上海市南汇中学11-12学年高二下学期期中考试数学试题

上海市浦东新区高二第二学期期中数学试卷一、填空题（1-6题，每题3分；7-12题，每题4分）。

1. 过点)5,3(P ，且与向量)2,4(=d 平行的直线l 的点方向式方程为 24= 。

2. 直线023=++y x 的倾斜角为___________ 3arctan -π3. 直线0143=+-y x 与0743=+-y x 的距离为 56。

4.直线1y x =+被曲线2112y x =-截得的线段AB 的长为_____________ 5. 直线21:60l x m y ++=与2:(2)320l m x my m -++=平行，求实数m 的值___0或1-6.已知方程22123x y k k+=-+表示椭圆，求实数k 的取值范围_32m -<<且12≠- 7．过点)3,1(-且与直线013=+-y x 的夹角为6π的直线方程为04301=+-=+y x x 或8．已知一圆的圆心坐标为)1,2(-C ，且被直线01:=--y x l 截得的弦长为22，则此圆的方程22(2)(1)4x y -++= 。

9．若椭圆)0(14422>=++k ky x 的两焦点和两顶点构成一个正方形，则=k 4 。

10．已知点)3,2(-A 、)2,3(B --，若直线l 过点)1,1(P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的 取值范围_____4-≤k 或43≥k11.已知关于x 0x m +=有两个不等实数根，则实数m 的取值范围1m ≤-12.设AB 是椭圆221164x y +=的长轴，若把AB 分成10等分，依次过每个分点作AB 的垂线，交椭圆的上半部分于129P P P 、、。

1F 为椭圆的左焦点，则11112FA F P F P +++191F P FB ++的值___________。

44 二、选择题（每题4分）。

13. 若点P 的坐标为(,)a b ，曲线C 的方程为(,)0F x y =，则“(,)0F a b =”是“点P 在曲线C 上”的____________ （ C ）()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件 ()D 既非充分又非必要条件14．椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是 （ B ）（A ）192522=+y x （B ）125922=+y x 或192522=+y x（C ）125922=+y x（D ）1251622=+y x 或191622=+y x15. 圆上的点到直线043=+y x 的距离的最大值是 （ C ）)(A53 B)(51)(C 552+ )(D 552-16. 已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线 必经过椭圆的另一个焦点. 今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的两个焦点， 长轴长为a 2，焦距为2c. 当静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线击出， 经椭圆壁反弹后再回到点A 时，小球经过的路程是 （ D ） （A ）a 4 （B ）)(2c a - (C) )(2c a + （D ）以上三种情况都有可能三、 解答题（共42分）。

上海市南汇中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题一、填空题1．已知A ＝{x |2x ≤1}，B ＝{﹣1，0，1}，则A ∩B ＝.2．若()34log log 1x =，则x =．3．已知函数32()31f x x ax x =+++，若3x =-是函数()f x 的驻点，则实数=a 4．随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，若(2)0.023P ξ>=，则(22)P ξ-≤≤=．5．直线1x =与直线10x +=的夹角大小为．6．已知x ､y +∈R ，且123y x +=，则y x的最大值为 7．设甲、乙两个地区爆发了某种流行病，且两个地区感染此病的比例分别为 13、 14，若从这两个地区中任选一个地区选择一个人，则此人感染此疾病的概率是． 8．设'0()f x 表示()f x 在0x x =处的导数值， 已知'2()2(3)22ln f x f x x x =-+，则'(3)f =9．设随机变量X 服从二项分布1(),3X B n,:若随机变量X 的方差4[]3D X =，则(2)P X == 10．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x (每分钟鸣叫的次数)与气温y (单位：℃ )存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y 关于x 的线性回归方程0.25y x k =+．则当蟋蟀每分钟鸣叫62次时，该地当时的气温预报值为．11．甲乙丙丁四名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派一名医生，A 表示事件“医生甲派往①村庄”；B 表示事件“医生乙派往①村庄”；C 表示事件“医生乙派往②村庄”， 则下列说法①事件A 与B 相互独立； ②事件A 与C 相互独立； ③()5|12P B A =；④()5|12P C A =，其中错误的个数是个． 12．已知点M 在抛物线2Γ:4x y =上运动，过点M 的两直线12,l l 与圆22:(3)4C x y +-=相切，切点分别为,A B ，当AB MC ⋅取最小值时，直线AB 的方程为.二、单选题13．已知0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ）A ．11a b <B ．2ab b <C ．b a a b >D ．1a b b+> 14．已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．615．某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是( )A ．2B ．3C ．4D ．516．设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题17．已知不等式02x x >+的解集为A ，不等式2221x x +-≤的解集为B ．(1)求A∩B ．(2)若不等式220x x m --<在(0,1]x ∈上有解，求实数m 的取值范围．18．已知函数2()ln f x x x =+(1)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)求函数()()3h x f x x =-的单调区间．19．某汽车生产企业对其生产的四款新能源汽车进行市场调研，从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分，每款车都有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，各评分的相应人数统计结果如下表所示．(1)求这四款车得分的平均数．(2)约定当得分不小于4时，认为该款车型性能优秀，否则认为性能一般，根据上述样本数据，完成以下2×2列联表，取显著性水平0.05α=，能否认为汽车的性能与款式有关？说明理由．(3)为进一步提升产品品质，现从样本评分不大于2的基础版车主中，随机抽取3人征求意见，设随机变量X 表示其中基础版1车主的人数，求X 的分布和期望．附： 22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++；2( 6.635)0.01P χ≥≈；222( 5.024)0.025,( 3.841)0.05,( 2.706)0.1.P P P χχχ≥≈≥≈≥≈20．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>点()3,1-在双曲线C 上．过C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A 、B 两点．(1)求双曲线C 的方程．(2)若()2,0M -，试问：是否存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上？若存在出直线l 的方程；若不存在，说明理由．(3)点()4,2P -，直线AP 交直线2x =-于点Q ．设直线QA 、QB 的斜率分别1k 、2k ，求证：12k k -为定值．21．已知函数()(1)e 1,[0,1]x f x x x =-+∈.(1)求证：()0f x ≥.(2)若e 1x a b x-<<对任意(0,1)x ∈恒成立，求b a -的最小值. (3)求证：()f x 的图象恒在直线12y x =-上方.。

卜人入州八九几市潮王学校南汇2021年高二数学期中考试试卷〔90分钟完卷，总分值一、填空题〔每一小题3分，一共36分〕：1．3501x =-，那么x 等于2．(3,4)m =-，那么与m 同向的单位向量0m 为3．设直线l 过点P(1,1)，又l 的一个法向量(1,2)n=-，那么直线l 的方程为 4．假设(8,)(2,4)m a n a ==，，且n m //，那么a 等于5．设点P 到点)0,4(A 的间隔等于它到y 轴的间隔，那么点P 的轨迹方程是6．3=a ，7=b ，6=+b a ，那么a 与b的夹角为7．经过直线1l ：052=-+y x 与2l ：0323=+-y x 的交点且垂直于直线3l ：043=+-y x 的直线方程为8．设21P P 、两点的坐标分别是)6,1(--、(5,0)，P 在线段12P P 上，使122PP PP =，那么位置向量OP 的坐标为9．假设点P 〔1，1〕到直线10ax y -+=的间隔为12，那么a = 10．假设三条直线1l ：44=+y x ，2l ：0=+y mx ，3l ：432=-my x 不能构成三角形，那么m 的值可以是〔只需写出一个答案，不必写出所有结果〕11．假设将直线01=+-y x 沿向量(3,4)a =-的方向平行挪动5个单位后，得到直线l ，那么直线l 的方程为 12．假设集合{}{}0),(2)2(),(=-=+-==y x y x Q x a y y x P ，满足Q P ⋂为单元素集合，那么a 的取值范围是二、选择题〔每一小题3分，一共12分〕：13．向量b a 、为非零向量，且不在同一直线上，0)()(=-⋅+b a b a，那么以下成立的是〔〕(A)b a=(B)a b =-(C)a b =(D)a b =- 14．在以下各对方程中，表示同一曲线的一对方程是---------------------------〔〕(A)x y =与33x y =(B)xy =与2x y = (C)022=+y x 与0=xy (D)2lg x y =与x y lg 2=15．某人买8支单价为元的红笔和10支单价为0.8元的蓝笔，设数量向量为〔8，10〕，单价向量为〔，0.8〕，那么此人一共花去的费用是以下运算------------------〔〕〔A 〕向量的加法〔B 〕向量的减法〔C 〕向量的数量积〔D 〕实数与向量的积16．直线320x y m -+=和2(1)3230m x y m +++-=的位置关系是------------〔〕 〔A 〕平行〔B 〕重合〔C 〕相交但不可能垂直〔D 〕相交但可能垂直三、解答题〔6+8+8+8+10+12分，一共52分〕：17．(3,4)a =，向量AB 与a 反向，且10AB =，假设向量(1,3)OA =-，求向量OB 坐标18．一条直线经过点P 〔2，3〕，入射到直线01=-+y x 上，反射后通过点Q 〔3，2〕，求入射光线所在直线方程19．点C B A 、、坐标分别为)5,2(、)0,1(、)1,1(-，设a CA b CB ==，，〔1〕求ACB ∠的大小；〔2〕假设向量b m a +与向量b a-垂直，求m 的值20．向量(,0)(1,)a x b y ==，，满足3a b +与3a b -互相垂直〔1〕求点(,)P x y 的轨迹C 的方程；〔2〕假设过点(0,1)A -的直线l 与上述轨迹C 有两个不同的交点，求直线l 斜率k 的取值范围21．某公司为帮助尚有2万元无息贷款没有归还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建为经营状况良好的某种消费品专卖店并约定用该店经营的利润逐步归还债务〔不计息〕。

上海高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·静海月考) 命题“ ”的否定是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二上·青岛期中) 直线的倾斜角等于（）A .B .C .D .3. （2分）甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85建立的回归模型拟合效果最差的同学是（）A . 甲B . 乙D . 丁4. （2分）“x=0”是“x=0”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件5. （2分）(2017·合肥模拟) 如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高一上·林芝期末) 圆与圆的位置关系为（）A . 相离B . 相交C . 外切7. （2分）若则（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二上·正定期末) 已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（）A . 求数列的前10项和（n∈N*）B . 求数列的前10项和（n∈N*）C . 求数列的前11项和（n∈N*）D . 求数列的前11项和（n∈N*）9. （2分）离心率为的椭圆与离心率为的双曲线有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列，则（）A .B .C .D .10. （2分） (2015高二上·朝阳期末) 若由方程x2﹣y2=0和x2+（y﹣b）2=2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数b的取值范围是（）A . 或B . b≥2或b≤﹣2C . ﹣2≤b≤2D .11. （2分）(2018·黄山模拟) 我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有架“歼—”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为（）A .B .C .D .12. （2分）如图，是直三棱柱，为直角，点、分别是的中点，若，则与所成角的余弦值是（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·阳高期末) 若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的3倍，则 ________．14. （1分）(2016·绵阳模拟) 经过双曲线﹣ =1（a＞b＞0）的右焦点为F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相较于M，N两点，若O为坐标原点，△OMN的面积是 a2 ，则该双曲线的离心率是________．15. （1分） (2015高二下·宜昌期中) 在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则△PAB的面积大于等于的概率是________．16. （1分）(2019·广州模拟) 有一个底面半径为，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则的最大值为________.三、解答题： (共6题；共45分)17. （5分）已知命题方程有两个不等的负根，命题方程无实根，若为真，为假，求的取值范围.18. （10分）已知过原点O的圆x2+y2﹣2ax=0又过点（4，2），（1）求圆的方程，（2） A为圆上动点，求弦OA中点M的轨迹方程．19. （10分）(2017·诸城模拟) 如图，在几何体ABCDQP中，AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，CD=AD=AQ=PQ= AB．（1）证明：平面APD⊥平面BDP；（2）求二面角A﹣BP﹣C的正弦值．20. （5分）(2017·成安模拟) 某超市从2017年1月甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为S12与S22 ，试比较S12与S22的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的分布列和数学期望．21. （10分） (2019高二上·龙江月考) 椭圆的两个焦点的坐标分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆经过点（，﹣）（1）求椭圆标准方程．（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率．22. （5分）过原点作直线l和抛物线y=x2﹣4x+6交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10、答案：略11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共45分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。

上海南汇中学2011学年第二学期期中考试高二数学满分：100分 完成时间：90分钟一、填空题（每小题3分，共36分）1、直线013=+-y x 的倾斜角是 .2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是(0,2)，则椭圆的标准方程为____________.3、经过点(1,0)A 且与直线10x y ++=平行的直线l 的方程为 _.4、双曲线22149x y -=的虚轴长是 _. 5、已知直线220310x y x y +-=-+=和的夹角是 _. 6、直线1x y +=被圆221x y +=所截得的弦长等于 _.7、已知方程221104x y k k -=--表示双曲线，则实数k 的取值范围为 _. 8、过点(1,2)且与圆221x y +=相切的直线的方程是 _.9、已知双曲线2214y x -=的两个焦点分别为1F 、2F ,P 为双曲线上一点，且122F PF π∠=,则12F PF ∆的面积是 .10、设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若点(1,2)A ， ABC ∆的重心与抛物线的焦点F 重合，则BC 边所在直线方程为 .11、若方程0x k +=只有一个解，则实数k 的取值范围是 _. 12、下列五个命题：①直线l 的斜率[1,1]k ∈-，则直线l 的倾斜角的范围是[,]44ππα∈-； ②直线:1l y kx =+与过(1,5)A -，(4,2)B -两点的直线相交，则4k ≤-或34k ≥-；③如果实数,x y 满足方程22(2)3x y -+=，那么y x④直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是1m ≥； ⑤方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是41<m 或1>m ； 正确的是__________ _.二、选择题（每小题3分，共12分）13、直线320x y m ++=与直线2310x y +-=的位置关系是…………………………（ ） （A ）相交 （B ）平行 （C ）重合 （D ）由m 决定14、若椭圆14222=+a y x 与双曲线12222=-y ax 有相同的焦点，则实数a 为 …………（ ） （A ） 1 （B ） 1- （C ） 1± （D ） 不确定15、已知抛物线x y C =2:与直线1:+=kx y l ，“0≠k ”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的………………………………………………………………………………………（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 16、已知曲线C ：22||||1x x y y a b-=，下列叙述中错误．．的是………………………………（ ） （A ）垂直于x 轴的直线与曲线C 只有一个交点（B ）直线y kx m =+（,k m ∈R ）与曲线C 最多有三个交点 （C ）曲线C 关于直线y x =-对称（D ）若111(,)P x y ，222(,)P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x ->-三、解答题（第17、18题各8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分） 17、已知△ABC 的三个顶点是(3,4)A -、(0,3)B 、(6,0)C -，求 （1） BC 边所在直线的一般式方程；(4分)（2） BC 边上的高AD 所在直线的一般式方程. (4分)18、求经过(3,0)A -,且与圆22(3)64x y -+=内切的圆的圆心M 的轨迹方程. (8分)19、已知双曲线1C ：2214y x -=（1）求与双曲线1C 有相同的焦点，且过点P 的双曲线2C 的标准方程；（5分）（2）直线l ：y x m =+分别交双曲线1C 的两条渐近线于A 、B 两点。

1上海中学2023学年第一学期高二年级数学期中2023.11一、填空题（本大题共有12题,满分42分,第16∼题每题3分,第7-12题每题4分）1．向量()1,0,1a = ，(),1,2b x = 且3a b ⋅=，则x =__________．2．已知两条相交直线a ，b ，且a 平面α，则b 与α的位置关系是__________．3．将一个圆心角为2π3，面积为3π的扇形卷成一个圆锥，那么该圆锥的体积为__________． 4．如图，我们将一本书打开放置在桌面上（每页书都有一边恰好落在桌面上）．根据我们所学的__________定理，我们可以证明书脊所在的直线AB 垂直于桌面．5．已知四棱锥P ABCD −的高为2，其底面ABCD 水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为1的正方形，则该四棱锥的体积为__________．6．正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，点E 是棱1CC 的中点，则点E 到平面1A BD 的距离是__________．7．正三棱柱ABC A B C ′′′−中，1AB =，2AA ′=，则直线BC ′与平面ABB A ′′所成角的正弦值为__________．8．下列说法正确的是__________．�一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量．�如果直线AB 与CD 是异面直线，那么向量AB 与CD不共面�两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段． �直三棱柱任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积．29．设AB 和CD 都是平面α的垂线，其垂足分别为B ，D ．已知5AB =，9CD =，3BD =，那么线段AC =__________．10．设1O ，2O 分别是圆柱P 的上、下底面1π，2π的中心．i Q 是以i O 为顶点，3πi −为底面的圆锥体()1,2i =，若圆柱P 的体积为1，那么圆锥1Q ，2Q 的公共部分的体积为__________． 11．正四棱柱1111ABCD A B C D −中，已知2AB =，11AA =，那么以A 为球心，半径为2的球面与该四棱柱表面交线的总长度为__________．12．已知空间四个单位向量1e ，2e ，3e ，4e 满足：1234123421e e e e e e e e +=+=+++=，则13e e ⋅的最大值为__________．二、选择题（本大题共有4题,满分16分，每小题4分）13．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为2140.0km ；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为2180.0km ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为（ ）．（保留两位有效数字） A ．931.010m × B ．931.210m × C ．931.410m ×D ．931.610m ×14．已知平面α，β，γ两两垂直，直线a ，b ，c 满足：a α⊂，b β⊂，c γ⊂，则直线a ，b ，c 的位置关系不可能是（ ）． A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面15．已知二面角l αβ−−的大小为60°，点P ，Q 分别在α，β上且PQ l ⊥，若点P 到βQ 到α，则PQ 两点之间的距离为（ ）． AB ．1C ．2D316．如图，已知正三棱柱111ABC A B C −中1AC AA =，E ，F 分别是棱BC ，11AC 上的点．记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A −−的平面角为γ，则（ ）． A ．αβγ≤≤ B ．βαγ≤≤ C ．βγα≤≤D ．αγβ≤≤三、解答题（本大题共有4题,满分42分） 17．（本题满分10分）如图，在正四棱锥P ABCD −中，PA AB a ==，E 是棱PC 的中点； （1）求证：PA 平面EDB ； （2）求三棱锥E BDC −的体积．18．（本题满分10分）如图，在四面体ABCD 中，3AB =，2AC AD ==，2π3BAD CAD ∠=∠=，π2BAC ∠=，点M ，N 分别在棱AB ，BC 上，且AM BM =，2CN BN =． （1）请用AB ，AC ，AD 表示AN ，DM；（2）求异面直线AN ，DM 所成角的余弦值．419．（本题满分10分）如图，在底面为正三角形的三棱柱111ABC A B C −中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，160CBB ∠=°，124AA AB ==． （1）证明：111B C AC ⊥；（2）求二面角1C AB A −−的余弦值．20．（本题满分12分） 在长方体1111ABCD A B C D −中（1）如图一，点P ，Q 分别在棱AB ，1CC 上，请在图一中作出过点1D ，P ，Q 的平面与长方体的截面，保留作图痕迹，不必说明理由．（2）如图二，已知13AB =，5AD =，112AA =，过点A 且与CD 平行的平面α将长方体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面α变化过程中，求这两个球的半径之和的最大值．5参考答案一、填空题1.1;2.平行或相交; 4.线面垂直定理; 8.��;9.; 10.112；11.5311．正四棱柱1111ABCD A B C D −中，已知2AB =，11AA =，那么以A 为球心，半径为2的球面与该四棱柱表面交线的总长度为__________．【答案】53+ 【解析】以A 为球心,2为半径的球面与该棱柱表面的交线如图所示,其中平面ABCD 内的交线为2为半径的圆周长的14在平面11ABB A ,平面11ADD A 内的交线为圆心角为30 的扇形的弧长, 在1111A B C D 内的交线为以A 为圆心14,∴为半径的球面与该棱柱表面的交线的总长度为11122222446πππ××+×+××53=二、选择题13.C 14.B 15.A 16.A15．已知二面角l αβ−−的大小为60°，点P ，Q 分别在α，β上且PQ l ⊥，若点P 到βQ 到α，则PQ 两点之间的距离为（ ）． AB ．1C ．2D【答案】A6【解析】如图，作,PC QD βα⊥⊥，过C 作CM l ⊥，连接,PM QM ，由l αβ∩=， 所以,PC l QD l ⊥⊥，又,PQ l l ⊥⊥平面QCDP ，即l ⊥平面QMP由二面角l αβ−−为60P ，到bQ 到a在Rt QMD ∆中,60,1QD QMD QM ∠== 在Rt PCM ∆中,60,2PC QMD PM ∠== ，在PMQ ∆中,22212cos60142232QP QM PM QM PM =+−⋅=+−××=所以PQ =故选:A16．如图，已知正三棱柱111ABC A B C −中1AC AA =，E ，F 分别是棱BC ，11AC 上的点．记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A −−的平面角为γ，则（ ）． A ．αβγ≤≤ B ．βαγ≤≤ C ．βγα≤≤D ．αγβ≤≤【答案】A【解析】 正三棱柱111ABC A B C −中,1AC AA =,∴正三棱柱的所有棱长相等,设棱长为1, 如图,过F 作FG AC ⊥,垂足点为G ,连接GE ,则1//A A FG ,EF ∴与1AA 所成的角为,tan ,GEEFG GE FGαα∠===且 又[][]0,1,tan 0,1GE α∈∴∈,EF ∴与平面ABC 所成的角为FEG β∠=, 且[)1tan 1,,tan tan GF GE GEββα==∈+∞∴…,...(1),7再过G 点作GH BC ⊥,垂足点为H ,连接HF ,又易知FG ⊥底面,ABC BC ⊂底面ABC ,BC FG ∴⊥,又,FG GH G BC ∩=∴⊥平面GHF ,∴二面角F BC A −−的平面角为GHF γ∠=,且1tan GF GH GH γ==,又[0GH ∈,tan ,tan tan γγα ∴∈+∞∴…,...(2), 又,tan tan ,GE GH βγ∴…厔(3),由(1)(2)(3)得tan tan tan αβγ剟, 又,αβ,0,,tan 2y x πγ ∈= 在0,2π单调递增,,αβγ∴剟故选:A. 三．解答题17.（1）证明略 （2）3V =18.（1）2133AN AB AC =+ ，12DM AB AD =− ；（219．（本题满分10分）如图，在底面为正三角形的三棱柱111ABC A B C −中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，160CBB ∠=°，124AA AB ==．（1）证明：111B C AC ⊥；（2）求二面角1C AB A −−的余弦值． 【答案】（1）见解析（2【解析】(1)证明:在底面为正三角形的三棱柱111,ABC A B C −中平面ABC ⊥平面11,BCC B8160CBB ∠= ,111124,4,2AA AB CC B C ==∴==1B C =2221111111,B C B C CC B C B C ∴+=∴⊥ 平面ABC ⊥平面11,BCC B∴平面111A B C ⊥平面11BCC B , 平面111A B C ∩平面1111BCC B B C =,1B C ∴⊥平面11111A B C A C ∴⊂平面111A B C ,111B C A C ∴⊥;(2)以1B 为坐标原点,1B C 所在直线为x 轴,11B C 所在直线为y 轴,过1B 作平面11BCC B 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系,则((),2,0A B −−,()(1,C A,(0,1,,(0,1,AB AC =−−=),()1AA =−,设平面ABC 的法向量(),,n x y z = ,则00n AB y n AC y ⋅=−= ⋅=−=,得0y z ==,则()1,0,0n = , 设平面1ABA 的法向量(),,m a b c = ,则1020m AB b m AA b ⋅=−= ⋅−+=,取1a =,得()1m =−, 设二面角1C AB A −−的平面角为θ,则1020m AB b m AA b ⋅=−= ⋅−+=,取1a =,得()1m =− ,设二面角1C AB A −−的平面角为θ,则•cos m n m nθ==⋅ , ∴二面角1C AB A −−. 20．（本题满分12分） 在长方体1111ABCD A B C D −中（1）如图一，点P ，Q 分别在棱AB ，1CC 上，请在图一中作出过点1D ，P ，Q的平面与9长方体的截面，保留作图痕迹，不必说明理由．（2）如图二，已知13AB =，5AD =，112AA =，过点A 且与CD 平行的平面α将长方体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面α变化过程中，求这两个球的半径之和的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】(1)�延长1D Q 交DC 延长线于点E ;�连接PE 与BC 交于点F ,并延长EP 交DA 延长线于点G ; �连接1D G 交1AA 于点H ;�分别连接线段11,,,,D H HP PF FQ QD ,则五边形1D HPFQ 及其内部(图中阴影部分)即为所求截面. (2)如图所示,平面ABMN 将长方体分成两部分,MN 有可能在平面11CDD C 上或平面1111A D C B 上,但是若MN 在平面1111A D C B 上运动,两部分几何体都是细长形状,放入的两个小球由于棱长AD 限制,易知要使两球半径和的最大,需在平面11CDD C 上运动. 延长11B C 与BM 交于点P ,作1O Q BC ⊥于Q 点,设1CBP BPB α∠=∠=,圆1O 对应的半径为1r ,根据三角形内切圆的性质, 在Rt 1O QB ∆中,12QBO α∠=,15BQ BC CQ r =−=−,10111tan 25O Q r BQ r α==−,则15tan5251tan 1tan22r ααα==−++, 又当BP 与1BC 重合时,1r 取得最大值,由内切圆等面积法求得1512251213r ×≤=++,则2tan23α≤设圆2O 对应的半径为2r ,同理可得266tan ,2r α=−又252r ≤,解得7tan 212α≥.故1255566tan1761tan ,221tan1tan 22r r αααα+=−+−=−−+ ++72tan ,1223α≤≤()19551tan,,,176,2123x x f x x x α=+∈=−−设则 由对勾函数性质易知195,123x∈,函数()f x 单减, 则()195191651761912123812f x f ≤−−×,即最大值为16538. 故两个球的半径之和的最大值为16538.。

2020-2021下海南汇第二中学高中必修二数学下期中试题带答案一、选择题1．设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ） A ．-4 B ．14- C ．14 D ．42．水平放置的ABC V 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（ ）A ．2B ．217C ．2D ．83．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．()1,1-B ．()(),11,∞∞--⋃+C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+ 4．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( )A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．42B ．32C ．322D ．226．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．307．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭ 8．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56π C ．14π D ．64π9．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ） A ．312+ B ．31- C ．22 D ．512- 10．某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13 B ．12 C ．16 D ．111．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB 3C ．4πD 3 12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ；②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值；④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．14．如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：①直线AM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的结论的序号为________．15．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①0BD AC ⋅≠u u u r u u u r；②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直．其中正确结论的序号是 ．（请把正确结论的序号都填上）16．在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．17．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1BB 的中点，则点1B 到平面ADE 的距离为__________.18．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，直线1D M 与平面ABCD 交于点N ，则线段AN 的长度为________19．函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________.20．如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为__________．三、解答题21．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC BD ⊥于点O ，2BC AD =，9AC =，将ABD ∆沿着BD 折起，使得A 点到P 点的位置，35PC =.（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）M 为BC 上一点，且2BM CM =，求证：//OM 平面PCD .22．在四棱锥S ABCD -中，平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）证明：SA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若底面ABCD 为矩形，23SA AD AB ==，F 为SC 的中点，23BE BC =u u u v u u u v ，求直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值.23．（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线l 在平面α内；②直线m 不在平面α内； ③直线m 与平面α交于点A ；④直线l 不经过点A .（2）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，F 为棱1CC 的三等分点，画出由1,,D E F 三点所确定的平面β与平面ABCD 的交线.(保留作图痕迹)24．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ︒∠=，1AB AA =，,M N 分别为AC ，11B C 的中点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ；（2）求证：1AN A B ⊥.-中，PA⊥平面ABC，且25．如图，在三棱锥P ABC===,2 2.2PA AB BCAC=-为鳖臑；（1）证明：三棱锥P ABC--的余弦值.注：在《九章算术》中鳖臑（2）若D为棱PB的中点，求二面角D AC P是指四面皆为直角三角形的三棱锥.26．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝6，M 是CC1的中点．(1)求证：A1B⊥AM；(2)求二面角B--AM--C的平面角的大小．.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】x=时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 求出原函数的导函数，得到函数在2值．解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=， ∴2'|4x y ==-， 又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行， ∴4a -=-，即4a =．故选D ．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．2．B解析：B【解析】【分析】依题意由111A B C △的面积为114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ．【详解】依题意，因为111A B C △的面积为所以11111sin 452AC B C ︒=⨯⋅=111222B C ⨯⨯⨯，解得114B C =， 所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：AB ====故选B ．【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半. 3．D解析：D【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，∵PA 的斜率为4031--- =﹣1，PB 的斜率为2031--=1， ∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1，点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.4．B解析：B【解析】【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QO OPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO …，即满足2PO …，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的．【详解】由分析可得：22200PO x y =+ 又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO …故22220000103634PO x y y y ==+-+… 解得0825y 剟，0605x 剟 即0x 的取值范围是6[0,]5，故选：B ．【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO …，从而得到不等式求出参数的取值范围． 5．B解析：B【解析】【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -, 所以圆心为()0,0.半径为()222m m m +-=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=. 又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值. 此时2223416m =++=,故32m =.故选：B【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型. 6．C解析：C【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，所以几何体的体积为，故选C ．考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．7．D解析：D【解析】试题分析：A.}r rααββ⊥⇒⊥P 不正确，以墙角为例，,αβ可能相交；B.}m l l m ββ⇒⊥⊥P 不正确，,l β有可能平行；C.}m r m n n r ⇒P P P 不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选D 。

上海南汇中学2011学年第二学期期中考试高二数学满分：100分 完成时间：90分钟一、填空题（每小题3分，共36分）1、直线013=+-y x 的倾斜角是 .2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是(0,2)，则椭圆的标准方程为____________.3、经过点(1,0)A 且与直线10x y ++=平行的直线l 的方程为 _.4、双曲线22149x y -=的虚轴长是 _. 5、已知直线220310x y x y +-=-+=和的夹角是 _. 6、直线1x y +=被圆221x y +=所截得的弦长等于 _.7、已知方程221104x y k k -=--表示双曲线，则实数k 的取值范围为 _. 8、过点(1,2)且与圆221x y +=相切的直线的方程是 _.9、已知双曲线2214y x -=的两个焦点分别为1F 、2F ,P 为双曲线上一点，且122F PF π∠=,则12F PF ∆的面积是 .10、设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若点(1,2)A ， ABC ∆的重心与抛物线的焦点F 重合，则BC 边所在直线方程为 .11、若方程0x k +=只有一个解，则实数k 的取值范围是 _. 12、下列五个命题：①直线l 的斜率[1,1]k ∈-，则直线l 的倾斜角的范围是[,]44ππα∈-； ②直线:1l y kx =+与过(1,5)A -，(4,2)B -两点的直线相交，则4k ≤-或34k ≥-；③如果实数,x y 满足方程22(2)3x y -+=，那么y x④直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是1m ≥；⑤方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是41<m 或1>m ； 正确的是__________ _.二、选择题（每小题3分，共12分）13、直线320x y m ++=与直线2310x y +-=的位置关系是…………………………（ ） （A ）相交 （B ）平行 （C ）重合 （D ）由m 决定14、若椭圆14222=+a y x 与双曲线12222=-y ax 有相同的焦点，则实数a 为 …………（ ）（A ） 1 （B ） 1- （C ） 1± （D ） 不确定15、已知抛物线x y C =2:与直线1:+=kx y l ，“0≠k ”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的………………………………………………………………………………………（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 16、已知曲线C ：22||||1x x y y a b-=，下列叙述中错误．．的是………………………………（ ） （A ）垂直于x 轴的直线与曲线C 只有一个交点（B ）直线y kx m =+（,k m ∈R ）与曲线C 最多有三个交点 （C ）曲线C 关于直线y x =-对称（D ）若111(,)P x y ，222(,)P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x ->-三、解答题（第17、18题各8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分） 17、已知△ABC 的三个顶点是(3,4)A -、(0,3)B 、(6,0)C -，求 （1） BC 边所在直线的一般式方程；(4分)（2） BC 边上的高AD 所在直线的一般式方程. (4分)18、求经过(3,0)A -,且与圆22(3)64x y -+=内切的圆的圆心M 的轨迹方程. (8分)19、已知双曲线1C ：2214y x -=（1）求与双曲线1C 有相同的焦点，且过点P 的双曲线2C 的标准方程；（5分） （2）直线l ：y x m =+分别交双曲线1C 的两条渐近线于A 、B 两点。