模式一1.1.3导数的几何意义

1．1.3导数的几何意义预习课本P6～8，思考并完成下列问题(1)导数的几何意义是什么？(2)导函数的概念是什么？怎样求导函数？(3)怎么求过一点的曲线的切线方程？[新知初探]1．导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝li mΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)．2．导函数的概念(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝li mΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.[点睛]曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导函数f ′(x )的定义域与函数f (x )的定义域相同．( ) (2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( ) (3)函数f (x )＝0没有导函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交答案：B3．已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)＝( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．2答案：D4．抛物线y 2＝x 与x 轴、y 轴都只有一个公共点，在x 轴和y 轴这两条直线中，只有________是它的切线，而______不是它的切线．答案：y 轴 x 轴求曲线的切线方程[典例] 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43，求曲线C 上的横坐标为2的点处的切线方程．[解] 将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4， ∴切点P (2,4)．y ′|x ＝2＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx＝li m Δx →0 [4＋2·Δx ＋13(Δx )2]＝4.∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤2．求过曲线y ＝f (x )外一点P (x 1，y 1)的切线方程的六个步骤 (1)设切点(x 0，f (x 0))．(2)利用所设切点求斜率k ＝f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(3)用(x 0，f (x 0))，P (x 1，y 1)表示斜率． (4)根据斜率相等求得x 0，然后求得斜率k . (5)根据点斜式写出切线方程．(6)将切线方程化为一般式． [活学活用]过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程为( ) A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0 B ．x －y －2＝0C ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0D ．x －y ＋2＝0解析：选A 显然点(1，－1)在曲线y ＝x 3－2x 上， 若切点为(1，－1)，则由f ′(1)＝li m Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝li m Δx →0 (1＋Δx )3－2(1＋Δx )－(－1)Δx＝li m Δx →[(Δx )2＋3Δx ＋1]＝1， ∴切线方程为y －(－1)＝1×(x －1)，即x －y －2＝0. 若切点不是(1，－1)，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0＋1x 0－1＝x 30－2x 0＋1x 0－1＝(x 30－x 0)－(x 0－1)x 0－1＝x 20＋x 0－1，又由导数的几何意义知 k ＝f ′(x 0)＝li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →0(x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )－(x 30－2x 0)Δx ＝3x 20－2， ∴x 20＋x 0－1＝3x 20－2，∴2x 20－x 0－1＝0，∵x 0≠1，∴x 0＝－12.∴k ＝x 20＋x 0－1＝－54， ∴切线方程为y －(－1)＝－54(x －1)，即5x ＋4y －1＝0，故选A.求切点坐标[典例] 已知抛物线y ＝2x 2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标． (1)切线的倾斜角为45°. (2)切线平行于直线4x －y －2＝0. (3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0. [解] 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x ⎪⎪⎪2－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx ， 当Δx →0时，ΔyΔx →4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1. 即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1， ∴切点坐标为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，则k ·⎝⎛⎭⎫－18＝－1，即k ＝8， 故f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，∴切点坐标为(2,9)．求切点坐标可以按以下步骤进行(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．[活学活用]直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切，则a 的值为___________，切点坐标为____________．解析：设直线l 与曲线C 的切点为(x 0，y 0)， 因为y ′＝li m Δx →(x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx ＝3x 2－2x ，则y ′|x ＝x 0＝3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－13，当x 0＝1时，y 0＝x 30－x 20＋1＝1，又(x 0，y 0)在直线y ＝x ＋a 上，将x 0＝1，y 0＝1代入得a ＝0与已知条件矛盾舍去． 当x 0＝－13时，y 0＝⎝⎛⎭⎫－133－⎝⎛⎭⎫－132＋1＝2327， 则切点坐标为⎝⎛⎭⎫－13， 2327，将⎝⎛⎭⎫－13， 2327代入直线y ＝x ＋a 中得a ＝3227. 答案：3227 ⎝⎛⎭⎫－13， 2327层级一 学业水平达标1．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在解析：选C f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率，当切线垂直于x 轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．2．曲线f (x )＝－2x 在点M (1，－2)处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4解析：选C Δy Δx ＝－21＋Δx ＋2Δx ＝21＋Δx ，所以当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.所以直线方程为y ＋2＝2(x －1)．即y ＝2x －4.故选C.3．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的倾斜角为( ) A ．1 B.π4 C.5π4D ．－π4解析：选B ∵y ′＝li m Δx →⎣⎡⎦⎤13(x ＋Δx )3－2－⎝⎛⎭⎫13x 3－2Δx＝li m Δx →0⎣⎡⎦⎤x 2＋x Δx ＋13(Δx )2＝x 2， ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1. ∴切线的倾斜角为π4，故应选B.4．曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1解析：选A ∵y ′|x ＝1＝li m Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx ＝li m Δx →02a Δx ＋a (Δx )2Δx ＝li mΔx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， ∴2a ＝2，∴a ＝1.5．过正弦曲线y ＝sin x 上的点⎝⎛⎭⎫π2，1的切线与y ＝sin x 的图象的交点个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个解析：选D 由题意，y ＝f (x )＝sin x ， 则f ′⎝⎛⎭⎫π2＝li m Δx →0 sin ⎝⎛⎭⎫π2＋Δx －sin π2Δx ＝li m Δx →cos Δx －1Δx. 当Δx →0时，cos Δx →1， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0.∴曲线y ＝sin x 的切线方程为y ＝1，且与y ＝sin x 的图象有无数个交点．6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由导数的几何意义得f ′(1)＝12，由点M 在切线上得f (1)＝12×1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案：37．已知曲线f (x )＝x ，g (x )＝1x 过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f (x )在交点处的切线方程为____________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝1x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴两曲线的交点坐标为(1,1)． 由f (x )＝x ， 得f ′(x )＝li m △x →1＋Δx －1Δx ＝li m Δx →011＋Δx ＋1＝12，∴y ＝f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)．即x －2y ＋1＝0， 答案：x －2y ＋1＝08．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________． 解析：设f (x )＝y ＝x 2－3x ，切点坐标为(x 0，y 0)， f ′(x 0)＝li m Δx →0(x 0＋Δx )2－3(x 0＋Δx )－x 20＋3x 0Δx＝li m Δx →02x 0Δx －3Δx ＋(Δx )2Δx ＝2x 0－3＝1，故x 0＝2，y 0＝x 20－3x 0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．答案：(2，－2)9．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解：根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0(x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.10．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点的坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，∵Δy Δx ＝(x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )2＋3－(x 30－2x 20＋3)Δx＝(Δx )2＋(3x 0－2)Δx ＋3x 20－4x 0. ∴当Δx →0时，Δy Δx→3x 20－4x 0，即f ′(x 0)＝3x 20－4x 0， 由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2.∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)， 当切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927时， 有4927＝4×⎝⎛⎭⎫－23＋a ，∴a ＝12127， 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5， 当a ＝12127时，切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927； a ＝－5时，切点为(2,3)．层级二 应试能力达标1.已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B 由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选B.2．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则点A 处的切线斜率等于( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．6解析：选D Δy ＝2(1＋Δx )3－2×13＝6Δx ＋6(Δx )2＋2(Δx )3，li m Δx →ΔyΔx ＝li m Δx →0[2(Δx )2＋6Δx ＋6]＝6，故选D.3．设f (x )存在导函数，且满足li m Δx →f (1)－f (1－2Δx )2Δx＝－1，则曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解析：选B li m Δx →f (1)－f (1－2Δx )2Δx＝li m Δx →f (1－2Δx )－f (1)－2Δx＝f ′(x )＝－1.4．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab 为( ) A.13 B.23 C ．－23D ．－13解析：选D 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3，由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13. 5.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则li m Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝______.解析：由导数的概念和几何意义知， li m Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2.答案：－26．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 解析：由导数的定义，得f ′(0)＝li m Δx →f (Δx )－f (0)Δx＝li m Δx →0 a (Δx )2＋b Δx ＋c －cΔx ＝li m Δx →0 (a ·Δx ＋b )＝b .又因为对于任意实数x ，有f (x )≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0，a >0，所以ac ≥b 24，所以c >0.所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb ＝2. 答案：27．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．解：∵f ′(x )＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 a (x ＋Δx )2＋1－(ax 2＋1)Δx ＝2ax ，∴f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a .∵g ′(x )＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 (x ＋Δx )3＋b (x ＋Δx )－(x 3＋bx )Δx＝3x 2＋b ，∴g ′(1)＝3＋b ，即切线斜率k 2＝3＋b . ∵在交点(1，c )处有公共切线，∴2a ＝3＋b .又∵a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，故可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.8．已知曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋1－x 2－1Δx＝2x ＋Δx ，∴y ′＝li m Δx →ΔyΔx ＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，由点斜式可得所求切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又∵切线过点(1，a )，且y 0＝x 20＋1， ∴a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)，即x 20－2x 0＋a －1＝0.∵切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(－∞，2)．。

1.1.3 导数的几何意义学习目标 1.通过曲线的割线到切线的变化过程，体会利用运动变化和极限逼近的思想构造导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.会利用导数研究函数图象的切线的斜率，能解决过曲线上一点及曲线外一点的切线方程问题．知识点一 导数的几何意义 1.割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，直线AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．思考 曲线的切线与曲线的交点是否一定唯一？答案 曲线的切线不一定与曲线只有一个交点，可以有多个甚至无穷多个． 知识点二 导函数的定义从求函数f (x )在x ＝x 0处导数的过程可以看出，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数．这样，当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx .特别提醒：区别联系f ′(x 0)f ′(x 0)是具体的值，是数值在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )f ′(x )f ′(x )是函数f (x )在某区间I 上每一点处的导数组成的一个新函数，是函数在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值1．函数在一点处的导数f ′(x 0)是一个常数．( √ )2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( √ ) 3．直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( × )4．“直线l 与曲线C 相切”是“l 与C 有一个交点”的必要不充分条件．( × )一、利用图象理解导数的几何意义例1 (1)如图，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，则f ′(4)等于( )A.12 B ．3 C ．4 D ．5 答案 A解析 根据导数的几何意义知f ′(4)是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线的斜率，则k ＝5－34－0＝12，所以f ′(4)＝12.(2)已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设k ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2，则下列不等式正确的是( )A ．k <f ′(x 1)<f ′(x 2)B ．f ′(x 1)<k <f ′(x 2)C ．f ′(x 2)<f ′(x 1)<kD ．f ′(x 1)<f ′(x 2)<k答案 B解析 函数的增长越来越快，所以函数在该点的斜率越来越大， 所以f ′(x 1)<k <f ′(x 2)．反思感悟 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．跟踪训练1 已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )答案 B解析 由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知，当x <0时，f ′(x )>0；当x ＝0时，f ′(x )＝0；当x >0时，f ′(x )<0，只有B 适合条件． 二、求切线方程例2 (1)幂函数y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为( ) A ．y ＝12x －16 B ．y ＝12x ＋16 C ．y ＝－12x －16 D ．y ＝－12x ＋16答案 A解析 因为y ′＝lim Δx →0 (2＋Δx )3－23Δx ＝12，故切线的斜率为12.∴曲线在点(2,8)处的切线方程为y －8＝12(x －2)， 即y ＝12x －16.(2)已知曲线C ：y ＝13x 3＋43.求曲线C 在x ＝2的点处的切线方程．解 将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4， ∴切点P (2,4)． y ′|x ＝2＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx＝lim Δx →0 [4＋2Δx ＋13(Δx )2]＝4，∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. 反思感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2 若函数f (x )＝x －1x ，则它与x 轴交点处的切线方程为___________________．答案 2x －y －2＝0或2x －y ＋2＝0解析 f (x )＝x －1x 与x 轴交点坐标为(1,0)，(－1,0)，f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )－1x ＋Δx －⎝⎛⎭⎫x －1x Δx＝1＋1x2，f ′(1)＝2，f ′(－1)＝2，∴所求切线方程为y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1)， 即2x －y －2＝0或2x －y ＋2＝0. 三、求切点坐标例3 (1)设曲线f (x )＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1答案 A解析 因为f ′(1)＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx＝lim Δx →0 2a Δx ＋a (Δx )2Δx ＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a ，所以2a ＝2，所以a ＝1.(2)已知函数f (x )＝1x 在x ＝x0处的切线的倾斜角为135°，则x 0＝________.答案 ±1解析 ∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 1x 0＋Δx －1x 0Δx ＝－lim Δx →0 1x 0(x 0＋Δx )＝－1x 20.令－1x 20＝tan 135°＝－1，可得x 0＝±1.反思感悟 求切点坐标的一般步骤 (1)设出切点坐标．(2)利用导数或斜率公式求出斜率．(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标． (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点的纵坐标．跟踪训练3 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 答案 －3解析 ∵y ′|x ＝2＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx＝lim Δx →0(4＋Δx )＝4，∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为y －5＝4(x －2)，即y ＝4x －3. ∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.过某点的曲线的切线典例 求过点(－1,0)与曲线y ＝x 2＋x ＋1相切的直线方程．解 设切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)，则切线的斜率为k ＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx＝2x 0＋1.又k ＝(x 20＋x 0＋1)－0x 0－(－1)＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，∴2x 0＋1＝x 20＋x 0＋1x 0＋1.解得x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，切线斜率k ＝1，过(－1,0)的切线方程为y －0＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线斜率k ＝－3，过(－1,0)的切线方程为y －0＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0. 故所求切线方程为x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0.[素养提升] (1)首先要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点． (2)过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 ①设切点(x 0，f (x 0))． ②建立方程f ′(x 0)＝y 1－f (x 0)x 1－x 0.③解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．(3)本例考查了切线的含义及切线方程的求法．体现了直观想象和数学运算的数学核心素养．1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在答案 B解析 ∵切线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝－12<0.2.已知函数f (x )的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 答案 C解析 k AB ＝f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)，f ′(2)为函数f (x )的图象在点B (2，f (2))处的切线的斜率， f ′(3)为函数f (x )的图象在点A (3，f (3))处的切线的斜率， 根据图象可知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)．3．曲线f (x )＝－2x 在点M (1，－2)处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4答案 C解析 因为f ′(1)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝－21＋Δx ＋2Δx ＝lim Δx →0 21＋Δx ＝2，即切线的斜率k ＝2，所以切线方程为y ＋2＝2(x －1)， 即y ＝2x －4.4．函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处的切线方程是y ＝x －4，则f ′(1)f (1)＝________.答案 －13解析 函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处的切线y ＝x －4的斜率为1，则f ′(1)＝1， 由于切点(1，f (1))在直线y ＝x －4上， 则f (1)＝1－4＝－3，因此，f ′(1)f (1)＝－13.5．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________． 答案 (3,30)解析 令f (x )＝2x 2＋4x ，设点P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →02(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx ＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，则2x 20＋4x 0＝30，∴P (3,30)．1．知识清单： (1)导数的几何意义． (2)求曲线的切线方程． (3)导函数和导数的关系．2．方法归纳：以直代曲法，待定系数法．3．常见误区：(1)混淆在一点处的切线和过一点的切线． (2)不理解导函数和在一点处的导数的关系．1.已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定答案 B解析 由导数的几何意义，知f ′(x A )，f ′(x B )分别是曲线在点A ，B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )．2．下列各点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A ．(0,0)B ．(2,4) C.⎝⎛⎭⎫14，116 D.⎝⎛⎭⎫12，14答案 D解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，则y ′|0x x ＝＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝2x 0＝tan π4＝1，所以x 0＝12，y 0＝14.3.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( )A ．－4B ．3C ．－2D ．1答案 D解析 由图象可得函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线是l ，与x 轴交于点(4,0)，与y 轴交于点(0,4)，则可知l ：x ＋y ＝4，∴f (2)＝2，f ′(2)＝－1，∴f (2)＋f ′(2)＝1，故选D. 4.若函数f (x )的图象如图所示，则导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 根据导数的几何意义，可知导函数f ′(x )在区间(－∞，0)内为负值，在区间(0，＋∞)内为正值，在x ＝0处为0，故f ′(x )的图象与x 轴有且只有1个交点． 5．若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 设切点为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x .由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4， 所以x 0＝2.所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0，故选A.6．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.答案 2解析 由题意知a ＋b ＝3，又y ′|x ＝1＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2＋b －(a ＋b )Δx ＝2a ＝2，∴a ＝1，b ＝2，故ba＝2.7．曲线y ＝1－1x 在点(1,0)处的切线的倾斜角等于______．答案 π4解析 因为y ′|x ＝1＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＋Δx －0Δx＝lim Δx →0 11＋Δx＝1， 所以曲线在该点处的切线的斜率等于1，故倾斜角等于π4.8．曲线y ＝x 2＋1x 在点(1,2)处的切线方程为__________．答案 x －y ＋1＝0 解析 ∵y ＝x 2＋1x，∴y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋1x ＋Δx －x 2－1x Δx ＝2x －1x 2，当x ＝1时，y ′＝2－1＝1，∴所求切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.9．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2，求直线l 2的方程．解 因为y ′＝lim Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－(x 2＋x －2)Δx ＝2x ＋1， 所以y ′|x ＝1＝3，所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3，设直线l 2与曲线y ＝x 2＋x －2相切的切点为P (x 0，x 20＋x 0－2)， 则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0)．因为l 1⊥l 2，所以3(2x 0＋1)＝－1，x 0＝－23， 所以直线l 2的方程为3x ＋9y ＋22＝0.10．已知曲线y ＝x －1x(x >0)上一点P (x 0，y 0)处的切线分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，求实数x 0的值． 解 ∵y ′＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋Δx －1x ＋Δx －⎝⎛⎭⎫x －1x Δx＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋Δx －x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋Δx Δx＝lim Δx →0Δx ＋Δx x (x ＋Δx )Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1x (x ＋Δx ) ＝1＋1x 2， ∴切线的斜率为1＋1x 20，则切线的方程为y －x 0＋1x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－2x 0，令y ＝0得x ＝2x 01＋x 20， ∴S △OAB ＝12×2x 0×2x 01＋x 20＝13， 解得x 0＝5(负根舍去)．11．已知抛物线y ＝x 2在点P 处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0，则P 点坐标为() A ．(2,4) B ．(－2,4)C ．(－1,1)D ．(1,1)答案 A解析 y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x .设抛物线在点P (x 0，y 0)处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0，则y ′|0x x ＝＝2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝x 20＝4，即P (2,4)，经检验，符合题意．12．已知函数f (x )＝x 3，过点P ⎝⎛⎭⎫23，0作曲线f (x )的切线，则其切线方程为( )A ．y ＝2B ．x ＝23C ．3x －y －2＝0或y ＝0D ．12x －9y －8＝0答案 C解析 设切点为Q (x 0，x 30)，得切线的斜率为k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3－x 30Δx ＝3x 20，切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.因为切线过点P ⎝⎛⎭⎫23，0，所以2x 20－2x 30＝0，解得x 0＝0或x 0＝1，从而切线方程为y ＝0或3x －y －2＝0.13．若点P 是抛物线y ＝x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________，此时P 点坐标为________．答案 728 ⎝⎛⎭⎫12，14 解析 由题意可得，当点P 到直线y ＝x －2的距离最小时，点P 为抛物线y ＝x 2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y ＝x －2，设y ＝f (x )＝x 2，由导数的几何意义知y ′＝f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝2x ＝1，解得x ＝12，所以P ⎝⎛⎭⎫12，14，故点P 到直线y ＝x －2的最小距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.14．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在x ＝1处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 答案 1解析 ∵f ′(x )＝lim Δx →0a (x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )＋1－ax 3－x －1Δx ＝lim Δx →0a (Δx )3＋3ax 2Δx ＋3ax (Δx )2＋Δx Δx ＝lim Δx →0[a (Δx )2＋3ax 2＋3ax Δx ＋1] ＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1，又f (1)＝a ＋2，∴f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)， 又此切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝(3a ＋1)(2－1)，解得a ＝1.15．已知曲线y ＝f (x )＝x ，y ＝g (x )＝1x，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f (x )在交点处的切线方程为__________________．答案 x －2y ＋1＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝1x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， ∴两曲线的交点坐标为(1,1)．由f (x )＝x ，得f ′(x )＝lim Δx →0 1＋Δx －1Δx＝lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12， ∴y ＝f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)， 即x －2y ＋1＝0.16．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解 设切点为P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)Δx ＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2＋2ax 0＋a Δx －9] ＝3x 20＋2ax 0－9，∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎫x 0＋a 32－9－a 23. ∵斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12. 解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3.。

导数的几何意义篇一：导数几何意义1.1.3导数的几何意义教材分析本节内容选自数学人教A版选修2-2第1章“导数及其应用”第1.1.3“导数的几何意义”第一课时.导数是微积分的核心概念之一，它为研究函数提供了有效的方法. 教材从形和数的角度即割线入手，用形象直观的“逼近”方法定义了切线，获得导数的几何意义，学生通过观察、思考、发现、归纳、运用，形成完整的概念，有利于学生对知识的理解和掌握. 通过本节的学习，可以帮助学生进一步理解导数的定义，并更好的体会导数是研究函数的单调性、求解函数的极值和最值，探讨函数值变化快慢等性质最有效的工具. 课时分配本节内容用1课时完成，主要讲解导数的几何意义，让学生知道函数在某一点处的导数就是在这一点处切线的斜率，为求函数在某点处的切线方程提供条件. 教学目标重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义，体会数形结合、以直代曲的思想方法. 难点：对导数几何意义的理解，在某点处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解．知识点：深刻理解导数的几何意义以及对曲线切线方程的求解.能力点：理解导数的几何意义，掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法.教育点：让学生在观察，思考，发现中学习，启发学生研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答.自主探究点：“以直代曲”的数学思想方法. 考试点：求曲线的切线方程.易错易混点：在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法. 拓展点：求曲线的切线方程. 教具准备：多媒体课件.课堂模式：基于问题驱动的探究式教学模式. 一.创设情境师：初中平面几何中圆的切线是怎么定义的？生：直线和圆有唯一公共点时，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．师：曲线在点处的切线能用直线与切线的公共点个数来定义吗？你能否用你已经学过的函数曲线的切线举出反例？生：正弦函数的曲线与直线可能相切时有两个公共点，有时还可能有多个公共点．师：圆是一种特殊的曲线，这种定义并不适用于一般曲线的切线．如图曲线然与曲线公共点有惟一公共点，但它与曲线和，但与曲线相切于点不相切；而另一条直线，直线虽，虽然与曲线有两个．因此，直线与曲线的公共点的个数不能用来定义一般曲线的切线，我们必须用新的方法来定义曲线的切线．【设计意图】引导学生归纳总结曲线在点处切线与曲线可以有不止1个公共点.直线与曲线只有一个公共点时，也不一定是曲线的切线.概念的辨析有助于学生准确理解概念，避免了学习的负向迁移.通过普通曲线的切线与圆的切线对比，使学生认识到曲线的切线不能以直线与曲线的交点个数决定.由此提出：如何定义曲线上某点的切线呢？激发学生的求知欲望，进入对重点内容的探索. 二．探究新知师：如图，当点的变化趋势是什么？没着曲线趋近点时，割线（2）图（1）图（4）图图（3）图生：点师：趋近于点时，割线趋近于确定的位置.为曲线的切线【设计意图】尤其第五幅图通过课件演示割线的动态变化趋势，为学生观察、思考提供平台，引导学生共同分析，直观获得切线定义.通过逼近方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线，使学生体会这种定义适用于各种曲线，反映了切线的直观本质. 三.理解新知师：割线的斜率与切线的斜率有什么关系呢？割线当点的斜率是：（板书）无限趋近于点在时，无限趋近于切线．的斜率．再次通过教师逐步的引导得出函数处导数就是切线的斜率.（教师重复定义，并板书）．即.教师引导学生观察：在点，??．过点可以用过点的附近，最贴近比更接近曲线，比更接近曲线的附近，曲线的切线的切线附近的曲线．因此，在点近似代替．【设计意图】要求学生能数形结合，将切线斜率和导数相联系，观察、思考获得导数的几何意义. “以直代曲”的数学思想方法，是微积分学中的重要思想方法．四．运用新知例1．如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数图形体现导数，的几何意义.的图象.用生：运动员在大约动员在时的瞬时速度为，这说明运动员在时的瞬时速度为的速率上升.附近，正以，这说明运的速率下落；运动员在附近，正以大约在在师：根据图像描述、比较曲线请运用导数的几何意义，描述附近呢？附近增（减）以及增（减）快慢的情况. 附近增（减）以及增（减）快慢的情况.在生：作出曲线在这些点处的切线，⑴在处切线平行于轴，即，说明在时刻附近变化率为0，函数几乎没有增减；在，函数在点附近单调递减.曲线在是因为⑵当数⑶当函数在时，曲线.在处的切线的斜率作出切线，切线呈下降趋势，即附近比在附近下降得更快，则．∴ 在附近曲线上升，即函附近单调递增．时，曲线在处的切线的斜率．∴ 在附近曲线下降，即在附近也单调递减．师：如何用导数研究函数的增减？（先由学生交流讨论，学生回答后，教师再归纳结论）结论：根据导数的几何意义，当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减；当某点处导数等于零时，说明在这点附近变化率为0，函数几乎没有增减.篇二：导数的几何意义与计算（四）导数的计算与几何意义【知识精讲】一、导数的概念函数y?f(x)在x0点的瞬时变化率，叫函数y?f(x)在x0点的导数，记作f/(x0) 即f/?x0??lim?x?0f?x0??x??f(x0)?x二、导数的几何意义/函数f(x)在x?x0处的导数f?x0?的几何意义就是函数f(x)的图像在x?x0处的切线的斜率，即k?f’(x0)；如果y?f(x)在点x0可导，则曲线y?f(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为y?f(x0)?f/(x0)(x?x0)三、常见函数的导数公式和求导法则：1、常见函数的导数公式：公式1：(C)/?0（其中C为常数）公式2：(xn)/?nxn?1(n?N*)公式3：(sinx)’?cosx 公式4：(cosx)’??sinx公式5：(logax)’?11logae特别地，(lnx)’? xx公式6：(ax)’?axlna特别地，(ex)’?ex2、导数的四则运算法则：uu’v?uv’(u?v)’?u’?v’(uv)’?u’v?uv ‘ ()’? 2vv3、复合函数y?f(g(x))的导函数和函数y?f(u)，u?g(x)的导函数的关系为yx’?yu’?ux’.（只限于g(x)?ax?b）【题型归纳】例1、求下列函数的导数2x2（1）f(x)?xlnx （2）f(x)?(x?1)e?x（3）f(x)?x?3 e2x（4）f(x)?1x(1?2x)(x?5)2?6lnx（5）f(x)?ln(1?x)? 21?x例2、求曲线f(x)?2xlnx在点（1，0)处的切线方程.bex?1例3、（2014全国卷一）设函数f(x)?aelnx?，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为xxy?e(x?1)?2求a,b【练习巩固】1、设函数f(x)?g(x)?x2，曲线y?g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y?2x?1，则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为（） A．4B．?2、曲线y?11C．2 D．? 42x在点?1,1?处的切线方程为（） 2x?1A. x?y?2?0B. x?y?2?0C.x?4y?5?0D. x?4y?5?03.曲线y?e1x2在点(4，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A．2922e Ｂ．4e2Ｃ．2e2 Ｄ．e 24．曲线f(x)?13x?x2?ax?a上不存在斜率为0的切线，则a的取值范围是___________ 3x5.已知函数y?ex，过原点作曲线y＝e的切线，则切线的方程___________6.f(x)?ax3?lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a取值范围是_____________.7.点P是曲线y?x?3x?x32上的任意一点,P点处切线倾斜角?的取值范围 ___________ 38.曲线y?xe?2x?1在点（0,1）处的切线方程为。