第一章 集合与常用逻辑用语
第一章 集合与常用逻辑用语
§1.1
集合的概念与运算
一、知识导学
1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.
2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.
3.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若则），则称
集合A为集合B的子集，记为AB或BA；如果AB，并且AB，这时集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA.
4.集合的相等：如果集合A、B同时满足AB、BA，则A=B.
5.补集：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记
为 .
6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常 记作U.
7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，
记作AB.
8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并
集，记作AB.
9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.
10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.
11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.
12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）.
13.常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N+或N，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.
二、疑难知识导析
1.符号，，，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别. 2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.
3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.
4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=易漏掉的情况.
1 第一章
集合与常用逻辑用语
第一节集__合
1．集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特定的集合：
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
2．集合间的基本关系
表示
关系 文字语言 符号语言 记法
基本关系 子集 集合A的元素都是集合B的元素 x∈A⇒x∈B A⊆B或B⊇A
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A A⊆B，且存在x0∈B，x0∉A AB或BA
相等 集合A，B的元素完全相同 A⊆B，B⊆A A＝B
空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 任意的x，x∉∅，∅⊆A ∅
3．集合的基本运算
表示
运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法
交集 属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B}
A∩B
并集 属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B}
A∪B
补集 全集U中不属于集合A的元{x|x∈U，且x∉A}
∁UA
2 素组成的集合
4．集合问题中的几个基本结论
(1)集合A是其本身的子集，即A⊆A；
(2)子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；
(3)A∪A＝A∩A＝A，A∪∅＝A，A∩∅＝∅，∁UU＝∅，∁U∅＝U.
(4)A∩B＝A⇒A⊆B，A∪B＝B⇒A⊆B.
[小题体验]
1．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：D
2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．
答案：5
3．(2018·江苏高考)已知集合A＝{0,1,2,8}，B＝{－1,1,6,8}，那么A∩B＝________.
第一章 集合与逻辑用语
1.1集合
【知识梳理】
1.集合的符号表示：（1）实数集：R （2）有理数集：Q （3）整数集：Z （4）自然数集（非负整数集）：N （5）正整数集：N+或N∗.
2. A∩B=A A⊆B，A∪B=A B⊆A
3.若一个集合中包含n个元素，则该集合的子集有2n个，真子集有2n−1个，非空真子集有2n−2个.
4.概念辨析：
子集 真子集 非空真子集
定义 集合A中的任意元素构成新的集合B，则称集合B为集合A的子集. 集合A中的任意元素构成新的集合B，且集合A与集合B不相等，则称集合B为集合A的真子集. 集合A中的任意元素构成新的非空集合B，且集合A与集合B不相等，则称集合B为集合A的真子集.
表示 B⊆A B⫋A B⫋A且B≠∅
交集 并集 补集
定义 一个集合中的元素既属于集合A又属于集合B. 一个集合中的元素属于集合A或属于集合B. 一个集合中的元素属于全集U中，不属于集合A.
表示 A∩B A∪B ∁UA
Venn图
【基础训练】
1.全集U=R，集合A={x|2x2−x−1>0}，B={x|-1≤x≤2，xϵZ}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）.
A．{-1,2} B.{-1,0} C. {0,1}
D. {1,2}
2.若集合M={x|（1−x）（x−5）>0}，集合N={y|y= 4−x+2}，则M∩N等于（ ）.
A．（1,4] B.（1,4） C.[2,5] D.（2,5）
3.设集合A={x| |4x−1|<9，xϵR}，B={x|xx+3≥0，xϵR}，则∁RA∩B=（ ）.
A.（-3,-2] B.（-3，-2]∪[0，52）
C.（−∞，−3]∪[52，+∞） D.（−∞，−3）∪[52，+∞）
4.已知集合A={x|ax+1=o}，B={-1,1}，若A∩B=A，则实数a的所有可能取值的集合为 . 5.设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2 −2x）}，N={y|y= x+1}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）.
专题1 集合与简易逻辑
一.知识网络
以“集合”为基础，由“运算”分枝杈.
二．高考考点
1．对于集合概念的认识与理解，重点是对集合的识别与表达.
2．对集合知识的综合应用，重点考查准确使用数学语言的能力以及运用数形结合思想解决问题的能力.
3．理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；命题的四种形式；相关命题的等价转换，重点考查逻辑推理和分析问题的能力.
4．充分条件与必要条件的判定与应用.
三．知识要点
（一）集合
1.集合的基本概念
（1）集合的描述性定义：
某些指定的对象集在一起就成为一个集合.
认知：集合由一组指定的（或确定的）对象的全体组成，整体性是其重要特征之一.集合的元素须具备以下三个特性：
（I）确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象是否为这个集合的元素是明确的，只有“是”与“否”两种情况.
（II）互异性：集合中的任何两个元素都不相同.
（III）无序性：集合中的元素无前后顺序之分.
（2）集合的表示方法
集合的一般表示方法主要有
（I）列举法：把集合中的元素一一列举出来的方法.
提醒：用列举法表示集合时，须注意集合中元素的“互异性”与“无序性”，以防自己表示有误或被他人迷惑.
（II）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.
①描述法的规范格式：｛x|p(x),x∈A｝其中，大括号内的竖线之前的文字是“集合的代表元素”，竖线后面是借助代表元素描述的集合中元素的属性及范围（即判断对象是否属于集合的确定的条件）.
②认知集合的过程：
认清竖线前的代表元素；考察竖线后面代表元素的属性及范围结合前面的考察与集合的意义认知集合本来面目.
例：认知以下集合：
;
； ;
，其中M=｛0，1｝.
分析：对于A，其代表元素是有序数对（x,y）,即点（x,y）点（x,y）坐标满足函数式y=x2-1(x∈R) 点（x,y）在抛物线y=x2－1上 集合A是抛物线y=x2-1(x∈R)上的点所组成的集合.
