圆的分类讨论例题及习题
圆中的分类讨论题------之两解情况
一、根据点与圆的位置分类
例1、点P 是圆0所在平面上一定点，点 P 到圆上的最大距离和最短距离分别为8和2, 则该圆的半径为 ___________________ 。
解：过点P 和圆心0作直线分别与圆0相交于A 、B 两点。PA 、 PB 分别表示圆上各点到点 P
的最长距离和最短距离。
（1）当点P 在圆内时，如图1所示，直径
（2）当点P 在圆外时，如图2所示，直径--1 - :
H .
所以，圆0的直径为2或6。
练习1:若。0所在平面内一点P 到。0上的点的最大距离为a ,最 小距离为b ，则此圆的半径为（
）
2: P 在。0内，距圆心0的距离为4,。0半径长为5,经过P 点， 有多
少条？
解：过P 点的弦长为整数的最短弦长是 6cm （该弦垂直于0P ，等于5与4的平方和的平方 根的
2倍）；最长的是10cm （过0、P 的直径）；其间弦长为整数的长度还有 7、8、9cm ,所以共 有8条（其中的7、8、9各有两条，以0P 为对称轴）。
3:00的半径为2.5，动点P 到定点0的距离为2,动点Q 到P 的点的距离为1,则点P 、 Q 与O 0
有何位置关系？
二、弦与弦的位置关系不唯一，需要分类讨论
例 1、圆 0 的直径为 10cm ,弦 AB//CD , AB=6cm , CD = 8cm ,求 AB 和CD 的距离。
解：（1）当AB 、CD 在圆心的同侧时，如图，过点 0作0M_AB 交 AB 于点M ，交CD
于N ，连结OB 、0D ,得Rt 0MB , Rt 0ND ，然后 由勾股定理求0M = 4cm, 0N = 3cm ，故 AB 和 CD 的距离为 1cm 。
（2）当AB 、CD 在圆心的异侧时，如图9,仍可求得0M = 4cm, ON = 3cm 故AB 和
CD 的距离为7cm 。
所以AB 和CD 的距离为1cm 和7cm 。
例2、已知弓形的弦长为8cm ,所在圆的半径为5cm ,则弓形的高为多少？ （ 2或8cm ）
k _________ 止 ______________ ________ L
A
P . 定点 交于。O 的弦为整数的
B
M
D
M
A
N
例3、已知：如图，AB是O 0的直径，AC是O 0的弦, AB=2，/ BAC=30 •在图中作弦AD，使AD=1，并求 / CAD的度数.
解：连接BC, T AB 是O 0 的直径，•••/ ACB=90 ° ,
vZ BAC=30°,:. BC=1/2AB=1 , / B=60°
以A圆心BC长为半径画弧可得点D，再连接AD即可；
v AD=BC , 所以弧BCE=弧ADC /-Z DAB= Z B=60°, /-Z DAC=60 ° -30°
=30 ° ;
同理可得：Z D' AC=60 ° +30° =90°;综上所述：Z CAD的度数为30°或90°
例4、油桶问题：一个横截面为圆的圆柱形油桶，放倒后油面为60cm,其半径为50cm,求
油面的最大深度？两个答案：要考虑油面是否高于半圆，一个是低于半圆，一个是高于半圆。
例5、拱桥问题：某地有一座圆弧形拱桥圆心为0,桥下水面宽度为7.2m,过O作0C丄AB于D，交圆弧于C , CD=2.4m，现有一艘宽3m,船舱顶部为方形并高出水面AB=2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
三、点在直径上的位置不唯一，需要分类讨论
例1、已知。0的直径AB=10cm，弦CD丄AB于点于点M。若0M : 0A=3 : 5,则弦AC 的长为多少？
四、点与弦的相对位置时，需要分类讨论
例1：O O是厶ABC的外接圆，OD丄BC于D,且Z BOD = 48°，则Z BAC = ______________ 。
例2:在。O中，AB为直径，CD为弦，AB丄CD , P为圆周上与C、D不重合的任意一点。判断COB CPD
五、三角形与圆心的位置关系
例1:已知心ABC内接于圆O, N OBC=35。，则N A的度数为______________ 。
分析：因点A的位置不确定。所以点A和圆心O可能在BC的同侧，也可能在BC的异侧。也可分析为圆心在厶ABC的内部和外部两种情况。
解：（1）当点A和圆心O在BC的同侧时，如图3,
OBC=35 BOC=110 BAC =55
A
B ------------- C
图3 图4
（2）当点A和圆心O在BC的异侧时，如图4,
匸NOBC = 35= NBOC =110八.NBPC =55八.±BAC = 125* 所以乂A 的度数是55” 或 125。
练习：1、已知圆内接 ABC中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为6cm求腰长AB。（两种情况如图5、图6）
例 2、\ ABC 内接于O O , AOC =1000,则 ACB =
例3、厶ABC 是半径为2cm 的园内接三角形，若 BC=23cm ,则/ A 的度数为
例4、已知△ ABC 内接于O O , AB=AC , OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ,求AB 的 长。 六、角与圆心的位置关系
在圆周角定理的证明中，根据圆心与圆周角的位置关
系分为三类加以讨论： (1)圆心在角的一边上；(2)圆心
在角的内部；(3)圆心在角的外部。其中，第一种情况是 最特殊最容易证明的情况，而其余两种都是转化为第一种 情况加以证明的。通过这三种情况的证明概括得出一般性 结论。
例1、在半径为1的O O 中，弦AB 、AC 的长分别为、• 3和2，则/ BAC 的度数是 分析：角与圆心的位置关系为圆心在角内部和外部两种情况。 解：如图7,当圆心在/ BAC 内部时，连接AO 并延长交O O 于E 1
在Rt △ ABE 中，由勾股定理得：BE=1=」AE ,所以/ BAE = 30 2 同理，在 Rt △ CAE 中，EC = AC , 所以/ EAC = 45°, / BAC =30 45 =75
当圆心O 在/ BAC 的外部时（/ BAC'）,由轴对称性可知: / BAC' =45 -30 =15 所以/ BAC 为 75° 或 15°
七、弦所对的圆周角有两种情况
例1:半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为.3，那么这条弦所对的圆周角的度数等于 分析：弦所对的圆周角有两种情况：
(1) 弦所对的圆周角的顶点在优弧上； (2) 弦所对的圆周角的顶点在劣弧上。 解：故应填60°或120°。
例2、圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为( )。
A.30。或 60°
B.60°
C.150°
D.30° 或 150°
练习：一条弦分圆周为3： 5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为
C
C
C
