坐标系与参数方程 知识点(一)坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩g g 的作用下,点(,)P x y 对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ=≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ=≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或(2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=. 5.圆与直线一般极坐标方程（1）圆的极坐标方程若圆的圆心为 00(,)M ρθ，半径为r ，求圆的极坐标方程。
设(,)P ρθ为圆上任意一点，由余弦定理，得 PM 2 = OM 2 +OP 2 −2OM·OPcos ∠POM ， 则圆的极坐标方程是：()2220002cos r ρρρρθθ=+--（2）直线的极坐标方程若直线l 经过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α ，求直线l 的极坐标方程。
设直线l 上任意一点的坐标为P(ρ，θ)，由正弦定理，得：OP sin ∠OMP = OMsin ∠OPM整理得直线l 的极坐标方程为()()00sin sin ρθαρθα-=-6、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(>a ： ⑴a =ρ ⑵θρcos 2a = ⑶θρcos 2a -=⑷θρsin 2a = ⑸ θρsin 2a -= ⑹)cos(2ϕθρ-=a6、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴0ϕθ= ⑵cos a ρθ= ⑶cos a ρθ=- ⑷sin a ρθ= ⑸sin a ρθ=- ⑹)cos(ϕθρ-=aθρcos 2a =图2θρsin 2a =图4θρsin 2a -=M图5θρcos 2a -=a=ρ图1)cos(2ϕθρ-=a图6ϕθ=θρcos a=θρcos a -=图4a图5（二）、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设(,)M x y ，则cos ()sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数。
这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是0OM 转过的角度。
圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是222()()x a y b r -+-=，它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数。
4．椭圆的参数方程以坐标原点O 为中心，①焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22221(0),x y a b a b +=>>其参数方程为cos ()sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，其中参数ϕ称为离心角；②焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是22221(0),y x a b a b +=>>其参数方程为cos (),sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数其中参数ϕ仍为离心角，通常规定参数ϕ的范围为ϕ∈[0，2π）。
注：椭圆的参数方程中，参数ϕ的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角α区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2π的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。
但当02πα≤≤时，相应地也有02πϕ≤≤，在其他象限内类似。
5．双曲线的参数方程以坐标原点O 为中心，①焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为22221(0,0),x y a b a b-=>>其参数方程为sec ()tan x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，其中3[0,2),.22ππϕπϕϕ∈≠≠且 ②焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是22221(0,0),y x a b a b-=>>其参数方程为cot ((0,2).csc x b e y a ϕϕϕπϕπϕ=⎧∈≠⎨=⎩为参数，其中且 以上参数ϕ都是双曲线上任意一点的离心角。
6．抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线22(0)y px p =>的参数方程为22().2x pt t y pt⎧=⎨=⎩为参数7．直线的参数方程经过点000(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线l 的普通方程是00tan (),y y x x α-=-而过000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩()t 为参数。
注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩()t 为参数，其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任一点(,)M x y 为终点的有向线段0M M u u u u u u r的数量，当点M 在0M 上方时，t ＞0；当点M 在0M 下方时，t ＜0；当点M 与0M 重合时，t =0。
我们也可以把参数t 理解为以0M 为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 三）例题鉴赏例1（2012湖北）(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy 中，圆221:4C x y +=，圆222:(2)4C x y -+=。
(Ⅰ)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示)； (Ⅱ)求出12C C 与的公共弦的参数方程。
例2（坐标系与参数方程）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为3解析：化极坐标为直角坐标得直线2213,(1)1,2 3.2x x y =-+=圆由勾股定理可得相交弦长为 例3（陕西文17）直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B分别在曲线1C ：3cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）和曲线2C ：1ρ=上，则||AB 的最小值为 1 ．【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．【解】曲线1C 的方程是22(3)1x y -+=，曲线2C 的方程是221x y +=，两圆外离，所以||AB 的最小值2230111+-=．例4（浙江理科）已知直线:l ⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x ，t (为参数，α为l 的倾斜角，且πα<<0)与曲线⎩⎨⎧==θθsin cos 2:y x C θ(为参数)相交于A 、B 两点，点F 的坐标为)0,1( （1）求ABF ∆的周长； （2）若点)0,1(-E 恰为线段AB 的三等分点，求ABF ∆的面积。
