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1.球与正方体发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题例 1 棱长为1的正方体1111ABCD A BC D 的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（2.球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径2l R ==例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( ) .10π3类型一：三条侧棱两两垂直的三棱锥可补成长方体（或正方体）类型二：一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形的三棱锥可补成长方体（或正方体） 类型三：对棱相等的三棱锥可补成长方体（或正方体）类型四：正四面体常补成正方体； 类型五：侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱3. 球与正棱柱例 3 正四棱柱1111ABCD A BC D-的各顶点都在半径为R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为242R .4.球与锥体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1 球与正四面体OABCA1B1C1∙M2222233aR r a R r CE+=-=，=，解得：66,.R a r a==例4 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( )球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍.]球心在高PH上，即在锥体内部球心在高PH上，即在锥体内部球心在高PH的延长线上，即在锥体外部∙OHPABCDMOPABCDKHOPABCDHM∙O∙PA CDMHB2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球. 解决的基本方法是补形例 5 在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且AM MN ⊥,若侧棱23SA =,则正正三棱锥S ABC -外接球的表面积是————36π3 球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例6 在三棱锥P －ABC 中，PA ＝3侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（ ） 43π接球的球心,则2SCR =. 例7 矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π31253 球与球对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.4 球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：r'=.例8 把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四1若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为1，则其外接球的表面积是______. 2.在正三棱锥S-ABC 中，Ｍ、Ｎ分别是ＳＣ、ＢＣ的中点，且ＭＮ ＡＭ，若侧棱 ＳＡ= 则正三棱锥S-ABC 外接球的表面积是_____.O A B C D DA ABC AB BC DA AB BC O _____.⊥⊥==3.已知球的面上四点、、、，平面，，的体积等于4.，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_____.5.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长分别为1，2，3，则其外接球的表面积是______.6.O A B C D AB BCD DC BC AB 6AC CD O _____.⊥⊥===已知球的面上四点、、、，平面，，，的体积等于7.一个四面体的三组对棱长分别相等且依次为 .5 ，则此四面体外接球的表面积为__8.A B C D DA ABC DA AB AC BAC 60_____.⊥===∠=已知点、、、在同一个球面上，平面，，则球的半径是9.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是_____.10.在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，E 为AB 的中点，将三角形ADE 与三角形BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥的外接球的体积为_____.11．设二次函数f （x ）=ax 2﹣4x+c 的值域为[0，+∞），则的最大值为（ ）12．设a ＞2，p=a+，q=+4a ﹣2，则（ A ）A ．p ＞qB ．p ＜qC ．p ＞q 与p=q 都有可能D ．p ＞q 与p ＜q 都有可能13．若x ，y 是正数，则+的最小值是（ 4 ）14．已知a 2+b 2=4，b 2+c 2=3，c 2+a 2=3（a ，b ，c ∈R ），则ab+bc+ca 的最小值为（ ）﹣2 15．若（a ∈R ，a ≠0），则M 的取值范围为（ ）（﹣∞，﹣4]∪[4+∞）16．若实数a ，b ，c 满足2a+2b=2a+b，2a +2b +2c =2a+b+c，则c 的最大值是 2﹣log 23 ．17．若x ∈（0，）则2tanx+tan （﹣x ）的最小值为 2．⊥。
球的组合体一、正方体+球例1、甲球内切于某正方体的各个面，乙球内切于该正方体的条棱,丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比是二、四面体+球例2、球的内接正四面体内有一内球，求这两球的表面积之比练习：过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB,AC,AD，且两两夹角都是60o,若球的半径为R，则∆BCD的面积是（）例题：1、已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，该圆柱的体积是（）A、3π4B、π C、π2D、π42、（“墙角型”三棱锥外接球）：在球面上有四个点Ｐ、Ａ、Ｂ、Ｃ，如果ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,求这个球的表面积。
解法一、找截面图，找球心解法二、补正方体3、（“鳖臑型”三棱锥外接球）《九章算术》中，将底面是长方形且一条侧棱于底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑。
两类三棱锥具有典型性，需重视。
（1）已知四面体P-ABC的四个顶点都在球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC ,且AC=1，PB=AB=2,则球O的表面积为解法一、构造长方体解法二：RT∆PBC和RT∆PAC有公共的斜边PC ，其中点到四个顶点距离相等。
（2）若三棱锥A-BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，AB=BC=2，BD=4, 三棱锥A-BCD的顶点都在球O的球面上，则球O的体积是（）提示：外接球的球心是AD的中点4、已知三棱锥S—ABC，所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SBC，SA=AC,SB=BC, 三棱锥S—ABC的体积等于9，则球O的表面积为5、正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为。
