(完整)2017年马鞍山二中高一理科实验班招生考试数学试题及答案,推荐文档

安徽省马鞍山二中2017 届高三上学期期中（理科）数学试卷答 案1~5． BDCAB 6~10．CBDDD 11~12． AB13． 1 146 ． 1315． 65 16． 1p ：1x17．解：对于命题a 3 x0 知， a， x，0 ， a 1由 13对于命题 q ： ax 2 x a 0 在 R 上恒成立①若 a 0 ，则 - x0 在 R 上恒成立，明显不行能，舍去．②若 aa 0，解得： a10 ，则1 4a2 2命题 p 和 q 有且仅有一个正确，p 真 q 假或许 p 假 q 真，而由 p 真 q假，可得 a1 1；由 p假 q真，可得 a2综上可得，所求a 的取值范围为,11,2 18．解：（Ⅰ）a bc ．cosA 2cosB3cosCsinA sinBsinC ，cosA2cosB3cosC即 tanA11 2tanA ， tanC 3tanA ，tanBtanC ，tanB23tanAtan BC2tan A 3tan A ，1 tan B tan CtanA2tan A3tan A 2，1 6tan 2A ，整理求得tan A 1， tanA 1当 tanA 1时， tan B2 ，则 A ， B 均为钝角，与 A B C π矛盾，故舍去，π tanA 1, A．4（Ⅱ）tanA 1，tanB 2tanA ，tanC 3tanA ，tanB 2，tanC 3 ，sinB2,sin C 3 ，5 10 cosB1,cosC1510sinAsinBCsin B CsinBcosC2 1 13 1cosBsinC1051025ab，sinAsinBb sinB a 2 10，sinA5 aSABC1absinC1 a ?2 10 ?a3 3a 2 3 ，225105a 2 5， a5 ．19 1 ）证明：如图 1取 BD 中点 M ，连结 AM ，ME ． ．（ABAD2，AM BDDB2，DC 1， BC5 ，DB 2 DC 2BC 2 ，△BCD 是 BC 为斜边的直角三角形， BD DC ，E 是 BC 的中点，ME 为 △ BCD 的中位线1ME ∥ CD ，MECD ，1 MEBD ， ME，2AME 是二面角 A BD C 的平面角，AME 60AMBD ，MEBD 且 AM 、ME 是平面 AME 内两订交于 M 的直线，BD 平面 AEMAE 平面 AEM ，BDAE ABAD2，DB 2 ，△ ABD 为等腰直角三角形， AM1BD 1，2AE 2AM 2 ME 2 2AM ME cos AME3 ，4AE3 ，4AE 2ME21 AM2，AEME M ，BDME ，BD平面 BDC ，ME面BDC ，AE平面 BDC（2）解：如图 2， M 为原点 MB 为 x 轴， ME 为 y 轴，成立空间直角坐标系M xyz ，1B 1,0,0 , E1 1 31,1,0则由（ ）及已知条件可知0, ,0,A0,,, D 1,0,0 ,C22 2DA1,1 ,3,DC0,1,1 , AE0,0,3 ，2 22设平面 ACD 的法向量为 nx,y,z1 3则 x+ 2 y 2 z 0 ，n3,0, 2 ，y设直线 AE 与平面 ADC 所成角为，则sin3 2 73772直线 AE 与平面 ADC 所成角的正弦值为2 7 720．解：（ 1）当 x 0 时， sgn x 1 ，解方程 x 2 3x 11 ，得 x 3（ x 0 不合题意舍去） ；当 x 0 时， sgn x 0 ， 0 不是方程 x 2 3x 1 0 的解；当 x 0 时， sgn x1，解方程 x 23x1 1 ，得 x2 或 x 2 （均不合题意舍去） ．综上所述， x3是方程 x23x 1sgn x 的根．x22x, x2（2）因为函数f x x22x, 0x2，x22x, x0x23x, x2则原方程转变为：a x2x, 0x 2．x23x, x0数形联合可知：①当 a- 2 时，原方程有1个实根；②当 a- 2时，原方程有2个实根；③当 2a0 时，原方程有 3 个实根；④当 a0 时，原方程有 4 个实根；⑤当 0a 15 个实根；时，原方程有4⑥当 a 14 个实根；时，原方程有4⑦当1a9时，原方程有 3 个实根；44⑧当 a 92个实根；时，原方程有4⑨当 a 91个实根．时，原方程有4故当 a2,0 1 , 9时，对于 x 的方程 f x x a 有3个互异的实根．4421．解：（Ⅰ）设等比数列a n的公比为q，对于随意的n N 有 S n， S n 2， S n 1成等差，2 a1a1 q a1q 2a1 a1a1q ．整理得： 2 1q q2a12q．a10 ， 2 2q 2q2 2 q ．2q2q 0 ，又 q0 ，q 1 ．2又 a1a4 a1 1 q37 ，16把 q 1代入后可得 a1 1 ．22所以， a n a1q 11n 1n11；222nb n nn a1n（Ⅱ）n，n 2，b，n2a n1n2T n 1 21 2 22 3 23n 2n．2T n 1 22 2 23 3 24n 1 2n n 2n 1．2 22232n 212nn 2n 1T n n 2n +1 =12T n2-2n 1n 2n 1n 1 2n 1 2 ．12若 n2m T n n 1 对于n 2 恒成立，1则 n2m n 1 2n 1 2n 1 对于n 2 恒成立，12m n12n 1 1对于 n 2 恒成立，也就是n 1mn 1对于 n 2 恒成立，2n 1 1令 f n n 1 ，2n 11f n1f nn n12n 2n 112n 2 1 2n 112n 2 1 2n 10 1f n为减函数，f n f221 1 ．2317m 1．7所以， n12m T n n 1 对于 n 2 恒成立的实数m 的范围是1 ,．722．解：（Ⅰ）f x ln x bx a ，xf x bx x a ，x2在 x1时获得极值，f1b 1 a0∴a- b 1（Ⅱ） a2，b1，f x ln x x 2，xf x 121x2x2x2x1x0 ，x x2x2x2f x在0,1 上单一递减，在1,上单一递加，f x在0,内有独一极小值，也就是f x在 0,内的最小值，f x min f13（Ⅲ）由（Ⅱ）知f xmin f1 3 且f x在0,1上单一递减．n1，n1f n ln n 2 n1n f13n nn1n11lnn21， n n+1 lnn，00 n 2n 1 n（n n1）nn 1n 1n 11n 2e安徽省马鞍山二中2017 届高三上学期期中（理科）数学试卷解析1．【考点】会合的包括关系判断及应用．【剖析】依据会合的定义和会合间的并集定义，推出P 会合的状况，求出M ∪ N，而后判断选项．【解答】解：∵ P={ x| f （ x） g（ x） =0} ，∴P有三种可能即：P x f x0} ，或P x g x0P x f x0或g x0={|（） =={ |（）= }或={ |（） =（）= }，∵M={x f x0，N={x|g x）0 |（） = }（= } ，∵M∪N x f x0或g（x0} ，={ |（） =）=∴P? （M∪N），应选 B．2．【考点】复合命题的真假．【剖析】此题考察的知识点是复合命题的真假判断，解决的方法是先判断构成复合命题的简单命题的真假，再依据真值表进行判断．x x【解答】解：∵命题p： ?x∈（﹣∞， 0），3 ＜ 4 ，x x∵对于 x∈（﹣∞， 0）， 3 ＜ 4∴命题 P 是假命题又∵命题q： tanx＞ x， x∈（ 0，）∴命题 q 是真命题依据复合命题真假判断，（￢ p）∧ q 是真命题，故 D 正确p∧ q， p∨（￢ q）、 p∧（￢ q）是假命题，故 A 、 B、 C 错误应选 D3．【考点】必需条件、充足条件与充要条件的判断．【剖析】在R 上的单一连续函数f（ x）在区间（ 0，2）上存在零点，则 f （0） f（ 3）＜ 0，反之不行立，即可判断出结论．【解答】解：∵在 R 上的单一连续函数 f （ x）在区间（ 0， 2）上存在零点，则f（ 0） f （ 3）＜ 0，23），反之不行立，零点可能∈ [ ，所以定义在 R 上的单一连续函数 f （ x）在区间（ 0， 2）上存在零点的一个必需不充足条件是f（ 0） f （ 3）＜0．应选： C．4．【考点】复数代数形式的乘除运算．【剖析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出，代入z?计算得答案．【解答】解：∵ z===，∴．则z．? =应选： A．5．【考点】等比数列的性质．【剖析】依据a7=a6+2a5，求出公比的值，利用存在两项a m，a n使得，写出m，n之间的关系，联合基本不等式获得最小值．【解答】解：设等比数列的公比为q（ q＞ 0），则∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣ 2=0，∴q=2，∵存在两项a m， a n使得，∴a m a n=16a12，∴q m+n﹣2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=（10+）m 1 n 5时，=；m 2n 4时，=．= ， ==， =∴的最小值为，应选 B．6．【考点】由三视图求面积、体积．【剖析】三视图还原的几何体，下部是放倒的四棱柱，上部是正方体，依据三视图的数据，求出几何体的表面积．【解答】解：三视图还原的几何体，下部是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，边长分别为：3，2，1，；高为： 1；上部是正方体，也能够看作是三个正方体和半个正方体的组合体，所以几何体的体积为：3×13+=，应选 C．7．【考点】平面向量数目积的运算．【剖析】利用向量数目积的几何意义和三角形外心的性质即可得出．【解答】解：联合向量数目积的几何意义及点O 在线段 AB ， AC 上的射影为相应线段的中点，可得，∴，应选： B，8．【考点】函数零点的判断定理；根的存在性及根的个数判断．【剖析】由题意结构函数y1=sin| x| ，y2=kx ，而后分别做出两个函数的图象，利用图象和导数求出切点的坐标以及斜率，即可获得选项．【解答】解：依题意可知x 不可以等于0．令 y1=sin| x| ， y2=kx ，明显函数y1为偶函数，y2=kx 为奇函数，故θ，φ为绝对值最小的两个非零零点．而后分别做出两个函数的图象．由题意可得y2与 y1仅有两个交点，且φ是 y1和 y2相切的点的横坐标，即点（φ， sin| φ| ）为切点，φ∈（﹣，﹣π），故sin|φ|=﹣sinφ．因为（﹣ sin φ）′ =﹣ cosφ，所以切线的斜率k=﹣ cosφ．再依据切线的斜率为k==，∴﹣cosφ，即sin θ θcosφ==﹣，应选： D．9．【考点】函数的定义域及其求法．【剖析】求出函数的定义域，依据随意m，n∈ D，点 P（ m， f （ n））构成的图形为正方形，获得函数的最大值为 2，解方程即可获得结论．【解答】解：要使函数存心义，则a（ x﹣1）（ x﹣ 3）≥ 0，∵a＜ 0，∴不等式等价为（x﹣ 1）（ x﹣3）≤ 0，即 1≤ x≤3，∴定义域 D =[ 1，3] ，∵随意 m， n∈D ，点 P（ m，f （ n））构成的图形为正方形，∴正方形的边长为2，∵f（1） =f （ 3） =0，∴函数的最大值为 2，即 a（ x﹣ 1）（ x﹣ 3）的最大值为4，设 f （x） =a（ x﹣ 1）（ x﹣3） =ax2﹣4ax+3a，∴当 x=2 时， f （ 2） =﹣a=4，即 a=﹣ 4，应选： D．10．【考点】数列的乞降．【剖析】由数列的通项公式求出数列前几项，获得数列的奇数项均为1，每两个偶数项的和为6，由此能够求得 S120的值．【解答】解：由a n=（﹣1）n（ 2n﹣ 1） cos+1，a=﹣cos 1 1a3cosπ12，得1+ =，2=+ =﹣a3=﹣ 5cos+1=1， a4=7cos2π+1=8，a5=﹣ 9cos+1=1， a6=11cos3π+1=﹣ 10，a7=﹣ 13cos+1=1， a8=15cos4π+1=16，由上可知，数列 { a n} 的奇数项为1，每两个偶数项的和为6，∴S120=（ a1+a3+ +a119）+（ a2+a4 + +a58+a120） =60+30× 6=240．应选： D．11．【考点】直线与平面所成的角．【剖析】连结AC，BD，交于点O，由题设条件推导出OA 1OC 2．将△ABD沿着对角线BD翻折成△= ，=A ′ BD ，当 A′ C 与以 O 为圆心， OA ′为半径的圆相切时，直线 A ′ C 与平面 BCD 所成角最大，由此能求出结果．【解答】解：如图，平面四边形ABCD 中，连结 AC ， BD ，交于点 O，∵AD =AB =，CD=CB=，且 AD ⊥AB ，∴BD=2，AC⊥BD，=∴BO =OD=1，∴OA ==1，OC==2．将△ ABD 沿着对角线BD 翻折成△ A ′ BD ，当 A ′C 与以 O 为圆心， OA ′为半径的圆相切时，直线 A ′C 与平面 BCD 所成角最大，此时， Rt△OA ′ C 中， OA ′=OA =1， OC=2，∴∠ OCA ′=30°，∴A ′C 与平面 BCD 所成的最大角为 30°．应选： A．12．【考点】几何概型．【剖析】 f（ x） =a x?g（ x），g（ x）≠ 0，结构 h（ x）=a x=，又f′（x）?g（x）＜f（x）?g′（x），利用导数可得：函数h（ x）单一递减，0＜ a＜ 1．利用+=，解得a，再求概率．【解答】解：∵ f （ x） =a x?g（ x）， g（x）≠ 0，h x） =a x=，又f′（xg x f x gx），∴（）? （）＜（）?′（h′（x）=0h x）单一递减，∴0 a 1∴＜，∴函数（＜＜．+=，∴ a+a﹣1=，解得 a=．对于x的方程abx2+x 2 0，即bx2+x 2 0，，∴，+ =+ =∴对于 x 的方程 abx2+x+2=0（b∈（ 0， 1））有两个不一样实根的概率为=，应选 B．13．【考点】定积分．【剖析】dx =，由此能求出结果．【解答】解：dx===（lnx）21= ．故答案为： 1．14．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【剖析】把平面 BMD 及平面 AMD 以 DM 为折线展平，三角形 DAM 是正三角形的一半，故在平面 BMAD 中，连结 BA ，与 MD 订交于 P 点，则 AP+BP 为最短距离，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：因为各棱长均为 1 的四周体是正四周体把平面 BMD 及平面 AMD 以 DM 为折线展平，三角形DAM 是正三角形的一半DM =，AM =，AD =1，BM =，BD=1故在平面 BMAD中，连结BA ，与 MD 订交于 P 点，则 AP+BP 为最短距离，在三角形 BMD 中，依据余弦定理，cos BMD== ，∴sin∠BMD=，∠cos DMB cos 90°+∠BMC） =﹣sin∠BMC=﹣，∠= （∴BA 2 =BM 2+AM 2﹣ 2BM ?AM ?cos∠ AMB =+ ﹣2???（﹣） =．故答案为：．15．【考点】程序框图．【剖析】第一判断程序框图的功能，依据退出循环的条件即可求得n 的值．【解答】解：模拟履行程序框图，可得程序框图的功能是计算S123的值，且当S2016时，=+++ =＞输出 n 的值，因为，当n 64时，S=2080＜2016，==当n 65时，S2145＞2016，===故输出 n 的值为 65．故答案为： 65．16．【考点】简单线性规划．【剖析】作出不等式对应的平面地区，利用线性规划的知识，利用z 的几何意义即可获得结论． ．【解答】解：作出不等式组对应的平面地区如图：由 z=x+4y 得 y=﹣x+ z ，平移直线 y=﹣ x+ z ，由图象可知当直线y=﹣ x+ z 经过点 A （ 1， 0）时，直线的截距最小，此时z 最小．此时 z min =1+4× 0=1， 故答案为： 1．17．【考点】命题的真假判断与应用．【剖析】求出命题 p 真、命题 q 真时 a 的取值范围，由命题p 和 q 有且仅有一个正确，求 a 的取值范围．p ：由 11 x【解答】解：对于命题a 3x 0 知， a， x ﹣ ，0 ， a 13对于命题 16q ： ax 2xa 0在 R 上恒成立3① 若 a 0 ，则 - x0 在 R 上恒成立，明显不行能，舍去． ② 若 aa 01，则1 4a 2，解得： a2∵命题 p 和 q 有且仅有一个正确，∴ p 真q假或许 p 假 q真，而由 p 真 q假，可得 a1 1；由 p假 q真，可得 a2综上可得，所求 a 的取值范围为18．【考点】正弦定理；余弦定理．【剖析】（ Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中的边转变成角的正弦， 化简整理可用 tanA 分别表示出 tanB 和 tanC ，从而利用两角和公式求得tanA ，从而求得 A ．（Ⅱ）利用 tanA ，求得 tanB 和 tanC 的值，利用同角三角函数关系获得 sinB 和 sinC ，从而依据正弦定理求得 b 和 a 的关系式，代入面积公式求得 a ．【解答】解：（Ⅰ）∵ab c．∴sinA sinBsinC ，cosA 2cosB3cosC即 tanA 112tanA ， tanC3tanA ，tanBtanC ，tanB2 3∵ tanAtan BC2tan A 3tan A ，1 tan B tan C∴ tanA2tan A 3tan A ，整理求得 2A 1， tanA1，1 6tan2 Atan当tanA时，tanB 2 ，则A ，B 均为钝角，与A 矛盾，故舍去，1B C π∴ tanA 1, Aπ4 ．（Ⅱ）∵ tanA 1，tanB 2tanA ， tanC 3tanA ，∴ tanB 2，tanC 3 ，∴ sinB2 ,sin C3 ，510 ∴ cosB1,cosC1510sinA sinB Csin B CsinBcosC cosBsinC2 1 13 15105102ab，∵sinA sinBsinB a 2 10a ，∴ bsinA5∵SABC1absinC 1 a ? 2 10 ?a3 3a 2 3 ，225105∴ a 25， a5 ．19．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判断．【剖析】（ 1）先依据条件获得 BD ⊥平面 AEM ；从而经过求边长获得AE ⊥ ME ；即可获得结论；（ 2）先成立空间直角坐标系，求出平面 ADC 的法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式即可．【解答】（ 1）证明：如图 1 取 BD 中点 M ，连结 AM ，ME ．∵ABAD 2，∴ AM BD∵ DB 2， DC 1， BC5 ，DB 2 DC 2 BC 2 ，∴ BCD 是 BC 为斜边的直角三角形， BD DC ，∵ E 是 BC 的中点，∴ ME 为 BCD 的中位线 ∴ ME / /CD ，ME1CD ，2∴ ME BD ， ME1 ，2∴ AME 是二面角 A BD C 的平面角，∴ AME 60∵ AM BD ，ME BD 且 AM 、ME 是平面 AME 内两订交于 M 的直线，∴ BD 平面 AEM ∵ AE平面 AEM ，∴ BDAE ∵ AB AD2，DB 2，∴ ABD 为等腰直角三角形， ∴ AM1BD 1，2∴ AE 2AM 2 ME 2 2 AM ME cos AME3 ，4∴ AE3 ，4∴ AE 2 ME 2 1 AM 2，∴ AE ME M ， ∴ BD ME ， BD平面 BDC ， ME 面 BDC ，∴ AE平面 B DC（2）解：如图 2， M 为原点 MB 为 x 轴， ME 为 y 轴，成立空间直角坐标系 M xyz ，则由（ 1）及已知条件可知B 1,0,0 , E 0,1,0 ,A 0,1, 3 , D 1,0,0 ,C1,1,02 2 2∴ DA1,1 ,3,DC0,1,1 , AE0,0, 3，2 22设平面 ACD 的法向量为 nx,y,z则 x+ 13 0，∴ n2y2z3,0, 2 ，y 0设直线 AE 与平面 ADC 所成角为，则 sin32 73772∴直线 AE 与平面 ADC 所成角的正弦值为2 7720．【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象；根的存在性及根的个数判断．【剖析】（ 1）利用已知条件，列出方程，逐个求解即可．（2）求出函数的分析式，获得 a 的表达式，画出图象，经过 a 的范围议论函数零点个数即可．【解答】解：（ 1）当x＞0时， sgn x 1 ，解方程x23x 1 1，得 x 3（ x 0 不合题意舍去）；当 x 0时， sgn x0 ，0不是方程 x23x 1 0的解；当 x＜0 时，sgn x1，解方程x23x1 1 ，得x 2 或 x 2 （均不合题意舍去）．综上所述， x 3 是方程x23x 1sgn x 的根．x 22x,x2（2）因为函数f x x22x,0x2，x2 2 x,x0x23x,x2则原方程转变为：a x2x,0x 2 ．x23x,x0数形联合可知：①当 a＜- 2 时，原方程有1个实根；②当 a- 2 时，原方程有 2 个实根；③ 当2＜a＜0 时，原方程有 3 个实根；④当 a 0 时，原方程有 4 个实根；⑤当 0＜ a＜1时，原方程有 5 个实根；4⑥ 当1时，原方程有 4 个实根；4⑦当1＜ a＜9时，原方程有 3 个实根；44⑧当 a 92 个实根；时，原方程有4⑧当 a 91 个实根．时，原方程有4故当 a2,019x a 有3个互异的实根．4, 时，对于x的方程 f x421．【考点】等比数列的通项公式；数列的乞降；数列与函数的综合．【剖析】（Ⅰ）设出等比数列的公比，利用对于随意的n∈ N+有 S n， S n+2， S n+1成等差得2S3=S1+S2，代入首项和公比后即可求得公比，再由已知，代入公比后可求得首项，则数列 { a n} 的通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a n和已知 b n=n 代入整理，而后利用错位相减法求T n，把 T n代入（ n﹣ 1）2≤m（ T n﹣ n﹣ 1）后分别变量m，使问题转变为求函数的最大值问题，剖析函数的单一性时可用作差法．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列a n的公比为q，∵对于随意的n N 有 S n， S n 2， S n 1成等差，∴ 2 a1a1 q a1 q2a1a1a1q ．整理得： 2 1 q q2a2q．1∵ a10，∴， 22q2q22q ．∴ 2q2q 0，又 q0 ，∴ q 1 ．2又 a1a4a1 1 q37 ，16把 q 1代入后可得 a11．22所以，；1n b n n n （Ⅱ）∵ b n n 2，n ， a n，∴n2a n12∴ T n 1 21 2 22 3 23n 2n．2T n 1 22 2 23 3 24n 1 2n n 2n 1．∴T n 2 22232n -n 2n +1=21 2n n 2n 1 12∴ T n 2-2n 1n 2n1n1n12．122若 n2m T n n 1 对于n 2 恒成立，1则 n2m n 1 2n12n1对于 n 2 恒成立，1也就是n12m n12n1 1 对于n 2 恒成立，∴mn1对于 n 2 恒成立，2n 11令 f n n1，2n11∵ f n 1 f nn n12n 2n 110 n 21 2n 112n 2 1 2n 112∴ f n为减函数，∴f n f221 1 ．2317∴ m 1．7所以， n12m T n 1 对于 n 2 恒成立的实数m 的范围是1,．n7 22．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【剖析】（Ⅰ）求导数，利用函数在x 1a b的值；=时获得极值，可务实数﹣（Ⅱ）确立f x）在（，1上单一递减，在1f x）在（， +∞）内有独一极（][ ， +∞）上单一递加，可得（小值，也就是f（ x）在（0， +∞）内的最小值；（Ⅲ）由（II）知f（x f（1）3且f（x）在（，1] 上单一递减，证明ln+，可得结） min==﹣＞论．【解答】解：（ I）∵f x ln x bx a，x∴ f x bx x a，x2∵在 x1时获得极值，∴ f 1 b 1 a 0 ∴a- b1 4 分（II ）a2，b1，∴ f x ln x x 2，x∴ f x 121x2x2x2x1x0 ，x x2x2x2∴ f x在0，1 上单一递减，在1，上单一递加，∴ f x在0，内有独一极小值，也就是f x 在0，内的最小值，∴ f x min f138 分（III）由（ II ）知 f xmin f 1 3 且f x在0，1 上单一递减．∵ 0n1 ，n1∴ f n ln n 2 n1n f13 n11n n 1n∴ ln n211n n1n（）n n 11n∴ n1与e0 ，∴ n n+1 lnn2 ，0 nn1n2。

马鞍山市2017届高中毕业班第二次教学质量检测高三理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．． 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）集合2{|230}A x x x =-->，{||2|3}B x x =-≤，则A B =（ ▲ ）（A ）(1,5] （B ）(3,5] （C ）R （D ）(,1)(1,)-∞--+∞ 【答案】C【命题意图】本题考查集合基本运算，难度：简单题．（2）已知复数z 满足34i z i ⋅=+(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为（ ▲ ）（A ）3- （B ）3 （C ）3i - （D ）3i 【答案】A【命题意图】考查复数的基本概念和运算，难度：简单题．（3）动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，其初始位置为01(2A ，12秒旋转一周． 则动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数解析式为（ ▲ ）（A ）sin()36y t ππ=+（B ）cos()63y t ππ=+（C ）sin()63y t ππ=+ （D ）cos()36y t ππ=+【答案】C【命题意图】本题考查三角函数的定义，难度：简单题．（4）已知函数1()2mx f x x n+=+的图象关于点(1,2)对称，则（ ▲ ）（A ）42m n =-=， （B ）42m n ==-，（C ）42m n =-=-， （D ）42m n ==， 【答案】B【命题意图】本题考查函数图象与性质，难度：中等题．（5）执行如图所示的程序框图，如果输出s ＝4，那么判断框内应填入的条件是（ ▲ ）（A ）k ≤ 14? （B ）k ≤ 15? （C ）k ≤ 16? （D ）k ≤ 17?【答案】B【命题意图】本题考查程序框图，难度：中等题．（6）已知2cos sin αα=，则41+cos sin αα=（ ▲ ）（A（B（C ）12（D ）2【答案】D【命题意图】本题考查三角恒等变换，难度：中等题．（7）将正方形ABCD 沿对角线AC 折成120︒的二面角，则折后的直线BD 与平面ABC 所成角的正弦值为（ ▲ ）（A ）12（B（C（D【答案】A【命题意图】本题考查立体几何，二面角以及线面角的有关计算，难度：中等题．（8）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若410S ≥，515S ≤，则4a 的最大值为（ ▲ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】C【命题意图】本题考查线性规划思想与等差数列的基本运算，难度：中等题．（9）已知P ､Q 为ABC ∆中不同的两点，且32PA PB PC ++=0，QA QB QC ++=0，则:PAB QAB S S ∆∆ 为（ ▲ ） （A ）1:2 （B ）2:1 （C ）2:3 （D ）3:2 【答案】A【命题意图】考查平面向量，难度：中等题．（10）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ▲ ） （A ）25π （B ）26π （C ）32π （D ）36π 【答案】C【命题意图】本题考查三视图，球的计算，难度：中等题． （11）已知函数2()ln 1f x x x =+，()g x kx =，若存在0x 使得00()()f x g x =，则k 的取值范围是（ ▲ ） （A ）(,1]-∞ （B ）[1,)+∞ （C ）(,]e -∞ （D ）[,)e +∞ 【答案】B【命题意图】本题考查函数图象与性质，难度：中等题．（12）已知(0,7)A ，(0,7)B -，(12,2)C ，以C 为一个焦点作过 A 、B 的椭圆，则椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是（ ▲ ）（A ）22148x y -= （B ）22148y x -=（C ）22148x y -=（1y ≤-） （D ）22148y x -=（1y ≥）【答案】C【命题意图】本题考查椭圆、双曲线的基本概念与运算，难度：中等题．俯视图侧视图正视图第10题图第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

2017年马鞍山市第二中学创新人才实验班招生考试数 学【注意事项】1.本试卷共4页，总分150分，答题时长120分钟，请掌握好时间。

2.请将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔填写在答题卷的相应位置上。

3.考生务必在答题卷上答题，在试卷上作答无效。

考试结束后，请将试卷 和答题卷一并交回。

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入答题卷相应表格中．．．．．．．．．．．） 1．将一些棱长为1的正方体摆放在33⨯的平面上（如图1所示），其正视图和侧视图分别如图2、图3，记摆放的正方体个数的最大值为m ，最小值为n ，则m n -=（ ）A ． 4B ． 5C ． 6D ． 72.多项式2234(1)(1)(3)(1)x x x x +++-+-等于下列哪个选项（ ）A ．22(1)x x - B ． 2(1)(1)x x x +- C ． (1)(1)x x x +- D ． 22(1)(1)x x --3.甲、乙两人在玩一种纸牌，纸牌共有40张.每张纸牌上有1至10中的一个数，每个数有四种不同的花色.开始时，每人有20张牌，每人将各自牌中相差为5的两张牌拿掉，最后甲还有两张牌，牌上的数分别为4和a ，乙也还有两张牌，牌上的数分别为7和b ，则b a -的值是（ ）A ． 3B ． 4C ． 6D ． 7 4.已知x 为实数，且|31||41||171|x x x -+-++-的值是一个确定的常数，则这个常数的值是（ ）： A ． 5 B ． 10 C ． 15 D ． 755.[]x 表示不超过实数x 的最大整数4ππ-(如[]=3,[-]=-4,[]=-4),记x x x M=[]+[2]+[3]. 将不能表示成M 形式的正整数称为“隐形数”.则不超过2014的“隐形数”的个数是( ) A ． 335 B ． 336 C ． 670 D ． 6716.如图，点O 为锐角ABC ∆的外心，点D 为劣弧AB 的中点， 若,BAC α∠=,ABC β∠=,βα>且则DCO ∠=( ) A ．2βα- B ．3αβ- C ．3βα+ D ．4βα+第6题图C第1题图图1图2图3二、填空题（本大题共10小题，每小题6分，共60分．将答案填在答题卷中相应横线上．．．．．．．．．．．．） 7.如果不等式||||2x a x -+<没有实数解，则实数a 的取值范围 ； 8.已知实数xx =，则x 的取值范围是 ； 9.函数y =的最大值为 ；10.设a b 、为实数，已知坐标平面上的抛物线2y x ax b =++与x 轴交于P Q 、两点，且线段7PQ =.若抛物线28y x ax b =++-与x 轴交于R S 、两点，则线段=RS ；11.正方形ABCD 中，两个顶点到直线l 的距离相等，且均为另两个顶点到直线l 的距离的两倍，则这样的直线有 条；12.使二次方程222510x px p p -+--=的两根均为整数的质数p 的所有可能值为 ；13.在平面直角坐标系中,不管实数a 取什么实数,抛物线223y ax x =++的顶点都在同一条直线上,这条直线的函数关系式是 ；14.已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b cb c ac a b++=+-+-+-，则abc = ；15.如图，P 为等边ABC ∆内一点，2,1,PA PB PC ===则ABC ∆的面积为 ；16.如图，在AOB ∠的边OA 上过到点O 的距离为1,3,5,7,…的点作互相平行的直线，分别与OB 相交，得到如图中所示的阴影梯形，它们的面积依次记为123,,,S S S …． 则20142013S S = ．三、解答题（本大题共5小题，共60分．将答案填在答题卷中相应．．．．．．．．位置处．．．，答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本题满分10+O第16题图第15题图CB18.（本题满分12分）甲、乙两辆汽车同时从同一地点A 出发，沿同方向直线行驶，每辆车最多只能带240L 汽油（含油箱中的油），途中不能再加油，每升油可使一辆车前进12km ，两辆车都必须沿原路返回出发点A ，但是两车相互可借用对方的油.请你设计一种方案，使其中一辆车尽可能地远离出发点A ，并求这辆车一共行驶了多少千米？19.（本题满分12分）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 是O 的直径，AC 和BD 相交于点E ，且2.DC CE CA =⋅ （1）求证：BC CD =（2）分别延长AB ，DC 交于点P ，过点A 作AF CD ⊥交CD 的延长线于点F ，若,22,PB OB CD ==求DF 的长．20.（本题满分13分）如图，已知抛物线(2)(4)8k y x x =+-（k 为常数，且0k >）与x 轴从左至右依次交于,A B两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线33y x b =-+与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为5-，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P ，使得以,,A B P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求k 的值；第19题图（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？第20题图21.（本题满分13分）一个自然数(即非负整数)若能表示成两个自然数的平方差，则称这个自然数为“好数”.例如，22=-就是一个“好数”.1653（1）2014是不是“好数”？说明理由.（2）从小到大排列，第2014个“好数”是哪个自然数？数学试题答案及评分标准．．．．．．．．．．．．．．．．．．17.解：原式+=+=+………………………………………………5分77=--14=-………………………………………………………………10分18.解:设尽可能远离出发点A 的甲汽车行驶了xkm ,乙汽车行驶了ykm ,则24012224012x y x y +≤⨯⨯⎧⎨-≤⨯⎩而11()()432022x x y x y =++-≤,即甲车一共行驶了4320km .………………………6分 具体的方案是:两辆汽车行驶了720km 后,乙车借给甲车60L 汽油,并在此地等着,甲车继续前进1440km 后返回,碰到乙车时再借60L 汽油,然后两车回到出发点A .………………12分19.（1）证明：2,DC CE CA =⋅∴CDE ∆∽CAD ∆∴CDB DBC ∠=∠， ∵四边形ABCD 内接于O ，∴BC CD =………………………………………………3分 （2）解：如图，连接OC ， ∵BC CD =，∴DAC CAB ∠=∠，又∵AO CO =，∴CAB ACO ∠=∠，∴DAC ACO ∠=∠， ∴AD ∥OC ，∴,PC POPD PA= ∵,22,PB OB CD ==∴2,4 2.322PC PC PC =∴=+又∵PC PD PB PA ⋅=⋅∴4PA =也就是半径4OB =，……………………6分在RT ACB ∆中，22228(22)214,AC AB BC =-=-=∵AB 是直径，∴90ADB ACB ︒∠=∠=∴90FDA BDC ︒∠+∠=,90CBA CAB ︒∠+= ∵BDC CAB ∠=∠∴FDA CBA ∠=∠ 又∵90AFD ACB ︒∠=∠=,∠AFD =∠ACB =90° ∴AFD ∆∽ACB ∆∴2147,22AF AC FD CB ===………………………………9分 在RT APF ∆，设FD x =，则7AF x =，∴222(7)(62)12,x x ++=求得322DF =.………………………………12分 20.解：（1）抛物线(2)(4)8k y x x =+-，令0y =，解得2x =-或4x =，∴(2,0)A -，(4,0)B ．∵直线33y x b =-+经过点(4,0)B ，∴解得433b =， ∴直线BD 解析式为：33334y x =-+．当5x =-时，33y =，∴(5,33)D -在抛物线(2)(4)8k y x x =+-上，解得839b =．………………………………………………………………………3分 （2）由抛物线解析式，令0x =，得y k =-，∴(0,)C k -，OC k =．点P 在第一象限内的抛物线上，所以ABP ∠为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是ABC ∆∽APB ∆或ABC ∆∽ABP ∆．第19题图①若ABC ∆∽APB ∆，则有BAC PAB ∠=∠，如答图2﹣1所示．设(,)P x y ，过点P 作PN x ⊥轴于点N ，则,ON x PN y ==．tan tan BAC PAB ∠=∠，即：,.222k y k y x k x =∴=++ ∴(,)2kP x x k +，代入抛物线解析式整理得：26160x x --=， 解得：8x =或2x =（与点A 重合，舍去），∴(8,5)P k ． ∵ABC ∆∽APB ∆，∴AC ABAB AP=， 即2246625100k k +=+，解得：455k =．……………………………………7分 ②若ABC ∆∽ABP ∆，则有ABC PAB ∠=∠，如答图2﹣2所示．同理，可求得2k =．综上所述，455k =或2k =．………………………9分 则33DN =，（3）由（1）知：(5,33)D -，如答图3，过点D 作DN x ⊥轴于点N ，5,9,ON BN ==∴tan 3,3DBA DN BN ∠==∴30,DBA ︒∠= 过点D 作DKx 轴，则30,KDF DBA ︒∠=∠=过点F 作FG DK ⊥于点G ，则12FG DF =．由题意，动点M 运动的路径为折线AF DF +，运动时间：12t AF DF AF FG =+=+．由垂线段最短可知，折线AF FG +的长度的最小值为DK 与x 轴之间的垂线段．过点A 作AH DK ⊥于点H ，则min t AH =，AH 与直线BD 的交点，即为所求之F 点．∵A 点横坐标为2-，直线BD 解析式为：33y x =+∴(F -.………………………………………………………13分21、（1）2014不是“好数”.如果2014是“好数”，不妨设222014()m n m n =-、为自然数，则()()m n m n +-⨯=21007，而m n m n +-、的奇、偶性相同，即()()m n m n +-要么是奇数要么能被4整除.所以2014不是“好数”.…………………………………………4分(2)设k 为自然数，由（1）类似可得如42k +的自然数都不是“好数”22221)(1)4,(1)21k k k k k k +--=+-=+（，故4,k 21k +的自然数都是“好数”，……………………………………………………10分所以从小到大的“好数”为：0,1,3,4,5,7,8,9,11,12,13,……所以第n 个“好数”为1[]3n n -+，所以第2014个“好数”为2684.…………………………………………………………13分。

数学（理）试卷 第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数)5z i i i =-（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ ） A ．2i - B ．2i + C ．4i - D ．4i +2.“2a =-”是“直线1:30l ax y -+=与()2:2140l x a y -++=互相平行”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.如下程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数），若输入的,m n 分别为495，135，则输出的m = （ ）A ．0B ．5C ． 45D ． 904. 将三颗骰子各掷一次，记事件A =“三个点数都不同”，B =“至少出现一个6点”，则条件概率()()|,|P A B P B A 分别是（ ） A ．601,912 B ．160,291 C ．560,1891 D ．911,21625. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12B ．18C ．24D ．306. 已知点,,P A B 在双曲线22221x y a b-=上，直线AB 过坐标原点，且直线PA PB 、的斜率之积为13，则双曲线的离心率为（ ）A ．3 B ．3 C ．2 D ．27.在边长为1的正ABC ∆中，,D E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近于点B ），则AD AE 等于（ ） A ．16 B ．29 C ．1318 D ．138. 已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 图象上的所有点向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A ．,,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．2,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C ．,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．2,2,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦9. 已知数列{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1nn na b a +=，若对任意的*n N ∈，都有8n b b ≥成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()8,7--B ．[)8,7--C ．(]8,7--D ．[]8,7--10.函数4cos xy x e =-（e 为自然对数的底数）的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11. 当,x y 满足不等式组22472x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩时，22kx y -≤-≤恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[]1,1--B ．[]2,0-C ．13,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12. 已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A BC D -中，P 是面1111A B C D 上的动点．给出以下四个结论中，则正确的个数是（ ）①与点D P 形成一条曲线 ，且该曲线的长度是2；②若//DP 平面1ACB ，则DP 与平面11ACC A 所成角的正切值取值范围是3⎫+∞⎪⎪⎣⎭；③若DP ，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3第Ⅱ卷（非选择题 ）二、填空题（本大题 共4小题 ，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2xf x =，则()4log 9f =____________．14.若0,,cos 224ππααα⎛⎫⎛⎫∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2α= ____________． 15.在数列{}n a 及{}n b 中，1111b 1,1n n n n n n a a b a b a b ++=+=+==．设11n n nc a b =+，则数列{}n c 的前2017项和为 ____________．16.已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足()()1AP OA R λλ=-∈，有72OA OP =，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为____________．三、解答题 （本大题共6小题，第17题 至21题每题 12分，在第22、23题中任选一题10分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，12,cos 3AB B ==，点D 在线段BC 上．（1）若34ADC π∠=，求AD 的长；（2）若2,BD DC ACD =∆sin sin BAD CAD∠∠的值． 18.（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年“618”期间，某购物平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）请完成关于商品和服务评价的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全为好评的次数X 的分布列： ②求X 的数学期望和方差． 附临界值表：2K 的观测值：()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）关于商品和服务评价的22⨯列联表：19.（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//BC AD ，AB AD ⊥，且1,2AB BC AD ===，顶点P 在平面ABCD 内的射影H 在AD 上，PA PD ⊥．（1）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若直线AC 与PD 所成角为60°，求二面角A PC D --的余弦值． 20.（本小题满分12分）已知焦点为F 的抛物线()21:20C x py p =>，圆222:1C x y +=，直线l 与抛物线相切于点P ，与圆相切于点Q ．（1）当直线l的方程为0x y -=时，求抛物线1C 的方程； （2）记12,S S 分别为,FPQ FOQ ∆∆的面积，求12S S 的最小值． 21.（本小题满分12分） 已知函数()()ln ,x af x m a m R x-=-∈在x e =（e 为自然对数的底）时取得极值，且有两个零点记为12,x x ．（1）求实数a 的值，以及实数m 的取值范围； （2）证明: 12ln ln 2x x +>．选做题 （在第22、23两题中任选一题作答，若两题都做，按第22题 记分.）22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为53x ty t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，点P 是圆C 上任一点，求,A B 两点的极坐标和PAB ∆面积的最小值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =-．（1）解不等式：()()12f x f x ++≤；（2）若0a <，求证：()()()2f ax af x f a -≥．参考答案一、选择题二、填空题 13. 13-14. 151615. 4034 16. 15 三、解答题17.（1）在三角形中，∵1cos 3B =，∴sin B =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又ADC S ∆=ADC S ∆=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∵1sin 2ABC S AB BC ABC ∆=∠，∴6BC =， ∵11sin ,sin 22ABD ADC S AB AD BAD S AC AD CAD ∆∆=∠=∠，2ABD ADC S S ∆∆=，∴sin 2sin BAD ACCAD AB∠=∠，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠，∴AC =sin 242sin BAD ACCAD AB∠==∠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18.解：（1）由题 意可得关于商品和服务评价的22⨯列联表如下：()222008010407011.11110.8281505012080K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）①每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为25，且X 取值可以是0，1，2，3．其中()()()32211233327235423360;1;25125551255512P X P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫========= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()3033238355125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ②由于23,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()2622183,31555525E X D X ⎛⎫=⨯==⨯⨯-=⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．12分19.解析：（1）∵PH ⊥平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，∴PH AB ⊥， ∵,,,AB AD ADPH H AD PH ⊥=⊂平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）以A 为原点，如图建立空间直角坐标系A xyz -，∵PH ⊥平面ABCD ， ∴x 轴//PH ．则()()()0,0,0,1,1,0,0,2,0A C D ，设(),02,0AH a PH h a h ==<<>， ∴()0,,P a b ，()()()0,,,0,2,,1,1,0AP a h DP a h AC ==-=， ∵PA PD ⊥，∴()220AP DP a a h =-+=， ∵AC 与BD 所成角为60°． ∴()21cos ,222AC DP a ==-， ∴()222a h -=，∴()()210a a --=，∵02a <<，∴1a =，∵0h >，∴1h =，∴()0,1,1P ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴()()()()0,1,1,1,1,0,1,0,1,1,1,0AP AC PC DC ===-=-，设平面APC 的法向量为(),,n x y z =，由n AP y z n AC x y ⎧=+=⎨=+=⎩，得平面APC 的一个法向量为()1,1,1n =-，设平面DPC 的法向量为(),,m x y z =，由00m PC x z m DC x y ⎧=-=⎨=-=⎩，得平面DPC 的一个法向量为()1,1,1， ∴1cos ,3m nm n m n ==． ∵二面角A PC D --的平面角为钝角，∴二面角A PC D --的余弦值为13-．．．．．．．．．．．．．12分20.解：（1）设点200,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()220x py p =>得，22x y p =，求导x y p '=， 因为直线PQ 的斜率为1，所以01x p =且2002x x p-=，解得p = 所以抛物线1C的方程为2x =．（2）因为点P 处的切线方程为：()20002x x y x x p p-=-，即200220x x py x --=，根据切线与圆切，得d r =1=，化简得4220044x x p =+，由方程组20022422002201440x x py x x y x x p ⎧--=⎪+=⎨⎪--=⎩，解得20042,2x Q x p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以002P Q PQ x x =-=-=，点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭到切线PQ的距离是d ==所以2220010211224p x p x S PQ d p x +-==⨯=，20122Q pS OF x x ==， 而由4220044x x p =+知，24200440p x x =->，得02x >，所以()()()()()() ()222242222 222000000000012422 20000 222442222422424443324x p x x x x x x xxx p xSS p x p p x x xxx+-+---+-=⨯===---=++≥-当且仅当224424xx-=-时取“=”号，即24x=+p=所以12SS的最小值为3．21.（1）()()21ln1lnax x a a xxf xx x--+-'==，由()10af x x e+'=⇒=，且当1ax e+<时，()0f x'>，当1ax e+>时，()0f x'<，所以()f x在1ax e+=时取得极值，所以10ae e a+=⇒=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分所以()()()2ln1ln,0,x xf x m x f xx x-'=->=，函数()f x在()0,e上递增，在(),e+∞上递减，()1f e me'=-，()00x x→>时，();f x x→-∞→+∞时，()(),f x m f x→-有两个零点12,x x，故101,0mmeem⎧->⎪<<⎨⎪-<⎩，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）不妨设12x x<，由题意知1122lnlnx mxx mx=⎧⎨=⎩，则()()221121221121lnln,lnxx xx x m x x m x x mx x x=+=-⇒=-．需证12ln ln2x x+>，只需证明212x x e>，只需证明：()12ln2x x >，只需证明：()122m x x+>，即证：()122211ln2x x xx x x+>-，即证2122111ln21x x x x x x +>-，设211xt x =>，则只需证明：1ln 21t t t ->+．也就是证明：1ln 201t t t -->+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 记()()1ln 2,11t u t t t t -=->+，∴()()()()222114011t u t t t t t -'=-=>++，∴()u t 在()1,+∞单调递增，∴()()10u t u >=，所以原不等式成立，故212x x e >，则12ln ln 2x x +>得证．．．．．．．．．．．．12分22.（1）由53x ty t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，消去参数t ，得()()22532x y ++-=，所以圆C 的普通方程为()()22532x y ++-=， 由cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 2ρθρθ-=-， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）直线l 与x 轴，y 轴的交点为()()2,0,0,2A B -，化为极坐标为()2,,2,2A B ππ⎛⎫⎪⎝⎭，设P 点的坐标为()5,3t t -++，则P 点到直线l的距离为d==∴min d ==AB = 所以PAB ∆面积的最小值是1222242S '==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23.（1）由题意，得()()112f x f x x x ++=-+-， 因此只须解不等式122x x -+-≤，当1x ≤时，原不等式等价于232x -+≤，即112x ≤≤； 当12x <≤时，原不等式等价于12≤，即12x <≤； 当2x >时，原不等式等价于232x -≤，即522x <≤． 综上，原不等式的解集为15|22x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由题意得()()()222222222f ax af x ax a x ax a ax ax a ax a f a -=---=-+-≥-+-=-=，所以()()()2f ax af x f a -≥成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

安徽省马鞍山二中2017届高三上学期期中（理科）数学试卷一、选择题（每小题5分，计60分）：1．设非空集合M N 、满足：(){}|0M x f x =，(){}|0N x g x =，()(){}P |0x f x g x ==，则集合P 恒满足的关系为（ ） A ．P M N =UB ．()P M N ⊆UC ．P ≠∅D ．P =∅2．已知命题():,0,34x xP x ∃∈-∞<；命题π:0,,tan 2q x x x ⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧3．已知定义在R 上的单调连续函数()f x 在区间()0,2上存在零点的一个必要不充分条件是（ ） A ．()()020f f < B ．()()120f f <C ．()()030f f <D ．()()010f f <4．已知复数1z =-，z 是z 的共轭复数，则z z =g （ ）A ．14B ．12C 1i 4D 1i 4-5．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+．若存在两项m n a a ，14a ，则19m n+的最小值为（ ）A ．83B ．114C ．145D ．1766．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为（ ）A ．373mB ．392mC ．372mD ．394m7．已知ABC △中，24AB AC O ==，，为△ABC 的外心，则AO BC u u u r u u u rg 等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．108．函数sin ()x f x k x=-0k （＞）有且仅有两个不同的零点θ，()ϕθϕ>，则以下有关两零点关系的结论正确的是（ ）A ．sin cos ϕϕθ=B ．sin cos ϕϕθ=-C ．sin cos θθϕ=D ．sin cos θθϕ=-9．已知()0＜）f x a =，定义域为D ，任意m n D ∈，，点(())P m f n ，组成的图形为正方形，则实数a 的值为（ ） A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-10．设数列{}n a 的通项公式为()π(1)(21)cos 12n n n a n n =--+∈*N g ，其前n 项和为n S ，则120S =（ ） A ．60﹣B ．120﹣C ．180D ．24011．在平面四边形ABCD 中，ADAB ==，CD CB ==AD AB ⊥，现将△ABD 沿着对角线BD 翻折成△A BD '，则在△A BD '折起至转到平面BCD 内的过程中，直线A C '与平面BCD 所成的最大角为（ ） A ．30oB ．45oC ．60︒D ．90o12．已知()()f x g x 、都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''<，()()xf x ag x =，()()()()115112f fg g -+=-，则关于x 的方程()()22001abx b +=∈,有两个不同实根的概率为（ ） A ．15 B ．12C ．35D ．45二、填空题（每小题5分，计20分）：13．2e 1ln x dx x=⎰____． 14．已知正四面体ABCD 的棱长为1，M 为AC 的中点，P 在线段DM 上，则()2AP BP +的最小值为____． 15．阅读如图的程序框图，输出的结果为____．16．已知x y ，满足约束条件：010x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则4x y +的最小值为____．三、解答题（共6大题计70分）：17．已知命题()p f x ：(]0x ∈-∞，上有意义，命题q ：函数()2lg y ax x a =-+的定义域为R ．若p q ∨为真，p q ∧为假，求实数a 的取值范围．18．在ABC △中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对的边，且 cos cos cosCa b cA B ==． （1）求角A 的大小；（2）ABC △的面积为3，求a 的值．19．如图，四边形ABCD 中（图1），E 是BC的中点，21,,DB DC BC AB AD ====将（图1）沿直线BD 折起，使二面角A BD C --为60o （如图2） （1）求证：AE ⊥平面BDC ；（2）求直线AE 与平面ADC 所成角的正弦值．20．对x ∈R ，定义函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（1）求方程()231sgn x x x +=-的根；（2）设函数()()()2sgn 22f x x x x =⎡⎤⎣⎦-g ﹣，若关于x 的方程()f x x a =+有3个互异的实根，求实数a 的取值范围．21．已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，已知14716a a +=-，且对于任意的n *∈N 有21n n n S S S ++，，成等差数列；（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）已知()n b n n +=∈N ，记312123n n nb b b b T a a a a =++++K ，若()()211n n m T n ≤﹣﹣﹣对于2n ≥恒成立，求实数m 的范围．22．已知函数()ln af x x bx x=--（a b 、为常数），在1x =时取得极值． （Ⅰ）求实数a b -的值；（Ⅱ）当2a =-时，求函数()f x 的最小值；（Ⅲ）当*N n ∈时，试比较()11n n n n +⎛⎫⎪+⎝⎭与21e n +⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小并证明．。

2017年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量监测理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．． 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合2{|340}A x x x =-->，{|||3}B x x =…，则A B = （ ▲ ）（A ）[3,4) （B ）(4,3]-- （C ）(1,3] （D ）[3,1)-- 【答案】D【命题意图】本题考查集合基本运算，难度：简单题．（2）已知向量(2,1)a =，(3,4)b = ，(1,)c m = ，若实数λ满足a b c λ+= ，则m λ+=（ ▲ ） （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 【答案】B【命题意图】本题考查平面向量相等的定义及坐标运算，难度：简单题．（3）欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，4i e 表示的复数在复平面中对应的点位于（ ▲ ） （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】C【命题意图】本题考查复数，三角函数的基本知识，难度：简单题．（4）已知命题:p 函数20171()20171x x f x -=+是奇函数，命题:q 函数32()g x x x =-在区间(0,)+∞上单调递增.则下列命题中为真命题的是（ ▲ ） （A ）p q ∨ （B ）p q ∧ （C ）p q ⌝∧ （D ）p q ⌝∨ 【答案】A【命题意图】本题考查简易逻辑，难度：中等题．（p 真q 假）） （A ）4（B ）5 （C ）6 （D ）7【答案】B【命题意图】本题考查程序框图，中等题．（6）已知(1)n x +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ▲ ） （A ）92 （B ）102 （C ）112 （D ）122【答案】A【命题意图】本题考查二项式定理，难度：中等题． （7）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)，[22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30]. 根据直方图，若这200名学生中每周的自习时间不超过m 小时的人数为164，则m 的值约为（ ▲ ） （A ）26.25（B ）26.5（C ）26.75（D ）27【答案】B【命题意图】本题考查统计的基础知识，难度：中等题．（8）已知等比数列{}n a 的前n 项和1n n S p q +=+（01p p >≠且），则q 等于（ ▲ ）（A ）1 （B ）1- （C ）p （D ）p - 【答案】D【命题意图】本题考查数列的基础知识，难度：中等题．（提示：等比数列前n 项和的一般形式为n n S Aq A =- ）（9）已知实数x , y 满足10220x y mx y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩………，若3z x y =-的最大值为1，则m 的值为（ ▲ ）（A ）83（B ）2 （C ）1 （D ）23【答案】A第7题图▲ ）（A ）163π（B ）16π （C ）323π （D ）32π 【答案】 C【命题意图】本题考查球的有关计算，难度：中等题．（提示：球半径为2）（11）过双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点F 作直线b y x a =-的垂线，垂足为A ，交双曲线的左支于B 点，若2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ▲ ）（A （B ）2 （C （D 【答案】C【命题意图】本题考查双曲线的基本运算，难度：中等题．（提示：2(,)a abA c c-，由中点公式得2222(,)a c ab B c c--在双曲线上）（12）定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数()f x '满足3()80x f x '+>，且(2)2f =，则不等式24()1x x f e e<+的解集为（ ▲ ） （A ）(,2)-∞ （B ）(,ln 2)-∞（C ）(0,2) （D ）(0,ln 2)【答案】B【命题意图】本题考查函数与导数、不等式的综合知识，难度：较难题．（提示：由条件知38()0f x x '+>，令24()()1F x f x x =--，则38()()0F x f x x ''=+>，故()F x 在(0,)+∞上是增函数，24(2)(2)102F f =--=，又24()()10(2)x x x F e f e F e=--<=，从而2x e <，即ln 2x <.第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

高一数学必修①试题 第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{3}A x x =<，{2}B x x =>，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．(4,)+∞B ．(,3)-∞C ．(,2)-∞D ．(2,3)2.已知函数()lg(1)f x x =-的定义域是（ ）A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞ 3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =+ B ．2y x =- C ．1y x=D ．y x x = 4.函数1log a y x -=在(0,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,2) B ．(1,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．[1,2] 5.若()21xf e x =-，则()f x 的表达式为（ ） A ．2ln 1x - B ．21xe - C ．21x e- D ．ln(21)x -6.幂函数的图象经过点1(3,)3，则它的单调递减区间是（ ）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞UD ．(,0)-∞和(0,)+∞7.设函数21,1()23,1x x x f x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则((2))f f =（ ）A ．-1B ．2C ．26D ．298.定义集合运算：{|,,}A B z z x y xy x A y B ==++∈∈e ,设集合{1,2}A =，{2,3}B =，则以下元素不属于A B e 的是（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 9.函数11y x =--的图象是（ ）10. 1.90.7a =，0.71.9b =，0.7log 1.9c =，则,,a b c 的大小顺序为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b a c <<11.设函数()log a f x x =（0a >且1a ≠），若12(f x x •…)8n x =，则2212()()f x f x ++……2()n f x +=（ ）A ．4B ．8C ．16D ．2log 8a12.已知24a <<，则方程log 5a x x =-的解所在的区间是（ ） A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5)第Ⅱ卷（非选择题 共64分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.） 13.求值：10370.064()lg1008---+=__________.14.已知集合{1,0,1}A =-，2{0,,}B a a =，若A B =，则a =________. 15.函数1()2xy =（1x ≥）的值域是_________.16.如果不等式220x x a --<在(0,3)x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 17.已知函数()f x 满足()()()f ab f a f b =+，且(2)f p =，(3)f q =，(7)f r =，则(2016)f =______.三、解答题 （本大题共5小题，满分44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（本小题满分8分）已知集合U R =，{36}A x x =≤<，{48}B x x =<<，{}C x x a =<. （1）求A B U 和U C A ；（2）若A C φ=I ，求a 的取值范围. 19.（本小题满分8分） 已知函数2()f x x ax b =++.（1）若函数()f x 的图象过点(1,4)和(2,5)，求()f x 的解析式； （2）若函数()f x 在区间[1,2]不单调，求实数a 的取值范围. 20.（本小题满分8分）某汽车销售公司以每台12.5万元的价格销售某种品牌的汽车，可售出该品牌汽车1600台，若将该品牌汽车每台的价格上涨x %，则销售量将减少0.5x %，且该品牌汽车每台的价格上涨幅度不超过60%，当该品牌汽车每台价格上涨百分之几，可使销售的总金额最大？ 21.（本小题满分10分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-. （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()f x m =有三个不同的实根，求实数m 的取值范围. 22.（本小题满分10分）对于区间[,]a b 和函数()y f x =，若同时满足：①()f x 在[,]a b 上是单调函数； ②函数()y f x =，[,]x a b ∈的值域是[,]a b ，则称区间[,]a b 为函数()f x 的“不变”区间.（1）求函数2y x =（0x ≥）的所有“不变”区间；（2）函数2y x m =+（0x ≥）是否存在“不变”区间？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.马鞍山市2016――2017学年度高一学业水平测试数学必修①参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在题后的括号内． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DBDAADBCBBCC二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请把答案填在题后的横线上． 13．72． 14． 1-． 15． 1(0,]2． 16． 3a …． 17． 52p q r ++． 三、解答题：本大题共5个小题，满分44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本小题满分8分）解：(1) {|38}A B x x =<U „，{|36}U A x x x =<或…ð． ……………………4分 (2)画数轴图知，3a „． ……………………8分 注：考生第（2）小题回答3a <<，扣2分． 19．（本小题满分8分）则122a<-<，解得42a -<<-． ………………8分 20．（本小题满分8分）解：设该品牌汽车每台的价格上涨%x 时，销售总金额为y 万元，由题意得12.51600(10.5%)(1%)y x x =⨯⨯-+即：210020000(080)y x x x =-++<„ ……………………4分则2(50)22500y x =--+ 当50x =时，max 22500y =万元，即该品牌汽车每台中的价格上涨50%时，销售总金额最大． ……………………8分 21．（本小题满分10分）解：(1)因为()f x 是R 上的奇函数，所以(0)0f =， 当0x <时，0x ->，因为()f x 是R 上的奇函数， 所以22()()[()2()]2f x f x x x x x =--=----=--，综上：222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-⎪=⎨--<⎪⎩…． ……………………5分(2) 要使关于x 的方程()f x m =有三个不同的实根，则水平直线y m =与函数()y f x =的图象有三个公共点．结合二次函数的性质，画()f x 的草图，知()f x 在(,1]-∞-单调递增，[1,1]-单调递减，[1,)+∞单调递增．(1)1f -=，(1)1f =-，所以，11m -<<． ……………………10分22．（本小题满分10分）解：（1）易知函数2(0)y x x =…单调递增，故有22a a b b⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得0101a a b b ==⎧⎨==⎩或或，又a b <， 所以01a b =⎧⎨=⎩．所以函数2(0)y x x =…的“不变”区间为[01]，． ………………4分 （2）易知函数2(0)y x m x =+…单调递增，若函数2y x m =+存在“不变”区间，则有：0b a >≥， 所以22a m ab m b⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， ………………6分 消去m 得22a b a b -=-， 整理得()(1)0a b a b -+-=． 因为a b <， 所以 10a b +-=， 即 1b a =-．又01a a a≥⎧⎨<-⎩，所以 102a ≤<．因为 221124m a a a ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭（102a ≤<），所以 104m ≤<．综上，当104m ≤<时，函数2(0)y x m x =+…存在“不变”区间． ……………10分。

马鞍山市2021届高中毕业班第二次教学质量检测高三理科数学试题本试卷分第I 卷〔选择题〕和第卷〔非选择题〕两局部，全卷总分值150分，考试时间120分钟． 考生考前须知：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号．2．答第一卷时，每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第二卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．． 4．考试完毕，务必将试题卷和答题卡一并上交．第I 卷〔选择题，共60分〕一、选择题：本大题共12个题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〔1〕集合2{|230}A x x x =-->，{||2|3}B x x =-≤，那么A B =〔 ▲ 〕 〔A 〕(1,5] 〔B 〕(3,5] 〔C 〕R 〔D 〕(,1)(1,)-∞--+∞ 【答案】C【命题意图】此题考察集合根本运算，难度：简单题． 〔2〕复数z 满足34i z i ⋅=+(其中i 为虚数单位)，那么z 的虚部为〔 ▲ 〕〔A 〕3- 〔B 〕3 〔C 〕3i - 〔D 〕3i【答案】A【命题意图】考察复数的根本概念和运算，难度：简单题．〔3〕动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，其初始位置为01(2A ，12秒旋转一周． 那么动点A 的纵坐标y 关于t 〔单位：秒〕的函数解析式为〔 ▲ 〕〔A 〕sin()36y t ππ=+ 〔B 〕cos()63y t ππ=+〔C 〕sin()63y t ππ=+ 〔D 〕cos()36y t ππ=+【答案】C【命题意图】此题考察三角函数的定义，难度：简单题． 〔4〕函数1()2mx f x x n+=+的图象关于点(1,2)对称，那么〔 ▲ 〕〔A 〕42m n =-=， 〔B 〕42m n ==-，〔C 〕42m n =-=-， 〔D 〕42m n ==， 【答案】B【命题意图】此题考察函数图象及性质，难度：中等题．〔5〕执行如下图的程序框图，如果输出s ＝4，那么判断框内应填入的条件是〔 ▲ 〕〔A 〕k ≤ 14? 〔B 〕k ≤ 15? 〔C 〕k ≤ 16? 〔D 〕k ≤ 17?【答案】B【命题意图】此题考察程序框图，难度：中等题． 〔6〕2cos sin αα=，那么41+cos sin αα=〔 ▲ 〕 〔A〔B〔C 〕12〔D 〕2【答案】D【命题意图】此题考察三角恒等变换，难度：中等题．〔7〕将正方形沿对角线折成120︒的二面角，那么折后的直线及平面所成角的正弦值为〔 ▲ 〕 〔A 〕12〔B〔C〔D〕【答案】A【命题意图】此题考察立体几何，二面角以及线面角的有关计算，难度：中等题．〔8〕设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设410S ≥，515S ≤，那么4a 的最大值为〔 ▲ 〕〔A 〕2 〔B 〕3 〔C 〕4 〔D 〕5 【答案】C【命题意图】此题考察线性规划思想及等差数列的根本运算，难度：中等题．〔9〕P ､Q 为ABC ∆中不同的两点，且32PA PB PC ++=0，QA QB QC ++=0，那么:PABQABS S ∆∆为〔 ▲ 〕〔A 〕1:2 〔B 〕2:1 〔C 〕2:3 〔D 〕3:2【答案】A【命题意图】考察平面向量，难度：中等题．〔10〕某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外接球的外表积为〔 ▲ 〕〔A 〕25π 〔B 〕26π 〔C 〕32π 〔D 〕36π 【答案】C【命题意图】此题考察三视图，球的计算，难度：中等题．〔11〕函数2()ln 1f x x x =+，()g x kx =，假设存在0x 使得00()()f x g x =，那么k 的取值范围是〔 ▲ 〕俯视图侧视图正视图第10题图〔A 〕(,1]-∞ 〔B 〕[1,)+∞ 〔C 〕(,]e -∞ 〔D 〕[,)e +∞ 【答案】B【命题意图】此题考察函数图象及性质，难度：中等题．〔12〕(0,7)A ，(0,7)B -，(12,2)C ，以C 为一个焦点作过 A 、B 的椭圆，那么椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程是〔 ▲ 〕〔A 〕22148x y -= 〔B 〕22148y x -=〔C 〕22148x y -=〔1y ≤-〕〔D 〕22148y x -=〔1y ≥〕【答案】C【命题意图】此题考察椭圆、双曲线的根本概念及运算，难度：中等题．第卷〔非选择题，共90分〕本卷包括必考题和选考题两局部。

图 1图 2图3第1题图2017 年马鞍ft 市第二中学创新人才实验班招生考试数 学【注意事项】1.本试卷共 4 页，总分 150 分，答题时长 120 分钟，请掌握好时间。

一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入答题卷相应表格中．）1．将一些棱长为1 的正方体摆放在3 ⨯ 3 的平面上（如图 1 所示），其正视图和侧视图分别如图 2、图 3，记摆放的正方体个数的最大值为m ，最小值为n ，则m - n = （ ）A ． 4B ． 5C ． 6D ． 72.多项式4( x 2+ 1) + ( x + 1)2( x - 3) + ( x - 1)3等于下列哪个选项（）A ． 2x ( x - 1)2B ． 2x ( x + 1)( x - 1)C ． x ( x + 1)( x - 1)D ． 2( x - 1)2( x - 1)3. 甲、乙两人在玩一种纸牌，纸牌共有40 张.每张纸牌上有1 至10 中的一个数，每个数有四种不同的花色.开始时，每人有20 张牌，每人将各自牌中相差为5 的两张牌拿掉，最后甲还有两张牌，牌上的数分别为4 和a ，乙也还有两张牌，牌上的数分别为7 和b ，则b - a 的值是（ ）A ． 3B ． 4C ． 6D ． 74. 已知 x 为实数，且| 3x - 1 | + | 4x - 1 | + + | 17x - 1 |的值是一个确定的常数，则这个常数的值是（）：A ． 5B ． 10C ． 15D ． 755. [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数( 如[ ] =3, [ - ] =- 4, [ - 4] =- 4) , 记M =[ x ] +[ 2x ] +[ 3x ] . 整数称为“隐形数”.则不超过2014 的“隐形数”的个数是( )将不能表示成 M 形式的正A ． 335B ． 336C ． 670D ．6716. 如图，点O 为锐角∆ABC 的外心，点 D 为劣弧 AB 的中点，若∠BAC =,∠ABC = ,且> ,则∠DCO =()- -++A.B ．C ．D ．2 3 3 4二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 6 分，共 60 分．将答案填在答题卷中上．）相应横线BDOC A第6题图x 2 - 4x + 13 x 2 + 4x + 8 2x 2- x32 - x 7. 如果不等式| x - a | + | x |< 2 没有实数解，则实数a 的取值范围 ；8. 已知实数 x = x ，则 x 的取值范围是；9. 函数 y = -的最大值为；10. 设a 、b 为实数，已知坐标平面上的抛物线 y = x 2+ ax + b 与 x 轴交于 P 、Q 两点，且线段 PQ = 7 .若抛物线y = x 2 + ax + b - 8 与 x 轴交于 R 、S 两点，则线段 RS =；11. 正方形 ABCD 中，两个顶点到直线l 的距离相等，且均为另两个顶点到直线l 的距离的两倍，则这样的直线有条；12. 使二次方程 x 2- 2 px + p 2 - 5 p - 1 = 0 的两根均为整数的质数 p 的所有可能值为；13. 在平面直角坐标系中,不管实数a 取什么实数,抛物线 y = ax 2+ 2x + 3 的顶点都在同一条直线上,这条直线的函数关系式是 ；14. 已知实数a , b , c 满足a + b + c = 1 ，1+1+1= 1 ，则 abc =； a + b - c b + c - a c + a - b15. 如图， P 为等边∆ABC 内一点， PA = 2, PB = 1, PC = 3, 则∆ABC 的面积为；16. 如图，在∠AOB 的边OA 上过到点O 的距离为1, 3, 5, 7, …的点作互相平行的直线，分别与OB 相交，得到如图中所示的阴影梯形，它们的面积依次记为 S 1 , S 2 ,S 3 , …． 则 S 2014S = ．2013三、解答题（本大题共 5 小题，共 60 分．将答案填在答题卷中相应位置处，答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）1 117.（本题满分 10 分）计算 +4 + 59 + 30 2 3 - 66 - 40 2BAP C第15题图OS 1 1 35S 2 79S 311… AB第16题图第19题图18.（本题满分 12 分）甲、乙两辆汽车同时从同一地点 A 出发，沿同方向直线行驶，每辆车最多只能带240L 汽油（含油箱中的油），途中不能再加油，每升油可使一辆车前进12km ，两辆车都必须沿原路返回出发点 A ，但是两车相互可借用对方的油.请你设计一种方案，使其中一辆车尽可能地远离出发点 A ，并求这辆车一共行驶了多少千米？19.（本题满分 12 分）如图，四边形 ABCD 内接于 O ， AB 是 O 的直径， AC 和 BD 相交于点 E ，且DC 2 = CE ⋅ CA .（1） 求证： BC = CD（2） 分别延长 AB ， DC 交于点 P ，过点 A 作 AF ⊥ CD 交CD 的延长线于点 F ，若 PB = OB , CD = 2 2, 求DF 的长．20.（本题满分 13 分）如图，已知抛物线 y = k( x + 2)( x - 4) （k 为常数，且k > 0 ）与 x 轴从左至右依次交于 8第20题图A ,B 两点，与 y 轴交于点C ，经过点 B 的直线 y = -（1） 若点 D 的横坐标为-5 ，求抛物线的函数表达式；3 x + b 与抛物线的另一交点为 D ．3（2） 若在第一象限内的抛物线上有点 P ，使得以 A , B , P 为顶点的三角形与∆ABC 相似，求k 的值；（3） 在（1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF ，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒1 个单位的速度运动到 F ，再沿线段 FD 以每秒2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？21.（本题满分 13 分）一个自然数(即非负整数)若能表示成两个自然数的平方差，则称这个自然数为“好数”.例如，16 = 52 - 32 就是一个“好数”.（1） 2014 是不是“好数”？说明理由.（2）从小到大排列，第2014 个“好数”是哪个自然数？4 + 50 + 2 450 + 9 3 - 50 - 2 800 + 164 + (5 2 + 3)2 1 7 + 5 2 17 - 5 22 3 - (5 2 -4)2⎩数学试题答案及评分标准一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．）二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 6 分，共 60 分．）三、解答17.解：原式=1+1=1 +=+ ............................................................................. 5 分= 5 - 7 - 7 - 5= -14 .................................................................................... 10 分18.解:设尽可能远离出发点 A 的甲汽车行驶了 xkm ,乙汽车行驶了 ykm ,则⎧ x + y ≤ 240 ⨯12 ⨯ 2 ⎨x - y ≤ 240 ⨯12而 x = 1 ( x + y ) + 1 ( x - y ) ≤ 4320 ,即甲车一共行驶了4320km ................................ 6 分 2 2具体的方案是:两辆汽车行驶了720km 后,乙车借给甲车60L 汽油,并在此地等着,甲车继续前进1440km 后返回,碰到乙车时再借60L 汽油,然后两车回到出发点 A ...................... 12 分19.（1）证明：2题号 1 2 3 4 5 6 答案CBDADA题号（7） （8） （9） （10） （11）答案a ≥ 2或a ≤ -20 ≤ x ≤ 217912 条 题号 （12）（13）（14）（15）（16）答案题（本大3 或 7题共 5 小题，共y = x + 3 60 分．答题应写出文字说明 7 3 4、证明过程或演 4027 4025 算步骤）AB 2 - BC 2 82 - (2 2 )2 2 14 2 2PC + 2 2 DC 2 = CE ⋅ CA ,∴ ∆CDE ∽ ∆CAD ∴ ∠CDB = ∠DBC ， ∵四边形 ABCD 内接于 O ，∴ BC = CD ..................................................................... 3 分（2） 解：如图，连接OC ，∵ BC = CD ，∴ ∠DAC = ∠CAB ，又∵ AO = CO ，∴ ∠CAB = ∠ACO ，∴ ∠DAC = ∠ACO ，PCPO∴ AD ∥ OC ，∴ =, PD PAPC2∵ PB = OB , CD = 2 2, ∴= ,∴ PC = 4 3又∵ PC ⋅ PD = PB ⋅ PA ∴ PA = 4 也就是半径OB = 4 ， ……………………6 分在 RT ∆ACB 中， AC = = = 2第 19 题图∵ AB 是直径，∴ ∠ADB = ∠ACB = 90︒ ∴ ∠FDA + ∠BDC = 90︒ , ∠CBA + CAB = 90︒ ∵ ∠BDC = ∠CAB ∴ ∠FDA = ∠CBA 又∵ ∠AFD = ∠ACB = 90︒ ,∠AFD =∠ACB =90°∴ ∆AFD ∽ ∆ACB ∴AF = AC= = FD CB 7, ...................................... 9 分在 RT ∆APF ，设 FD = x ，则 AF = 7x ，∴ ( 7x )2 + ( x + 6 2 )2 = 122, 求 得 DF =3 2 .………………………………12 分220.解：（1）抛物线 y = k( x + 2)( x - 4) ，令 y = 0 ，解得 x = -2 或 x = 4 ，8∴ A (-2, 0) ， B (4, 0) ．∵直线 y = -3 x + b 经过点 B (4, 0) ，∴解得b =4 3 ，∴直线 BD 解析式为： y = -3 33 x +4 3 ． 3 3k当 x = -5 时， y = 3 3 ，∴D (-5, 3 3) 在抛物线 y = ( x + 2)( x - 4) 上，8解得b = 8 3． ........................................................................................................... 3 分2. 14,2 3 （2） 由抛物线解析式，令 x = 0 ，得 y = -k ，∴ C (0, -k ) ， OC = k ．点 P 在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP 为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是∆ABC ∽ ∆APB 或∆ABC ∽∆ABP ．①若∆ABC ∽ ∆APB ，则有∠BAC = ∠PAB ，如答图 2﹣1 所示．设 P ( x , y ) ，过点 P 作 PN ⊥ x 轴于点 N ，则ON = x , PN = y ．tan ∠BAC = tan ∠PAB，即： k =y,∴ y = kx + k .2 x + 2 2k 2 ∴ P ( x , x + k ) ，代入抛物线解析式整理得： x - 6x - 16 = 0 ， 2解得： x = 8 或 x = 2 （与点 A 重合，舍去），∴ P (8,5k ) ．ACAB ∵ ∆ABC ∽ ∆APB ，∴=，AB APk 2 + 46即=，解得： k =6．....................................................... 7 分②若∆ABC ∽ ∆ABP ，则有∠ABC = ∠PAB ，如答图 2﹣2 所示．同理，可求得k = ．4 5 综上所述， k 5或k =． ................................... 9 分（3） 由（1）知： D (-5, 3 3) ，如答图 3，过点 D 作 DN ⊥ x 轴于点DN3N ，则∠DBA = 30︒, DN = 3 ，ON = 5, BN = 9, ∴ tan ∠DBA = = , ∴ BN 3过点 D 作 DK x 轴，则∠KDF = ∠DBA = 30︒,1过点 F 作 FG ⊥ DK 于点G ，则 FG = t = AF + 1DF = AF + FG ．2DF ．由题意，动点 M 运动的路径为折线 AF + DF ，运动时间：225k 2 + 1004 552 =由垂线段最短可知，折线AF +FG 的长度的最小值为DK 与x 轴之间的垂线段．过点A 作AH ⊥DK 于点H ，则t min=AH ，AH 与直线BD 的交点，即为所求之F 点．∵ A 点横坐标为-2 ，直线BD 解析式为：y =- 3x +4 3∴ F (-2, 2 3) ....................................................................... 13 分3 321、（1）2014 不是“好数”.如果2014 是“好数”，不妨设2014 =m2 -n2 (m、为自然数，) 则(m +n)(m -n)=2⨯1007 ，而m +n、m -n 的奇、偶性相同，即(m +n)(m -n) 要么是奇数要么能被4 整除.所以2014 不是“好数”................................ 4分(2)设k 为自然数，由（1）类似可得如4k + 2 的自然数都不是“好数”（k + 1)2 - (k - 1)2 = 4k,(k + 1)2 -k 2 = 2k + 1 ，故4k, 2k +1的自然数都是“好数”， ............................................................................. 10 分所以从小到大的“好数”为：0,1,3,4,5,7,8,9,11,12,13,……所以第n 个“好数”为n - 1 + [n]，所以第2014 个“好数”3 为2684. ....................................................................................... 13 分“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。