第一章 集合与常用逻辑用语

第一章 集合与常用逻辑用语

第一节 集 合

一、基础知识

1．集合的有关概念

(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．

元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．

(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．

(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.

(4)五个特定的集合及其关系图：

N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．

2．集合间的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．

(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作AB或BA.

AB⇔ A⊆B，A≠B.既要说明A中任何一个元素都属于B，也要说明B中存在一个元素不属于A.

(3)集合相等：如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.

两集合相等：A＝B⇔ A⊆B，A⊇B.A中任意一个元素都符合B中元素的特性，B中任意一个元素也符合A中元素的特性．

(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅. ∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．

3．集合间的基本运算

(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．

(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．

求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁UA.

二、常用结论

(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.

(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.

(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.

(4)补集的性质：A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A.

(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．

(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.

考点一 集合的基本概念

[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )

A．3 B．2

C．1 D．0

(2)已知a，b∈R，若a，ba，1＝{a2，a＋b,0}，则a2 019＋b2 019的值为( )

A．1 B．0

C．－1 D．±1

[解析] (1)因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2. (2)由已知得a≠0，则ba＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.

[答案] (1)B (2)C

[提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．

[题组训练]

1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为( )

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选A 若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.

2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于( )

A.92 B.98

C．0 D．0或98

解析：选D 若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．

当a＝0时，x＝23，符合题意．

当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝98，

所以a的值为0或98.

3.（2018·厦门模拟）已知P={x|2

解析：因为P中恰有3个元素，所以P=｛3，4，5｝，故k的取值范围为5

答案：（5，6］

考点二 集合间的基本关系

[典例] (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

A．B⊆A B．A＝B C．AB D．BA

(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A＝{x∈N*|x2－3x<0}，则满足条件B⊆A的集合B的个数为( )

A．2 B．3

C．4 D．8

(3)已知集合A＝{x|－1

[解析] (1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，比较A，B中的元素可知AB，故选C.

(2)∵A＝{x∈N*|x2－3x<0}＝{x∈N*|0

(3)当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.

当m>0时，因为A＝{x|－1

若B⊆A，在数轴上标出两集合，如图，

所以 －m≥－1，m≤3，－m

综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．

[答案] (1)C (2)C (3)(－∞，1]

[变透练清]

1.(变条件)若本例(2)中A不变，C＝{x|0

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选D 因为A＝{1,2}，由题意知C＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．

2.(变条件)若本例(3)中，把条件“B⊆A”变为“A⊆B”，其他条件不变，则m的取值范围为________． 解析：若A⊆B，由 －m≤－1，m≥3得m≥3，

∴m的取值范围为[3，＋∞)．

答案：[3，＋∞)

3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

解析：①若B＝∅，则Δ＝m2－4<0，解得－2

②若1∈B，则12＋m＋1＝0，

解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；

③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，

解得m＝－52，此时B＝2，12，不合题意．

综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．

答案：[－2,2)

考点三 集合的基本运算

考法(一) 集合的运算

[典例] (1)(2018·天津高考)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C＝( )

A．{－1,1} B．{0,1}

C．{－1,0,1} D．{2,3,4}

(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为(

)

A．{x|－2≤x<4}

B．{x|x≤2或x≥4}

C．{x|－2≤x≤－1}

D．{x|－1≤x≤2}

[解析] (1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}， ∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．

又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，

∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．

(2)依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，

因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．

[答案] (1)C (2)D

考法(二) 根据集合运算结果求参数

[典例] (1)已知集合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，则实数m的取值范围是( )

A．(－4,3) B．[－3,4]

C．(－3,4) D．(－∞，4]

(2)(2019·河南名校联盟联考)已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}，若A∩B＝{4}，则a＝( )

A．3 B．2

C．2或3 D．3或1

[解析] (1)集合A＝{x|x<－3或x>4}，∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故选B.

(2)∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4,6}，符合题意；若2a＝4，则a＝2，此时B＝{3,4}，不符合题意．综上，a＝3，故选A.

[答案] (1)B (2)A

[题组训练]

1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )

A．{1} B．{1,2}

C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}

解析：选C 因为集合B＝{x|－1

2．(2019·重庆六校联考)已知集合A＝{x|2x2＋x－1≤0}，B＝{x|lg x<2}，则(∁RA)∩B＝( )

A.12，100 B.12，2

C.12，100 D．∅