清华大学 材料力学第9章-压杆稳定
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第九章 压杆稳定 习题解[习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆,按图a 所示坐标系及挠度曲线形状,导出了临界应力公式。
试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲22l EIP cr π=线形状时,压杆在作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同,由此所得公cr F cr F 式又是否相同。
解: 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关,与挠曲线的位置无关。
因为(b )图与(a )图具有相同的坐标系,所以它们的挠曲线微分方程相同,都是。
(c )、(d)的坐标系相同,它们具有相同的挠曲线微分方程:)("x M EIw -=,显然,这微分方程与(a )的微分方程不同。
)("x M EIw =临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关,与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。
因此,以上四种情形的临界力具有相同的公式,即:。
22l EIP cr π=[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同,试问杆能承受的压力哪根最大,哪根最小(图f 所示杆在中间支承处不能转动)?解:压杆能承受的临界压力为:。
由这公式可知,对于材料和截面相同的压22).(l EI P cr μπ=杆,它们能承受的压力与 原压相的相当长度的平方成反比,其中,为与约束情况有l μμ关的长度系数。
(a )ml 551=⨯=μ(b )ml 9.477.0=⨯=μ(c )ml 5.495.0=⨯=μ(d )ml 422=⨯=μ(e )ml 881=⨯=μ(f )(下段);(上段)m l 5.357.0=⨯=μm l 5.255.0=⨯=μ故图e 所示杆最小,图f 所示杆最大。
cr F cr F[习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接,但第一根杆(图a )的基础放在弹性地基上,第二根杆(图b )的基础放在刚性地基上。
试问两杆的临界力是否均为2min2).2(l EI P cr π=为什么并由此判断压杆长因数是否可能大于2。
第 1 页/共 2 页9-5 未失稳失,轴向压缩 T F L L ∆=∆TEA F TL L EAFL L l l T F αα=⇒=∆=∆, 临界状态 kN 3.109)5.0(22cr ==L EIF π由cr F F =得,温升C EALEI T l ︒==2.29422απ 9-8 由铰B 平衡,22BC AB F F F +=,ABBC F F =θtan F 最大时,AB F 与BC F 均达到临界值2222)sin ()cos (βπβπAC EI F AC EI F BC AB ==, )arctan(cot cot tan 22βθβθ==⇒, 9-10 柔度临界值 p2p σπλE = (1)5.72p =λ,(2)8.65p =λ,(3)6.73p =λ 9-12 AB 与BC 均为两力杆,由铰B 平衡可得 F F BC 75=(压) 柔度 m m 320m 5.215.216=====i l i l,,,其中μμλ 稳定因素 06.028002==λϕ稳定许用应力 MPa 6.0][][st ==σϕσ st ][MPa 58.0σσ<==AF BC ,满意稳定性条件。
9-15 组合压杆的临界力cr F 为杆BC 与AB 临界力的最小值柔度临界值 1002==PP E σπλ P ACAC P BC BC i AC i BC λλλλ>=====1047.0100,大柔度杆,由欧拉公式N 1094.0)7.0(N 1004.1622622⨯==⨯==AC EIF BC EIF AC BC ππ,N 1094.06cr ⨯==⇒AC F F许用压力 kN 376][stcr ==n F F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛======kN 416MPa 8.82][MPa 1.207BC kN 376MPa 6.76][MPa 4.191AC st cr st cr F F ,,:,,:σσσσ 9-17 杆AC ,强度许用应力 MPa 118][st ==n σσ 最大弯矩 26132bh W F M B ==, 最大应力 kN 6.95][41][2max =≤⇒≤=bh F W M B σσσ 杆CD ,柔度P iCD λλ>==200,大柔度杆 由欧拉公式 MPa 3.4922cr ==λπσE 稳定许用应力 MPa 4.16][st cr st ==n σσ 压力 F F CD 31=应力 kN 5.15][3][st st =≤⇒≤=A F AF CD σσσ 结构的许可荷载 kN 5.15][=F。
第九 章 压 杆 稳 定一、选择题1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。
在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形,若此时解除干扰力,则压杆( A )。
A 、弯曲变形消失,恢复直线形状;B 、弯曲变形减少,不能恢复直线形状;C 、微弯状态不变;D 、弯曲变形继续增大。
2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态,此时若解除压力P ,则压杆的微弯变形( C )A 、完全消失B 、有所缓和C 、保持不变D 、继续增大 3、压杆属于细长杆,中长杆还是短粗杆,是根据压杆的( D )来判断的。
A 、长度B 、横截面尺寸C 、临界应力D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的( A )对临界应力的影响。
A 、长度,约束条件,截面尺寸和形状;B 、材料,长度和约束条件;C 、材料,约束条件,截面尺寸和形状;D 、材料,长度,截面尺寸和形状; 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同, 试判断哪一根最容易失稳。
答案:( a )6、两端铰支的圆截面压杆,长1m ,直径50mm 。
其柔度为 ( C )A.60;B.66.7; C .80; D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下,压杆采用图( D )所示截面形状,其稳定性最好。
8、细长压杆的( A ),则其临界应力σ越大。
A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小;B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大;C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大;D 、弹性模量E 越小或柔度λ越小; 9、欧拉公式适用的条件是,压杆的柔度( C )A 、λ≤ PEπσ B 、λ≤sEπσC 、λ≥ P Eπσ D 、λ≥sEπσ- 2 -10、在材料相同的条件下,随着柔度的增大( C )A 、细长杆的临界应力是减小的,中长杆不是;B 、中长杆的临界应力是减小的,细长杆不是;C 、细长杆和中长杆的临界应力均是减小的;D 、细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的; 11、两根材料和柔度都相同的压杆( A )A. 临界应力一定相等,临界压力不一定相等;B. 临界应力不一定相等,临界压力一定相等;C. 临界应力和临界压力一定相等;D. 临界应力和临界压力不一定相等;12、在下列有关压杆临界应力σe 的结论中,( D )是正确的。
第九章 压杆稳定§9—1 概述短粗压杆——[]σσ≤=AF Nmax (保证具有足够的强度) 细长压杆——需考虑稳定性。
一、压杆稳定性的概念:在外力作用下,压杆保持原有直线平衡状态的能力。
二、压杆的稳定平衡与不稳定平衡:三、临界的平衡状态:给干扰力时,在干扰力给定的位置上平衡;无干扰力时,在原有的直线状态上平衡。
(它是稳定与不稳定的转折点)。
压杆的临界压力:Fcr ( 稳定平衡的极限荷载)四、判断压杆稳定的标志——F cr稳定的平衡状态——cr F F 临界的平衡状态——cr F F =不稳定的平衡状态(失稳)——cr F F§9—2 两端铰支细长压杆的临界力假定压力以达到临界值,杆已经处于微弯状态且服从虎克定律,如图,从挠曲线入手,求临界力。
①、弯矩:w F x M cr -=)(②、挠曲线近似微分方程:w F x M w EI cr -=='')( 即,0=+''w EIF w cr令 EIF k cr =202=+''w k w ③、微分方程的解:kx B kx A w cos sin += ④、确定微分方程常数:0)()0(==L w w )sin (.0sin 0,B kx w kL ===→πn Kl =(n=0、1、2、3……)EIF L n k cr==∴π222L EI n F cr π=→临界力 F c r 是微弯下的最小压力,故,只能取n=1 ;且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
2min2cr F L EI π=∴§9—3 其它支承下细长压杆的临界力2min2)(l EI F cr μπ=——临界力的欧拉公式(μ——长度系数,L ——实际长度,μL ——相当长度) 公式的应用条件:1、理想压杆;2、线弹性范围内;【例】:试由挠曲线近似微分方程,导出下述细长压杆的临界力公式。
解:变形如图,其挠曲线近似微分方程为:0)(m w F x M w EI cr -==''EI F k cr =2:令 crF m k w k w EI 022=+'' kx d kx c w sin cos += 边界条件为:.0,;0,0='==='==w w L x w w x, 2,,00πn kL F m d c cr=-== 为求最小临界力, “ n ”应取除零以外的最小值,即取:π2=kL所以,临界力为:2222)2/(4L EIL EI F cr ππ== (μ=0.5)【例】:求下列细长压杆的临界力。