圆北师大版九年级下册知识点及题库

圆章节复习课前测试【题目】课前测试如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．【答案】；存在，DE=；y=（0＜x＜）．【解析】（1）如图（1），∵OD⊥BC，∴BD=BC=，∴OD==；（2）如图（2），存在，DE是不变的．连接AB，则AB==2，∵D和E分别是线段BC和AC的中点，∴DE=AB=；（3）如图（3），连接OC，∵BD=x，∴OD=，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE．∴DF==，由（2）已知DE=，∴在Rt△DEF中，EF==，∴OE=OF+EF=+=∴y=DF•OE=••=（0＜x＜）．总结：本题考查的是垂径定理、勾股定理、三角形的性质，综合性较强，难度中等．【难度】4【题目】课前测试如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．【答案】OD=3；AE是⊙O的切线；【解析】（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；（2）连接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为圆的半径，∴AE为圆O的切线；（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=7.5，∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×4.5﹣=3+﹣=．总结：此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：圆是九年级下册的内容，是初中几何三大模块（三角形、四边形、圆）之一，也是中考几何必考内容，包含与园有关的圆性质、与圆有关的位置关系及与圆有关的计算三部分，相比三角形与四边形，圆部分的知识点更多，需要记忆的概念和公式也就更多，另外它还要跟三角形和四边形结合，综合考查几何知识，难度骤然提升，解题思维更要灵活。

北师大版九年级下册数学第三章圆含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=45°，则劣弧BC的长为（）A. B. C.π D.2、如图，OA，OC是⊙O的半径，点B在⊙O上，若AB∥OC，∠BCO=21°，则∠AOC的度数是（）A.42°B.21°C.84°D.60°3、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，OD⊥BC于点D，AC=6，则OD的长为（）A.2B.3C.3.5D.44、如图，在两个同心圆O中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，则AD与BC的数量关系是（）A.AD＞BCB.AD=BCC.AD＜BCD.无法确定5、如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，且OC∥BD，∠A=30°，则∠CBD=（）A.10°B.15°C.30°D.45°6、如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上(不与点A，点C重合)，BD与OA交于点E，设∠AED=α，∠AOD=β，则( )A.3α+β=180°B.2α+β=180°C.3α-β=90°D.2α-β=90°7、以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A. B. C. D.8、如图，正内接于半径是1的圆，则阴影部分的面积是（）A. B. C. D.9、如图，为的直径，为弦，，垂足为E，若，则的度数为（）．A.135°B.120°C.150°D.110°10、在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( )A.与x轴相交，与y轴相切B.与x轴相离，与y轴相交C.与x轴相切，与y轴相交D.与x轴相切，与y轴相离11、如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE=EF，若AD= ，则的长为( )A. B. C. D.π12、若⊙O的半径是5 cm，点A在⊙O内，则OA的长可能是（）A.2 cmB.5 cmC.6 cmD.10 cm13、已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是（）A.点P在⊙O上B.点P在⊙O内C.点P在⊙O外D.无法确定14、如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD相切．A.4B.8C.4或6D.4或815、如图⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC，若AB=8，CD=2，则EC的长度为（）A.2B.8C.2D.2二、填空题(共10题，共计30分)16、如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC，AD，若∠CAB＝36°，则∠ADC的度数为________．17、如图，在平面直角坐标系中，已知点，为平面内的动点，且满足，为直线上的动点，则线段长的最小值为________.18、如图，在的正方形网格中，两条网格线的交点叫做格点，每个小正方形的边长均为1．以点为圆心，5为半径画圆，共经过图中________个格点（包括图中网格边界上的点）．19、圆周角是24度，那么它所对的弧是________度.20、如图，AB是半圆的直径，点C在半圆周上，连接AC，∠BAC=30°，点P在线段OB上运动．则∠ACP的度数可以是________．21、如图，点是上⊙O两点，，点是⊙O上的动点（与不重合），连结，过点分别作于，于，则________.22、如图，DB为半圆的直径，A为BD延长线上一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC 于点C，交半圆于点F．已知BD=2，设AD=x，CF=y，则y关于x的函数解析式是________．23、如图，在一张直径为20cm的半圆形纸片上，剪去一个最大的等腰直角三角形，剩余部分恰好组成一片树叶图案，则这片树叶的面积是________cm2.24、如图，平行四边形ABCD中，AB=AC=4，AB⊥AC，O是对角线的交点，若⊙O 过A、C两点，则图中阴影部分的面积之和为________.25、如图，已知直线AB与⊙O相交于A．B两点，∠OAB=30°，半径OA=2，那么弦AB=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，的度数为70°．求∠EOC的度数．27、如图，⊙O的半径为2，弦AB=2 ，点C在弦AB上，AC= AB，求OC 的长．28、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD+BC=AB，以AB为直径作⊙O，求证：CD是⊙O的切线．29、如图，在⊙O中，AB为直径，点B为的中点，直径AB交弦CD于E，CD=2， AE=5．（1）求⊙O半径r的值；（2）点F在直径AB上，连接CF，当∠FCD=∠DOB时，求AF的长．30、已知：如图， AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E，BF∥OC，连接BC，CF．求证：∠OCF=∠ECB．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、A3、B4、B5、C6、D7、A8、A9、B10、C11、B12、A13、C14、D15、D二、填空题(共10题，共计30分)17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)。

题型全解4 五大性质定理之圆周角定理【知识梳理】1.三个知识点（1）圆周角与圆周角关系：等弧或同弧所对的各个圆周角都相等；即：①∵BĈ=BC ̂，∴∠A=∠D ；②∵AD ̂=AD ̂，∴∠B=∠C ； 注意：不是同弦或等弦，因为一条弦所对的圆周角有两个，相等或互补即：弦BC 所对的圆周角有：∠E 、∠A 、∠D ，其中∠A=∠D ，∠A+∠E=180°（∠D+∠E=180°）（2）圆周角定理与垂径定理综合运用（3）圆周角与直径关系：直径所对的圆周角是90°（或90°的圆周角所对的弦是直径）即：BC 是直径，则∠A=90°；反之也成立：∠A=90°，则BC 是直径；注意：①熟悉两种添辅助线方法：①题中出现直径，常作直径所对的圆周角――直角；②若没有直径的，作直径、延长半径成直径；②拓展：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形D C BA OC B AO 两切线,全等两圆心;连半径证垂直；作垂直证半径321的关系：∠1+∠2=180°；∠2=∠3关系（4）圆内接四边形对角（圆周角）关系：①圆内接四边形的对角的度数和等于180°;②任何一个外角都等于它的内对角; 即：∠C+∠BAD=180°或∠C=∠DAE ；拓展1：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为"四点共圆"。

四点共圆有三个性质:(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等;如∠1=∠2;(2)圆内接四边形的对角互补; 如∠DAB+∠DCB=180°;(3)圆内接四边形的外角等于内对角,如∠FBC=∠ADC;(4)△DEC ∽△AEB 、△DEA ∽△CEB;(5) 以上性质逆用,即可判定四点共圆;(6)托勒密定理若ABCD 四点共圆(ABCD 按顺序都在同一个圆上)，那么AB ×DC+BC ×AD=AC ×BD即圆内接四边形中,两组对边的乘积和,会等于两条对角线的乘积.(7)相交弦定理： AE ×CE=BE ×DE;【典型例题】1．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C 的度数为______ED B A O F21ED CB A解析：∠C=∠B=24°̂=CD̂，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB= ．2．如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB解析：∵弧CB=弧CD，∠CAD=30°，∴∠CAD=∠CAB=30°，∴∠DBC=∠DAC=30°，∵∠ACD=50°，∴∠ABD=50°，∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．3．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）A. ∠ACD=∠DABB. AD=DEC. AD2=BD•CDD. AD•AB=AC•BD解析：如图，∠ADC=∠ADB，A、∵∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；B、∵AD=DE，∴=，∴∠DAE=∠B，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；C、∵AD2=BD•CD，∴AD：BD=CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；D、∵AD•AB=AC•BD，∴AD：BD=AC：AB，但∠ADC=∠ADB不是公共角，故本选项错误．故选D．24．直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是．解析：连接OA、OB，∵AB=OB=OA，∴∠AOB=60°，∴∠C=30°，∴∠D=180°﹣30°=150°，∴弦AB所对的圆周角是30°或150°．5. 已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是____解：由图可知，OA=10，OD=5，在Rt△OAD中，∵OA=10，OD=5，AD=5√3，∴tan∠1=AD/OD=√3，∠1=60°，同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴圆周角的度数是60°或120°6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是________解析：∵∠ABC=20°，∴∠AOC=40°，∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=40°，∴∠AOB=80°7．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是_____解析：∵A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，OA ⊥BC ，∴弧AC=弧AB ，∴∠ADC=12∠AOB （等弧所对的圆周角是圆心角的一半）；又∠AOB=70°，∴∠ADC=35°．8．如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的⊙O 上，若OA ⊥BC ，∠CDA=30°，则弦BC=____【分析】根据垂径定理得到CH=BH ，=，根据圆周角定理求出∠AOB ，根据正弦的定义求出BH ，计算即可． 解：∵OA ⊥BC ，∴CH=BH ，=，∴∠AOB=2∠CDA=60°，∴BH=OB •sin ∠AOB=√3，∴BC=2BH=2√3，9．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，点C 为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB 的长为___5√3【分析】连接OC 、OA ，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB 即可．解：连接OC 、OA ，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵AB 为弦，点C 为的中点，∴OC ⊥AB ， 在Rt △OAE 中，AE=，∴AB=5√3，10.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C=30°，⊙O 的半径为5，若点P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB=AB ，则PA 的长为_______解析：连接OA 、OB 、OP ，∵∠C=30°，∴∠APB=∠C=30°，∵PB=AB ，∴∠PAB=∠APB=30°∴∠ABP=120°，∵PB=AB ，∴OB ⊥AP ，AD=PD ，∴∠OBP=∠OBA=60°，∵OB=OA ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB=OA=5，则Rt △PBD 中，PD=cos30°•PB=√32×5=5√32，∴AP=2PD=5√3，11．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是________解：∵OA=OC，∴∠C=∠OAC=32°，∵BC是直径，∴∠B=90°﹣32°=58°12．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为______解：由圆周角定理得，∠ABC=∠ADC=35°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°﹣∠ABC=55°，13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于点D，则OD的长为解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC==4，∵OD⊥BC，∴BD=CD，而OB=OA，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=AC=×4=2．14．如图，⊙A 过点O （0，0），C （√3，0），D （0，1），点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，则∠OBD 的度数是__________解析：连接DC ，∵C （√3，0），D （0，1），∴∠DOC=90°，OD=1，OC=√3，∴∠DCO=30°，∴∠OBD=30°，15．如图，⊙O 的半径为1，△ABC 是⊙O 的内接等边三角形，点D 、E 在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是_______解析：连接BD ，∵∠E=90°，可知BD 是直径，作OM ⊥BC 于点M ，易知∠BOM=∠A=60°，∵OB=1，∴OM=12，BM=√32，∴BC=√3，CD=2OM=1，∴S 矩形BCDE =√316.如图，△ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC 于点H ，若AC=24，AH=18，⊙O 的半径OC=13，则AB=______解析：求线段长，要么针勾股定理，要么相似，由图形及题目条件判断，首先考虑相似，由于求AB ，且知AH 的长，我们选△ABH 跟某个三角形相似，由于△ABH 是直角三角形，所以需构造一个直角三角形，且含AC 为边的直角三角形与△ABH 相似，所以连OA 并延长AO 交⊙O 于点M ，连MC ，由于AM 是直径，∴∠ACM=90°，∵AĈ=AC ̂，∴∠B=∠AMC ，∴△ABH ∽△AMC ，∴AB AM =AH AC ，即AB 26=1824，∴AB=392 M A B C D E OH O A B CMA B C D E O O ED C B A H H O A B C O M C B A17．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．解析：（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE，∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD=x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD==，∴S菱形ABFC=8．∴S半圆=•π•42=8π．18．如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=72°，则∠DCE= ．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠DCB=180°，又∵∠DCE+∠DCB=180°∴∠DCE=∠A=72°19．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD=______解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A=180°﹣∠BCD=60°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，20．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是_______解：圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°，21．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为________解析：∵∠BOC=40°，∴∠OBC=70°，∴∠D=180°-70°=110°22. 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，DP//AC ，交BA 的延长线于P ，求证：AD ·DC=PA ·BC解析：连接BD ，∵DP//AC ，∴∠PDA=∠DAC ，∵∠DAC=∠DBC ，∴∠PDA=∠DBC ，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠DAP=∠DCB ，∴△PAD ∽△DCB ，∴PA ：DC=AD ：BC ，即AD ·DC=PA ·BCD B。

圆章节知识点及其练习题一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；A2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；图4图5（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

北师大版九年级下册数学第 12 讲《圆的有关概念及圆的确定》知识点梳理【学习目标】1.知识目标：理解圆的描述概念和圆的集合概念；理解半径、直径、弧、弦、弦心距、圆心角、同心圆、等圆、等弧的概念；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；了解不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念.2.能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，进行计算或证明；会过不在同一直线上的三点作圆.3.情感目标：在确定点和圆的三种位置关系的过程中体会用数量关系来确定位置关系的方法，逐步学会用变化的观点及思想去解决问题，养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义1.圆的描述概念如图，在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径. 以点O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.圆的集合概念圆心为O，半径为r 的圆是平面内到定点O 的距离等于定长r 的点的集合.平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.P rPrPr要点二、点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O 的半径为r，点P 到圆心O 的距离为d，那么：点P 在圆内⇔d ＜r ；点P 在圆上⇔d=r；点P 在圆外⇔d ＞r.“⇔”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时，取“=”号)∴直径AB 是⊙O 中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B 为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.4.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5.圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B 能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O 是△ABC 的外接圆，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点O 是△ABC 的外心.外心的性质：外心是△ABC 三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.【典型例题】类型一、圆的定义1．（2014 秋•邳州市校级月考）如图所示，BD，CE 是△ABC 的高，求证：E，B，C，D 四点在同一个圆上．【思路点拨】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.【答案与解析】证明：如图所示，取BC 的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE 是△ABC 的高，∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形．∴DF，EF 分别为Rt△BCD 和Rt△BCE 斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D 四点在以F 点为圆心，BC 为半径的圆上．【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.举一反三：【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形【答案】C.2.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m 以外的安全区域.这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m 是否安全？【思路点拨】计算在导火索燃烧完的时间内人跑的距离与120m比较.【答案与解析】∵导火索燃烧的时间为18=2（0s）0.9相同时间内，人跑的路程为20×6.5=130（m）∴人跑的路程为130m＞120m,∴点导火索的人安全.【总结升华】爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示.类型二、圆的有关计算3.已知，点P 是半径为5 的⊙O 内一点，且OP=3，在过点P 的所有的⊙O 的弦中，弦长为整数的弦的条数为( )A.2B.3C.4D.5【思路点拨】在一个圆中，过一点的最长弦是经过这一点的直径，最短的弦是经过这一点与直径垂直的弦.【答案】C.【解析】作图，过点P 作直径AB，过点P 作弦，连接OC则OC=5，CD=2PC，由勾股定理，得，∴CD=2PC=8，又∵AB=10，∴过点P 的弦长的取值范围是，弦长的整数解为8，9，10，根据圆的对称性，弦长为9 的弦有两条，所以弦长为整数的弦共4 条.故选C.【总结升华】利用垂径定理来确定过点P 的弦长的取值范围.根据圆的对称性，弦长为9 的弦有两条，容易漏解. 举一反三：【变式】平面上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm，则圆的半径是（）.A.2.5cmB.6.5cmC. 2.5cm 或6.5cmD. 5cm 或13cm【答案】C.类型三、确定圆的条件的有关作图与计算4.已知：不在同一直线上的三点A、B、C，求作：⊙O 使它经过点A、B、C.【思路点拨】作圆的关键是找圆心得位置及半径的大小，经过两点的圆的圆心一定在连接这两点的线段的垂直平分线上，进而可以作出经过不在同一直线上的三点的圆.【解析】作法：1、连结AB，作线段AB 的垂直平分线MN；2、连接AC，作线段AC 的垂直平分线EF，交MN 于点O；3、以O 为圆心，OB 为半径作圆.所以⊙O 就是所求作的圆.【总结升华】通过这个例题的作图可以作出锐角三角形的外心（图一），直角三角形的外心（图二），钝角三角形的外心（图三）.探究各自外心的位置.52 - 42【变式】（2015•江干区二模）给定下列图形可以确定一个圆的是（ ）A ．已知圆心B ．已知半径C ．已知直径D ．不在同一直线上的三个点【答案】D.提示：A 、已知圆心只能确定圆的位置不能确定圆的大小，故错误；B 、C 、已知圆的半径和直径只能确定圆的大小并不能确定圆的位置，故错误；D 、不在同一直线上的三点确定一个圆，故正确，故选 D ．5. 如图，⊙O 的直径为 10，弦 AB=8，P 是弦 AB 上的一个动点，那么 OP 的长的取值范围是 .【思路点拨】求出符合条件的 OP 的最大值与最小值.【答案】3≤OP ≤5.【解析】OP 最长边应是半径长，为 5；根据垂线段最短，可得到当 OP ⊥AB 时，OP 最短．∵直径为 10，弦 AB=8∴∠OPA=90°，OA=5，由圆的对称性得 AP=4，由勾股定理的 OP= = 3 ，∴OP 最短为 3.∴OP 的长的取值范围是 3≤OP ≤5.【总结升华】关键是知道 OP 何时最长与最短.举一反三：【变式】已知⊙O 的半径为 13，弦 AB=24，P 是弦 AB 上的一个动点，则 OP 的取值范围是．【答案】 OP 最大为半径，最小为 O 到 AB 的距离．所以 5≤OP ≤13.。

北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习圆的对称性—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系；3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用.【要点梳理】要点一、圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．要点诠释：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.要点三、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.要点四、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）要点五、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角与弧的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．2. 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1.（2015春•安岳县月考）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．【答案与解析】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=OE=1，在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF==，则CD=2DF=2．【总结升华】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三：【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，∴12MO HN CN CH CD CH==-=-11()(38)3 2.522CH DH CH=+-=+-=，111()(46)5222BM AB BH AH==+=+=，∴在Rt△BOM中，OB==【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.【答案】14cm.2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)图1 图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【总结升华】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3.（2015•普陀区一模）如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）【答案与解析】解：过点O作OD⊥AC于点D，则AD=BD，∵∠OAB=45°，∴AD=OD，∴设AD=x，则OD=x，OA=x，CD=x+BC=x+50）．∵∠OCA=30°，∴=tan30°，即=，解得x=25﹣25，∴OA=x=×（25﹣25）=（25﹣25）（米）．答：人工湖的半径为（25﹣25）米．【总结升华】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如图所示，在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；在图②中AB、CD交于⊙O内一点；在图③中AB∥CD．(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．(3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD．∵ AE⊥l于E，BF⊥l于F，∴ AE∥OG∥BF．∵ AB为直径，∴ AO＝OB，∴ EG＝GF，∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．【总结升华】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形. 类型三、圆心角、弧、弦之间的关系及应用5.已知：如图所示，⊙O 中弦AB ＝CD ．求证：AD ＝BC ．【思路点拨】本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD ＝BC ，只需证AD BC =或证∠AOD＝∠BOC 即可．【答案与解析】证法一：如图①，∵ AB ＝CD ，∴ A B C D =．∴ A B B DC D B D -=-，即AD BC =， ∴ AD ＝BC ．证法二：如图②，连OA 、OB 、OC 、OD ，∵ AB ＝CD ，∴ ∠AOB ＝∠COD ．∴ ∠AOB －∠DOB ＝∠COD －∠DOB ，即∠AOD ＝∠BOC ，∴ AD ＝BC ．【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理．举一反三：【变式】如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ． 求证：AC BD =．【答案】证法一：如上图所示，连OC、OD，则OC＝OD，∵OA＝OB，且12OM OA=，12ON OB=，∴OM＝ON，而CM⊥AB，DN⊥AB，∴Rt△COM≌Rt△DON，∴∠COM＝∠DON，∴A C B D=．证法二：如下图，连AC、BD、OC、OD．∵M是AO的中点，且CM⊥AB，∴AC＝OC，同理BD＝OD，又OC＝OD．∴AC＝BD，∴A C B D=．。

北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积；【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切.(3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交.4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行（或重合）的直线与⊙O有公共点, 设OP=x，则x的取值范围是（）.A．－1≤x≤1 B．≤x≤2C．0≤x≤2 D．x＞2【思路点拨】关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值．【答案】C；有公共点时，0≤OP≤，举一反三：类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，已知在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB 于D ，F 是⊙O 上的点，且CF CB =，BF 交CG 于点E ，求证：CE ＝BE ．【思路点拨】主要用垂径定理及其推论进行证明． 【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC ，∵ AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB ，∴ CB GB =．∵ CF BC =，∴ CF GB =．∴ ∠C ＝∠CBE ．∴ CE ＝BE ．证法二：如图(2)，作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ． ∵ AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CG ，∴ CB BG =．∵ CB CF =，∴ CF BC BG ==．∴ BF ＝CG ，ON ＝OD ．∵ ∠ONE ＝∠ODE ＝90°，OE ＝OE ，ON ＝OD ， ∴ △ONE ≌△ODE ，∴ NE ＝DE ． ∵ 12BN BF =，12CD CG =， ∴ BN ＝CD ，∴ BN-EN ＝CD-ED ，∴ BE ＝CE ．证法三：如图(3)，连接OC 交BF 于点N ．∵ CF BC =，∴ OC ⊥BF ． ∵ AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB ，∵ BG BC =，CF BG BC ==．∴ BF CG =，ON OD =．∵ OC ＝OB ，∴ OC-ON ＝OB-OD ，即CN ＝BD ．又∠CNE ＝∠BDE ＝90°，∠CEN ＝∠BED ， ∴ △CNE ≌△BDE ，∴ CE ＝BE ．【总结升华】在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（ ）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】如图，延长AO 交BC 于点D,过O 作OE ⊥BC 于E.则三角形ABD 为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt △ODE 中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=12OD=2，BE=BD-DE=10 OE 垂直平分BC ，BC=2BE=20. 故选D类型三、与圆有关的位置关系3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm ，长约为8.4cm. （1）试计算烟盒顶盖ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值）；（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm 3173..【答案与解析】 （1）如图（2），作O 1E ⊥O 2O 3)324AB cm ∴==∴四边形ABCD 的面积是：（2）制作一个烟盒至少需要纸张：.【总结升华】四边形ABCD中，AD长为7支香烟的直径之和，易求；求AB长，只要计算出如图（2）中的O1E长即可.类型四、圆中有关的计算4．（2015•丹东）如图，AB是⊙O的直径，=，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积；（2）求证：DE=DM．【答案与解析】解：如图，连接OD，∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵OA=CD=2，OA=OD，∴OD=CD=2，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠DOC=∠C=45°，∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π；（2）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵=，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．举一反三：【变式】（2015•贵阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S △ACF +S △OFD =S △AOD =×6×3=9， 即阴影部分的面积是9．类型五、圆与其他知识的综合运用5．ABC D BC DB DC DA +=如图，△是等边三角形，是上任一点，求证：.【思路点拨】由已知条件，等边△ABC 可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB ＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.【答案与解析】延长DB 至点E ，使BE ＝DC ，连结AE∵△ABC 是等边三角形∴∠ACB ＝∠ABC ＝60°，AB ＝AC∴∠ADB ＝∠ACB ＝60°∵四边形ABDC 是圆内接四边形∴∠ABE ＝∠ACD在△AEB 和△ADC 中，∴△AEB ≌△ADC∴AE ＝AD∵∠ADB ＝60°∴△AED 是等边三角形∴AD ＝DE ＝DB ＋BE∵BE ＝DC∴DB ＋DC ＝DA.【总结升华】本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）.A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=6π故选B．【总结升华】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( ).A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为.故选C.。

北师大版九年级下册圆的知识点圆是几何学中的一个基本概念，也是数学中非常重要的一个知识点。

在北师大版九年级下册数学教材中，关于圆的知识点涉及到圆的定义、性质、面积和周长的计算等方面。

下面我们就来一起探索一下这些知识点。

首先，我们来看一下圆的定义。

圆是平面上一组离一个定点距离相等的点构成的集合。

这个定点称为圆心，记作O；到圆心距离相等的点称为圆上的点，它们组成了圆。

圆的性质是我们学习圆的关键。

首先，圆的半径是由圆心到圆上任意一点的距离，我们用字母r表示。

半径相等的两个圆互为同心圆。

圆上任意两点与圆心连线的长度相等，这个长度称为弦。

弦通过圆心时，称为直径，直径的长度是半径的两倍，记作d=2r。

圆的面积是我们计算圆的重要指标之一。

圆的面积公式为S=πr²，其中π≈3.14是一个固定的近似值。

在计算圆的面积时，我们需要将半径的平方与π相乘，就可以得到圆的面积。

而圆的周长则是另一个重要的指标。

圆的周长公式为C=2πr，即圆的周长等于半径的二倍乘以π。

对于给定的圆，只要知道了半径，就可以根据公式计算出圆的周长。

正如我们在初中学习的内容一样，圆的知识点离不开实际生活中的应用。

例如，我们常常看到的钟表就是以圆形为基础的，它的指针不断地绕圆形表盘运动。

又如，在木匠工作中，我们需要制作木桶、木头盆等物品时，往往会采用圆的造型。

圆的知识点也有助于我们更好地理解其他几何图形，例如圆柱体、圆锥等等。

最后，我们还可以通过算术方式来深入理解圆的知识点。

例如，可以通过设定一个半径，计算圆的面积和周长，并与其他图形进行对比，从而更好地理解圆形的特点。

此外，还可以通过解决实际问题来应用圆的知识点，例如计算一个花坛的周长或面积，或者计算一个游泳池的圆周长度等等。

在北师大版九年级下册数学教材中，关于圆的知识点仅限于上述内容。

通过学习这些内容，我们可以对圆有一个全面而深入的认识，并能够应用这些知识点进行问题的求解。

总的来说，圆是几何学中非常重要的一个概念，也是数学中基础而重要的知识点。

九年级下册第三章圆【知识梳理】一、圆的认识1. 圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆.；固定的端点0叫做圆心；线段0A叫做半径；以点0为圆心的圆，记作O 0，读作“圆0”集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。

其中定点叫做圆心．，定长叫做圆的半径．，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆．．。

对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。

2、与圆相关的概念①弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．。

直径：经过圆心的弦叫做直径．．。

②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号表示，以CD为端点的弧记为”，读作“圆弧CD'或“弧CD 。

半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆..。

优弧：大于半圆的弧叫做优弧..。

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧..。

（为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。

）③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形..。

④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。

⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。

⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧..。

⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角..⑧弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距•3、点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d,贝U①点在圆上<===> d=r;②点在圆内<===> d<r;③点在圆外<===> d>r.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。

二.圆的对称性：1、圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

2、圆是中心对称图形，对称中心为圆心3、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

九年级下册北师大版圆知识点圆是我们学习数学的重要内容之一。

在九年级下册北师大版教材中，圆的知识点被分散在不同的章节中，下面我将逐一介绍这些知识点。

首先是圆的基本概念。

圆是由一个平面上所有到定点距离相等的点组成的集合。

在圆中，距离圆心最远的点称为圆的半径，而连接圆心和任意一点的线段称为半径。

圆心到圆上任意一点的距离称为弦长，而通过圆心的弦则是圆的直径。

接下来是圆的性质。

圆的直径是圆的最长弦，它等于圆的半径的两倍。

两个半径相互垂直的圆被称为互相垂直的圆。

圆的半径、弦和切线之间有一定的关系，具体可以用切线定理和弦切角定理来描述。

此外，同一个圆内的两个相交弦的弦积等于这两个弦所夹的弧的弧积。

圆上的一个弧所对的圆心角等于这个弧所对的弦所对的圆心角的一半。

在九年级下册北师大版教材中，我们还学习到了圆与直线的相关知识。

当直线与圆相交时，根据位置与长度可以分为两个弦相交、切线相交和弦切线相交三种情况。

对于弦切线相交，我们需要掌握切线与半径的关系，以及如何根据已知条件求解问题。

另外，我们还学习到了与圆相关的计算问题。

例如，根据圆的半径或直径求解圆的周长和面积的公式。

这些公式是基础且实用的，能够帮助我们更好地理解和应用圆的知识。

除了圆的基本概念和性质，我们还学习到了与圆相关的证明问题。

通过证明，我们可以深入理解圆的性质，并通过推理和演绎的方法得出结论。

对于证明问题，我们需要灵活运用已有的圆的定理和性质，寻找合适的证明方法，从而解决各种与圆相关的问题。

在学习圆的知识时，我们还要注意与其他几何知识的联系和应用。

例如，我们可以将圆与三角形、四边形等图形进行结合，进一步理解并应用圆的性质和定理。

通过九年级下册北师大版教材中关于圆的学习，我们可以学会运用圆的基本概念和性质解决与圆相关的问题。

同时，我们还需要注重思维的拓展，灵活运用已有的知识和方法，培养数学思维能力和解决问题的能力。

最后，通过积极参与课堂讨论和练习，我们可以更好地掌握圆的知识，提高自己的数学水平。

北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积；【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切.(3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交.4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行（或重合）的直线与⊙O有公共点, 设OP=x，则x的取值范围是（）.A．－1≤x≤1 B．≤x≤2C．0≤x≤2 D．x＞2【思路点拨】关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值．【答案】C；有公共点时，0≤OP≤，举一反三：类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，已知在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB 于D ，F 是⊙O 上的点，且CF CB =，BF 交CG 于点E ，求证：CE ＝BE ．【思路点拨】主要用垂径定理及其推论进行证明． 【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC ，∵ AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB ，∴ CB GB =．∵ CF BC =，∴ CF GB =．∴ ∠C ＝∠CBE ．∴ CE ＝BE ．证法二：如图(2)，作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ． ∵ AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CG ，∴ CB BG =．∵ CB CF =，∴ CF BC BG ==．∴ BF ＝CG ，ON ＝OD ．∵ ∠ONE ＝∠ODE ＝90°，OE ＝OE ，ON ＝OD ， ∴ △ONE ≌△ODE ，∴ NE ＝DE ． ∵ 12BN BF =，12CD CG =， ∴ BN ＝CD ，∴ BN-EN ＝CD-ED ，∴ BE ＝CE ．证法三：如图(3)，连接OC 交BF 于点N ．∵ CF BC =，∴ OC ⊥BF ． ∵ AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB ，∵ BG BC =，CF BG BC ==．∴ BF CG =，ON OD =．∵ OC ＝OB ，∴ OC-ON ＝OB-OD ，即CN ＝BD ．又∠CNE ＝∠BDE ＝90°，∠CEN ＝∠BED ， ∴ △CNE ≌△BDE ，∴ CE ＝BE ．【总结升华】在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（ ）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】如图，延长AO 交BC 于点D,过O 作OE ⊥BC 于E.则三角形ABD 为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt △ODE 中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=12OD=2，BE=BD-DE=10 OE 垂直平分BC ，BC=2BE=20. 故选D类型三、与圆有关的位置关系3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm ，长约为8.4cm. （1）试计算烟盒顶盖ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值）；（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm 3173..【答案与解析】 （1）如图（2），作O 1E ⊥O 2O 3)324AB cm ∴==∴四边形ABCD 的面积是：（2）制作一个烟盒至少需要纸张：.【总结升华】四边形ABCD中，AD长为7支香烟的直径之和，易求；求AB长，只要计算出如图（2）中的O1E长即可.类型四、圆中有关的计算4．（2015•丹东）如图，AB是⊙O的直径，=，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积；（2）求证：DE=DM．【答案与解析】解：如图，连接OD，∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵OA=CD=2，OA=OD，∴OD=CD=2，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠DOC=∠C=45°，∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π；（2）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵=，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．举一反三：【变式】（2015•贵阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S △ACF +S △OFD =S △AOD =×6×3=9， 即阴影部分的面积是9．类型五、圆与其他知识的综合运用5．ABC D BC DB DC DA +=如图，△是等边三角形，是上任一点，求证：.【思路点拨】由已知条件，等边△ABC 可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB ＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.【答案与解析】延长DB 至点E ，使BE ＝DC ，连结AE∵△ABC 是等边三角形∴∠ACB ＝∠ABC ＝60°，AB ＝AC∴∠ADB ＝∠ACB ＝60°∵四边形ABDC 是圆内接四边形∴∠ABE ＝∠ACD在△AEB 和△ADC 中，∴△AEB ≌△ADC∴AE ＝AD∵∠ADB ＝60°∴△AED 是等边三角形∴AD ＝DE ＝DB ＋BE∵BE ＝DC∴DB ＋DC ＝DA.【总结升华】本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）.A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=6π故选B．【总结升华】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( ).A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为.故选C.。

新北师大版九年级下册第三章《圆》复习资料（一）圆 2015、1、151、定义A：一条线段绕一个端点在平面内旋转一周，另一个端点运动所形成的图形叫圆。

定义B：到定点距离等于定长的点的集合是圆。

定义C：正多边形的边数趋向于无穷大时，图形趋向圆。

2、点与圆的位置关系若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆⇔ d r点P在圆⇔ d r点P在圆⇔ d r练习1、正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A ；点C 在⊙A ；点D在⊙A 。

2、已知⊙O的直径为10cm.(1)若OP=3cm，那么点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O ；(2)若OQ= cm，那么点Q与⊙O的位置关系是：点Q在⊙O上；(3)若OR=7cm，那么点R与⊙O的位置关系是：点R在⊙O .（二）圆相关概念1、连接圆上任意两点的线段叫做弦。

2、经过圆心的弦叫做直径。

3、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

4、圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

5、定点在圆心的角叫做圆心角。

6、圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。

7、能够互相重合的两个圆叫做等圆。

8、能够互相重合的弧叫做等弧。

9、同圆或等圆的半径相等。

练习：1、下列语句不正确的是（）①直径是弦；②弧是半圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条弦；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径。

A、1B、2C、3D、42、等于23圆周的弧是（）A、劣弧B、半圆C、优弧D、圆3、如图，⊙O的直径AB=4，半径O C⊥AB，点D在上，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F.求EF的长.（三）圆的对称性1、圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

2、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

3、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们对应的其余各组量都分别相等。

九年级下册北师大数学圆的知识点北师大数学圆的知识点圆是数学中一种特殊的几何形状，它在我们的日常生活中无处不在。

在九年级下册的北师大数学课程中，我们将学习关于圆的一系列知识点，包括圆的定义、性质以及相关的定理。

本文将对这些知识点进行介绍，帮助同学们更好地理解和应用圆的概念。

一、圆的定义和性质1. 定义：圆是平面上与给定点距离相等的所有点的集合。

这个给定点称为圆心，距离称为半径。

2. 性质一：圆的半径相等的两条弦相等。

也就是说，在一个圆上，若两条弦的两端点都在圆上，且弦的长度相等，那么这两条弦的中点肯定也在圆上。

3. 性质二：圆的半径垂直于弦。

对于一个圆，若弦的两端点在圆上，那么弦的中点和圆心连线一定垂直于弦。

二、圆的相关定理1. 切线定理：如果一条直线与圆相切，那么它与半径的连线垂直。

2. 切圆定理：如果一条直线与圆只有一个公共点，那么它与圆的切点和圆心连线垂直。

3. 正切定理：如果一条直线能同时切两个圆，并且两个切点分别位于两个圆心对连线的两侧，那么这条直线的两个切点和两个圆心连线的两个交点共圆。

三、圆的计算1. 弧长和扇形面积的计算：对于一个圆，我们可以通过已知半径和角度来计算弧长和扇形面积。

弧长的计算公式为l = rθ，其中l 代表弧长，r 代表半径，θ 代表圆心角的弧度。

扇形面积的计算公式为S = 1/2r²θ，其中 S 代表扇形面积。

2. 弧度和角度的转换：圆心角的弧度和角度之间存在一个转换关系，即角度 = 弧度× 180°/π，其中π 是一个无限不循环小数，它的近似值约为3.14。

四、应用实例1. 圆的应用：圆的应用非常广泛，它在建筑、艺术、科学等领域中都有重要的应用。

比如，我们常见的圆柱体、圆锥体和球体都是基于圆的形状构建的。

2. 弧长和扇形面积的实际问题：弧长和扇形面积的计算在实际生活中也有很多应用。

比如，在设计汽车驶过弯道的路径时，我们需要计算弧长和扇形面积来提供行驶的参考。

九年级数学圆知识点总结北师大版九年级数学圆知识点总结（北师大版）一、圆的定义1、圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。

2、圆心：圆中心的点叫做圆心。

3、半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。

4、直径：通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。

二、圆的性质1、圆的对称性（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

（2）圆是中心对称图形，其对称中心是圆心。

2、圆心角和圆周角（1）顶点在圆心上的角叫做圆心角。

（2）顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

3、圆的基本性质（1）半径相等的圆是等圆。

（2）直径是圆中最长的弦。

（3）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

4、圆的面积和周长（1）圆的面积 S=πr²，其中r为半径。

（2）圆的周长 C=2πr，其中r为半径。

三、点和圆的三种位置关系1、点在圆内：点和圆心的距离小于半径。

2、点在圆上：点和圆心的距离等于半径。

3、点在圆外：点和圆心的距离大于半径。

四、直线和圆的三种位置关系1、直线和圆相离：直线和圆没有公共点。

2、直线和圆相切：直线和圆只有一个公共点。

3、直线和圆相交：直线和圆有两个公共点。

五、圆和圆的位置关系1、外离：两圆没有公共点，且一个圆在另一个圆外面。

2、外切：两圆只有一个公共点，且一个圆在另一个圆外面。

3、相交：两圆有两个公共点。

4、内切：两圆只有一个公共点，且一个圆在另一个圆里面。

5、内含：两圆没有公共点，且一个圆在另一个圆里面。

六、正多边形和圆1、把正多边形的各边中心连向它的各边所在直线时，中心和边的垂线组成的角叫做正多边形的中心角。

2、正多边形的半径和边数之间存在如下关系：半径=r，边数n=2πr/α，其中α为正多边形的中心角。

七、弧长和扇形面积1、弧长公式：l=nπr/180，其中n为弧度制下的扇形圆心角。

2、扇形面积公式：S=nπr²/360，其中n为扇形圆心角。