第一章 向量代数与空间解析几何 习题课

考研数学一-向量代数和空间解析几何(总分：110.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：11，分数：22.00)1.设a，b为非零向量，且a⊥b，则必有（分数：2.00）A.(A) |a+b|=|a|+|b|．B.(B) |a-b|=|a|-|b|．C.(C) |a+b|=|a-b|．√D.(D) a+b=a-b．解析：[分析] 由“非零向量a，b满足|a+b|=|a|+|b|的充要条件是a与b方向相同”可知，(A)不对．由“非零向量a，b满足|a-b|=|a|-|b|的充要条件是a与b方向相反”可知，(B)也不对．对于(C)：非零向量a、b垂直时，以a，b为两邻的平行四边形是矩形，而矩阵的对角线长度相等，故必有|a+b|="a-b|，即(C)正确．至于(D)，显然不对．综上分析，应选(C)．2.直线与平面6x+15y-10z+31=0的夹角ψ为（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[分析] 直线方向向量为故选(A)．3.下列曲面中，不是旋转曲面的是（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[分析] (A)是绕x轴旋转而成； (B)是绕y旋转而成； (D)是绕z轴旋转而成． (A)，(B)，(D)都应排除，故应选(C)．4.下列直线对，不共面的是（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[分析] 对于(A)：两条直线分别过点M1(-1，0，0)与M2(1，0，2)，方向向量分别为对三个向量，由于所以(A)中二直线不共面，故应选(A)．5.若单位向量a，b，c满足a+b+c=0，则a·b+b·c+c·a=（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[分析] 由，从而．故选(A)．6.已知平面∏：x+2y-z+1=0，曲面z=xy上点P处的法线与平面∏垂直，则点P的坐标为（分数：2.00）A.(A) (1，2，2)．B.(B) (2，1，2)．√C.(C) (-1，-2，2)．D.(D) (-2，-1，2)．解析：[分析] z=xy的法向量n={y，x，-1}，法线与平面H垂直，从而与平面∏的法向量{1，2，-1}平行，故有，即点P的坐标为(2，1，2)．故应选(B)．7.设曲面z2-xy=8(z＞0)上某点的切平面平行于已知平面x-y+2z-1=0，则该点的坐标为（分数：2.00）A.(A) (-2，2，2)．B.(B) (1，-4，2)．C.(C) (2，-2，2)．√D.(D) (4，-1，2)．解析：[分析] 记F(x，y，z)=z2-xy-8，曲面在任意点的法向量n={F'x，F'y，F'z}：{-y，-x，2x}．已知平面的法向量n1={1，-1，2}，令n∥n1，即，得x=z=t，y=-t，代入曲面方程F=0，得，因为z=t＞0，舍去负值，得切点坐标为(2，-2，2)，故应选(C)．8.设曲线在点(1，3，4)处的法平面为∏，则原点到∏的距离为（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[分析一] 因在点(1，3，4)处解得dx=4dz，，即，故曲线在点(1，3,4)法平面的法向量，法平面∏的方程为12(x-1)-4(y-3)+3(z-4)=0，即12x-4y+3z-12=0，于是原点到∏的距离故应选(B)．[分析二] 曲线在点(1，3，4)处法平面的法向量下同[分析一]．9.设非零向量a与b不平行，c=(a×b)×a，则（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[分析] 如下图所示．因，故应选(B)．评注若a⊥b，则(a×b)×a=λb，=0．10.过点M0(1，-1，1)与平面x=y+2z=1平行且与相交的的直线方程为（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[分析一]于是[分析二] 过B的直线方程为L：过A与L垂直的平面方程为∏：6(x-3)+6(y-4)+7(z-2)=0，即6x+6y+7z-56=0。

<向量代数与空间解析几何>习题1. 求点),,(c b a 的关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴的对称点的坐标.2. 设(3,,2)B(124)A x --与，，点间的距离为29，试求x .3. 在yoz 平面上，求与三个已知点(3,1,2)B(422)051A C --、，，和（，，）等距离的点.4. 求平行于向量}6,7,6{-的单位向量.5. 已知两点(1,3,3)B(421)A --与，，，求向量AB 的模与方向余弦.6. 已知||122||,10||βαβαβα⨯=⋅==，求，.7. 求与)1,0,1(M 110M )0,1,1(M 321）、，，（、三点所在平面垂直的单位向量.8. 求过点012-5z 7y -3x (3,0,-1)=+且与平面平行的平面方程.9. 一平面过点(2,-1,3)4,1,5),x 2y 3z 50+++=和(且垂直于平面,求此平面方程.10. 将平面的一般式方程012-3z y -2x =+化为截距式方程.11．指出下列各平面的特殊位置：（1）04-2y =（2）0z -2y 3x =+（3）4y -2x =（4）02z 3y =+12. 求平面0D Cz By Ax 1=+++与平面0D Cz By Ax 2=+++的距离.13. 一平面过z 轴且与平面07-z 5-y 2x =+成3π角，求此平面方程.14. 已知点,121-xA(5,1,4)zy L ==：及直线求： （1）求过A 且与L 平行的直线；（2）求过点A 且与L 及向量}1,4,3{--=AB 垂直的直线；（3）求过点A 且与直线247035210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩平行的直线.15.求直线123121-x -+=+=z y 与平面0z y 23x =++的交点.16．求直线3211-x zy ==在平面01-z y 4x =+-上的投影直线方程.17．求下列旋转曲面方程：（1）平面z x o 内抛物线x =2z 绕x 轴旋转；（2）平面y x o 内双曲线164x 22=-y 分别绕x 轴及y 轴旋转.18.判断11462x 222=-+-++z y x z y 是否表示球面方程，若是，求出球心坐标及球半径.19.指出下面方程所表示的曲面的名称，并作出草图：（1）;1941x 222=++z y （2）04x 222=-+z y ；（3）22x 20y z -+=.20.指出下列方程所表示的曲线：（1）⎩⎨⎧==++325222x z y x （2）⎩⎨⎧==++13694222y z y x21.求曲线C ：)0(,0,222222>⎩⎨⎧=-+=++a ax y x a z y x 在y x o 平面和z x o 平面上的投影曲线方程.<矩阵及其初等变换>习题1. 当。

考研数学一-一元函数积分学、向量代数和空间解析几何(总分100,考试时间90分钟)一、选择题1. 设，则______A．I1＞I2＞1． B．1＞I1＞I2．C．I2＞I1>1． D．1＞I2＞I1．2. 如下图所示，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)=，则下列结论正确的是______A．F(3)=F(-2)． B．F(3)=F(2)．C．F(-3)=F(2)． D．F(-3)=F(-2)．3. 设函数f(x)=，则f'(x)的零点个数______A．0． B．1．C．2． D．3．4. 设Ik=，其中k=1，2，3，则有______A．I1＜I2＜I3． B．I3＜I2＜I1．C．I2＜I3＜I1． D．I2＜I1＜I3．5. 使不等式成立的x的范围是______A．(0，1)． B．(1，)．C．(，π)． D．(π，+∞)．6. 设I=，则I，J，K的大小关系是______A．I＜J＜K． B．I＜K＜J．C．J＜I＜K． D．K＜J＜I．7. 由曲线y=(0≤x≤π)与x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积为______A．． B．．C．． D．．8. 曲线y=x(x-1)(2-x)与x轴所围成图形面积可表示为______A．．B．．C．．D．．9. 半圆形闸门半径为R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度ρ=1．若坐标原点取在圆心，x轴正向朝下，则闸门所受压力P为______A．．B．．C．． D．．10. 已知两条直线L1：，L2：平面∏：2x+7y+4z-1=0，则______A．L1∥∏． B．L1⊥∏．C．L2∥∏． D．L1⊥L2．11. 设有直线L1：和L2：，则L1与L2______A．相交于一点． B．平行但不重合．C．重合． D．异面．12. 设有直线L：及平面∏：4x-2y+z-2=0，则直线L______A．平行于平面∏． B．在平面∏上．C．垂直于平面∏． D．与平面∏斜交．13. 设a，b为非零向量，满足|a-b|=|a+b|，则必有______．A．a-b=a+b． B．a=b．C．a×b=0． D．a·b=0．14. 直线L1：与直线L2：之间的关系是______A．L1⊥L2． B．L1∥L2．C．L1与L2相交但不垂直． D．L1与L2为异面直线．二、填空题1. 反常积分=______．2. 设F(x)=，其中x＞0，则F(x)=______．3. 设，则=______．4. 设f(x)连续可导，导数不为0，且f(x)存在反函数f-1(x)，又F(x)是f(x)的一个原函数，则不定积分∫f-1(x)dx=______．5. 设a＞0，则=______．6. =______．7. =______．8. =______．9. 设，则a=______，b=______，c=______．10. 曲线y=(0≤x≤)的弧长s=______．11. 曲线ρθ=1相应于的一段弧长s=______．12. 设直线l过点M(1，2，0)且与两条直线l1：和l2：垂直，则l的参数方程为______．13. 曲面x2+2y2+3z2=21在点(1，-2，2)处的法线方程为______．14. 空间曲线Γ：的参数方程为______．15. 过点(2，0，-3)且与直线垂直的平面方程为______．16. 曲线x=t，y=-t2，z=t3与平面x+2y+z=4平行的切线方程______．17. 设z=z(x，y)由z-ez+2xy=3确定，则曲面z=z(x，y)在点P0(1，2，0)处的平面方程为______．三、解答题设f(x)在[-e，e]上连续，在x=0处可导，且f'(0)≠0．1. 证明：对于任意x∈(0，e)，至少存在一个θ∈(0，1)，使得．2. 求极限3. 计算．4. 求函数f(x)=的单调区间与极值．5. 设f(x)在[0，π]上连续，且=0，证明：f(x)在(0，π)内至少有两个零点．6. 设两曲线y=(a＞0)与y=在(x0，y0)处有公切线，求这两曲线与x轴围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转的体积V．7. 设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，且F(x)=，证明：(Ⅰ)若f(x)是偶函数，则F(x)也是偶函数．(Ⅱ)若f(x)是单调减函数，则F(x)也是单调减函数．8. 证明：当x≥0时，．9. 设f(x)在[0，1]上具有连续导数，且f(0)+f(1)=0．证明：10. 设f(x)在区间[2，4]上具有二阶连续导数f"(x)，且f(3)=0，证明：存在一点ξ∈(2，4)，使得．11. 计算∫arcsinxdx．12. 设f(x)在[0，π]上连续，证明．某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功．设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，k＞0)．汽锤第一次击打将桩打进地下am．根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0＜r＜1)．(注：m表示长度单位米)问13. 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深?14. 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?椭球面S1是椭圆=1绕x轴旋转而成，圆锥面S2是过点(4，0)且与椭圆=1相切的直线绕x 轴旋转而成．15. 求S1及S2的方程16. 求S1与S2之间的立体体积设曲线y=ax2(x≥0，常数a＞0)与曲线y=1-x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形D．17. 求D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V(a)18. 求a的值，使V(a)为最大过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形，记为D，求19. D的面积A20. D绕直线x=1所成的旋转体的体积V计算下列反常积分(广义积分)的值．21.22.23. 试确定过M1(2，3，0)，M2(-2，-3，4)及M3(0，6，0)三点的平面方程．24. 求过点A(-1，2，3)垂直于L：且与平面∏：7x+8y+9z+10=0平行的直线方程．25. 求直线L1：和直线L2：间的夹角．26. 求直线L：绕z轴旋转所得的旋转曲面方程．27. 判断直线L1：和直线L2：x+1=y-1=z是否相交．如果相交求其交点，如果不相交求两直线间距离．28. 求两曲面x2+y2=z与-2(x2+y2)+z2=3的交线在xOy平面上的投影曲线方程．29. 圆柱面的轴线是L：，点P0(1，-1，0)是圆柱面上一点，求圆柱面方程．。

向量代数与空间解析几何第一部分 向量代数___线性运算［内容要点］:1. 向量的概念.2. 向量的线性运算.3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算.［本部分习题］1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限。

(2,3,5);(0,4,3);(0,3,0)A B C ---2. 求点(1,3,2)--关于点(1,2,1)-的对称点坐标。

3. 求点(4,3,5)M --到各坐标轴的距离。

4. 一向量的起点为(1,4,2)A -，终点为(1,5,0)B -，求AB →在x 轴、y 轴、z 轴上的投影,并求||AB →。

5. 已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M −−→的模、方向余弦和方向角。

6． 已知{3,5,4},{6,1,2},{0,3,4},a b c →→→==-=--求234a b c →→→-+及其单位向量.7．设358,247,54,a i j k b i j k c i j k →→→→→→→→→→→→=++=--=--求向量43l a b c →→→→=+-在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量.第二部分 向量代数___向量的“积"［内容要点］:1。

向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运算规律。

2。

向量的混合积的概念、坐标表示式及其几何意义。

3.向量垂直、平行、共面的条件.［本部分习题]1． 设{3,1,2},{1,2,1},a b →→=--=-求： （1);(2);(3)cos(,);(4)Pr ;(5)Pr .a b a b a b a b j b j a →→→→→→→→⋅⨯2． 设{2,3,1},{1,1,3},{1,2,0},a b c →→→=-=-=-求： (1)();(2)();(3)();a b c a b c a b c →→→→→→→→→⨯⋅⨯⨯⨯⨯3． 利用向量证明不等式112233a b a b a b ≥++ 其中,(1,2,3)i i a b i =均为实数，并指出等号成立的条件.4．设{3,5,2},{2,1,9},a b →→=-=试求λ的值，使得：（1)a b λ→→+与z 轴垂直；(2）a b λ→→+与a →垂直，并证明此时||a b λ→→+取最大值。

空间解析几何与向量代数向量及其运算目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算；重点与难点重点：向量的概念及向量的运算。

难点：运算法则的掌握过程：一、向量既有大小又有方向的量称作向量通常用一条有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小.有向线段的方向表示向量的方向•向量的表示方法有两种：a、AB向量的模：向量的大小叫做向量的模，向量a、AB的模分别记为|a'|、|AB| .单位向量：模等于1的向量叫做单位向量.零向量：模等于0的向量叫做零向量.记作0规定：0方向可以看作是任意的，相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量平行向量(亦称共线向量)：两个非零向量如果它们的方向相同或相反.就称这两个向量平行记作a // b规定：零向量与任何向量都平行，二、向量运算向量的加法向量的加法：设有两个向量a与b.平移向量使b的起点与a的终点重合.此时从a 的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和.记作a+b .即c=a+b .当向量a与b不平行时.平移向量使a与b的起点重合.以a、b为邻边作一平行四边形从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a b向量的减法：设有两个向量a与b .平移向量使b的起点与a的起点重合.此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。

T T T T TAB =AO OB =0B -CA .2、向量与数的乘法向量与数的乘法的定义：向量a与实数，的乘积记作 a .规定■ a是一个向量.它的模它的方向当■ >0时与a相同.当■ <0时与a相反，(1) 结合律，(七)=±a)=C；L)a ；(2) 分配律(kj a = 'a；'(a b) =■ a …b例1在平行四边形ABCD中.设AB =a . AD二b试用a和b表示向量MA’、MB’、MC‘、MD .其中M是平行四边形对角线的交点----- ■> ----- i ---- i A解：a 〜b = AC = 2 AM 于是MA = （a 亠b）,因为MC —MA” .所以MC =1（a b）.又因 T b = BD =2 MD .所以MD =2（b_a）.由于MB =—MD“ .所以MB‘=2（a—b）.定理1设向量a式0.那么.向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数，.使b二，a,三、空间直角坐标系过空间一个点O,作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点。