案：解析：【分析】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，属于基础题．利用已知条件求出a，b，然后求解椭圆方程．【解答】解：由题可设椭圆方程，c为椭圆的半焦距，焦点在x轴上，短轴长等于16，离心率等于，可得b=8，，即1-，解得a=10，故所求的椭圆方程为：．故答案为．14.答案：10解析：解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图：由可得A（2，-4）．化目标函数z=x-2y为直线方程的斜截式y=x-．由图可知，当直线y=x-过点A时，直线在y轴上的截距最小，z最大，为z=2-2×（-4）=10．故答案为：10．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.答案：解析：解：∵a1•2a2•3a3•…•na n=2n，①，∴n≥2时，a1•2a2•3a3•…•（n-1）a n-1=2n-1②∴①÷②可得na n=2，∴a n=（n≥2）又a1=1也满足上式，∴数列{a n}的通项为a n=；故答案为：．根据题意，可得a1•2a2•3a3•…•（n-1）a n-1=2n-1，两者相除，可得数列{a n}的通项公式．本题考查数列递推式，求解数列的通项公式，是基本知识的考查．16.答案：0解析：解：∵正方形的边长为1，∴正方形的对角线AC=，则由正方形的滚动轨迹得到x=0时，C位于（0，1）点，即f（0）=1，当x=1时，C位于（1，）点，即f（1）=，当x=2时，C位于（2，1）点，即f（2）=1，当x=3时，C位于（3，0）点，即f（3）=0，当x=4时，C位于（4，1）点，即f（4）=1，则f（x+4）=f（x），即f（x）具备周期性，周期为4，则f（2019）=f（504×4+3）=f（3）=0，故答案为：0根据正方形的运动关系，分布求出当x=0，1，2，3，4时对应的函数值f（x），得到f （x）具备周期性，周期为4，利用周期性进行求解即可．本题主要考查函数值的计算，结合正方形的运动轨迹，计算出对应函数值，得到周期性是解决本题的关键．17.答案：（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，由余弦定理可得：cos∠BAC===…5分（2）因为∠DAC=90°-∠BAC，所以sin∠DAC=cos∠BAC=，…7分所以在△ACD中，由正弦定理可得：，…9分可得：，解得：CD=5…12分解析：（1）在△ABC中，由余弦定理即可计算得解cos∠BAC的值．（2）由已知可求sin∠DAC=cos∠BAC=，在△ACD中，由正弦定理即可解得CD的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：（1）证明：∵MB⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴MB⊥AD，∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，又AB⊂平面MAB，MB⊂平面MAB，AB∩MB=B，∴AD⊥平面MAB，又BE⊂平面MAB，∴AD⊥BE．∵AB=MB，E是MA的中点，∴BE⊥MA，又AD⊂平面MAD，MA⊂平面MAD，AD∩MA=A，∴BE⊥平面MAD，又BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面MAD．（2）由（1）知AD⊥平面MAB，又AD∥BC，∴BC⊥平面MAB，∵F是MC的中点，∴F到平面MAB的距离d=BC=，∵E是MA的中点，∴S△ABE===，∴V E-ABF=V F-ABE===．解析：（1）证明AD⊥平面MAB得出AD⊥BE，由AB=BM得出BE⊥MA，故BE⊥平面MAD，于是平面BEF⊥平面MAD；（2）根据V E-ABF=V F-ABE计算棱锥的体积．本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．19.答案：解：（1）根据表中数据，计算甲班组生产该产品的不合格率为=25%，乙班组生产该种产品的不合格率为=20%；（2）根据题意填写2×2列联表如下，甲班组乙班组合计合格品7580155次品252045合计100100200计算K2=≈0.717＜3.841，所以没有95%的把握认为该种产品的质量与生产产品的班组有关；（3）若按合格与不合格的比例，从甲班组生产的产品中抽取4件产品，从乙班组生产的产品中抽取5件产品，其中甲、乙班组抽取的产品中均含有1件次品，设甲的这4件产品分别为a、b、c、D，其中a、b、c为合格品，D为次品，从中任取2件，则所有可能的情况为ab、ac、aD、bc、bD、cd共6种，事件A包含3种，所以P（A）==；设5件乙班组产品分别为e、f、g、h、M，其中e、f、g、h为合格品，M为次品，从中随机抽取2件，基本事件为ef、eg、eh、eM、fg、fh、fM、gh、gM、hM共10种不同取法，事件B包含4种，所以P（B）==．由P（A）＞P（B）知，事件A发生的可能性大些．解析：（1）根据表中数据，分别计算甲、乙班组生产该种产品的不合格率；（2）根据题意填写2×2列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）根据分层抽样原理，利用列举法分别求出事件A、事件B的概率，比较即可．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了利用列举法求古典概型的概率应用问题，是中档题．20.答案：（1）证明：由抛物线C：x2=4y与直线：y=kx+b的方程组成方程组，消去y得，x2-4kx-4b=0，则△=16k2+16b＞0，即k2+b＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系知，x1+x2=4k，x1x2=-4b，由|AF|+|BF|=4，根据抛物线的定义知，（y1+1）+（y2+1）=4，即y1+y2=2，所以AB的中点坐标为T（2k，1），又M（0，3），所以直线MT的斜率为k'==-，所以k⋅k'=-1为定值；（2）解：由（1）知=-4x1x2=16（k2+b），|AB|=|x1-x2|=4，设点M到直线l的距离为d，则d=，由（1）知y1+y2=kx1+b+kx2+b=k（x1+x2）+2b=4k2+2b=2，即2k2+b=1，即b=1-2k2，由△=16k2+16b＞0，得0＜k2＜1；所以S△ABM=×|AB|×d=×4×=4，令t=k2，0＜t＜1，f（t）=（1+t）2（1-t）=1+t-t2-t3，0＜t＜1，f′（t）=1-2t-3t2=（t+1）（-3t+1），0＜t＜时，f′（t）＞0，f（t）为增函数；＜t＜1时，f′（t）＜0，f（t）为减函数；所以当t=时，f（t）取得最大值为f（x）max=f（）=，所以△ABM面积的最大值为4=．解析：（1）由抛物线与直线方程组成方程组，消去y得关于x的方程，利用根与系数的关系和抛物线的定义，求出AB的中点坐标T以及直线MT的斜率，计算k⋅k'的值；（2）利用弦长公式计算|AB|的值，求出点M到直线l的距离d，计算△ABM的面积，求出最大值即可．本题考查了直线与抛物线方程的综合应用问题，也考查了弦长公式与三角形面积的计算问题，是难题．21.答案：解：（1）f′（x）=（x+1）e x-=．由题意可得：f′（x）≤0，x∈（0，1）恒成立．即（x2+x）e x-a≤0，也就是a≥（x2+x）e x在x∈（0，1）恒成立．设h（x）=（x2+x）e x，则h′（x）=（x2+3x+1）e x．当x∈（0，1）时，x2+3x+1＞0．h′（x）＞0在x∈（0，1）单调递增．∴h（x）＜h（1）=2e．故a≥2e．（2）当a=-1时，f（x）=xe x+ln x．g（x）=x lnx-x3+x2-b，由题意：问题等价于方程b=x lnx-x3+x2，在（0，+∞）上有解．先证明：ln x≤x-1，设u（x）=ln x-x+1，x∈（0，+∞）．u′（x）=-1=．可得x=1时，函数u（x）取得极大值，∴u（x）≤u（1）=0．因此ln x≤x-1，∴b=x lnx-x3+x2≤x（x-1）-x3+x2=-x（x2-2x+1）≤0．当x=1时取等号．∴实数b的最大值为0．解析：（1）f′（x）=．由题意可得：f′（x）≤0，x∈（0，1）恒成立．即（x2+x）e x-a≤0，也就是a≥（x2+x）e x在x∈（0，1）恒成立．设h（x）=（x2+x）e x，利用倒导数研究其单调性即可得出．（2）当a=-1时，f（x）=xe x+ln x．g（x）=x lnx-x3+x2-b，由题意：问题等价于方程b=x lnx-x3+x2，在（0，+∞）上有解．先证明：ln x≤x-1，设u（x）=ln x-x+1，x∈（0，+∞）．利用研究其单调性即可证明结论．可得b=x lnx-x3+x2≤x（x-1）-x3+x2=-x（x2-2x+1）≤0．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、放缩法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（1）∵直线l的极坐标方程为，即ρsinθ-ρcosθ+4=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得直线l的直角坐标方程为x-y-4=0．将曲线C的参数方程为（α为参数）消去参数α，得曲线C的普通方程为；（2）设N（，sinα），α∈[0，2π），点M的极坐标（，）化为直角坐标（-2，2），则P（，），∴点P到直线l的距离d==．∴当时，点M到直线l的距离的最大值为．解析：（1）由直线l的极坐标方程为，得ρsinθ-ρcosθ+4=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直线l的直角坐标方程．直接将曲线C的参数方程消去参数α，可得曲线C的普通方程；（2）设N（，sinα），α∈[0，2π），化点M的极坐标（，）化为直角坐标（-2，2），利用中点坐标公式求得P（，），再由点到直线的距离公式求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查点到直线距离公式的应用，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23.答案：解：（1）由|ax-2|≤4得-4≤ax-2≤4，即-2≤ax≤6，当a＞0时，-≤x≤，所以，解得a=1；当a＜0时，≤x≤-，所以，无解，所以实数a的值为1（2）由已知g（x）=f（x）+f（x+3）=|x+1|+|x-2|=，不等式g（x）-tx≤2，即g（x）≤tx+2，由题意知y=g（x）的图象有一部分在直线y=tx+2的下方，作出对应图象：由图可知，当t＜0时，t≤k EM；当t＞0时，t≥k FM，又因为k EM=-1，k FM=，所以t≤-1，或t，即t∈（-∞，-1]∪[，+∞）．解析：（1）解f（x）≤4得解集与已知解集相等可列方程解得；（2）问题转化为y=g（x）的图象有一部分在直线y=tx+2的下方，作出图象，根据斜率可得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

2020高考数学模拟试题一本试卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ， 若12z zz =，则z 的共轭复数z ＝ A.1322i + B. 1322i − C ．1322i −+ D ．1322i −− 2.已知2{10}A x x =−≥，{}xB y y e ==，则AB =A ．（0，+∞）B ．（﹣∞，1]C ．[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）3. 若129()4a =，83log 3b =，132()3c =，则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ．c a b<<C ．b a c<<D ．a b c <<4. 2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.颁奖仪式上，国歌奏响！五星红旗升起！团结一心！中国加油！花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该对选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差5. 函数1ln(1)y x x =−+的大致图象为A . B. C. D.6. 已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430−⋅+=b e b ，则||−a b 的最小值是A ．23B 31C ．2D ．31−7. 已知1F ，2F 是椭圆22221(0)+=>>：x y C a b a b的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为36的直线上，12△PF F 为等腰三角形，12120∠=︒F F P ，则C 的离心率为 A.23B ．12C ．13D ．148. 如图，已知函数3()sin 2f x x π=，123,,A A A 是图象的顶点，,,,O B C D 为()f x 与x 轴的交点，线段3A D 上有五个不同的点125,,,Q Q Q 记2(1,2,5)i i OA OQ i n =⋅=，则125n n n +++=1532 B. 4521534 D. 45二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分。

山东省潍坊市2020届高三2月份数学模拟试题（二）本试卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}2A {|ln 1},B |20x x x x x =<=--<,则A∩B= A.（-1,2）B.（0,2）C.（-1，e ）D.(0，e)2设复数(,)z a bi a b =+∈R ，定义z 1=b+ai.若112z ii i =+-,则z= A.1355i -B. 1355i -+C.3155i -+D. 3155i -- 3.已知命题P ：有的三角形是等边三角形，则 A.p ⌝：有的三角形不是等边三角形B. p ⌝：有的三角形是不等边三角形C.p ⌝：所有的三角形都不是等边三角形D.p ⌝：所有的三角形都是等边三角形4.2018年L 省正式实施高考改革。

新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课，这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想。

考改实施后，学生将在高二年级将面临着3+1+2的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习。

某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列统计结论错误的是A.样本中的女生偏爱历史B.样本中的女生数量多于男生数量C.样本中的男生偏爱物理D.样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量5函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-⋃的图象大致为6.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式。

山东省潍坊市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为 A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+ B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+ C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+ D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+【答案】D 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为：,a b R ∃∈，a b a b -≥+.故本题答案为D. 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.2．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且2AF FB =u u u r u u u r，抛物线的准线l 与x 轴交于C ，ACF ∆的面积为AB =（ ）A ．6B ．9C．D．【答案】B 【解析】 【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为2px my =+，由2AF FB =u u u r u u u r 得122y y =-，将直线AB 的方程代入韦达定理，求得1y ，结合ACF ∆的面积求得p 的值，结合焦点弦长公式可求得AB . 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为x my p =+，将直线AB 的方程与抛物线方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y pmy p --=，由韦达定理得122y y pm +=，212y y p =-，11,2p AF x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，22,2p FB x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，2AF FB =uu u r uu r Q ，122y y ∴-=，122y y ∴=-，221222y y y p ∴=-=-，可得22y p =，122y y ==， 抛物线的准线l 与x 轴交于,02p C ⎛⎫-⎪⎝⎭， ACF ∆的面积为212p p ⨯==4p =，则抛物线的方程为28y x =， 所以，2221212524988py y AB x x p p +=++=+=+=. 故选：B. 【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 3．给出下列四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题0:p x R ∃∈，200x ≥，则命题:p x R ⌝∀∈，20x <；④设集合{}1A x x =>，{}2B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件；其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】 ①利用p ∧q 真假表来判断，②考虑内角为90o ，③利用特称命题的否定是全称命题判断，④利用集合间的包含关系判断. 【详解】若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 中至少有一个是假命题，故①错误；当内角为90o 时，不是象限角，故②错误；由特称命题的否定是全称命题知③正确；因为B A ⊆，所以x B ∈⇒x A ∈，所以“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件， 故④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查命题真假的问题，涉及到“且”命题、特称命题的否定、象限角、必要条件等知识，是一道基础题. 4．一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A ．62海里B ．63海里C ．82海里D ．83海里【答案】A 【解析】 【分析】先根据给的条件求出三角形ABC 的三个内角，再结合AB 可求，应用正弦定理即可求解. 【详解】由题意可知：∠BAC ＝70°﹣40°＝30°.∠ACD ＝110°，∴∠ACB ＝110°﹣65°＝45°， ∴∠ABC ＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB ＝24×0.5＝12.在△ABC 中，由正弦定理得4530AB BCsin sin =︒︒，1222BC=，∴62BC =故选：A. 【点睛】本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中档题.5．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．2【答案】B【解析】 【分析】对复数z 进行化简计算，得到答案. 【详解】()()2421(1)44213112i i i i z i i i ---+-====-++ 所以z 的虚部为3- 故选B 项. 【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题. 6．若复数52z i=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2i + B ．2i -C ．12i +D ．12i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算z ，由共轭复数的概念写出z . 【详解】55(2)10522(2)(2)5i i z i i i i ++====+--+Q , ∴2z i =-,故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题.7．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x yC a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =u u u r u u u r，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎣⎦B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到,A B 坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率k 与,A B 坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，且线:310l kx y k --+=过定点()3,1即为2C 的圆心， 因为AC DB =u u u r u u u r，所以1212236212C D C D x x x x y y y y +=+=⨯=⎧⎨+=+=⨯=⎩，又因为2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--， 所以2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，所以[]2232,1b k a=-∈--，所以2212,33b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22212,33a c a -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2121,33e ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以33e ∈⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算.8．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（ ）A ．58B ．25C ．35D ．78【答案】D 【解析】 【分析】这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解. 【详解】解：事件A 发生，需满足x y ≤，即事件A 应位于五边形BCDEF 内，作图如下：()1111722218P A -⨯⨯== 故选：D 【点睛】考查几何概型，是基础题.9．已知集合{}2lgsin 9A x y x x==-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．22⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合(]0,3A =，化简()f x =22sin 2sin 1x x -++，令sin x t =(]0,1∈，得()2221g t t t =-++由二次函数的性质即可得值域. 【详解】由2sin 00390x x x >⎧⇒<≤⎨-≥⎩，得(]0,3A = ，()cos22sin f x x x =+=-22sin 2sin 1x x ++，令sin x t =， (]0,3x ∈Q ，(]0,1t ∴∈，所以得()2221g t t t =-++ ，()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上递减，()1311,22g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，所以()31,2g t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即 ()f x 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选A 【点睛】本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题 10．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)【答案】D【详解】试题分析：把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1sin()26y x π=+的图象；再将图象向右平移3π个单位，可得11sin[()]sin 2362y x x ππ=-+=的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0)，故选D. 考点：三角函数的图象与性质.11．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A ．23B ．43C ．23D ．43【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积. 【详解】由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：其中，底面为直角三角形，2AD =，3AE =2AB =.∴该几何体的体积为1232232V =⨯=本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题. 12．已知x 与y 之间的一组数据：若y 关于x 的线性回归方程为$ 2.10.25y x =-，则m 的值为（ ） A ．1.5 B ．2.5C ．3.5D ．4.5【答案】D 【解析】 【分析】利用表格中的数据，可求解得到 2.5,x =代入回归方程，可得5y =，再结合表格数据，即得解. 【详解】利用表格中数据，可得 2.5,x = 又 2.10.25,5y x y =-∴=，3.24.87.520m ∴+++=．解得 4.5m = 故选：D 【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

潍坊市高考模拟考试数 学2020．5本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的学校、姓名、班级、座号、考号填涂在相应位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,2,3,4,5,2,3,6,7U U A B A C B ===⋂=，则 A. {}1,4B. {}1,4,5C. {}4,5D. {}6,72.若复数1a iz i+=-在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a 的值可以是 A.1B.0C. 1-D. 2-3.甲、乙、丙三人中，一人是律师，一个是医生，一人是记者.已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是 A.甲是律师，乙是医生，丙是记者 B.甲是医生，乙是记者，丙是律师 C.甲是医生，乙是律师，丙是记者D.甲是记者，乙是医生，丙是律师4.以抛物线2:4E x y =的焦点为圆心，且与E 的准线相切的圆的方程为 A. ()2214x y -+=B. ()2214x y ++=C. ()2214x y ++=D. ()2214x y +-=5.设函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()cos x f x e x =-，则不等式()()2120f x f x -+->的解集为A. (),1-∞B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. ()1,+∞6.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二士岁，…，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”.某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90-100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为 A.94B.95C.96D.987.在四面体ABCD 中，ABC BCD ∆∆和均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，则四面体ABCD 的体积为A.24B.12C.6D.48.已知O 为坐标原点，双曲线()222210,0x y C a a b-=>>：的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且BF/OA ，若0AB OB ⋅=u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为A. 3B.C.D.2二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9.我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全.按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤——比全球人均粮食产量高了约250斤.下图是中国国家统计局网站中2010-2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据下图可知在2010-2019年A.我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B.2011年我国粮食年产量的年增长率最大C.2015年-2019年我国粮食年产量相对稳定D.2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰10.若1,0a b c <<->，则下列不等式中一定成立的是A. 11a b a b->-B. 11a b b a-<-C. ()ln 0b a ->D. c ca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.在单位圆22:1O x y +=上任取一点(),P x y ，圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记,x y θ关于的表达式分别为()(),x f y g θθ==，则下列说法正确的是 A. ()x fθ=是偶函数，()y g θ=是奇函数 B. ()x fθ=在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为函数，()y g θ=在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数 C. ()()102f g πθθθ⎡⎤+≥∈⎢⎥⎣⎦对于，恒成立D.函数()()22t fg θθ=+的最大值为3312.如图，平面α⋂平面,,l A C βα=是内不同的两点，B,D 是β内不同的两点，且A,B,C,D ∉直线l ，M,N 分别是线段AB,CD 的中点.下列判断正确的是A.若AB//CD ，则//MN lB.若M,N 重合，则//AC lC.若AB 与CD 相交，且//AC l ，则BD 可以与l 相交D.若AB 与CD 是异面直线，则MN 不可能与l 平行 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是12,F F u u r u u r ，且12,F F u u r u u r与水平夹角均为1245102F F N ==ou u r u u u r，，则物体的重力大小为_________N.14.已知50sin tan 24ππααα⎛⎫⎛⎫∈-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则__________. 15.植树造林，绿化祖国.某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFG 七点处各种植一棵树苗，如图所示，其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称.现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法是_________.（用数字作答） 16.已知函数()32ln ,1231,1x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，则[]1,x e ∈-时，()f x 的最小值为________，设()()()2g x f x f x a =-+⎡⎤⎣⎦，若函数()g x 有6个零点，则实数a 的取值范围是_________.(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,23,3a b c a A π==，已知.（1）若4B π=，求b ；（2）求ABC ∆面积的最大值.18.（2分）已知数列{}n a 为正项等比数列，11a =；数列{}n b 满足21122333,b a b a b a b =++⋅⋅⋅()3232n n n a b n +=+-.（1）求n a ；（2）求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19.（12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答. ①AB BC ⊥，②FC 与平面ABCD 所成的角为6π，③3ABC π∠=.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，且PA=AB=2,PD 的中点F.（1）在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF//平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.（2）若__________，求二面角F AC D --的余弦值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20.（12分）已知函数()()1ln ,xe f x a x g x x x=+=.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：()()211ln e a f x g x x e x ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭时，.21.（12分）区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术.区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式.2015年至2019年五年期间，中国的区块企业数量逐年增长，居世界前列.现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如下表：注：参考数据5555111174.691,312.761,10.980,40.457ii i i i i i i i i yx y z x z ========∑∑∑∑（其中ln z y =）附：样本()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅的最小二乘法估计公式为()()()$121niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑$$，. （1）根据表中数据判断，dxy a bx y ce =+=与（其中 2.71828e =⋅⋅⋅，为自然对数的底数）哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果，求y 关于x 的回归方程（结果精确到小数点后第三位）；（3）为了促进公司间的合作与发展，区块联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛.比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”. 已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12.请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？22.（12分）已知椭圆()()221222:121,x y C a b P F F a b+=>>0过点，，分别为椭圆C 的左、右焦点且121PF PF ⋅=-u u u r u u u r.（1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于OP （O 为原点），且与椭圆C 交于两点A 、B ，与直线2x =交于点M （M 介于A 、B 两点之间）.（i ）当PAB ∆面积最大时，求2l 的方程；（ii ）求证：PA MB PB MA =，并判断12,,,l l PA PB 的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列。

2020届山东省潍坊市高三2月数学模拟试题（一）本试卷满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，若12z zz =，则z的共复数z =（ ）A.1322i + B.1322i - C. 1322i -+ D. 1322i -- 【答案】A 【解析】 【分析】如图，先判断出12,z z 对应的复数，然后根据复数除法计算出z 的值，即可求解出z 的值. 【详解】由图可知：1212,1z i z i =+=-+，所以()()()()1212112131112i i z i i z z i i i +--+-====-+-+--， 所以1322z i =+. 故选：A.【点睛】本题考查复数的几何意义、复数除法运算、共轭复数的求解，难度较易.注意互为共轭复数的两个复数的实部相同虚部互为相反数. 2.已知{}210A x x =-≥，{}xB y y e ==，则AB =（ ）A. ()0,∞+B. (],1-∞C. [)1,+∞D. (][),11,-∞-+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法以及指数函数的值域求解出,A B ，再根据交集概念即可计算出A B 的结果.【详解】因为210x -≥，所以1x ≥或1x ≤-，所以(][),11,A =-∞-+∞，又因为0x y e =>，所以()0,B =+∞， 所以[)1,A B ⋂=+∞， 故选：C.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、指数函数的值域、集合的交集运算，属于综合问题，难度一般. 3.若1294a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，83log 3b =，1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. c b a <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】本道题结合指数,对数运算性质,结合1和对数单调性进行判断,即可.【详解】32a ==,33322222log 3log 3log 2log 1b a ==>==>13213c ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,故c a b <<,故选D.【点睛】本道题考查了指数、对数比较大小，可以结合1以及对数性质进行比较，难度中等．4.2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.颁奖仪式上，国歌奏响！五星红旗升起！团结一心！中国加油！花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该对选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A. 中位数 B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】A 【解析】 分析】根据中位数、平均数、方差、极差的特点进行判断即可.【详解】A ．去掉最高分、最低分后，中位数仍旧是处于中间位置（从小到大排列）的那个数，不发生改变； B ．去掉最高分、最低分后，平均数是否发生改变与去掉的分数有关，不能确定是否变化； C ．去掉最高分、最低分后，方差的确定和平均数、数据个数有关，因此方差也不确定；D ．去掉最高分、最低分后，极差可能发生改变，亦可能不改变. 故选：A.【点睛】本题考查对样本数字特征的理解，难度较易.注意：一组数据（数据个数大于等于3）的中位数不会随着这组数据去掉最大、最小值发生改变. 5.函数()1ln 1y x x =-+的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由函数()1ln(1)fx x x=-+，可得()10f >和()210f e -<，利用排除法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()1ln(1)f x x x=-+，可得()11ln 20f =->，可排除C 、D ，又由()222111ln 1011f e e e e -=-=-<--，排除B ，故选A. 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中根据函数的解析式，合理利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 6.已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则a b -的最小值是（ ） 31- B. 31+C. 2D. 23-【答案】A 【解析】 【分析】先确定向量a 、b 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值. 【详解】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===， 则由π,3a e =得22π1cos ,,332a x e e x x y y a ⋅=⋅=+∴=±，由2430b e b -⋅+=得()2222430,21,m n m m n +-+=-+= 因此，a b -的最小值为圆心()2,0到直线y =11.选A. 【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.7.已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A.23B.12C.13D.14【答案】D 【解析】【详解】分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率. 详解：因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c, 由AP斜率为6得，222tan sin cos 6PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 8.已知()|sin |2f x x π=，123,,A A A 为图象的顶点，O ，B ，C ，D 为()f x 与x 轴的交点，线段3A D 上有五个不同的点125,,,Q Q Q ．记2(1,2,,5)i i n OA OQ i =⋅=，则15n n ++的值为（ ）A.1532B. 45C.452D.1534【答案】C 【解析】 【分析】通过分析几何关系，求出230A OC ︒∠=，260A O C ︒∠=，再将i n 表示成222()=i i i n OA OQ OA OD DQ OA OD =⋅=⋅+⋅，结合向量的数量积公式求解即可【详解】解：由图中几何关系可知，32OE =,23A E =,23OA =21A C =230A OC ︒∠=∴ 260A O C ︒∠=，32//A D A C ,∴23OA DA ⊥，即23OA DA ⊥．则2222()cos6i i i n OA OQ OA OD DQ OA OD OA OD π=⋅=⋅+=⋅=⋅，153453352n n ++==答案选C【点睛】本题结合三角函数考查向量的线性运算，找出两组基底向量2OA ，OD 是关键二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则下列正确的是（ ） A. 12a =- B. 12a =C. 4d =D. 4d =-【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件，构造关于1,a d 的方程组，即可求解出1,a d 的值并完成选项的判断.【详解】因为45161272461548a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩，所以124a d =-⎧⎨=⎩，故选：AC.【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及等差数列求和公式中的基本量的计算，难度较易.已知两个关于等差数列的等式，求解等差数列首项和公差的常见方法：（1）化简为关于首项1a 、公差d 的方程组求解；（2）借助等差数列的性质进行求解.10.已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ）A. 函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B. 函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C. 若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3π D. 函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据对称轴可得4πϕ=-,即()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,将12x π+代入判断函数奇偶性进而判断选项A ；先求出()f x 的单调增区间,再判断,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是否为其子集来判断B ；将问题转化为符合条件的区间至少包含一个最大值,一个最小值,即需包含半个周期,即可判断C ；根据图像变换规则判断D 即可 【详解】因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭, 对于选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确； 对于选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k kx k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当单调递增,故B 错误； 对于选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小为半个周期,即21323ππ⨯=,故C 正确； 对于选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故D 错误 故选：AC【点睛】本题考查正弦型函数的对称性,周期性,单调性的应用,考查转化思想,熟练掌握正弦型函数的图象与性质是解题关键11.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（ ）A. 沙漏中的细沙体积为3102481cm πB. 沙漏的体积是3128cm πC. 细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD. 该沙漏的一个沙时大约是1985秒（ 3.14π≈） 【答案】ACD 【解析】 【分析】A ．根据圆锥的体积公式直接计算出细沙的体积；B ．根据圆锥的体积公式直接计算出沙漏的体积；C ．根据等体积法计算出沙堆的高度；D ．根据细沙体积以及沙时定义计算出沙时.【详解】A ．根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比， 所以细沙的底面半径28433r cm =⨯=，所以体积23121641610243339381h V r cm πππ=⋅⋅=⋅⋅=； B ．沙漏的体积2231125622483233h V h cm πππ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭； C ．设细沙流入下部后的高度为1h ，根据细沙体积不变可知：21102418132h h ππ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1102416813h ππ=，所以1 2.4h cm ≈； D ．因为细沙的体积为3102481cm π，沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙， 所以一个沙时为：10241024 3.14815019850.0281π⨯=⨯≈秒. 故选：ACD.【点睛】本题考查圆锥体积有关的计算，涉及到新定义的问题，难度一般.解题的关键是对于圆锥这个几何体要有清晰的认识，同时要熟练掌握圆锥体积有关的计算公式.12.在边长为2的等边三角形ABC 中，点D E ，分别是边AC AB ，上的点，满足//DE BC 且AD ACλ=((01))λ∈,，将ADE 沿直线DE 折到A DE '的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是（ ）A. 在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面ACD 'B. 存在102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDEC. 若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，104A B '= D. 在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ的最大值为23【答案】D 【解析】 【分析】利用反证法可证明A 、B 错误，当12λ=且二面角A DE B '--为直二面角时，计算可得102A B '=，从而C 错误，利用体积的计算公式及放缩法可得3()f λλλ≤-+，从而可求()f λ的最大值为23，因此D 正确. 【详解】对于A ，假设存在F AE ∈，使得//BF 平面ACD '，如图1所示，因BF ⊂平面A BE '，平面A BE '⋂平面A CD A A ''=，故//BF A A '，但在平面A BE '内，,BF A A '是相交的，故假设错误，即不存在F AE ∈，使得//BF 平面ACD '，故A 错误.对于B ，如图2，取,BC DE 的中点分别为,I H ，连接,,,IH A I A H AI ''， 因ABC ∆为等边三角形，故AI BC ⊥，因为//DE BC ，故60,60,A DE A DE ACB A ED AED ABC '''∠=∠=∠=︒∠=∠=∠=︒ 所以,A DE ADE '∆∆均为等边三角形，故A H DE '⊥，AH DE ⊥， 因为//DE BC ，AI BC ⊥，AI BC ⊥，故,,A H I 共线， 所以IH DE ⊥，因为A H IH H '⋂=，故DE ⊥平面A HI '， 而DE ⊂平面CBED ，故平面A HI '⊥平面CBED ，若某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDE ，则A '在平面BCDE 的射影在IH 上，也在BC 上，故A '在平面BCDE 的射影为H ，所以AH IH >， 此时1+2AD AH A H AC AI A H IH λ'===>'，这与102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,矛盾，故B 错误. 对于C ，如图3（仍取,BC DE 的中点分别为,I H ，连接,,,IH A H A B BH ''）因为,A H DE IH BC '⊥⊥，所以A HI '∠为二面角A DE I '--的平面角， 因为二面角A DE B '--为直二面角，故90A HI '∠=︒，所以A H AH '⊥， 而IH DE H ⋂=，故A H '⊥平面CBED ，因BH ⊂平面CBED ，故A H BH '⊥.因为12λ=，所以1322A H IH AI '===. 在Rt IHB ∆中，3714BH =+=， 在Rt A HB '∆中，371044A B '=+=，故C 错. 对于D ，如图4（仍取,BC DE 的中点分别为,I H ，连接,,,IH A H A B A C '''）， 作A '在底面CBED 上的射影O ，则O 在IH 上.因为,//AD BC DE AC λ=，所以3λ=且2DEλ=，所以3A H λ'=其2DE λ=. 又()1132A CBED V DE CB IH A O '-'=⨯⨯+⨯⨯ ()()()()31122312231366A O λλλλλλλ'=+⨯-⨯≤+⨯-⨯=-+， 令()()3,0,1fλλλλ=-+∈，则()231f λλ'=-+，当30,3λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f λ'>；当3,13λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f λ'<. 所以()f λ在30,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为增函数，在3,1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为减函数，故()max 323f f λ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭. 故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查平面图形的折叠问题、折叠过程的线面、面面关系的判断以及体积最值的计算，解题注意折叠前面变化的量与不变量的量，而线面、面面关系的判断要依据性质定理或判定定理，体积最值的计算首先要有目标函数，其次根据线段长度的大小关系放缩为一元函数，再利用导数求最值，本题为难题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在)5111x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项等于___【答案】9 【解析】 【分析】先求出二项式)51展开式的通项，然后根据分类讨论的方法得到常数项．【详解】二项式)51的展开式的通项为552155(0,1,2,,5)rr r r r T C C xr --+===，∴)5111x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为3555(1)1019C C +-⨯=-=．故答案为9．【点睛】对于含有两个括号的展开式的项的问题，求解时可分别求出每个二项式的展开式的通项，然后采用组合（即“凑”）的方法得到所求的项，解题时要做到细致、不要漏掉任何一种情况． 14.对于中心在原点的双曲线，给出下列三个条件：①离心率为2；②一条渐近线的倾斜角为30；③实轴长为4，且焦点在x 轴上. 写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程________.【答案】①②()2203x y λλ-=>或()2203x y λλ-=>；①③221412x y -=；②③223144x y -= 【解析】 【分析】选①②：根据,,a b c 之间的比值关系确定出双曲线方程； 选①③：根据离心率以及a 的值确定出双曲线的方程； 选②③：根据a 以及ba的值确定出双曲线的方程. 【详解】若选①②：若双曲线的焦点在x 轴上，则设双曲线方程为22221x ya b-=，所以2tan 30c a b a⎧=⎪⎪⎨⎪=︒⎪⎩，所以2c a a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为()2203x y λλ-=>，若双曲线的焦点在y 轴上，则设双曲线方程为22221y xa b-=，所以2tan 30ca a b⎧=⎪⎪⎨⎪=︒⎪⎩，所以2c a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为()2203x y λλ-=>；若选①③：因为224c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以42c a =⎧⎨=⎩，所以2b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩221412x y -=；若选②③：因为tan 302b a a ⎧=︒⎪⎨⎪=⎩，所以32b a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以双曲线方程为：223144x y -=. 故答案为：()2203x y λλ-=>(或()2203x y λλ-=>或221412x y -=或223144x y -=). 【点睛】本题考查根据已知条件求解双曲线的方程，着重考查双曲线几何性质中的离心率、渐近线知识，难度一般.一般求解双曲线的标准方程时，注意观察双曲线的焦点位置并假设方程.15.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用n a 表示解下()*9,n n n N≤∈个圆环所需移动的最少次数，{}n a 满足11a =，且()()112122n n n a n a a n --⎧-⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数，则解下5个圆环需最少移动________次. 【答案】16 【解析】 【分析】根据已知的数列递推公式，得到5a 与1a 的等量关系，即可计算出解下5个圆环需最少移动的次数. 【详解】因为()54332222124a a a a =+=-+=，所以()()53221144228882181616a a a a a a ==+=+=-+==， 所以解下5个圆环需最少移动的次数为16. 故答案为：16.【点睛】本题考查递推数列的简单应用，难度较易.解答问题的关键是能根据n 的奇偶选择合适的递推公式进行计算.16.已知集合{}001A x x =<<.给定一个函数()y f x =，定义集合{}1(),n n A y y f x x A -==∈ 若1nn A A φ-=对任意的*n N ∈成立，则称该函数()y f x =具有性质“ϕ”(I)具有性质“ϕ”的一个一次函数的解析式可以是 _____； (Ⅱ)给出下列函数：①1y x =；②21y x =+；③cos()22y x π=+，其中具有性质“ϕ”的函 数的序号是____．（写出所有正确答案的序号）【答案】 (1). 1y x =+（答案不唯一） (2). ①② 【解析】 【分析】(I)根据题意，只需找到满足题中条件的函数即可，如1y x =+； (Ⅱ)根据题中条件，逐个判断所给函数即可得出结果. 【详解】(I)对于解析式：1y x =+，因为{}001A x x =<<，{}112A x x =<<，{}223A x x =<<…符合1n n A A φ-⋂=．(Ⅱ) 对于①{}001A x x =<<，{}11A x x =＞，{}201A x x =<<…，循环下去，符合1n n A A φ-⋂=； 对于②{}001A x x =<<，{}112A x x =＜＜，{}225A x x =<<，{}3526A x x =<<…，根据单调性得相邻两个集合不会有交集，符合1n n A A φ-⋂=，对于③，{}001A x x =<<，{}123A x x =＜＜，{}212A x x =<<，{}312A x x =<<不符合1n n A A φ-⋂=，所以，选①②【点睛】本题主要考查集合的交集以及函数值域问题，熟记交集的概念，掌握求函数值域的方法即可，属于常考题型.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，627S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和.若124m T =，求m .【答案】（1）1n a n =+（2）5m =. 【解析】【分析】（1）将已知条件改写为首项1a 和公差d 的形式，计算出1,a d 的值即可求解出通项公式； （2）根据等比数列的求和公式计算出n T ，然后根据124m T =计算出m 的值即可. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知得112461527a d a d +=⎧⎨+=⎩解得121a d =⎧⎨=⎩， 所以()111n a a n d n =+-=+.（2）由（1）可得12n n b +=，{}n b ∴是首项为4，公比为2的等比数列，则()()41242112n n nT -==--.由124m T =，得()421124m-=，解得5m =.【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求解以及等比数列的求和公式的简单应用，难度较易.求解等差数列的通项公式的常用方法：（1）构造关于等差数列的首项和公差的方程组，求出通项公式；（2）利用等差数列的性质求解通项公式.18.在平面四边形ABCD 中，ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，已知2AB BC CD ===，23AD =.（13cos A C -是否是定值，若是定值请求出；若不是请说明理由；（2）记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，求出2212S S +的最大值.【答案】（1cos A C -为定值1.（2）14 【解析】 【分析】（1）在ABD ∆与BCD ∆中分别考虑,A C cos A C -是否为定值；（2）先根据面积公式表示出12,S S ，然后利用（1）中结论将2212S S +转化为关于cos A 的二次函数形式，借助二次函数性质求解出2212S S +的最大值.【详解】解：（1）在ABD ∆中，由余弦定理得241216BD A A =+-=-，在BCD ∆中，由余弦定理得2448cos BD C =+-，1688cos A C -=-，则)8cos 8A C -=，cos 1A C -=；cos A C -为定值1.（2）1122S A A =⨯⨯=，2122sin 2sin 2S C C =⨯⨯=，则()2222221212sin 4sin 1612cos 4cos S S A C A C +=+=-+由（11cos A C =+，代入上式得)22222121612cos 4124cos 12S S A A A A +=---=-++，配方得2221224cos 146S S A ⎛+=--+ ⎝⎭，∴当cos A =2212S S +取到最大值14.【点睛】本题考查余弦定理以及三角形面积公式的综合运用，对于转化与计算的要求较高，难度一般.形如()2cos cos 0y a x b x c a =++≠的函数求解最值时，注意利用二次函数的性质分析问题.19.已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E,F,G,O 分别是PC,PD,BC,AD 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）π3（Ⅲ）不存在，见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）正三角形PAD 中PO ⊥AD ，由CD ⊥平面PAD 得到PO ⊥CD ，所以得到PO ⊥面ABCD ；（Ⅱ）以O 点为原点建立空间直角坐标系，根据平面EFG 的法向量，和平面ABCD 的法向量，从而得到平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值，再得到所求的角；（Ⅲ）线段PA 上存在满足题意的点M ，直线GM 与平面EFG 法向量的夹角为3π，设PM PA λ=，[]0,1λ∈，利用向量的夹角公式，得到关于λ的方程，证明方程无解，从而得到不存在满足要求的点M . 【详解】（Ⅰ）证明:因为△PAD 是正三角形，O 是AD 的中点，所以 PO ⊥AD .又因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥CD .AD CD D =，AD CD ⊂，平面ABCD ，所以PO ⊥面ABCD .（Ⅱ）如图，以O 点为原点分别以OA 、OG 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,O A B C D G P --，(1,(E F --，(0,2,0),(1,2,EF EG =-=，设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z =所以00EF m EG m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20,20,y x y -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩令1z =，则 (3,01)m =，， 又平面ABCD 的法向量(0,0,1)n =，设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ， 所以(1cos 2m n m nθ⋅===.所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为π3. （Ⅲ）假设线段PA 上存在点M ， 使得直线GM 与平面EFG 所成角为6π， 即直线GM 与平面EFG 法向量m 所成的角为3π，设PM PA λ=，[]0,1λ∈，,GM GP PM GP PA λ=+=+，所以)()2,1GM λλ=-- 所以coscos ,3GM m π==，整理得22320λλ-+=，∆<0，方程无解，所以，不存在这样的点M .【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，利用空间向量求二面角，利用空间向量证明存在性问题.20.已知抛物线()2:20C y px p =>，直线:1l y x =-与抛物线C 交于A ，B 两点，且8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）求过点A ，B 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.【答案】（1）24y x =（2）()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++= 【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线，再根据弦长公式以及8AB =即可计算出p 的值，从而C 的方程可求； （2）根据过弦的中点垂直于弦的直线过圆心、圆心到弦的距离的平方加上半弦长的平方等于半径的平方，得到关于圆心坐标的方程组，求解出圆心即可求解出圆的方程.【详解】解：（1）由221y px y x ⎧=⎨=-⎩，得()22110x p x -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()1221x x p +=+，121=x x8AB ====，8=，解得2p =，所以抛物线C 的方程24y x =； （2）由（1）得()12132x x p +=+=，312y =-=，即AB 的中点坐标为()3,2， 则AB 的中垂线方程为()23y x -=--，即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为()00,x y ，则()()0022000511162yx y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩或00116x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=【点睛】本题考查直线与圆、抛物线的综合应用，难度一般.（1）根据条件求解圆的方程时，注意借助圆的几何性质完成解答：圆心与弦中点连线垂直且平分弦、半径平方等于圆心到直线距离的平方加上半弦长的平方；（2）常见的弦长公式：12AB x =-=，12AB y =-=.21.已知函数()cos sin xf x e x x x =-，()sin xg x x =，其中e 是自然对数的底数．（Ⅰ）12ππ,0,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x m g x ≤+成立，试求实数m 的取值范围； （Ⅱ）若1x >-，求证：()()0f x g x ->． 【答案】（Ⅰ）)21,⎡++∞⎣；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】试题分析：第一问根据题意将问题转化为()f x 在区间[,0]2π-上的最大值小于等于()m g x +在区间[0,]2π上的最大值，之后根据函数的单调性求得相应的最值，第二问转化不等式，将问题转化为一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，从而求得结果． 试题解析：（Ⅰ） 由题意，12ππ,0,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x m g x ≤+成立， 等价于[]1max 2max ()()f x mg x ≤+．1分()(cos sin )(sin cos )()cos (1)sin x x x f x e x x x x x e x x e x =----+'+=，当π[,0]2x ∈-时，()0f x '>，故()f x 在区间π[0,]2上单调递增， 所以0x =时，()f x 取得最大值1．即max ()1f x =又当π[0,]2x ∈时，()cos 2xg x x e =-'，()sin 20xg x x e '-'=-<所以()g x '在π[0,]2上单调递减，所以()()0120g x g ≤=-'<'，故()g x 在区间π[0,]2上单调递减，因此，0x =时，max ()(0)2g x g ==-． 所以12m ≤-，则21m ≥+．实数m 的取值范围是)21,⎡++∞⎣． （Ⅱ）当1x >-时，要证，只要证e cos sin sin 2e 0x x x x x x -->，即证(()ecos 21sin xx x x >+，由于cos 20,10x x >+>，只要证e 1cos 2x x x >++ 下面证明1x >-时，不等式e 1sin 2x x x >++成立．令()()e 11xh x x x =>-+，则()()()()22e 1e e 11x x x x x h x x x =+'+-=+，当()1,0x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增． 所以当且仅当0x =时，()h x 取最小值为1．法一：sin cos 2xk x =+，则cos 2sin k x k x +=，即sin cos 2x k x k -=，即22sin()1k x kϕ-=+，由三角函数的有界性，2211k k≤+，即11k -≤≤，所以max 1k =，而()()min01h x h ==，但当0x =时，()010k h =<=；0x ≠时，()1h x k >≥所以，maxmin e sin 1cos 2x x x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即e sin 1cos 2x xx x >++ 综上所述，当1x >-时，成立．法二：令()cos 2x x ϕ=+，其可看作点()cos ,sin A x x 与点()2,0B -连线的斜率k ，所以直线AB 的方程为：()2y k x =+，由于点A 在圆221x y +=上，所以直线AB 与圆221x y +=相交或相切， 当直线AB 与圆221x y +=相切且切点在第二象限时，直线AB 取得斜率k 的最大值为1．而当0x =时，()(0)010h ϕ=<=；0x ≠时，()1h x k >≥．所以，minmax ()()h x x ϕ>，即e 1cos 2x x x >++综上所述，当1x >-时，成立．法三：令()cos 2x x ϕ=+，则22()(cos 2)x x ϕ'=+ 当32,()4x k k N ππ=+∈时，()x ϕ取得最大值1，而()()min01h x h ==，但当0x =时，()()0010h ϕ=<=；0x ≠时，()1h x k >≥所以，minmax ()()h x x ϕ>，即e 1cos 2x x x >++综上所述，当1x >-时，成立．考点：等价转化的思想，恒成立问题的解决方法．22.十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加.为了制定提升农民年收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x 元（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为年平均收入x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得2 6.92s =，利用该正态分布，求：（i ）在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？ 附参考数据： 6.92 2.63≈，若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=.【答案】（1）17.40千元；（2）（i ）14.77千元.（ii ）978人. 【解析】 【分析】（1）求解每一组数据的组中值与频率的乘积，将结果相加即可得到对应的x ；（2）（i ）根据()P x μσ>-的数值判断出年收入的取值范围，从而可计算出最低年收入；（ii ）根据()2P x μσ≥-的数值判断出每个农民年收入不少于12.14千元的概率，然后根据二项分布的概率计算公式计算出“恰有k 个农民年收入不少于12.14”中k 的最大值即可.【详解】解：（1）120.04140.12160.28180.36200.10220.06240.0417.40x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元故估计50位农民的年平均收入x 为17.40千元； （2）由题意知()17.40,6.92X N ~ （i ）()10.68270.841422P x μσ>-=+≈， 所以17.40 2.6314.77μσ-=-=时，满足题意， 即最低年收入大约为14.77千元.（ii ）由()()0.954512.1420.50.97732P x P x μσ≥=≥-=+≈， 每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.9773， 记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为ξ， 则()1000,B P ξ，其中0.9773P =，于是恰好有k 个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为()()3310101kk kC p P k p ξ-=-=，从而由()()()()1001111P k k p P k k p ξξ=-⨯=>=-⨯-得1001k p <，而1001978.2773p =，所以，当0978k ≤≤时，()()1P k P k ξξ=-<=， 当9791000k ≤≤时，()()1P k P k ξξ=->=，由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978人.【点睛】本题考查频率分布直方图、正态分布、二项分布概率计算，属于综合题型，对于分析和数字计算的能力要求较高，难度较难.判断独立重复试验中概率的最值，可通过作商的方法进行判断.。