下载文档原格式
2017-2018学年高中数学３．２对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算导学案(无答案）新人教Ｂ版必修１编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(20１７-２01８学年高中数学３.2 对数与对数函数 3．２.1 对数及其运算导学案(无答案）新人教Ｂ版必修1)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为2017-201８学年高中数学 3.２对数与对数函数 3.２.１对数及其运算导学案（无答案）新人教B版必修1的全部内容。
对数及其运算学习目标：1、理解对数（常用对数、自然对数)的定义,掌握对数恒等式,换底公式,对数运算法则,及其应用。
２、掌握对数式与指数式互化。
B 案【使用说明】认真阅读课本,完成以下的题目,做好疑难标记准备讨论。
１、如果a x ＝N （a 〉0且ａ≠1），那么x 叫做 ，记做 ,其中ａ叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
2、通常将以１0为底Ｎ的对数叫 ,记作 。
以ｅ（e=2。
71８2８１8…)为底N 的对数叫 ，记作 。
3、ｌog ａ1＝ ;log a a ＝ .4、设a 〉0且a ≠1，M 〉0，N>０,ｎ>1且n ∈Ｎ＊则(１）lo ｇa (MN)= ;（２）N M log a＝ 。
（3)lo ｇa Ｍｎ= ;（4)M log n a = .(5).____________________N log N log N log n a a a =+⋯++25、对数的换底公式:log a N= 。
特别地可以换成常用对数:l ｏg a N= ,自然对数log ａN= ．6、01>=a ________(alog b 且a ≠1,b 〉0且ｂ≠1)(即_____b log a log a b =⋅）C 案【使用说明】1、将自学中遇到的问题组内交流，标记好疑难点；２、组内解决不了的问题直接提出来作为全班展示。
3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算第1课时 对数概念及常用对数[学习目标] 1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质.2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程.[知识链接] 1.832＝4，6432-＝116. 2.若2x ＝8，则x ＝3；若3x ＝81，则x ＝4.[预习导引]1.对数(1)定义：对于指数式a b ＝N ，把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)，其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”.(2)常用对数：当a ＝10时，log 10N 记作lg_N ，叫做常用对数.(3)对数恒等式：a ＝N .2.对数的基本性质要点一 指数式与对数式的互化例1 将下列指数式与对数式互化：(1)2－2＝14；(2)102＝100； (3)e a ＝16；(4)6431-＝14； log N a(5)log 39＝2；(6)log x y ＝z .解 (1)log 214＝－2. (2)log 10100＝2，即lg 100＝2.(3)log e 16＝a .(4)log 6414＝－13. (5)32＝9.(6)x z ＝y .规律方法 1.对数式与指数式的互化图：2.并非所有指数式都可以直接化为对数式.如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a ＞0且a ≠1，N ＞0时，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N .跟踪演练1 下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A.e 0＝1与log e 1＝0B.831＝2与log 82＝13C.log 24＝2与421＝2D.log 33＝1与31＝3答案 C解析 由指对互化的关系：a x ＝N ⇔x ＝log a N 可知A 、B 、D 都正确；C 中log 24＝2⇔22＝4. 要点二 对数基本性质的应用例2 求下列各式中x 的值：(1)log 2(log 4x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1； (3)log (2－1)12＋1＝x . 解 (1)∵log 2(log 4x )＝0，∴log 4x ＝20＝1，∴x ＝41＝4.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1 000.(3)∵log 12＋1＝x ， ∴(2－1)x ＝12＋1＝2－1，∴x ＝1. 规律方法 1.对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0.2.使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于有多重对数符号的，1)可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质.跟踪演练2 利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x 值：(1)log 2x ＝－12；(2)log x 25＝2； (3)log 5x 2＝2.解 (1)由log 2x ＝－12，得221-＝x ， ∴x ＝22. (2)由log x 25＝2，得x 2＝25.∵x ＞0，且x ≠1，∴x ＝5.(3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52，∴x ＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，∴x ＝5或x ＝－5.要点三 对数恒等式a＝N 的应用 例3 计算：353log 1+－232log 4+＋103lg3＋⎝⎛⎭⎫1252log . 解 353log 1+－232log 4+＋103lg3＋⎝⎛⎭⎫1252log ＝3×353log －24×2＋(10lg3)3＋(252log )－1 ＝3×5－16×3＋33＋5－1＝－295. 规律方法 对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用.这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为对数的真数.跟踪演练3 求值：(1)943log 21；(2)525log 1+. 解 (1)943log 21＝(32)43log 21＝3＝4. (2)525log 1+＝5×5＝5×2＝10.1.2x ＝3化为对数式是( )A.x ＝log 32B.x ＝log 23C.2＝log 3xD.2＝log x 3答案 Blog N a 32log 43log 25log解析 ∵2x ＝3，∴x ＝log 23.2.若log 3x ＝3，则x 等于( )A.1B.3C.9D.27答案 D解析 ∵log 3x ＝3，∴x ＝33＝27.3.有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数.A.1B.2C.3D.0答案 C解析 对于②，(－2)3＝－8不能化为对数式，∴②不正确，其余正确.4.已知log 2x ＝2，则x －12＝________. 答案 12解析 ∵log 2x ＝2，∴x ＝4，∴x 21-＝421-＝1421＝12. 5.若lg(lg x )＝0，则x ＝________.答案 10解析 lg x ＝1，x ＝10.1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)a ＝N .2.在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.3.指数式与对数式的互化log Na。
《对数函数》教学设计辽宁省北镇市高级中学刘振一、教材分析本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》第三章基本初等函数（1）对数函数（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。
对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。
与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。
学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。
二、学生学习情况分析刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。
由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。
教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。
三、教学目标1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。
四、教学重点与难点重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响．五、教学过程设计教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结（一）熟悉背景、引入课题1．让学生看材料：如图1材料（多媒体）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个……，不难发现：分裂次数就是要得到的细胞个数的函数,即；图 12引导学生观察这个函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，∞）．注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：，都不是对数函数．②对数函数对底数的限制：，且．3．根据对数函数定义填空；例1 （1）函数 =og a2的定义域是___________ 其中a>0,a≠12 函数=og a4- 的定义域是___________ 其中a>0,a≠1说明：本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理解，所以把教材中的解答题改为填空题，节省时间，点到为止。
3.2.1对数及其运算（三）
教学目标：掌握对数的换底公式
教学重点：掌握对数的换底公式
教学过程：
1、首先可以通过实例研究当一个对数式的底数改变时，整个对数式会发生什么变化?
如求设，写成指数式是，取以为底的对数得
即．
在这个等式中，底数3变成后对数式将变成等式右边的式子．
一般地
关于对数换底公式的证明方法有很多，这里可以仿照刚才具体的例子计算过程证明对数换底公式，证明的基本思路就是借助指数式．
换底公式的意义是把一个对数式的底数改变可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则．
由换底公式可得：
(1)．
(2)．(
2、例题：
1、证明：
证明：设，，，则：，
，，
∴，从而；∵，∴，即：。
（获证）
2、已知：
求证：
证明：由换底公式，由等比定理得：
，∴，
∴。
3、设，且，
求证：；比较的大小。
证明：设，∵，∴，取对数得：
，，，∴
；
，∴
，又
，∴
，∴。
课堂练习：教材第109页练习A、B
小结：本节课学习了对数的换底公式
P习题3—2B,1、2
课后作业：
115。
3.2.1 对数及其运算（3）教学目标：知识与技能：通过具体实例，了解对数换底公式所刻画的量关系。
熟练对数换底公式的正、逆用。
过程与方法：体验由特殊到一般的推导换底公式的方法，借助化异为同的方法解决简单问题。
情感态度与价值观：通过学会换底公式的运用，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：换底公式的证明和应用教学难点：换底公式的发现过程及其应用教学过程：一、复习引入师：在上节课我们学习了积商幂的对数，其推导过程都是借助对数指数化的方法。
下面请同学们回想一下它们的运算法则：)(log MN a =______________；NM alog =______________；αM a log =________ 生：回答 师：利用法则迅速计算：8log 2，2log 4与8log 4的值，并探讨它们之间的关系 生：38log 2=，2log 4=2，238log 4=；观察发现4log 8log 8log 224= 师：那大家思考a 4a log 8log 8=log 4与4lg8log 8=lg 4是否成立？ 生：相等 师：如果把上述的两个式子定义成公式，你想怎样表述？生：（自由猜想）师：这几个对数都是比较特殊的，我们能够直接运算，若遇到对数值不是特殊的又该怎么计算呢？比如：已知lg50.6990,lg30.4771==，求3log 5（不通过计算器）。
（有的同学会说3lg 5log 5=lg 3，对，但是没有依据依据就是今天我们所要研究的内容——换底公式）设计意图：通过具体的例子，引出本节课重点内容——换底公式，是学生易于接受。
二、讲授新知1、请同学们再次看引例：已知lg50.6990,lg30.4771==，求3log 5（不通过计算器）我们要怎么求解3log 5的值呢？由前面所学已经知道对数式是由指数式互化得来的，故可由这一点入手：设3log 5=x 写成指数形式，得：35x =，两边取常用对数，得：lg3lg5x =，即lg3lg5x = 解得lg50.6990 1.465lg30.4771x ===，即3lg5log 5 1.465lg3== 大家猜想N b log 可以等于什么吗？ 学生猜到：lg log =lg b b N N 教师提示更一般的a a log log =log bb N N ，大家思考如何证明呢？（仿照引例证明，教师指导。
对数的运算性质教学目标：（1） 知识目标：理解对数运算的有关性质，并能运用性质解决有关问题。
（2） 能力目标： 提高学生解决问题的能力。
（3） 情感目标：培养学生学习数学的兴趣，提到学生学习数学的热情。
教学方法：（1） 图示法：利用多媒体演示使教材内容更加生动有趣。
（2） 提问法：教师进行适当的提问，指导学生解决问题。
（3） 探究法：利用新旧知识的联系，培养学生的思考能力。
教学工具：多媒体投影和计算机辅助教学，其中多媒体投影为师生的讨论和交流提供了平台。
教学重点：对数运算性质的运用，利用性质解决相关数学问题。
教学难点：对数运算性质的证明及运用。
课时安排：一课时教学过程：（一 ） 创设问题情景，引入新课回顾指数运算的性质与对数式与指数式之间的关系：01a a >≠且x y x y a a a +÷=x y x y a a a-÷= ()x y xy a a= log (0,1,0)b a N b a N a a N =⇔=>≠>（二 ）新课讲解 222lg 2lg 5lg 7log 8log 2log 6+=-=判断下列式子是否成立？（错）（错）那正确的是怎么样呢？教师给出答案，为什么会这样，其实有对数运算的性质决定的。
（这样更加能激发学生的求知欲望，增强学生学习数学的乐趣。
）直接给出三个运算性质，让学生思考。
过一会，教师在黑板上求证第一个运算性质，余下几个让学生在自己纸上做。
0,1,0,0,1()log log ;(2)log log log ;(3)log log ().a a a aa a n a a a a M N MN M N M M N NM n M n R >≠>>=+=-=∈如果那么（）log1log log ,,log ().log ()log log a a p q p q p qa a a a M P N q M a N a MN a a a MN P q MN M N+====∴==∴=+=+现在来证明性质（）证明：设，，由对数的定义可以得即证得对于性质2可以让一名学生上来板演。
3.2.1 对数及其运算(二)自主学习学习目标1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么，(1)log a (MN )＝________________；(2)log a M N＝________； (3)log a M n ＝________(n ∈R )．2．对数换底公式：________________.3．自然对数(1)以________________为底的对数叫做自然对数，log e N 通常记作________．(2)自然对数与常用对数的关系：ln N ≈____________.对点讲练知识点一 正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( )①log a x ＋log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a x y＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．3规律方法 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．变式迁移1 (1)若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x(2)对于a >0且a ≠1，下列说法中正确的是( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①③B ．②④C ．②D ．①②③④知识点二 对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.规律方法 (1)对于同底的对数的化简常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．(2)对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．(3)对于含有多重对数符号的对数的化简，应从内向外逐层化简求值．变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.知识点三 换底公式的应用例3 设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．规律方法 换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．解题过程中换什么样的底应结合题目条件，并非一定用常用对数、自然对数．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ；(2)已知log 142＝a ，用a 表示log 27.1．对于同底的对数的化简要用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．4．要充分运用“1”的对数等于0，底的对数等于“1”等对数的运算性质．5．两个常用的推论：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log am b n ＝n mlog a b (a 、b >0且均不为1).课时作业一、选择题1．lg 8＋3lg 5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 2．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36等于( )A.a ＋b aB.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg a b 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.144．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．计算2log 525＋3log 264－8log 71的值为( )A ．14B ．8C ．22D ．27二、填空题6．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，那么lg 1.8＝__________.7．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝__________.三、解答题8．求下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.9．已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365.3．2.1 对数及其运算(二)答案自学导引1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N(3)n log a M2．log a b ＝log c b log c a3．(1)无理数e ＝2.718 28… ln N(2)2.302 6lg N对点讲练例1 A [对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．]变式迁移1 (1)A(2)C [在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立． 在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立． 所以，只有②成立．]例2 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.变式迁移2 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7) ＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.例3 解 由已知分别求出x 和y .∵3x ＝36,4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得： x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.变式迁移3 解 (1)利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝2， ∴lg m ＝2lg 3，于是m ＝9.(2)由对数换底公式，得log 27＝log 27log 22＝log 2712＝2log 27＝2(log 214－log 22) ＝2(1a －1)＝2(1－a )a. 课时作业1．D [lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 1 000＝3.]2．B [log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋b b.] 3．A [由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.] 4．A [由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010 ＝13.] 5．C6.a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg 1.8 ＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg 2＋lg 9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．2解析 由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1.得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2.8．解 (1)方法一 原式＝12(5 lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5 ＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12. (2)方法一 原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 10·lg 52＋lg 4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg 10＝1. 方法二 原式＝(lg 10－lg 2)2＋2lg 2－lg 22＝1－2lg 2＋lg 22＋2lg 2－lg 22＝1.9．解 ∵18b ＝5，∴log 185＝b, 又∵log 189＝a ，∴log 365＝log 185lg 1836＝b log 18(18×2)＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189＝b 1＋(1－log 189)＝b 2－a.。
