中考数学培优复习 第16讲 基本图形及其位置关系

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题16三角形之飞镖模型模型1：角的飞镖模型如图所示，有结论：∠D＝∠A＋∠B＋∠C．模型2：边的飞镖模型如图所示有结论：AB+AC> BD+CD.模型分析如图，延长BD交AC于点E。

∵AB+AC=AB+AE+EC，AB+AE>BE，∴AB+A C>BE+EC.①，∵BE+EC=BD+DE+EC， DE+EC> CD，∴BE+EC>BD+CD. ②，由①②可得：AB+AC>BD+CD.C图①【例1】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB，CD内部，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？请说明你的结论．（2）在图1中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图2，则∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间的关系为；（3）根据（2）的结论求图3中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．【例2】（2019秋•吉州区期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝°；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．【例3】（2022春•乐平市期末）在△ABC中，两条高BD、CE所在的直线相交于点O．（1）当∠BAC为锐角时，如图1，求证：∠BOC+∠BAC＝180°．（2）当∠BAC为钝角时，如图2，请在图2中画出相应的图形（用三角尺），并回答（1）中结论是否成立？不需证明．【例4】（2022春•衡山县期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝60°，则∠1+∠2＝；（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．一．选择题1．（2020春•沙坪坝区校级期中）如图，△ABC中，∠A＝30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点E，∠D＝40°，则∠C为（）A．20°B．15°C．30°D．25°2．（2010•武汉）如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是（）A．100°B．80°C．70°D．50°3．（2010•南昌）如图，⊙O中，AB、AC是弦，O在∠BAC的内部，∠ABO＝α，∠ACO＝β，∠BOC＝θ，则下列关系式中，正确的是（）A．θ＝α+βB．θ＝2α+2βC．θ+α+β＝180°D．θ+α+β＝360°二．解答题（共20小题）4．（2022•雁塔区模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E为对角线BD上一点，且BE＝BC，∠F＝∠ABD，EF交BC的延长线于点F．求证：FB＝DB．5．（2020春•如东县期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝54°，则∠ABX+∠ACX＝°；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，请直接写出∠DCE的度数（用含α和β的式子表示）；③如图4，∠ABD，∠ACD的12等分线相交于点G1、G2…、G11，若∠BDC＝115°，∠BG1C＝60°，求∠A的度数．6．（2019秋•建平县期末）探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝°．②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．7．（2019秋•陈仓区期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B＝50°，∠D＝30°，求∠BPD．（2）如图2，将点P移到AB、CD外部，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论．（3）如图3，写出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间的数量关系？（不需证明）（4）如图4，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．8．（2019•锦江区模拟）在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD上的点，连接CE，CF并延长，分别交DA，BA的延长线于点H，G．（1）如图1，若四边形ABCD是菱形，∠ECF＝∠BCD，求证：AC2＝AH•AG；（2）如图2，若四边形ABCD是正方形，∠ECF＝45°，BC＝4，设AE＝x，AG＝y，求y与x的函数关系式；（3）如图3，若四边形ABCD是矩形，AB：AD＝1：2，CG＝CH，∠GCH＝45°，请求tan∠AHG的值．9．（2017春•郫都区期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图①，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是∠POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D得∠BPD＝∠B﹣∠D，将点P移到AB、CD内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图③，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；（3）根据（2）的结论求图④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．10．（2017春•鼓楼区校级期中）我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？尝试探究：（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间的数量关系．初步应用：（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝135°，则∠2﹣∠C＝．（3）解决问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案．（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P 与∠A、∠D的数量关系．11．（2016春•门头沟区期末）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，探究∠B，∠D，∠BPD的关系．小明只完成了（1）的部分证明，请你根据学习《观察猜想与证明》的学习经验继续完成（1）的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成（2）﹣（3）．（1）过点P作PE∥AB．∵PE∥AB，AB∥CD∴∥∴∠D＝又∵PE∥AB∴∠B＝∠BPE∴∠BPD＝．（2）如图2，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，∠B，∠D，∠BPD的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．（3）如图3，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（直接写出结果）12．（2016春•盐都区期中）【课本拓展】我们容易证明，三角形的一个外角等于它不相邻的连个内角的和，那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？【尝试探究】（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？【初步应用】（2）如图2，在△ABCA纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝；（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请直接写出结论．【拓展提升】（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB、∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）13．（2014春•萧山区期中）同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，我们过点P作AB、CD的平行线PE，则有AB∥CD ∥PE，故∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE，故∠BPE＝∠BPD+∠DPE，得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D 之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，利用（1）中的结论（可以直接套用）求∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（3）设BF交AC于点P，AE交DF于点Q．已知∠APB＝130°，∠AQF＝110°，利用（2）的结论直接写出∠B+∠E+∠F的度数为度，∠A比∠F大度．14．（2012春•清浦区校级期中）同学们都知道，平面内两条直线的位置关系只有相交和平行两种．已知AB∥CD．如图1，点P在AB、CD外部时，由AB∥CD，有∠B＝∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D．（1）已知AB∥CD．如图2，点P在AB、CD内部时，上述结论是否成立？若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请你说明你的结论；（2）在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？说明理由；（3）利用第（2）小题的结论求图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．15．（2010春•中卫校级期末）如图1，在∠A内部有一点P，连接BP、CP，请回答下列问题：①求证：∠P＝∠1+∠A+∠2；②如图2，利用上面的结论，你能求出五角星五个“角”的和吗？③如图3，如果在∠BAC间有两个向上突起的角，请你根据前面的结论猜想∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠A之间有什么等量关系，并说明理由．16．（2010•玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．17．（2009春•无为县校级期末）星期天，小明见爸爸愁眉苦脸在看一张图纸，他便悄悄地来到爸爸身边，想看爸爸为什么犯愁．爸爸见到他，高兴地对他说：“来帮我一个忙，你看这是一个四边形零件的平面图，它要求∠BDC等于140°才算合格，小明通过测量得∠A＝90°，∠B＝19°，∠C＝40°后就下结论说此零件不合格，于是爸爸让小明解释这是为什么，小明很轻松地说出了原因，并用如下的三种方法解出此题．请你代小明分别说出不合格的理由．（1）如图1，连接AD并延长．（2）如图2，延长CD交AB于E．（3）如图3，连接BC．18．（2008•莆田）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D．得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在如图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；（3）根据（2）的结论求如图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．19．（2008春•三明期末）探究与思考：（1）如图①，∠BPC是△ABP的一个外角，则有结论：∠BPC＝∠A+∠B成立．若点P沿着线段PB 向点B运动（不与点B重合），连接PC形成图形②，我们称之为“飞镖”图形，那么请你猜想“飞镖”图形中∠BPC与∠A、∠B、∠C之间存在的数量关系？并证明你的猜想；（2）利用（1）的结论，请你求出五角星（如图③）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值，说明你的理由；（3）若五角星中的点B向右运动，形成如图④⑤形状，（2）中的结论还成立吗？请从图④⑤中任选一个图形说明理由．。

第16讲 相似三角形及其应用一、考点知识梳理【考点1 比例线段】1.比例的相关概念及性质（1）线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比．（2）比例中项：如果＝，即b 2＝ac ，我们就把b 叫做a ，c 的比例中项．a b b c（3）比例的性质性质1：＝⇔ad ＝bc(a ，b ，c ，d ≠0)．a b c d性质2：如果＝，那么＝.a b c d a ±b b c ±d d性质3：如果＝＝…＝(b ＋d ＋…＋n ≠0)，则＝(不唯一).a b c d m n a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n m n2.黄金分割：如果点C 把线段AB 分成两条线段，使＝，那么点C 叫做线段AC 的黄金分割点，AC 是AC AB BC ACBC 与AB 的比例中项，AC 与AB 的比叫做黄金比．【考点2 相似三角形的判定及性质】1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．2．性质：(1)相似三角形的对应角相等；(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；(3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．3．判定：(1)两角对应相等，两三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(3)三边对应成比例，两三角形相似；(4)两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．【考点3 位似图形】1．相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．2．相似多边形的性质：(1)相似多边形的对应边成比例；(2)相似多边形的对应角相等；(3)相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．3．位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行(或在同一条直线上)，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．4．位似图形的性质：(1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k；(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．5．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．6．画位似图形的步骤：(1)确定位似中心；(2)确定原图形的关键点；(3)确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；(4)作出原图形中各关键点的对应点；(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．【考点4 相似三角形与几何图形】相似三角形的知识在实际中应用非常广泛，主要是用来测量、计算那些不易直接测量的物体的高度或宽度．二、考点分析【考点1 比例线段】【解题技巧】1.判断比例线段一定是四条线段成比例，但四个数值成比例不一定是四个数，比例中项是三个数。

中考数学专题2 图形位置关系【前言】在中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。

在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。

综合整个2010一模来看，18套题中有17套都是很明确的采用圆与三角形问题的一证一算方式来考察。

这个信息告诉我们中考中这一类题几乎必考。

由于此类题目基本都是上档次解答题的第二道，紧随线段角计算之后，难度一般中等偏上。

所以如何将此题分数尽揽怀中就成为了每个考生与家长不得不重视的问题。

从题目本身来看,一般都是采取很标准的两问式.第一问证明切线,考察切线判定定理以及切线性质定理及推论,第二问通常会给定一线段长度和一角的三角函数值,求其他线段长，综合考察圆与三角形的知识点。

一模尚且如此,中考也不会差的太远。

至于其他图形位置关系,我们将会在后面的专题中涉及到.所以本讲笔者将从一模真题出发，总结关于圆的问题的一般思路与解法。

第一部分真题精讲【例1】(2010，丰台，一模)已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若DE=2，tan C=12，求⊙O的直径．A【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。

对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。

所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。

至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。

利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。

【解析】（1）证明：联结OD．∵ D为AC中点， O为AB中点，A∴ OD为△ABC的中位线．∴OD∥BC．∵ DE⊥BC，∴∠DEC=90°.∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于点D.∴ DE为⊙O的切线．（2）解：联结DB．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴DB⊥AC．∴∠CDB=90°. ∵ D为AC中点，∴AB=AC．在Rt△DEC中，∵DE=2 ，tanC=12，∴EC=4tanDEC=. （三角函数的意义要记牢）由勾股定理得：DC=在Rt△DCB 中， BD=tanDC C⋅= BC=5.∴AB=BC=5.∴⊙O的直径为5.【例2】（2010，海淀，一模）已知：如图，O为ABC∆的外接圆，BC为O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF∠，过点A作AD BF⊥于点D.（1）求证：DA为O的切线；（2）若1BD=，1tan2BAD∠=，求O的半径.FC【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。

第16单元找规律联想融通：想想看，你遇到过的找规律题有多少种类型？用什么方法解它？说明：找规律的题目有很多类，常见的按形式分有数字规律、图形规律、数字图形结合规律三类；按方法与出现结果分，有循环类、等差类、等比类、二次函数类等等.解法归一：多写几个，多算几个，拆分图形、求相邻数据的差、商等.一、循环类[8]解法归一：循环类题目的特点是：静下心，读懂题，多画几个、多算几个，就会发现“结果是重复出现的.”例16-1-1 如图16-1-1①用左手拿着3张深灰色与2张浅灰色的牌迭在一起的情形.以下是她每次洗牌的三个步骤：步骤一：用右手拿出迭在最下面的2张牌，如图16-1-1②．步骤二：将右手拿的2张牌依序交错插入左手拿的3张牌之间，如图16-1-1③．步骤三：用左手拿着颜色顺序已改变的5张牌，如图16-1-1④．若依上述三个步骤洗牌，从图16-1-1①的情形开始洗牌若干次后，其颜色顺序会再次与图16-1-1①相同，则洗牌次数可能为下列何者？（）A.18B.20C.25D.27交流分享：不妨把图中五张牌从上到下依次编号为1、2、3、4、5，按题目规定连做几次就发现规律.例16-1-2 如图16-1-2，一段抛物线：y＝－x(x－3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；……如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m =_________．河北2013交流分享：根据图形的变化规律易知：一上一下两个一对重复出现.体验与感悟16-11. 观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，用你所发现的规律得出22014的末位数字是（）A.2B. 4C.6D. 82. 如图16-1-3，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是.3. 有一组数值转换器，原理如图16-1-4所示，若开始输入x的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，…，请你探索第2011次输出的结果是.4. 如图16-1-5，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是（）A.（2，0）B.（-1，1）C.（-2，1）D.（-1，-1）5. 小的时候，我们用手指练习过数数. 一个小朋友按如图16-1-6所示的规则练习数数，数到967时对应的指头是（填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）.6. 如图16-1-7，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1）（-1，0）.一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P 2，使得点P 2与点P 1关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点P 3，使得点P 3与点P 2关于点C 成中心对称；第四次跳跃到点P 4，使得点P 4与点P 3关于点A 成中心对称；第五次跳跃到点P 5，使得点P 5与点P 4关于点B 成中心对称；…照此规律重复下去，则点P 2013的坐标为 .7. 定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为3n +5，②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2k n 为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n =26，则：若n =449，则第449次“F 运算”的结果是 .8. 在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯间的距离是10cm ，如图，第一棵树左边5cm 处有一个路牌，则从此路牌起向右510m ～550m 之间树与灯的排列顺序是（ ）A.B. C. D.9. 若x 是不等于1的实数,我们把11x -称为x 的差倒数，如2的差倒数是112-＝−1；-1的差倒数为()111--＝12，现已知x 1＝13，x 2是x 1的差倒数，x 3是x 2的差倒数，x 4是x 3的差倒数，…，依此类推，则x 2013= .10. 有一个等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90°，则完成一次变换．图2，图3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（）A．上B．下C．左D．右提醒：请回味与感悟一下循环类题的方法吧.二、一次函数类（邻数差等类）[8]解法归一：相邻两图个数差相等的，第n个数：（第一个数）＋（n-1）×（等差）；亦可设出一次函数式，再用待定系数法求之.例16-2 搭建如图的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要根钢管，串n顶这样的帐篷需要根钢管．交流分享：先数出每图所有钢管根数，分别为17、28、39，相邻数的差都是11，结果是11的（n-1）倍加上17. 结果是一次整式，满足一次函数，故也可以高y＝kx＋b用待定系数法求之.体验与感悟16-21. 如图16-2-2，当△ABC的内部有1个点时，可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形；它内部有2个点时，把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形；它内部有3个点时，把△ABC分割成个互不重叠的小三角形；它内部有m个点时，把△ABC分割成个互不重叠的小三角形中.2. 如图16-2-3给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数s为（）A．3n－2 B．3n－1C．4n＋1D．4n－33. 如图16-2-4，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；…，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是.4. 如图16-2-5，自行车的链条每节长为2.5cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为0.8cm，如果某种型号的自行车链条共有60节，则这根链条没有安装时的总长度为（）A．150 B．104.5 C．102.8 D．105. 一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图16-2-6所示，则被截去部分纸环的个数可能是（）A．2010 B．2011 C．2012 D．2013提醒：请回味与感悟一下等差类找规律题的做法吧.三、平方类（即二次函数类）[8]解法归一：结果是二次整式的，其解法为：设出二次函数式、再用待定系数法求之；或把图拆分成特殊图形再来求之.例16-3-1 如图16-3-1，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是（）A．54 B．110 C．19 D．109交流分享：象本题这样，个依次是1、5、11、19…，数据差不相等、并且比也不相等的，结果大多数是二次整式，可设为二次函数用待定系数法求之.例16-3-2 下面每个图案都由若干个棋子摆成. 依照此规律，第n个图案中棋子的总个数可用含n的代数式表示为．交流分享：每图的数量可写成乘积的、或与一个数平方和的，结果一般都是二次整式.例16-3-3 用同样大小的小圆按如图所示的方式摆图形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需3个小圆，第3个图形需要6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要小圆个（用含n的代数式表示）．交流分享：总数可写成连续整数和的，结果一定是二次整式.Hi!二次函数类找规律题的数据有什么特点呢？你更喜欢拆图还是待定系数法？体验与感悟16-21. 如图16-3-2是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3根火柴棍时的正方形.当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s，则s= ．（用n的代数式表示s）图16-3-22. 如图16-3-3，是正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n 个图中阴影部分小正方形的个数是 .图16-3-33. 将一些小圆点按如下图所示的规律摆放，第1个图形中有6个小圆点，第2个图形中有10个小圆点，第3个图形中有16个小圆点，第4个图形中有24个小圆点，……，依次规律，第6个图形有 个小圆点，第n 个图形有 个小圆点．4. 按照如图16-3-4所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 .图16-3-4 图16-3-55. 如图16-3-5，将边长分别为1、2、3、4、··、19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 .6. 平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线．若平面内的不同的n 个点最多可确定15条直线，则n 的值为 .提醒：想想看结果是二次整式题的数据特点.四、等比类（即1+=•m m a b a 类）[8]解法归一：相邻两数比值一定的，后一数是前一数乘k ，则第n 个数=第一个数×1-n k. 例16-4-1 一组数据为：x ，-2x 2，4x 3，-8x 4，…观察其规律，推断第n 个数据应为 .例 16-4-2 如图16-4-1，以边长为1的正方形ABCD 的边AB 为对角线作第二个正方形AEBO 1，再以BE 为对角线作第三个正方形EFBO 2，如此作下去，…，则第n 个正方形的面积S n = .图16-4-1交流分享：特殊多边形的面积、周长、边长的扩大（或缩小）变换常与等商有关.Hi ! 商不变类的找规律题好做吧？体验与感悟 16-41. 给定一列分式：⋅⋅⋅--,,,,4937253yx y x y x y x （其中x ≠0） （1）后一个分式除以前面一个分式的商为 ；（2）根据你发现的规律，第7个分式是 .2. 如图16-4-2，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形A 1B 1C 1D 1；在等腰直角三角形OA 1B 1中，作内接正方形A 2B 2C 2D 2；在等腰直角三角形OA 2B 2中，作内接正方形A 3B 3C 3D 3；…；依次作下去，则第n 个正方形A n B n C n D n 的边长是（ ）图16-4-2A ．131-n B ．n 31 C ．131+n D ．231+n3. 如图16-4-3，在标有刻度的直线l 上，从点A 开始：:以AB =1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC =2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD =4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE =8为直径画半圆，记为第4个半圆，…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 倍，第n 个半圆的面积为 （结果保留π）.图16-4-3提醒：请想想看，哪些找规律题一看就知道是等比关系？五、其他类[8]解法归一：找规律题还有很多类型，无法细分，观察比较是其通发.1. 为了保密，许多情况下可采用不同的密码。

基本图形及其位置关系一：【课前预习】（一）：【知识梳理】1.直线、射线、线段之间的区别：联系：射线是的一部分。

线段是的一部分，也是的一部分．2.直线和线段的性质：(1)直线的性质：①经过两点直线，即两点确定一条直线；②两条直线相交，有交点.(2)线段的性质:两点之间的所有连线中，线段最短，即．3.角的定义：有公共端点的所组成的图形叫做角；角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．(1)角的度量：把平角分成180份，每一份是1°的角，1°= ′，1′=″（2）角的分类：（3）相关的角及其性质：①余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角．②补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角．③对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．⇔④互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°∠1、∠2互余；②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2∠3．⇔⑤互为补角的有关性质：①若∠A+∠B=180○∠A、∠B互补；②同角或等角的补角相等．如果∠A＋∠C=180○，∠A+∠B=180°，则∠B∠C．⑥对顶角的性质：．（4）角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．4.同一平面内两条直线的位置关系是：5.“三线八角”的认识：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正确认识这八个角要抓住：同位角即位置相同的角；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”．6.平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，角相等，角相等，同旁内角互补．（2）过直线外一点直线和已知直线平行．（3）两条平行线之间的距离是指在一条直线上7.任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.8.平行线的定义：在同一平面内．的两条直线是平行线。