4_含量词命题的否定

1.4.2含有一个量词的命题的否定学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.知识点一全称命题与特称命题的否定思考1写出下列命题的否定：①所有的矩形都是平行四边形；②有些平行四边形是菱形.答案①并非所有的矩形都是平行四边形.②每一个平行四边形都不是菱形.思考2对①的否定能否写成：所有的矩形都不是平行四边形？答案不能.思考3对②的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形？答案不能.知识点二含有一个量词的命题p的否定真假性判断对“含有一个量词的命题p的否定”的真假判断一般有两种思路：一是直接判断¬p的真假，二是用p与¬p的真假性相反来判断.类型一全称命题的否定例1写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：任意n∈Z，则n∈Q；(2)p：等圆的面积相等，周长相等；(3)p：偶数的平方是正数.解(1)¬p：存在n0∈Z，使n0∉Q，这是假命题.(2)¬p：存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题.(3)¬p：存在偶数的平方不是正数，这是真命题.反思与感悟(1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定.(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”.跟踪训练1写出下列全称命题的否定：(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；(2)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；(3)p：数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；(4)p：可以被5整除的整数，末位是0.解(1)¬p：存在一个能被3整除的整数不是奇数.(2)¬p：∃x0∈Z，x20的个位数字等于3.(3)¬p：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数.(4)¬p：存在被5整除的整数，末位不是0.类型二特称命题的否定例2写出下列特称命题的否定：(1)p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(2)p：有的三角形是等边三角形；(3)p：有一个素数含三个正因数.解(1)¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0.(2)¬p：所有的三角形都不是等边三角形.(3)¬p：每一个素数都不含三个正因数.反思与感悟 与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到特称命题的否定. 跟踪训练2 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)至少有一个实数x 0，使得x 20＋2x 0＋5＝0； (2)存在一个平行四边形，它的对角线互相垂直； (3)存在一个三角形，它的内角和大于180°； (4)存在偶函数为单调函数.解 (1)命题的否定：对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0，是真命题.(2)命题的否定：对于任意的平行四边形，它的对角线都不互相垂直，是假命题. (3)命题的否定：对于任意的三角形，它的内角和小于或等于180°，是真命题. (4)命题的否定：所有的偶函数都不是单调函数，是真命题. 类型三 全称命题与特称命题的应用例3 (1)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋a ≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________. 答案 (0,1)解析 方法一 若命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋a ≤0是真命题，得Δ＝(2a )2－4a ≥0，即a (a －1)≥0, 若命题p 是假命题，则a (a －1)<0，解得0<a <1.方法二 依题意，命题¬p ：∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0是真命题，得Δ＝(2a )2－4a <0，即a (a －1)<0，解得0<a <1.(2)已知命题p (x )：sin x ＋cos x >m ，q (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果对∀x ∈R ，p (x )为假命题且q (x )为真命题，求实数m 的取值范围.解 由于命题p (x )：对∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 是假命题， 则¬p (x )：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0≤m 是真命题， 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]， 所以m ≥－ 2即可.由于q (x )：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0为真命题， 即对于∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立， 有Δ＝m 2－4<0，所以－2<m <2. 依题意，得－2≤m <2.所以实数m 的取值范围是{m |－2≤m <2}.反思与感悟 (1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决.(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.跟踪训练3已知命题p：“∃x0∈R，sin x0<m”，命题q：“∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立”，若p∧q是真命题，求实数m的取值范围.解由于p∧q是真命题，则p，q都是真命题.因为“∃x0∈R，sin x0<m”是真命题，所以m>－1.又因为“∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，所以Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2.综上所述，实数m的取值范围是(－1,2).1.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()A.¬p：∀x∈A,2x∉BB.¬p：∀x∉A,2x∉BC.¬p：∃x0∉A,2x0∈BD.¬p：∃x0∈A,2x0∉B答案D解析根据题意可知命题p：∀x∈A,2x∈B的否定是¬p：∃x0∈A,2x0∉B.2.设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则¬p为()A.∃x0∈R，x20＋1＞0B.∃x0∈R，x20＋1≤0C.∃x0∈R，x20＋1＜0D.∀x∈R，x2＋1≤0答案B解析命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，是一个全称命题.∴¬p：∃x0∈R，x20＋1≤0.3.下列命题的否定为假命题的是()A.∃x∈R，x2＋2x＋2≤0B.∀x∈R，lg x＜1C.所有能被3整除的整数都是奇数D.∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1解析对于选项A，因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以∃x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；对于选项B，因为当x＞10时，lg x＞1，所以∀x∈R，lg x＜1是假命题，故其否定为真命题；对于选项C，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；对于选项D，显然成立，因此其否定是假命题.4.“∃x0∈M，p(x0)”的否定为________________.答案∀x∈M，¬p(x)5.“至多有两个人”的否定为________________.答案至少有三个人解析“至多有两个人”含义是有0人或1人或2人，故“至多有两个人”的否定为“至少有三个人”.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题.(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.一、选择题1.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数答案D解析原命题为全称命题，其否定应为特称命题，且结论否定.2.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()A.∀x∈R，|x|>0B.∃x0∈R，|x0|>0C.∀x∈R，|x|≤0D.∃x0∈R，|x0|≤0解析由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.3.命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0成立”的否定是()A.存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0B.不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C.对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D.对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0答案D解析特称命题的否定是全称命题.4.已知命题“∀a、b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是()A.∀a、b∈R，如果ab<0，则a<0B.∀a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0C.∃a、b∈R，如果ab<0，则a<0D.∃a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0答案B解析条件ab>0的否定为ab≤0；结论a>0的否定为a≤0，故选B.5.下列命题错误的是()A.命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B.若p∧q为假命题，则p、q均为假命题C.命题p：存在x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则¬p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0D.“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件答案B解析由逆否命题“条件的否定作结论，结论的否定为条件”知A为真命题；p∧q为假命题时，p假或q假，故B错误；由“非”命题的定义知C正确；∵x>2时，x2－3x＋2>0成立，x2－3x＋2>0时，x<1或x>2，∴D正确.6.已知命题p：∃n∈N,2n>1 000，则¬p为()A.∀n∈N,2n≤1 000B.∀n∈N,2n>1 000C.∃n∈N,2n≤1 000D.∃n∈N,2n>1 000答案A解析特称命题的否定为全称命题，“>”的否定为“≤”.7.下列命题中是假命题的是()A.∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B.∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点C.∃α、β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD.∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 答案 D解析 ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1， ∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真； ∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞， ∴对∀a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解， 即f (x )有零点，故B 真； 当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真； 当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 为偶函数，故D 为假命题. 二、填空题8.命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是______________. 答案 任意x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5≠0解析 特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”. 9.命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________________________________________________________________________. 答案 过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内 解析 原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词.10.已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值范围是________________. 答案 m ≤－2或－1<m <2 解析 p ：m ≤－1，q ：－2<m <2， ∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2， 当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值范围是m ≤－2或－1<m <2.11.若“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0”为真命题，则实数a 的取值范围是________________. 答案 a >2或a <－2解析 由于∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0，又二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋1开口向上，故Δ＝a 2－4>0，所以a >2或a <－2. 三、解答题12.写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)被8整除的数能被4整除.解 (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0都有实数根”，其否定是¬p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实数根，因此¬p 是真命题. (2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题. (3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题. (4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题. 13.若“∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x 0＋3cos x 0<m ”为假命题，求实数m 的取值范围. 解 令f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，可知f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数， 在⎝⎛⎦⎤π6，π2上为减函数，由于f (0)＝3，f ⎝⎛⎭⎫π2＝1， 所以1≤f (x )≤2，由于“∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2， sin x 0＋3cos x 0<m ”为假命题，则其否定“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x ＋3cos x ≥m ”为真命题， 所以m ≤f (x )min ＝1，即m ≤1.。

精析含一个量词的命题的否定《简易逻辑》列入高中学习内容以后，不少学生对逻辑联结词非p，即命题p的否定的理解存在一些误区．而对含有一个量词的命题的否定又是全称量词与存在量词的重点内容，也是新课标高考的一个亮点.下面就含有一个量词的命题的否定进行精析.一、明确命题的构成我们现在所涉及的命题一般由四部分组成：一是被判断对象；二是被判断对象的结果(或性质)；三是修饰被判断对象的量词，分为两类：一类是全称量词，一般常用“一切”、“所有”、“每一个”、“任意一个”等词语表达，另一类是特称量词，一般常用“有些”、“存在”、“至少有一个”等词语表达；四是“判断词”，是联系被判断对象与结果(或性质)的肯定词或否定词，肯定词常用“是”、“有”等表示，否定词常用“不是”、“没有”等表示．如命题“至少有一个质数不是奇数”中，“质数”为被判断对象，“奇数”为结果(或性质)，“至少有一个”为量词，“不是”为否定词．二﹑掌握常见的关键词(量词与判断词)的否定形式命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”等即可.如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改在“不是”，将“不是”改成“是”等，而是要分清命题是全称命题，还是特称命题.三﹑掌握两种基本题型对全称命题和特称命题的否定，一般要对“量词”和“判断词”同时进行否定，全称与特称互为否定，肯定与否定互为否定．下面就全称命题与特称命题的否定以例作分析例1(2007年山东高考文理科)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1＞0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0分析：本题是一道对全称命题的否定，因此否定时既要对全称量词“任意”否定，又为对判断词“≤”进行否定，全称量词“任意”的否定为存在量词“存在”等，判断词“≤”的否定为“＞”，所以命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，x3－x2＋1＞0”，故选C.点拨：从本题的解答可以看出，对全称命题的否定，在否定判断词时，还要否定全称量词，变为特称命题.特别要注意的是，由于有的命题的全称量词往往可以省略不写，从而在作命题否定时易将全称命题只否定判断词，而不否定省略了的全称量词，如将命题p“实数的绝对值是正数”否定⌝p 写成“实数的绝对值不是正数”这就错了．很显然，这里的“p”与“⌝p ”都是假命题，与命题“⌝p”和命题“p”之间的真值关系相矛盾．究其原因，命题p为全称命题，省略了量词“所有”，正确的否定形式是“存在一个实数的绝对值不是正数”．事实上由于实数是一个全称概念，命题p应为“实数的绝对值（都）是正数”故其否定形式亦可写成“实数的绝对值不都是正数”．例2命题“原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称”的否定是( )A.原函数与反函数的图象关于直线y＝－x对称B.原函数不与反函数的图象关于直线y＝x对称C.存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y＝x对称D.存在原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称分析：此题实际上也是一道对全称命题的否定，因为原命题省略了全称量词“所有的”，同时命题中省略了判断词“是”，因此命题可改写“所有的原函数与反函数的图象是关于直线y＝x对称”，由此对全称量词“所有的”与判断词“是”进行否定即可得到原命题的否定：存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y＝x对称，故选C.点拨：解答本题的关键就是要找出命题中省略了的全称量词“所有的”与判断“是”.例3(2007年海南省调研文理科)已知特称命题p：∃x∈R，2x＋1≤0，则命题P的否定是（）A．∃x∈R，2x＋1＞0 B．∀x∈R，2x＋1＞0C．∃x∈R，2x＋1≥0 D．∀x∈R，2x＋1≥0分析：本题是一道对特称命题的否定，因此否定时既要对存在量词“∃”否定，又为对判断词“≤”进行否定，存在量词“∃”的否定为全称量词“∀”等，判断词“≤”的否定为“＞”，所以命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“∀x∈R，2x＋1＞0”，故选B.点拨：从本题的解答可以看出，对特称命题的否定，在否定判断词时，也要否定存在量词.如分析特称命题“有的三角形是直角三角形”的否定，是把判断词“是”，否定为“不是”，再把存在量词“有的”，否定为“所有的”，即为“所有的三角形是直角三角形”.例4命题p：“有一个二次函数的图象与y轴不相交”的否定是（）A．有一个二次函数的图象与y轴相交B．任意一个二次函数的图象与y轴相交C．任意一个二次函数的图象与y轴不相交D．存在一个二次函数的图象与y轴相交分析：本题是一道对特称命题的否定，命题中存在量词为“有一个”，判断词为“不”，对这两个肇事同时否定：“任意一个二次函数的图象与y轴相交”，故选B.点拨：在对命题进行否定时，要牢记：全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定是特称命题“∃x∈M，⌝p(x)”，特称命题“∃x∈M，p(x)”的否定是全称命题“∀x ∈M，⌝p(x)”，这可以用来检验对命题的否定是否解答正确．。

含有一个量词的命题的否定作者：曹胜才来源：《高中生学习·高二文综版》2015年第02期从命题形式上看，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，该内容常与命题的真假性判断结合考查. 对含有一个量词的命题的否定首先得弄清以下几点：（1）弄清命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提. （2）注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定. （3）“[p或q]”的否定为：“[¬ p]且[¬ q]”;“[p]且[q]”的否定为：“[¬ p]或[¬ q]”. （4）要判断“[¬ p]”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“[p]”的真假，因为[p]与[¬ p]的真假相反.含有一个量词的命题的否定例1 ;命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是（ ; ）A. 所有能被2整除的整数都是奇数B. 所有不能被2整除的整数都不是奇数C. 存在一个能被2整除的整数是奇数D. 存在一个不能被2整除的整数不是奇数解析 ;否定全称命题和特称命题时，一定要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词，二是要否定结论.答案 ;D例2 ;“[∃x∈A，x2-2x-3>0]”的否定为（ ; ）A. [∀x∈A，x2-2x-3<0]B. [∀x∉A，x2-2x-3≤0]C. [∀x∈A，x2-2x-3>0]D. [∀x∈A，x2-2x-3≤0]解析 ;特称命题的否定为全称命题，故“[∃x∈A，][x2-2x-3>0]”的否定为：“[∀x∈A，x2-2x][-3≤0]”.答案 ;D点拨 ;（1）对全（特）称命题进行否定的方法：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，并且改变量词或符号（全称量词[⇔]特称量词）;②找到[p（x）]并否定. （2）“否命题”与“命题的否定”的区别.“否命题”与“命题的否定”不是同一概念，否命题是对原命题“若[p]则[q]”的否定，既否定其条件，又否定其结论，它们之间没有真假关系. 而“命题[p]的否定”即“[¬p]”是否定命题中的结论，它们之间真假相反.如：例2中不要错选成B.与含一个量词的命题的否定有关的参数取值范围问题例3 ;已知命题“[∃x∈R，x2+2ax+1<0]”是假命题，则实数[a]的取值范围是（ ; ）A. [（-∞，-1）]B. [（1，+∞）]C. [（-∞，-1）⋃（1，+∞）]D. [-1，1]解析 ;由题意知，原命题的否定：[∀x∈R，x2+2ax+1][≥0]为真命题，即Δ[=4a2-4≤0]，[∴-1≤a≤1].答案 ;D例4 ;已知命题[p]：[∀x∈0，1，a≥ex]，命题[q]：“[∃x0∈R，x02+4x0+a=0]”，命题“[p∧q]”是假命题，则实数[a]的取值范围是（ ; ）A. [-∞，4]B. [（-∞，1）⋃（4，+∞）]C. [（-∞，e）⋃（4，+∞）]D. [1，+∞]解析 ;当[p]为真命题时，[a≥e].当[q]为真命题时，[x2+4x+a=0]有解，则[Δ=16-4a≥0，][∴a≤4].法一：[p∧q]的否定为真命题，即[¬ p∨¬q]为真命题，[∴a]的取值范围是[（-∞，e）⋃（4，+∞）].法二：若[p∧q]为真命题时，[e≤a≤4]，[∴]“[p∧q]”为假命题时，[a<e或a>4].点拨 ;（1）[p，q]为真命题时，分别求出相应参数的范围;（2）用补集思想，求出[¬p]，[¬q]对应的参数范围;（3）由复合命题真假转化为集合基本运算综合得参数范围.全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具备某一性质，无一例外，而特称命题中的存在量词却表明给定范围内的对象，有例外，两者正好构成了相反意义的表述，所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.常见量词的否定[词语＼&词语的否定＼&词语＼&词语的否定＼&等于＼&不等于＼&至多一个＼&至少两个＼&大于＼&不大于（即小于或等于）＼&至少一个＼&一个也没有＼&小于＼&不小于（即大于或等于）＼&任意＼&某个＼&是＼&不是＼&所有的＼&某些＼&都是＼&不都是（与“都不是”区别开）＼&一定＼&不一定＼&]练习1. 命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是（ ; ）A. 所有奇数的立方都不是奇数B. 不存在一个奇数，它的立方是偶数C. 存在一个奇数，它的立方是偶数D. 不存在一个奇数，它的立方是奇数2. 设[x∈Z]，集合[A]是奇数集，集合[B]是偶数集，若命题[p：∀x∈A，2x∈B]，则（ ; ）A. [¬ p：∀x∈A，2x∉B]B. [¬ p：∀x∉A，2x∉B]C. [¬ p：∃x∉A，2x∉B]D. [¬ p：∃x∈A，2x∉B]3. 在一次跳伞训练中，甲、已两位学员各跳一次.设命题[p]是“甲降落在指定范围”，[q]是“乙降落在指定范围”，则命题：“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ; ）A. [（¬p）∨（¬q）] ; ;B. [p∨（¬q）]C. [（¬p）∧（¬q）] ;D. [p∧q]4. 已知“命题[p：∃x∈R]，使得[ax2+2x+1<0]成立”为真命题，则实数[a]满足（ ; ）A. [0，1] ;B. [（-∞，1）]C. [1，+∞] ;D. [-∞，1]5. 已知[f（x）=3sinx-πx，]命题[p：∀x∈（0，π2），f（x）<0，]则（ ; ）A. [p]是真命题，[¬p：∀x∈（0，π2），f（x）>0]B. [p]是真命题，[¬p：∃x0∈（0，π2），f（x0）≥0]C. [p]是假命题，[¬p：∀x∈（0，π2），f（x）≥0]D. [p]是假命题，[¬p：∃x0∈（0，π2），f（x0）≥0]6. 已知命题[p1]存在[x∈R]，使得[x2+x+1<0]成立;[p2]对任意[x∈1，2]，[x2-1≥0.] 以下命题为真命题的是（ ; ）A. [¬p1∧¬p2] ;B. [p1∨¬p2]C. [¬p1∧p2] ; ;D. [p1∧p2]参考答案1. C ;全称命题的否定，改变量词为“存在一个”，然后否定结论即可.2. D ;全称命题的否定，注意符号变化，不要错选C.3. A ;复合命题的否定，“至少有一位学员没有降落在指定范围内”的否定是“都降落在指定范围”即“[p∧q]”的否定.4. B ;注意讨论，若[a=0]时，符合题意;若[a≠0]，则[△=4-4a>0]即[a<1].5. B ;[f（x）=3cosx-π<0]，[f（x）在（0，π2）]上是减函数，[f（x）<f（0）]，[而f（0）=0]，[∴]命题为真命题，又全称命题的否定是特称命题.6. ;C ;由题意知[p1]为假命题，[p2]为真命题.。

1.4.3含有一个量词的命题的否定【教学内容分析】“含有一个量词的命题的否定”选自数学人教A版选修2-1第一章第四节的内容，它包括两块内容：一是含有一个全称量词的命题的否定，二是含有一个存在量词的命题的否定。

本节课是学生在老师的带领下，通过探究理解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，并且会正确地对含有一个量词的命题进行否定。

在教学中使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力,通过学生的合作探究,培养培养他们的良好的思维品质。

【学情分析】本节内容是数学选修2-1第一章的最后一节内容,学习对象为高二年级学生，他们在前面已经学习了全称量词与存在量词的定义，以及否命题和一般命题的否定。

所以本节课在此基础上，也是学生对命题的否定的再认识，学生能够知道含有一个量词的命题的否定方法和前面学习的一般命题的否定方法有部分区别。

同时学好本节课也是为了让学生对否命题与命题的否定能够区分开。

【教学目标】1．知识与技能目标：理解全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；2．过程与方法目标：通过探究实例，能够归纳出含一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；3．情感态度价值观：通过本节课的学习，培养学生的辨析能力以及良好的思维品质。

【教学重难点】重点：理解全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定。

【设计思路】本节课是针对于高二年级的教学内容，“含有一个量词的命题的否定”即是含有全称量词或者存在量词的命题的否定。

学生通过探究实例，老师进行引导归纳出全称命题的否定变成了特称命题，在这一过程当中，量词进行改变，条件不变，结论进行否定。

其次学生通过类比全称命题的否定是特称命题，自行归纳得出特称命题的否定是全称命题，在这一过程当中，还是量词进行改变，条件不变，结论否定。

所以通过对比形式变化，可以得出：含有一个量词的命题的否定即是：量词改变，结论否定。

环节四全称量词命题和存在量词命题的否定◆教学目标1．通过对具体命题的分析，对它们的否定经历从文字叙述到符号表示，抽象出全称量词命题与存在量词命题的否定形式，并用文字与符号来表示，在这个过程中提升直观想象和数学抽象素养．2．通过对具体问题的分析解决，掌握全称量词命题、存在量词命题否定的书写方法及其真假的判断方法，在这个过程提升逻辑推理和数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：使用存在量词对全称量词命题进行否定，使用全称量词对存在量词命题进行否定．教学难点：正确地写出含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题的否定．◆课前准备PPT课件◆教学过程（一）确定方案问题1：前面我们学习了全称量词和存在量词以及全称量词命题和存在量词命题的真假判断，类比它们的学习过程，你认为对于全称量词命题和存在量词命题的否定，我们该如何展开研究呢？师生活动：学生独立思考，写出研究过程，展示交流，师生共同补充．预设的答案：命题的否定→具体例子（全称量词命题和存在量词命题的否定）→发现规律，形成方法→巩固练习．设计意图：通过类比所学知识，猜想新知识的研究过程．首先让学生对本节的内容有一个初步的整体认识和把握，有利于提高学生研究问题的能力和抽象概括能力．（二）问题导入问题2：阅读教科书，完成下列问题：（1）请举例说明，对于一个命题，什么是它的否定？一个命题和它的否定的真假有什么关系？（2）请分别写出下列命题的否定，并判断它们的真假．①集合}2|{>=x x A 是集合}3|{>=x x B 的真子集；②方程022=--x x 有实根．师生活动：学生阅读教科书，独立思考，回答问题，互相纠正，或者老师纠正．预设的答案：一个命题与它的否定在内容上是完全对立的．两者不可能同时为真命题，也不可能同时为假命题，只能一真一假．命题①的的否定：集合}2|{>=x x A 不是集合}3|{>=x x B 的真子集；命题①为假命题，命题①的否定为真命题．命题②的否定：方程022=--x x 没有实根．命题②为真命题，命题②的否定为假命题．设计意图：命题的否定对学生来说是一个新概念，首先通过举例让学生认识它，为后续学习做好铺垫．（三）新知探究1．发现规律问题3：写出命题的否定：（1）所有的素数都是奇数；（2）每一个矩形都是平行四边形；（3）0||,≥+∈∀x x R x ．师生活动：学生独立思考，尝试写出命题（1）的否定，展示结果．追问1：大家给出的命题（1）的否定有如下结果，你认为哪些正确？哪些错误？并结合原命题和它的否定的关系，阐述你的理由．1）所有的素数都不是奇数；2）所有的素数不都是奇数；3）并非所有的素数都是奇数．师生活动：小组讨论，展示交流，互相更正．预设的答案：1）不正确，2）3）正确．素数按照其中的数是不是奇数分类，可分三类：①都是奇数；②有些不是奇数，有些是奇数；③都不是奇数．命题“所有的素数都是奇数”，包含第①类．因为一个命题与它的否定在内容上是完全对立的，所以该命题的否定应该包括两种情形：第②和③类．1）只包括第③类，所以不正确；2）3）都包括第②和③类，所以正确．我们也可以从集合的角度理解这个问题．如果用A 表示所有素数的集合，B 表示所有奇数的集合，那么命题“所有的素数都是奇数”可以表示为“B A ⊆”，那么它的否定应该是“A B ”．而命题“所有的素数都不是奇数”可以表示为“B C A R ⊆”，它与“AB ”不等价，只是“A B ”的一种特殊情形．“所有的素数不都是奇数”、“并非所有的素数都是奇数”可以表示为“∅≠B C A R ”，它与“AB ”等价，所以2）3）正确． 另外还可以从原命题和它的否定的真假关系对结果进行初步判断．一个命题与它的否定不可能同时为真命题，也不可能同时为假命题，只能一真一假．命题“所有的素数都是奇数”是假命题．命题“所有的素数都不是奇数”也是假命题，所以它一定不是命题（1）的否定；命题“所有的素数不都是奇数”、“并非所有的素数都是奇数”都是真命题，所以它们有可能是命题（1）的否定．追问2：命题“所有的素数不都是奇数”“并非所有的素数都是奇数”还能怎么表述？ 师生活动：学生与同桌交流，回答问题，老师帮助修正．预设的答案：存在一个素数，它不是奇数．设计意图：正确写出含有一个量词的命题的否定是本节课的难点，对于第一个全称量词命题的否定的探究，这里没有直接给出命题的否定的最终表述形式，而是根据全称量词的含义，直接对原命题进行否定，然后从多个角度对不同的结果进行辨析，真正理解如何对全称量词命题进行否定．最后，因为直接否定的表述不易被理解，所以将其等价转化为存在量词命题，让表述更清晰易懂．追问3：类比命题（1），你能写出命题（2）和（3）的否定吗？师生活动：学生独立完成，展示交流，互相纠正．预设的答案：命题（2）的否定：并非每一个矩形都是平行四边形．也就是说，存在一个矩形，不是平行四边形．命题（3）的否定：并非0||,≥+∈∀x x R x ．也就是说，0||,<+∈∃x x R x ．追问4：以上全称量词命题的否定与它们的原命题在形式上有什么变化？你能用符号语言表示命题“)(,x p M x ∈∀”的否定吗？师生活动：学生独立完成，讨论交流，展示纠正．预设的答案：全称量词命题的否定是一个存在量词命题．命题“)(,x p M x ∈∀”的否定命题为“不成立)(,x p M x ∈∃”，记为“)(,x p M x ⌝∈∃”． 追问5：你能梳理全称量词命题的否定的探究过程吗？请写出来．师生活动：以小组为单位完成，展示交流．预设的答案：对命题直接否定（直接在命题前面添加否定词）→等价转化为存在量词命题→用符号语言表达规律．设计意图：借助具体实例，让学生进一步理解全称量词和存在量词的含义，学会如何对全称量词命题进行否定，进而发现其中的规律，并用符号语言进行表示．整个过程是一个再发现的过程，为接下来探究存在量词命题的否定奠定基础．2．应用规律例3 写出下列命题的否定：（1）所有能被3整除的整数都是奇数；（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；（3）对任意Z x ∈，2x 的个位数字不等于3．追问：命题“)(,x p M x ∈∀”的否定命题是什么？师生活动：学生独立完成，要求写出结果，然后展示交流，老师帮助学生规范表达．预设的答案：（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的数不是奇数．（2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上．（3）该命题的否定：Z x ∈∃，2x 的个位数字等于3．设计意图：巩固全称量词命题的否定，进一步理解全称量词和存在量词的含义．3．类比探究问题4：类比全称量词命题的否定，探究如何用符号语言表示命题“)(,x p M x ∈∃”的否定？完成对下列命题的否定，并由此探究存在量词命题的否定的一般规律和形式：：（1）存在一个实数的绝对值是正数；（2）有些平行四边形是菱形；（3）032,2=+-∈∃x x R x ．师生活动：学生先独立思考，然后以小组为单位，讨论交流，最后展示本组的研究过程及结果，各组之间互相补充纠正．预设的答案：命题（1）的否定：不存在一个实数的绝对值是正数．也就是说：任意一个实数的绝对值都不是正数．也就是说：任意一个实数的绝对值都小于或等于0．也就是说：0||,≤∈∀x R x ．命题（2）的否定：每一个平行四边形都不是菱形．命题（3）的否定：032,2≠+-∈∀x x R x ．综上，存在量词命题的否定是一个全称量词命题．命题“)(,x p M x ∈∃”的否定命题为“)(,x p M x ⌝∈∀”．设计意图：经过探究全称量词命题的否定，学生有了一定的探究经验，可以类比完成存在量词命题的否定的探究，同时能提高学生的研究问题的能力、合作学习的能力．4．应用规律例4 写出下列命题的否定：（1）02,≤+∈∃x R x ；（2）有的三角形是等边三角形；（3）有一个偶数是素数．追问：求解的依据是存在量词命题的否定，那么命题“)(,x p M x ∈∃”的否定命题是什么？师生活动：学生独立完成，要求写出结果，然后展示交流，老师帮助学生规范表达． 预设的答案：（1）该命题的否定：02,>+∈∀x R x ．（2）该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形．（3）该命题的否定：所有偶数都不是素数．设计意图：巩固存在量词命题的否定，进一步理解全称量词和存在量词的含义．5．综合应用例5 写出下列两个命题的否定，并判断它们的真假：（1）任意两个等边三角形都相似；（2）01,2=++∈∃x x R x ．追问：如何对全称量词命题和存在量词命题进行否定？判断它们真假的方法是什么？ 师生活动：学生独立完成，要求写出结果，然后展示交流，老师帮助学生规范表达． 预设的答案：总之，全称量词命题、存在量词命题的否定要注意两个变、一个不变．“∀”与“∃”互变，结论“p ”变为“p ⌝”，条件中的范围不变．（1）该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似．因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似．因此这是一个假命题．（2）该命题的否定：01,2≠++∈∀x x R x ．因为对任意R x ∈，043)21(122>+-=+-x x x ，所以这是一个真命题． 设计意图：进一步巩固含有一个量词的命题的否定以及它们的真假判断方法．（四）归纳小结问题5：本节课我们学习了全称量词命题和存在量词命题的否定，它们的符号表示分别是什么？回顾本节学习过程，与你在问题1中设计的研究过程和思路是否一致？总之，全称量词命题、存在量词命题的否定要注意两个变、一个不变．“∀”与“∃”⌝”，条件中的范围不变．互变，结论“p”变为“p研究思路体现了研究一个规律或者方法的基本路径：具体例子→形成规律或者方法→表示→巩固．设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生对全称量词、存在量词所有相关内容有一个整体的认知，并进一步总结它们的研究思路．。

认识数学中『命题的否定』数学是一门逻辑性很强的学科，学习数学时处处涉及命题之间的逻辑的关系和推理论证。

人民教必修5中编排了“简易逻辑”内容，介绍一些简单而又实用的逻辑知识，目的是让学生弄清命题之间的逻辑关系，自觉地使用逻辑规则，避免一些易犯的错误，从而增强判断是非能力和推理能力，提高数学思维能力。

但在教学过程中发现学生对命题的否定难掌握，为此下面谈谈如何来构造比较合理的命题的否定，供师生们参考。

首先我们要理解好命题否定“非”的认识。

“非”命题是对原命题结论的否定。

一个命题p经过使用逻辑联结词“非”，就构成一个复合命题“非p”（记作“┓P”）称为命题的否定。

“非P”叫做命题P的非命题，也叫做命题P的否定。

“非P”形式的复合命题的真值与原命题P的真值为一真一假，一假一真，构成一对矛盾命题。

但“非P”绝不是“是”与“不是”的简单演译。

《简易逻辑》一节中涉及到命题的否定无外乎下面几种类型：单称命题的否定即简单命题的否定，存在性命题的否定，全称性命题的否定，复合命题“P且q”、“P或q”的否定。

下面一一试述：1简单命题的否定在逻辑联结词中的最简单命题形式是“P是q”它的否定是“P不是q”或“并非P是q”。

其中P是一个特定对象。

例1写出下列命题的否定。

（1）是有理数。

（2）菱形的对角线互相垂直。

（3）N{x R︱x＞–2}.（4）方程=1没有实数根。

解:（1）的否定：不是有理数。

或者是并非是有理数。

（2）的否定：菱形的对角线不互相垂直。

（3）的否定：N{x R︱x＞–2}。

（4）的否定：方程=1有x≠3的实数根。

2复合命题“P且q”；“P或q”形式的否定。

给定命题P、q，用联结词“且”来构成的复合命题“P且q”叫做命题P、q的合取命题（也叫联言命题）。

记作P q.用联结词“或”来构成的复合命题“P 或q”叫做命题P、q的析取命题（也叫选言命题）。

记作P q。

它的否定可以通过真值表来：(“1”表示真，“0”表示假)从表可知：┓(P q)与┓P┓q的真值相同；┓(P q)与┓P┓q的真值相同，故它们分别是等价命题，因而我们认为“P且q“的否定为：“非P或非q”；“P或q”的否定为“非P且非q”。