集合与常用逻辑用语

专题调研I

孙璞刚

《函数与三角函数》

1 第一章

集合与常用逻辑用语

专题一

集合的概念及运算

……

常考点3

集合中的创新问题

【剖析】 以集合为背景的新概念问题是高考中常见的开放探究性问题，以集合概念为背景给出新的定义，使问题变得新颖巧妙，这类问题的特点是信息“新”，意义深刻，往往具有一定的实际应用背景，旨在培养学生理解概念的程度和灵活应用知识的能力.

典例8 (2007·广东卷)设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a,b∈S，对于有序元素对(a,b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应).若对于任意的a，b∈S，有a*( b * a)=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是

A.( a * b) * a =a B.[ a*( b * a)] * ( a*b)=a

C.b*( b * b)=b D.( a*b) * [ b*( a * b)] =b

在B选项中，[()]()()abaabbaba，故B正确；在C选项中，当ab

时，()()ababbbb成立，故C正确；在D选项中，令abc，则()cbcb成立，故D正确.只有A选项不能恒成立.

【点评】 新运算问题已经成为新课标高考的热点，在给出新的运算法则的前提下，考查学生的运算求解能力.集合命题中与运算法则相关的问题，多为竞赛试题背景下的高观点命题，是集合命题的一个新动向.

典例9 (2007·深圳模拟)我们定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”，则集合10,8,6,4,2的“孙集”的个数是 .

根据“孙集”的定义，集合10,8,6,4,2的真子集中最多含有4个元素，故其每一个“孙集”中最多含有3个元素，最少可以含有0个元素，因此一共可以有：2635251505CCCC个“孙集”.

【点评】 与集合有关的计数问题也是高考的一个热点题型，注意结合计数原理进行，利用排列组合的知识进行求解.

易错点1 勿忘我——空集 专题调研I 孙璞刚 《函数与三角函数》

2

典例 (2008·东北育才学校模拟)}01|{},0|{axxNaxxM，若MN=N，则实数a的值为

A.1 B.-1 C.1或-1 D.0或1或-1

由于MN=N，所以NM，而{},{|10}MaNxax，当0a时，

N，符合题意；当0a时，1Na，依题意有1aa，所以得1a.综上实数a的值为0或1或－1.

【纠错笔记】 许多考生会错选C，即漏掉0a这种情况，原因在于忘记当N时的情况.对于最高次数项含有参数的方程或不等式，在研究其解集时，不能忘记讨论参数等于零的情况.

易错点2 忽视元素互异性导致错误 专题调研I 孙璞刚 《函数与三角函数》

3

第一章 平面向量

专题二 平面向量的基本定理及坐标表示

归纳点1 平面向量的基本定理

(1)1e和2e必须是同一平面内的两个不共线向量：如果1e和2e共线，由共线向量定理，存在唯一的实数使12ee，则12222121212()aeeeee，再由共线向量定理知a与2e共线，即1212ee只能表示平面内与1e和2e共线的向量．

(2)有且只有一对实数1、2的含义：如果1212aee且12amene，那么1m且2n，逆过来如果1m且2n，当然有221121eemene，即12211212meemenen．特别有112122000ee．

(3)向量的线性相关：如果两个非零向量a与b有线性关系0ba，式中不全为零，则称这两个向量共线；反之亦成立，称向量a和 b线性相关.

如果两个非零向量a与b有线性关系0ba，且只有在0和0时才成立，则称向量a和 b线性无关.

(4)如G是ABC的重心，则平面上任一点O，总有OCOBOAOG31

(5)在一个平面图形中,用待定系数法通过两个不共线的向量确定另一个向量.

归纳点1 平面向量的坐标表示

(1)如果11,yxOA，22,yxOB，C为AB的中点，则),(212121yyxxOC.

(2)如果G是ABC的重心，11,yxOA ，22,yxOB，33,yxOC，则),(31321321yyyxxxOG.

(3)向量平行的坐标表示：设向量11,yxOA，22,yxOB，如果OA∥OB，那么01221yxyx；反之，如果01221yxyx，那么OA∥OB . 为了便于记忆，可以把专题调研I 孙璞刚 《函数与三角函数》

4

典例 已知集合222,3,42,0,7,42,2AaaBaaa，若3,7AB，则实数a的值等于————.

由已知得2427aa，解得1,5a.当1a时，2,3,7,0,7,3,1AB，满足条件；但当5a时，2,3,7,0,7,3,7AB，显然，集合B不满足互异性的要求，因此5a不合题意，只有1a.

【纠错笔记】 本题中，如果不注意根据集合元素的互异性对得到的参数值进行检验，就很可能会得到a=1或-5的错误结果，因此一定不能忽视集合元素的互异性.

易错点3 对特征性质描述法表示的集合的错误理解

典例 (2008·泰安月考)若集合,AB直线圆，则集合AB的子集的个数是

A.1 B.2 C.4

D.1或2或4

集合A中的元素是直线，而集合B中的元素是圆，因此两个集合中的元素具有不同的属性，没有公共元素，故AB，因此AB只有一个子集.

【纠错笔记】

很多考生会认为：直线与圆可以相离、相切、相交，因此可能有0个、1个、2个公共元素，即AB有1个或2个或4个子集.这种错误在于没有正确把握给出的两个集合中的元素的性质，事实上，它们分别是直线的集合和圆的集合，不可能有公共元素.

1.(2008·江苏启东调研)若集合,,Mabc中的元素是ABC的三边长，则△ABC一定不是

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

2.,,ABC是三个集合，那么“BA”是“ACBC”成立的

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

3.(2008·烟台期中考试)设集合}10,9|{amNnnmmM且的元素个数为15个，则a可取值的最小自然数为

A.136 B.144 C.145 D.154

4.(2008·江苏泰州期中考试)已知集合2{|10}xaxax，则实数a的取值范围是___.

5.(2008·扬州新华中学模拟)已知全集UR，{|2}Axyx，{|lg3||}Bxyx（），则UCAB（）= .

6.设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算为：AiAj=Ak，其中k为i+j被4除的余数，i、j=0,1,2,3.则满足关系式=(xx)A2=A0的x(x∈S)的个数为_______. 专题调研I 孙璞刚 《函数与三角函数》

5

7.(2008·广东六校联考)设集合42xxA，341xxB.

(1)求集合BA；(2)若不等式022baxx的解集为B，求a，b的值.

8.(2008·东北育才学校模拟)设全集RU，集合}3|2||12||{xxxA，B=

{},|23Axxxyy，求BACU)(.

1. (原创题)设集合|sin1,,|cos0,PxxxRQxxxR，则有

A.P=Q B.PQ C.P∪Q ={Zkkxx,2|} D. P∩Q=

2.集合NnnnNnM521|的子集的个数为

A.4 B.8 C.16 D.32

3. (原创题)设全集1,{|0},[1,]uxURAxCAnxm，则22mn等于

A.-2 B.2 C.1 D.0

4.已知集合1)1lg(|),(xyyxA，mxyxB|),(，若BA，则实数m的取值范围是

A.1m B.1m C.1m D.1m

5. (2008·广东茂名月考)如图，U是全集，M，N，S是U的子集，则图中阴影部分所示的

集合是

A.()UUCMCNS B.(())UCMNS

C.()UUCNCSM D.()UUCMCSN

6.已知集合01|2xxA，B=220xxaxb，若B，且ABA，则实数a，b的值一共有——————组.

7.已知集合P={a，b，c，d，e}，集合QP，且QPa，QPb，则满足上述条件的集合Q的个数为————.

8.(2006·湖南邵阳模拟)已知集合M＝{x|1≤x≤10，x∈N}，对它的非空子集A，将A中每个元素k，都乘以(－1)k，再求和(如A={1，3，6}，可求得和为(-1)·1＋(-1)3·3＋(-1)6·6＝2，则对M的所有非空子集，这些和的总和是 ． 专题调研I 孙璞刚 《函数与三角函数》

6

9.已知集合A的元素全为实数，且满足：若aA，则11aAa.(1)若3a，求出A中其他所有元素；(2)0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数aA，再求出A中的所有元素？(3)根据(1)(2)，你能得出什么结论？