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第五章 测量误差基本知识

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第五章 测量误差的基本知识

第五章 测量误差的基本知识
容 = 3m 有时对精度要求较严，也可采用容 = 2m作为容许误 差。
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。

第五章 测量误差的基本知识

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2 ma
解：
α
D
+a
mS = ± 30 2 × 0.04 2 + 40 2 × 0.03 2
mS = ±1.7(m 2 )
1、求D 、 D＝Lcos α ＝ ＝165.50×cos15°30′ × ° ＝159.48m
2、求mD 、 （1）函数式 ） D=Lcosα （2）偏微分 ）
中误差m ㎜，中误差 d＝±0.2㎜，求实地距离 及其 ㎜ 求实地距离D及其 中误差。 中误差。 解： D＝500d ＝
n-1 [ vv ] m=± n-1
例1：
l 1 2 3 4 5 85°42′49″ ° 85°42′40″ ° 85°42′42″ ° 85°42′46″ ° 85°42′48″ ° l0=85°42′40″ ° △l 9 0 2 6 8 25 v ﹣4 ﹢5 ﹢3 ﹣1 ﹣3 0 vv 16 25 9 1 9 60
V △l（㎜） （㎜） （㎜）
vv 4 25 256 441 9 121 856
m2 = n n
=
L = l0 +
[ vv ] 1 2 + m
∑∆ l 25" = 85°42' 40" + 5 5 ＝85°42′45″ °
二、求观测值的函数的中误差 S＝ab （一）求偏微分 dS＝b da＋a db （二）以偶然误差代替微分元素
60 m=± 5 -1
m = ±3.9"
mD = 0.012 + 0.02 2 + 0.03 2
=±0.037（m） ± （ ） 六、线性函数的中误差 函数： 函数： z＝k1x1＋k2x2＋…＋knxn ＝ ＋ 偏微分： 偏微分： dz＝k1 dx1＋k2 dx2＋…＋kn dxn ＝ ＋ 中误差： 中误差：

测量学第5章测量误差的基本知识

测量学第5章测量误差的基本知识
果对函数f（Δ ）求二阶导数等于零，可得曲线拐点的横坐标为：Δ 拐 ＝ ±σ 。由于曲线f（Δ ）横轴和直线Δ ＝－σ ，Δ ＝＋σ 之间的曲边梯形面
之差称为真误差，用Δ 表示。设三角形内角和的观测值为li，真值为X，则
三角形的真误差可由下式求得
用式（5.1）算得358个三角形内角和的真误差，现将358个真误差按3″为一 区间，并按绝对值大小进行排列，按误差的正负号分别统计出在各区间的误
差个数k，并将k除以总个数n（本例n＝358）误差来看，其误差的出现在数
值大小和符号上没有规律性，但观察大量的偶然误差就会发现其存在着一定 的统计规律性，并且误差的个数越多这种规律性就越明显。下面以一个测量
实例来分析偶然误差的特性。
某测区在相同的观测条件下观测了358个三角形的内角，由于观测值存在误 差，故三角形内角之和不等于理论值180°（也称真值）。观测值与理论值
值（有界性）；
②绝对值较小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小（单峰性）； ③绝对值相等的正、负误差出现的概率大致相等（对称性）；
④当观测次数无限增加时，偶然误差算术平均值的极限为零（补偿性）。即
式中，“［］”为总和号，即
为了更直观地表达偶然误差的分布情况，还可以用图示形式描述误差分布， 图5.1就是按表5.1的数据绘制的。其中以横坐标表示误差正负与大小，纵坐
1)仪器及工具由于测量仪器制造和仪器校正不完善，都会使测量结果产生测
量误差。 2)观测者由于观测者的技术水平和感觉器官鉴别能力的限制，使得在安置仪
器、瞄准目标及读数等方面都会产生误差。
3)外界条件观测过程所处的外界条件，如温度、湿度、风力、阳光照射等因 素会给观测结果造成影响，而且这些因素随时发生变化，必然会给观测值带

第5章 测量误差的基本知识

第5章 测量误差的基本知识
第5章
1．观测误差
测量误差的基本知识
§5-1 概述
在各项测量工作中，对同一个量进行多次重复的观测 其结果是不一致的；对若干个量进行观测，如果知道 这几个量所构成的某个函数应等于某个理论值，而实 际上用观测值计算的函数值与理论值不相符（如三角 形的内角和）。这就是存在观测误差的原因。
2．产生观测误差的原因
例3：水平角观测限差的制定
水平角观测的精度与其误差的综合影响有关，对于 J6光学经纬仪来说，设计时考虑了有关误差的影响， 保证室外一测回的方向中误差为±6″。实际上，顾 及到仪器使用期间轴系的磨损及其它不利因素的影 响，设计精度一般小于±6″，新出厂的仪器，其野 外一测回的方向中误差小于±6″，在精度上有所富 裕。
Δ2 0 1 49 4 1 1 64 0 9 1 130
0 -4 +3 +2 -3 24
+1 +8 0 +3 -1 24
2
中误差Biblioteka m1 2 2 .7 n
m
2

n
3 .6
1 2
n
2.4
正态分布
1 f ( x) e 2 x 0 ( x )2 2 2
1 1
√2π m 1 √2π m 2
y = f (Δ )
f 1 (Δ ) f 2 (Δ )
若 0, 1 1 则f ( x) e 2
( x) 2
2
-
-m1
+m1 +
x =Δ
m2
m2
两组观测值中误差图形的比较：
m1=2.7 m2=3.6
m1较小, 误差分布比较集中，观测值精度较高； m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。

《测量学》第05章 测量误差的基本知识

《测量学》第05章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差的基本知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 加权平均值及其中误差
5.1 测量误差概述
测量实践中可以发现， 测量实践中可以发现，测量结果 不可避免的存在误差 比如： 存在误差， 不可避免的存在误差，比如： 1.对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同 2.观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异
5.3 误差传播定律
阐述观测值中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律 误差传播定律。 差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、观测值的函数 1.和差函数 2.倍函数 3.线性函数 4.－般函数
Z = x1 + x 2 + L + x n
Z = mx
Z = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
mZ = ± (
∂f 2 2 ∂f ∂f 2 2 ) m1 + ( ) 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) 2 mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
5.4 算术平均值及观测值的中误差
一、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 设在相同的观测条件下对未知量观测了 次 ， 观测值为l 中误差为m 观测值为 1、l2……ln，中误差为 1、m2、…mn，则 其算术平均值（最或然值、似真值） 其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：
二、研究测量误差的目的和意义
分析测量误差产生的原因及其性质。 分析测量误差产生的原因及其性质。 确定未知量的最可靠值及其精度。 确定未知量的最可靠值及其精度。 正确评价观测成果的精度。 正确评价观测成果的精度。

测量误差的基本知识

测量误差的基本知识

§5.5误差传播定律的应用
一、水准测量的误差分析
每站的高差为：h = a - b ；m读≈ ±3mm
一站的高差中误差：m站 =
≈ ±4mm
线路n站，则总高差：
取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误 差为 ：
二、水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘 左盘右观测同一方向的中误差为±6 ″，
1、倍数函数：Z=kx 中误差：mz=kmx
2、和差函数 ：Z=x1±x2±…±xn 中误差：mz m12 m22 ... mn2
3、线形函数 ： Z=k1x1±k2x2±…±knxn 中误差：mz (k1)2 m12 (k2 )2 m22 ... (k n)2 mn2
加权平均值的中误差： M0 = = ±3.2mm
一、一般函数的中误差
设Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn属于独立自 变量（如直接观测值），他们的中误差分别为 m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为 ：
mz
(
f x1
)
2
m12
f (
x2
) 2 m22
f ... (
xn
) 2 mn2
二、特殊函数的中误差
小结
• 正确列出函数式； • 检查观测值是否独立； • 求偏微分并代入观测值确定系数； • 套用公式求出中误差。
思考题：一个边长为l的正方形，若测量一 边中误差为ml＝±1cm，求周长的中误差？ 若四边都测量，且测量精度相同，均为ml， 则周长中误差是多少？
§5.4等精度直接观测值
1.算术平均值原理 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得
5.偶然误差的特性

测量学第五章测量误差的基本知识.

5-1概述一、 测量误差的来源、测晴工作是杏一定条件卜•进行的，外界环境、观测苦 的技术水平和仪器本身构造的不完善等原W,都可能导致 测量误羌的产生。

通常把测羞仪器.观测者的技术水平和 外界环境三个方血综合起來，称为观测条件。

观测条件不 理想和不断变化，是产生测惟決差的根本原因。

通常把观 测条件和同的各次观测.称为等梢度观测：观测条件不同 的各次观测，称为不等^^度观测。

第五章测量误差的基本知识 3貝体來说,第五章测量误差的基本知识二、系统误差i 在用同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如呆误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差.系统误差一般兵有累积性。

系统误差产生的主原W之一・是山于仪器设备制造不完善。

例如，用-把名义反度为50U1的钢尺去量距，经检定钢尺的实际怏度为50. 005 111,则每量尺，就带仃^0.0051“的谋差匕十^^表示在所量距离值中应加上），丈a 的尺段越多，所产生的误茎越人。

所以这种误差与所丈最的距离成正比。

第五章测量误差的基本知识再如，在水准测量时，当视准轴与水准管轴不半行而产生夹角时，对水准尺的读数所产生的误差为”（P科=206265",是一弧度对应的秒值），它与水准仪至水准尺Z间的距离1成正比.所以这种误差按某种规律变化。

系统误差ft冇明显的规律性和累积性，对测量结果的彩响扳人。

但足山于系统误差的人小和符号仃…定的规律, 所以可以采取描施加以消除或减少比影响。

第五章测量误差的基本知识11三、偶然误差在相同的观测条件对某最进行了n次观测，如果误差出现的大小和符号均不一定，则这种误差称为偶然误I 差，又称为随机误差。

例如，用经纬仪测角时的照准误差, 钢尺就趴时的读数谋差等，都属于偶然误差。

偶然误差，就加个别值而言，在观测前我们确实小能预知篡出现的人小和符号。

但若在一定的观测条件下，对臬駅进行多次观测，误差列却呈现出一定的规律性，称为统计规律。

第五章测量误差的基本知识


mC
试求 中误差
5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中 误差
▪ 当观测次数n趋于无穷大时，算术平均值趋 于未知量的真值。当n为有限值时，通常取 算术平均值做为最可靠值。
▪ 利用观测值的改正数vi计算中误差：
m [vv] (n 1)
▪ 算术平均值中误差：
M m [vv] n n(n 1)
例：对某直线丈量了6次，丈量结果如表，求算术
▪ 4相同的观测条件下,一测站高差的中误差为 _______。
▪ 5衡量观测值精度的指标是_____、_______和 ______。
▪ 6对某目标进行n次等精度观测,某算术平均值的中 误差是观测值中误差的______倍。
▪ 7在等精度观测中,对某一角度重复观测多次,观测 值之间互有差异,其观测精度是______的。
第五章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差基本知识
5.1 测量误差与精度 5.2误差传播定律 5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中误 差 5.4非等精度直接观测值的最可靠值及其中 误差
第五章 测量误差基本知识
▪ 主要内容：测量误差的概念、来源、分类 与处理方法；精度概念及评定标准；误差 传播定律；观测值中误差计算；直接观测 值的最可靠值及其中误差
Ｃ.水准管轴不平行与视准轴的误差
▪ 经纬仪对中误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 尺长误差和温度误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 下面是三个小组丈量距离的结果，只有（ 测量的相对误差不低于1/5000的要求
）组
▪ Ａ.100m 0.025m； Ｂ.200m 0.040m； Ｃ.150m 0.035m

第五章测量误差的基本知识

第五章测量误差的基本知识1、衡量测量精度的指标有中误差、相对误差、极限误差。

5.测量，测角中误差均为10〃，所以A角的精度高于B角。

（X）8.在测量工作中无论如何认真仔细，误差总是难以避免的。

（X）10 .测量中，增加观测次数的目的是为了消除系统误差。

（X）1、什么是偶然误差？它有哪些特性？定义：相同的观测条件，若误差在数值和符号上均不相同或从表面看无规律性。

如估读、气泡居中判断等。

偶然误差的特性：（D有界性（2）渐降性（3）对称性（4）抵偿性7.已知DJ6经纬仪一测回的测角中误差为m户±20〃，用这类仪器需要测几个测回取平均值，才能达到测角中误差为±10” ?（）A. 1B.2C.3D.43.偶然误差服从于一定的规律。

4.对于偶然误差，绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的机会。

14.测量误差的来源有、、外界条件。

3.设对某距离丈量了6 次，其结果为246.535m、246.548m、246.520m、246.529m、246.550m、246.537m,试求其算术平均值、算术平均值中误差及其相对中误差。

6.偶然误差的算术平均值随观测次数的无限增加而趋向于o14.设对某角度观测4个测回，每一测回的测角中误差为±5",则算术平均值的中误差为±〃。

24.衡量测量精度的指标有、、极限误差。

3.观测值与之差为闭合差。

（）A.理论值B.平均值C.中误差D.改正数5.由于钢尺的不水平对距离测量所造成的误差是（）A.偶然误差B.系统误差C.可能是偶然误差也可能是系统误差D.既不是偶然误差也不是系统误差8.阐述函数中误差与观测值中误差之间关系的定律称为o9.什么是系统误差？什么是偶然误差？误差产生的原因有哪些？10测量误差按性质可分为和两大类。

1. 2.相对误差2.由估读所造成的误差是（）oA.偶然误差B.系统误差C.既是偶然误差又是系统误差14.下列不属于衡量精度的标准的是（）。

第五章 测量误差基础知识


5.1.3
观测误差的分类及其处理方法
②找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差的 改正。如对距离观测值进行尺长改正、温度改正和倾斜改正，对竖 直角进行指标差改正等。 ③将系统误差限制在允许范围内。有的系统误差既不便计算改 正，又不能采用一定的观测方法加以消除，例如，经纬仪照准部管 水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水平角的影响，对于这类系统 误差，则只能按规定的要求对仪器进行精确检校，并在观测中仔细 整平将其影响减小到允许范围内。
表5-1 误差绝对值 K K/n 91 0.254 81 0.226 66 0.184 44 0.123 33 0.092 26 0.073 11 0.031 6 0.017 0 0
正误差 K K/n 46 0.128 41 0.115 33 0.092 21 0.059 16 0.045 13 0.036 5 0.014 2 0.006 0 0
[] X [l ] n n 根据偶然误差第（4）特性 [ ] 0 [l ] lim n n
lim
n
[l ] X n
n
x
27
§5-4 测量值的精度评定
若被观测对象的真值不知，则取平均数 l 为最优解x （最或然值） 改正值：
vi l li x li
标准差可按下式计算

2
v
i 1
n
2
i
n 1
m
白塞尔公式
v
i 1
n
2
i
n 1
28
证明：
1 X l1 2 X l2 n X ln
v1 x l1 v1 x l1 v1 x l1
容许误差
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难度系数
c
丈量了D1、D2两段距离，其观测值及中误差分别为：
D1=105.53m±0.05m，D2=54.60m±0.05m，这说明 ( A B A D1和D2的中误差相同， B D1的相对精度高于D2的相对精度 C D1和D2的中误差不相同 D D1的相对精度低于D2的相对精度 E D1的相对精度与D2的相对精度相同。
（2）加入改正数。例如钢尺的尺长误差、温度误差
等等。
（3）采取措施进行限制。例如在水平角观测时，要 求水准管的气泡不能偏离 1格，就是为了限制三轴误差
中的竖轴误差。
3、偶然误差：在一系列观测中，误差的符号或大小呈现随 机性，但具有一些统计特性：
（1）聚中性：小误差多，大 误差少；
（2）对称性：正、负误差的 个数基本相等； （3）有限性：其大小不超过 某个限值； （4）抵偿性：随着观测值的 增多，其算术平均值趋于零
例：设有一组观测值，其（真）误差为：+4、-2、0、-4、
+3，求该组（一次）观测值的中误差 m 及容许误差 m容 ?
解： m = ±(4² (-2)² 0² (-4)² 3² /5 = ±3.0 + + + + ) 取 2 倍的中误差作为限差，则： m容 = 2 m= ±6.0
X
l

三、误差的种类 1、粗差：即观测或记录所产生的错误 2、系统误差：其符号或大小保持不变或按一定规律变
化，可以预测，通常可采取某些措施将其消除或减弱。
消除或减弱系统误差的措施： （1）按照一定的观测方法进行测量。例如三轴误差、
竖盘指标差都属于系统误差，通过盘左、盘右观测可消 除其中的视准轴误差、横轴误差和竖盘指标差。
误差 区间 0 ” -5” 5 ” -10” 10 ” -15” 15 ” –20” 20 ” -25” 25 ” -30”
正误差 负误差 个数 个数 45 40 33 23 17 13 46 41 33 21 16 13
30 ” -35”
35 ” -40” 40 ” 以上
6
4 0
5
2 0

181
177
第五章 测量误差基本知识
第一节 测量误差的来源§5-1 测量误差的来源及其分类
一、误差的概念 i = li-X 式中： li 为第i个观测值 ； i 为li 的真误差 X为观测对象的理论值（真值） 二、测量误差的来源（观测条件） 1、仪器误差 2、观测者的误差； 3、外界条件
）
A 粗差属于测量错误，在测量数据中不允许存在的； B 系统误差的符号和大小按一定的规律变化； C 如果在观测值中存在粗差和系统误差，应加以改正； D 系统误差可用一定的观测方法加以消除或减弱； E 偶然误差的大小具有随机性，但其符号是可以控制的
难度系数 B
精度指标
衡量精度的指标有：（ A C E 中误差 相对误差 偶然误差
A
B
L1、L2、L3的精度相同；
L1最高、L3最低；
C
D
L3最高、L1最低；
L2最高、L1与L3相同 。
难度系数 B
下列关于测量误差理论的阐述中，正确的说法是（ A 符号 [ ] 是表示计算优先；
C ）
B 符号 可以表示测量误差，也可用于表示改正数； C 符号 v 一般表示改正数， 表示测量误差； D 符号 v 一般表示测量误差。
第五章
误差及其特性 精度指标
返
回
下列因素中，不包含在观测条件中的因素是（ A 仪器误差 B 观测者的误差
C
）
C
测量误差
D
外界条件的变化
难度系数
c
若观测量的真值为X，观测值为li(i=1,2,…,n)，其算术 平均值为L，则描述观测值的（真）误差的正确表达式是 （
A
）
A 观测值的（真）误差为 i= li -X; B 观测值的（真）误差为 i = X-L; C 观测值的（真）误差为 i = L-X; D 观测值的（真）误差为 i= li -X;
1 D m
=
1 M
（M为整数）
4、容许误差（也称为极限误差、限差）容：
由于误差大于2倍中误差的概率为5％，大于3倍中误差的 概率为0.3%，据此可以认为，在一次观测中，测量误差大于2倍 中误差或大于3倍中误差的事件是小概率事件，因此通常取23 倍的中误差作为误差的限值，即
容 = 2 m 3 m 大多数情况下，取 容 = 2 m
难度系数 B
测量误差的分类包括（ A B D
A C E 偶然误差 仪器误差 对中误差
难度系数 C
）
B 粗差 D 系统误差
根据误差的性质，下列说法中正确的说法有（ ABCE ） A B C D 读数误差属于偶然误差； 水准仪i角误差属于系统误差； 尺长误差属于系统误差； 记录错误属于系统误差；
E
对中误差属于偶然误差；
难度系数 B
偶然误差具有一系列统计特性，其中包括（ B D E A B C
）
绝对值较小的误差少，绝对值较大的误差多； 正误差的个数与负误差的个数大致相同； 在有限个观测值中，误差的大小没有限值;
D
E
随着观测值的增多，误差的算术平均值越来越接近于0；
误差的分布具有对称性。
难度系数
B
根据误差的特性，下列叙述中正确的说法是（ ABD
难度系数 B
).
难度系数 A
观测值L1、L2为同一组等精度观测值，其含义是（ C D E ） A B C L1、L2的真误差相等 L1、L2的改正数相等 L1、L2的中误差相等
D
E
L1、L2的观测条件基本相同
L1、L2服从同一种误差分布
难度系数 A
L1、L2、L3为一组等精度观测值，其误差分别为-7mm, -2mm, +7mm，则它们的精度为（ A ）
§5-2 衡量精度的指标
偶然误差是一个随机变量，它服从正态分布。衡量测量
精度的指标主要是中误差，另外还有平均误差、相对误差和 容许误差。
1、中误差（均方差）m m= lin [ ] / n 式中： [ ]= 1² 2² + +…+n²
n
( [ ]= 表示求和 )
ACD
）
B 对中误差 D 容许误差
难度系数 C
若水平角测量的中误差为6，则其极限误差可以取 值为（ C E ） A 3 C E 12 18 B D 6 15
难度系数 C
下列关于精度指标的描述中，正确的描述有（ A D
）
A 中误差是衡量精度的常用指标，中误差赿大，其精 度越低；
B 相对误差主要用于衡量距离和高差的测量精度； C 相对误差一般用分数的形式表示，有时也小数的形 式表示； D 容许误差通常是用来确定观测误差的限值； E 容许误差一般是平均误差的2~3倍。
n 为观测值(或误差) 的个数，一般情况下，n>20 称 m 为（任意）一次观测值的中误差。 若观测值L1和L2的中误差相同，则称L1和L2为等精度观 测值，等精度观测值的误差服从相同的分布。
2、平均误差 ：
= lin [ ] / n
n
平均误差与中误差m的关系为： 0.8 m 3、相对中误差 K（主要用于衡量距离、面积等观测量的精度） K= m/D =