高三数学一轮复习 导数定义及几何意义学案及作业

高考数学第一轮高效复习导学案导数及其应用1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2. 熟记八个基本导数公式(c,m x (m 为有理数)，x x a e x x a x x log ,ln ,,,cos ,sin 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.第一课时 导数概念与运算【学习目标】1．了解导数的定义、掌握函数在某一点处导数的几何意义——图象在该点处的切线的斜率；2．掌握幂函数、多项式函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式及两个函数的和、差、积、商的导数运算法则及简单复合函数的求导公式，并会运用它们进行求导运算；【考纲要求】导数为B 级要求【自主学习】1．导数的概念：函数y ＝)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比xy ∆∆的 ，即)(x f '＝ ＝ ． 2．导函数：函数y ＝)(x f 在区间(a, b)内 的导数都存在，就说)(x f 在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的 ，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值 ，就是)(x f 在0x 处的导数.3．导数的几何意义：设函数y ＝)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 .4．求导数的方法(1) 八个基本求导公式)('C ＝ ；)('n x ＝ ；(n∈Q) )(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝)('x e ＝ ， )('x a ＝)(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝(2) 导数的四则运算)('±v u ＝])(['x Cf ＝ )('uv ＝ ，)('vu ＝ )0(≠v 【基础自测】1.在曲线y=x 2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx ，2+Δy ），则xy ∆∆为 . 2.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则)(x f '= .3.设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π，则点P 横坐标的取值范围为 .4.曲线在y=53123+-x x 在x=1处的切线的方程为 . 5.设曲线y ax e =在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= .[典型例析]例1．求函数y=12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.例2. 求下列各函数的导数：（1）;sin 25x xx x y ++= （2）);3)(2)(1(+++=x x x y （3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x y （4）.1111x x y ++-=例3. 已知曲线y=.34313+x （1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.例4. 设函数bx ax x f ++=1)( (a,b∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y=3. （1）求)(x f 的解析式；（2）证明：曲线)(x f y =上任一点的切线与直线x=1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.[当堂检测]1. 函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝2．在曲线y =x 2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+△x ,2+△y )，则xy ∆∆为 3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为4.设f (x )、g(x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,()()()()f x g x f x g x ''+＞0.且g(3)=0.则不等式f (x )g(x )＜0的解集是________________5．在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数有 个。

高考数学理科一轮复习导数的概念及运算学案（含答案）第三章导数及其应用学案13导数的概念及运算导学目标：1.了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义，求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x 的导数．熟记基本初等函数的导数公式(c，xm(m为有理数)，sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数)，能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数．自主梳理1．函数的平均变化率一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商________________________＝ΔyΔx称作函数y＝f(x)在区间x0，x0＋Δx](或x0＋Δx，x0])的平均变化率．2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义函数y＝f(x)在点x0处的瞬时变化率______________通常称为f(x)在x ＝x0处的导数，并记作f′(x0)，即______________________________．(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是过曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))的____________．导函数y＝f′(x)的值域即为__________________．3．函数f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点都是可导的，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，其导数也是开区间(a，b)内的函数，又称作f(x)的导函数，记作____________．4．基本初等函数的导数公式表原函数导函数f(x)＝Cf′(x)＝______f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝______(α∈Q*)F(x)＝sinxf′(x)＝__________F(x)＝cosxf′(x)＝____________f(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝____________(a>0，a≠1)f(x)＝exf′(x)＝________f(x)＝logax(a>0，a≠1，且x>0)f′(x)＝__________(a>0，a≠1，且x>0)f(x)＝lnxf′(x)＝__________5．导数运算法则(1)f(x)±g(x)]′＝__________；(2)f(x)g(x)]′＝______________；＝______________g(x)≠0]．6．复合函数的求导法则：设函数u＝φ(x)在点x处有导数ux′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x处的对应点u处有导数yu′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处有导数，且y′x＝y′u•u′x，或写作f′x(φ(x))＝f′(u)φ′(x)．自我检测1．在曲线y＝x2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则ΔyΔx为()A．Δx＋1Δx＋2B．Δx－1Δx－2C．Δx＋2D．2＋Δx－1Δx2．设y＝x2•ex，则y′等于()A．x2ex＋2xB．2xexC．(2x＋x2)exD．(x＋x2)•ex3．(2010•全国Ⅱ)若曲线y＝x－12在点(a，a－12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于()A．64B．32C．16D．84．(2011•临汾模拟)若函数f(x)＝ex＋ae－x的导函数是奇函数，并且曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标是()A．－ln22B．－ln2C.ln22D．ln25．(2009•湖北)已知函数f(x)＝f′(π4)cosx＋sinx，则f(π4)＝________.探究点一利用导数的定义求函数的导数例1利用导数的定义求函数的导数：(1)f(x)＝1x在x＝1处的导数；(2)f(x)＝1x＋2.变式迁移1求函数y＝x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求出其导函数．探究点二导数的运算例2求下列函数的导数：(1)y＝(1－x)1＋1x；(2)y＝lnxx；(3)y＝xex；(4)y＝tanx.变式迁移2求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝lnxx2＋1.探究点三求复合函数的导数例3(2011•莆田模拟)求下列函数的导数：(1)y＝(1＋sinx)2；(2)y＝11＋x2；(3)y＝lnx2＋1；(4)y＝xe1－cosx.变式迁移3求下列函数的导数：(1)y＝－；(2)y＝sin22x＋π3；(3)y＝x1＋x2.探究点四导数的几何意义例4已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．变式迁移4求曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程．1．准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点．(2)曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y＝x3在其过(0,0)点的切线y＝0的两侧．2．曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．(1)点P(x0，y0)是切点的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．3．求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要适当变形．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知函数f(x)＝2ln(3x)＋8x，则－－的值为() A．10B．－10C．－20D．202．(2011•温州调研)如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象，则函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在的区间是()A.14，12B．(1,2)C.12，1D．(2,3)3．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝04．(2010•辽宁)已知点P在曲线y＝4ex＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A.0，π4B.π4，π2C.π2，3π4D.3π4，π5．(2011•珠海模拟)在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x1，x2(x1≠x2)，|f(x2)－f(x1)|A．f(x)＝1xB．f(x)＝|x|C．f(x)＝2xD．f(x)＝x2题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝13t3－32t2＋2t，那么速度为零的时刻是__________．7．若点P是曲线f(x)＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．8．设点P是曲线y＝x33－x2－3x－3上的一个动点，则以P为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是__________________．三、解答题(共38分)9．(12分)求下列函数在x＝x0处的导数．(1)f(x)＝ex1－x＋ex1＋x，x0＝2；(2)f(x)＝x－x3＋x2lnxx2，x0＝1.10．(12分)(2011•保定模拟)有一个长度为5m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4m时，梯子上端下滑的速度．11．(14分)(2011•平顶山模拟)已知函数f(x)＝12x2－alnx(a∈R)．(1)若函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值；(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．自主梳理1.2.（1）(2)切线的斜率切线斜率的取值范围3.y′或f′(x)4．0αxα－1cosx－sinxaxlnaex1xlna1x5．(1)f′(x)±g′(x)(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)－自我检测1．C2.C3.A4.D5．1解析∵f′(x)＝－f′(π4)sinx＋cosx，∴f′(π4)＝2－1.∴f(π4)＝1.课堂活动区例1解题导引(1)用导数定义求函数导数必须把分式ΔyΔx中的分母Δx 这一因式约掉才可能求出极限，所以目标就是分子中出现Δx，从而分子分母相约分．(2)第(1)小题中用到的技巧是“分子有理化”．“有理化”是处理根式问题常用的方法，有时用“分母有理化”，有时用“分子有理化”．(3)注意在某点处的导数与导数定义式的区别：；；(4)用导数的定义求导的步骤为：①求函数的增量Δy；②求平均变化率ΔyΔx；③化简取极限．解(1)ΔyΔx＝＋－＝＝＝＝，∴＝－12.(2)ΔyΔx＝＋－＝＝＋－＋2＋＋＋2＋＝－＋＋2＋，∴＝－＋变式迁移1解∵Δy＝＋＋1－x20＋1＝＋＋1－x20－＋＋1＋x20＋1＝2x0Δx＋＋＋1＋x20＋1，∴ΔyΔx＝2x0＋＋＋1＋x20＋1.∴∴y'=＝2x2x2＋1＝xx2＋1.例2解题导引求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形．解(1)∵y＝(1－x)1＋1x＝1x－x＝，∴y′＝＝.(2)y′＝lnxx′＝－x′lnxx2＝.(3)y′＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)．(4)y′＝sinxcosx′＝－＝cosxcosx－－＝1cos2x.变式迁移2解(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3•ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)(3e)x－2xln2.(3)y′＝＋－＋＋＝＋－＋＝x2＋1－＋例3解题导引(1)求复合函数导数的思路流程为：分解复合关系→分解复合关系→分层求导(2)由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．解(1)y′＝(1＋s inx)2]′＝2(1＋sinx)•(1＋sinx)′＝2(1＋sinx)•cosx＝2cosx＋sin2x.(2)y′＝′(3)y′＝(lnx2＋1)′＝1x2＋1•(x2＋1)′＝1x2＋1•12(x2＋1)－12•(x2＋1)′＝xx2＋1.变式迁移3解(1)设u＝1－3x，y＝u－4.则yx′＝yu′•ux′＝－4u－5•(－3)＝－(2)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋π3，则yx′＝yu′•uv′•vx′＝2u•cosv•2＝4sin2x＋π3•cos2x＋π3＝2sin4x＋2π3.(3)y′＝(x1＋x2)′＝x′•1＋x2＋x(1＋x2)′＝1＋x2＋x21＋x2＝1＋2x21＋x2.例4解题导引(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异；过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．(2)求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率，只要求函数在该点处的导数即可．(3)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．解(1)∵y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x20.∴切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，即y＝x20x－23x30＋43.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为k＝x20＝1，解得x0＝±1，故切点为1，53，(－1,1)．故所求切线方程为y－53＝x－1和y－1＝x＋1，即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0.变式迁移4解f′(x)＝3x2－6x＋2.设切线的斜率为k.(1)当切点是原点时k＝f′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y＝2x.(2)当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)，则有y0＝x30－3x20＋2x0，k＝f′(x0)＝3x20－6x0＋2，①又k＝y0x0＝x20－3x0＋2，②由①②得x0＝32，k＝－14.∴所求曲线的切线方程为y＝－14x.综上，曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程为y＝2x或y＝－14x.课后练习区1．C2.C3.A4.D5.A6．1秒或2秒末7.28．12x＋3y＋8＝09．解(1)∵f′(x)＝2ex1－x′＝－－－－＝－－，∴f′(2)＝0.………………………………………………………………(6分)(2)∵f′(x)＝(x－32)′－x′＋(lnx)′＝－32x－52－1＋1x，∴f′(1)＝－32.……………………………………………………(12分)10．解设经时间t秒梯子上端下滑s米，则s＝5－25－9t2，当下端移开1.4m时，……………………………………………………………………(3分) t0＝1.43＝715，……………………………………………………………………………(5分) 又s′＝－12(25－9t2)－12•(－9•2t)＝9t•125－9t2，…………………………………………………………………………(10分) 所以s′(t0)＝9×715•125－9×7152＝0.875(m/s)．故所求的梯子上端下滑的速度为0.875m/s.……………………………………………(12分)11．解(1)因为f′(x)＝x－ax(x>0)，……………………………………………………(2分) 又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，所以2－aln2＝2＋b，2－a2＝1，……………………………………………………………（5分）解得a＝2，b＝－2ln2.……………………………………………………………………(7分)(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，则f′(x)＝x－ax≥0在(1，＋∞)上恒成立，……………………………………………(10分)即a≤x2在(1，＋∞)上恒成立．所以有a≤1.……………………………………………………………………………(14分)。

导数的概念及其意义2023.10.26课前一题记函数)(x f 的导函数是)(x f '，若)(x f ＝xx f 1)1(2-'，则)1(f '的值为 . 学习目标：1. 理解导函数的概念；2. 理解导数的几何意义；3. 学会应用导数的几何意义；4. 学会利用导数求曲线的切线方程。

温故知新：1．导数的概念对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到 ，相应地，函数值y 就从f (x 0)变化到 ．这时，x 的变化量为Δx ，y 的变化量为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．(1) 如果当Δx →0时， x y ΔΔ无限趋近于一个确定的值，即x y ΔΔ有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的 ，记作 或y ′|x ＝x 0，即xx f x x f x y x f x x ΔΔΔΔΔΔ)()(lim lim )(00000-+=='→→ (2)当0x x =时，)(0x f '是一个唯一确定的数，当x 变化时，)(x f y '=就是x 的函数，我们称它为y ＝f (x )的导函数(简称导数)，记为)(x f '(或y ′)，即x x f x x f y x f x ΔΔΔ)()(lim )(0-+='='→. 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的 ，相应的切线方程为 ．一、导数与图象问题例1. 函数f (x )的图象与其在点P 处的切线如图所示，则)1()1(f f '-等于( )A ．－2B ．0C ．2D ．4变式. 已知函数y ＝f (x )的部分图象如图所示，其中A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 3，f (x 3))为图上三个不同的点，则下列结论正确的是( )A ．)()()(321x f x f x f '>'>'B ．)()()(123x f x f x f '>'>'C ．)()()(213x f x f x f '>'>'D ．)()()(231x f x f x f '>'>'例2. 函数f (x )的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )A ．0)3()2()1(>'>'>'f f fB ．0)3()2()1(<'<'<'f f fC ．)3()2()1(0f f f '<'<'<D ．)3(0)2()1(f f f '>>'>'变式1. 已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数)(x f y '=的图象如图所示，则该函数的图象是( )变式2. 已知函数y ＝f （x ）的图象是下列四个图象之一，且其导函数)(x f y '=的图象如图所示，则该函数的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、求切线方程 例3. 函数f (x )＝x ln(－2x )，则曲线y ＝f (x )在x ＝2e -处的切线方程为变式. 曲线y ＝xx ln ＋x 在点(1,1)处的切线方程为例4. 曲线y ＝ln|x |过坐标原点的两条切线的方程为 ， .变式1. 若过点P (1,0)作曲线y ＝x 3的切线，则这样的切线共有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条变式2. 过原点与曲线y ＝(x －1)3相切的切线方程为 .本堂小结：作业布置：1. 完成学案2. 课时作业163. 订正纠错。

第十四课时 导数的概念、几何意义及导数的计算考纲要求：1.导数的概念(A) 2.导数的几何意义(B) 3.导数的运算(B)知识梳理：1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x＝x 0，即f ′(x 0)＝(2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数． 2．导数公式及运算法则(1)(2)①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；③⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 基础训练：1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( )(2)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )(4)⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3.( ) (5)(3x )′＝3x ln 3.( )(6)⎝⎛⎭⎫e x ＋cos π4′＝e x .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√2．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是________．解析：∵y ＝sin x ＋e x ，∴y ′＝cos x ＋e x ，∴y ′x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝03．求下列函数的导数：(1)y ＝x n e x ；(2)y ＝x 3－1sin x. 答案：(1)y ′＝e x (nx n －1＋x n )．(2)y ′＝3x 2sin x －(x 3－1)cos x sin 2x.[典题1] 求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln x x； (3)y ＝tan x ；(4)y ＝3x e x －2x ＋e ；解析： (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x －x ＝x －12－x 12， ∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x. (4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝ (ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.小结：导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．[典题2](1)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．(2)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 016)＋2 016ln x ，则f ′(2 016)＝________. 解析：(1)f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.(2)由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 016)＋2 016x， 所以f ′(2 016)＝2 016＋2f ′(2 016)＋2 0162 016， 即f ′(2 016)＝－(2 016＋1)＝－2 017.答案：(1)3 (2)－2 017注意：在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误．练习：1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________.解析：∵f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，∴f ′(x )＝4ax 3＋2bx .又f ′(1)＝2，∴4a ＋2b ＝2，∴f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2.答案：－22．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)的值为________．解析：因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.答案：212导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：求切线方程[典题3](1)曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为________．(2)设曲线y ＝e x ＋12ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则实数a ＝________. (3)已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.①求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；②求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解析：(1)由于y ′＝e －1x，所以y ′x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.(2)∵与直线x ＋2y －1＝0垂直的直线斜率为2，∴f ′(0)＝e 0＋12a ＝2，解得a ＝2. (3)①∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.②设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.答案：(1)(e －1)x －y ＋1＝0 (2)2注意：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．角度二：求切点坐标[典题4] 设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析： y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．答案：(1,1)小结：已知斜率k ，求切点A (x 0，f (x 0))，即解方程f ′(x 0)＝k .角度三：求参数的值[典题5](1)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________.(2)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.(3)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析：(1)∵两曲线的交点为(0，m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝a ，m ＝1，即a ＝1， ∴f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，则f ′(0)＝0，f (0)＝1.又g ′(x )＝2x ＋b ，∴g ′(0)＝b ，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.(3)法一：∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1x，y ′x ＝1＝2. ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－12，a ＝8.答案：(1)1 (2)1 (3)8小结：(1)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．(2)当切线方程中x (或y )的系数含有字母参数时，则切线恒过定点．总结：1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．注意：1．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．2．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．3．直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．4．曲线未必在其切线的同侧，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧.课后作业：1．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为________．解析：由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x x ＝0＝e 0＝1.答案：12．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 答案：－3π3．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于________．解析：∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′x ＝π2＝－1，由条件知1a＝－1，∴a ＝－1. 答案：－14．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为________． 解析：设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则1x 0＝12，即x 0＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)，又切点在直线y ＝12x ＋b 上，∴ln 2＝1＋b ，即b ＝ln 2－1. 答案：ln 2－15．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为________．解析：因为定义域为(0，＋∞)，所以y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，则在P (1,1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2. 答案：26．已知函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________.解析：f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.答案：e7．若直线l 与幂函数y ＝x n 的图象相切于点A (2,8)，则直线l 的方程为________． 解析：由题意知，A (2,8)在y ＝x n 上，∴2n ＝8，∴n ＝3，∴y ′＝3x 2，直线l 的斜率k ＝3×22＝12，又直线l 过点(2,8)．∴y －8＝12(x －2)，即直线l 的方程为12x －y －16＝0.答案：12x －y －16＝08．在平面直角坐标系xOy 中，点M 在曲线C ：y ＝x 3－x 上，且在第二象限内，已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________．解析：∵y ′＝3x 2－1，曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，∴3x 2－1＝2，x ＝±1，又∵点M 在第二象限，∴x ＝－1，∴y ＝(－1)3－(－1)＝0，∴M 点的坐标为(－1,0)．答案：(－1,0)9．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x＝0，即a ＝－13x3(x >0)，故a ∈(－∞，0)． 答案：(－∞，0)10．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．解析：设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率k ＝3t 2－a ①，所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ) ②.将点A (1，0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，故a ＝278. 答案：27811．函数f (x )＝e x ＋x 2＋x ＋1与g (x )的图象关于直线2x －y －3＝0对称，P ，Q 分别是函数f (x )，g (x )图象上的动点，则|PQ |的最小值为________．解析：因为f (x )与g (x )的图象关于直线2x －y －3＝0对称，所以当f (x )与g (x )在P ，Q 处的切线与2x －y －3＝0平行时，|PQ |的长度最小．f ′(x )＝e x ＋2x ＋1，令e x ＋2x ＋1＝2，得x ＝0，此时P (0,2)，且P 到2x －y －3＝0的距离为5，所以|PQ |min ＝2 5.答案：2512．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，则a ＝________，切线方程为________．解析：f ′(x )＝12x，g ′(x )＝a x (x >0)， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ln x ，12x＝a x ，解得a ＝e 2，x ＝e 2， ∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e， ∴切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0.答案：e 2x －2e y ＋e 2＝013．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＋6＝13(x －2)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，y 0＝x 30＋x 0－16，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．14．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直，求a ＋b 的值．解：对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直．∴(2x 0－2)·(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，①又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2，y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0.②由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52. 15．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ， 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k≥－1， 解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。

第1节导数的概念及运算考试要求 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).2.函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos__x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0).1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （x ）′＝－f ′（x ）[f （x ）]2(f (x )≠0).3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( )(4)曲线y ＝f (x )在某点处的切线与曲线y ＝f (x )过某点的切线意义是相同的.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错. (3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错.(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.2.某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t (距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( ) A.9.1米/秒 B.6.75米/秒 C.3.1米/秒D.2.75米/秒答案 C解析 h ′(t )＝－9.8t ＋8， ∴h ′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.3.(2022·银川质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0为奇函数，则曲线f (x )在x ＝2处的切线斜率等于( ) A.6 B.－2C.－6D.－8答案 B解析 f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x ). 取x >0，得x 2－2x ＝－(－x 2＋ax )，则a ＝2. 当x >0时，f ′(x )＝－2x ＋2.∴f ′(2)＝－2.4.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝e x x ＋a .若f ′(1)＝e4，则a ＝________.答案 1 解析 由f ′(x )＝e x （x ＋a ）－e x（x ＋a ）2，可得f ′(1)＝e a （1＋a ）2＝e 4，即a （1＋a ）2＝14，解得a ＝1.5.(2021·全国甲卷)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________.答案 5x －y ＋2＝0解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －1x ＋2′＝（2x －1）′（x ＋2）－（2x －1）（x ＋2）′（x ＋2）2＝5（x ＋2）2， 所以k ＝y ′|x ＝－1＝5（－1＋2）2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.6.(易错题)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.答案 － 2解析 由f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2·cos π2－sin π2，解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2.考点一 导数的运算1.下列求导运算不正确的是( ) A.(sin a )′＝cos a (a 为常数)B.(sin 2x )′＝2cos 2xC.(x )′＝12xD.(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x 答案 A解析 ∵a 为常数，∴sin a 为常数，∴(sin a )′＝0，故A 错误.由导数公式及运算法则知B 、C 、D 正确.2.若f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2，则f ′(x )＝________.答案 1－1x －2x 2＋2x 3解析 由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2.∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3.3.设f ′(x )是函数f (x )＝cos xe x ＋x 的导函数，则f ′(0)的值为________. 答案 0 解析 因为f (x )＝cos xe x＋x ， 所以f ′(x )＝（cos x ）′e x －（e x ）′cos x （e x ）2＋1＝－sin x －cos xe x ＋1， 所以f ′(0)＝－1e 0＋1＝0.4.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f (1)＝________. 答案 －234解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x .令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，则f ′(2)＝－94. ∴f (1)＝1＋3×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＋0＝－234.感悟提升 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 考点二 导数的几何意义 角度1 求切线的方程例1 (1)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________.答案 (1)3x －y ＝0 (2)x －y －1＝0 解析 (1)y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为3x －y ＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0). 又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x . ∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 角度2 求曲线的切点坐标例2 (2022·皖豫名校联考)若曲线y ＝e x ＋2x 在其上一点(x 0，y 0)处的切线的斜率为4，则x 0＝( ) A.2 B.ln 4 C.ln 2D.－ln 2答案 C解析 ∵y ′＝e x ＋2，∴e x 0＋2＝4，∴e x 0＝2，x 0＝ln 2. 角度3 导数与函数图象问题例3 已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.答案 0解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13. ∵g (x )＝xf (x )， ∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题意可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.感悟提升 1.求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P 处的导数不存在，则切线垂直于x 轴，切线方程为x ＝x 0.2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.训练1 (1)(2022·沈阳模拟)曲线f (x )＝2e x sin x 在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A.y ＝0 B.y ＝2x C.y ＝xD.y ＝－2x(2)(2021·长沙检测)如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，令h(x)＝f（x）x，h′(x)是h(x)的导函数，则h′(1)的值是()A.2B.1C.－1D.－3答案(1)B(2)D解析(1)∵f(x)＝2e x sin x，∴f(0)＝0，f′(x)＝2e x(sin x＋cos x)，∴f′(0)＝2，∴所求切线方程为y＝2x.(2)由图象知，直线l经过点(1，2).则k＋3＝2，k＝－1，从而f′(1)＝－1，且f(1)＝2，由h(x)＝f（x）x，得h′(x)＝xf′（x）－f（x）x2，所以h′(1)＝f′(1)－f(1)＝－1－2＝－3.考点三导数几何意义的应用例4 (1)已知曲线f(x)＝x ln x在点(e，f(e))处的切线与曲线y＝x2＋a相切，则实数a 的值为________.(2)(2022·河南名校联考)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________.答案(1)1－e(2)[2，＋∞)解析(1)因为f′(x)＝ln x＋1，所以曲线f(x)＝x ln x在x＝e处的切线斜率为k＝2，又f(e)＝e，则曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝2x －e. 由于切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，故可联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋a ，y ＝2x －e ，得x 2－2x ＋a ＋e ＝0，所以由Δ＝4－4(a ＋e)＝0，解得a ＝1－e. (2)∵直线2x －y ＝0的斜率为k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0. 又4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”.∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞).感悟提升 1.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上.2.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用.训练2 (1)(2021·洛阳检测)函数f (x )＝ln x －ax 在x ＝2处的切线与直线ax －y －1＝0平行，则实数a ＝( ) A.－1 B.14 C.12D.1(2)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b ＝________. 答案 (1)B (2)1解析 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1x －a .又曲线y ＝f (x )在x ＝2处切线的斜率k ＝f ′(2)， 因此12－a ＝a ，∴a ＝14.(2)y ＝x 3＋ax ＋b 的导数为y ′＝3x 2＋a ， 可得在点(1，1)处切线的斜率为k ＝3＋a ，又k ＋1＝3，1＋a ＋b ＝3，解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，即有2a ＋b ＝－2＋3＝1.公切线问题求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，其中直线与抛物线相切可用判别式法. 一、共切点的公切线问题例1 设点P 为函数f (x )＝12x 2＋2ax 与g (x )＝3a 2ln x ＋2b (a >0)的图象的公共点，以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为( ) A.23e 34 B.32e 34 C.43e 23D.34e 23答案 D解析 设P (x 0，y 0)，由于P 为公共点， 则12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋2b .又点P 处的切线相同，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)， 即x 0＋2a ＝3a 2x 0，即(x 0＋3a )(x 0－a )＝0.又a >0，x 0>0，则x 0＝a ，于是2b ＝52a 2－3a 2ln a .设h (x )＝52x 2－3x 2ln x ，x >0， 则h ′(x )＝2x (1－3ln x ).可知：当x ∈(0，e 13)时，h (x )单调递增；当x ∈(e 13，＋∞)时，h (x )单调递减. 故h (x )max ＝h (e 13)＝32e 23， 于是b 的最大值为34e 23，选D. 二、切点不同的公切线问题例2 曲线y ＝－1x (x <0)与曲线y ＝ln x 的公切线的条数为________. 答案 1解析 设(x 1，y 1)是公切线和曲线y ＝－1x 的切点， 则切线斜率k 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′|x ＝x 1＝1x 21，切线方程为y ＋1x 1＝1x 21(x －x 1)，整理得y ＝1x 21·x －2x 1.设(x 2，y 2)是公切线和曲线y ＝ln x 的切点， 则切线斜率k 2＝(ln x )′|x ＝x 2＝1x 2，切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，整理得y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.令1x 21＝1x 2，－2x 1＝ln x 2－1，消去x 2得－2x 1＝ln x 21－1.设t ＝－x 1>0，即2ln t －2t －1＝0，只需探究此方程解的个数.易知函数f (x )＝2ln x －2x －1在(0，＋∞)上单调递增，f (1)＝－3<0，f (e)＝1－2e >0，于是f (x )＝0有唯一解，于是两曲线的公切线的条数为1.1.函数f (x )＝x 2＋ln x ＋sin x ＋1的导函数f ′(x )＝( ) A.2x ＋1x ＋cos x ＋1 B.2x －1x ＋cos x C.2x ＋1x －cos xD.2x ＋1x ＋cos x答案 D解析 由f (x )＝x 2＋ln x ＋sin x ＋1得f ′(x )＝2x ＋1x ＋cos x . 2.曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( )A.2B.－2C.12D.－12答案 D解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2（x －1）2，故曲线在点(3，2)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－12. 3.(2021·安徽皖江名校联考)已知f (x )＝x 3＋2xf ′(0)，则f ′(1)＝( ) A.2 B.3C.4D.5答案 B解析 f ′(x )＝3x 2＋2f ′(0)， ∴f ′(0)＝2f ′(0)，解得f ′(0)＝0， ∴f ′(x )＝3x 2，∴f ′(1)＝3.4.(2022·豫北十校联考)已知f (x )＝x 2，则过点P (－1，0)，曲线y ＝f (x )的切线方程为( ) A.y ＝0 B.4x ＋y ＋4＝0 C.4x －y ＋4＝0 D.y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 答案 D解析 易知点P (－1，0)不在f (x )＝x 2上，设切点坐标为(x 0，x 20)，由f (x )＝x 2可得f ′(x )＝2x ，∴切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝2x 0. ∵切线过点P (－1，0)，∴k ＝x 20x 0＋1＝2x 0，解得x 0＝0或x 0＝－2，∴k ＝0或－4，故所求切线方程为y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.5.(2022·昆明诊断)若直线y ＝ax 与曲线y ＝ln x －1相切，则a ＝( ) A.e B.1C.1eD.1e 2答案 D解析 由y ＝ln x －1，得y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0－1)，则⎩⎨⎧ax 0＝ln x 0－1，a ＝1x 0，解得a ＝1e 2. 6.已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f （4）－f （2）4－2＝a ，则下列不等式正确的是( )A.a <f ′(2)<f ′(4)B.f ′(2)<a <f ′(4)C.f ′(4)<f ′(2)<aD.f ′(2)<f ′(4)<a 答案 B解析 由函数f (x )的图象可知，在[0，＋∞)上，函数值的增长越来越快，故该函数图象在[0，＋∞)上的切线斜率也越来越大. 因为f （4）－f （2）4－2＝a ，所以f ′(2)<a <f ′(4).7.函数f (x )＝(2x －1)e x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为________. 答案 π4解析 由f (x )＝(2x －1)e x ， 得f ′(x )＝(2x ＋1)e x ，∴f ′(0)＝1，则切线的斜率k ＝1， 又切线倾斜角θ∈[0，π)， 因此切线的倾斜角θ＝π4.8.已知曲线f (x )＝13x 3－x 2－ax ＋1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－4，＋∞) 解析 f ′(x )＝x 2－2x －a ，依题意知x 2－2x －a ＝3有两个实数解， 即a ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4有两个实数解， ∴y ＝a 与y ＝(x －1)2－4的图象有两个交点， ∴a >－4.9.(2021·济南检测)曲线y ＝f (x )在点P (－1，f (－1))处的切线l 如图所示，则f ′(－1)＋f (－1)＝________.答案－2解析∵直线l过点(－2，0)和(0，－2)，∴直线l的斜率f′(－1)＝0＋2－2－0＝－1，直线l的方程为y＝－x－2.则f(－1)＝1－2＝－1.故f′(－1)＋f(－1)＝－1－1＝－2.10.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.解(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，所以曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y －4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，因为f′(x0)＝3x20－8x0＋5，所以切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，所以x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)·(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，所以经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.11.已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.解(1)根据题意，得f′(x)＝3x2＋1.所以曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝13，所以所求的切线方程为13x－y－32＝0.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，所以直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.又直线l过点(0，0)，则(3x20＋1)(0－x0)＋x30＋x0－16＝0，整理得x30＝－8，解得x0＝－2，所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k′＝13，所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).12.若函数f(x)＝a ln x(a∈R)与函数g(x)＝x在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为()A.4B.12 C.e2 D.e答案 C解析由已知得f′(x)＝ax，g′(x)＝12x，设切点横坐标为t，∴⎩⎨⎧a ln t＝t，at＝12t，解得t＝e2，a＝e2.13.曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是________. 答案 2解析设曲线在点P(x0，y0)(x0>0)处的切线与直线x－y－2＝0平行，则y′|x＝x0＝⎝⎛⎭⎪⎫2x－1x| x＝x0＝2x0－1x0＝1.∴x0＝1，y0＝1，则P(1，1)，则曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝|1－1－2|12＋（－1）2＝ 2.14.(2021·宜昌质检)已知函数f(x)＝1x＋1＋x＋a－1的图象是以点(－1，－1)为对称中心的中心对称图形，g(x)＝e x＋ax2＋bx，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线互相垂直，求a＋b的值.解由y＝x＋1x的图象关于点(0，0)对称，且y＝f(x)的图象可由y＝x＋1x的图象平移得到，且函数f(x)＝1x＋1＋x＋a－1＝1x＋1＋(x＋1)＋a－2的图象是以点(－1，－1)为对称中心的中心对称图形，得a－2＝－1，即a＝1，所以f(x)＝1x＋1＋x.对f(x)求导，得f′(x)＝1－1（x＋1）2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k1＝f′(1)＝1－14＝3 4.对g(x)求导，得g′(x)＝e x＋2x＋b，则曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线斜率k2＝g′(0)＝b＋1.由两曲线的切线互相垂直，得(b＋1)×34＝－1，即b＝－73，所以a＋b＝1－73＝－43.。

【考纲解读】1．导数概念及其几何意义 （1）了解导数概念的实际背景． （2）理解导数的几何意义． 2．导数的运算（1）能根据导数定义，求函数x y xyx y x y x y c y ======,1,,,,32的导数． （2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． （3）基本初等函数的导数公式和常用的导数计算公式：()0C '=（C 为常数）， 1()();(sin )cos ;(cos )sin ;1();()ln (0,1);(ln );1(log )log (0,1)n n x x x x a a x nx n x x x x e e a a a a a x xx e a a x-+'''=∈N ==-'''==>≠='=>≠且且·法则1：[])()()()(x v x u x v x u '±'='±·法则2：[])()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='·法则3：)0)(()()()()()()()(2≠'-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x v x v x v x u x v x u x v x u1.导数的概念(1)f(x)在x=x 0处的导数就是f(x)在x=x 0处的瞬时变化率，记作:0/|x x y =或f /(x 0),即f /(x 0)=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆.(2)当把上式中的x 0看作变量x 时, f /(x)即为f(x)的导函数,简称导数,即''()y f x ==0()()limx f x x f x x∆→+∆-∆.2.导数的几何意义:函数f(x)在x=x 0处的导数就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率k= f /(x 0),切线方程为'000()()y y f x x x -=-.3.基本初等函数的导数公式1()();(sin )cos ;(cos )sin ;1();()ln (0,1);(ln );1(log )log (0,1)n n x x x x a a x nx n x x x x e e a a a a a x xx e a a x-+'''=∈N ==-'''==>≠='=>≠且且4.两个函数的四则运算法则 若u(x),v(x)的导数都存在,则 法则1：[])()()()(x v x u x v x u '±'='±法则2：[])()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='法则3：)0)(()()()()()()()(2≠'-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x v x v x v x u x v x u x v x u .【例题精析】考点一 导数的概念及几何意义例 1.（2012年高考新课标全国卷文科13）曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________ 【变式训练】1.（2011年高考江西卷文科4)曲线xy e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ） A.1 B.2 C.e D.1e考点二 导数的运算例2. (2010年高考全国2卷理数10）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（ ）（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8【变式训练】2. (2010年高考江西卷文科4)若函数42()f x ax bx c =++满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ）A ．1-B ．2-C ．2D ．0 【易错专区】问题：忽视导数存在的条件 例.已知曲线3y x =上的一点P （0，0），求过点P （0，0）的切线方程.【课时作业】1.（山东省济南一中2012届高三上学期期末）设曲线11x y x +=-在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = ( ) A ．2B ． 2-C ． 12-D.122. (2010年高考宁夏卷文科4)曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为( ) （A ）1y x =- （B ）1y x =-+ （C ）22y x =- （D ）22y x =-+3．（2010年高考全国卷Ⅱ文科7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则( )（A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=- 4. (2010年全国高考宁夏卷3）曲线2xy x =+在点（-1，-1）处的切线方程为( ) （A ）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2 5．（2010年高考辽宁卷文科12）已知点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) (A)[0,4π) (B)[,)42ππ （C ） 3(,]24ππ (D) 3[,)4ππ6. (福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查理科)函数)()(3R x ax x x f ∈+=在1=x 处有极值，则曲线)(x f y =在原点处的切线方程是 ___ __.【考题回放】1.（2011年高考重庆卷文科3)曲线223y x x =-+在点（1，2）处的切线方程为 ( )A ．31y x =-B ．35y x =-+C ．35y x =+D ．2y x =2. （2011年高考山东卷文科4)曲线211y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15 3． (2011年高考全国卷理科8)曲线y=2xe -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为( ) (A)13 (B)12 (C)23(D)1 4．（2011年高考湖南卷文科7)曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ） A ．12-B ．12C ．22-D ．225. (2012年高考广东卷理科12)曲线y=x 3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 .6.(2012年高考山东卷文科22第1问)已知函数ln ()(e x x kf x k +=为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.求k 的值.。

※第十四章 导数●网络体系总览 ●考点目标位定位要求：（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.（2）熟记基本求导公式〔C ，x m （m 为有理数），sin x ,cos x ,e x ,a x ,ln x ,log a x 的导数〕，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.（3）了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.●复习方略指南深入理解和正确运用极限的概念、法则是本章学习的基础,能对简单的初等函数进行求导是本章学习的重点,能把实际问题转化为求解最大（小）值的数学模型,应用导数知识去解决它是提高分析问题、解决问题能力,学好数学的关键.1.熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则,是正确进行导数运算的基础.2.掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大（小）值中的应用,尤其要重视导数运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用.导数的概念与运算●知识梳理1.导数的概念：（1）如果当Δx →0时，xy∆∆有极限，我们就说函数y =f （x ）在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ′（x 0），即f ′（x 0）=lim →∆xx y∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00. （2）如果函数f （x ）在开区间（a ,b ）内每一点都可导，就说f （x ）在开区间（a ,b ）内可导.这时对于开区间（a ,b ）内每一个确定的值x 0,都对应着一个确定的导数f ′（x 0）,这样就在开区间（a ,b ）内构成一个新的函数，这一新函数叫做f （x ）在开区间（a ,b ）内的导函数，记作f ′（x ）,即f ′（x ）= 0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(，导函数也简称导数.2.导数的几何意义：函数y =f （x ）在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y =f （x ）在点P （x 0,f （x 0））处的切线的斜率.3.几种常见的导数：C ′=0（C 为常数）;（x n ）′=nx n －1;（sin x ）′=cos x ;（cos x ）′=－sin x ;（e x ）′=e x ; （a x ）′=a x ln a ;（ln x ）′=x 1;（log a x ）′=x1log a e.4.导数的四则运算法则： 设u 、v 是可导函数，则（u ±v ）′=u ′±v ′;（uv ）′=u ′v +uv ′;（vu）′=2vv u v u '-' （v ≠0）. 特别提示f （x ）在x =x 0处的导数f ′（x 0）的实质是“增量之比的极限”，但在计算中取它的应用含义：f ′（x 0）是函数f （x ）的导函数f ′（x ）当x =x 0时的函数值.●点击双基1.在曲线y =x 2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx ,2+Δy ）,则yx ∆∆为 A.Δx +x ∆1+2 B.Δx －x∆1－2 C.Δx +2 +Δx －x∆1解析: y x ∆∆=xx ∆+-+∆+)11(1)1(2=Δx +2.答案:C2.设函数f （x ）在x =x 0处可导,则0lim →h hx f h x f )()(00-+A.与x 0,h 都有关B.仅与x 0有关而与h 无关C.仅与h 有关而与x 0无关D.与x 0、h 均无关 答案:B3.设f （x ）=ax 3+3x 2+2,若f ′（－1）=4,则a 的值等于A.319 B.316C.313 D.310 解析:f ′（x ）=3ax 2+6x ,f ′（－1）=3a －6=4,所以a =310.答案:D4.函数y =x 2的曲线上点A 处的切线与直线3x －y +1=0的夹角为45°,则点A 的坐标为___________.解析:设点A 的坐标为（x 0,y 0）,则y ′|x =x 0=2x |x =x 0=2x 0=k 1,又直线3x －y +1=0的斜率k 2=3. ∴tan45°=1=|1|||1212k k k k ++-=|006123x x +-|.解得x 0=41或x 0=－1.∴y 0=161或y 0=1,即A 点坐标为（41，161）或（－1，1）. 答案:（41，161）或（－1，1）●典例剖析【例1】 若f ′（x 0）=2,求0lim →k kx f k x f 2)()(00--.剖析:根据导数的定义.解:f ′（x 0）= 0lim→k kx f k x f ---+)()]([00（这时Δx =－k ）.∴0lim →k kx f k x f 2)()(00--=0lim →k ［－21·kx f k x f ---)()(00］=－21·0lim →k k x f k x f ---)()(00=－21f ′（x 0）=－1.评述:注意f ′（x 0）= 0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00中Δx 的形式的变化,在上述变化中可以看到Δx =－k ,k →0⇒－k →0,∴f ′（x 0）= 0lim→k k x f k x f 3)()3(00---,还可以写成f ′（x 0）= 0lim →k kx f k x f 3)()3(00---或f ′（x 0）=∞→k lim ［f （x 0+k1）－f （x 0）］等.【例2】 若f （x ）在R 上可导，（1）求f （－x ）在x =a 处的导数与f （x ）在x =－a 处的导数的关系；（2）证明：若f （x ）为偶函数，则f ′（x ）为奇函数.剖析:（1）需求f （－x ）在x =a 处的导数与f （x ）在x =－a 处的导数；（2）求f ′（x ），然后判断其奇偶性.（1）解:设f （－x ）=g （x ）,则g ′（a ）= 0lim→∆x x a g x a g ∆-∆+)()(=0lim →∆x xa f x a f ∆--∆--)()( =－0lim →∆-x xa f x a f ∆---∆--)()(=－f ′（－a ）.∴f （－x ）在x =a 处的导数与f （x ）在x =－a 处的导数互为相反数. （2）证明:f ′（－x ）= 0lim→∆x xx f x x f ∆--∆+-)()(=0lim→∆x xx f x x f ∆--∆-)()(=－0lim →∆x xx f x x f ∆--∆-)()(=－f ′（x ）. ∴f ′（x ）为奇函数.评述:用导数的定义求导数时，要注意Δy 中自变量的变化量应与Δx 一致.（2）中若f （x ）为奇函数，f ′（x ）的奇偶性如何？ 【例3】 求下列函数的导数： （1）y =x 2sin x ;（2）y =ln （x ＋21x +）;（３）y =1e 1e -+x x ;（４）y =xx xx sin cos ++.解:（1）y ′=（x 2）′sin x ＋x 2（sin x ）′=2x sin x ＋x 2cos x . （2）y ′=211x x ++·（x ＋21x +）′=211x x ++（1＋21xx+）=211x+.（３）y ′=2)1e ()1e )(1e ()1e ()1e (-'-+--'+x x x x x=2)1(e e 2--x x . （4）y ′=2)sin ()sin )(cos ()sin ()cos (x x x x x x x x x x +'++-+'+=2)sin ()cos 1)(cos ()sin )(sin 1(x x x x x x x x +++-+- =2)sin (1cos sin sin cos x x x x x x x x +--+--.思考讨论函数f （x ）在点x 0处是否可导与是否连续有什么关系？夯实基础1.（2004年全国Ⅱ,文3）曲线y =x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为 =3x －4 =－3x +2 =－4x +3 =4x －5 解析:y ′=3x 2－6x ,∴y ′|x =1=－3.∴在（1,－1）处的切线方程为y +1=－3（x －1）. 答案:B2.（2004年全国Ⅳ,文4）函数y =（x +1）2（x －1）在x =1处的导数等于解析:y ′|x =1=［（x 2+2x +1）（x －1）］′|x =1=［x 3+x 2－x －1］′|x x =1=（3x 2+2x －1）| x =1=4. 答案:D3.（2004年湖北,文3）已知函数f （x ）在x =1处的导数为3,则f （x ）的解析式可能为（x ）=（x －1）2+3（x －1） （x ）=2（x －1） （x ）=2（x －1）2 （x ）=x －1 答案:A4.（2004年重庆,理14）曲线y =2－21x 2与y =41x 3－2在交点处的切线夹角是__________.（以弧度数作答）解析:由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=242232x y x y 得x 3+2x 2－16=0,（x －2）（x 2+4x +8）=0,∴x =2.∴两曲线只有一个交点.∵y ′=（2－21x 2）′=－x ,∴y ′|x =2=－2.又y ′=（43x －2）′=43x 2,∴当x =2时,y ′=3.∴两曲线在交点处的切线斜率分别为－2、3, |3)2(132⨯-+--|=1.∴夹角为4π.答案:4π5.设f （x ）在x =1处连续，且f （1）=0,1lim→x 1)(-x x f =2,求f ′（1）. 解:∵f （1）=0, 1lim→x 1)(-x x f =2,∴f ′（1）= 0lim →∆x xf x f ∆-∆+)1()1(=1lim →x 1)1()(--x f x f =1lim →x 1)(-x x f =2. 6.设函数y =ax ３＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴交点为P 点，且曲线在P 点处的切线方程为12x －y －４=0.若函数在x =2处取得极值0，试确定函数的解析式.解:∵y =ax 3+bx 2+cx +d 的图象与y 轴的交点为P ，∴P 的坐标为P （0,d ）.又曲线在点P 处的切线方程为y =12x －４，P 点坐标适合方程，从而d =－４.又切线斜率k =12，故在x =0处的导数y ′｜x =0=12,而y ′=３ax 2＋2bx ＋c ，y ′｜x =0=ｃ，从而 c =12.又函数在x =2处取得极值0，所以 y ′｜x =2=0, f （2）=0,即 12a ＋４b ＋12=0, ８a ＋４b ＋20=0. 解得a =2，b =－9.∴所求函数解析式为y =2x 3－9x 2＋12x －４. 培养能力7.已知函数f （x ）=e －x （cos x +sin x ）,将满足f ′（x ）=0的所有正数x 从小到大排成数列｛x n ｝.求证：数列｛f （x n ）｝为等比数列.证明:f ′（x ）=－e －x （cos x +sin x ）+e －x （－sin x +cos x ）=－2e －x sin x , 由f ′（x ）=0,即－2e －x sin x =0,解得x =n π,n ∈Z .从而x n =n π（n =1,2,3…）,f （x n ）=（－1）n e －πn . 所以)()(1n n x f x f +=－e －π.所以数列｛f （x n ）｝是公比q =－e －π的等比数列. 8.已知函数f （x ）=ln （e x +a ）（a ＞0）.（1）求函数y =f （x ）的反函数y =f －1（x ）及f （x ）的导数f ′（x ）;（2）假设对任意x ∈［ln （3a ）,ln （4a ）］，不等式|m －f －1（x ）|+ln （f ′（x ））＜0成立，求实数m 的取值范围.解:（1）由y =f （x ）=ln （e x +a ）， 得x =ln （e y －a ），所以y =f －1（x ）=ln （e x －a ）（x ＞ln a ）.f ′（x ）=［ln （e x+a ）］′=ax x +e e .（2）由|m －f －1（x ）|+ln （f ′（x ））＜0,得ln （e x －a ）－ln （e x +a ）+x ＜m ＜ln （e x －a ）+ln （e x +a ）－x .设ϕ（x ）=ln （e x －a ）－ln （e x +a ）+x , ϕ（x ）=ln （e x －a ）+ln （e x +a ）－x ,于是原不等式对于x ∈［ln （3n ）,ln （4a ）］恒成立.等价于ϕ（x ）＜m ＜ϕ（x ）.（*）由ϕ′（x ）=a x x -e e －ax x+e e +1,ϕ′（x ）= a xx -e e +ax x+e e －1,注意到0＜e x －a ＜e x ＜e x +a . 故有ϕ′（x ）＞0, ϕ′（x ）＞0,从而ϕ（x ）、ϕ（x ）均在［ln （3a ）,ln （4a ）］上单调递增,因此不等式（*）成立当且仅当ϕ（ln （4a ））＜m ＜ϕ（ln （3a ））,即ln （512a ）＜m ＜ln （38a ）.探究创新 9.利用导数求和：（1）S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1（x ≠0,n ∈N *）.（2）S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n （n ∈N *）.解:（1）当x =1时，S n =1+2+3+…+n =2n （n +1）,当x ≠1时，∵x +x 2+x 3+…+x n=xx x n --+11,两边对x 求导，得S n =1+2x +3x 2+…+nxn －1=(x x x n --+11)=21)1()1(1x nx x n n n -++-+.（2）∵（1+x ）n =1+C 1n x +C 2n x 2+…+C n n x n,两边对x 求导，得n （1+x ）n －1=C 1n +2C 2n x +3C 3n x 2+…+n C n n x n －1. 令x =1,得n ·2n －1=C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n , 即S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n =n ·2n －1. ●思悟小结1.求函数y =f （x ）在点x 0处的导数通常有以下两种方法： （1）导数的定义，即求0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00的值.（2）利用导函数的函数值,即先求函数f （x ）在开区间（a ,b ）内的导函数f ′（x ）,再将x 0（x 0∈（a ,b ））代入导函数f （x ）,得函数值f ′（x 0）.2.求复合函数的导数的方法步骤：（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量.（2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数.（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数.3.本单元重点体现了极限思想、函数思想及等价转化的思想，在学习过程中应用心体会.●教师下载中心 教学点睛1.在该节教学中要重视对导数的概念、导数的几何意义的理解，注重对导数基本公式的熟练运用.2.可补充导数的另一种定义形式：f ′（x 0）=0lim x x →00)()(x x x f x f --.拓展题例【例题】 讨论函数f （x ）=⎩⎨⎧>+≤+)0(1),0(12x x x x 在x =0处的可导性. 解:函数f （x ）在x =0处是否可导，即xf x f ∆-∆+)0()0(当Δx →0时的极限是否存在.∵+→∆0lim x xf x f ∆-∆+)0()0(=+→∆0lim x xx ∆-+∆11 =1, =-→∆0lim x xx ∆-+∆11)(2 =0, 又∵+→∆0lim x x f x f ∆-∆+)0()0(≠-→∆0lim x xf x f ∆-∆+)0()0(,∴x f x f ∆-∆+)0()0(当Δx →0时的极限不存在，因此f （x ）在x =0处不可导.。

吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 导数的概念及运算学案 理 "知识梳理：（阅读选修教材2-2第2页—第21页）1、 导数及有关概念：000000()()()()()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的物理意义和几何意义：3.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数．．，也可记作y '，即()f x '＝y '＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 00 导数与导函数区别：4.可导:5.可导与连续的关系：6.求函数()y f x =的导数的一般步骤：7.几种常见函数的导数：8.求导法则：9.复合函数的导数：10.复合函数的求导法则：11.复合函数求导的基本步骤：12.导数的几何意义：二、题型探究：探究一．用导数的定义求函数在某一点处的导函数值。

例1：(1).（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷、若曲线lny kx x =+在点()1,k处的切线平行于x轴,则k=______.(2). [2014·广东卷10]．曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．(3). [2014·江西卷13]．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．探究二．导数的几何意义例2:已知曲线 .(1)、求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）、求过点P（0，0）的曲线的切线方程；（3）、求斜率为1的曲线的切线方程。

高考复习—-导数复习目标1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．2熟记基本导数公式,掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间,求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导,掌握两个函数的商的求导法则。

能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数.4．了解复合函数的概念。

会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合.掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。

三、基础知识梳理：导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。

在高中阶段对于导数的学习,主要是以下几个方面: 1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微)；（2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3)应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。

2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

4．瞬时速度物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用,对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述,有了极限工具后,本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度． 5．导数的定义导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据． 对导数的定义,我们应注意以下三点：（1)△x 是自变量x 在 0x 处的增量(或改变量)．（2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x→0时，xy∆∆有极限，那么函数y=f （x ）在点0x 处可导或可微，才能得到f （x)在点0x 处的导数．（3)如果函数y=f （x)在点0x 处可导，那么函数y=f （x)在点0x 处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x ｜在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法,必须严格按以下三个步骤进行：（1）求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆; （2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； （3)取极限，得导数x y x f x ∆∆=→∆00lim )('。