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精编版平方差公式讲义平方差公式是一种用于计算两个数的平方之差的公式，它可以通过将两个数的平方相减来得到结果。
在数学和物理领域中，平方差公式经常被使用，因此掌握这个公式对于解决各种数学问题非常重要。
平方差公式可以表示为：(a+b)(a-b)=a^2-b^2其中，a和b是任意实数。
这个公式的推导并不难。
我们可以通过将(a+b)(a-b)进行展开来获得平方差公式：(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2由于ab和ba可以相互抵消，最终结果可以简化为：(a+b)(a-b)=a^2-b^2平方差公式的应用非常广泛，下面将列举几个常见的例子：例子1：计算两个数的差的平方假设我们要计算7和3之间的平方差：7^2-3^2=49-9=40因此，7和3之间的平方差是40。
例子2：简化表达式有时候，我们需要将一个表达式进行简化，而平方差公式可以派上用场。
例如，我们要简化表达式(x+3)(x-3)，我们可以使用平方差公式：(x+3)(x-3)=x^2-3^2=x^2-9因此，表达式(x+3)(x-3)可以简化为x^2-9例子3：解方程平方差公式还可以用于解一些具体的方程。
例如，我们要解方程x^2-25=0，我们可以将其重新组织为(x+5)(x-5)=0，并应用平方差公式：(x+5)(x-5)=0根据平方差公式，我们可以得到两个解：x+5=0，解为x=-5x-5=0，解为x=5因此，方程的解是x=-5和x=5总结：平方差公式是一种用于计算两个数的平方之差的公式，它可以通过将两个数的平方相减来得到结果。
平方差公式在数学和物理领域中广泛应用，可以用于计算差的平方、简化表达式和解方程等问题。
掌握平方差公式可以帮助我们解决各种数学问题，并提高数学能力。
平方差公式的常见变形1.完全平方差：完全平方差公式是平方差公式的一种变形，基本形式为(a - b)² =a² - 2ab + b²。
在这种形式下，我们可以将一个差的平方写成两个数的平方差，并通过平方差公式进行简化。
例如：(a - b)² = a² - 2ab + b²= (a² + b²) - 2ab这种变形主要用于简化计算差的平方。
2.立方差：立方差公式是平方差公式的一种变形，基本形式为(a - b)³ = a³ -3a²b + 3ab² - b³。
在这种形式下，我们可以将一个差的立方写成四个数的立方和，并通过立方和公式进行简化。
例如：(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³= (a³ + b³) - 3ab(a - b)这种变形主要用于简化计算差的立方。
3.平方和：平方和公式是平方差公式的一种变形，基本形式为(a + b)² = a² +2ab + b²。
在这种形式下，我们可以将一个和的平方写成三个数的平方和，并通过平方和公式进行简化。
例如：(a + b)² = a² + 2ab + b²= (a² + b²) + 2ab这种变形主要用于简化计算和的平方。
4.立方和：立方和公式是平方差公式的一种变形，基本形式为(a + b)³ = a³ +3a²b + 3ab² + b³。
在这种形式下，我们可以将一个和的立方写成四个数的立方和，并通过立方和公式进行简化。
例如：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³= (a³ + b³) + 3ab(a + b)这种变形主要用于简化计算和的立方。
平方差公式知识讲解a²-b²=(a+b)(a-b)这个公式对于初中和高中等级的数学非常重要，在解决各种代数方程、因式分解和证明等问题时经常被使用。
下面，我将详细讲解平方差公式的用法和推导过程。
首先，我们来讲解平方差公式的用法。
例如，我们希望将一个二次多项式x²-4分解为两个因式的乘积。
根据平方差公式，我们可以将这个式子进行变形：x²-4=(x+2)(x-2)通过平方差公式，我们将二次多项式x²-4分解为(x+2)(x-2)的形式，这样便可以更简单地进行计算和分析。
除了因式分解，平方差公式还可以用于解决各种代数方程。
通过利用平方差公式，我们可以将一个复杂的方程转化为一个更简单的二次方程，从而更容易求解。
接下来，我们来详细推导平方差公式。
我们先从右侧的等式(a+b)(a-b)入手进行推导：(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)= a² - ab + ab - b²=a²-b²通过上述推导，我们得到了平方差公式。
此外，我们还可以通过几何方法来理解平方差公式。
考虑一个正方形的对角线，将其分为两段，其中一段的长度为a，另一段的长度为b。
根据勾股定理，这个正方形的面积可以表示为a²+b²。
然而，我们也可以将这个正方形的面积另外表示为一个矩形和一个小正方形的面积之和。
其中，矩形的边长为(a+b)，小正方形的边长为(a-b)。
因此，我们可以得到(a+b)(a-b)=a²-b²。
通过几何的解释，我们可以更加直观地理解平方差公式的原理和作用。
总结起来，平方差公式是解决代数方程、因式分解和证明等数学问题中非常有用的工具。
通过平方差公式，我们可以将一个多项式分解为两个因式的乘积，并且可以通过平方差公式将一个复杂的方程转化为一个更简单的二次方程。
通过几何的解释，我们可以直观地理解平方差公式的原理和意义。
第三讲 平方差公式和完全平方公式【名言警句】细节决定成败！【知识点归纳讲解】（一）平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 特征：①左边：二项式乘以二项式，两数（a 与b ）的和与它们差的乘积. ②右边：这两数的平方差. 平方差公式的常见变形：①位置变化：如()()()()22a b b a b a b a b a +-=+-=-②符号变化：如()()()()()2222a b a b b a b a b a b a ---=---+=--=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或()()()()()2222a b a b a b a b a b a b ---=-+-=--=-+ ③系数变化：如()()()()()22ma mb a b m a b a b m a b +-=+-=-（二）完全平方公式()()22222222a b a ab b a b a ab b+=++-=-+ 完全平方公式常见变形：① 符号变化：如()()22222a b a b a ab b --=+=++ ()()22222a b a b a ab b -+=-=-+②移项变化：()()22222222a b a ab b a b a ab b +=++-=-+⇒()()22222222a b a b ab a b a b ab+=+-+=-+⇒()()224a b a b ab +--=【经典例题讲解】（一）平方差公式例1：计算：()()()()2244a b b a b a b a ---+-例2：计算：①（2x+y ）(2x-y) ②(y x 3121+)(y x 3121-)③(-x+3y)(-x-3y) ④(2a+b)(2a-b)(4)22b a +.【同步演练】应用平方差公式计算（1）()()a a 2121+- （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+3121312122x x （3）()()y x y x 3232+---例3：某初级中学得到政府投资，进行了校园改造建设，他们的操场原来是长方形，改建后变为正方形，正方形的边长比原来的长方形少6米，比原来的长方形的宽多了6米，问操场的面积比原来大了还是小了？相差多少平方米？（二）完全平方公式例1：已知2291822a b ab a b +==+，，求的值例2：利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972【同步演练】利用完全平方公式计算：（1）982 （2）2032例3：计算：（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-y x y x【同步演练】)3)(3(+---b a b a例4：若22)2(4+=++x k x x ，则k =若k x x ++22是完全平方式，则k =例:5：完全平方公式的推广()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++()222222222a b c d a b c d ab bc cd ad +++=+++++++附加题：若实数222,,9,a b c a b c ++=满足()()()222a b b c c a -+-+-则代数式的最大值是多少？【课堂检测】 （一）平方差公式 一、填空题1、=--+-)2)(2(y y _______.2、=-+)2)(2(y x y x ______.3、=-+)3121)(3121(b a b a ______. 4、=---))((22x a x a _______. 5、=++-))()((22b a b a b a _______. 6、=-+-))((y x y x _______. 7、=+-----+))(())((y x y x y x y x _______. 8、+xy (_______）-xy (_______）81122-=y x . 二、选择题9、下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（ ） （A ）)22)(2(b a b a +--; （B ）)2)(2(a b b a +-; （C ）)2)(2(b a b a +--; （D ）)2)(2(b a a b ++-.10、下列各式中，运算结果是223625y x -的是（ ） （A ）)56)(56(x y x y --+- ; （B ）)56)(65(x y y x +-; （C ）)56)(56(x y x y ++- ; （D ）)65)(65(y x y x +--. 三、解答题11.计算)2)(2())((n m n m n m n m -+-+-.12.先化简后求值2),2)(2()2)(2(22-=-+--+x x x x x .13.解方程4)2()1)(1(2=---+x x x x .（二）完全平方公式 一、填空题1、=-+)2)(2(b a b a _______.2、)5(x +-_______225x -=. 用平方差公式计算并填空3、)218(5.75.8+=⨯__ ___4363=. 4、=⨯95105_______.5、=-+22)2()2(y x y x （_______）2. 二、选择题6、=+----))((y x y x _______.（ ）（A ）22y x +-;（B ）22y x -;（C ）22y x --;（D ）22y x +.7、如果16)(2-=+a m a p ，则（ ）（A ）4),4(=+=m a p ; （B ）4),4(-=-=m a p （C ）4),4(-=+=m a p ; （D ）4,4=+-=m a p . 三、解答题8、解不等式x x x x x 3)6()3)(3(>+-+-.9、解方程)1)(1(2)3)(12(+-=+-x x x x .10、先化简后求值)5)(5(2)4)(3(-+-+-x x x x ，其中10-=x11、一个梯形上底是)(b a +㎝，下底是)(b a -㎝，高为)2(b a +㎝，求梯形的面积，若2,215==b a ，求这个梯形的面积.【课后作业】一、填空题（每题2分，共28分）1．(34=⋅a a ____()⨯____34)+=a ; 2．=-⋅-54)()(x y y x _________; 3．()(23=m _____)(_____23)⨯=m ; 4．=-⋅--535)(])([a a _________; 5．=⨯3)87(_________3387⨯=; 6．(8164=y x ______2); 7．已知长方形的长是m 4，它的面积是nm 20，则它的宽是_________;8．=⋅+-222483)41(6y x x y x xy _________;9．=⋅+n m 2)7(_________;10．=+--)()(b a a a b b _________; 11．=++))((t z y x _________; 12．=+++-))()()((4422b a b a b a b a _________; 13．=++-+-))((c b a c b a _________; 14．=--+22)()(b a b a _________. 二、选择题（每题3分，共12分）15．下列各式中正确的是（ ）（A ）222)(b a b a -=-; （B ）2222)2(b ab a b a ++=+; （C ）222)(b a b a +=+; （D ）2222)(b ab a b a +-=+-.16．计算)102.2()105.3(53⨯⨯⨯的结果并用科学记数法表示，正确的结果是（ ） （A ）770000000;（B ）71077⨯;（C ）8107.7⨯;（D ）7107.7⨯.17．20072006)32()23(⋅-的计算结果是（ ）（A ）23-;（B ）32-;（C ）32;（D ）23.18．下列计算正确的是（ ）（A ）1262432a a a a a =⋅+⋅; （B ）252212)2(3bc a c a ab =⋅;（C ）322322+=⋅⋅+⋅n n a a a a a a ; （D ）432222)21()2(y x y x xy -=-⋅-.三、简答题：（每题6分，共30分）19．计算：4453)()(a a a a -+-20．结果用)(y x -的幂的形式表示62323)(2])[(])[(y x x y y x -+-+-.21．用简便方法计算63720052006)2()81()125.0()8(⨯+-⨯-22．计算453210)2()(b a ab b a +⋅- .23．计算)1()1(22++-++x x x x x . 24．计算))()((22b a b a b a -+-.四、解答题（每题5分，共20分）25．解方程)2(2)2()1(-=++-x x x x x x26．化简并求值31,3),3)(3(==--b a a b b a 其中.27．化简并求值2,)1()12(22-=-++x x x 其中.28.计算2)(c b a --29.综合题（10分，每小题5分）（1）已知一个圆的半径若增加2厘米，则它的面积就增加39平方厘米，求这个圆的直径.（用π的代数式表示这个圆的直径）（2）阅读：若一家商店的销售额10月比9月份增长（减少）10%，则设这家商店9月10月份销售额的增长率为0.1（-0.1）；理解：甲、乙两店9月份的销售额均为a万元，在10月到11月这两个月中，甲，问到商店的销售额的平均每月增长率为x，乙商店的销售额平均每月的增长率为x11月底时，甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元（用a和x的代数式表示结果）.【课后作业】家长意见及建议：家长签字：日期：年月日。
平方差公式的推导过程
平方差公式（Difference of Squares Formula）用于将两个平方数的差表示为两个因子的乘积。
其推导过程如下：
假设我们有两个平方数a^2 和b^2，我们想要将其差表示为两个因子的乘积。
即，我们希望找到两个整数x 和y，使得a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
我们可以开始推导过程：
我们展开乘法，得到a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
我们可以将(a + b)(a - b) 进一步展开，得到a^2 - b^2 = a(a - b) + b(a - b)。
然后，我们可以因式分解，得到a^2 - b^2 = a(a - b) + b(a - b) = (a + b)(a - b)。
从推导过程可以看出，我们成功地将a^2 - b^2 表示为两个因子的乘积，即(a + b)(a - b)。
这就是平方差公式的推导过程。
平方差公式在数学计算中经常用到，可以帮助我们简化运算和化简表达式。
2. 公式法
第1课时平方差公式
【测控导航表】
知识点题号
用平方差公式分解因式1,4,6,8,9 综合应用平方差公式分解因式2,3,4,5,7
1.下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是( C )
(A)x2-xy (B)x2+xy
(C)x2-y2(D)x2+y2
解析:x2-xy=x(x-y),x2+xy=x(x+y),故A,B只能用提公因式法分解因式;x2-y2=(x+y)(x-y),故C能用平方差公式分解因式;D不能分解因式.故选C.
2.下列因式分解错误的是( B )
(A)1-16a2=(1+4a)(1-4a)
(B)x3-x=x(x2-1)
(C)a2-b2c2=(a+bc)(a-bc)
(D)m2-0.01n2=(0.1n+m)(m-0.1n)
解析:x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1),
故选B.
3.(2015台州)把多项式2x2-8分解因式,结果正确的是( C )
(A)2(x2-8) (B)2(x-2)2
(C)2(x+2)(x-2) (D)2x(x-)
4.下列多项式能用平方差公式分解因式的有( C )
(1)a2b2-1;(2)4-0.25m2;
(3)1+a2;(4)-a4+1.
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
解析:a2b2-1=(ab)2-12,
4-0.25m2=22-(0.5m)2,
-a4+1=1-(a2)2都能用平方差公式分解因式,故选C.
5.已知m,n互为相反数,且(m+2)2-(n+2)2=4,则m的值为( A )
(A)(B)-(C)(D)-
解析:因为(m+2)2-(n+2)2=4,
所以(m+2+n+2)(m+2-n-2)=4,
即(m+n+4)(m-n)=4,
又因为m+n=0,
所以m-n=1,
由
解得m=,
故选A.
6.因式分解:a2-4b2= (a+2b)(a-2b) .
解析:a2-4b2=a2-(2b)2=(a+2b)(a-2b).
7.(2015安徽模拟)请观察下列各式:
①22-02=4×1;
②42-22=4×3;
③62-42=4×5;
④82-62=4×7;
……
则第n个式子可以表示为(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1) .
解析:这组式子的特点:等式的左边是从2开始的两个连续偶数的平方差,并且是较大偶数的平方减去较小偶数的平方,右边是4的奇数倍,倍数都是连续的奇数.所以第n个式子为
(2n)2-(2n-2)2=(2n+2n-2)(2n-2n+2)=4(2n-1).
8.把下列各式分解因式:(1)3(a+b)2-12c2;
(2)(5m2+3n2)2-(3m2+5n2)2.
解:(1)3(a+b)2-12c2=3[(a+b)2-4c2]
=3(a+b+2c)(a+b-2c).
(2)(5m2+3n2)2-(3m2+5n2)2
=(5m2+3n2+3m2+5n2)(5m2+3n2-3m2-5n2)
=(8m2+8n2)(2m2-2n2)
=16(m2+n2)(m2-n2)
=16(m2+n2)(m-n)(m+n).
9.把下列各式分解因式:
(1)a2(a-b)+b2(b-a);
(2)3(x+y)2-27(x-y)2.
解:(1)a2(a-b)+b2(b-a)
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a-b)(a2-b2)
=(a-b)(a-b)(a+b)
=(a-b)2(a+b).
(2)3(x+y)2-27(x-y)2
=3[(x+y)2-9(x-y)2]
=3[(x+y)-3(x-y)][(x+y)+3(x-y)]
=3(-2x+4y)(4x-2y)
=-12(x-2y)(2x-y).
10.已知x+2y=3,x2-4y2=-15,
(1)求x-2y的值;(2)求x和y的值. 解:(1)因为x2-4y2=-15,
即(x+2y)(x-2y)=-15,
所以x-2y=-5,
(2)联立x+2y=3,x-2y=-5,
即
解得
11.(实际应用题)将一条40 cm长的金色彩边剪成两段,恰好可用来镶嵌两张大小不同的正方形壁画的边(不计接头处),已知两张壁画的面积相差40 cm2,问这条彩色边应剪成多长的两段?
解:设大正方形壁画的边长为x cm,较小正方形壁画的边长为y cm. 由题意得
整理得
把②代入①得x-y=4,③
由②+③得x=7.
由②-③得y=3.
所以两段彩色边的长分别为4×7=28 cm,4×3=12 cm.
12.如图所示,某农场修建一座小型水库需要一种空心混凝土(一种由水泥、黄沙、碎石等原料混合而成的建筑材料)管道,它的规格是:内径d=45 cm,外径D=75 cm,长l=300 cm.利用因式分解计算说明浇铸一节这样的管道需要多少立方米的混凝土(π取 3.14,精确到
0.01 m3)
解:由圆柱的体积公式,
得π×()2×300-π×()2×300
=300π×[()2-()2]
=300π×(+)×(-)
=300π×60×15
≈847 800(cm3)
≈0.85(m3).
答:浇铸一节这样的管道大约需要0.85 m3的混凝土.。
